高中数学第1课时正弦定理导学案苏教版必修5

江苏省赣榆县智贤中学2014高中数学 1.1 正弦定理教案苏教版必修5=ABC abc，32中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中，我们已经会解直角三角形.就是说，已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角，而在直角三角形中，有如下的边角关系.a sin A ＝bsin B＝csin C那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课对于asin A ＝bsin B＝csin C这一关系的证明，我们一起来看下面的证法.如图，在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，作△ABC 的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B′，设BB′＝2R. 则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°，∠C＝∠B′∴sin C＝sin B′＝c2R ∴csin C＝2R同理可得asin A ＝2R，bsin B＝2R∴asin A＝bsin B＝csin C＝2R这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立.因此，我们得到下面的定理. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对的正弦的比相等，即a sin A ＝bsin B＝csin C说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证，此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受，并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sin θ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ，这就为辅助向量j 的添加提供了线索，为方便进一步的运算，辅助向量选取了单位向量j ，而j 垂直于三角形一边，且与一边夹角出现了90°－θ这一形式，这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中，构造向量是基础，并由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →.而添加垂直于AC →的单位向量j 是关键，为了产生j 与AB →、AC →、CB →的数量积，而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，也就在情理之中了.下面，大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程，并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后，应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提，以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时，进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：AC →＋CB →＝AB →为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到：j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →由分配律可得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →∴｜j ｜｜AC →｜cos90°＋｜j ｜｜CB →｜cos(90°－C )＝｜j ｜｜AB →｜cos(90°－A )∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →的夹角为90°＋C ，j 与AB →的夹角为90°＋B ，可得c sin C ＝b sin B. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j 与AC →的夹角为90°－C ，j 与AB →的夹角为90°－B )∴a sin A ＝b sin B ＝csin C . (2)△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →得：j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →即a ·cos(90°－C )＝c ·cos(A －90°)∴a sin C ＝c sin A∴a sin A ＝csin C 另外，过点C 作与CB →垂直的单位向量j ，则j 与AC →夹角为90°＋C ，j 与AB →夹角为90°＋B ，同理可得b sin B ＝c sin C ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C 综上所述，正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.在证明了正弦定理之后，我们来进一步学习正弦定理的应用.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形问题.(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一，相对容易.(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.此类问题变化较多。

