1.4.3正切函数的性质与图像13

学生在学校学习的数学知识，毕业后 很快就忘掉了。然而，不管他们将来从事 什么工作，惟有深深铭刻在心中的数学精 神、数学的思维方法和看问题的着眼点， 时时处处发挥作用，使他们受益终身。
--米山国藏
谢谢大家
(2) 作正切线
(3) 平移
y
(4) 连线
o
2
o 3 x
84 8 2
探究函数
y
tan
x
，x
[0,
2
)
的图像在
[0,
2
)
的趋势
“ ”正切
y
-
x
-ห้องสมุดไป่ตู้
-
O
2
2
正切曲线
“华”正切
“华”正切
性质 数
图象 形
性质 数
数形 结合
“华”正切
已知tan x 3, x （- ， ），求x.
22 变式1：已知 tan x 3, 求x.
f (x) f (x)
tan(-x) - tan x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数
“画”正切
“画”正切
利用正切线作正切函数的图象
yT P
O
Ax
正切线：有向线段AT
“画”正切
利用正切线画出函数
y tan x，
x [0, )
2
的图象:
作法:(1) 等分：把单位圆在第一象限的部分分成4等份。
1.4.3 正切函数的 性质与图象
甘肃省临洮中学 朱建辉
核心素养
学习目标
能画出正切 函数的图象， 掌握正切函 数的性质．
数学抽象 直观想象
思想方法
数形结合 类比推理
“话”正切

-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6


3
2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x

2k

3
,
k

Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x

Tk,k3Z,
tan

2
x

3


2
T

解得

ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T


即T


2
因此,函数的单调递增区间是:
2k

，2k 3

3

, k Z. 2
周期T


另解：周期T

x 变式题：求函数y 3 tan(- )的单调区间. 2 4 x
4 3 （2k ， 2k ），k Z . 2 2
y 3 tan(-
3 2k - x 2k ,k Z 2 2 x
2
)的单调递减区间为 :
1、函数y tan( x A.{ x R | x k

4
)的周期是（ C ）

C、 3

D、 6

课堂练习
３、直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanx 相交的 相邻两点间的距离是( A )
A、
B、/2
C、2
D、与a值有关
4、与函数y tan( 2 x 一条直线是（ D） A. x

4
)的图象不相交的

2
B. x -

2
C.x

4
D. x

8
课堂练习 课本P45 练习2
3 2
y


y tan x
1


2
-1
0
2
3 2
x
观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围：
(1) tan x 0
(2) tan x 0
︱ k x k , k Z} {x 2 {x︱ x k , k Z }
（2）
3 (0, ) ( , ) 4 4
课本P45 小(1)tan138与tan143
课堂练习 练习6 比较下列各组是两个正切值的大
思想：在同一个单调区间比较！
13 17 (2) tan 与 tan 4 5 (1) 90 138 143 270 tan 138 tan 143 13 17 2 (2) tan tan , tan tan 4 4 5 5 2 且 0 2 5 4 2 17 13 tan tan tan tan 5 4 5 4

22
C.
(k
3
4
, k
4
)
k
z
D. (k , k 3 )
4
4
kz
第23页，共51页。
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图 象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
第25页，共51页。
[精解详析] 由题意得t1a－n txa＋n 1x≥>00，， 即－1≤tan x<1.
ππ
ππ
在(－ 2 ，2 )内，满足上述不等式的 x 的取值范围是[－ 4 ，4 )．
又 y＝tan x 的周期为π，
所以所求 x 的范围是
π
π
[kπ－ 4 ，kπ＋ 4 )，k∈Z.
即为此函数的定义域．
⑵ 值域： R
2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性： 在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ)， k Z 内都是增函数。
2
2
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
第24页，共51页。
[例 1] 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． [思路点拨] 构建关于tan x的不等式组求解．
奇函数
5、周期性
最小正周期是
3
第22页，共51页。
高考链接：
1.（2007.江西，文）函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）

B
)
π 2．y＝tanx(x≠kπ＋ ，k∈Z)在定义域上的单调性为( 2 A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
C
)
π π C．在每一个区间－ ＋kπ， ＋kπ (k∈Z)上为增函数 2 2 π π D．在每一个区间－ ＋2kπ， ＋2kπ (k∈Z)上为增函数 2 2
(2)∵tan496°＝tan136°，
y＝tanx 在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126
°>90°，∴tan136°>tan126°，即 tan496°>tan126°.
不求值， 比较下列每组中两个正切值的大小， 用不等号 “<” 、 “>”连接起来．
< (1)tan32°________tan215 °.
O 6
4 3 2
x
正切函数的性质 :
定义域： x x k , k Z 2 值域： R
周期性：
k 对称中心是 ( , 0), k Z 2
T
奇偶性： 奇函数
单调性： 在开区间 2 k , 2 k k Z 内递增
cosx 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(4)．
解：令 z x
例1.求函数 y tan （x ）的定义域 . 4


