【解析】天津市河西区2014届高三上学期形成性质量调查 数学(理)试题

2014年天津市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．9454．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④A F•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．2014年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105 C．245 D．945【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S=1×3×5×7=105．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC 于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选：D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．【分析】由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．【解答】解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x ﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，若x=1，则4=0不成立，故x≠1，则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，设g（x）=x﹣1++5，当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x ﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则满足a＞9或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinx cosx）====所以，f（x）的最小正周期=π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC 的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．∴e=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．∵，∴=c（x0+c）+cy0=0，∴x0+y0+c=0，∵点P在椭圆上，∴．联立，化为=0，∵x0≠0，∴，代入x0+y0+c=0，可得．∴P．设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．∴T，∴圆的半径r==．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．∵直线l与圆相切，∴，整理得k2﹣8k+1=0，解得．∴直线l的斜率为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20．（14分）设f（x）=x﹣ae x（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=x ﹣ae x ，∴f′（x ）=1﹣ae x ；下面分两种情况讨论：①a ≤0时，f′（x ）＞0在R 上恒成立，∴f （x ）在R 上是增函数，不合题意； ②a ＞0时，由f′（x ）=0，得x=﹣lna ，当x 变化时，f′（x ）、f （x ）的变化情况如下表：∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna ），减区间是（﹣lna ，+∞）；∴函数y=f （x ）有两个零点等价于如下条件同时成立：①f （﹣lna ）＞0；②存在s 1∈（﹣∞，﹣lna ），满足f （s 1）＜0；③存在s 2∈（﹣lna ，+∞），满足f （s 2）＜0；由f （﹣lna ）＞0，即﹣lna ﹣1＞0，解得0＜a ＜e ﹣1；取s 1=0，满足s 1∈（﹣∞，﹣lna ），且f （s 1）=﹣a ＜0，取s 2=+ln ，满足s 2∈（﹣lna ，+∞），且f （s 2）=（﹣）+（ln ﹣）＜0；∴a 的取值范围是（0，e ﹣1）．（Ⅱ）证明：由f （x ）=x ﹣ae x =0，得a=， 设g （x ）=，由g′（x ）=，得g （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，并且当x ∈（﹣∞，0）时，g （x ）≤0，当x ∈（0，+∞）时，g （x ）≥0，x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（X i）＞g（Y i），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，∴，解得x1=，x2=，∴x1+x2=…①；令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，∴x1+x2随着a的减小而增大．【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。

2014年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•河西区一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）2．（5分）（2013•河西区一模）与命题“若p则￢q”等价的命题为（）A．若p则q B．若￢p则q C．若q则￢p D．若￢q则p3．（5分）（2013•河西区一模）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）2 3 4 5销售额y（万元）27 39 48 54根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．65.5万元B．66.2万元C．67.7万元D．72.0万元4．（5分）（2013•河西区一模）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．6B．27 C．56 D．1245．（5分）（2013•河西区一模）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）A．B．C．D．6．（5分）（2013•河西区一模）双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A．1B．C．D．27．（5分）（2013•河西区一模）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若（m，n∈R），则的值为（）A．2B．﹣2 C．3D．﹣38．（5分）（2013•河西区一模）若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•河西区一模）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为_________．10．（5分）（2013•河西区一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________．11．（5分）（2013•河西区一模）已知全集U=R，集合A={x∈R||x+3|﹣|x﹣3|＞3}，，则集合B∩（∁U A）=_________．12．（5分）（2013•河西区一模）在极坐标系中，曲线ρ=2与cosθ+sinθ=0（0≤θ≤π）的交点的极坐标为_________．13．（5分）（2013•河西区一模）（几何证明选做题）如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4，则⊙O的半径长为_________．14．（5分）（2013•河西区一模）已知1的展开式中的常数项为T，f（x）是以T为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k 有4个零点，则实数k的取值范围是_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2013•河西区一模）A、B是直线图象的两个相邻交点，且．（I）求ω的值；（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若的面积为，求a的值．16．（13分）（2013•河西区一模）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望．17．（13分）（2013•河西区一模）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中AB⊥BC，AB=BD=CC1=2，D为AC的中点．（I）证明AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）证明A1C⊥平面BDC1；（Ⅲ）求二面角A﹣BC1﹣D的正切值．18．（13分）（2013•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1﹣S n+1）（n∈N*），求适合方程的正整数n的值．19．（14分）（2013•河西区一模）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点．（1）求直线l的方程；（2）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．20．（14分）（2013•河西区一模）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．2013年天津市河西区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•河西区一模）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）考点：复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z为﹣1+i，由此可得它对应的点的坐标．解答：解：∵复数===﹣1+i，故它对应的点的坐标为（1，﹣1），故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2．（5分）（2013•河西区一模）与命题“若p则￢q”等价的命题为（）A．若p则q B．若￢p则q C．若q则￢p D．若￢q则p考点：四种命题间的逆否关系．专题：探究型．分析：互为逆否命题的两个命题是等价的，本题的实质是求命题的逆否命题．解答：解：因为互为逆否命题的两个命题是等价命题，所以命题“若p则￢q”的逆否命题为“若q则￢p”．故选C．点评：本题考查了命题的等价关系，在四种命题中，原命题和逆否命题是等价命题，否命题和逆命题也是等价命题．3．（5分）（2013•河西区一模）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）2 3 4 5销售额y（万元）27 39 48 54根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．65.5万元B．66.2万元C．67.7万元D．72.0万元考点：回归分析的初步应用．专题：应用题．分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．解答：解：∵==3.5，==42，∵数据的样本中心点（3.5，42）在线性回归直线上，回归方程y=bx+a中的b为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴a=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选A．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．4．（5分）（2013•河西区一模）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．6B．27 C．56 D．124考点：循环结构．专题：图表型．分析：根据s=0，n=1，s=（0+1）×1=1，n=1+1=2，不满足条件n＞4，执行循环体；依此类推，当n=5，满足条件n＞4，退出循环体，得到输出结果即可．解答：解：s=0，n=1，s=（0+1）×1=1，n=1+1=2，不满足条件n＞4，执行循环体；s=（1+2）×2=6，n=1+2=3，不满足条件n＞4，执行循环体；s=（6+3）×3=27，n=1+3=4，不满足条件n＞4，执行循环体，s=（27+4）×4=124，n=1+3=5，满足条件n＞4，退出循环体，则输出结果为：124故选D．点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．5．（5分）（2013•河西区一模）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）A．B．C．D．考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，由数列{a n}为等比数列，利用等比数列的通项公式化简关系式，再由等比数列各项为正数得到a1不为0，故在等式两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值，最后利用等比数列的性质化简所求的式子后，将q的值代入即可求出值．解答：解：∵成等差数列，∴a3=a1+2a2，又数列{a n}为等比数列，∴a1q2=a1+2a1q，又各项都是正数，得到a1≠0，∴q2﹣2q﹣1=0，解得：q=1+，或q=1﹣（舍去），则==q2=（1+）2=3+2．故选C点评：此题考查了等比、等差数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．6．（5分）（2013•河西区一模）双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A．1B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先利用双曲线的标准方程及其几何性质，得其焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算所求距离即可解答：解：双曲线的一个焦点坐标为F（2，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即x﹣y=0，∴点F到直线的距离为d==1由双曲线的对称性知，双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离均为d=1故选A点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的求法，点到直线的距离公式的应用，属基础题7．（5分）（2013•河西区一模）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若（m，n∈R），则的值为（）A．