高二数学教案：9.3直线和平面平行与平面和平面平行(2)

直线与平面平行的判定定理教学设计(教案)一、教学目标1. 让学生理解直线与平面平行的概念。

2. 引导学生掌握直线与平面平行的判定定理。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 直线与平面平行的定义。

2. 直线与平面平行的判定定理。

三、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面平行的判定定理及其证明。

2. 教学难点：直线与平面平行的判定定理的证明和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究直线与平面平行的判定定理。

2. 利用几何模型和动画，直观展示直线与平面平行的判定过程。

3. 设计典型例题，培养学生运用判定定理解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考直线与平面之间的关系。

2. 讲解直线与平面平行的定义，让学生明确直线与平面平行的概念。

3. 引导学生探究直线与平面平行的判定定理，讲解定理的证明过程。

4. 利用几何模型和动画，直观展示直线与平面平行的判定过程，加深学生理解。

5. 设计典型例题，引导学生运用判定定理解决问题，巩固所学知识。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

7. 布置作业：布置一些有关直线与平面平行的判定定理的练习题，巩固所学知识。

这五个章节的内容是教案的核心部分，后续的章节可以根据这五个章节的内容进行扩展和延伸。

希望这个教案能对你有所帮助！六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对直线与平面平行判定定理的理解程度。

2. 作业批改：检查学生作业，了解学生对直线与平面平行判定定理的掌握情况。

3. 课堂练习：设计一些有关直线与平面平行的判定定理的练习题，让学生当堂练习，及时了解学生学习效果。

七、教学策略的调整1. 根据学生掌握情况，对直线与平面平行判定定理的讲解进行调整，使之更易于学生理解。

2. 对于学习有困难的学生，提供个别辅导，帮助他们理解直线与平面平行的判定定理。

3. 对于理解较深刻的学生，提供一些拓展性的问题，激发他们的思维。

直线与平面平行教案一、教学目标：1.呈现空间几何知识的几何图形和概念；2.让学生通过分析和比较理解直线和平面平行的概念和性质；3.培养学生良好的几何观察、分析和推理能力；4.激发学生对几何知识学习的兴趣和热情。

二、教学重点：2.直线和平面平行的判定方法。

四、教学过程：1.导入（5分钟）（1）教师请学生回忆上节课所学知识；（2）教师简单介绍本节课的学习内容和目标。

（1）教师呈现几何图形和概念，说明直线和平面平行的概念和性质；（2）教师同时强调平行的概念不是绝对的，而是在一定条件下成立。

3.教学讨论（20分钟）（1）教师提供一组几何图形（如两条直线和一个平面），让学生尝试分析并讨论它们是否平行，为什么或为什么不平行，以及它们平行的条件和性质；（2）教师引导学生发现直线和平面平行的特殊情况，即期中心，进而深入讨论平行的判定方法。

4.练习与巩固（20分钟）（1）学生自主练习几何图形的判定和推理；（2）教师提供一些练习题，让学生分组竞赛，进行角逐。

（1）教师对本节课所学内容作出总结，加深学生对知识点的理解和记忆；（2）教师与学生一起反思本节课的学习过程，找出自己的不足和改进方法。

五、教学方法：1.情境引导法：通过情境设计引导学生自主探究知识点。

2.情景模拟法：设计具体实例模拟学生实际生活中的几何情境。

3.归纳法：通过学生的思考和讨论，概括出直线和平面平行的定义和性质。

4.竞赛法：通过竞赛形式激发学生的学习兴趣和热情，提高学习积极性。

六、教学资源：1.黑板、彩色粉笔、橡皮擦等教学工具；2.提供不同形态的图形作为教学样例。

七、教学评估：1.课堂急速问答：通过设计简洁明了的问题，引导学生迅速回答。

2.课后作业：按照学生不同水平设置不同的课后作业，加深巩固学生所学知识点。

3.考试测试：定期测验学生掌握情况，反馈教学效果。

直线与平面平行判定教学设计直线与平面平行的判定一、教材分析直线和平面平行额判定是高中数学必修课第二册第一章第三节的内容，本章的前两节的内容是分别介绍了平面的基本的性质和空间的平行直线与异面直线，因此我们在学习了这些基本的知识之后，从而来进一步的研究直线与平面之间的关系。

直线与平面的问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。

通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，是学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理的能力。

