3.1.2二元一次不等式组表示的平面区域教案 高中数学 必修五 苏教版(word版)

二元一次不等式表示的平面区域【三维目标】:一、知识与技能1.巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；2。

能用平面区域表示二元一次不等式组；3。

能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；二、过程与方法1.本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式（组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。

教师要善于引导学生思维，调动学习兴趣，让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用。

针对本堂课的特点，采用多媒体教学可更好地促进教学双赢2.经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；三、情感、态度与价值观1.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新。

2.培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神，并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育【教学重点与难点】：重点:理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式(组）表示平面区域。

【学法与教学用具】：1. 学法:通过分组讨论,让学生在活动中学会沟通和合作，提高分析和处理信息的能力.充分尊重学生的自主性,以学生探究为主，教师点拨为辅，重在培养创新2. 教学用具:直角板、投影仪（多媒体教室) 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】:一、创设情景，揭示课题通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义．那么，二元一次不等式组410 (1)4320 (2)x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的几何意义又如何呢？ 二、研探新知根据前面的讨论,不等式（1）表示直线104y x =-及其下方的平面区域;不等式（2）表示直线43200x y +-=及其下方的平面区域．因此，同时满足这两个不等式的点(,)x y 的集合就是这两个平面区域的公共部分(如下图①所示)．如果再加上约束条件0,0x y ≥≥,那么，它们的公共区域为图②中的阴影部分．图①图②三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 画出下列不等式组所表示的平面区域:（1)2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ （2）04380x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩解：(1）不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域；不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域．（2)原不等式组所表示的平面区域即为不等式4380x y +-<所表示的平面区域位于第一象限内的部分．思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解?（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解)例2ABC ∆三个顶点坐标为(0,4),(2,0),(2,0)A B C -，求ABC ∆内任一点(,)x y 所满足的条件．解:ABC ∆三边所在的直线方程：AB ：240x y -+=；AC ：240x y +-=；BC ：0y =．ABC ∆内任意一点都在直线,AB AC 下方，且在直线BC 的上方，故(,)x y 满足的条件为2402400x y x y y -+>⎧⎪+-<⎨⎪>⎩．例3满足约束条件202305350y x x y x y -≤⎧⎪++>⎨⎪+-<⎩的平面区域内有哪些整点?解:画图可得:共有(1,1)-、(2,2)-、(0,0)、(0,1)-四个点．例4 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.解:设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在30~20之间，所2030x y ≤+≤，考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++⨯+⨯≤,即240x y +≤另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥，把上面的四个不等式合在一起，得到：203024000x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分)四、巩固深化,反馈矫正1．（1）1+>x y ；（2）．y x >； (3）．y x >2．画出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥-≥-+53006x y y x y x 表示的平面区域3。

3．3．2二元一次不等式表示平面区域学习目标1.知识与技能了解二元一次不等式组的几何意义—表示坐标平面上的区域, 会画出二元一次不等式组所表示的平面区域以及由给定的平面直角坐标系上的平面区域写出其对应的二元一次不等式组.2.过程与方法通过与二元一次方程组的类比，以二元一次不等式的几何意义为基础，感受、理解二元一次不等式组的几何意义,培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想.3.情感、态度与价值观通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体会不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值,，激发学生的学习兴趣.教学过程一.问题情境我们已经知道，二元一次不等式410x y +≤表示的是直线410x y +=及直线下方的平面区域，那么二元一次不等式组表示怎么样的几何意义？二.学生活动 根据前面的讨论，不等式410x y +≤和4320x y +≤在平面直角坐标系中分别表示两个平面区域，因此，同时满足这两个不等式的点(,)x y 的集合就是这两个平面区域的公共部分如图:三.数学运用1.例题.例1：画出下列不等式组所表示的平面区域.(1)2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ (2) 004380x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩解:(略)思考:如何求满足不等式组(2)的整数解?例2：如图，ABC ∆三个顶点坐标为A （0，4），B （—2，0），C （2，0），求ABC ∆ 内任一点(,)x y 所满足的条件4104320x y x y +≤⎧⎨+≤⎩例2 例3 例3.将右图阴影部分用二元一次不等式组表示出来.例4. 画出不等式组(5)()003x y x yx-++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域.2.课堂练习:课本P.79第1、2、3、4题.四.课堂小结二元一次不等式组在直角坐标平面上对应的图形可按如下步骤给出：(1) 在坐标系中作出每个不等式对应的区域;(2) 取各个区域的公共部分.五.课后作业：课本P.86 第1（2），（3）、2、3题。