2B．﹣2 C．3D．﹣3考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用三角形的相似，可得，再利用向量的加法运算，即可得到结论．解答：解：因为AD∥BC，所以△AEF∽△CBF，因为点E是AD的中点，所以．所以∵=∴∵∴m=，n=﹣，∴=﹣2．故选B．点评：本题考查向量的加法运算，考查三角形相似知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）（2013•河西区一模）若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性及单调区间．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：当函数单调性是增函数时，相应二次函数图象为开口向上的抛物线且指数型函数的系数大于0，并且在x=0时，二次函数对应的值大于或等于指数型函数对应的值．由此建立关于a的方程组并解之，即可得到实数a的范围，同样的方法可得函数的单调性是减函数时实数a的取值范围，最后综合可得本题的答案．解答：解：f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，（a2﹣1）e ax≤ax2+1=1，即a2﹣1≤1，解之得﹣≤a≤∵x≥0时，y=ax2+1是增函数，∴a＞0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是增函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：1＜a＜②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，（a2﹣1）e ax≥ax2+1=1，即a2﹣1≤1，解之得a≤﹣或a≥．∵x≥0时，y=ax2+1是减函数，∴a＜0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是增函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：a＜﹣综上所述，得a∈故选：C点评：本题以分段函数为例，求函数为单调函数时参数a的范围，着重考查了二次函数、指数函数等基本初等函数的单调性及单调区间等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•河西区一模）设变量x、y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y的最大值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0）将三个代入得z的值分别为4，﹣2，6．直线z=2x+y过点C（3，0）时，z取得最大值为6；故答案为：6．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．10．（5分）（2013•河西区一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为2的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长．求出正方形的边长，分别计算两部分的体积，即可．解答：解：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为2的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长．设正方形的边长为a，则2a2=（2）2，即a=2，所以，长方体的体积为V1=2×2×4=16，球的体积为V2=×π×13=故几何体的体积为V=V1+V2=．故答案为：点评：本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．11．（5分）（2013•河西区一模）已知全集U=R，集合A={x∈R||x+3|﹣|x﹣3|＞3}，，则集合B∩（∁U A）=[﹣2，]．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据绝对值不等式化简集合A，根据均值不等式化简集合B，然后由定义得出结果．解答：解：∵|x+3|﹣|x﹣3|＞3当x＜﹣3时，﹣x﹣3﹣（3﹣x）＞3﹣6＞3 无解﹣当3≤x≤3时，x+3﹣（3﹣x）＞3 解得：x＞当x＞3时，x+3﹣x+3＞3 解得：x＞3∴集合A={x|x＞x∈R}∴C u A={x|x≤，x∈R}∵，∴x=t+﹣4≥2﹣4=﹣2即集合B={x|x≥﹣2}∴B∩（∁U A）=[﹣2，]故答案为：[﹣2，]．点评：本题主要考查集合的交、补运算，一准确化简集合A和B是解题的关键，属于基础题目．12．（5分）（2013•河西区一模）在极坐标系中，曲线ρ=2与cosθ+sinθ=0（0≤θ≤π）的交点的极坐标为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：法一：先将原极坐标方程ρ=2与cosθ+sinθ=0（0≤θ≤π）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标．法二：由极坐标方程ρ=2与cosθ+sinθ=0，求出极角θ与极径ρ，得出交点的极坐标解答：解：法一由或（舍去）得交点的极坐标法二：由cosθ+sinθ=0⇒tanθ=﹣1，因为0≤θ≤π，所以，故交点的极坐标为故答案为：点评：本题是基础题，考查极坐标方程的意义及应用，点的极坐标和直角坐标的互化．考查计算、转化能力．13．（5分）（2013•河西区一模）（几何证明选做题）如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4，则⊙O的半径长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用切割线定理，可得PD2=PE×PF，代入计算即可得到圆的半径．解答：解：∵PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O∴PD2=PE×PF设圆的半径为r，∵PF=12，PD=4，∴48=（12﹣2r）×12∴r=4故答案为：4点评：本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查计算能力，属于基础题．14．（5分）（2013•河西区一模）已知1的展开式中的常数项为T，f（x）是以T 为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．考点：二项式定理；函数零点的判定定理．专题：综合题；转化思想；综合法．分析：先求出展开式中的常数项T，求得函数的周期是2，由于g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，根据两个函数的图象特征转化出等价条件，得到关于k的不等式，求解易得．解答：解：∵的常数项为=2∴f（x）是以2为周期的偶函数∵区间[﹣1，3]是两个周期∴区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+k 有四个交点当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意当k≠0时，∵r（﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤故答案为：点评：本题考点二项式定理，主要考查依据题设条件灵活转化的能力，如g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，即函数f（x）与r（x）=kx+k有四个交点，灵活转化是正确转化是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2013•河西区一模）A、B是直线图象的两个相邻交点，且．（I）求ω的值；（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若的面积为，求a的值．考点：余弦定理的应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：（I）利用二倍角公式，两角差的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为﹣sin（ωx﹣），根据周期，解得ω的值．（II）由f（A）=﹣，求得sin（2A﹣）=，结合A的范围求得A的值，再根据三角形的面积求出边b 的值，利用余弦定理求出a的值．解答：解：（I）．由函数的图象及，得到函数的周期，解得ω=2．（II）∵，∴．又∵△ABC是锐角三角形，，∴，即．由，由余弦定理，得，即．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，根据三角函数的值求角，求出A的大小，是解题的关键．16．（13分）（2013•河西区一模）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球，由此可求概率；（2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0，1，2，求出相应的概率，可得ξ的分布列与期望．解答：解：（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球．因此它的概率P是：…（4分）（2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0，1，2.；…（7分）ξ的分布列为：ξ0 1 2P…（9分）…（12分）点评：本题考查互斥事件的概率，考查离散型随机事件的分布列与期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．17．（13分）（2013•河西区一模）如图，在直棱柱ABC﹣A1B1C1中AB⊥BC，AB=BD=CC1=2，D为AC的中点．（I）证明AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）证明A1C⊥平面BDC1；（Ⅲ）求二面角A﹣BC1﹣D的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接B1C与BC1相交于O，连接OD，证明OD∥AB1，利用线面平行的判定，可得结论；（Ⅱ）证明BD⊥A1C，BC1⊥A1C，利用线面垂直的判定定理，可证A1C⊥平面BDC1；（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面BC1D的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣BC1﹣D的正切值．解答：（I）证明：连接B1C与BC1相交于O，连接OD在△CAB1中，∵O，D分别是B1C，AC的中点，∴OD∥AB1∵AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）证明：直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC∵BD⊂平面ABC，∴AA1⊥BD∵AB=BC=2，D为AC的中点，∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C∴BD⊥A1C①∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B∴A1B1⊥平面B1C1CB∴A1B1⊥BC1在正方形B1C1CB中，BC1⊥B1C，∵B1C，A1B1⊂平面A1B1C，B1C∩A1B1=B1∴BC1⊥平面A1B1C∴BC1⊥A1C②由①②，∵BD∩BC1=B，BD，BC1⊂平面BDC1，∴A1C⊥平面BDC1；（Ⅲ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则=（﹣2，﹣2，0），=（1，0，1）设平面BC1D的法向量=（x，y，z），则由，可得，∴可取=（1，1，﹣1）∵平面BC1A的法向量=（2，2，0）设二面角A﹣BC1﹣D的平面角为θ，则cosθ=cos＜＞=∴．点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（13分）（2013•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1﹣S n+1）（n∈N*），求适合方程的正整数n的值．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由S，得（n≥2），两式相减得a n与a n﹣1的递推式，由递推式易判断数列{a n}为等比数列，从而可求a n；（2）由（1）易求得1﹣S n+1，进而可求b n，利用裂项相消法可求得，从而可把方程变为关于n的方程，解出即可；解答：解：（1）由S，得（n≥2），两式相减得，a n+﹣=0（n≥2），即（n≥2），由S得=1，即=1，解得，所以数列{a n}各项均不为0，且是以为首项、为公比的等比数列，所以a n==；（2）由（1）知，，即1﹣S n+1==，所以b==﹣（n+1），则=，所以=++…+=，所以方程即=，解得n=100，故适合方程的正整数n的值为100．点评：本题考查由数列递推公式求通项公式，考查等比数列及用列项相消法进行数列求和，熟练掌握a n与S n间的关系是解决本题的关键．19．（14分）（2013•河西区一模）已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2=4y有一个相同的焦点F1，直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点．（1）求直线l的方程；（2）若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合．专题：综合题．分析：（1）根据直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，从而可求m的值，即可得到直线l的方程；（2）椭圆两焦点F1（0，1），F2（0，﹣1），椭圆过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，只需求F2关于直线L的对称点F3到F1的距离即可．解答：解：（1）又因为直线l：y=2x+m与抛物线C2只有一个公共点，所以x2=4（2x+m）只有唯一解，所以x2﹣8x﹣4m=0只有唯一解，所以64+16m=0，所以m=﹣4，∴直线l的方程为：y=2x ﹣4．（2）抛物线C2：x2=4y的焦点坐标为F1（0，1），所以椭圆C1中，c=1，焦点在y轴上，所以椭圆两焦点F1（0，1），F2（0，﹣1）．椭圆又过直线l上的点P，要使椭圆的离心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，只需求F2关于直线L的对称点F3到F1的距离即可．设F2关于直线L的对称点F3（m，n），∴，解得，即F3（，﹣），所以直线F1F3方程为：，即y=﹣x+1，与直线l联立，可得，即P（）；此时椭圆C1中，2a=|F1F3|=4，∴a2=4，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆方程为点评：本题考查直线与椭圆的方程，解题的关键是使椭圆的离心率最大，只需|PF1|+|PF2|有最小值，只需求F2关于直线L的对称点F3到F1的距离即可．