高考数学总复习：第6章《不等式、推理与证明》[3]

第二节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数．2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．3．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．[常用结论]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的． ( ) (2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x，x ∈(0，π)的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )m ax＝81.]3．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5C [由题意得1a ＋1b＝1.又a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝2时等号成立，故选C.] 4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.] 5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x ) ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝25， 当且仅当x ＝10－x ， 即x ＝5时，y m ax ＝25.]利用基本不等式求最值►考法1 配凑法求最值【例1】 (1)设0＜x ＜2，则函数y ＝x －2x 的最大值为( )A ．2B ．22C. 3 D ． 2 (2)若x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(1)D (2)1 [(1)∵0＜x ＜2，∴4－2x ＞0，∴x (4－2x )＝12×2x (4－2x )≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝12×4＝2. 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时等号成立． 即函数y ＝x－2x 的最大值为 2.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2－4x15－4x＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.]►考法2 常数代换法求最值【例2】 已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立． 故xy 的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞2， 则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18， 当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立． 故x ＋y 的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立， 故x ＋y 的最小值为18.(1)已知＞0，＞0，＋3＋＝9，则＋3的最小值为________．(2)(2019·皖南八校联考)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn＝－1上，且m ＞0，n ＞0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28(1)6 (2)B [(1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9， ∴9－(x ＋3y )＝xy ＝13×x ×3y ≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ，x ＋3y ＋xy ＝9，因为x ＞0，y ＞0，计算得出⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴x ＋3y 的最小值为6.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a ＞0，a ≠1)的图像恒过A (－3，－1)， 由点A 在直线x m ＋y n＝－1上可得， －3m ＋－1n＝－1，即3m ＋1n＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝⎛⎭⎪⎫n m ＋m n， 因为m ＞0，n ＞0， 所以n m ＋mn ≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)， 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B ．]利用基本不等式解决实际问题【例3】 随着社会的发展，汽车逐步成为人们的代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生，据调查某段公路在某时段内的车流量y (单位：千辆/时)与汽车的平均速度v (单位：千米/时)之间有函数关系：y ＝900vv 2＋8v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数)(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？[解] (1)由题知，v ＞0，则y ＝900vv 2＋8v ＋1 600＝900v ＋1 600v＋8≤90080＋8＝90088＝22522，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时取等号．所以y m ax ＝22522≈10.23.故当v ＝40时，车流量y 最大，最大约为10.23千辆/时． (2)由y ＝900v v 2＋8v ＋1 600≥10，得90v v 2＋8v ＋1 600≥1，即90v ≥v 2＋8v ＋1 600，整理得v2－82v ＋1 600≤0，即(v －32)(v －50)≤0，解得32≤v ≤50.所以为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，汽车的平均速度应大于等于32千米/时且小于等于50千米/时．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内.要制作一个容积为4 m ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [设底面相邻两边的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．] 基本不等式的综合应用【例4】 (1)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24(2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．(1)B (2)92 [(1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b＝9b a ＋ab ＋6.又9b a＋a b＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab，即a ＝3b 时等号成立)，∴m ≤12，∴m 的最大值为12. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92.](1)当x ∈R 时，32x－(k ＋1)3x＋2＞0恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝|lg x |，a ＞b ＞0，f (a )＝f (b )，则a 2＋b 2a －b的最小值等于________．(1)B (2)22 [(1)由32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，解得k ＋1＜3x＋23x .∵3x ＞0，∴3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴3x＋23x 的最小值为2 2.又当x ∈R 时，32x－(k ＋1)3x＋2＞0恒成立，∴当x ∈R 时，k ＋1＜⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋23x min ，即k ＋1＜22，即k ＜22－1.(2)由f (x )＝|lg x |，且f (a )＝f (b )可知 |lg a |＝|lg b |，又a ＞b ＞0，∴lg a ＝－lg b ，即lg ab ＝0，∴ab ＝1.∴a 2＋b 2a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22， 当且仅当a －b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为2 2.]。

高三一轮复习6.5合情推理与演绎推理
【教学目标】
1。

了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；
掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.
【重点难点】
1.教学重点：了解合情推理和演绎推理,掌握演绎推理的“三段论”；
2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
……根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时,f n（x)＝f（f n －1
(x)）＝________。

【解析】由f(x)＝错误!（x>0)
得，f1（x）＝f（x)＝x
x＋2,
f2(x）＝f（f1（x）)＝错误!＝
错误!，
f3(x)＝f(f2（x)）＝错误!＝错误!，
f4(x)＝f（f3（x))＝错误!＝错误!,
所以归纳可得,当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f（f n－1（x))＝错误!。

