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第2讲 一元二次不等式的解法[学生用书P107]1．三个“二次”间的关系(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式(x ＋1)(x ＋2)<0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1} B.{x |－1<x <2} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |x <－1或x >2}答案：A(教材习题改编)不等式－2x 2＋x <－3的解集为( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1 B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <32 C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－32或x >1 D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32 解析：选D .－2x 2＋x <－3， 即为2x 2－x －3>0，Δ＝25>0，方程2x 2－x －3＝0的两实根为x 1＝－1，x 2＝32，所以2x 2－x －3>0的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32.(教材习题改编)关于x 的不等式－12x 2＋mx ＋n >0的解集为{x |－1<x <2}，则m ＋n 的值为( )A ．－12B.－32C .12D ．32解析：选D .－12x 2＋mx ＋n >0，即为x 2－2mx －2n <0.由题意知，x 2－2mx －2n <0的解集为{x |－1<x <2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝2m ，－1×2＝－2n .所以m ＝12，n ＝1.所以m ＋n ＝32，故选D .不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得Δ＝a 2－16≥0， 即a 2≥16，所以a 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x >1或x <－1. 答案：{x |x >1或x <－1}一元二次不等式的解法(高频考点) [学生用书P108]一元二次不等式的解法是每年高考的重点，虽然考查的机会较少，但常与集合、分段函数、导数等内容综合考查，主要命题角度有：(1)不含参数的一元二次不等式； (2)含参数的一元二次不等式．[典例引领]角度一 不含参数的一元二次不等式求不等式－x 2＋8x －3>0的解集．【解】 因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13.又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．角度二 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 【解】 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0， 得(x －a )(x －1)＝0， 所以x 1＝a ，x 2＝1.①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }； ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅； ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．将本例中的不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，如何求解？ 解：若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0， 得1a<x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0， 得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．[注意] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[通关练习]1．设实数a ∈(1，2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B.(a 2＋2，3a ) C ．(3，4)D ．(3，6)解析：选B .由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0，得(x －3a )·(x －a 2－2)＜0，因为a ∈(1，2)，所以3a ＞a 2＋2，所以关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0的解集为(a 2＋2，3a )．故选B .2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集． 解：因为12x 2－ax >a 2， 所以12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >－a 4.一元二次不等式恒成立问题(高频考点)[学生用书P109]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．主要命题角度有：(1)在R 上的恒成立问题； (2)在给定区间上的恒成立问题； (3)给定参数范围的恒成立问题．[典例引领]角度一 在R 上的恒成立问题(1)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0) B.[－3，0) C ．[－3，0]D ．(－3，0](2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，4) B.[0，4) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)【解析】 (1)当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3，0]．(2)对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，所以0≤a <4. 【答案】 (1)D (2)B角度二 在给定区间上的恒成立问题设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0， 所以m <6， 所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度三 给定参数范围的恒成立问题对任意m ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在m ∈[－1，1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，g （1）＝（x －2）＋x 2－4x ＋4>0.解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1，1]，函数f (x )的值恒大于零．形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．[注意] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．[通关练习]1．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 2．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0， 则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数． 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎨⎧m <0，Δ＝4－4m （1－m ）<0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知，不存在这样的m .一元二次不等式的应用[学生用书P110][典例引领]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 【解】 (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．[通关练习]汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2>12， 即x 2＋10x －1 200>0，解得x >30或x <－40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30 km/h .但根据题意刹车距离略超过12 m.由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.一元二次不等式的求解策略(1)化：把不等式化为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法[学生用书P291(单独成册)]1．不等式(x －2)(2x －3)<0的解集是( ) A .⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(2，＋∞) B.R C .⎝⎛⎭⎫32，2D ．∅解析：选C .因为不等式(x －2)(2x －3)<0， 解得32<x <2，所以不等式的解集是⎝⎛⎭⎫32，2. 2．不等式1－x 2＋x ≥1的解集为( )A .⎣⎡⎦⎤－2，－12 B .⎝⎛⎦⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析：选B .1－x 2＋x ≥1⇔1－x 2＋x －1≥0⇔1－x －2－x2＋x ≥0⇔－2x －12＋x ≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B . 3．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集是( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－13<x <12B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <13C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－13或x >12 D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－12或x >13 解析：选C .由题意得方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根分别为－3，2，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－－5a ，－3×2＝b a ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝30. 则不等式bx 2－5x ＋a >0， 即为30x 2－5x －5>0， 即(3x ＋1)(2x －1)>0， ⇒x <－13或x >12.故选C .4．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( )A ．(－1，1) B.(0，1) C ．(－1，0)D ．(0，2)解析：选A .因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1， 所以－1<k <1.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B.[－4，3] C ．[1，3]D ．[－1，3]解析：选B .原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为________．解析：由已知ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a <0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45<0，即x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0，解得－1<x <45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 7．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0f （2）＞0，解得2≤a ＜52.答案：[2，52)8．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________．解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)， 即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋22. 依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6. 答案：69．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0， 当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5. 所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18 ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )． 