用一元二次方程解决问题1仇稳稳

一元二次等式恒成立问题
简介：
一元二次等式恒成立问题是指对于一元二次方程，是否存在特定的系数使得该方程对于任意实数x都成立。

本文将探讨该问题，并提供简单的解决策略。

问题分析：
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为系数，我们要确定是否存在特定的a、b、c使得该方程对于任意实数x都成立。

解决策略：
简单的策略是通过观察方程的特性来判断是否恒等成立。

以下为一些常见的策略：
1. 平方差公式：
如果一元二次方程的解满足平方差公式，即存在实数α和β，使得(a-b)^2 = (x-α)(x-β)，那么该方程对于任意实数x都恒成立。

2. 完全平方：
如果一元二次方程可以表示为某个二次多项式的完全平方形式，即存在实数α，使得ax^2 + bx + c = a(x-α)^2，那么该方程对于任意
实数x都恒成立。

3. 恒等方程：
如果一元二次方程恒等于0，即a = 0，b = 0，c = 0，那么该方
程对于任意实数x都恒成立。

需要注意的是，以上策略是简单的解决方案。

对于复杂的一元
二次方程，可能需要使用更深入的数学知识和方法进行推导和证明。

结论：
一元二次等式不一定恒成立，但可以通过观察和特定的系数来
判断是否恒成立。

上述的解决策略可以作为初步的判断方法，但对
于较为复杂的方程，可能需要使用更复杂的数学方法来进行证明和
解答。

参考文献：
[1] 汤家凤, 苏新宇. 初等数学——全日制高师数学. 清华大学出版社, 2008.
[2] 高中数学论文写作指导. 数学与数学教育, 2009(4): 58-59.。

用一元二次方程解决问题
摘要：
一、一元二次方程的概述
二、一元二次方程的解法
三、一元二次方程在实际问题中的应用
四、结论
正文：
一、一元二次方程的概述
一元二次方程是指形如ax+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 是已知数，且a≠0。

在这个方程中，我们需要求解的是x 的值。

根据二次方程的求解公式，我们可以得到方程的两个解，分别是x1 和x2。

二、一元二次方程的解法
求解一元二次方程的通用公式为：
x1,2 = (-b ± √(b-4ac)) / 2a
根据这个公式，我们可以求解出方程的两个解。

在实际应用中，我们需要根据题目所给的条件和要求，选择合适的解法。

三、一元二次方程在实际问题中的应用
1.求解增长率问题
假设一家公司年初投入100 万元，每年的增长率为x，两年后，该公司的资产总额为121 万元。

我们可以通过一元二次方程来求解增长率x。

根据题意，我们可以列出如下方程：
100(1+x) = 121
通过解这个方程，我们可以得到增长率x 的值。

2.求解利润问题
假设一家商店购进一批商品，总价为1000 元，售价为每件20 元，如果每件商品的进价为x 元，那么当售出50 件时，商店的利润为800 元。

我们可以通过一元二次方程来求解进价x。

根据题意，我们可以列出如下方程：(20-x)×50 = 800
通过解这个方程，我们可以得到进价x 的值。

四、结论
一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用，通过熟练掌握一元二次方程的解法，我们可以有效地解决实际问题。

用一元二次方程解决实际问题(一)用一元二次方程解决实际问题什么是一元二次方程？•一元二次方程是指只包含一个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0。

•其中，a、b和c是已知的实数系数，而x代表未知数。

一元二次方程的应用领域一元二次方程常常用于解决实际问题，下面是几个相关问题的例子：问题1：抛物线的顶点坐标•给定一个抛物线方程y = ax^2 + bx + c，如何求出其顶点坐标？•解答：假设抛物线的顶点坐标为(x0, y0)。

通过求导，我们可以得到x0 = -b/2a。

将x0代入方程，即可求出y0 = a(x0)^2 +bx0 + c。

问题2：计算物体的运动轨迹•当一个物体在水平方向上以恒定速度v运动，同时受到一个向下的加速度g，如何确定它的运动轨迹方程？•解答：设物体在时间t后的位置为y。

根据运动学公式，可以得到y = -^2 + vt + h，其中h为物体的初始高度。

将该方程与一元二次方程的形式对比，可以得到a = -，b = v，c = h。

问题3：计算图形的面积和周长•给定一个由抛物线方程y = ax^2 + bx + c所表示的曲线段，如何计算该曲线段的面积和周长？•解答：将曲线段分成若干个短小的线段，可以近似看作一系列的小矩形。