3．3.2 二元一次不等式组表示的平面区域学习目标 1.理解二元一次不等式组的几何意义.2.会画二元一次不等式组所表示的平面区域．知识点一二元一次不等式组思考类比二元一次方程组给出二元一次不等式组的概念．知识点二二元一次不等式组所表示的平面区域思考回顾上一节的内容，试回答下列问题：(1)如何判断Ax＋By＋C >0的解集到底对应哪个区域？(2)二元一次不等式组的解集对应的区域是什么？梳理由于不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集，所以满足二元一次不等式组的点(x，y)的集合就是各不等式表示的平面区域的公共部分．类型一 画不等式组表示的平面区域命题角度1 二元一次不等式组表示的平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域，并求平面区域的面积．反思与感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．跟踪训练1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域并求其面积．命题角度2 可化归为二元一次不等式组的不等式表示为平面区域例2 试画出满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的平面区域．引申探究|x|＜|2y|表示什么区域？反思与感悟在解题中常会遇到一些二元条件式，不一定是二元一次不等式．这时我们可以考虑通过等价转化化归为我们熟悉的二元一次不等式组形式．跟踪训练2 画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域．类型二用不等式组表示平面区域例3 在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组．反思与感悟 用不等式组表示平面区域，应先求等式即边界所在直线方程，再用特殊点确定不等号方向，最后联立不等式形成不等式组．跟踪训练3 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是________．1．画出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________．2．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．3．如图所示(阴影部分)的平面区域用不等式组可表示为____________．4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，那么该企业生产甲、乙两种产品的数量满足的关系式为__________________．1．平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性．对于A >0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，Ax ＋By ＋C >0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面．2．由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等．答案精析问题导学 知识点一思考 (1)由两个或两个以上的二元一次不等式组成的式子叫二元一次不等式组． (2)同时满足各不等式的(x ，y )叫不等式组的解． 知识点二思考 (1)因为同侧同号，同号同侧，所以可以用特殊点检验，当C ≠0时，一般取原点(0,0)，当C ＝0时，常取(0,1)或(1,0)． (2) 各个不等式表示区域的公共部分． 题型探究例1 解 先画直线x －y ＋6＝0(画成实线)，不等式x －y ＋6≥0表示直线x －y ＋6＝0上及右下方的点的集合．画直线x ＋y ＝0(画成实线)，不等式x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合．画直线x ＝3(画成实线)，不等式x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域为如图所示的阴影部分， 因此其区域面积也就是△ABC 的面积．显然，△ABC 是等腰直角三角形，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，B 点的坐标为(3，－3)．由点到直线的距离公式得AB ＝|1×3＋－－＋6|2＝122，∴S △ABC ＝12×122×122＝36.故不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积等于36.跟踪训练1 解 如图所示，其中的阴影部分即是不等式组所表示的平面区域．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1,3)． 同理得B (－1,1)，C (3，－1)．∴AC ＝22＋－2＝25，而点B 到直线2x ＋y －5＝0的距离为d ＝|－2＋1－5|5＝65 5. ∴S △ABC ＝12AC ·d ＝12×25×655＝6.例2 解 不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组②⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组①和②所表示的平面区域，如图．引申探究解 |x |＜|2y |等价于x 2＜(2y )2， 即(x －2y )(x ＋2y )＜0，亦即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＜0，x ＋2y ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＞0，x ＋2y ＜0，其表示的平面区域如图所示．跟踪训练2 解 |x |＋|y |≤1等价于(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0y ≥0x ＋y ≤1(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0y ≤0－x －y ≤1(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≤0x －y ≤1(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0－x ＋y ≤1其表示的平面区域为(1)(2)(3)(4)四个不等式组表示区域的并集如图．例3 解 如图所示，可求得直线AB ，BC ，CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0. ∵△ABC 区域在直线AB 右上方， ∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方，∴x －y ＋2≥0； 在直线AC 左下方，∴2x ＋y －5≤0.∴△ABC 区域可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.跟踪训练3 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1解析 阴影部分边界的三条直线为x －y ＝0，x ＋y －1＝0，y ＝－1，故阴影部分的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.当堂训练1.122.13.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y >0，x ≤14.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18。

二元一次不等式表示平面区域教学目标：1．会根据二元一次不等式确定它所表示的平面区域；2．能画出二元一次不等式组表示的平面区域；3．会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示。

教学重点：二元一次不等式表示平面区域。

教学难点：确定二元一次不等式表示的平面区域。

教学过程：1．复习回顾：在前面的学习中，我们了解了直线与二元一次方程的关系，这一节，我们来研究二元一次不等式所表示的平面图形（区域）。

2．讲授新课：1）二元一次不等式表示平面区域：一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域。

说明：①二元一次不等式Ax ＋By ＋C ≥0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界；②作图时，不包括边界画成虚线，包括边界画成实线。

推导：举例说明.2）判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：方法：取特殊点检验;原因：由于对在直线Ax ＋By ＋C ＝0的同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断Ax ＋By ＋C ＞0表示直线哪一侧的平面区域。

特殊地，当C ≠0时，常取原点检验。

为使大家熟悉这一方法，我们来看下面的例题.3．例题讲解：例1： 画出不等式2x ＋y －6＜0表示的平面区域.解：先画出直线2x ＋y －6＝0(画成虚线).取原点(0，0)，代入2x ＋y －6，因为2×0＋0－6＝－6＜0所以，原点在2x ＋y －6＜0表示的平面区域内，不等式2x ＋y －6＜0表示的区域如右图所示.例2：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域 分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解：不等式x －y ＋５≥0表示直线x －y ＋５＝0上及右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线3=x 上及左方的点的集合，所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域如右图所示 4．课堂练习：课本Ｐ77练习１～5.5．课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握二元一次不等式所表示平面区域的判断方法，并能作出二元一次不等式组所表示的平面区域．6．课后作业：课本Ｐ87习题1教学后记：。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+003000000101225000000y x y x y x 3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域教学目标：1．初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。

2．了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

3．培养学生观察、分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合、化归、类比、数形结合的数学思想。

教学重点与难点：1．重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。

2．难点：如何确定不等式Ax+By+C>0或0表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域。

教学过程：一、引入一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人货款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金呢？问题：这个问题存在一些不等关系，应该用什么不等式模型来刻划它们呢？二、新知探究1、 建立二元一次不等式模型（1） 把实际问题转化为数学问题：设用于企业贷款的资金为 x 元，用于个人贷款的资金为 y 元（2） 把文字语言转化为符号语言：资金总数为25000000元，得到25000000≤+y x ‥‥‥①由于企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，得到30000%)10(%)12(≥+y x 即 30000001012≥+y x ‥‥‥ ②考虑到企业贷款和个人贷款的资金数都不能是负值，于是0,0≥≥y x ‥‥‥ ③（3）抽象出数学模型：分配资金应满足的条件：2、 定义（1） 二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式；（2） 二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组；探究：二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x ，y ）构成的集合；二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