20．（14分）（2013•河西区一模）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；（2）先证明f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1），f（x2）﹣f（x1）＞（x2﹣x1）f'（x2），即可得（x2﹣x1）f'（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1）；（3）构造函数φ（x）=，确定φ（x）在（1，+∞）上单调递减，从而可得，即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），再利用放缩法，即可证得结论．解答：（1）解：f'（x）=﹣lnx，g（x）=x﹣xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）﹣f'（a）=﹣lnx+lna=ln．…（2分）所以，x∈（0，a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．所以，g（x）的单调递增区间为（0，a]，单调递减区间为[a，+∞）．…（4分）（2）证明：对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，取a=x1，则x2∈（x1，+∞），由（1）得g （x1）＞g（x2），即g（x1）=f（x1）﹣x1f'（x1）＞f（x2）﹣x2f'（x1）=g（x2），所以，f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1）…①；…（6分）取a=x2，则x1∈（0，x2），由（1）得g（x1）＜g（x2），即g（x1）=f（x1）﹣x1f'（x2）＜f （x2）﹣x2f'（x2）=g（x2），所以，f（x2）﹣f（x1）＞（x2﹣x1）f'（x2）…②．综合①②，得（x2﹣x1）f'（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1）．…（8分）（3）证明：对k=1，2，…，n﹣2，令φ（x）=，则φ′（x）=，显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．由n﹣k≥2，得φ（n﹣k）≤φ（2），即．所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），k=1，2，…，n﹣2．…（10分）所以=≤=2…（12分）又由（2）知f（n+1）﹣f（n）＜f′（n）=﹣lnn，所以lnn＜f（n）﹣f（n+1）．∴ln1+ln2+…+lnn＜f（1）﹣f（2）+f（2）﹣f（3）+…+f（n）﹣f（n+1）=f（1）﹣f（n+1）=1﹣f（n+1）．所以，．…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，综合性强，难度较大．。

2014年天津高考理科数学试题逐题详解 （纯word 解析版）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷（理01）】i 是虚数单位，复数734ii +=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+【答案】A 【解析】()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，得⎨⎪⎧x ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1³1＋2³1＝3.【2014年天津卷（理03）】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A.15B.105C.245D.945【答案】B【解析】1i =时，3T =，3S =；2i =时，5T =，15S =；3i =时，7T =，105S =，4i =输出105S =.【2014年天津卷（理04）】函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为A.(0，)+∞B.(-∞，0)C.(2，)+∞D.(-∞，2)-【答案】D【解析】要使f (x )单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x <0，解得x <－2.【2014年天津卷（理05）】已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -=【答案】A【解析】由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.【2014年天津卷（理06）】如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD 平分∠CBF ，∴△ABF∽△BDF .∵AB BD ＝AF BF ，∴AB ²BF ＝AF ²BD .∵AF BF ＝BF DF，∴BF 2＝AF ²DF .故①②④正确．【2014年天津卷（理07）】设a 、b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b .【2014年天津卷（理08）】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1AE AF ⋅=，23CE CF ⋅=-，则λμ+= A.12 B.23 C.56 D.712 【答案】C【解析】 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由＝μ得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ²AF ＝(λ＋1，3(λ－1))²(μ＋1，3(1－μ))＝1，①＝(λ－1, 3(λ－1))²(μ－1, 3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【2014年天津卷（理09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300³44＋5＋5＋6＝60【2014年天津卷（理10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .【答案】20π3【解析】 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝π³12³4＋13π³22³2＝20π3.【2014年天津卷（理11）】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a 的值为____________.【答案】12- 【解析】依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________.【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2a c =. 所以2221cos 24b c a A bc +-==-.【2014年天津卷（理13）】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin ρθ=和直线sin a ρθ=相交于A 、B 两点.若AOB ∆是等边三角形，则a 的值为___________.【答案】3【解析】将ρ＝4sin θ与ρsin θ＝a 转化为直角坐标方程分别为x 2＋(y －2)2＝4与y ＝a .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，x 2＋（y －2）2＝4，得x 2＝－a 2＋4a ，且0<a <4. ∵△AOB 为等边三角形，∴a 2＝3(－a 2＋4a )，解得a ＝3或a ＝0(舍)【2014年天津卷（理14）】已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈.若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为_____________.【答案】01a <<或9a >.【解析】在同一坐标系内分别作出y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图像如图所示．当y ＝a |x －1|与y ＝f (x )的图像相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋a ＝－x 2－3x ，a >0，整理得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，则Δ＝(3－a )2－4a ＝a 2－10a ＋91|与y ＝f (x )的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【2014年天津卷（理15）】（本小题满分13分）已知函数2()cos sin()34f x x x x π=++，x R ∈. ⑴求()f x 的最小正周期； ⑵求()f x 在闭区间[4π-，]4π上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ²cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.【2014年天津卷（理16）】（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. ⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；⑵设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13²C 27＋C 03²C 37C 310＝4960， 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4²C 3－k 6C 310(k ＝0，1，2，3)，随机变量X 的数学期望E (X )＝0³16＋1³12＋2³310＋3³130＝65.【2014年天津卷（理17）】（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点. ⑴证明：BE DC ⊥；⑵求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.解：方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．C 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)故BE ²DC ＝0， 所以BE ⊥DC .(2)向量BD ＝(－1，2，0)，PB ＝(1，0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ²BD ＝0，n ²PB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量．于是有cos 〈n ，BE 〉＝n ²BE |n |²|BE |＝26³2＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF ＝λ，0≤λ≤1.故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ²AC ＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1²AB ＝0，n 1²BF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈，〉＝n 1²n 2|n 1|²|n 2|＝－310³1＝－31010.易知二面角F AB P 是锐角，所以其余弦值为31010.方法二：(1)证明：如图所示，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC .又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以BE ∥AM .因为PA ⊥底面ABCD ，故PA ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面PAD .因为AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD的中点，所以PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图所示，在△PAC 中，过点F 作FH ∥PA 交AC 于点H .因为PA ⊥底面ABCD ，所以FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥PA ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥AG ，所以∠PAG 为二面角F AB P 的平面角．在△PAG 中，PA ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°.由余弦定理可得AG ＝102，cos ∠PAG ＝31010，所以二面角F AB P 的余弦值为31010.【2014年天津卷（理18）】（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知12||||AB F F =.⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率.解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )， 有＝(x 0＋c ，y 0)，＝(c ，c )．由已知，有²＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15， 所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.【2014年天津卷（理19）】（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2²2＋x 3²22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t .【2014年天津卷（理20）】（本小题满分14分）设()()xf x x ae a R =-∈，x R ∈.已知函数()y f x =有两个零点1x ，2x ，且12x x <.⑴求a 的取值范围；⑵证明21x x 随着a 的减小而增大； ⑶证明12x x +随着a 的减小而增大.解：(1)由f (x )＝x －a e x，可得f ′(x )＝1－a e x. 