2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)

“一诊”数学模拟试卷（总分：140分 时间：120分钟）一、选择题(共12个小题,每小题3分,共36分)1、下列图形中，中心对称图形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、抛物线2222++-=m x x y （m 是常数）的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若关于x 的方程x 2+2x ﹣3=0与=有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或34．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD 的长为（ ）A ．B ．2C ．2D ．8 5．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB 绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A 对应，则角α的大小为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6、若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（ ）A． B． C． D．7、关于x 的一元二次方程()0112=-++-a x x a 的一个根是0，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．-1或18．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC = 2AD ， AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则231S S S +=（ ）． A ．3 B ．25 C ．2 D ．23B A D O CS 1S 3S 29、关于x 的一元二次方程()01412=--+x x a 有两个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．5->a B ．1-5≠->a a 且 C ．5-<a D ．1-5≠-≥a a 且10、圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°11、函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①240b c ->；②10b c ++=；③360b c ++=；④当13x <<时，2(1)0x b x c +-+<；其中正确的个数是（ ） 第11题图A ．1B ．2C ．3D ．412、抛物线过点A （2,0），B （6,0），C （1，3），平行于x 轴的直线CD 交抛物线于点C 、D ，以AB 为直径的圆交直线CD于点E 、F ，则CE+FD 的值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6第12题图二、填空题（共6个小题,每小题3分，共18分）13、若点P （2,3）与点P ＇(b a +2,b a 2+)关于原点对称,则b a -的值为 ．14、方程012222=+-++k k kx x 的两个实数根1x ，2x 满足2221x x +=4，则k 的值为 ． 15、如图，圆形转盘中，A ，B ，C 三个扇形区域的圆心角分别为150°，120°和90°. 转动圆盘后，指针停止在任何位置的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘），若转动圆盘一次，则指针停在B 区域的概率是 .第15题图 第16题图 第17题图 第18题图16、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°．把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°后得到△''C AB ，若AB=4，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 .17、如图，直线AB 交圆O 于A 、B 两点，圆O 的半径为1，弦AB=2，点P 与圆心O 在直线AB 的同侧，且在圆O 外运动，∠APB=x °，则x 的取值范围是 .18、如图,AB 是半圆O 的直径,以OA 为直径的半圆O ＇与弦AC 交于点D,O ＇E ∥AC,并交OC 于点E,则下列四个结论:①点D 为AC 的中点；②S △O′OE =21S △AOC ；③AC=2AD;；④四边形O′DEO 是菱形，其中正确结论是 .三、解答题（本题共86分）19、（本小题16分）解方程：（1）()()1132+=+x x x （2）12244212=---++x x x x20、（本小题14分）关于x 的方程x 2﹣（2k ﹣1）x+k 2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x 1、x 2，存不存在这样的实数k ，使得|x 1|﹣|x 2|=？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由．21、（本小题14分）绵阳市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p （元/千克）与时间第t （天）之间的函数关系为：，日销售量y （千克）与时间第t （天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y 与时间t 的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m （m ＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．22、（本小题14分）正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ．（1）求证：EF=FM ；（2）当AE=1时，求EF 的长．23、（本小题14分）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 、BN 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 分别交AM 、BN 于点D 、C ，DO 平分∠ADC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ．24（14分）已知二次函数)0(3)3(2>--+=m x m mx y 的图象如图所示.（1）求证：图象与x 轴必有两个不同的交点；（2）这条抛物线与x 轴交于()0,1x A 、()0,2x B ()21x x <，与y 轴交于点C ，且4=AB ，⊙M 过A 、B 、C 三点，求扇形MAC 的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使△PBD （x PD ⊥轴于D ）被直线CB 分成面积比为1 ：2的两部分？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.。

2024届四川省南充市高三上学期一诊考试文科综合试题（解析版）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

4.考试结束，将答题卡交回。

第I卷本卷共35小题，每小题4分，共140分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

同城快递是在市内寄递物品的快递服务类型，快递包裹主要通过城市路面道路运输。

2022年，我国某一线城市同城快递业务量为5.99亿件，2023年9月起，该市地铁以“客货混载”的方式运快递，为全国首例利用城市轨道交通非高峰时段（停运时段除外）富余运力运输快递的试点项目，据此完成下面小题。