二、学情分析由于学生在初中已学习了平面上两直线平行的各种判定办法，但由于时间长了，也需要再作一些必要的复习。

通过对两条直线的平行的判定的复习，让学生从中获得一些关于直线与平面平行的知识。

线面平行来转换成线线平行这样的转换思想也是学生首次接触的，应该加以必要的强化与引导。

让学生的对抽象概括的能力以及推理论证的能力得以提高。

三、教学目标1.知识能力的目标（1）直观感知、操作确认，归纳概括出判定定理，对判定定理的构成要素及其关系有较清晰的认识，能用三种语言对判定定理进行表述。

初步掌握利用线面平行判定定理证明线面平行的一般步骤。

（2）使学生进一步了解平行的判定方法，学会准确地使用数学语言表述集合对象的位置关系，并运用判定定理解决一些简单的直线和平面平行的推理论证。

2.过程方法目标（1）通过观察、思考、探究等提出问题，以问题引导学生思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间抽象出几何图形和几何问题的过程，发展学生的空间观念、几何直觉(即把握图形的能力)与一定的归纳概括能力;（2）学习和证明问题的过程在想想、猜猜、证证的过程中完成.培养学生先猜后证，运用合情推理去猜想，再运用逻辑推理去证明的推理论证能力.进一步理解掌握化归与转化思想。

懂得将立体问题平面化、线面问题线线化）3.情感态度价值观目标（1）通过数学思辨和推理过程培养学生说理、批判、质疑的严谨风格和理性精神；（2）领会数学科学的应用价值，激发学生的数学学习兴趣.四、教学重点、教学难点教学重点：判定定理的引入与理解。

2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．( )(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．( )(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．( )(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．( )【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2 平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用如图2­2­15，四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2­2­15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2­2­16，在三棱柱ABC­A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE.1求证：AA1∥EE1.图2­2­16【证明】在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用如图2­2­17，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2­2­17(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴PAAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD＝PC＋CD＝27 4.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2­2­18，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．图2­2­18【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN∥C1M且AN＝C1M，又C1M＝12A1C1，A1C1＝AC，所以AN＝12AC，所以N为AC的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 应用线面平行性质定理有什么技巧？【提示】应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2 面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3 你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2­2­19，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C 上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2­2­19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2­2­20，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线1EE∥平面FCC1.1图2­2­20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD­A 1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是( )图2­2­21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE ∥C 1F ，由线面平行的判定定理，可得AE ∥平面BC 1F .故选D.【答案】 D2．如图2­2­22，四棱锥P ­ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面PAD ，则( )图2­2­22 A ．MN ∥PD B ．MN ∥PA C ．MN ∥AD D ．以上均有可能B [∵MN ∥平面PAD ，平面PAC ∩平面PAD ＝PA ，MN ⊂平面PAC ，∴MN ∥PA .] 3．已知直线l ∥平面α，l ⊂平面β，α∩β＝m ，则直线l ，m 的位置关系是________.【解析】 由直线与平面平行的性质定理知l ∥m . 【答案】 平行4．过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________．【解析】 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.【答案】 125．如图2­2­23，α∩β＝CD ，α∩γ＝EF ，β∩γ＝AB ，AB ∥α.求证：CD ∥EF .图2­2­23【证明】 因为AB ∥α，AB ⊂β，α∩β＝CD ，所以AB ∥CD . 同理可证AB ∥EF ， 所以CD ∥EF .学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是( )A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2­2­24，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是( )图2­2­24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C( )A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2­2­25，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F 在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2­2­25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2­2­26所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E ，F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.图2­2­26【解析】 EF 可看成直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8. 又EF BC ＝AF AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32. 【答案】 32三、解答题8．如图2­2­27所示，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 为梯形．图2­2­27【证明】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面APD ，BC ⊄平面APD ，∴BC ∥平面APD .又平面BCFE ∩平面APD ＝EF ，∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF .又E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC .∴四边形BCFE 是梯形．9．如图2­2­28，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB，求证：MN ∥平面SBC .图2­2­28【证明】 在AB 上取一点P ，使APBP ＝AM SM，连接MP ，NP ，则MP ∥SB . ∵SB ⊂平面SBC ，MP ⊄平面SBC ，∴MP ∥平面SBC .又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是( )A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1) 图(2) 图(3)【答案】 C11．如图2­2­29，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2­2­29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。

高中数学直线与平面的教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握直线和平面的性质与相关定理，能够应用相应知识解决问题。