下面分两种情况讨论：(i)a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，可得f (x )在R 上单调递增，不合题意． (ii)a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：这时，f (x “函数y ＝f (x )有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f (－ln a )>0；②存在s 1∈(－∞，－ln a )，满足f (s 1)<0；③存在s 2∈(－ln a ，＋∞)，满足f (s 2)<0.由f (－ln a )>0，即－ln a －1>0，解得0<a <e －1.而此时，取s 1＝0，满足s 1∈(－∞，－ln a )，且f (s 1)＝－a <0；取s 2＝2a ＋ln 2a，满足s 2∈(－ln a ，＋∞)，且f (s 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －e 2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2a －e 2a <0.故a 的取值范围是(0，e －1)．(2)证明：由f (x )＝x －a e x＝0，有a ＝x e x .设g (x )＝x e x ，由g ′(x )＝1－x ex ，知g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．并且，当x ∈(－∞，0]时，g (x )≤0; 当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>0.由已知，x 1，x 2满足a ＝g (x 1)，a ＝g (x 2)．由a ∈(0，e －1)及g (x )的单调性，可得x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)．对于任意的a 1，a 2∈(0，e －1)，设a 1>a 2，g (ξ1)＝g (ξ2)＝a 1，其中0<ξ1<1<ξ2；g (η1)＝g (η2)＝a 2，其中0<η1<1<η2.因为g (x )在(0，1)上单调递增，所以由a 1>a 2，即g (ξ1)>g (η1)，可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.又由ξ1，η1>0，得ξ2ξ1<η2ξ1<η2η1，所以x 2x 1随着a 的减小而增大．(3)证明：由x 1＝a e x 1，x 2＝a e x 2，可得ln x 1＝ln a ＋x 1，ln x 2＝ln a ＋x 2.故x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1.设x 2x 1＝t ，则t >1，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝tx 1，x 2－x 1＝ln t ，解得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1，所以x 1＋x 2＝（t ＋1）ln tt －1.①令h (x )＝（x ＋1）ln xx －1，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1x（x －1）2. 令u (x )＝－2ln x ＋x －1x，得u ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2. 当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )>0.因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )>u (1)＝0，由此可得h ′(x )>0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．而由(2)，t 随着a 的减小而增大，所以x 1＋x 2随着a 的减小而增大．。

2019-2020学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算2.已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（）A. B. 1 C. 3 D. 0【答案】B【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x＝1，y＝0时，z取得最大值1．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值＝F（1，0）＝1故选：B．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.设为向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积公式推断与的充分必要关系.【详解】∵若向量一个或都为零向量，显然成立；若，，则，若，则，从而，是的充要条件．故选C.【点睛】要证明p是q的充要条件，要分别从p和，两个方面验证。

4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知该三视图的几何体表示的为三棱柱，且棱柱的高为2，底面为直角三角形，两直角边分别为1和2，根据底面积乘以高可知体积为v=，故可知答案为A.考点：三视图点评：主要是考查根据三视图还原几何体，求解几何体的体积，属于基础题。

5.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心到直线的距离，圆的半径，所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，一底角为，所以顶角为，即劣弧所对的圆心角是考点：直线与圆相交问题点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为，求出椭圆的焦点和顶点即可求得双曲线方程中的a、b.【详解】设双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3．∴双曲线为．故选：B．【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．7.函数是A. 奇函数且在上单调递增B. 奇函数且在上单调递增C. 偶函数且在上单调递增D. 偶函数且在上单调递增【答案】C【解析】试题分析：函数化简得，所以函数是偶函数，当时，是减函数，排除C项，所以选D考点：三角函数性质点评：本题考查到了三角函数奇偶性单调性，判断奇偶性的前提条件是看定义域是否对称，若不对称则为非奇非偶函数，三角函数中是奇函数，是偶函数8.已知函数，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．【详解】函数的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，当x＝3时，f（x）＝2，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝t，故x1x2x3＝（1）（1）（2+log2t）＝（t﹣1）（2+log2t），由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）＝2+log2t0，即g（t）在（1，2）递增，又g（1）＝0，g（2）＝3，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.已知，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=______．【答案】【解析】【分析】由条件可得，a＝b+1+（b﹣1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值．【详解】∵已知，∴a＝（1+bi）（1﹣i），即a＝b+1+（b﹣1）i，∴，∴a＝2，b＝1，则a+bi＝2+i，故答案为 2+i．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．10.已知正方形的边长为，为的中点，则__________．【答案】2【解析】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.11.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．【答案】 (1). 5 (2). 8【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．【详解】根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴16.8，解得：y＝8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：(1). 5 (2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．12.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________．【答案】【解析】有条件得a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，a1q4＝9，解得q＝±3，a1＝.13.设点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则log2m+log2n的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．【详解】∵点（m，n）在直线x+y＝1位于第一象限内的图象上运动∴m+n＝1，m＞0，n＞0，∴log2m+log2n＝log2（mn）≤log2（）2＝log22﹣2＝﹣2，当且仅当m＝n时“＝”成立．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令g（x）＝f（x）x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．【详解】令g（x）＝f（x）x2，∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）x2+f（﹣x）x2=x2x2=0，∴函数g（x）是奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0，故函数g（x）在R递减，故f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m＝g（6﹣m）（6﹣m）2﹣g（m）m2≥0，即g（6﹣m）﹣g（m）≥0，∴g（6﹣m）≥g（m），∴6﹣m≤m，解得：m≥3，故答案为：[3，+∞）．【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查构造函数及转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，（1）求sinA；(2）求边c的值．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解．【详解】（1）cos（π﹣C）＝﹣cos C，则cos C，则sin C，sin B，则sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C．（2）∵，∴，则c a，又ac＝2，得c＝1．【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键．16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学,3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“被选中，而未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为（2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个.因此被选中且未被选中的概率为.考点：古典概型及其概率计算公式17. 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3)求二面角B－EF－A的余弦值．【答案】（1）见解析（2）（3）－【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BC平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，∴＝，＝(a，0，a)．设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.18.已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由数列的前n项和求解通项公式时一般借助于，分两种请款分别求解后验证其能否合并；（2）由数列的通项公式代入整理数列的通项为，结合特点求和时采用分组求和，将各项中形式的项和形式的项各分一组试题解析：（1）当时，可得；当时，可得．检验知，时也符合．故数列的通项公式为．（2）由（1）可得．记数列的前项和为，则．记，，则，．故数列的前项和．考点：1．数列求通项公式；2．分组求和19.已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．20.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若时,,求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2）由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，，设函数，．由题设可得，即，令得, ．．（6分）①若，则，∴当时，，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而．∴当时，，即恒成立．．（8分）②若，则，∴当时，，∴在单调递增，而，∴当时，，即恒成立，③若，则，∴当时，不可能恒成立．．（10分）综上所述，的取值范围为．（12分）考点：用导数研究函数的性质．。