3．3.1二元一次不等式表示的平面区域明目标、知重点 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，掌握简单的二元线性规划问题的解法，培养数学应用意识和解决实际问题的能力．1．二元一次不等式(组)的概念(1)把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．(2)把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线y＝kx＋b把平面分成两个区域：①y>kx＋b表示直线上方的平面区域；②y<kx＋b表示直线下方的平面区域．(2)一般地，直线Ax＋By＋C＝0把平面分成两个区域：①Ax＋By＋C>0表示Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界．而不等式Ax＋By＋C≥0表示区域时则包括边界，把边界画成实线．②在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax ＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．[情境导学]上节我们用一元二次不等式表示了生活中一种量的不等关系，在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，怎样表示现实生活中存在的一些不等关系？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一二元一次不等式(组)的有关概念问题某工厂生产甲、乙两种产品，生产1 t甲种产品需要A种原料4 t、B种原料12 t，产生的利润为2万元；生产1 t乙种产品需要A种原料1 t、B种原料9 t，产生的利润为1万元．现有库存A种原料10 t、B种原料60 t，如何安排生产才能使利润最大？思考1 问题中含有多个数据，为更好理解题意，如何把这些数据以表格的形式列出？ 答思考2 设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、y ，你能根据题意列出x 、y 满足的不等关系吗？答 根据题意，A 、B 两种原料分别不得超过10 t 和60 t ，又产量不可能为负，于是可得二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，12x ＋9y ≤60，x ≥0，y ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0.思考3 设利润为P (万元)，如何安排生产才能使利润最大转变成怎样的一个数学问题？答 转化为在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0下，求出x 、y ，使利润P ＝2x ＋y 达到最大．小结 (1)把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．(2)上述得到的二元一次不等式组称作对变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件．(3)上述问题中得到的函数P ＝2x ＋y 是一个含有两个变量x 、y 的函数，叫做目标函数．由于P ＝2x ＋y 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫做线性目标函数． 探究点二 二元一次不等式表示的平面区域思考1 坐标满足二元一次方程4x ＋y ＝10的点组成的图形是一条直线l ，怎样判断点(x 1，y 1)在不在直线l 上呢？答 点的坐标满足直线的方程，则点在直线上；点的坐标不满足直线方程，则点不在直线上． 思考2 直线l ：y ＝10－4x 将平面分成上、下两个半平面，坐标满足不等式y >10－4x 的点和坐标满足不等式y <10－4x 的点是否在直线l 上呢？与直线l 的位置有什么关系呢？答 不在直线l ：y ＝10－4x 上，坐标满足不等式y >10－4x 的点在直线l 上方的平面区域中，坐标满足不等式y <10－4x 的点在直线l 下方的平面区域中． 小结 一般地，直线y ＝kx ＋b 把平面分成两个区域(如图所示)：(1)y>kx＋b表示直线上方的平面区域；(2)y<kx＋b表示直线下方的平面区域．思考3对于二元一次不等式Ax＋By＋C>0(A2＋B2≠0)，如何确定它所表示的平面区域？答从直线Ax＋By＋C＝0的某一侧(一定不在直线上)选取一特殊点(x0，y0)(当C≠0时，常把原点(0,0)选作此特殊点)；计算Ax0＋By0＋C的值，得出Ax0＋By0＋C的符号，若Ax0＋By0＋C>0，则不等式Ax＋By＋C>0表示含点(x0，y0)的一侧；否则，不等式Ax＋By＋C>0表示不含点(x0，y0)的一侧．例1画出下列不等式所表示的平面区域：(1)y>－2x＋1；(2)x－y＋2>0.解(1)，(2)两个不等式所表示的平面区域如图所示．反思与感悟寻找二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示的区域，通常取直线Ax＋By＋C＝0一侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧是该不等式表示的区域．当C≠0时，利用“原点定域”法简单易行．跟踪训练1画出不等式x－2y＋6≥0表示的平面区域．解在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，由于所求区域包含直线，故画成实线．取点(0,0)代入x－2y＋6，由0－2×0＋6>0知原点(0,0)在不等式x－2y＋6≥0表示的平面区域内，如图所示．例2将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来(图(1)中的区域不包括y轴)：答(1)x>0.(2)6x＋5y≤22.(3)y>x.反思与感悟在已知平面区域前提下，用不等式表示已知平面区域，可在各条直线外任取一点，将其坐标代入Ax＋By＋C，判断其正负，确定每一个不等式．跟踪训练2将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来：(1)可以用________表示；(2)可以用________表示．答案(1)2x＋y≤0(2)x－y－2＜0解析(1)(－1,0)在区域内，2×(－1)＋0≤0，平面区域可以用2x＋y≤0表示．(2)(0,0)在区域内，0－0－2＜0，平面区域可以用x－y－2＜0表示．1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是________．(填序号)①(0,0)，②(1,1)，③(0,2)，④(2,0)．答案④解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内．2．不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的________方．答案右下解析在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内．3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．答案(－1,6)解析由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，即(a＋1)(a－6)<0，∴－1<a<6.4．画出下面二元一次不等式表示的平面区域．(1)x －2y ＋4≥0；(2)y >2x .解 (1)画出直线x －2y ＋4＝0， ∵0－2×0＋4＝4>0，∴x －2y ＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界． (2)画出直线y －2x ＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y －2x >0(即y >2x )表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．[呈重点、现规律]1．对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时，(1)Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域； (2)Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．一、基础过关1．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．答案 t >23解析 因为点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，所以3t >2×(－2)＋6，即t >23.2．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 答案 (－7,24)解析 因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x －2y －a ＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a ]×[3×4－2×(－6)－a ]<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 3．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________． 答案 －1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎨⎧a >0a ＋1≤0.无解． ②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则⎩⎨⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0.综上所述，－1<a ≤0.4．若点(0,0)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方区域，则点(1,3)在此直线的________．(填“下方”还是“上方”) 答案 上方解析 ∵直线3x －2y ＋a ＝0的上方区域的点的坐标满足y >32x ＋a2，∵点(0,0)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方区域，∴a 2<0，∴a <0.又∵32×1＋a2－3＝a －32<0，∴点(1,3)在此直线的上方区域．5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x ∈N *y ∈N *6．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，那么该企业生产甲、乙两种产品的数量满足的关系式为__________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18解析由题意知，x 、y 满足的关系式为⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋y ≤132x ＋3y ≤18.7．要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求．解设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张．⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥15，x＋2y≥18，x＋3y≥27，x≥0，y≥0.用图形表示以上限制条件，得到如下图的平面区域(阴影部分)．二、能力提升8．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x－by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是____________．答案(－32，－12)解析P(1，－2)关于原点的对称点为(－1,2)，代入不等式，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b＋1>0，－2－2b＋1>0.解不等式组，即可得b的取值范围－32<b<－12.9．现有下列5个命题：①原点在x＋y≥0表示的区域内；②点(－1，－1)在x＋y＋1<0表示的区域内；③点(1,2)在y>2x表示的区域内；④点(0,2)在x－2y＋5>0表示的区域内；⑤点(1,1)在－x＋5y＋6<0表示的区域内．则正确的命题是______．(将你认为正确命题的序号填在横线上)答案①②④解析将各点坐标代入各不等式中，看是否使不等式成立，若成立，则该点在不等式所表示的平面区域内．只有①②④中各点代入后使不等式成立，所以正确的命题为①②④.10．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________．答案－3解析 由点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离d ＝|4m －9＋1|5＝4，得m ＝7或m ＝－3.又点P在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，当m ＝－3时，点P 的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m ＝7时，点P 的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m ＝－3.11．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t ，硝酸盐18 t ；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1 t ，硝酸盐15 t ．现库存磷酸盐10 t ，硝酸盐66 t ，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式． 解 设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则满足以下条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0.12．某人准备投资1 200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．用数学关系式表示上述的限制条件． 解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40.另外，开设的班数不能为负，则x ≥0，y ≥0.把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎨⎧20≤x ＋y ≤30x ＋2y ≤40x ≥0y ≥0.三、探究与拓展13该厂有工人200人，每天只能保证160千瓦时的用电额度，每天用煤不得超过150吨，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．解 设每天分别生产甲、乙两种产品x 吨和y 吨．生产x 吨甲产品和y 吨乙产品的用电量是(2x ＋8y )(千瓦时)，根据条件，有2x ＋8y ≤160； 用煤量为(3x ＋5y )(吨)，根据条件，有3x ＋5y ≤150； 用工人数(5x ＋2y )(人)，根据条件，有5x ＋2y ≤200； 另外，还有x ≥0，y ≥0.综上所述，x 、y 应满足以下不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.。