解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0， 解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}． (3)当a <0时，原不等式可以化为 a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 由于1a<2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >2. 综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}； 当0<a <12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2.1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A .不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4) 内有解等价于a <(x 2－4x －2)max . 令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以g (x )<g (4)＝－2， 所以a <－2，故选A .2．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，4) B.(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4]D ．[－2，－1)∪(3，4]解析：选D .由题意得，原不等式化为 (x －1)(x －a )<0.当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3， 则3<a ≤4；当a <1时， 解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1， 则－2≤a <－1.故a ∈[－2，－1)∪(3，4]，故选D .3．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a －2)(a ＋1)对x ∈R 恒成立， 因为x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54， 所以(a －2)(a ＋1)≤－54，解得－12≤a ≤32，所以a max ＝32.答案：324．函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax 对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )恒成立． 设g (x )＝－(x 2＋2x )，而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.所以，实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 答案：(－3，＋∞)5．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题20二次函数与对称变换综合问题【例1】（2021秋•开化县月考）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”．例如：y＝（x﹣h）2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣（x﹣h）2+k．（1）请写出抛物线y＝（x﹣2）2﹣4的顶点坐标，及其“镜像抛物线”y＝﹣（x ﹣2）2+4的顶点坐标．写出抛物线的“镜像抛物线”为．（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C 关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'．①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．②求正方形BB'C'C所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点）【例2】（2022•巩义市模拟）已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于C点，点A的坐标为（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？（3）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022•济宁二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由．（3）图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标．【例4】（2022•合肥四模）已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值．一．解答题（共20题）1．（2022•广陵区二模）已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，y a）、B（a+2，y b），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是．2．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．3．（2022•荷塘区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（x1，0），B （x2，0）两点，且（x1＜0＜x2），交y轴于点C，顶点为D．（1）a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；（2）如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．4．（2022•绥江县二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象经过（3，0）．（1）求二次函数的对称轴；（2）点A的坐标为（1，0），将点A向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点B，若二次函数的图象与线段AB有公共点，求a的取值范围．5．（2022•兴化市二模）已知一次函数y＝kx+m的图象过点（2，3），A（k，y1）、B（k+1，y2）是二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+2m图象上的两点．（1）若该二次函数图象的对称轴是直线x＝1，分别求出一次函数和二次函数的表达式；（2）当点A、B在二次函数的图象上运动时，满足|y1﹣y2|＝1，求m的值；（3）点A、B的位置随着k的变化而变化，设点A、B的运动路线分别与直线x＝n交于点P、Q，当PQ＝2时，求n的值．6．（2022•三门峡一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．7．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）求此二次函数的表达式；（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．8．（2022秋•乐陵市校级月考）如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的对称轴、顶点坐标；（3）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积．（4）若点D为抛物线与x轴的另一个交点，在抛物线上是否存在一点M，使△ADM的面积为△ABC的面积的2倍，若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说明理由．9．（2022秋•永城市月考）如图，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且过点D（﹣1，4）．（1）求b的值及该二次函数图象的对称轴；（2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积；（3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M 的坐标．10．（2022秋•越秀区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），以AB为边向右作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，二次函数的图象经过点C．（1）求二次函数的解析式；（2）平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l，若直线l恰好将△ABC的面积分为1：2两部分，请求出直线l平移的最远距离；（3）将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到△AB'C，那么在二次函数图象上是否存在点P，使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2022秋•西城区校级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为；（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．12．（2022春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．13．（2022春•西湖区校级期末）如图所示，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D 落在OC上的F点．已知AO＝8，AD＝10．（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过O，F，且直线y＝6x﹣36是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点M（5，﹣5）是否在该抛物线上．（3）在（2）的条件下，若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较∠POF与∠MOF的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标x P的取值范围．14．（2022•南京模拟）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A（﹣1，0），C（0，﹣3）两点，对称轴为直线x＝1，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的点，当∠ACP＝45°时，求点P的坐标；（3）点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．15．（2022•兴宁区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），点A为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为，求的最小值．16．（2022•南京模拟）已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y 轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．（1）求点D的纵坐标．（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．17．（2021•九龙坡区校级模拟）若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求二次函数的解析式；（2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x 轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M 的坐标．18．（2022•成都模拟）如图1所示，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB取得最大值时点P的坐标；（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．19．（2022秋•甘井子区校级月考）抛物线y＝x2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，点C、D关于抛物线的对称轴对称．（1）抛物线的解析式是，△ABD的面积为；（2）在直线AD下方的抛物线上存在点P，使△APD的面积最大，求出最大面积．（3）当t≤x≤t+1时，函数y＝x2+bx+c的最小值为5，求t的值．（4）若点M在y轴上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时M点的坐标．20．（2021秋•沙坪坝区月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G．（1）求直线AE的解析式及△ACE的面积．（2）如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，求的最小值．（3）连接AC，将△AOC向右平移得△A'O'C'，当A'C'的中点恰好落在∠CAB的平分线上时，将△A'O'C'绕点O'旋转，记旋转后的三角形为△A″O′C″，在旋转过程中，直线A″C″与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面中是否存在一点Q，使得以C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11/ 1212/ 12。