1. 与同城快递路面道路运输方式相比，地铁运输（）①受天气影响大②准点率提高③物流成本降低④碳排放增加A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④2. 市民最可能看见地铁运输快递的是（）A. 02:00进城方向B. 08:00进城方向C. 10:00出城方向 D. 18:00出城方向3. 该市推广地铁运输快递项目的有利条件有（）①地铁运行里程短，快递送达速度快②客流高峰期短，富余运力较多③地铁运营线路多，全市通达条件好④城市人口较多，投递需求量大A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】1. B 2. C 3. D【解析】【1题详解】与地面交通相比，地铁运输受天气影响小，准点率高，以电力为主，碳排放减少，但是运输成本高，②③正确，①④错误。

所以选B。

3东莞市A. 经济因素B. 政治因素C. 自然灾害D. 社会因素5. 据表分析，我国人口首次流动和再次流动呈现出来的特征是（）A. 首次流动以西部地区人口流出为主B. 首次流动以跨省的长距离流动为主C. 再次流动珠三角地区的吸引力增强D. 再次流动流入地均为省会或直辖市【答案】4. A 5. B【解析】【4题详解】据表可知，我国人口流动的主要方向是从中西部地区流向东部地区，从内陆地区流向沿海地区，这些地区之间的主要差别是经济发展水平，因此影响我国人口流动的最主要因素是经济因素，A正确；政治因素、自然灾害、社会因素对我国人口流动的影响较小，B、C、D错误。