3．3.1 二元一次不等式表示的平面区域 3．3.2 二元一次不等式组表示的平面区域1.了解不等关系，并抽象出二元一次不等式(组)．2.理解满足二元一次不等式的数对(x，y)表示的平面区域，理解二元一次不等式组的几何意义．3.掌握应用平面区域表示二元一次不等式组的方法．[学生用书P51])1．二元一次不等式(组)的概念(1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；(2)由二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组．2．平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界；不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定(1)把直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点(x0，y0)取原点．即“线定界，点定域”．(3)每一个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分，就是二元一次不等式组所表示的区域．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．( )(2)点(1，2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．( )(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．( )(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式．( )(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域．( )解析：(1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，表示的区域是直线x＝12的右侧(不包括边界)．(2)错误．把点(1，2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1，2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．(3)错误．不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为二元一次不等式组．(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．直线x ＋2y －1＝0右上方的平面区域可用不等式____________表示．解析：用右上方特殊点(1，1)代入x ＋2y －1得结果为2>0.所以所求为x ＋2y －1>0. 答案：x ＋2y －1>03．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋12>0，2x ＋y －4<0，y >0所表示的平面区域的面积是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，它是一个底边长为5，高为4的三角形区域，其面积S ＝12×5×4＝10. 答案：104．已知点A (1，0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________．解析：因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1，0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m >－12二元一次不等式表示的平面区域[学生用书P52]画出不等式x －2y ＋4>0表示的平面区域． 【解】 先作出直线x －2y ＋4＝0，因为这条直线上的点不满足x －2y ＋4>0，所以画成虚线． 取原点(0，0)，代入x －2y ＋4得0－2×0＋4>0，所以原点在x －2y ＋4>0表示的平面区域内．所以不等式x －2y ＋4>0表示的平面区域如图阴影部分所示． 画出不等式x －2y ＋4≥0表示的平面区域． 解：设F (x ，y )＝x －2y ＋4，画出直线x －2y ＋4＝0， 因为F (0，0)＝0－2×0＋4＝4＞0，所以x －2y ＋4＞0表示的区域为含(0，0)的一侧，因此所求平面区域如图阴影部分所示，包括边界．画二元一次不等式表示的区域，一般可先将不等式化为Ax ＋By ＋C >0(A >0)的形式，再按直线定边界，特殊点定区域两步进行，也可用观察法，注意直线的虚实和特殊点的选择．1.画出不等式y >2x 表示的平面区域． 解：设F (x ，y )＝y －2x ， 画出直线y －2x ＝0，因为F (1，0)＝0－2×1＝－2＜0，所以y －2x ＞0(即y ＞2x )表示的区域为不含(1，0)的一侧，因此所求平面区域如图阴影部分所示，不包括边界．二元一次不等式组表示的平面区域[学生用书P53]已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，4x ＋3y ≤12.(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求不等式组所表示的平面区域的面积．【解】 (1)不等式4x ＋3y ≤12表示直线4x ＋3y ＝12上及其左下方的点的集合；x >0表示直线x ＝0右方的所有点的集合；y >0表示直线y ＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．(2)如图所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S ＝12×4×3＝6.在本例条件下，求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标． 解：如图，当x ＝1时， 代入4x ＋3y ≤12，得y ≤83，所以整点为(1，2)，(1，1)． 当x ＝2时，代入4x ＋3y ≤12，得y ≤43，所以整点为(2，1)．所以区域内整点共有3个，其坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1)．(1)画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤(2)求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积． ①若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解．②若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解． 2.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋3>0，x ＋y ＋1>0所表示的平面区域．解：如图，在平面直角坐标系内画出直线l 1：2x －y －2＝0(实线)，l 2：x －2y ＋3＝0(虚线)，l 3：x ＋y ＋1＝0(虚线)．将原点(0，0)的坐标代入各不等式中，确定各不等式表示的区域，不等式组表示的平面区域是它们的公共部分，如图阴影部分所示．由平面区域写出对应的二元一次不等式组[学生用书P53]在△ABC 中，A (3，－1)，B (－1，1)，C (1，3)，写出△ABC (包含边界)内部所对应的二元一次不等式组．【解】 如图，直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)．直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0， 直线BC 的方程为x －y ＋2＝0， 把(0，0)代入2x ＋y －5＝－5<0， 所以AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.把(0，0)代入x ＋2y －1＝－1<0，而(0，0)不在三角形区域内． 所以AB 右上方的区域为x ＋2y －1>0. 同理BC 右下方的区域为x －y ＋2>0. 又因为包含边界，所以不等式组应为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≤0，x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0.解决此类题目应先求出区域各边界对应的直线方程，根据区域的虚实确定各个不等式中是否有等号，然后在区域内(或外)找一个点，将坐标代入直线方程的左边，确定不等号方向，进而求出相对应的各个不等式，从而列出表示给定区域的二元一次不等式组．3.用不等式组表示以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形内部(不含边界)的平面区域．解：因为△ABC 的三个顶点坐标分别为A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)，所以直线AB 的方程为7x －5y －23＝0，直线BC 的方程为4x ＋y ＋10＝0，直线AC 的方程为x ＋7y －11＝0.因为原点O (0，0)在区域内，把x ＝0，y ＝0代入7x －5y －23得－23<0； 把x ＝0，y ＝0代入4x ＋y ＋10得10>0； 把x ＝0，y ＝0代入x ＋7y －11得－11<0.所以以A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形内部的平面区域可以用不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23<0，4x ＋y ＋10>0，x ＋7y －11<0表示． 用二元一次不等式组表示实际问题[学生用书P54]一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：品种 电力/千瓦时煤/t 工人/人 甲 2 3 5 乙852该厂有工人200150 t ，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．【解】 设每天分别生产甲、乙两种产品x t 和y t ，生产x t 甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x ＋8y )千瓦时，根据条件，有2x ＋8y ≤160； 用煤量为(3x ＋5y )t ，根据条件，有3x ＋5y ≤150； 用工人数为(5x ＋2y )人，根据条件，有5x ＋2y ≤200； 另外，还有x ≥0，y ≥0.综上所述，x ，y 应满足以下不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)．用二元一次不等式组表示实际问题的步骤(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示． (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．(3)由实际问题中有关的限制条件及问题中所有量均有实际意义的限制条件写出所有的不等式．(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．4.要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：规格类型钢板类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板 2 1 1 第二种钢板123张数的取值范围．