2. 过程与方法：培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勤奋好学的品质。

二、教学重点与难点：1. 理解直线与平面的定义与性质。

2. 掌握直线与平面相关定理的应用。

三、教学内容：1. 直线的定义与性质：直线的概念、直线的性质、平行线的判定、直线的倾斜度等。

2. 平面的定义与性质：平面的概念、平面的性质、平行平面的判定、平面与直线的关系等。

四、教学方法：1. 讲授法：通过教师讲解直线与平面的定义、性质和相关定理进行知识传授。

2. 练习法：通过给学生一些直线与平面的练习题，让学生巩固所学知识。

3. 实验法：通过实验让学生观察直线与平面的性质，从实践中学习。

五、教学过程：1. 直线与平面的定义与性质的讲解。

2. 直线与平面相关定理的讲解与应用。

3. 练习题的讲解和课堂练习。

4. 教师对学生进行针对性的辅导和答疑。

六、教学资源：1. 教科书：《高中数学》等相关教材。

2. 多媒体课件：通过PPT等多媒体工具展示直线与平面的相关知识。

七、教学评估：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的表现，包括回答问题、参与讨论等。

2. 练习题评价：对学生的课后练习进行评价，检测学生对知识的掌握程度。

3. 测试评价：进行小测验或考试来评价学生对直线与平面知识的掌握情况。

八、教学后记：通过这节课的教学，学生对直线与平面的概念与性质有了更深的理解，能够运用相关知识解决问题。

同时，激发了学生对数学学习的兴趣，提高了他们的学习积极性和自信心。

高中数学教案《直线与平面平行的性质》一、教学目标：1. 让学生理解直线与平面平行的概念及其性质。

2. 培养学生运用直线与平面平行的性质解决实际问题的能力。

3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 直线与平面平行的定义。

2. 直线与平面平行的性质定理。

3. 直线与平面平行的判定定理。

4. 直线与平面平行的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面平行的性质定理及其应用。

2. 教学难点：直线与平面平行的判定定理的理解与运用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究直线与平面平行的性质。

2. 利用多媒体动画演示，帮助学生直观理解直线与平面平行的概念。

3. 运用案例分析法，让学生在实际问题中运用直线与平面平行的性质。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习平面几何中的相关知识，引出直线与平面平行的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究直线与平面平行的性质定理。

3. 合作交流：分组讨论，引导学生总结直线与平面平行的判定定理。

4. 案例分析：分析实际问题，运用直线与平面平行的性质解决问题。

5. 总结提升：对本节课的内容进行归纳总结，强化学生对直线与平面平行性质的理解。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对直线与平面平行性质的理解程度。

2. 注重考查学生在实际问题中运用直线与平面平行性质的能力。

3. 评价学生的空间想象能力、逻辑思维能力和团队合作精神。

七、教学准备：1. 准备多媒体教学课件，包括直线与平面平行的动画演示和案例分析。

2. 准备相关的练习题和作业，涵盖各种难度层次。

3. 准备教学用具，如黑板、粉笔等。

八、教学拓展：1. 探讨直线与平面平行的性质在现实生活中的应用，如建筑设计、立体几何模型制作等。

2. 介绍直线与平面平行性质在高等教育中的进一步应用，如线性代数、空间解析几何等。

3. 鼓励学生参加数学竞赛和相关兴趣小组，提高学生的数学素养。

高中数学直线与平面教案课题：直线与平面目标：学生能够理解直线与平面的相关概念，并能够运用相关知识解决问题。

教学重点：直线与平面的定义、相交关系、平行关系等概念。

教学难点：解决直线与平面相交、平行问题。

教学准备：教材、板书、实物模型、图片等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾上节课内容，复习直线与平面的相关知识点。