第二章解三角形本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题.2.情感目标（1）通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力.（2）通过解决一些实际问题，培养同学们的数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活.（3）正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等.一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣.●重点难点重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题.难点：正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题.●方法探究1.注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯.2.注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力.3.学习本章应注意的问题（1）重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用.（2）加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力.（3）提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.§1正弦定理与余弦定理第1课时正弦定理知能目标解读1.通过对特殊三角形边长和角度关系的研究，发现正弦定理，并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律.2.掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题.3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题.重点难点点拨重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题.难点：已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况. 学习方法指导 一、正弦定理1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函数在区间上的单调性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系.2.正弦定理的证明正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外，还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明.方法一：建立直角坐标系，借助三角函数的定义进行证明. 在如图所示的直角坐标系中，点B,C 的坐标分别是B （ccos A ,csin A ）,C (b ,0).于是S △ABC =21bc sin A .同理S △ABC 还可以表示成21ab sin C 和21ac sin B .从而可得Aa sin =Bb sin =Cc sin .方法二：如图所示：当△ABC 为锐角三角形时，设边AB 上的高为CD ，根据三角函数的定义，有CD =b sin A ,CD =asin B ,所以b sin A =a sin B ,即Aa sin ＝Bb sin ;同理可得Bb sin =Cc sin .所以Aasin ＝Bb sin ＝Cc sin .如下图所示，当△ABC 为钝角三角形时，设A 为钝角，AB 边上的高为CD ，则CD =a sin B ,CD =b sin(180°－A ) =b sin A . 所以a sin B =b sin A , 即Aa sin ＝Bb sin ; 同理Bb sin ＝Ccsin .所以Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin .当△ABC 为直角三角形时，上式也成立.方法三:如下图所示：过A 作单位向量j 垂直于AC .由AC +CB =AB ，两边同乘以单位向量j ,得j ·（AC +CB ）=ｊ·AB . 则j ·AC +j ·CB =j ·AB .∴１j ||AC |cos90°+|ｊ||CB |cos(90°-C )=| j ||AB |cos(90°-A ). ∴a sin C =c sin A . ∴Aa sin =Cc sin .同理，过C 作j 垂直于CB ，得Cc sin =Bb sin ,∴Aa sin =Bb sin =Cc sin .二、利用正弦定理解三角形的类型（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC 中，已知a,b 和∠A 时，解的情况如下：.①a=b sin A ２a ≥b a>b三、三角形常用面积公式 （1）S =21ah a （h a 表示边a 上的高）；（2）S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B ；(3)S =21r (a+b+c )(r 为三角形内切圆半径).四、应用正弦定理的解题规律1.正弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具.同时在三角形中与三角函数、平面向量有密切的联系.2.利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角.3.解题时，要注意“三角形内角和为180°”、“在一个三角形中，大边对大角”等平面几何性质的运用.4.要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用. 知能自主梳理正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 相等，即 = = .［答案］ 正弦的比Aa sinBb sinCc sin思路方法技巧命题方向 正弦定理的理解［例1］ 有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值； ④在△ABC 中，sin A ：sinB ：sinC=a ：b ：c . 其中正确的序号是 . ［分析］ 紧扣正弦定理进行推理判断. ［答案］ ③④［解析］ 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确；由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确. ［说明］ 公式、定理的适用条件与公式、定理本身同样重要. 变式应用1满足sin A ：sin B ：sin C =1：2：3的△ABC 是否存在？［解析］ 假设满足条件的△ABC 存在，并设内角A,B,C 的对边分别是a,b,c .则由正弦定理知Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin .又∵sin A ：sin B ： sin C =1：2：3, ∴a ：b ：c=1：2：3. 则ｂ,=2a,c =3a ,∴a+b=c.与三角形中两边之和大于第三边矛盾.故满足sin A ：sin B ：sin C =1：2：3的△ABC 不存在. 命题方向 正弦定理的应用［例2］ 在△ABC 中，已知∠A =45°,∠B =30°,c =10,求b .［分析］ 先利用三角形内角和定理求角C ，再利用正弦定理求边b . ［解析］ ∵∠A +∠B +∠C =180°, ∴∠C =105°, ∵Bb sin ＝C c sin ,sin105 °=sin(45°+60°)＝22×（21+23）=462+,∴b=c ·CB sin sin =︒︒⨯sin105in3010=5(26).［说明］ 本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边. 