解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，则：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋2y ≥18，x＋3y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，用图形表示以上限制条件，得到如图的平面区域(阴影中整点部分)．1．准确把握二元一次不等式的解集二元一次不等式的解集是满足此二元一次不等式的变量x 和y 的取值所构成的有序数对(x ，y )的集合．有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．于是，二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合．2．二元一次不等式组表示的平面区域的理解(1)含义．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)画法．不等式组表示的平面区域的画法依然采用“直线定界，特殊点定域”的方式．在作直线的过程中，作图要规范，相对的位置要准确，用特殊点代入Ax ＋By ＋C 定域时，若C ≠0，则一般选取(0，0)代入；当C ＝0时，一般选取点(1，0)或(0，1)．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是________．[解析] 不等式y ≤2x ＋1表示直线y ＝2x ＋1右下方的平面区域及直线上的点；不等式x ＋2y >4表示直线x ＋2y ＝4右上方的平面区域；所以这两个平面区域的公共部分就是⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋1，x ＋2y >4所表示的平面区域．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋1，x ＋2y >4(1)易出现结果⎩⎪⎨⎪⎧y <2x ＋1，x ＋2y >4，忽略了y ＝2x ＋1为实线．(2)画不等式(组)表示的平面区域时，直线作图要精确，上方下方要分清，边界虚实不混淆；写平面区域对应的不等式(组)时，边界虚实要分清．1．给出下列各点：A (1，－3)，B (2，0)，C (3，1)，D (0，－2)，其中在不等式3x －2y <6表示的平面区域内的是________．解析：将各个点的坐标代入3x －2y ，计算结果与6比较，符合3x －2y <6的即为所求的点． 答案：D2．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6<0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6<0，解得t >23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 3．若点A (－2，b )不在平面区域2x －3y ＋5≥0内，则b 的取值范围是________． 解析：由题意知2×(－2)－3b ＋5＜0， 所以b ＞13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 4．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形, [学生用书P107(单独成册)])[A 基础达标]1．不等式x ＋2y －6<0表示的平面区域在直线x ＋2y －6＝0的①左下方；②左上方；③右上方；④右下方，其中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)解析：将原点(0，0)代入x ＋2y －6得0＋2×0－6<0，而原点在直线x ＋2y －6＝0的左下方，故不等式x ＋2y －6<0表示的平面区域在直线x ＋2y －6＝0的左下方．答案：①2．不等式x －3y ≥0表示的平面区域是________．(填序号)解析：取测试点(1，0)，排除①③；由边界线x －3y ＝0可排除②，故填④. 答案：④3．已知点A (0，0)，B (1，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则在不等式3x ＋2y －1≥0表示的平面区域内的点是________．解析：注意点C 在边界上，亦满足题意． 答案：B ，C4．若点(－2，m )在直线2x －3y ＋6＝0的下方区域，则实数m 的取值范围为________． 解析：将直线方程写成y ＝23x ＋2，所以直线的下方区域可用不等式y <23x ＋2表示，由题意(－2，m )满足y <23x ＋2，即m <23×(－2)＋2＝23.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，235．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，则A (1，0)，B (0，1)，C (1，1＋a )，且a >－1.因为S △ABC ＝2，所以12(1＋a )×1＝2，所以a ＝3.答案：36．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，y ≥0表示的平面区域的面积为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，它是一个三角形截去一角，容易求得其面积为1034.答案：10347．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有________个．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5，0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5，0)．答案：18．若以原点为圆心的圆全部在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，2x ＋y －4≤0，3x ＋4y ＋9≥0表示的平面区域内，则圆的面积的最大值为________．解析：因为原点到直线x －3y ＋6＝0，2x ＋y －4＝0，3x ＋4y ＋9＝0的距离分别为3105，455，95，且455<95<3105，所以以原点为圆心，455为半径的圆是所给平面区域内面积最大的圆，其面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝16π5.答案：16π59．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＞2y ，y ≥0所表示的平面区域．解：先画出直线2x ＋y －4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x ＋y －4＝0左下方的区域内的点(0，0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x ＋y －4≤0表示直线2x ＋y －4＝0及其左下方的区域．同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x ＞2y 表示直线x ＝2y 右下方的区域，不等式y ≥0表示x 轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．10．某工厂制造A 型电子装置45台，B 型电子装置55台，需用薄钢板为每台装置配一个外壳．已知薄钢板的面积有两种规格：甲种每张可做A ，B 两型电子装置外壳分别为3个和5个；乙种每张可做A ，B 两型电子装置外壳各6个．请用平面区域表示需用甲、乙两种薄钢板张数的取值范围．解：由题意可列表如下，设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N .则其平面区域如图阴影部分中的整点所示．[B 能力提升]1．当直线ax ＋y ＋b ＝0从两点P (1，1)，Q (2，1)之间通过时，则实数a ，b 满足的关系式为________．解析：因为直线ax ＋y ＋b ＝0从P ，Q 两点间通过，所以P ，Q 两点分居直线ax ＋y ＋b ＝0的两侧，所以(a ＋1＋b )(2a ＋1＋b )<0，即(a ＋b ＋1)(2a ＋b ＋1)<0，这就是实数a ，b 所满足的关系式．答案：(a ＋b ＋1)(2a ＋b ＋1)＜02．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________．解析：区域D 如图中的阴影部分所示，直线y ＝kx ＋1经过定点C (0，1)，如果其把区域D 划分为面积相等的两个部分，则直线y ＝kx ＋1只要经过AB 的中点即可．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，3x －y －3＝0，解得A (1，0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得B (2，3)．所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入直线方程y ＝kx ＋1得，32＝32k ＋1，解得k ＝13.答案：133．某市政府准备投资1 200万元筹办一所中学．经调查，班级数量以20至30个班为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元和58万元．将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来．解：设初中x 个班，高中y 个班，此时办学所需资金为(28x ＋58y )万元，市政府准备投资1 200万元，则28x ＋58y ≤1 200，班级数量是非负整数，且要满足20≤x ＋y ≤30，即满足⎩⎪⎨⎪⎧28x ＋58y ≤1 200，x ＋y ≥20，x ＋y ≤30，x ，y ∈N .所以，办学规模应是图中阴影部分的整数点所表示的班级数量．4．(选做题)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8≥0，x ＋y ≥0，x ≤4表示的平面区域是Q .(1)求Q 的面积S ；(2)若点M (t ，1)在平面区域Q 内，求整数t 的取值的集合．解：(1)作出平面区域Q ，它是一个等腰直角三角形(如图阴影部分所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＝4，解得A (4，－4)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＝4，解得B (4，12)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＋y ＝0，解得C (－4，4)．于是可得AB ＝16，AB 边上的高d ＝8.所以S ＝12×16×8＝64. (2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧t －1＋8≥0，t ＋1≥0，t ≤4，t ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－7，t ≥－1，t ≤4，t ∈Z ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤4，t ∈Z ，得t ＝－1，0，1，2，3，4. 故整数t 的取值的集合是{－1，0，1，2，3，4}．。