因式分解法解一元二次方程典型例题解：（1）把方程左边因式分解为：2x-1)(3x-2)=02x-1=0或3x-2=0x1=1/2，x2=2/32）把方程左边因式分解为：27(x-1)(x+4)=0x-1=0或x+4=0x1=1，x2=-4说明：在用因式分解法解一元二次方程时，要注意将方程整理为一般式，然后将左边的代数式分解为一次因式的乘积，令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。

对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，也可以用因式分解法求出方程的解。

分析：一元二次方程通常可以用因式分解的方法求解，也可以用配方法或求根公式求解。

在解题时需要注意将方程化为A·B=0的形式，然后通过A=0或B=0求解方程的根。

解：（1）将方程化为2x^2-5=0的形式，移项得2x^2=5，再将两边都除以2得x^2=5/2.解这个方程得x=±√(5/2)。

2）将方程化为5x^2+2=2-2x-x^2的形式，移项得6x^2+2x-2=0.使用配方法，将6x^2+2x-2表示为(√6x+√2)^2-8=0的形式，然后移项得(√6x+√2)^2=8，再开根号得√6x+√2=±2√2.解这个方程得x=(±2√2-√2)/6=-√2/3或1/2.3）将方程化为2(x-3)^2+2(x^2-1)=4x+1的形式，移项得2x^2-5x-4=0.使用求根公式，得x=(5±√41)/4.4）使用求根公式，得x=(43±√(-39))/2.由于方程中出现了负数的平方根，因此该方程无实数解。

5）使用配方法，将方程表示为3(x-1/3)^2+1/3=0的形式，然后移项得3(x-1/3)^2=-1/3.由于方程左边是一个正数乘以一个平方，因此该方程无实数解。