变式应用2已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=c =6+2， 且∠A =75°，则b =（ ） A.2 B. 6－2 C.4-23 Ｄ.4+23［答案］ A［解析］ 由a=c =6＋2可知，∠C =∠A ＝75°，∴∠B =30°,sin B =21.又sin A =sin75°=sin(30°+45°) =sin30°cos45°+cos30°sin45° =21×22+23×22=462+.由正弦定理，得b =AB a sin sin =()4622162+⨯+＝２故选A.［例3］ （2012·儋州高二检测）在△ABC 中，a =1, b =3,∠A =30°,求边c 的长. ［分析］ 由正弦定理求sin B →判断∠B 的范围→确定∠B 的值→求边c ［解析］ 由Aa sin ＝Bb sin ,得sin B =aA b sin ＝23.∵a<b ,∴∠B >∠A =30° ∴∠B 为60°或120°.(1)当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－60°－30°＝90°.此时，c =22b a +=31+=2.(2)当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c =a =1.［说明］ 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍. 变式应用3本例中，若a =3,∠A =60°,其他条件不变，则∠B 是多少度？ ［解析］ 由A a sin ＝Bb sin ,得sin B =ab sin A=33×23＝21， 得∠B =30°或150°，又a>b ,∴∠A >∠B ,而∠A ＝60°, ∴∠B =30°.探索延拓创新命题方向 求三角形的面积［例4］ 在△ABC 中，B =30°,AB =23,AC =2,求△ABC 的面积. ［分析］ 首先要讨论三角形解的个数，然后利用三角形的面积公式求解. ［解析］ 由正弦定理，得CAB sin ＝BAC sin ,∴sin C =ACB AB sin ＝230sin ·32︒＝23.∵AB>AC ,∴C>B =30°,即C 有两解. ∴C =60°或120°. 当C =60°时，A =90°, S △ABC =21AB ·AC ·sin A =21×23×2sin90°=23;当C =120°时，A =30°, S △ABC =21AB ·AC ·sin A =21×23×2sin30°=3.综上可知，△ABC 的面积为23或3. ［说明］ 利用三角形的面积公式S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B 即可求出三角形的面积，同时要注意解的个数. 变式应用4在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a,b,c ,已知A =3π，b =1,△ABC 的外接圆半径为1，则△ABC的面积S = .［答案］23［解析］ 由正弦定理Aa sin ＝Bb sin =2R ,∴a =3,sin B =21, ∵a>b ,∴A>B ,∴B =6π,C =2π.∴S △ABC =23.名师辨误做答［例5］ 在△ABC 中，若tan A ：tan B =a 2：b 2,试判断△ABC 的形状. ［误解］ 由正弦定理得，Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin ,∴a 2：b 2=sin 2A ：sin 2B , ∵tan A ：tan B =a 2：b 2, ∴AA cos sin ·BB sin cos ·BC 22sin sin .∵sin A ≠0,sin B ≠0, ∴sin A cos A =sin B cos B , ∴sin2A =sin2B , ∴2A =2B , ∴A=B.故△ABC 是等腰三角形.［辨析］ 在△ABC 中，若sin2A =sin2B ,则2A =2B 或2A +2B =π, 误解中漏掉2A +2B =π这一情况. ［正解］ 由正弦定理得，Aa sin ＝Bb sin ＝Cc sin ,∴a 2：b 2=sin 2A ：sin 2B , ∵tan A ：tan B =a 2：b 2, ∴AA cos sin ·BB sin cos ·BA22sin sin.sin A ≠0,sin B ≠0, ∴sin A cos A =sin B cos B , ∴sin 2A =sin 2B , ∴2A =2B 或2A +2B =π， ∴A=B 或A+B =2π,故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.课堂巩固训练一、选择题1.一个三角形的内角分别为45°与30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为（ ） A.26 B.36 C.22 D.32［答案］ C［解析］ 设所求边长为x,由正弦定理得，︒30sin x =︒45sin 4,∴x =22,故选C.2.已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,则∠B =（ ）A.3πB.32π C.3π或32π D.65π或6π［答案］ C ［解析］ 由Aa sin ＝Bb sin ,得sin B =aA b sin ,∴sin B =130sin ·3︒ =23　,∴B =3π或32π.3.已知△ABC 的三个内角之比为A ：B ：C =3：2：1，那么对应的三边之比a ：b ：c 等于（ ）A.3：2：1 B. 3：2：1 C.3：2：1 D.2：3：1［答案］ DA ：B ：C =3：２：１ ［解析］ ∵A+B+C =180°∴A =90°,B =60°,C =30°. ∴a ：b ：c =sin A ：sin B ：sin C =1：23　：21=2：3：1.二、填空题4.在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =32π,则a = .［答案］ 1［解析］ 由正弦定理，得32sin3π=Bsin 1,∴sin B =21.∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B =6π,∴∠A =6π,∴a=b =1.5.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，若∠A =105°，∠B =45°，b =22，则c = . ［答案］ 2［解析］ 由已知，得∠C =180°-105°-45°=30°.∵Bb sin =Cc sin∴c =BC b sin sin =︒︒45sin 30sin 22=222122⨯=2.三、解答题6.在△ABC 中，已知A =45°，B =30°，c =10，求b . ［解析］ ∵A+B+C =180°,∴C =105°. ∵Bb sin =Cc sin ,∴b =CB c sin sin =︒︒105sin 30sin 10,又∵sin105°=sin(60°＋45°)＝23×22+21×22=426+,∴b=5(26-).课后强化作业一、选择题1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ） A.a>b sin A B.a=b sin A C.a<b sin A D.a ≥b sin A ［答案］ D［解析］ 由正弦定理，得Aa sin ＝Bb sin ,∴a =BA b sin sin ,在△ABC 中，0<sinB ≤1,故Bsin 1≥1,∴a ≥b sin A .2.在△ABC 中，已知（b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6,则sin A ；sin B ；sin C 等于（ ） A.6：5：4 B.7：5：3 C.3：5：7 D.4：5：6 ［答案］ B［解析］ 设b+c =4x ,c+a =5x ,a+b =6x (x >0), 从而解出a =27x ,b =25x ,c =23x .