第6课时二元一次不等式表示的平面区域 知识网络学习要求1． 了解二元一次不等式的几何意义，会作出二元一次不等式表示的平面区域．2． 由二元一次不等式表示的平面区域能写出对应的不等式3． 进一步体会数形结合的思想方法，开拓数学视野．【课堂互动】自学评价１．二元一次方程表示的图形 一条直线２．二元一次不等式表示平面区域的含义：二元一次不等式解对应点构成的图形．3.不等式x+y-1>0表示的平面区域：是直线x+y-1=0右上方的平面区域．【精典范例】例1．画出下列不等式所表示的平面区域(1)y>－2x+1(2)x －y+2>0(3)y ≤－2x+3【解】略．作平面区域步骤 定侧方法 二元一次不等式表示的平面区域 含义 逆向问题听课随笔例2.已知P(x0 , y0)与点A(1 , 2)在直线l : 3x+2y－8=0两侧, 则( Ｃ)A. 3x0+2y0>0B. 3x0+2y0<0C. 3x0+2y0>8D. 3x0+2y0<8思维点拔：1.画平面区域的步骤：(1)先画不等式对应的方程所表示的直线（包括直线时，把直线画成实线，不包括直线时，把直线画成虚线）简称＂画线＂．(2)再通过选点法判定在直线的哪一侧．选点法中所选点常常为(0,0),(1,0)或(0,1)等，简称＂定侧＂2.规律揭示(1)直线y=kx+b把平面分成两个区域：y>kx+b表示直线上方的平面区域；y＜kx+b表示直线下方的平面区域．(2)对于Ａx+Ｂy+Ｃ＞０（或＜０）表示的区域：当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＞０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０上方的平面区域；当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＜０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０下方的平面区域．追踪训练1．判断下列命题是否正确(1)点(0,0)在平面区域x+y≥0内 (是)(2)点(0,0)在平面区域x+y+1<0内（否）(3)点(1,0)在平面区域y>2x内（否）(4)点(0,1)在平面区域x-y+1>0内（否）2.不等式x+4y-9≥0表示直线 x+4y-9=0 （Ｃ）A.上方的平面区域B. 下方的平面区域C. 上方的平面区域(包括直线)D. 下方的平面区域(包括直线)３．用＂上方＂或＂下方＂填空若Ｂ＜０，不等式Ａx+Ｂy＋Ｃ＞０表示的区域在直线Ａx+Ｂy＋Ｃ＝０的下方；不等式Ａx+Ｂy＋Ｃ＜０表示的区域在直线Ａx+Ｂy＋Ｃ＝０的上方．4.画出下列不等式表示的平面区域(1)y≤x-1 (2)y<0(3)3x-2y+6>0 (4)x>2图略．5.已知两个点Ａ(-3，-1)和Ｂ(4，-6)分布在直线-3x+2y+a=0的两侧，则a 的取值范围为 （－７，２４） ． 例２.将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来. (图(1)中不包括y 轴)（２）2256≤+yx（３）x y >思维点拔：有关画平面区域的逆向问题．需要注意如下两方面问题： (1)注意边界是虚线还是实线以确定不等式是否有＂＝＂．(2)选点法或用结论定侧，以确定不等式中的符号方向． 追踪训练将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来. (图(1)中不包括y 轴)听课随笔解：（１）11<<-x （２）02≤+y x（３）02<--y x。