天津市河北区2014届高三总复习质量检测（一）理科数学试卷（带解析）1．己知集合{}{}|23|lg(2)0M x x N x x =-<<=+≥，则MN =（ ）.(A)(2,)-+∞ (B)[)1,3- (C)(]2,1-- (D)(2,3)- 【答案】B 【解析】 试题分析：由已知集合{}1N x x =-…，所以{}{}[)2311,3MN x x x x x =-<<-=-…，故正解答案选B. 考点：1.集合运算；2.对数不等式.2．已知变量x ，y 满足约束条件110,1x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z=2x +y 的最大值是（ ）.(A) -4 (B) 0 (C)2 (D)4 【答案】C 【解析】试题分析：首先作出可行域110,1x y x+≤⎧⎪+≥≤区域，目标函数可化为2y x z =-+，所以作出直线y ()1,0时，所z 的最大值为max 2102z =⨯+=，故正解答案为C.3．执行下边的程序框图，输出m 的值是（ ）.(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】A 【解析】试题分析：第一次执行循环体时：1m =，23a =，0ba=，选择“否”；第二次：2m =，228239a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，293384b a =⨯=，选择“否”；第三次：3m =，328339a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，89198b a =⨯=，选择“是”，故此输出m 的值为3.正解答案选A. 考点：1.程序框图；2.幂运算.4．直线:10l mx y -+=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是（ ）. (A)相切 (B)相离 (C)相交 (D)不确定 【答案】C 【解析】试题分析：由直线:10l mx y -+=，得()10y m x -=-，因此直线l 恒过点()0,1，又点()0,1是圆C 的圆心，所以直线l 与圆C 的位置关系是相交.故正确答案为C.考点：直线与圆5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）. (A)56 (B) 103 (C)53(D)2 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知此几何体是由一个长为2点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为111022323V =⨯⨯=.故正确答案选B.2222考点：1.三视图；2.简单组合体体积. 6．在ABC ∆中，3,3BC AC B π===，则ABC ∆的面积是（ ）.(A)【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅∠，即2340AB AB --=，解得4AB =，所以11sin 4322ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=故正确答案为A. 考点：1.余弦定理；2.三角形面积.7．已知函数log3,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（ ）.(A){}|30x x -≤≤ (B){}|30x x x ≤-≥或 (C){}|0x x ≤≤ (D){}|03x x x ≤≥或 【答案】D【解析】试题分析：由已知得，①当0x >时，有3log 13x x ⇒厖；②当0x …时，有1103xx ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭厔，综①②得不等式的解集为{}|03x x x ≤≥或.故正确答案选D. 考点：1.对数、指数不等式；2.分类讨论思想.8．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（ ）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：因为12()()1f x f x +=，所以1212414114141x x xx --+=++，整理得()1212444430x x x x ⋅-+-=，又1244x x +…124430x x ⋅-…，解得3，即124449x x x x+⋅=?，因此()1212121241224114141915x x x x x x f x x +++-+==--=+++….故正确答案为B.考点：1.指数函数；2.基本不等式.9．复数11iz i-=+，则z =______________. 【答案】1 【解析】试题分析：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以1z ==.故正确答案为1.考点：复数分母有理化、模.10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是____________（用数字作答）. 【答案】80 【解析】试题分析：由题意得()()()55551552112rrrrr rr r T C x C x ----+=-=-⋅，令53r -=，解得2r =，代入上式得()23351280C -=.故正确答案为80.考点：二项式定理.11．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是____________.【答案】2sin ρθ= 【解析】试题分析：设圆上任一点P 的坐标为(),ρθ，连接圆心C 与极点O ，延长OC 交圆另一点A ，连接AP 得Rt OPA ∆，所以cos 22ρπθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得所求圆的方程2sin ρθ=. 考点：圆的极坐标方程.12．如图，AB 是半圆D 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD.若PC=4，PB=2，则CD=____________.【答案】125【解析】试题分析：连接OC ，则得直角三角形OPC ，设半圆的半径为r ，则有()22224r r +=+，解得3r =，又由CD CP AO OP =，得4123325CD =⋅=+.故正确答案为125. 考点：1.圆的切线；2.平行线分线段成比例. 13．己知0,0x y >>，若2287y xm m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】81m -<<【解析】试题分析：因为288y x x y +=…，所以287m m >+恒成立，即2780m m +-<恒成立，解得所求实数m 的范围为81m -<<. 考点：1.基本不等式.14．已知a 、b 为非零向量，()m a tb t R =+∈，若1,2a b ==，当且仅当14t =时，m 取得最小值，则向量a 、b 的夹角为___________. 【答案】23π 【解析】 试题分析：设向量,a b的夹角为θ，则2222222cos 44cos 1m a tb a t a b t b t t θθ=+=++=++，构造函数()2221144cos 14cos cos 124f t t t t θθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭，因为当且仅当14t =时，m 取得最小值，所以当14t =时，函数()f t 有最小值，即111cos 0cos 422θθ+=⇒=-时，函数()f t 有最小值，又[]0,θπ∈，所以解得23πθ=.考点：1.向量；2.二次函数.15．己知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量(sin ,sin ),m A B =(cos ,cos )n B A =，且sin 2m n C ⋅=.（1）求角C 的大小：（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求边c 的长． 【答案】（1）3π；（2）6. 【解析】试题分析：（1）由向量数量积坐标运算得()sin m n A B ⋅=+，又,,A B C 三角形的三个内角，所以有()sin sin A B C +=，因此sin 2sin C C =，整理得1cos 2C =，所以所求角C 的大小为3π；（2）由等差中项公式得2sin sin sin C A B =+，根据正弦定理得2c a b =+，又18CA CB ⋅=，得c o s 18a b C=，由（1）可得36ab =，根据余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即224336c c =-⨯，从而可解得6c ∴=.（1）()sin cos sin cos sin m n A B B A A B ⋅=+=+ 2分 在ABC !中，由于()sin sin A B C +=，所以sin m n C ⋅=.又sin m n C ⋅=，sin 2sin C C ∴=，sin 2sin C C ∴=，又s i n 0C ≠，1cos 2C ∴=. 5分而0C π<<，3C π∴=. 7分（2）sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，2sin sin sin C A B ∴=+，由正弦定理得2c a b =+.9分18CA CB ⋅=，cos 18ab C ∴=.由（1）知1cos 2C =，所以36ab =. 11分 由余弦定理得()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，224336c c ∴=-⨯，236c ∴=.6c ∴=. 13分考点：1.正弦、余弦定理；2.向量数量积.16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满200元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红色球，1个黄色球，1个蓝色球和1个黑色球．顾客不放回的每次摸出1个球，直至摸到黑色球停止摸奖．规定摸到红色球奖励10元，摸到黄色球或蓝色球奖励5元，摸到黑色球无奖励． （1）求一名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X 为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）14； （2）所以随机变量X 的分布列为：，10EX =.【解析】 试题分析：（1）由题意知，事件“一名顾客摸球3次停止摸球”的基本事件为前两次摸到的球可能为红、黄、蓝球中的两种、第三次必是黑球，所以该事件个数为23A ，而事件总数是从四个球中不放回地选三个的总数为34A ，由古典概型的概率计算公式可求出所事件的概率；（2）由题意得，一名顾客摸球次数的可能性分别为1、2、3、4，由（1）的做法可得随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20，并分别求出相应的概率，从而可得到随机变量X 的分布列，并求出其数学期望.（1）设“一名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则()233414A P A A ==.故一名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14. 4分（2）随机变量X 的所有取值为0、5、10、15、20. 6分()104P X ==，()2224156A P X A ===，()22234411106A P X A A ==+=，()1222341156C A P X A ⋅===，()33441204A P X A ===. 所以随机变量X 的分布列为：11分11111051015201046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 13分考点：1.古典概型；2.随机变量布列、数学期望.17．如图,在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD，侧棱PA PD ==ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ，AB ⊥AD ，AD=2，AB=BC=l ，E 为AD 中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ：（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值： （3）求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角.【答案】（1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD ⊥.PE ∴⊥平面ABCD ；（2（3【解析】试题分析：（1）由题意可根据面面垂直的性质定理来证，已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，并且相交于AD ，而PAD ∆为等腰直角三角形，E 为AD 中点，所以PE AD ⊥，即PE 垂直于两个垂直平面的交线，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ；（2）连结BE ，由题意可知PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角，并且三角形PBE是直角三角形，EB ==112PE AE AD ===，PB ，由余弦定理得cos EB PBE PB ∠===；（3）利用体积相等法可得解，设点A 到平面PCD 的距离h ，即由P A C D AP C D V V--=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅， 而在R t P E C ∆中，PC ，所以P C C D D P ==，因此2PCD S ∆==，又112A C D S A D AB ∆=⋅=，1EP =，从而可得解. （1）证明：在PAD ∆中，PA PD =，E 为AD 中点，PE AD ∴⊥. 2分 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PE ⊂平面PAD . PE ∴⊥平面ABCD . 4分（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BCAD ，22AD AB BC ==，有E D B C且ED BC =.所以四边形EBCD 平行四边形，EBDC ∴.由（1）知P E E B ⊥，PBE∠为锐角，所以PBE ∠是异面直线PB 与CD 所成的角. 7分2,1AD AB BC ===，在Rt AEB ∆中，1,1AB AE ==.EB ∴=.在Rt PEA ∆中，1,AP AE ==1EP ∴=.在Rt PBE ∆中，PB =cosEB PBE PB ∴∠===.所以异面直线PB 与CD 分（3）解：由（2）得CD EB ==在Rt PEC ∆中，PCPC CD DP ∴==， 2PCD S ∆==. 设点A 到平面PCD 的距离h ，由P ACD A PCD V V --=，得1133ACD PCD S EP S h ∆∆⋅=⋅. 11分又112ACD S AD AB ∆=⋅=，解得h =分 考点：：1.线面垂直；2.异面直线角；3.点到面距离.18．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为B(0，4)，离心率5e =， 直线l 交椭圆于M,N 两点．（1）若直线l 的方程为y=x-4，求弦MN 的长：（2）如果∆BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1）9；（2）65280x y --=. 