∴a ：b ：c =7：5：3. ∴sin A ：sin B ：sin C =7：5：3.3.已知锐角△ABC 的面积为33，BC =4，CA =3，则角C 的大小为（ ） A.75° B.60° C.45° D.30° ［答案］ B［解析］ 由题意，得21×4×3sin C ＝33,∴sin C =23,又0°<C <90°，∴C =60°.4.不解三角形，下列判断中不正确的是 ( ) A.a =7,b =14,A =30°,有两解 B.a =30,b =25,A =150°,有一解 C.a =6,b =9,A =45°,无解 D.b =9,c =10,B =60°,有两解 ［答案］ A［解析］ 对于A ，由于a=b sin A ,故应有一解；对于B ，a>b ,A =150°,故应有一解；对于C,a<b sin A ,故无解；对于D ，c sin B<b<c ,故有两解. 5.△ABC 中，a =2,b =2，B=6π，则A 等于（ ）A. 3πB.4πC. 4π或43π D.3π或32π［答案］ C ［解析］ ∵Aa sin =Bb sin ,∴sin A =22, ∴A =4π或A =43π, 又∵a ＞b ,∴A ＞B ,∴A =4π或43π,∴选C.6.(2012·潍坊高二期末)在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（ ） A.-322 B.322 C.-36 D.36［答案］ D［解析］ 由正弦定理，得︒60sin 15=Bsin 10,∴sin B =1560sin 10︒=152310⨯=33.∵a>b,A =60°,∴B 为锐角.∴cos B =B sin -12=2331）（-=36.7.在△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°,则c 等于 ( ) A.10+3 B.10（3-1） C.10（3+1） D.103［答案］ B［解析］ 由已知得A =75°,sin A =sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=426+,c=AC a sin sin =︒︒⨯75sin 45sin 10=10(3-1) .8.已知△ABC 中，a=x ，b =2，∠B =45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A.x >2 B.x <2 C.2<x <22 D.2<x <23［答案］ Cx >2 ［解析］ 由题设条件可知x sin45°<2∴2<x <22. 二、填空题9.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π,a =3,b =1,则c = .［答案］ 2［解析］ 由正弦定理得sin B =ab ·sin A =31-×23=21,又∵b =1<a =3, ∴B<A =3π,而0<B <π, ∴B =6π,C =2π,由勾股定理得c =22b a +=31+=2.10.在△ABC 中，A =60°,C =45°,b =2.则此三角形的最小边长为 . ［答案］ 23-2［解析］ ∵A =60°，C =45°，∴B =75°, ∴最小边为c ,由正弦定理，得Bb sin ＝Cc sin ,∴︒75sin 2=︒45sin c ],又∵sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30° =22×23+22×21＝426+,∴c =︒︒⨯75sin 45sin 2＝426222+⨯＝23-2.11.△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a =25b ,A =2B ,则cos B = .［答案］45［解析］ 由正弦定理，得ba =BA sin sin ,∴a =25b 可转化为BA sin sin =25.又∵A =2B ，∴BBsin sin2=25,∴cos B =45.12.在△ABC 中，已知tan B =3,cos C =31,AC =36,求△ABC 的面积 .［答案］ 62+83［解析］ 设在△ABC 中AB 、BC 、CA 的边长分别为c 、a 、b . 由tan B =3,得B ＝60°， ∴sin B =23，cos B =21.又cos C =31,∴sin C =C 2cos 1-＝222.由正弦定理，得c =BC b sin sin =2332263⨯=8.又∵sin A =sin(B+C )=sin B cos C +cos B sin C =63+32,∴S △ABC =21bc sin A =21×36×8×(63+32)=62+83.三、解答题13.在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°，求A 、C 及边c .［解析］ 由正弦定理得，sin A =bB a sin =245sin 3︒⨯＝2223⨯=23，∵a ＞b , ∴A ＞B=45°,∴A 为锐角或钝角（或a sin B ＜b ＜a ），∴A =60°或A =120°，当A =60°时，C =180°-45°-60°=75°， sin75°=sin(45°+30°)=22×23+22×21=426+,c=BC b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=224262　+⨯=226+，当A =120°时，C =180°-45°-120°=15°， sin15°=sin(45°-30°)= 426-,c =BC b sin sin ＝︒︒45sin 15sin 2=224262　-⨯=226-，∴A =60°,C =75°,c ＝226+，或A =120°，C =15°，c =226-. 14.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a =2,C =4π,cos 2B =552，求△ABC 的面积.［解析］ 由题意知cos2B =552, 则cos B =2cos 22B -1=53， ∴B 为锐角,∴sin B =54, sin A =sin(π-B-C ) =sin(53π-B )=1027由正弦定理，得c ＝AC a sin sin =1027222　⨯=710.∴S △ABC =21ac sin B =21×2×710×54=78.15.已知方程x 2-(b cos A )x +a cos B =0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状.［解析］ 设方程的两根为x 1、x 2,由韦达定理得 x 1+x 2=b cos A ,x 1x 2=a cos B ,由题意得b cos A =a cos B ,由正弦定理得2R sin B cos A =2R sin A cos B , sin A cos B -cos A sin B =0. 即sin （A-B ）=0.在△ABC 中，∵A 、B 为其内角，∴0＜A ＜π,0＜B ＜π,-π＜A-B ＜π. ∴A-B =0，即A=B .∴△ABC 为等腰三角形.16.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对应的边为a 、b 、c .且b=a cos C ,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31.（1）判断三角形的形状； （2）求△ABC 的面积.［解析］ （1）因为b=a cos C ,所以由正弦定理得： sin B =sin A cos C , 从而sin(A+C )=sin A cos C , 所以sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C所以cos A sin C =0.由于sin C ≠0.所以cos A =0 所以∠A =3π,所以△ABC 为直角三角形.(2)∵斜边a =12.不妨设∠C 最小，则Cc sin =12,且sin C =31,∴c =4,从而b =22c a -=82, ∴S △ABC =21bc =162.。