所以方程有实数解，即20m2x2+11mnx-3n2=0可用求根公式求解，得x1,211mn±√(11^2m^2n^2+240mn^2)/40m^211n/4m。

查补易混易错04 一元二次方程根的判别式的参数问题一元二次方程根的判别式不仅是《一元二次方程》章节中的重要考点，也是二次函数求交点个数问题的重要方法。

中考数学中对该考点的考察中，一个特别重要的题型就是引入参数，由一元二次方程解的情况，求解方程中参数的取值范围；逆向考察亦可。

中考五星高频考点，在全国各地中考试卷中基本都有考察，难度中等偏上。

易错01：一元二次方程02=++c bx ax 根的判别式的几种情况：①042＞ac b - 2个不相等的实数根；②042=-ac b 2个相等的实数根③042＜ac b - 方程无实数根易错02：1.一元二次方程解的情况无论是什么，都必须先满足 0≠a ；2. 如果题目中出现方程02=++c bx ax 有实数根，则可以是一元一次方程，即不要求0≠a ；3. 有些一元二次方程根的判别式问题会和韦达定理一起考，出现方程的解为21x x 、时，注意联系韦达定理。

【中考真题练】1．（2022•淮安）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k ＝0没有实数根，则k 的值可以是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．12．（2022•内蒙古）对于实数a ，b 定义运算“⊗”为a ⊗b ＝b 2﹣ab ，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x 的方程（k ﹣3）⊗x ＝k ﹣1的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定3．（2022•巴中）对于实数a ，b 定义新运算：a ※b ＝ab 2﹣b ，若关于x 的方程1※x ＝k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）A．k＞﹣B．k＜﹣C．k＞﹣且k≠0D．k≥﹣且k≠0 4．（2022•西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1 5．（2022•营口）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＜4B．m＞﹣4C．m≤4D．m≥﹣4 6．（2022•辽宁）下列一元二次方程无实数根的是（）A．x2+x﹣2＝0B．x2﹣2x＝0C．x2+x+5＝0D．x2﹣2x+1＝0 7．（2022•包头）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（）A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或6 8．（2022•东营）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．9．（2022•扬州）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+＝0有两个不相等的实数根．10．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．【中考模拟练】1．（2023•佛冈县校级二模）关于x的一元二次方程2x2+4x+a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜0C．a＞2D．a≥4 2．（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．x2+1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣bx+1＝0（b为常数）D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数）3．（2023•北京一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣2 4．（2023•东城区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根5．（2023•文山市一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＞4B．k≤2C．k＜4且k≠0D．k≤2且k≠0 6．（2023•西城区一模）若关于x的方程mx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A．m＞﹣B．m≥﹣C．m＞﹣且m≠0D．m≥﹣且m≠0 7．（2023•临朐县一模）若关于x的方程x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．8．（2023•房山区一模）关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝，c＝．9．（2023•工业园区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．10．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于3，求k的取值范围．。

a2–b2因式分解a2 – b2是一个经典的二次差式，其公式为：a2 – b2 = (a + b)(a – b)其中，a 和 b 可以是任意实数。

这个公式很重要，因为它可以被用来因式分解任何形如 a2 – b2 的表达式，从而化简计算。

下面，我们来仔细探讨这个公式。

一、推导过程我们可以先将 a2 – b2 拆开，得到：a2 – b2 = a × a – b × b然后，我们可以再将这个表达式拆开，得到：a2 – b2 = (a + b) × (a – b)因为 a 和 b 可以是任意实数，所以这个公式是通用的。