二元一次不等式（组）的平面区域教案教学设计3．5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域整体设计教学分析前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义．作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用．然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型．教材通过举例验证和归纳猜想的途径，得出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应的画法．其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示．本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程．能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题的重要基础．由于二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，决定了问题的研究应从二元一次不等式所表示的平面区域入手．②注重探究方法．充分理解二元一次不等式解集的几何意义，以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．③注重探究手段．信息技术可作为探究平台，有条件的学校可利用信息技术手段对直线Ax＋By＋C＝0一侧的点P(x，y)的坐标进行跟踪显示，并将点P(x，y)的坐标代入Ax＋By ＋C中，观察所得值的符号，由学生发现处于直线Ax＋By＋C＝0同侧的点的坐标代入Ax＋By＋C中符号都相同，直线Ax＋By＋C＝0异侧的点的坐标代入Ax＋By＋C中符号不同，由此得到判定Ax＋By＋C＞0(＜0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．三维目标1．通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．2．通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想．尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生大胆探索，勇于创新的科学精神．重点难点教学重点：会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)让学生阅读教材，自己得出二元一次不等式(组)的概念，教师结合多媒体点出本节所要解决的问题，由此展开新课的进一步探究．思路2.(类比导入)可采用与一元一次、一元二次不等式的类比引出，借助“类比”思想，通过与熟悉的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)比较，引出二元一次不等式(或组)的概念．由此展开新课．推进新课新知探究提出问题1 让学生阅读教材，并回答什么是二元一次不等式 组 ？其解集是什么？2 二元一次不等式解集的几何意义是什么？3 怎样判断二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域？4 直线Ax＋By＋C＝0将平面内的点分成了哪几类？活动：教师引导学生得出二元一次不等式(组)的概念后，借助多媒体课件进一步探究二元一次不等式解集的几何意义，以及如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域，以直线l：x＋y－1＝0为例．如图．由直线方程的意义可知，直线l上的点的坐标都满足l的方程，并且直线l外的点的坐标都不满足l的方程．事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0左下方的平面区域内．如(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＞0，(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点在直线x＋y－1＝0的右上方．(－1,2)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＝0，(－1,2)点在直线x＋y－1＝0上．(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＜0，(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)点在直线x＋y－1＝0的左下方．如图．因此，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立．这个结论不仅对这个具体的例子成立，而且对坐标平面内的任一条直线都成立．一般地，直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分．直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域．当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断．如把(0,0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.这说明x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x ＋y－1＝0的同一侧．如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断．讨论结果：(1)含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式．构成的不等式组称为二元一次不等式组．(2)二元一次不等式解集的几何意义为：不等式表示的区域或不等式的图象．(3)取点验证．(4)将平面内的点分成了三类：在直线上，在直线左右两侧．应用示例例1(教材本节例1)活动：通过本例要教给学生如何画出二元一次不等式所表示的区域．要严格要求学生按规定画图，并且画图时要细致、正确．注意开区域和闭区域边界的画法．教师要给出示范．直线画成虚线表示不包括边界，画成实线表示包括边界．点评：本例的关键是正确画出直线2x－y－3＝0和3x＋2y－6＝0.阴影部分用短线表示，且短线要画得均匀美观.变式训练画出以下不等式表示的平面区域．(1)x－y＋1＜0；(2)2x＋3y－6＞0；(3)2x＋5y－10≥0;(4)4x－3y≤12.解：(1)(2)(3)(4)例2画出不等式组x＋3y＋6≥0，x－y＋2活动：教师引导学生正确画出边界直线，注意虚线、实线，同时根据给出的不等式判断出所表示的平面区域，将平面区域的公共部分用阴影表示出来．解：x＋3y＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合．x－y＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合．如下图阴影部分．点评：在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.变式训练1．画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域．解：不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0右下方的平面区域，x＋y≥0表示直线x＋y＝0右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如下图中的阴影部分．点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．引导学生观察所画出的图形是个封闭图形，三条直线两两相交的交点是个实点．2．若A为不等式组x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．答案：74解析：在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，以及直线x＋y＝a从a＝－2到1连续变化时，动直线扫过A中的那部分区域．可以看出，该区域是四边形OCDE(如图)，且C(－2,0)，D(－12，32)，E(0,1)．因此所求区域的面积为12×2×2－12×1×12＝74.例3画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．活动：教师引导学生将题中不等式转化为两个不等式组：x＋2y＋10或x＋2y＋1>0，x－y＋4然后由学生自己操作，教师指导学生严格按要求画图．解：不等式可转化为不等式组：x＋2y＋1>0，x－y＋40表示的区域，如下图．