总 课 题 解三角形 总课时 第 2 课时 分 课 题正弦定理（二）分课时 第 2 课时教学目标 初步运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 重点难点 正弦定理的应用 引入新课1．在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形3．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin ________________．4．在ABC ∆中，C a b cos =，则ABC ∆是________________三角形．5．在ABC ∆中，计算)sin (sin )sin (sin )sin (sin B A c A C b C B a -+-+-的值．例题剖析例1 如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断ABC ∆的形状．D ACB例2在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：DCBDBD AB =．巩固练习1．根据下列条件，判断ABC ∆的形状： （1）C B A 222sin sin sin =+；（2）B b A a cos cos =．2．已知ABC ∆的外接圆的面积是π4，求CB A cb a sin sin sin ++++的值．3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，要测算出A ，B 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得m BC 78=，︒=∠60B ，︒=∠45C ，试计算AB 的长．课堂小结正弦定理的应用．例3课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．在ABC ∆中，已知2cos sin sin 2AC B =，则ABC ∆的形状是________________． 2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则bc的取值范围是________________． 3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，213)2cos 1)(2cos 1(-=++C A ，则b a 2+________c 2（填不等号）． 4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________． 5．在ABC ∆中，已知)(4122b a S ABC+=∆，求C B A ，，． 6．为了测量校园里旗杆AB 的高度，学生们在D C ，两处测得A 点的仰角分别为︒30和︒45，测得DC 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？二 提高题 7．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？8．在ABC ∆中，A ∠的外角平分线交BC 的延长线于D ，用正弦定理证明：DCBDAC AB =．9．在ABC ∆中，设a BC =，b CA =，c AB =，已知a c c b b a •=•=•， 证明ABC ∆为正三角形．三 能力题 10．在ABC ∆中，已知D 为AB 上一点，α=∠ACD ，β=∠BCD ，BD AD CD •=2，求证：βαsin sin sin sin =B A ．ABC D。