绵阳南山高2021级高三（上）一诊模拟考试文科数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，本试卷收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合2{|20}P x x x =-<，{N |1}Q x x =∈≥，则P Q = （）A.{1,2}B.{1}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，再根据交集的定义可求得结果.【详解】220x x -<，02x ∴<<，{}02A x x ∴=<<，又{}N 1B x x =∈≥，{}1A B ∴⋂=.故选：B.2.已知向量()()1,,,2a m b m == ，若4a b =，则实数m 等于（）A. B.0C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的计算规则求解.【详解】由题意：41234,3a b m m m m =⨯+⨯==∴= ；故选：D.3.下列函数中，既是奇函数，又在[0,1]上单调递减的是（）A.sin y x =-B.3y x =C.1y x x=+D.||e x y =【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.【详解】由sin y x =-定义域为R 且sin()sin x x --=，易知sin y x =-为奇函数，又π[0,1][0,]2⊆，故sin y x =-在[0,1]上递减，A 符合.由3y x =在[0,1]上递增，B 不符合；由1y x x=+定义域为{|0}x x ≠，显然区间[0,1]不满足定义域，C 不符合；由||e x y =定义域为R 且||||e e x x -=，即||e x y =为偶函数，D 不符合；故选：A4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.60【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.5.“0a b <<”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.【详解】由0a b <<，则11a b>成立，充分性成立；由11a b>，若1,1a b ==-，显然0a b <<不成立，必要性不成立；所以“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A6.已知β是第三象限角，则点()cos ,sin 2Q ββ位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为β是第三象限角，故sin 0,cos 0ββ<<，则sin 22sin cos 0βββ=>，故()cos ,sin 2Q ββ在第二象限，故选：B7.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A8.已知命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >；q ：若0a >，则1(1)(1a a++4≥，则下列命题为真命题的是（）A.p q ∧B.p q∧⌝ C.p q⌝∧ D.p q⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据条件分别判断命题p ，命题q 的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.【详解】命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，由正弦定理得a b >，所以A B >，为真命题，当0a >，对于()111122a a a a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =时等号成立，所以命题q ：若0a >，则1(1)(1)a a++4≥，为真命题，所以p q ∧为真命题，p q ∧⌝假命题，p q ⌝∧假命题，p q ⌝∧⌝假命题，故选：A.9.函数y＝2x x e(其中e 为自然对数的底数)的大致图像是()A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.【详解】方法一：排除法：当0x =时，0y =，排除C ，当0x ≠时，0y >恒成立，排除A 、D ，故选B.方法二：222(2)'x x x xx e x e x x y e e⋅-⋅-==，由'0y > ，可得02x <<，令'0y <，可得0x <或2x >，所以函数在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，所以只有B 符合条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.10.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.0.82B.1.15C.3.87D.5.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.【详解】根据题意可得1530507.5C C λλ⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，所以31lg lg 104λ=，可得1lg2lg 220.3014 1.153lg 310.4771lg 10λ--⨯==≈=--⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．12.设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（）A.12e- B.211e-C.212e -D.212e +【答案】C 【解析】【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -'=+，所以过切点的切线方程为()()()0000e 1e x xy x x x ----=+-，即()()0001e e 1x xy x x --=+-+，所以()001e e 1xx a b x --⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，所以0002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----'=-+-=-，所以当(),2x ∈-∞时()0g x '<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时()0g x '>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】45##0.8【解析】【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.【详解】由π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得ππ4cos cossin sin sin 665ααα+-=，14cos sin 225αα-=，所以2π2π4sincos cos 335αα+=，所以2π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故答案为：4514.等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，则710a a +=___________．【答案】108【解析】【分析】根据等比数列的性质可得23614a a q a a +=+，求得2q ，继而根据471036()a a q a a +=+求得答案.【详解】由题意等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则236141234a a q a a +===+，故471036()912108a a q a a +=+=⨯=，故答案为：10815.如图，在ABC 中，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ()m R ∈，则m 的值为___________．【答案】14【解析】【分析】12AP mAC AB =+改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数m 的方程，解之即可.【详解】因为12AP mAC AB =+ ，2AD DB =即，32AB AD= 所以1324AP mAC AB mAC AD =+=+ ,又,,C P D 三点共线，所以314m +=，解得14m =.故答案为：14.16.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x -=成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，有下列命题：①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ；②函数()y f x =图象关于直线5x =-对称；③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点；④函数()y f x =在[5,3]--上为减函数．则以上结论正确的是___________．【答案】①②【解析】【分析】由题意分析()f x 的对称性、单调性、周期性，对结论逐一判断.【详解】根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；由(2)()f x f x -=得()()(11)(11)f x f x --=+-，即(1)(1)f x f x -=+所以1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()()f x f x f x -==--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]12,0,1x x ∈，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[]0,1上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1,1]-上单调递增；据此分析选项：对于①，(2)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，()()()()12320195040(1)(2)(3)0f f f f f f f ++++=⨯+++= ，故①正确；对于②，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x =是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，故②正确；对于③，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6，故③错误；对于④，()f x 在区间[1,1]-上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5,3]--上为增函数，故④错误；故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设{}n a 是公差不为0的等差数列，38a =，1311,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式：（2）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）31n a n =-（2）364n nS n =+【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列方程可求出1,a d ，从而可求出通项公式，（2）由（1）得13113132n n n b a a n n +==--+，再利用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =⋅又因为38a =，所以()()288288d d =-+，所以230d d -=．