【答案】错误!
●命题角度3 形的归纳
4．仔细观察下面4个数字所表
示的图形：。

课时提能演练(四十)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.结论为： x n＋y n能被x＋y整除，令n＝1,2,3,4验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为( )(A)n∈N* (B)n∈N*且n≥3(C)n为正奇数 (D)n为正偶数2.(2012·广州模拟)“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理( )(A)小前提错(B)结论错(C)正确 (D)大前提错3.在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，则△ABC一定是( )(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)不确定4.若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是( )(A)分析法 (B)综合法 (C)分析法与综合法并用 (D)反证法5. (2012·杭州模拟)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ) (A)假设三内角都不大于60度 (B)假设三内角都大于60度 (C)假设三内角至多有一个大于60度 (D)假设三内角至多有两个大于60度6.设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝3a －4a ＋1，则a 的取值范围是( ) (A)a<34 (B)a<34且a≠－1(C)a>34或a<－1 (D)－1<a<34二、填空题(每小题6分，共18分)7.设a>0，b>0，c>0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c≥ .8.(2012·大同模拟)用反证法证明命题“若a ，b∈N，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为 . 9.(易错题)设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是 (填写所有正确条件的代号).①x 为直线，y ，z 为平面；②x，y ，z 为平面； ③x，y 为直线，z 为平面；④x，y 为平面，z 为直线； ⑤x，y ，z 为直线.三、解答题(每小题15分，共30分) 10.求证：若a>0，则a 2＋1a 2－2≥a＋1a－2.11.已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd>1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数. 【探究创新】(16分)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D 上是凸函数，则对D 内的任意x 1，x 2，…，x n 都有f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )n≤f(x 1＋x 2＋…＋x nn ).已知函数f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，则(1)求△ABC 中，sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值. (2)判断f(x)＝2x 在R 上是否为凸函数.答案解析1. 【解析】选C.由结论x n ＋y n 能被x ＋y 整除，验证n ＝1成立，n ＝2不成立，n ＝3成立，n ＝4不成立，故排除A 、B 、D ，只有C 满足. 2. 【解析】选C.大前提，小前提都正确，推理正确，故选C. 3. 【解题指南】将不等式移项，对两角和的余弦公式进行逆用，得出角的范围即可.【解析】选C.由sinAsinC<cosAcosC 得 cosAcosC －sinAsinC>0， 即cos(A ＋C)>0，∴A ＋C 是锐角， 从而B>π2，故△ABC 必是钝角三角形.4. 【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义.5. 【解析】选B.由反证法的定义可知，要否定结论，即至少有一个不大于60°的否定是三内角都大于60°，故选B. 6.【解析】选D.∵f(x)的周期为3，∴f(2)＝f(－1)， 又f(x)是R 上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，则f(2)＝f(－1)＝－f(1)， 再由f(1)>1，可得f(2)<－1， 即3a －4a ＋1<－1，解得－1<a<34. 7.【解题指南】把1a ＋1b ＋1c 中的1用a ＋b ＋c 代换，利用基本不等式求解.【解析】∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2＝9. 等号成立的条件是a ＝b ＝c ＝13.答案：98.【解析】由反证法的定义可知，否定结论，即“a ，b 中至少有一个能被3整除”的否定是“a ，b 都不能被3整除”. 答案：a 、b 都不能被3整除9.【解析】①中x 为直线，y ，z 为平面，则x ⊥z ，y ⊥z ，而x y ，∴必有x ∥y 成立，故①正确.②中若x ，y ，z 均为平面，由墙角三面互相垂直可知x ∥y 是错的. ③x 、y 为直线，z 为平面，则x ⊥z ，y ⊥z 可知x ∥y 正确. ④x 、y 为平面，z 为直线，z ⊥x ，z ⊥y ，则x ∥y 成立.⑤x 、y 、z 均为直线，x ⊥z 且y ⊥z ，则x 与y 还可能异面、垂直，故不成立. 答案：①③④10.【解题指南】利用分析法证明.由a>0，将不等式两边平方，不等式仍成立，最后利用基本不等式得证.【证明】要证原不等式成立，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋ 2.∵a>0，∴两边均大于零.因此只需证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋1a2＋2＋2＋22(a＋1a).只需证2a2＋1a2≥2(a＋1a)，只需证2(a2＋1a2)≥a2＋1a2＋2，即证a2＋1a2≥2，而a2＋1a2≥2显然成立，∴原不等式成立. 【变式备选】已知a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6. 【证明】方法一：要证a－3－a－4<a－5－a－6只需证a－3＋a－6<a－5＋a－4 ⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2⇐2a－9＋2(a－3)(a－6)<2a－9＋2(a－5)(a－4)，⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)，⇐18<20.因为18<20显然成立， 所以原不等式成立. 方法二：要证a －3－a －4<a －5－a －6只需证1a －3＋a －4<1a －5＋a －6 只需证a －3＋a －4>a －5＋a －6∵a>6，∴a －3>a －4>a －5>a －6>0， 则a －3＋a －4>a －5＋a －6.所以原不等式成立.11.【证明】假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1， 所以a ，b ，c ，d ∈[0,1]， 所以ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d 2，所以ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2＝1，这与已知ac ＋bd>1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数. 【探究创新】【解析】(1)∵f(x)＝sinx 在(0，π)上是凸函数，A 、B 、C ∈(0，π)且A ＋B ＋C ＝π，∴f(A)＋f(B)＋f(C)3≤f(A ＋B ＋C 3)＝f(π3)，即sinA ＋sinB ＋sinC ≤3sin π3＝332.所以sinA ＋sinB ＋sinC 的最大值为332.(2)∵f(－1)＝12，f(1)＝2，而f(－1)＋f(1)2＝12＋22＝54，而f(－1＋12)＝f(0)＝1，∴f(－1)＋f(1)2>f(－1＋12).即不满足凸函数的性质定理，故f(x)＝2x 不是凸函数. 【方法技巧】新定义题的解题技巧(1)对于新型概念的解题问题，要理解其定义的实质，充分利用定义解题是关键.(2)要证明一个函数满足定义需利用定义加以证明它满足的条件，若想说明它不满足定义，只需用特例说明即可.。