2019-2020学年高中数学 1.1 正弦定理（1）导学案 苏教版必修5 【学习目标】掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．【课前预习】1．如右图，ABC Rt ∆中的边角关系：=A sin _________；=B sin _________；=C sin _________；边=c _________=_________=________．2．任意ABC ∆中的边角关系是否也可以如此？如何证明？3．正弦定理：4．练习：（1）在ABC ∆中，已知14=a ，7=b ，︒=30B ，则=A _________；（2）在ABC ∆中，已知6=a ，︒=45A ，︒=75B ，则=c _________；（3）一个三角形的两个内角分别为︒30和︒45，如果︒45角所对的边长为8，那么︒30角所对的边长是_________；【课堂研讨】例1 证明正弦定理．例2 在ABC ∆中，︒=30A ，︒=135C ，10=a ，求b ，c ．例3 根据下列条件解三角形：（1）26=a ，326=b ，︒=30A ； （2）26=a ，13=b ，︒=30A ．例4利用正弦定理解以下两类斜三角形：（1）已知两角与任一边,求其他两边和一角；（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．仿照正弦定理的证法一，证明C ab S ABC sin 21=∆，并运用此结论解决下面问题： （1）在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=150C ，求ABC S ∆；（2）在ABC ∆中，已知10=c ，︒=45A ，︒=30C ，求b 和ABC S ∆；【学后反思】课题:1.1正弦定理（1）检测案班级： 姓名： 学号： 第 学习小组【课堂检测】1．在ABC ∆中，已知︒=45B ，22=c ，334=b ，则=C __________． 2．在ABC ∆中，已知︒=45A ，︒=75B ，1=c ，则=a __________． 3．在ABC ∆中，已知b a 2=，︒=30B ，则=C __________．4．在ABC ∆中，（1）已知︒=75A ，︒=45B ，23=c ，求a ，b ；（2）已知︒=30A ，︒=120B ，12=b ，求a ，c ．5．根据下列条件解三角形：（1）40=b ，20=c ，︒=45C ； （2）67=b ，14=a ，︒=60B ．【课后巩固】1．在ABC ∆中，（1）已知︒=135A ，︒=15B ，1=c ，求这个三角形的最大边的长；（2）已知︒=30A ，︒=45C ，16=b ，求a ，c ，B ．2．根据下列条件解三角形：（1）6=b ，2=c ，︒=45C ； （2）47=b ，38=c ，︒=110C ；（3）14=a ，67=b ，︒=60B ．。