2. 提出问题：直线与平面有哪些相交方式？平行情况又是如何？二、讲解与示范（15分钟）1. 讲解直线与平面的定义及相关概念。

2. 通过实物模型或图片展示直线与平面的相交关系、平行关系。

3. 示范如何判断直线与平面的相交、平行关系，并解决相关问题。

三、练习与讨论（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成并相互讨论。

2. 带领学生讨论解题思路，解答疑惑。

3. 鼓励学生自主思考，尝试不同方法解决问题。

四、总结（5分钟）1. 归纳本节课的重点知识，强化学生的记忆。

2. 回顾学生在练习中的表现，点评优点与不足之处。

3. 鼓励学生在课后继续练习，巩固所学知识。

板书设计：直线与平面1. 定义：直线是由无限多个点组成的集合，平面是由无限多个直线上的点组成的集合。

2. 相交情况：a. 直线与平面相交于一点。

b. 直线在平面上。

c. 直线与平面平行。

3. 平行情况：a. 直线与平面平行。

b. 直线与平面垂直。

扩展延伸：让学生自己设计直线与平面的相关问题，并尝试解决。

教学反思：在讲解中要注重与学生互动，引导他们思考和讨论，从而更好地理解和掌握直线与平面的知识。

同时，要注重巩固基础知识，为进一步学习打下坚实的基础。

直线和平面平行教案一、素质教育目标（一）知识教学点1．直线和平面平行的定义．2．直线和平面的三种位置关系及相应的图形画法与记法．3．直线和平面平行的判定．（二）能力训练点1．理解并掌握直线和平面平行的定义．2．掌握直线和平面的三种位置关系，体现了分类的思想．3．通过对比的方法，使学生掌握直线和平面的各种位置关系的图形的画法，进一步培养学生的空间想象能力．4．掌握直线和平面平行的判定定理的证明，证明用的是反证法和空间直线与平面的位置关系，进一步培养学生严格的逻辑思维。