点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.变式训练1．在平面直角坐标系中，由满足不等式组3x－y－8≤0，x≥y，x＋y≥0的点组成的图形为F，则A(4,4)、B(5,0)、C(2，－1)三点中，在F内(含边界)的所有点是________．答案：A、C解析：由题意，如图，A(4,4)、C(2，－1)在区域内，B(5,0)不在区域内(也可将点的坐标代入不等式组验证)．2．已知点A(0,0)、B(1,1)、C(2,0)、D(0,2)，其中不在不等式2x＋y＜4所表示的平面区域内的点是________．答案：C(2,0)解析：不等式可变形为2x＋y－4＜0，对应的直线为2x＋y－4＝0.A点是坐标原点，代入2x＋y－4得－4＜0，即原点A在不等式所表示的区域内．把B、C、D点坐标依次代入2x＋y－4，由所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2x＋y－4＝0的同侧或异侧．可判断出C(2,0)符合条件．(或将点代入验证)点评：此类型的题的解法，就是将点的坐标代入二元一次不等式，若不等式成立，则可得点在二元一次不等式所表示的区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的区域内.例4(教材本节例3)活动：教材安排本例的目的是分散难点．首先让学生了解恰当地运用字母表示实际问题中的变量，就可以将复杂的实际问题中的变量关系转化为二元一次不等式组，然后利用下一节知识解决．教学时教师引导学生将题中的数量关系用不等式组表示出来．由于变量x、y题已经给出，学生仅是将文字语言转换为数学语言，难度不大，可由学生自己完成.变式训练甲、乙、丙三种药品中毒素A、B的含量及成本如下表：甲乙丙毒素A(单位/千克)600700400毒素B(单位/千克)800400500成本(元/千克)4911某药品研究所想用x千克甲种药品，y千克乙种药品，z千克丙种药品配成100千克新药，并使新药含有毒素A不超过56000单位，毒素B 不超过63000单位.用x、y表示新药的成本M(元)，并画出相应的平面区域．解：由已知，得x＋y＋z＝100，∴M＝4x＋9y＋11z＝4x＋9y＋11(100－x－y)＝1100－7x－2y.又600x＋700y＋(100－x－y)≤56000，800x＋400y＋500(100－x－y)≤63000，∴2x＋3y≤160，3x－y≤130，x＋y≤100，x≥0， y≥0.表示的区域如下图所示：知能训练1．画出不等式2x＋y－6＜0表示的平面区域．2．某人上午7：00乘汽车以匀速v1千米/时(30≤v1≤100)从A地出发到距300km的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以匀速v2千米/时(4≤v2≤20)从B地出发到距50km的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地，设乘汽车、摩托车行驶的时间分别是x、y小时，则在xOy 坐标系中，满足上述条件的x、y的范围阴影部分表示正确的是() 3．在平面直角坐标系中，不等式组x＋y－2≥0，x－y＋2≥0，x≤2表示的平面区域的面积是()A．42B．4C．22D．24．若a≥0，b≥0，当且仅当x≥0，y≥0，x＋y≤1时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域的面积等于()A.12B.π4C．1D.π25．本节探索与研究本节后的探索与研究宜针对较好的学生进行，让其明白其结论的原理．在向量知识的基础上明白道理不是太困难的事．实际画图时，也并不需要画出直线的法向量，只需取点验证即可．因此本内容不宜对一般学生进行，以免冲淡了本节的主题．答案：1．解：先画直线2x＋y－6＝0(画成虚线)．取原点(0,0)代入2x＋y－6，因为2×0＋0－6＝－6＜0，所以原点在2x＋y－6＜0表示的平面区域内，不等式2x＋y－6＜0表示的区域如左下图所示．2．B解析：由题意得xv1＝300，yv2＝50，9≤x＋y≤14，而30≤v1≤100,4≤v2≤20，则不等式组变化为3≤x≤10，2.5≤y≤12.5，9≤x＋y≤14. 3．B解析：画出不等式组表示的平面区域如图．可知面积＝12×4×2＝4.4．C解析：由ax＋by≤1恒成立知，当x＝0时，by≤1恒成立，∴0≤b≤1；同理0≤a≤1，∴以a，b为坐标点P(a，b)所形成的平面区域是一个边长为1的正方形，其面积为1.课堂小结1．由学生自己回顾本节课的探究过程，整合二元一次不等式组与平面区域的关系，注意如何表示边界的虚与实，明确不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域(不包括边界直线)．2．教师画龙点睛．比较是最好的学习方法，通过两个不等式的比较，寻找出共同的规律，进而发现二元一次不等式表示平面区域的主要性质及结论．画图是我们的弱点，而准确画图是学好这部分内容的关键，要有意识地加强这方面的训练．作业习题3—5A组1、2；习题3—5B组1.设计感想1．本小节设计注重了学生的动手操作能力，因为技能的学习必须亲身体验获得．强化格式的规范也相当重要，在学生的动手操作过程中这些都可以得到充分体现．2．本小节设计注重了方法的启发引导：从特殊到一般，化陌生为熟悉，先研究特殊的二元一次不等式所表示的平面区域．让学生经历“观察、归纳、猜想及证明”的全过程，这是本节的主要环节．备课资料一、备用习题1．已知点P1(0,0)、P2(1,1)、P3(13，0)，则在3x＋2y－1≥0表示的平面区域内的点是()A．P1、P2B．P1、P3C．P2、P3D．P22．不等式x－2y＋6＞0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的() A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方3．不等式组 x－y＋5 x＋y ≥0，0≤x≤3表示的平面区域是一个() A．三角形B．矩形C．梯形D．直角梯形4．不等式|x－2|＋|y－2|≤2表示的平面区域的面积为________．5．直线3x＋y－3＝0上位于x轴下方的一点P到直线x－y－1＝0的距离为32，则P点坐标为________．6．用三条直线x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式组________表示．7．画出不等式x2＋xy－2y2＋3y－1＜0表示的平面区域．8．某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？参考答案：1．C解析：将点代入验证．2．B解析：取特殊点(0,0)验证．3．C解析：不等式组 x－y＋5 x＋y ≥0，0≤x≤3，可转化为x－y ＋5≥0，x＋y≥0，0≤x≤3或x－y＋5≤0，x＋y≤0，0≤x≤3，画图即可．4．8解析：去掉绝对值符号后，可得该不等式表示的区域面积为12×2×2×4＝8.5．(52，－92)解析：设P(t,3－3t)，P在x轴下方，则3－3t＜0.∴t＞1，d＝|t－ 3－3t －1|2＝32，|t－1|＝32.由t＞1，得t＝52.于是P(52，－92)．6.x＋2y2x－y7．解：x2＋xy－2y2＋3y－1＜0 (x－y＋1)(x＋2y－1)＜0x －y＋1>0，x＋2y－10.其表示的平面区域如图阴影部分(不包括边界)所示．8．解：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得60x＋70y≤500，x≥3且x∈N，y≥2且y∈N.二、二元一次方程组的图象解法看一个二元一次方程y＝2x＋3，我们可以列表把这个方程的解表示出来：在坐标平面内描点、画图(如图)．这样得出来的图形就是二元一次方程y＝2x＋3的图象．图象上每一个点的坐标，如(－3，－3)就表示方程y ＝2x＋3的一个解x＝－3，y＝－3.对比一次函数的图象，不难知道，二元一次方程y＝2x＋3的图象就是一次函数y＝2x＋3的图象，它是一条直线．引申：怎样利用图象解二元一次方程组呢？看下面的例子：x＋y＝3，①3x－y＝5.②先在同一直角坐标系内分别画出这两个二元一次方程的图象(如图)．由方程①，有过点(0,3)与(3,0)画出直线x＋y＝3.由方程②，有过点(0，－5)与(53，0)画出直线3x－y＝5.两条直线有一个交点，交点的坐标就表示两个方程的公共解，交点坐标是(2,1)，所以原方程组的解是x＝2，y＝1.这与用代入法或加减法解得的结果相同．提问在解二元一次方程组时，会遇到其中一个方程是x＝3或y＝2这种形式．x＝3或y＝2的图象是怎样的呢？方程x＝3可以看成x＋0•y＝3，它的解列表为X…3333…y…－1012…可以看到，无论y取什么数值，x的值都是3，所有表示方程x＝3的解的点组成一条直线，这条直线过点(3,0)，且平行于y轴．这条直线就是方程x＝3的图象，即直线x＝3(如图)．同样，方程y＝2的图象是过点(0,2)，且平行于x轴的一条直线，即直线y＝2(如图)．。