二、应用举例现在，我们来看三个例子，来说明如何应用这个公式进行因式分解。

1. x2 – 9我们可以将 x2 – 9 写成:x2 – 9 = x2 – 32然后，我们可以用 a = x 和 b = 3：x2 – 32 = (x + 3)(x – 3)因此：x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)2. 4x2 – 16我们可以将 4x2 – 16 写成：4x2 – 16 = 4(x2 – 4)然后，我们可以用 a = x 和 b = 2：x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)因此：4x2 – 16 = 4(x + 2)(x – 2)3. 25y2 – 16z2我们可以将 25y2 – 16z2 写成：25y2 – 16z2 = (5y)2 – (4z)2然后，我们可以用 a = 5y 和 b = 4z：(5y)2 – (4z)2 = (5y + 4z) × (5y – 4z)因此：25y2 – 16z2 = (5y + 4z)(5y – 4z)总结因此，我们可以看到，a2 – b2是一个非常重要的公式，因为它可以被用来因式分解任何形如 a2 – b2 的表达式，从而化简计算。

在实际使用中，我们可以先尝试将表达式转化成 a2 – b2 的形式，然后再应用公式进行因式分解。

全国初一初中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（2014•烟台）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（）A．x=5，y=﹣2B．x=3，y=﹣3C．x=﹣4，y=2D．x=﹣3，y=﹣9 2.（2014•六盘水）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2014次输出的结果为（）A．3B．27C．9D．13.（2014•安徽）已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）A．﹣6B．6C．﹣2或6D．﹣2或304.（2014•雅安）若m+n=﹣1，则（m+n）2﹣2m﹣2n的值是（）A．3B．0C．1D．25.（2014•淄博）当x=1时，代数式ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（）A．7B．3C．1D．﹣76.（2014•湘西州）已知x﹣2y=3，则代数式6﹣2x+4y的值为（）A．0B．﹣1C．﹣3D．37.（2014•海口一模）当x=﹣1时，代数式x2﹣2x+1的值是（）A．0B．﹣2C．﹣1D．48.（2014•广东模拟）若m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值为（）A．﹣1B．1C．2D．39.（2014•丰润区二模）若2a﹣b=3，则9﹣4a+2b的值为（）A．12B．6C．3D．010.（2014•如东县模拟）若（x﹣1）2=2，则代数式2x2﹣4x+5的值为（）A．11B．6C．7D．811.（2014•保亭县模拟）当x=﹣2时，代数式x2﹣2x+1的值是（）A．1B．﹣1C．6D．912.（2013•苏州）已知x﹣=3，则4﹣x2+x的值为（）A．1B．C．D．13.（2013•威海）若m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值是（）A．3B．2C．1D．﹣114.（2013•济南）已知x2﹣2x﹣8=0，则3x2﹣6x﹣18的值为（）A．54B．6C．﹣10D．﹣1815.（2013•怀化）已知m=1，n=0，则代数式m+n的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．216.（2013•烟台模拟）代数式与x﹣2的差是负数，那么x的取值范围是（）A．x＞1B．x＞﹣C．x＞﹣D．x＜117.（2013•海港区二模）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为64，我们发现第一次输出的结果为32，第二次输出的结果为16，…，则第2013此输出的结果为（）A．1B．2C．4D．818.（2013•苏州一模）已知y=x﹣1，则（x﹣y）2+（y﹣x）+1的值为（）A．3B．2C．1D．﹣119.（2013•怀集县二模）当x=2时，代数式的值是（）A．﹣1B．0C．1D．120.（2012•靖江市模拟）已知y=ax5+bx3+cx﹣5．当x=﹣3时，y=7，那么，当x=3时，y=（）A．﹣3B．﹣7C．﹣17D．7全国初一初中数学同步测试答案及解析一、选择题1.（2014•烟台）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（）A．x=5，y=﹣2B．x=3，y=﹣3C．x=﹣4，y=2D．x=﹣3，y=﹣9【答案】D【解析】根据运算程序列出方程，再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用排除法求解．