除此之外，还要会灵活运用直线和平面的判定定理，把线面平行转化为线线平行．（三）德育渗透点让学生认识到研究直线与平面的位置关系及直线与平面平行是实际生产的需要，充分体现了理论来源于实践，并应用于实践．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：直线与平面的位置关系；直线与平面平行的判定定理．2．教学难点：掌握直线与平面平行的判定定理的证明及应用．3．教学疑点：除直线在平面内的情形外，空间的直线和平面，不平行就相交，课本中用记号a≮α统一表示a‖α，a∩α=A两种情形，统称直线a在平面α外．三、课时安排1.7直线和平面的位置关系与1.8直线和平面平行的判定与性质这两个课题安排为2课时．本节课为第一课时，讲解直线和平面的三种位置关系及直线和平面平行的判定定理．四、教与学过程设计（一）直线和平面的位置关系．师：前面我们已经研究了空间两条直线的位置关系，今天我们开始研究空间直线和平面的位置关系．直线和平面的位置关系有几种呢？我们来观察：黑板上的一条直线在黑板面内；两墙面的相交线和地面只相交于一点；墙面和天花板的相交线和地面没有公共点，等等．如果把这些实物作出抽象，如把“墙面”、“天花板”等想象成“水平的平面”，把“相交线”等想象成“水平的直线”，那么上面这些关系其实就是直线和平面的位置关系，有几种，分别是什么？生：直线和平面的位置关系有三种：直线在平面内；直线和平面相交；直线和平面平行．师：什么是直线和平面平行？生：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行．师：直线和平面的位置关系是否只有这三种？为什么？生：只有这三种情况，这可以从直线和平面有无公共点来进一步验证：若直线和平面没有公共点，说明直线和平面平行；若直线和平面有且只有一个公共点，说明直线和平面相交；若直线和平面有两个或两个以上的公共点，根据公理1，说明这条直线在平面内．师：为了与“直线在平面内”区别，我们把直线和平面相交或平行的情况统称为“直线在平面外”，归纳如下：直线在平面内——有无数个公共点．师：如何画出表示直线和平面的三种位置关系的图形呢？生：直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内，直线不要超出表示平面的平行四边形的各条边；直线a与平面α相交，交点到水平线这一段是不可见的，注意画成虚线或不画；直线a与平面α平行，直线要与表示平面的平行四边形的一组对边平行．如图1-57：注意，如图1-58画法就不明显我们不提倡这种画法．下面请同学们完成P.19．练习1．1．观察图中的吊桥，说出立柱和桥面、水面，铁轨和桥面、水面的位置关系：（图见课本）答：立柱和桥面、水面都相交；铁轨在桥面内，铁轨与水面平行．（二）直线和平面平行的判定师：直线和平面平行的判定不仅可以根据定义，一般用反证法，还有以下的方法．我们先来观察：门框的对边是平行的，如图1-59，a∥b，当门扇绕着一边a转动时，另一边b始终与门扇不会有公共点，即b平行于门扇．由此我们得到：直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．求证：a∥α．师提示：要证明直线与平面平行，只有根据定义，用反证法，并结合空间直线和平面的位置关系来证明．∴ a∥α或 a∩α＝A．下面证明a∩α＝A不可能．假设a∩α＝A∵a∥b，在平面α内过点A作直线c∥b．根据公理4，a∥c．这和a∩c＝A矛盾，所以a∩α＝A不可能．∴a∥α．师：从上面的判定定理可以知道，今后要证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和已知直线平行，就可断定这条已知直线必和这个平面平行，即可由线线平行推得线面平行．下面请同学们完成例题和练习．（三）练习例1 空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．求证：EF∥平面BCD．师提示：根据直线与平面平行的判定定理，要证明EF∥平面BCD，只要在平面BCD内找一直线与EF平行即可，很明显原平面BCD内的直线BD∥EF．证明：连结BD．性，这三个条件是证明直线和平面平行的条件，缺一不可．练习（P.22练习1、2．）1．使一块矩形木板ABCD的一边AB紧靠桌面α，并绕AB转动，AB的对边CD在各个位置时，是不是都和桌面α平行？为什么？（模型演示）答：不是．2．长方体的各个面都是矩形，说明长方体每一个面的各边及对角线为什么都和相对的面平行？（模型演示）答：因为长方体每一个面的对边及对角线都和相对的面内的对应部分平行，所以，它们都和相对的面平行．（四）总结这节课我们学习了直线和平面的三种位置关系及直线和平面平行的两种判定方法．学习直线和平面平行的判定定理，关键是要会把线面平行转化为线线平行来解题．五、作业P.22中习题三1、2、3、4．六、板书设计一、直线和平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．直线在平面外二、直线和平面平行的判定1．根据定义：一般用反证法．2．根据判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．直线和平面的位置关系：直线和平面平行的判定定理求证：a∥α例：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．求证：EF∥平面BCD．七、参考资料《立体几何全一册》教学参考书《三点一测丛书》高一数学§1．8 直线和平面平行的判定与性质（二）一、素质教育目标（一）知识教学点直线和平面平行的性质定理．（二）能力训练点用转化的方法掌握应用直线与平面平行的性质定理，即由线面平行可推得线线平行．（三）德育渗透点让学生认识到研究直线和平面平行的性质定理是实际生产的需要，充分体现了理论联系实际的原则．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：直线和平面平行的性质定理．2．教学难点：直线和平面平行的性质定理的证明及应用．理4，平面α内与b平行的所有直线都与a平行（有无数条）．否则，都与a是异面直线．三、课时安排1．7直线和平面的位置关系和1．8直线和平面平行的判定与性质这两个课题安排为2课时，本节课为第二课时，讲解直线和平面平行的性质定理．四、教与学过程设计（一）复习直线和平面的位置关系及直线和平面平行的判定（幻灯显示）师：直线和平面的位置关系有哪几种？生：有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．直线与平面相交或平行统称为直线在平面外．直线在平面内，说明直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交，说明直线与平面只有1个公共点；直线与平面平行，说明直线与平面没有公共点．师：直线和平面的判定方法有哪几种？生：两种．第一种根据定义来判定，一般用反证法．第二种根据判定定理来判定：只要在平面内找出一条直线和已知直α，a∥b，则a∥α．（二）直线和平面平行的性质师：命题“若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的一切直线．”对吗？（幻灯显示）生：不对．师：为什么不对？（出示教具演示）平行的所有直线（为b′，b″）都与a平行（有无数条），否则，都与a 是异面直线．师：在上面的论述中，平面α内的直线b满足什么条件时，可以与直线a 平行呢？我们有下面的性质．直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．求证：a∥b．师提示：要证明同一平面β内的两条直线a、b平行，可用反证法，也可用直接证法．证明：（一）反证法．假设直线a不平行于直线b．∴直线a与直线b相交，假设交点为O，则a∩b＝O．∴a∩α＝O，这与“a∥α”矛盾．∴a∥b．（二）直接证法∵a∥α，∴a与α没有公共点．∴a与b没有公共点．a和b同在平面β内，又没有公共点，∴a∥b．下面请同学们完成例题与练习．（三）练习例2 有一块木料如图1-65，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？解：（1）∵BC∥面A′C′，面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′，∴BC∥B′C′．经过点P，在面A′C′上画线段EF∥B′C′，由公理4，得：EF∥BC．的线．（2）∵EF∥BC，根据判定定理，则EF∥面AC；BE、CF显然都和面AC相交．总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行．练习：（P．22中练习3）在例题的图中，如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？∥面BC′．同理AD∥面BF．又因为BC∥面A′C′，过BC的面EC与面A′C′交于EF，（四）总结本节课我们复习了直线和平面平行的判定，学习了直线和平面平行的性质定理．性质定理的实质是线面平行，过已知直线作一平面和已知直线都与已知直线平行．五、作业P．22—23中习题三5、6、7、8．六、板书设计直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．性质定理的证明：求证：a∥b．例：有一块木料，已知棱BC平行于面A′C′，要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？练习：在例中，若AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系，为什么？§1．9 直线和平面垂直的判定与性质（一）一、素质教育目标（一）知识教学点1．直线和平面垂直的定义及相关概念．2．直线和平面垂直的判定定理．3．线线平行的性质定理（即例题1）．（二）能力训练点1．要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加．2．讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系．如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用．（三）德育渗透点引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点（1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直．（2）掌握直线和平面垂直的判定定理：（3）掌握线线平行的性质定理：若a∥b，a⊥α则b⊥α．2．教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题．3．