【解析】试题分析：（1）由椭圆顶点()0,4B 知4b =，又离心率c e a ==，且222a b c =+，所以220a =，从而求得椭圆方程为2212016x y +=，联立椭圆方程与直线4y x =-消去y 得29400x x -=，12400,9x x ==，再根据弦长公式12MN x =-，可求得弦MN 的长；（2）由题意可设线段MN 的中点为()00,Q x y ，则根据三角形重心的性质知2BF FQ =，可求得Q 的坐标为()3,2-，又设直线MN 的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y +=-，根据中点公式得12126,4x x y y +=+=-，又由点,M N 是椭圆上的点所以222211221,120162016x y x y +=+=，两式相减整理得1212121244665545y y x x k x x y y -+∴==-⋅=-⋅=-+-，从而可求出直线MN 的方程.（1）由已知4b =，且c a =，220a ∴=.所以椭圆方程为2212016x y +=. 4分 由2212016x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，12400,9x x ∴==. 6分129MN x∴=-=. 7分（2）椭圆右焦点F的坐标为()2,0，设线段MN的中点为()00,Q x y，由三角形重心的性质知2BF FQ=，又()0,4B，()()002,422,x y∴-=-，故得003,2x y==-.所以得Q的坐标为()3,2-. 9分设直线MN的方程为()()()112223,,,,y k x M x y N x y+=-，则12126,4x x y y+=+=-，且222211221,120162016x y x y+=+=，两式相减得()()()()1212121202016x x x x y y y y+-+-+=. 11分1212121244665545y y x xkx x y y-+∴==-⋅=-⋅=-+-，故直线MN的方程为65280x y--=. 13分考点：1.椭圆方程；2.直线方程.19．已知函数1()()3xf x=，等比数列{}n a的前n项和为()f n c-，数列{}(0)n nb b>的前n项为nS，且前n项和nS满足12)n nS S n--=+≥．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式：（2）若数列11n nb b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n项和为nT，问使10052014nT>的最小正整数n是多少？【答案】（1）()213n na n=-…，()211nb n n=-…；（2）252.【解析】试题分析：（1）由已知得当2n…时，()()()12113nn na f n c f n c a a-=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则等比数列{}n a的公比13q=，又()2121193a a q f c∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a==-，由等比数列通项公式11nna a q-=可得所求数列{}n a的通项公式；由已知可先求出数列的通项公式，再求{}n b 的通项公式，因为11n n S S --=⇒==，1==，所以是首项为1，公差为1的等差数列，n =，即2n S n =，从而()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-，故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…；（2）由数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式1111111212322121n b b b n n n n -⎛⎫=⋅=- ⎪---+⎝⎭可采用裂项求和法先求出前n 项和111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1005100510051251201421201444n n T n n >⇒>⇒>=+，故满足条件的最小正整数n 是252. （1）因为等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c =，则当2n …时，()()()12113n n n a f n c f n c a a -=----=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 因为是等比数列，所以{}n a 的公比13q =. 2分 ()2121193a a q f c ∴=-==-⨯⎡⎤⎣⎦，解得121,3c a ==-.()213n nan ∴=-…. 4分 由题设知{}()0n n b b >的首项11b c ==，其前n项和n S满足)12n n S S n --=…，由11n n S S --=⇒=1==.所以是首项为1，公差为1的等差数列. 6分n =，2n S n =.()1212n n n b S S n n -=-=-…，又11211b ==⨯-. 故数列{}n b 的通项公式为()211n b n n =-…. 8分 （2）因为()211n b n n =-…，所以1111122121n b b b n n -⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭. 10分 111111121335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 12分要使10052014n T >，则1005212014n n >+.所以1005125144n >=. 故满足条件的最小正整数n 是252. 14分考点：1.数列通项公式；2.数列列前n 项和公式. 20．已知函数2()ln ,f x x ax x a R =+-∈. （1）当a=l 时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（3）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈(e 是自然对数的底数)时，函数g(x)最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）72a -…；（3）存在实数2a e =. 【解析】试题分析：（1）把1a =代入函数解析式得()2ln f x x x x =+-，且定义域为()0,+∞，利用导数法可求出函数的单调区间，由()()1211221x x f x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=+-=，分别解不等式()0f x '…，()0f x '…，注意函数定义域，从而可求出函数()f x 的单调区间；（2）此问题利用导数法来解决，若函数()f x 在[]1,2上是减函数，则其导函数()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立，又因为()0,x ∈+∞，所以函数()221h x x ax =+-，必有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……，从而解得实数a 的取值范围；（3）利用导数求极值的方法来解决此问题，由题意得()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈，则()11ax g x a x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x a =，通过对1a 是否在区间(]0,e 上进行分类讨论，可求得当10ea<<时，有()min 13g x g a ⎛⎫==⎪⎝⎭，满足条件，从而可求出实数a 的值.（1）当1a =时，()()2121121221x x x x f x x x x x⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭'=+-==. 2分因为函数()2ln f x x x x =+-的定义域为()0,+∞，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '…，当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '….所以函数()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 4分（2）()212120x ax f x x a x x+-'=+-=…在()1,2上恒成立. 令()221h x x ax =+-，有()()1020h h ⎧⎪⎨⎪⎩……， 6分得172a a -⎧⎪⎨-⎪⎩……，72a ∴-…. 8分（3）假设存在实数a ，使()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈有最小值3，()11ax g x a x x-'=-=. 9分 当0a …时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）； 10分 ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. ()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭，解得2a e =，满足条件； 12分③当1e a…时，()g x 在(]0,e 上单调递减， ()()min 13g x g e ae ∴==-=，4a e=（舍去）. 13分综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时，()f x 有最小值3. 14分考点：1.导数性质；2.不等式求解；3.分类讨论.。

河西区2013-2014学年度第一学期高二年级期末形成性质量调查 数学试卷(理科）一、选择题1.命题“若α=4π,则tan α=1”的逆否命题是 （A ）若α≠4π,则tan α≠1 （B ）若α=4π,则tan α≠1（C ）若tan α≠1,则α≠4π （D ）若tan α≠1,则α=4π2.已知命题p:1∈｛x │(x+2)(x+3)<0｝命题q:φ＝｛0｝，则下列判断正确的是 （A ） p 假q 真 （B ）“P ∨q ”为真（C ） “p ∧q ”为真 （D ）“¬p ”为真3.一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是（A ）(x ＋3)2＋y 2＝4 （B ）(x －3)2＋y 2＝1；（C ）(2x －3)2＋4y 2＝1 （D ）(x ＋32)2＋y 2＝1【解析】选C.设P (x ，y )，则C (2x －3,2y )．因C 在曲线上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1.4.已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上任一点p 到两焦点的距离和为6,离心率为322，则椭圆的标准方程为（A ）1922=+y x （B ）1922=+y x （C ）13622=+y x （D ）13622=+y x 5.已知双曲线2222x y 1a b-=,点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过右焦点F 2，AB=m ，F 1是另一焦点，则△ABF 1的周长是(A)2a+2m (B)4a+2m (C)a+m (D)2a+4m 【解析】选B.由双曲线的定义可知,|AF 1|-|AF 2|=2a, |BF 1|-|BF 2|=2a,又|AF 2|+|BF 2|=m,∴△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a+2m ，故选B.6.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12 7.与向量（-2，-3，6）同向的单位向量是(A)(236,,777--) (B)(236,,777-) (C)(236,,494949--) (D)(236,,494949-)【解析】选A.记a=(-2,-3,6) 则|a |=()()222236-+-+=7，与a 同向的单位向量为a 17|a |=(-2,-3,6)=(236,,777--) 8.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为 （A ）23 （B ）33 （C ）23（D ）63【解析】选D.建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则A(1,0,0),B(1,1,0), B 1(1,1,1),C(0,1,0), D 1(0,0,1)，则1BB=(0,0,1),AC=(-1,1,0),1CD =(0,-1,1),设平面ACD 1的法向量为n＝（x,y,z ）,则1n AC 0x y 0,,y z 0n CD 0⎧⋅=-+=⎧⎪⎨⎨-+=⋅⎩⎪⎩ ＝∴z=y,y=x.令x=1,则y=z=1,∴n=(1,1,1),设BB 1与平面ACD 1的夹角为θ，则11BB n 13sin 3|BB ||n |3⋅θ===⋅ , ∴26cos 1sin 3θ=-θ=.二、填空题9.命题“∃n ∈N ,使得2n>1000”的否定是_____________________.【答案】∀n ∈N,使得2n≤100010.函数y ＝x 2＋bx ＋c （x ∈［0，+∞））是单调函数的充要条件是________． 【答案】b ≥0【解析】 对称轴为x ＝－b2 ，要使y ＝x 2＋bx ＋c 在x ∈[0，＋∞)上单调，只需满足－b2≤0，即b ≥0.11.当为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．【答案】y 2＝32x 或x 2＝－12y12.若椭圆143222=+py x (p>0)的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为____________. 【答案】613.若双曲线1922=-my x 的渐近线方程为x 35±=y ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离为____________________. 【答案】5【解析】由题意可知m ＞0，∴双曲线22x y 19m-=的渐近线方程为y=±53x=±m 3x ，∴m=5，焦点坐标为（±14，0）．则焦点F 到渐近线的距离为d=5.14.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （4，1，3），B （2，-5，1），C （3，7，λ），若AB AC ⊥，则λ等于___________. 【答案】-14【解析】AB=（-2，-6，-2），AC =（-1，6，λ-3）， AB ·AC=2-36-2λ+6=0，∴λ=-14.三、解答题15.已知p:x 2-8x-20≤0，q:x 2-2x+1-m 2≤0（m>0），且¬p 是¬q 的必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】由x 2-2x+1-m 2≤0，得1-m ≤x ≤1+m ， 所以设¬q:A={x|x>1+m 或x<1-m,m>0}， 再由x 2-8x-20≤0，得-2≤x ≤10， 所以设¬p：B={x|x>10或x<-2}. 