§1.1 正弦定理 (2)一、学习目标：1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用；2. 探究三角形的面积公式；3.能根据条件判断三角形的形状；4.能根据条件判断某些三角形解的个数。

二、学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。

三、课前预习1.正弦定理：____________________===________3. 正弦定理的几个变形：设△ABC 的外接圆的半径为R ，则有 a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝ .①a b ＝ ，a c ＝ ，bc ＝ .②a ∶b ∶c ＝ ③a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝④a ＝ ，b ＝ ，c ＝⑤sinA ＝ ，sinB ＝ ，sinC ＝ .⑥A<B ⇔ ⇔ ⇔ . 3.在解三角形时，常用的结论（1）sin(A+B)= ，sin(A+C)= ，sin(B+C)= ， ( 2 ) 三角形的面积公式：______________________________________________四、课堂探究题型3三角形形状的判断例3 在△ABC 中，已知2a tanB ＝2b tanA ，试判断△ABC 的形状．规律归纳判断三角形形状的思路通常有以下两种：(1)化边为角；(2)化角为边．对条件实施转化时，考查角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角相等？(3)有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：(1)两边是否相等？(2)三边是否相等？题型4正弦定理与其他知识的综合应用例4 在△ABC 中，tanA ＝14，tanB ＝35.(1)求C 的大小；(2)若△ABC 最大边的边长为17，求最小边的边长．规律归纳在三角形中考查三角函数式的变换，是近年来高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此作为三角形问题，必然要用到三角形的内角和定理和正弦定理及三角形的有关性质进行边角转化，有利于发现解决问题的思路．另外做三角变换，常见的变换方法和公式都是适用的．题型5例5 判断下列三角形解的情况： （1）已知060,12,11===B c b （2）已知0110,3,7===A b a （3）已知045,9,6===B c b五、结论：三角形解的个数一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a , b 和A ），用正弦定理求B 时的各种情况：⑴若A 为锐角时: sin sin ()sin (, )³()a b A a b A b A a b a b <=<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩无解一解直角二解一锐一钝一解锐角，如下图所示：已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA⑵若A为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤一解无解baba1.在ABC∆中，若,60,3︒==Aa那么ABC∆的外接圆的周长为________2.在ABC∆中，若3,600==aA，则_______sinsinsin=++++CBAcba3.在ABC∆中,______,coscos的形状为则ABCBCbc∆=4.在△ABC中，若acosA＝bcosB，判断△ABC的形状．5.已知△ABC中，tanA＝25，tanB＝37，且最长边长为2，求：(1)C的大小；(2)最短边的长．6.ABC∆中，ABBA22sintansintan⋅=⋅，那么ABC∆一定是_______7.ABC∆中，A为锐角，2lgsinlg1lglg-==+Acb，则ABC∆形状为_____七、反思总结1.理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．2.判断三角形的形状的方法。

听课随笔第2课时【学习导航】知识网络正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。

【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===C cB b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，________________.（2）RaA 2sin =，______________，________________.2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==_________=_________（2）s=C B A R sin sin sin 22 （3）Rabcs 4=【精典范例】【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑 解△ＡＢＤ． 【解】【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？ （819.055sin ,766.050sin 0≈≈） 分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；（2）求三角形的高。

【解】【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。

（请用计算器解答，精确到1.0） 【解】注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。

【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、 ∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑a =4，b =5，S =35，求c 的长度。

第 周 周 月 日
备 课 时 间 2016 年 2 月 22 日 上 课时 间
班级 节次
课题
正弦定理（1）
总课时数第 节
教学目标
1．掌握正弦定理，了解其证明方法；2．会初步应用正弦定理解斜三角形
教学重难点1．理解正弦定理的证明方法；2．会初步应用正弦定理解斜三角形
教学参考教材、教参
多 媒 体授课方法
合作探究、讲授
教学辅助手段
专用教室
教
学
二次备课
一、问题情境
1、直角三角形中的边角关系
在△中，设，则，RT ABC 0
90 C sin a A c
= ， =，sin b
B c =sin 1
C =c
c 即：， ， ， 则sin a c A =
sin b c B =sin c
c C
=．sin sin sin a b c
A B C
==对于任意三角形，这个结论还成立吗？
2、阅读书5-6页，了解正弦定理的证明过程
二、建构数学1、正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C
==
2、正弦定理的证明
师生共同经历发现正弦定理的过程
阅读正弦定理的证明
过程
记忆公式
教学二次备课
1】在
C
：边求另两边和一角的问题
、正弦定理：
）已知两边和其中一边的对角求另一边对一角：ABC
课外作业教学小结。