因为0d ≠，所以3d =，所以11268a d a +=+=，得12a =，故()23131n a n n =+-=-．【小问2详解】因为()()1331131323132n n n b a a n n n n +===--+-+，所以11111125573132n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ -+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11323264n n n =-=++．18.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到()g x 的图象，求函数()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．【答案】（1）π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据函数图象求出A =πT =，进而得出ω.根据“五点法”，即可求出ϕ的值；（2）先求出π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据已知得出22333x πππ-≤-≤.结合正弦函数的单调性，解ππ2π2233x ≤-≤，即可得出答案.【小问1详解】由图易知A =，5π262π3πT =-=，所以πT =，2π2π2πT ω===．易知π44T =，故函数()f x 的图象经过点π12M ⎛ ⎝，π212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．又π2ϕ<，∴π3ϕ=．∴π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意，易知πππ()22333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为02x π≤≤时，所以22333x πππ-≤-≤.解ππ2π2233x ≤-≤可得，5ππ122x ≤≤，此时π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故函数()y g x =的单调递减区间为5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2B C a A B c ++=．（1）求A ；（2）已知3c =，1b =，边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S = ，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）334AD =【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【小问1详解】∵sin()sin2B C a A B c ++=，即sin sin()sin sin 2B C A A B C ++=由正弦定理，有sin sin sin cos 2A A C C =又sin 0C ≠，即有sin cos 2A A =，2sin cos cos 222A A A =，π(0,22A ∈ ，cos 02A ≠，所以1sin 22A =，π26A =，故π3A =．【小问2详解】设BDA α∠=，πADC α∠=-，由（1）知π3A =，在△ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可知21912312BC =+-⨯⨯⨯，∴BC =又3ABD ADC S S = ，可知34BD DC ==，在△ABD 中，2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD α=+-⋅，在△ACD 中，271cos()16AD πα=+-⋅-，即271cos 162AD AD α=+-⋅，联立解得334AD =.20.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对[]x 1,2∈-，不等式()2c f x <恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）1,22a b =-=-，单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1c <-或2>c【分析】（1）求出函数导数，由题可得203(1)0f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪='⎩'即可求出,a b ；（2）求出()f x 在[1,2]x ∈-的最大值即可建立关系求解.【详解】（1）32()f x x ax bx c =+++ ，∴()232f x x ax b '=++，()f x 在23x =-与1x =时都取得极值，21240393(1)320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=''⎩∴，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2()32(32)(1)f x x x x x '∴=--=+-，令()0f x '>可解得23x <-或x 1>；令()0f x '<可解得213x -<<，()f x ∴的单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[]321()2,1,22f x x x x c x =--+∈-，由（1）可得当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c =+，所以()()max 22f x f c ==+，要使2()f x c <对[1,2]x ∈-恒成立，则22c c >+，解得1c <-或2>c .21.已知函数()1ln f x x a x x=-+，R a ∈．（1）若()f x 在区间()3,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，转化为1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立，构造函数()1h x x x=+，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=，121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >，则()()12212222ln 21f x f x x a x x x x --=-+--，所以只需证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x =-+，利用求出其出其最大值小于零即可.【小问1详解】∵()222111a x ax f x x x x-+'=--+=-，又()f x 在区间()3,+∞上单调递减，∴221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，即210x ax -+≥在()3,+∞上恒成立，∴1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立；设()1h x x x =+，则()211h x x '=-，当3x >时，()0h x '>，∴()h x 单调递增，∴()()1033h x h >=，∴103a ≤，即实数a 的取值范围是10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=．∴121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >．∴()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=--=-+----，则要证()()12122f x f x a x x -<--，即证2222ln 1x a a x x -<-，即证22212ln x x x <-，也即证22212ln 0x x x -+<成立．设函数()12ln g x x x x =-+，则()()22211210x g x x x x-'=--+=-<，∴()g x 在()0,∞+单调递减，又()10g =．∴当()1,x ∈+∞时，()0g x <，∴22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x=-+，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ =，此时31(,)22P .【解析】【详解】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,22.试题解析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()212f x x x =--+.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()23f x t t ≥-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[)4,6,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦;（2）3535,22⎛⎛⎫-+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】【详解】试题分析：（1）将()f x 的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）()23f x t t ≥-在[]0,1上无解相当于()2max 3f x t t <-，从而得到关于的一元二次不等式，解得t 的范围.试题解析：（1）由题意得()13,21{31,223,2x x f x x x x x -≥=---≤≤-<-.则原不等式转化为1{233x x ≥-≥或12{2313x x -≤<--≥或2{33x x <--≥.∴原不等式的解集为][4,6,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题得()2max 3f x t t <-，由（1）知，()f x 在[]0,1上的最大值为1-，即()2max 13f x t t =-<-，。