因为¬p 是¬q 的必要条件，所以A ⊆B ，由A ⊆B ，得m 01m 21m 10.>⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围是m ≥9.16.求与椭圆x 2144＋y 2169 ＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长，虚轴长，焦距，离心率，以及渐近线方程. 【答案】椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21， ∴双曲线的标准方程是y 24－x 221＝1，实轴长为4，虚轴长为221，焦距为10，离心率e ＝c a = 52渐近线方程是y ＝±22121x .17.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9. (Ⅰ)求该抛物线的方程；(Ⅱ)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB，求λ的值．【答案】(Ⅰ)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(Ⅱ)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.18.已知关于x 的方程2x 2-2tx+t 2-3t+4=0有两个实根,a =(-1,1,3), b=(1,0,-2),c =a +t b .(Ⅰ)当|c|取最小值时，求t 的值；(Ⅱ)在（Ⅰ）的情况下，求b 和c夹角的余弦值.【答案】（Ⅰ）因为关于x 的方程2x 2-2tx+t 2-3t+4=0有两个实根， 所以Δ=（-2t ）2-8（t 2-3t+4）≥0, 即2≤t ≤4.又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),所以()222|c |1t 132t =-+++- （）2765(t )55=-+.因为t ∈［2,4］时，上述关于t 的函数单调递增，所以当t=2时,|c|取最小值3. (2)当t=2时,c=(1,1，-1)， 所以b ccos b,c |b ||c |⋅=〈〉515353)1(11)2(0120122222=⋅=-++⋅-++++=19.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD,PD ∥QA,QA=AB=12PD. （Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （Ⅱ）求二面角Q-BP-C 的余弦值.【答案】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz. (Ⅰ)依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1）， P （0，2，0），则DQ=（1，1，0），DC =（0，0，1）， PQ=（1，-1，0），所以PQ ·DQ =0，PQ ·DC=0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ.(Ⅱ)依题意有B （1，0，1），CB=（1，0，0），BP=（-1，2，-1）.设n =（x ，y ，z ）是平面PBC 的法向量，则n CB 0n BP 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x 0x 2y z 0=⎧⎨-+-=⎩，因此可取n =（0，-1，-2）.设m 是平面PBQ 的法向量，则m BP 0m PQ 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取m =（1，1，1），所以cos 〈m ,n 〉=-155.故二面角Q-BP-C 的余弦值为-155.20.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(10)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (Ⅰ)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P F Q ⊥,求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>。

天津市2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)一、选择题：（共40分，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．i 为虚数单位，则ii-+11＝ ( )． A ．－i B ．－1 C ．i D ．1 2. 设b a 、为向量，则“b a b a =•”是“b a //”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D.1724. 如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ） A ．54 B.45 C. 65 D.565．某几何体的三视图如图2所示，则它的体积是( )． A ．8－2π3 B ．8－π3 C ．8－2π D.2π3图1否是开始输入Nk =1，S=0)1(1S ++=k k S1+=k kN k <输出S结束图26.设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，直线l过A (a,0)，B (0，b )两点，若原点O 到l的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A.233或2 B ．2 C.2或233D.2337．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 38.已知函数y=f(x)是定义在数集R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，xf /(x)<f(-x)成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41(log )41(log 22f c =,则a,b,c 的大小关系是（ ）A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b二、填空题：（本大题共有6小题，每小题5分，共30分）9. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2 :3 :5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 种型号产品有16件,那么此样本的容量=n ______.10.若83a x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为7，则实数a =_________. 11．若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2013＝________.12.直线415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（为参数t ）被曲线2cos()4πρθ=+所截的弦长为 13.如图，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OB 绕点O 逆时针旋转120°到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE ＝________.14.已知点(a ，b )不在直线x ＋y －2＝0的下方，则2a＋2b的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.(13分)已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 (1)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(2)设△A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=3，0)(=C f ,若sinB=2sinA ，求a,b 的值.16．（13分）一个袋中装有10个个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E (ξ)．17．（13分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； (3)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．18.(13分) 在直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,3-)、(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C,直线y=kx+1与C 交于A 、B 两点.(1)写出C 的方程;(2)若点A 在第一象限,证明当k>0时,恒有||||OB OA >.19.（14分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S是14与2(1)n a +的等比中项. （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）在（Ⅱ）的条件下，若3nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.（14分） 已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．2014届高三第一次六校联考数学试卷(理科)（答案）一、选择题1.C2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.A 二、填空题：9.80 10.21 11.3 12. 2211722.21005r d -=-=弦长＝ 773.13 14.4三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.（13分） 答案：（1）2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx 最小值.0,231最大值---------6分 （2）2,13===b a C ，π----------13分16．（13分）．(1)解:记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，则P (A )＝1－21025C C ＝79．-----3分(2)随机变量ξ的取值为0,1,2,3，------4分由于P (ξ＝0)＝C 35C 310＝112，-----6分 P (ξ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，------8分P (ξ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，-------10分 P (ξ＝3)＝112，------12分ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P112 512 512 112ξ的数学期望E (ξ)＝112×0＋12×1＋12×2＋12×3＝2.---------13分17．（13分）[解析] 以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E (a ，a 2，0)、F (a 2，a 2，a2)、P (0,0，a )．(1)EF →·DC →＝(－a 2，0，a 2)·(0，a,0)＝0，∴EF ⊥DC .-------4分(2)设G (x,0，z )，则G ∈平面PAD .FG →＝(x －a 2，－a 2，z －a2)，FG →·CB →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(a,0,0)＝a (x －a 2)＝0，∴x ＝a 2；FG →·CP →＝(x －a 2，－a 2，z －a 2)·(0，－a ，a )＝a 22＋a (z －a 2)＝0，∴z ＝0.∴G 点坐标为(a2，0,0)，即G 点为AD 的中点．---------8分 (3)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a2)＝0，(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a2(x ＋y ＋z )＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)． cos<BD →，n >＝BD →·n |BD →||n |＝a 2a ·6＝36，∴DB 与平面DEF 所成角的正弦值的大小为36------13分 18.（13分）解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,3-),(0,3)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴1)3(222=-=b ,------2分故曲线C 的方程为1422=+y x .-----5分(2)证明:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+.1,1422kx y y x 消去y 并整理,得(k 2+4)x 2+2kx-3=0,----- --7分 故43,42221221+-=+-=+k x x k k x x .-----------9分 22||-||OB OA =x12+y 12-(x 22+y 22)=(x 12-x 22)+4(1-x 12-1+x 22) =-3(x 1-x 2)(x 1+x 2)4)(6221+-=k x x k .---------11分 因为A 在第一象限,故x 1>0. 由43221+-=k x x 知x 2<0,从而x 1-x 2>0.又k>0,故0||||22>-OB OA , 即在题设条件下,恒有||||OB OA >.--------13分 19.（14分）解：（Ⅰ）221(1)4n a =+即21(1)4n n S a =+------1分 当1n =时，2111(1)4a a =+，∴11a =------2分 当2n ≥时，2111(1)4n n S a --=+∴221111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-------3分即11()(2)0n n n n a a a a --+--=------4分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --= ∴数列{}n a 是等差数列------5分（Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+------7分∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列 ∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+= ∴ 123n n b +=- ------9分 （Ⅲ）12132n n n n a n c b +-==+ ------10分 ∴2341135212222n n n T +-=++++ ① 两边同乘以12得345211352122222n n n T +-=++++ ②①-②得234512112222212222222n n n n T ++-=+++++-23411111111212222222n n n n T -+-=++++++-1111121323(1)22222n n n n n -++-+=+--=- ------14分 20.