教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时．四、学生活动设计（略）五、教学步骤（一）温故知新，引入课题1．空间两条直线有哪几种位置关系？（三种：相交直线、平行直线、异面直线）2．经过一点和一条直线垂直的直线有几条？（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）3．空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）4．怎样判定直线和平面平行？师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系．今天我们转入学习直线和平面相交的一种特殊情形——直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手．（板书课题：§1．9直线和平面垂直）（二）猜想推测，激发兴趣1．教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．2．指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．3．说明直线和平面垂直的画法及表示．师：要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）（三）层层推进，证明定理指导学生写出已知条件和结论，并画出图形如右：求证：l⊥α师：你如何证明直线和平面垂直呢？生：根据直线和平面垂直的概念，只需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．师：设g是平面α内的任意一条直线，现在只要证明l⊥α就可以了．对于平面α内不经过点B的直线，可以过点B作它的平行直线，所以，我们先证明l，g都经过点B的情况．（生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示．）1．l、g是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l上点B的两侧分别取点A，A′，使AB＝A′B．2．直线m、n和线段AA′是什么关系？（m、n垂直平分AA′）3．从结论看，直线g与线段AA′应当有什么关系？（g垂直平分AA′）4．怎样证明直线g垂直平分线段AA′？（只要g上一点E，有EA＝EA′）5．过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？（利用全等三角形性质）（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）参看右图并作如下说明：1．当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．2．如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．4．强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．（1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．（2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．（四）初步运用，提高能力例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．已知：a∥b，a⊥α（如图1-68）．求证：b⊥α，要证明：b⊥α，根据判定定理，只要证明在平面α内有两条相交直线m、n 与b垂直即可．证明：在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n＝A．说明：1．本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．2．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．练习（课后练习2）求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．已知：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA．求证：OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB．证明：（以证明OA⊥平面BOC为例，目的是强化书写格式）（五）归纳小结，强化思想师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面α，那么l就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路．六、作业作为一般要求，完成习题四1、2、3、4．提高要求，完成以下两个补充练习：1．如图1-70，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有[ ]A、AH⊥△EFH 所在平面B、AD⊥△EFH所在平面C、HF⊥△AEF所在平面D、HD⊥△AEF所在平面答案：选择（A）∵AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥平面EFH．讲评作业时说明：应用折叠不变性设计的本题，目的是用于培养学生的空间想象能力和“转化”思想方法；折叠问题要注意应用折叠前、后平面图和立体图中，各个元素间大小和位置关系不变的量．2．如图1-71，MN是异面直线a、b的公垂线，平面α平行于a和b，求证：MN⊥平面α．证明：过相交直线a和MN作平面β，设α∩β=a′，∵a∥α．∴ a∥a′∵ MN是a、b的公垂线，∴MN⊥a，于是MN⊥a′．同样过相交直线b和MN作平面γ，设α∩γ＝b′，则可得MN⊥b′．∵a′、b′是α内两条相交直线，∴MN⊥α．七、板书设计（板书1）1．9 直线和平面垂直的判定与性质（一）1．定义2．画法3．表示直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α（板书2）§1．9 直线和平面垂直的判定与性质（一）1．定义2．画法3．表示直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．证明：在平面α内作两条相交直线m、n，设m∩n=A例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条垂直于同一个平面．已知： a∥b， a⊥α求证：b⊥α（板书3）§1．9 直线和平面垂直的判定与性质（一）1．定义2．画法3．表示直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．证明：以证明OA⊥平面BOC为例求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．已知：OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA．求证：OA⊥平面BOC，OB⊥平面AOC，OC⊥平面AOB§1．9 直线和平面垂直的判定与性质（二）一、素质教育目标（一）知识教学点1．直线和平面垂直的性质定理．2．点到平面的距离．3．直线和平面的距离．（二）能力训练点1．掌握直线和平面垂直的性质定理，并能应用它们灵活解题．2．掌握用反证法证明命题．（三）德育渗透点通过例题2的学习向学生渗透转化的思想和化归的解题意识．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：（1）掌握直线和平面垂直的性质定理：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．（2）掌握点到平面的距离及一条直线和一个平面平行时这条直线和平面的距离的定义．2．教学难点：性质定理证明中反证法的学习和掌握，应让学生明确，对于一些条件简单而结论复杂的命题，可考虑使用反证法．3．教学疑点：设计一个综合题，引导学生思考点到平面的距离和直线到平面的距离问题的互化．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第二课时．四、学生活动设计（常规活动，略）五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：上节课，我们学习了直线和平面垂直的定义和判定定理，请两个同学来叙述一下定义和判定定理的内容．生（甲）：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这两条直线和这个平面互相垂直．生（乙）：直线和平面垂直的判定定理是：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（板书如右）师：利用判定定理我们还证明了线线平行的性质定理（即例题1），也请一个同学叙述一下．生（丙）：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．（板书）若a∥b，a⊥α则b⊥α．师：这个用黑体字写成的例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理，现在请同学们改变这个定理的题设和结论，写出它的逆命题．生：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．师：下面就让我们看看这个命题是否正确？（二）猜想推测，激发兴趣教师写出已知条件并画出图形，作探讨性证明已知：a⊥α， b⊥α（如图1-73）求证：a∥b．分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．师：您知道用反证法证明命题的一般步骤吗？生：否定结论→推出矛盾→肯定结论师：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1（线线平行定理），在这个定理的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．（三）层层推进，证明定理证明：假定b与a不平行设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，∵ a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α是不可能的．因此，a∥b．由此，我们得到：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．师：这就是直线和平面垂直的性质定理；师：学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：。

