高中数学一轮复习 第三讲 二项式定理

用心 爱心 专心 1 第三讲 二项式定理

随堂演练巩固

1.1231()xx展开式中的常数项为( )

A.-1 320 B.1 320

C.-220 D.220

【答案】 C

【解析】 1rTC121231()rrrxxC431212(1)rrrx令43120r得r=9.

∴10TC912C312220.故选C.

2.设801(1)xaax…88ax则0a1a8a中奇数的个数为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】 A

【解析】 ∵08aaC08171aaC188

26aaC283528aaC38456aC4870

∴奇数的个数为2,故选A.

3.6()yxyx的展开式中3x的系数等于 .

【答案】 15

【解析】 二项展开式中的1rT项为

1rTC66()(1)()yrrrrxyx

=C622(6)6(1)rrrrrrxy

其中1rT中x的次数为3,

∴263rr.∴r=2.

故该项系数为C226(1)C2656215.

4.若2012(1)nxaaxax…(nnaxnN)且1a2a则其展开式各项系数中最大值等于 .

【答案】 20

【解析】 由题意知12aaC1nnC221nn解得n=6.故其展开式各项系数中最大值为C3620.

5.已知(1)nx的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32,则(1)nx的展开式中系数最小的项是 .

【答案】 310x

【解析】 令x=-1,得232n所以n=5.故系数最小的项是-C333510xx.课后作业夯基

基础巩固

1.353(12)(1)xx的展开式中x的系数是( )

A.-4 B.-2 C.2 D.4

【答案】 C

【解析】 3(12)x的通项公式为1rTC25332(1)rrrxx的通项公式为1(1)kkTC35kkx要用心 爱心 专心 2 求展开式中x的系数,只需3(12)tx中的常数项及一次项系数与-53)x中的一次项系数及常数项分别相乘再求和,即1-1212.

2.若1(2)nxx展开式中含1x项的系数为-则n等于

( )

A.4 B.6 C.7 D.11

【答案】 C

【解析】 展开式的通项为1(1)rrTC2rnrnx32nr令32nr-1,则n=3r-2.又(1)rC2=560rnrn显然r必为奇数,n亦为奇数,经验证n=7.

3.已知423401234(12)xaaxaxaxax则1234234aaaa等于( )

A.8 B.-8 C.16 D.-16

【答案】 B

【解析】由二项展开式的通项公式得:1aC13142128aC222431224aC313441232aC4041426,从而可知12342348aaaa.

4.若231()nxx的展开式中只有第6项的系数最大,则常数项为 )

A.462 B.252 C.210 D.10

【答案】 C

【解析】 由题意110rnTC31010()rrx21()rx10r305rx令30-5r=0,得r=6,所以常数项为7TC610210.

5.在3115()nxx的展开式中,所有奇数项的系数之和为1 024,则中间项系数是( )

A.330 B.462 C.682 D.792

【答案】 B

【解析】 ∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等.由题意得121n 024,∴n=11.∴展开式共有12项,中间项为第六项、第七项,系数为C511C611462.

6.设201(1)nxxaax…22nnax则24aa…2na的值为( )

A.312n B.312n C.32n D.3n

【答案】 B

【解析】 根据二项式定理,令x=1,则01aa2a23nna又令x=-1,则01aa2a…1na两式相加得022(aa2)31nna又01a所以2a4a031231222nnana.

7.(1)naxby展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243,不含y的项的系数绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为( )

A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-2,b=-1,n=6

C.a=-1,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5

【答案】 D

【解析】 令x=0,y=1,得5(1)2433nb;令x=1,y=0,得5(1)322na则可取a=1,b=2,n=5,故选D.

8.二项式41(1)nx的展开式中,系数最大的项是 … ( )

A.第2n+1项 B.第2n+2项

C.第2n项 D.第2n+1项和第2n+2项 用心 爱心 专心 3 【答案】 A

【解析】 由二项展开式的通项公式1kTC41()kknx(1)kC41kknx可知系数为(1)kC41kn与二项式系数只有符号之差,故先找中间项为第2n+1项和第2n+2项,又由第2n+1项系数为2(1)nC241nnC241nn第2n+2项系数为21(1)nC2141nnC21410nn故系数最大项为第2n+1项.

9.若C1nxC22nx…+C(1)1nnnnxx能被7整除,则x、n的值可能分别为、.(写出一组数即可)

【答案】 5 4

【解析】 C1nxC22nx…+C(1)1nnnnxx

当x=5,n=4时4(1)1613537nx能被7整除.

10.已知26(1)(kxk是正整数)的展开式中8x的系数小于120,则k=.

【答案】 1

【解析】 由1rTC2666()rrrkxkC2(6)6rrx得8x的系数为4kC24615k由415120k得48k由于k为正整数,于是

11.(2012陕西西安检测)若82012()xmaaxax…88ax其中556a则02468aaaaa.

【答案】 72

【解析】 8()xm的二项展开式的通项为1rT885()rrrxma是5x的系数,所以5aC538()m356m由题意得:35656m解得m=-1,所以该二项式为8(1)x记8()(1)fxx则令x=1,得0a1a2a…882a①;令x=-1,得012aaa8a8(11)0②,①+②得8024682()2aaaaa故7024682aaaaa.

12.(12)nx的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

【解】 ∵6TC557(2)nxTC66(2)nx依题意有5n52662n

∴8(12)x的展开式中二项式系数最大的项为5T448(2)x4120x.

设第r+1项系数最大,则有 rrr1r188rrr1r188C2C2C2C2

即 828(8)(1)(81)882(8)(1)(81)rrrrrrrr

 2(81)12(8)rrrr 56r

又∵rN,∴r=5或r=6.

∴系数最大的项为61T 57792xT6792x

13.设1002012(23)xaaxax…100100ax.求下列各式的值:

0(1)a;

12(2)aa…100a;

135(3)aaa…99a;

02(4)(aa…210013)(aaa…299)a. 用心 爱心 专心 4 【解】 (1)由100(23)x展开式中的常数项为C01001002即10002a或令x=0,则展开式可化为10002a.

(2)令x=1,可得

012aaa…100100(23)a. ①

所以12aa…100100100(23)2a;

(3)令x=-1,可得

0123aaaa…100100(23)a ②

与①联立相减可得,

13aa…100100(23)(23)992a.

(4)原式02[(aa…10013)(aaa…9902)][(aaa…10013)(aaa…990)](aa12aa1000123)(aaaaa…1001009899100)(23)(23)1aaa.

14.某地现有耕地10 000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年只能减少多少公顷?(精确到1公顷)(粮食单产总产量耕地面积人均粮食占有量)总产量人口数

【解】 设耕地平均每年减少x公顷,该地区现有人口P人,粮食单产M吨/公顷,依题意有:

4410(122%)(1010x)10(11%)(110MMPP%).

解得1011(1001)312210[1]x

31112210[1(C010C1100.01+C2100.201…)]

31112210(11.104 5)4(公顷).

答:耕地平均每年最多只能减少4公顷