南充市高 2020 届第一次高考适应性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题:1. B2. C3. A4. C5. D6. C7. D8. A9. B 10. D 11. B 12. A 二、填空题:13． 3 14． 2 15． 11 16． 2 三、解答题:17． 解:(1)由频率分布直方图知,100 名学生中课外阅读不少于 12 小时的学生共有 10 名,所以样本中课外阅读时间少于 12 小时的概率为: 101- =0. 9 (6)分100(2)课外阅读时间落在[4,6)的有 17 人,频率为 0. 17,0. 17 所以 a = 2=0. 085, …………9 分课外阅读时间落在[8,10)的有 25 人,频率为 0． 25,0. 25 所以 b =2=0. 125. (12)分18． 解:(1)在等比数列{a }中,a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 2 a 8 = 25,n所以 a22所以 a 3 +a 5 =5. ① (2)分因为 2 是 a 3 和 a 5 的等比中项, 所以 a 3 a 5 = 4, ② 因为 q ∈(0,1),所以 a 3 >a 5 .联立①②解得 a 3 = 4,a 5 =1,…………4 分所以 q = 1 2,a 1 = 16,所以 a n = 16×( 1 2)n-1 =25-n . …………6 分 (2)由(1)可得 b n = log 2 a n =5-n.所以数列{b }是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列…………8 分nn(9-n)所以S n=,2S 所以nn =9-n,…………10分2高三数学(理科)一诊答案第1页(共4页)S S所以当n≤8时,>0;当n=9时,n nn nS=0,当n>9时,nn<0.S故当n=8或9时,11S+22S+...+最大. (12)分nn19.解:(1)当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC.…………2分因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,又AC∩PA=A.所以BD⊥平面PAC.故当a=2时,BD⊥平面PAC.…………5分→(2)以A为坐标原点,AB→的方向为x轴的正方向,AD→的方向为y轴的正方向,AP的方向为z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,则…………7分→→D(0,4,0),C(2,4,0),P(0,0,2),DC=(2,0,0),PC=(2,4,-2),设→n=(x,y,z)是面PDC的法向量,则→·D→C=0,n{2x=0,{,即可取→n=(0,1,2),…………9分→·P→C=02x+4y-2z=0,n→AD是平面PAB的法向量,…………10分→·A→D→=5n所以cos<→n,AD>=,|→n||A→D|5→25所以sin<→n,AD>=5,25所以面PDC与面PAB所成二面角的正弦值为 (12)分520.解:(1)因为椭圆C的左右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),所以c=2.…………1分-153由椭圆定义可得2a=(-1+2)2+(2+(-1-2)2+(-153)2=249)+969=26,解得a=6…………3分所以b2=a2-c2=6-4=2x2所以椭圆C的标准方程为6+y22=1…………5分(2)假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,…………6分x22+y=1{62由得x2+3(-x+t)2-6=0,即y=-x+t4x2-6tx+(3t2-6)=0,△=(-6t)2-4×4×(3t2-6)=96-12t2>0,解得-22<t<22…………8分高三数学(理科)一诊答案第2页(共4页)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3t3t2-6,x1x2=,…………9分24由于|F1M|=|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1E⊥MN,1所以KF1E=-KMNt3t=1又E(,4t4),4所以K F1E=3t+24=1,解得t=-4.…………11分当t=-4时,不满足-22<t<22.所以不存在满足条件的直线l.…………12分21.解:(1)f′(x)=2mx-1+当m≤0,成立;1x=2mx2-x+1,即2mx2-x+1<0在(0,+∞)上有解.…………2分x1当m>0时,y=2mx2-x+1的对称轴x=>0,故只需△>0,即1-8m>0,故m<4m 1 8 .综上所述,m<18,故实数m的取值范围为(-∞,18).…………4分(2)因为f(1)=m-1,f′(1)=2m,故切线方程为:y-m+1=2m(x-1),即y=2mx-m-1 (5)分要使方程mx2-x+lnx=2mx-m-1在(0,+∞)上有且只有一解.设g(x)=mx2-x+lnx-(2mx-m-1),则g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.又g(1)=0,故函数g(x)有零点x=1.g′(x)=2mx-1+1x(2mx-1)(x-1)-2m=x…………6分当m=12时,g′(x)≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)有且只有一个零点x=1,满足题意.…………8分当0<m<1211时,由g′(x)=0得x=或x=1,且2m2m>1,1由g′(x)>0,得0<x<1或x>2m;1由g′(x)<0,得1<x<2m.1 1所以g()<0,又g(x)=mx[x-(2+)]+m+lnx+1,2m m1所以g(2+m)>0,1故在(,+∞)上,函数g(x)又有一个零点,不符合题意.…………11分2m高三数学(理科)一诊答案第3页(共4页)综上所述,m =1 2. …………12 分 22. 解:(1)C 1 的直角坐标方程为(x-1)2 +y 2 =1,…………2 分 C2 的直角坐标方程为 x =3,…………4 分(2)设曲线 C 1 与 x 轴异于原点的交点为 A,因为 PQ ⊥OP,所以 PQ 过点 A(2,0) ,x =2+tcos θ(t 为参数),{设直线 PQ 的参数方程为,y =tsin θ,代入 C 1 可得 t 2 +2tcos θ=0 解得 t 1 = 0,t 2 = -2cos θ, 由题意可知 AP = t 2 = 2cos θ ; (6)分1代入 C 2 可得 2+tcos θ= 3,解得 t = cos θ.由题意 AQ = t =1 cos θ…………8 分所以 PQ = AP + AQ = 2cos θ+1 cos θ≥2 2 ,当且仅当 2cos θ = 1 cos θ时取等号.所以线段 PQ 长度的最小值为 2 2 . (10)分23. 解:(1)由已知可得 f(x)=1-2x,x<0,{1, 0≤x<1, 2x-1,x ≥1,所以 f(x)min =1,…………3 分 所以只需 m-1 ≤1 解得 0≤m ≤2. 