解：由题意得，2x﹣y=3，A、x=5时，y=7，故A选项错误；B、x=3时，y=3，故B选项错误；C、x=﹣4时，y=﹣11，故C选项错误；D、x=﹣3时，y=﹣9，故D选项正确．故选：D．点评：本题考查了代数式求值，主要利用了二元一次方程的解，理解运算程序列出方程是解题的关键．2.（2014•六盘水）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2014次输出的结果为（）A．3B．27C．9D．1【答案】D【解析】根据运算程序进行计算，然后得到规律从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，然后解答即可．解：第1次，×81=27，第2次，×27=9，第3次，×9=3，第4次，×3=1，第5次，1+2=3，第6次，×3=1，…，依此类推，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3，∵2014是偶数，∴第2014次输出的结果为1．故选：D．点评：本题考查了代数式求值，根据运算程序计算出从第4次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3是解题的关键．3.（2014•安徽）已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为（）A．﹣6B．6C．﹣2或6D．﹣2或30【答案】B【解析】方程两边同时乘以2，再化出2x2﹣4x求值．解：x2﹣2x﹣3=02×（x2﹣2x﹣3）=02×（x2﹣2x）﹣6=02x2﹣4x=6故选：B．点评：本题考查代数式求值，解题的关键是化出要求的2x2﹣4x．4.（2014•雅安）若m+n=﹣1，则（m+n）2﹣2m﹣2n的值是（）A．3B．0C．1D．2【答案】A【解析】把（m+n）看作一个整体并代入所求代数式进行计算即可得解．解：∵m+n=﹣1，∴（m+n）2﹣2m﹣2n=（m+n）2﹣2（m+n）=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．故选：A．点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．5.（2014•淄博）当x=1时，代数式ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（）A．7B．3C．1D．﹣7【答案】C【解析】把x=1代入代数式求出a、b的关系式，再把x=﹣1代入进行计算即可得解．解：x=1时，ax3﹣3bx+4=a﹣3b+4=7，解得a﹣3b=3，当x=﹣1时，ax3﹣3bx+4=﹣a+3b+4=﹣3+4=1．故选：C．点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．6.（2014•湘西州）已知x﹣2y=3，则代数式6﹣2x+4y的值为（）A．0B．﹣1C．﹣3D．3【答案】A【解析】先把6﹣2x+4y变形为6﹣2（x﹣2y），然后把x﹣2y=3整体代入计算即可．解：∵x﹣2y=3，∴6﹣2x+4y=6﹣2（x﹣2y）=6﹣2×3=6﹣6=0故选：A．点评：本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．7.（2014•海口一模）当x=﹣1时，代数式x2﹣2x+1的值是（）A．0B．﹣2C．﹣1D．4【答案】D【解析】直接把x=﹣1代入计算即可．解：当x=﹣1，原式=（﹣1）2﹣2×（﹣1）+1=1+2+1=4．故选D．点评：本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式中进行计算得到对应的代数式的值．8.（2014•广东模拟）若m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【答案】D【解析】把（m﹣n）看作一个整体并直接代入代数式进行计算即可得解．解：∵m﹣n=﹣1，∴（m﹣n）2﹣2m+2n=（m﹣n）2﹣2（m﹣n），=（﹣1）2﹣2×（﹣1），=3．故选D．点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．9.（2014•丰润区二模）若2a﹣b=3，则9﹣4a+2b的值为（）A．12B．6C．3D．0【答案】C【解析】所求式子后两项提取﹣2变形后，将2a﹣b的值代入计算即可求出值．解：∵2a﹣b=3，∴9﹣4a+2b=9﹣2（2a﹣b）=9﹣6=3．故选C点评：此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．10.（2014•如东县模拟）若（x﹣1）2=2，则代数式2x2﹣4x+5的值为（）A．11B．6C．7D．8【答案】C【解析】已知等式左边利用完全平方公式展开求出x2﹣2x的值，原式变形后将x2﹣2x的值代入计算即可求出值．解：∵（x﹣1）2=x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x=1，∴原式=2（x2﹣2x）+5=2+5=7．