课题：9．3直线与平面平行、平面与平面平行(二)教学目的：1.掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义；2.掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化教学重点：两个平面平行的判定定理、性质定理教学难点：两个平面平行的判定定理、性质定理的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．aα⊂，a Aα=，//aα．aαaα2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m lααα⊄⊂⇒．证明：假设直线l不平行与平面α，∵lα⊄，∴l Pα=，若P m∈，则和//l m矛盾，若P m∉，则l和m 成异面直线，也和//lm矛盾，∴//lα．3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l mαβαβ⊂=⇒．βαml证明：∵//l α，∴l 和α没有公共点， 又∵m α⊂，∴l 和m 没有公共点；即l 和m 都在β内，且没有公共点，∴//l m ．二、讲解新课：1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行． 推理模式：：a β⊂，b β⊂，ab P =，//a α，//b α//βα⇒．分析:这个定理从正面证(用定义)比较困难,所以考虑用反证法. 启发:(1)如果平面α和平面β不平行,那么它们的位置关系怎样?(2)如果平面α和平面β相交,那么交线c 和平面β中的直线a 与b 各有怎样的位置关系?(3)相交直线a 与b 都与交线c 平行,这合理吗?为什么? 证明：假设c βα=，∵a β⊂，//a α， ∴//a c ，同理//b c ．即在平面β内过点P 有两条直线与c 平行，与公理4矛盾， ∴假设不成立，∴//βα．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒．4．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 推理模式：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒．cPbaβαγbaβα证明：∵//,,a b αβαβ⊂⊂，∴,a b 没有公共点， 又∵,a b γγ⊂⊂，∴//a b ．同理可得面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．推理模式：//,//a a αβαβ⊂⇒． 三、讲解范例：例1 已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a , 求证:α∥β分析:线面平行 ⇔ 线线平行 ⇔ 线面平行 ⇔ 面面平行 证明:过a 作平面γ,使'a =⋂βγ ∵a ∥β,a ⊂γ,'a =⋂βγ,∴a ∥'a 又∵'a ⊄α,a ⊂α,∴'a ∥α且b ∥α又a 、b 异面,∴'a 与b 必相交,∴α∥β. 例2．夹在两个平行平面间的两条平行线段相等． 已知：//αβ，,AB CD 是夹在两个平行平面,αβ间的平行线段，求证：AB CD =．证明：∵//AB CD ，∴ ,AB CD 确定平面AC ， ∴平面ACAD α=，平面AC BC β=，∴//AD BC ，四边形ABCD 是平行四边形．∴AB CD =． 例3．若//αβ，//βγ，则//αγ． 证明：在平面α内取两条相交直线,a b ，分别过,a b 作平面,ϕδ，使它们分别与平面β交于两相交直线,a b ''，bβ αaDCBAβααβγ ba ' a ''ab ' b ''∵//αβ，∴//,//a a b b ''，又∵//βγ，同理在平面γ内存在两相交直线,a b ''''， 使得//,//a a b b ''''''， ∴//,//a a b b ''''， ∴//αγ．例4 有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′．要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC 有什么关系？ 解：（1）∵BC ∥面A ′C ′，面BC ′经过BC 和面A ′C ′交于B ′C ′， ∴BC ∥B ′C ′．经过点P ，在面A ′C ′上画线段EF ∥B ′C ′， 由公理4，得：EF ∥BC ．∴EF ⊂面BF,B ⊂面BF.连结BE 和CF. BE,CF 和EF 就是所要画的线.（2）∵EF ∥BC ，根据判定定理，则EF ∥面AC ；BE 、CF 显然都和面AC 相交． 总结：解题时，应用直线和平面平行的性质定理，要注意把线面平行转化为线线平行．四、课堂练习：1在例题4的图中，如果AD ∥BC ，BC ∥面A ′C ′，那么，AD 和面BC ′、面BF 、面A ′C ′都有怎样的位置关系．为什么？答：因为AD ∥BC,BC ⊂面BC ′，AD ⊄面BC ′，所以AD ∥面BC ′ 同理AD ∥面BF ．又因为BC ∥面A ′C ′，过BC 的面EC 与面A ′C ′交于EF ，所以EF ∥BC,又BC ∥AD,所以AD ∥EF.因此EF ⊂面A ′C ′,AD ⊄⊂面A ′C ′ 得AD ∥⊂面A ′C ′.五、小结 ：1．面面平行的判定和性质；2．灵活地实现“面面”、“线面”、“线线”平行间的转换 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：。