所以 m 的最大值 M =2. …………5 分 (2)因为 a 2 +b 2 ≥2ab,所以 ab ≤1,所以 ab ≤1,当且仅当 a =b 时取等号,①…………7 分a+b 又 ab ≤ ,所以 2 ab a+b ≤ 1 2,ab 所以 ≤ ab ,当且仅当 a =b 时取等号,②,…………9 分2a+bab 由①②得≤a+b 1 2 ,所以a+b≥2ab.…………10分高三数学(理科)一诊答案第4页(共4页)南充市高2020届第一次高考适应性考试数学试题(文科)参考答案及评分意见一、选择题:1.B2.C3.A4.C5.D6.C7.D8.D9.A10.B11.D12.B二、填空题:13．314．2 15．1516．342三、解答题:17．解:(1)由频率分布直方图知,100名学生中课外阅读不少于12小时的学生共有10名,所以样本中课外阅读时间少于12小时的概率为:101-=0.9 (6)分100(2)课外阅读时间落在[4,6)的有17人,频率为0.17,0.17所以a=2=0.085,…………9分课外阅读时间落在[8,10)的有25人,频率为0．25,0.25所以b=2=0.125 (12)分18．解:(1)在等比数列{a}中,a1a5+2a3a5+a2a8=25,n所以a22所以a3+a5=5.① (2)分因为2是a3和a5的等比中项,所以a3a5=4,②因为q∈(0,1),所以a3>a5.联立①②解得a3=4,a5=1,…………4分所以q=12,a1=16,所以a n=16×(12)n-1=25-n.…………6分(2)由(1)可得b n=log2a n=5-n.所以数列{b}是以4为首项,-1为公差的等差数列…………8分nn(9-n)所以S n=,2S 所以nn =9-n,…………10分2高三数学(文科)一诊答案第1页(共4页)S S 所以当 n ≤8 时, >0;当 n =9 时, nnn nS = 0,当 n>9 时,nn<0.S 故当 n =8 或 9 时, 11 S +2 2S+…+ 最大. (12)分n n 19. 解:(1)当 a =2 时,ABCD 为正方形,则 BD ⊥AC. …………2 分因为 PA ⊥平面 ABCD,BD ⊂平面 ABCD, 所以 BD ⊥PA,又 AC ∩PA=A. 所以 BD ⊥平面 PAC. 故当 a =2 时,BD ⊥平面 PAC. …………6 分(2)设 M 是符合条件的 BC 边上的点.因为 PA ⊥平面 ABCD,DM ⊂平面 ABCD 所以 DM ⊥PA,又 PM ⊥DM,PA ∩PM=P 所以 DM ⊥平面 PAM,AM ⊂平面 PAM, 所以 DM ⊥AM.因此,M 点应是以 AD 为直径的圆和 BC 边的一个公共点,则 AD ≥2AB. 即 a ≥4,a ∈[4,+∞ ).…………12 分20. 解:(1)因为椭圆 C 的左右焦点分别为 F 1( -2,0) ,F 2(2,0) ,所以 c=2.…………1 分- 15 3 由椭圆定义可得 2a = (-1+2)2 +( 2 + (-1-2)2 +(- 15 3 ) 2 = 24 9 )+ 969 =2 6 ,解得 a = 6…………3 分 所以 b 2 =a 2 -c 2 =6-4 =2x 2所以椭圆 C 的标准方程为6+y 22=1…………5 分(2)假设存在满足条件的直线 l,设直线 l 的方程为 y = -x+t,…………6 分x22+y=1{6 2由 得 x 2 +3(-x+t)2 -6 = 0,即 y = -x+t4x 2 -6tx+(3t 2 -6)= 0,△ = ( -6t)2 -4×4×(3t 2 -6)= 96-12t 2 >0,解得-2 2 <t<2 2…………8分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3t3t2-6,x1x2=,…………9分24由于|F1M|=|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1E⊥MN,1所以K F1E=-KMN3t=1又E(,4t4),高三数学(文科)一诊答案第2页(共4页)t4 所以 K F 1E =3t +2 4= 1,解得 t = -4.…………11 分当 t = -4 时,不满足-2 2 <t<2 2 .所以不存在满足条件的直线 l.…………12 分x - x 21. 解:(1)当 a =2 时,f(x)= 2eex-1,x-1-x所以 f ′(x)= 2e x ,…………2 分 e所以 f ′(0)= 2-1 = 1,又 f(0)= 2-1 =1,…………3 分 所以曲线 y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为:y-1 =x 即 x-y+1 =0 …………5 分(2)要使函数 f(x)有唯一零点,则需关于 x 的方程a = 1 x ( e x e x+1)有唯一的解.设 g(x)= 1 x ( e x ex+1),则 g′(x)= 1-2x-e x2x , e 设 h(x)= 1-2x-e x 则 h′(x)= -2-e x <0 …………6 分 所以 h(x)在 R 单调递减,又 h(0)= 0…………8 分所以当 x ∈( -∞ ,0)时,h(x)>0,即 g′(x)>0,所以 g(x)在 (-∞ ,0)上单调递增;当 x ∈(0,+∞ )时,h(x)<0,即 g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞ )上单调递减. 所以 g(x)的最大值为 g(0)= 1…………10 分 所以当 x ∈( -∞ ,0]时,g(x )∈( -∞ ,1] ;当 x ∈(0,+∞ )时,g(x) ∈(0,1).又 a>0,所以当方程 a = 1 x ( e x e x+1)有唯一解时,a =1.故函数 f(x)有唯一零点时,a 的值为 1.…………12 分 22. 解:(1)C 1 的直角坐标方程为(x-1)2 +y 2 =1,…………2 分 C 2 的直角坐标方程为 x =3,…………4 分 (2)设曲线 C 1 与 x 轴异于原点的交点为 A,因为 PQ ⊥OP,所以 PQ 过点 A(2,0) ,x =2+tcos θ(t 为参数),{设直线PQ的参数方程为,y=tsinθ,代入C1可得t2+2tcosθ=0解得t1=0,t2=-2cosθ,由题意可知AP=t2=2cosθ; (6)分高三数学(文科)一诊答案第3页(共4页)1代入 C 2 可得 2+tcos θ= 3,解得 t = cos θ.由题意 AQ = t =1 cos θ…………8 分所以 PQ = AP + AQ = 2cos θ+1 cos θ≥2 2 ,当且仅当 2cos θ = 1 cos θ时取等号.所以线段 PQ 长度的最小值为 2 2 . (10)分23. 解:(1)由已知可得 f(x)=1-2x,x<0,{1, 0≤x<1, 2x-1,x ≥1,所以 f(x)min =1,…………3 分 所以只需 m-1 ≤1 解得 0≤m ≤2. 所以 m 的最大值 M =2. …………5 分 (2)因为 a 2 +b 2 ≥2ab,所以 ab ≤1,所以 ab ≤1,当且仅当 a =b 时取等号,①…………7 分a+b 又 ab ≤ ,所以 2 ab a+b ≤ 1 2,ab 所以 ≤ a+bab ,当且仅当 a =b 时取等号,②,…………9 分2ab 由①②得 ≤ a+b 1 2,所以 a+b ≥2ab.…………10 分高三数学(文科)一诊答案第4页(共4页)。