故选C点评：此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.（2014•保亭县模拟）当x=﹣2时，代数式x2﹣2x+1的值是（）A．1B．﹣1C．6D．9【答案】D【解析】将x=﹣2代入计算即可求出代数式的值．解：当x=﹣2时，原式=4+4+1=9，故选D点评：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.（2013•苏州）已知x﹣=3，则4﹣x2+x的值为（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值．解：∵x﹣=3，∴x2﹣1=3x∴x2﹣3x=1，∴原式=4﹣（x2﹣3x）=4﹣=．故选：D．点评：此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键．13.（2013•威海）若m﹣n=﹣1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【答案】A【解析】所求式子后两项提取﹣2变形后，将m﹣n的值代入计算即可求出值．解：∵m﹣n=﹣1，∴（m﹣n）2﹣2m+2n=（m﹣n）2﹣2（m﹣n）=1+2=3．点评：此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．14.（2013•济南）已知x2﹣2x﹣8=0，则3x2﹣6x﹣18的值为（）A．54B．6C．﹣10D．﹣18【答案】B【解析】所求式子前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．解：∵x2﹣2x﹣8=0，即x2﹣2x=8，∴3x2﹣6x﹣18=3（x2﹣2x）﹣18=24﹣18=6．故选B．点评：此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．15.（2013•怀化）已知m=1，n=0，则代数式m+n的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】B【解析】把m、n的值代入代数式进行计算即可得解．解：当m=1，n=0时，m+n=1+0=1．故选B．点评：本题考查了代数式求值，把m、n的值代入即可，比较简单．16.（2013•烟台模拟）代数式与x﹣2的差是负数，那么x的取值范围是（）A．x＞1B．x＞﹣C．x＞﹣D．x＜1【答案】A【解析】对题意进行分析，可将其转换为﹣（x﹣2）＜0，求x的取值范围，对不等式进行求解即可．解：由题意可知，x取值范围满足﹣（x﹣2）＜0，对不等式求解，可得x＞1．故选：A．点评：本题考查代数式求值与解不等式的综合运用，看清题意，计算时注意正负号．17.（2013•海港区二模）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为64，我们发现第一次输出的结果为32，第二次输出的结果为16，…，则第2013此输出的结果为（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】把x=64代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2013次输出的结果．解：把x=64代入得：×64=32，把x=32代入得：×32=16，把x=16代入得：×16=8，把x=8代入得：×8=4，把x=4代入得：×4=2，把x=2代入得：×2=1，把x=1代入得：1+3=4，∵（2013﹣3）÷3=670，∴第2013次输出的结果为1，故选A．点评：此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．18.（2013•苏州一模）已知y=x﹣1，则（x﹣y）2+（y﹣x）+1的值为（）A．3B．2C．1D．﹣1【答案】C【解析】根据已知条件整理得到x﹣y=1，然后整体代入计算即可得解．解：∵y=x﹣1，∴x﹣y=1，∴（x﹣y）2+（y﹣x）+1=12+（﹣1）+1=1．故选C．点评：本题考查了代数式求值，注意整体思想的利用使运算更加简便．19.（2013•怀集县二模）当x=2时，代数式的值是（）A．﹣1B．0C．1D．1【答案】B【解析】把x=2代入代数式进行计算即可得解．解：x=2时，（﹣1）（x2﹣2x+1）=（﹣1）（12﹣2+1）=0．故选B．点评：本题考查了代数式求值，是基础题，准确计算是解题的关键．20.（2012•靖江市模拟）已知y=ax5+bx3+cx﹣5．当x=﹣3时，y=7，那么，当x=3时，y=（）A．﹣3B．﹣7C．﹣17D．7【答案】C【解析】把x=﹣3代入解得﹣（35a+33b+3c）=12，把35a+33b+3c当成一个整体代入后面式子即可解答．解：把x=﹣3，y=7代入y=ax5+bx3+cx﹣5得：﹣35a﹣33b﹣3c﹣5=7，即﹣（35a+33b+3c）=12把x=3代入ax5+bx3+cx﹣5得：35a+33b+3c﹣5=﹣12﹣5=﹣17．故选C．点评：能够根据指数的意义发现代数式之间的关系，然后整体代值计算．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