aαaα直线和平面平行一、课题：直线和平面平行二、教学目标：1．掌握空间直线和平面的位置关系；2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化。

三、教学重点、难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用．四、教学过程：（一）复习：1．公理1 ．2．异面直线的概念、判定定理、所成角的概念及其范围．（二）新课讲解：1．直线和平面的位置关系．观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．，a Aα=，//aα．2．线面平行的判定．定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m lααα⊄⊂⇒．证明：假设直线l不平行与平面α，∵lα⊄，∴l Pα=，若P m∈，则和//l m矛盾，若P m∉，则l和m成异面直线，也和//l m矛盾，∴//lα．3．线面平行的性质．定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l mαβαβ⊂=⇒．证明：∵//lα，∴l和α没有公共点，又∵mα⊂，∴l和m没有公共点；即l和m都在β内，且没有公共点，∴//l m．例1已知：空间四边形ABCD中，,E F分别是,AB AD的中点，求证：//EF BCD平面．证明：连结BD，在ABD∆中，βαmlFEDBAαβmlPδγβα_b _acd∵,E F 分别是,AB AD 的中点，∴//EF BD ，EF BCD ⊄平面，BD BCD ⊂平面，∴//EF BCD 平面．例2 求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内． 已知：//,,,//l P P m m l αα∈∈，求证：m α⊂． 证明：设l 与P 确定平面为β，且m αβ'=，∵//l α，∴//l m '；又∵//l m ，,m m '都经过点P ， ∴,m m '重合，∴m α⊂．例3 已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b，求证//a b ．证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，∵a ∥平面α，a ∥平面β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ，又∵d ⊂平面β，c ∉平面β，∴c ∥平面β，又c ⊂平面α，平面α∩平面β=b ，∴c ∥b ，又∵a ∥c ，所以，a ∥b ．五、课堂练习：课本17P 练习1，2，3，4．六、小结：“线线”与“线面”平行关系：一条直线和已知平面平行，当且仅当这条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线．七、作业： 课本17P 练习5，习题9.3第3，5，6．补充： 1．设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111A B C D 如图：（1）证明：//PQ 平面11AA B B ；（2）求线段PQ 的长。