[课堂练通考点]1．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为( )A{x |0<x <1}∪{x |x >1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <0} 解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1＝|x ＋1||x －1|<1，∴|x ＋1|<|x －1|， ∴x 2＋2x ＋1<x 2－2x ＋1， ∴x <0.2．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．a >1 C ．a <3D ．a <1解析：选A ∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3. 3．(2013·江西高考)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 解析：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. 答案：[0,4]4．(2013·重庆高考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8. 答案：(－∞，8]5．(2014·哈师大附中模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；(2)若x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (x )>0，求a 的取值范围． 解：(1)a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1. ∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x ≥a ，x ＋a ，x <a ，∵a >0，∴当x >－2时，f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．如果|x －a |<ε2，|y －a |<ε2，则一定有( )A ．|x －y |<εB ．|x －y |>εC ．|x －y |<ε2D ．|x －y |>ε2解析：选A |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|y －a |<ε，即|x －y |<ε. 2．不等式2<|x ＋1|<4的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－5，－3)∪(0,3) C ．(－5,0)D ．(－5，－3)∪(1,3)解析：选D ∵2<|x ＋1|<4， ∴2<x ＋1<4或－4<x ＋1<－2， ∴1<x <3或－5<x <－3.3．(2014·哈尔滨模拟)不等式|x ＋1|>|2x －3|－2的解集为( ) A ．(－∞，－6) B ．(－6,0) C ．(0,6)D ．(6，＋∞)解析：选C 原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－(x ＋1)>－(2x －3)－2 或②⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <32，x ＋1>－(2x －3)－2或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x ＋1>2x －3－2.不等式组①的解集为∅，不等式组②的解集为⎝⎛⎭⎫0，32，不等式组③的解集为⎣⎡⎭⎫32，6，因此原不等式的解集为(0,6)．4．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A 由绝对值的几何意义易知：|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.5．已知不等式|a －2x |>x －1，对任意x ∈[0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1)∪(5，＋∞) B ．(－∞，2)∪(5，＋∞) C ．(1,5)D ．(2,5)解析：选B 当0≤x <1时，不等式|a －2x |>x －1对a ∈R 恒成立；当1≤x ≤2时，不等式|a －2x |>x －1，即a －2x <1－x 或a －2x >x －1，x >a －1或3x <1＋a ，由题意得1>a －1或6<1＋a ，a <2或a >5；综上所述，则a 的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．6．若关于x 的不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的值为________． 解析：由题意可知，－1和2都是|ax ＋2|＝6的根，所以|－a ＋2|＝6且|2a ＋2|＝6，解得a ＝－4.答案：－47．(2014·青岛一模)不等式|2x ＋1|－|x －4|>2的解集是________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2，解得x ∈(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. 答案：(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞8．(2014·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围为________．解析：函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)9．(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ， 且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号． 所以f (x )的最小值为3.10．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·广州一模)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |>3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|>3即可，所以m ＋1>3或m ＋1<－3，解得m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．(2013·湖北八校联考)若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．答案：(－∞，－4]∪[－1,0)。