z z k , k z 2 由x z k , 4 2 可得 x k k 2 4 4
y A tan( x ) T y tan x T π
2、奇偶性 π tan( x ) tan x , x R, x kπ , k Z 2 正切函数是奇函数

x π [思路探索] 将2－3看作一个整体，结合正切函数的性质和图象 进行求解．
新知探究
题型探究
感悟提升
5π x π π 解 (1)由2－3≠2＋kπ(k∈Z)得 x≠ 3 ＋2kπ，
5π ∴f(x)的定义域是xx≠ 3 ＋2kπ，k∈Z .
1 π π ∵ω＝2，∴周期 T＝ω＝1＝2π. 2 π π 5π x π π 由－2＋kπ<2－3<2＋kπ(k∈Z)得－3＋2kπ<x< 3 ＋2kπ(k∈Z)． ∴函数
解 由 y＝|tan x|得， π tan x，kπ≤x<kπ＋2k∈Z， y＝ －tan x，－π＋kπ<x<kπk∈Z. 2 其图象如图．
新知探究
题型探究
感悟提升
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数，
π 单调递增区间为kπ，2＋kπ(k∈Z)， π 单调递减区间为－2＋kπ，kπ(k∈Z)，
新知探究
题型探究
感悟提升
π 6 π (2)tan5π＝tan π＋5 ＝tan5， 13 π 13 tan－ 7 π＝－tan 7 π＝－tan2π－7 π π ＝－tan －7 ＝tan7，
π π π π ∵－2<7<5<2， y＝tan x
外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
解
tan x＋1≥0， 由题意得 1－tan x>0，
即－1≤tan x<1. x
π π 的取值范围是－4，4.又

单调性及值域
渐近 线
正切曲线是被相互平行的直线 x

2
k , k Z
kZ
所隔开的无穷多支曲线组成的
单调递增区间： k , k 2 2
值域：R
思考：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
0
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
比较大小：
(1) tan138
2 T 2
T

（ 结论：f ( x ) A tan x ） （A 0， 0)的周期 T

正切函数的基本性质
奇偶性
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 f ( x ) cos x , x R 为偶函数
f ( x) tan x，x k ，k Z 2
定义域
y tan x
终边不能落在y轴上
定义域： { x | x

2
k , k Z}
例1
求函数
y tan x 的定义域。 3 2
解：函数y tan x 的自变量应该满足 3 2 x k , k 2 3 2 1 函数的定义域为 x x 2k , k . 3
三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象
复习回顾
1.如下图，利用三角函数线表示出角α 的正弦、 余弦、正切值？

正切函数是周期函数， 周期是
o
x
奇偶性： 单调性：
对称性：
奇函数 tan(－x)=－tanx 在 内是增函数 对称中心是
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
o
x
例2.求函数
解：原函数要有意义，自变量x应满足 即 所以，原函数的定义域是 由于 所以原函数的周期是2. 由
解得 所以原函数的单调递增区间是
1.4.3 正切函数的性质和图像
函数 图形 定义域 值域
最值
y=sinx
1 -1
时， 时，
单调性
奇偶性 周期
对称性
奇函数
对称轴： 对称中心：
增函数 减函数
y=cosx
1
-1
时， 时，
增函数
偶函数
减函数
对称轴： 对称中心：
§1.4性质：
y
定义域： 值域： 周期性：
的定义域、周期和单调区间。
练习： P45 T3、 T4、 T5、 T6
作业： P46 T6、T7、T8、T9

在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
例1 求函数 y tan(x ) 的定义域。
解：令 z x ,
4
那么函数 y t4an z的定义域是：
24
令u x ;所以y tan u的单调递增区间为:
2 4 k u k ,k Z
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
24
2k 3 x 2k
2
2
2k x 2k 3
2
2
例4 求下列函数的周期：
•最小正周期：所有周期T中最小的正数。
3.如何利用单位圆中的正 弦线作出 正弦函数图象？
Y
y sin x, x [0,2 ]
74 3 5 11 2
63 2 3 6
O 2 5
6 3 23 6
X
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数

函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性 周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴：关x于原2点对k称 , k Z 对称中心： (k , 0) k Z
2
R
奇函数
在R上没有单调性
在( k , k )上单调增
2
2
没有最值
练习：P45 2
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y y tan x
(1) x (k , k ) k Z
2
(2) x k k Z
3 2
2.在每个分支里是单调递增的
2
3 .关于原点对称（奇函数）.
单调性
在每个分支里是单调递增的
增区间：
2
k
,
2
k
kZ
注意：只能说 y tan x 在某个区间内是增函数，
不能说 y tan x在定义域范围是增函数.
正切函数的性质
定义域 值域 奇偶性 周期性
单调性
最值
{x x k , k z}
(3) x ( k , k )
2
k Z 2
2
o 2