每个小矩形的高度可以通过一元二次方程计算得到，而宽度则可以根据分割的精确程度进行调整。

将所有小矩形的面积相加，即可得到曲线段的近似面积。

同样地，将所有小矩形的边长相加，即可得到曲线段的周长。

问题4：求解最优化问题•某工厂生产一个产品的成本函数为C(x) = ax^2 + bx + c，其中x表示生产数量。

工厂希望生产的产品数量能够使成本最小化，问题在于如何确定最优的生产数量。

•解答：将成本函数转化为一元二次方程形式后，通过求导可以得到极小值点的位置，即生产数量的最优解。

同时，通过判断二次函数的开口方向，可以确定是求最小值还是最大值。

以上是一些常见问题的例子，展示了一元二次方程在实际问题中的应用。

一元二次方程中有趣的题目及解法一元二次方程是初中数学中的重要内容之一。

下面是几个有趣的一元二次方程题目及其解法：题目1：某个数的平方减去它本身等于12，求这个数是多少？解法：设这个数为x，根据题目描述，可以列方程：x^2 - x = 12移项得：x^2 - x - 12 = 0这是一个一元二次方程，可以使用因式分解或求根公式进行求解。

因式分解法：我们尝试将方程进行因式分解，找到两个数，使得它们的乘积为-12，而它们的和为-1。

可以得到：(x - 4)(x + 3) = 0因此，方程的解为x = 4或x = -3。

题目2：一个矩形的长度是宽度的6倍，矩形的面积为84平方单位，求矩形的长和宽分别是多少？解法：设矩形的宽度为x，根据题目描述，可以列方程：x * 6x = 84化简得：6x^2 = 84再化简得：x^2 = 14这是一个一元二次方程，可以使用平方根法进行求解。

平方根法：将方程两边取平方根，可以得到：x = ±√14因此，矩形的宽度可以是√14，而长度为6√14。

题目3：某物体从高度为H的位置自由落下，下落t秒后的高度H(t)与时间t的关系为H(t) = 5t^2 + 2t + 10，求物体从高度H = 60米落地所需的时间。

解法：题目中给出了物体的高度与时间的关系，将物体落地时的高度设为0，即H(t) = 0，可以得到：5t^2 + 2t + 10 = 0这是一个一元二次方程，可以使用求根公式进行求解。

求根公式：根据一元二次方程的求根公式，可以得到：t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)将方程的系数带入，可以得到两个解，但由于时间不能为负数，因此舍去负数解。

因此，物体从高度60米落地所需的时间为正根：t = (-2 + √(2^2 - 4*5*10)) / (2*5)化简得：t = (-2 + √4 - 200) / 10t = (-2 + √(-196)) / 10t = (-2 + 14i) / 10实际上，物体下落的过程中，不会达到高度为60米的位置，所以方程无实数解。

一元二次方程的实际应用1、阅读下面解题过程,解方程x²-1x1-2＝0 解分以下两种情况：（1）当x≥0时,原方程可化为x阅读下面解题过程,解方程x²-1x1-2＝0解分以下两种情况：（1）当x≥0时,原方程可化为x²-x=0,解得x1=2 x2=-1（不和题意,舍去）（2）当x＜0时,原方程可化为x²+x-2=0,解得x1=-2 x2=1 （不合题意,舍去）∴原方程的根是x1=2 x2=-2请照此方法解方程x²-| x-1 |-1=02、已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．3、已知函数y=2/x和y=kx+1（k不等于0）.(1)若这两个函数的图像都经过（1,a）,求a和k的值(2)（2）当K取何值时,这两个函数的图像总有公共点4、已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．5、已知关于x的方程x²-(m+2)x+(2m-1)=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：S四边形P=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．QBCD8、某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件，在国庆期间，商场决定采取降价促销的措施，以达到减少库存、扩大销售量的目的。

初中数学教案：用一元二次方程解决实际问题的技巧先说一下，初中学生学习一元二次方程，一般是在学习完解一元一次方程后。

一元一次方程比较简单，只有一次项和常数项，而一元二次方程则多了一次项，相对来说更难一些。

不过，一元二次方程在解决实际问题中的应用非常广泛，掌握好了，对于以后的学习和生活都将会有很大帮助。

那么，如何用一元二次方程解决实际问题呢？我们来详细地讲解一下。

一、将实际问题转化为一元二次方程要将一个实际问题转化为一元二次方程，首先要明确三个要素：1.变量的含义2.变量之间的关系3.变量对应的值例如，有这样一道题目：一家母亲带着她的两个儿子去旅游，她从出发到抵达的路程共计200千米，中途有一个景点，母亲和儿子们在那里休息了一会儿。