（14分）（1）解法1：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，----1分∴()2212a h x x x'=-+．3分∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a = -----5分解法2：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根1x =，2x =，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：1=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．------6分 当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． ----8分∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a ，又01a <<，∴a 不合题意．-------10分 ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()2x a x a f x x+-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ．-----12分③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e +≥1e +，得a ， 又a e >，∴a e >．------13分综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．-------14分。

2018-2019学年天津市河西区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算2.已知变量x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为（）A. B. 1 C. 3 D. 0【答案】B【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x＝1，y＝0时，z取得最大值1．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z＝F（1，0）＝1最大值故选：B．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．3.设为向量，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积公式推断与的充分必要关系.【详解】∵若向量一个或都为零向量，显然成立；若，，则，若，则，从而，是的充要条件．故选C.【点睛】要证明p是q的充要条件，要分别从p和，两个方面验证。

4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知该三视图的几何体表示的为三棱柱，且棱柱的高为2，底面为直角三角形，两直角边分别为1和2，根据底面积乘以高可知体积为v=，故可知答案为A.考点：三视图点评：主要是考查根据三视图还原几何体，来求解几何体的体积，属于基础题。

5.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：圆的圆心到直线的距离，圆的半径，所以弦长与两半径围成的三角形是等腰三角形，一底角为，所以顶角为，即劣弧所对的圆心角是考点：直线与圆相交问题点评：直线与圆相交时圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的直角三角形三边关系是常用的知识点6.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为，求出椭圆的焦点和顶点即可求得双曲线方程中的a、b.【详解】设双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3．∴双曲线为．故选：B．【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．7.函数是A. 奇函数且在上单调递增B. 奇函数且在上单调递增C. 偶函数且在上单调递增D. 偶函数且在上单调递增【答案】C【解析】试题分析：函数化简得，所以函数是偶函数，当时，是减函数，排除C项，所以选D考点：三角函数性质点评：本题考查到了三角函数奇偶性单调性，判断奇偶性的前提条件是看定义域是否对称，若不对称则为非奇非偶函数，三角函数中是奇函数，是偶函数8.已知函数，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．【详解】函数的图象如图所示：设x1＜x2＜x3，又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，当x＝3时，f（x）＝2，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝t，故x1x2x3＝（1）（1）（2+log2t）＝（t﹣1）（2+log2t），由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，可得g′（t）＝2+log2t0，即g（t）在（1，2）递增，又g（1）＝0，g（2）＝3，可得g（t）的范围是（0，3）．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.已知，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=______．【答案】【解析】【分析】由条件可得，a＝b+1+（b﹣1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值．【详解】∵已知，∴a＝（1+bi）（1﹣i），即a＝b+1+（b﹣1）i，∴，∴a＝2，b＝1，则a+bi＝2+i，故答案为 2+i．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．10.已知正方形的边长为，为的中点，则__________．【答案】2【解析】·=(+)·(-)=-·+·-·=22-×22=2.11.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为______，______．【答案】(1). 5(2). 8【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．【详解】根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x＝5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴16.8，解得：y＝8；综上，x、y的值分别为5、8．故答案为：(1). 5(2). 8【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．12.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________．【答案】【解析】有条件得a1＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，a1q4＝9，解得q＝±3，a1＝.13.设点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则l og2m+l og2n的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．【详解】∵点（m，n）在直线x+y＝1位于第一象限内的图象上运动∴m+n＝1，m＞0，n＞0，∴log2m+log2n＝log2（mn）≤log2（）2＝log22﹣2＝﹣2，当且仅当m＝n时“＝”成立．故答案为：﹣2．【点睛】本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．14.设函数f（x）在R上存在导数f'（x），∀x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上，f'（x）＜x，若f（6-m）-f（m）-18+6m≥0，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令g（x）＝f（x）x2，求出函数的单调性和奇偶性得到关于m的不等式，解出即可．【详解】令g（x）＝f（x）x2，∵g（x）+g（﹣x）＝f（x）x2+f（﹣x）x2=x2x2=0，∴函数g（x）是奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）递减，又由题意得：f（0）＝0，g（0）＝0，故函数g（x）在R递减，故f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m＝g（6﹣m）（6﹣m）2﹣g（m）m2≥0，即g（6﹣m）﹣g（m）≥0，∴g（6﹣m）≥g（m），∴6﹣m≤m，解得：m≥3，故答案为：[3，+∞）．【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查构造函数及转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共78.0分）15.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，（1）求sinA；(2）求边c的值．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）结合正弦定理，建立方程组关系进行求解．【详解】（1）cos（π﹣C）＝﹣cos C，则cos C，则sin C，sin B，则sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C．（2）∵，∴，则c a，又ac＝2，得c＝1．【点睛】本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，结合同角的关系式进行转化化简是解决本题的关键．16. 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （2）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学,3名女同学，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求被选中且未被选中的概率.【答案】（1）；（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“被选中，而未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可试题解析：（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为（2）从这名男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. 事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个.因此被选中且未被选中的概率为.考点：古典概型及其概率计算公式17. 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3)求二面角B－EF－A的余弦值．【答案】（1）见解析（2）（3）－【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BDC，又∵AB⊥BD，∴AB⊥平面BDC，故AB⊥DC，又∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，BC 平面ABC，DC平面ABC，故DC⊥平面ABC.(2)如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD＝a，则BD＝AB ＝2a，BC＝a，AD＝2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)，∴＝，＝(a，0，a)．设BF与平面ABC所成的角为θ，由(1)知DC⊥平面ABC，∴cos＝＝＝，∴sinθ＝.(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE平面ABC，AE平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角.在△AEB中，AE＝BE＝AC＝a，∴cos∠AEB＝＝－，即所求二面角B－EF－A的余弦为－.18.已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由数列的前n项和求解通项公式时一般借助于，分两种请款分别求解后验证其能否合并；（2）由数列的通项公式代入整理数列的通项为，结合特点求和时采用分组求和，将各项中形式的项和形式的项各分一组试题解析：（1）当时，可得；当时，可得．检验知，时也符合．故数列的通项公式为．（2）由（1）可得．记数列的前项和为，则．记，，则，．故数列的前项和．考点：1．数列求通项公式；2．分组求和19.已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】试题分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．20.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若时,,求的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值．（2）由（1）知，,令,即证时．先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，，设函数，．由题设可得，即，令得, ．．（6分）①若，则，∴当时，，当时，，即F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而．∴当时，，即恒成立．．（8分）②若，则，∴当时，，∴在单调递增，而，∴当时，，即恒成立，③若，则，∴当时，不可能恒成立．．（10分）综上所述，的取值范围为．（12分）考点：用导数研究函数的性质．。