在出发的时候，母亲开车的速度比儿子们每个人快20千米/小时，但她为了保险起见，开的速度一直比他们慢5千米/小时。

这次旅游历时5小时，求母亲和儿子们分别以什么速度行驶？这道题目中，我们可以找到三个变量：1.母亲的速度2.儿子们的速度3.母亲和儿子们在景点休息的时间由于母亲的速度比儿子们每个人快20千米/小时，而又比他们慢5千米/小时，所以我们可以设母亲的速度为 x 千米/小时，儿子们的速度为 x-20 千米/小时，景点休息的时间为 t 小时。

根据这些，我们就可以列出方程：( x + x - 20 ) × t + ( x - 20 ) × 5 = 200将上述方程化简后，即可得到一元二次方程：x² - 25x + 100 = 0方程的解即为母亲和儿子们分别行驶的速度。

二、解一元二次方程解一元二次方程，可以使用以下方法：1.因式分解法若一元二次方程可以因式分解，则解方程相对来说是比较容易的。

例如，对于方程 x² + 4x + 3 = 0，我们可以将其因式分解为 (x + 3) × (x + 1) = 0，因此，x 的取值可以为-3 或 -1。

初三数学解决含有一元二次方程的实际问题一、引言数学作为自然科学的一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力具有重要意义。

而在初中数学中，一元二次方程是一个重要的章节。

本文将围绕初三数学中如何解决含有一元二次方程的实际问题展开讨论。

二、相关概念说明首先，我们需要了解一些基本的概念。

一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c分别为常数且a ≠ 0。

解一元二次方程可以使用配方法、因式分解、求根公式等多种方法。

三、实际问题的解决方法针对实际问题，我们需要将问题抽象成一元二次方程，并通过解方程来得到问题的解答。

下面以几个典型的例子来详细说明这一过程。

1. 题目：甲、乙两人从同地出发，同时往同一目的地以相同速度行驶，甲行驶20分钟后，乙行驶10公里，甲行驶到终点还需20分钟，求甲、乙的行驶速度。

解析：设甲、乙的行驶速度分别为v km/h，那么甲行驶20分钟后，乙行驶的距离为10公里，则可得到方程：(20/60)v = 10根据题目中的信息，“甲行驶到终点还需20分钟”，即甲行驶的时间为40分钟，则可得到方程：(40/60)v = d其中d为甲的行驶距离。

综合以上两个方程，可以得到一元二次方程：(20/60)v + (40/60)v = d通过求解这个一元二次方程，可以得到甲、乙的行驶速度。

2. 题目：一个火箭沿抛物线轨迹升空到达最高点，然后直接坠落下来。

已知火箭从离地面60米的位置起飞，飞行总时间为10秒，问它最高升到多高，以及整个过程最高点到地面之间的距离是多少。

解析：假设火箭升空到达最高点的高度为h米，由于火箭沿抛物线轨迹升空到达最高点，然后直接坠落下来，可以得到一元二次方程：-5h^2 + 30h + 60 = 0通过求解这个一元二次方程，可以得到火箭最高的升空高度。

3. 题目：一个等腰三角形顶角的补角是45°，这个顶角的两腰之和等于这两腰的差的二倍，求这个等腰三角形的两个底角。

《用一元二次方程解决问题》讲义一、一元二次方程的基本概念在我们开始探讨如何用一元二次方程解决问题之前，先来温习一下一元二次方程的基本概念。

一元二次方程的一般形式是：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ＼neq 0$）。

其中，＄a$被称为二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。

例如：＄x^2 3x ＋ 2 ＝ 0$，在这个方程中，＄a ＝ 1$，＄b ＝－3$，＄c ＝ 2$。

二、一元二次方程的解法接下来，我们了解一下一元二次方程常见的解法。

1、配方法配方法是通过在等式两边加上相同的常数，将方程转化为完全平方式来求解。

例如：＄x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$＄x^2 ＋ 6x ＝ 7$＄x^2 ＋ 6x ＋ 9 ＝ 7 ＋ 9$＄（x ＋ 3)＾2 ＝ 16$＄x ＋ 3 ＝＼pm 4$＄x ＝ 1$ 或＄x ＝－7$2、公式法对于一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$，其求根公式为：＄x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄当$b^2 4ac ＼geq 0$时，方程有实数根。

3、因式分解法将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积，从而将方程转化为两个一元一次方程来求解。

例如：＄x^2 5x ＋ 6 ＝ 0$＄（x 2)（x 3) ＝ 0$＄x 2 ＝ 0$ 或＄x 3 ＝ 0$＄x ＝ 2$ 或＄x ＝ 3$三、用一元二次方程解决实际问题现在，让我们看看如何运用一元二次方程来解决实际生活中的问题。

1、面积问题例如，有一个矩形，它的长比宽多 3 厘米，面积是 10 平方厘米，求这个矩形的长和宽。

设矩形的宽为$x$厘米，那么长就是$x ＋ 3$厘米。

根据矩形面积公式：面积＝长×宽，可列出方程：＄x(x ＋ 3) ＝ 10$＄x^2 ＋ 3x 10 ＝ 0$＄（x ＋ 5)（x 2) ＝ 0$＄x ＝－5$（舍去）或＄x ＝ 2$所以矩形的宽是 2 厘米，长是 5 厘米。

一元二次恒成立问题三种解法
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a不等于0。

解一元二次方程的常用方法有三种，因式分解法、配方法和公式法。

首先，我们来看因式分解法。

通过将一元二次方程进行因式分解，将方程化简为两个一次方程的乘积形式，然后分别令每个因式等于0，从而得到方程的解。

其次，配方法是另一种解一元二次方程的常用方法。

通过对一元二次方程进行配方法，将方程化简为一个完全平方的形式，然后通过开平方根的方法求得方程的解。

最后，公式法是解一元二次方程的常用方法之一。

一元二次方程的解可以通过求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得，其中±表示两个解，即正负号分别取一次。

通过代入系数a、b、c的值，就可以得到方程的解。

综上所述，一元二次方程的解可以通过因式分解法、配方法和公式法来求解。

不同的方法适用于不同的情况，选择合适的方法可
以更快地求得方程的解。

希望以上回答能够满足你对这个问题的需求。

一元二次方程式的公式好啦，今天咱们聊聊一元二次方程式的公式，听起来有点学术，对吧？不过别担心，我保证会让这件事轻松有趣，就像喝杯冰凉的饮料一样爽快。

想象一下，二次方程就像一个神秘的盒子，里面藏着一些秘密，而我们要做的就是打开这个盒子，看看它到底有什么好东西。

一元二次方程的标准形式就是ax² + bx + c = 0，哇，听起来有点复杂，不过其实没那么可怕。

我们先来看看这些字母。

a、b、c都是数字，当然你也可以把它们想象成朋友，a是大哥，b是二哥，c是小弟。

他们一起合作，帮你解决问题。

尤其是当你要找方程的根时，就像找宝藏一样刺激。

要找到这些根，我们得用到一个超级公式，叫做求根公式，没错，就是那个“x = (b ± √(b² 4ac)) / (2a)”。

听起来像外星语，但其实它就像一把万能钥匙，能打开任何一元二次方程的锁。

想象一下，b就像一位调皮的孩子，时不时就要加个负号，啊，真是让人哭笑不得。

然后是那个“±”，就像你在选择甜点时要选择巧克力还是草莓，二者兼得，心情好得飞起来。

再说说那个√(b² 4ac)，这就是判别式，听上去有点吓人，但其实它就是个简单的判断者。

如果它大于零，说明方程有两个不同的根，就像找到两个宝藏；如果等于零，那就只有一个根，真是简单得不得了；要是小于零，那可就要失望了，因为根是虚数了，像是你买了票却没赶上车，郁闷得很。

大家有没有想过，为什么要学习这些公式呢？这可是生活中的重要技能！比如你要装修房子，预算不够，得计算出最佳的花费；或者你在计划一个旅行，得算好路费。

就像种树一样，得先知道树根有多深，才能长得更茁壮。

公式就是那个让你稳稳当当地把树种下去的工具。

再来点儿轻松的！谁说数学就得严肃得跟考试一样？咱们可以想象一下，a、b、c三个兄弟在开派对。

大哥a在说：“我来负责音乐！”二哥b则在忙着倒饮料，没想到小弟c却在一旁偷偷摸摸地看着方程，生怕搞砸了这场盛会。