四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试数学试题（文史类）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故选D.2. 若，且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】假设则，所以，这与已知矛盾.故假设错误，应有，所以选C.3. ．已知向量，，若，则的值是（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为，所以，解得，故选A.4. 若，则（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】因为，解得，所以，故选D.5. 某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】设该职工的月实际用水为x立方米，所缴水费为y元，由题意得，即。

根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以，解得。

选C。

6. 已知命题，使得；命题，若，则.下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为恒成立，所以命题为假命题，由得或，即或，所以是假命题，故是真命题，选B.7. 函数满足，且当时，.若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数满足，所以函数的周期为又在一个周期内，函数解析式为，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数的图象，要使两个函数图象有且仅有四个交点，只需，所以，故选C.8. 已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，因此，向右平移后得，，所以代入选项检验，当时，取最大值，所以是一条对称轴，故选B.9. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.10. 已知，给出以下结论：①；②；③.则其中正确的结论个数是（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B【解析】对①，由指数函数的性质知，再由幂函数性质知，所以；对②取，显然，故不正确；对③根据对数函数的性质和图象知，故正确. 故选B.点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．11. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A点睛：解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理.在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形.12. 已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故可设，∵∴ ，根据题意.存在，使得，只需，即，∴ ，∴.∴∴.故选B.点睛：本题主要考查了三角函数和导数的有关知识，难度较大，属于难题.求解时要做到灵活转化，一是根据条件设出，进而得到，并确定导数的值域；二是将存在两条互相垂直的切线转化为存在存在，使得，故得到只需，求得后再转化为三角函数的最值问题处理.13. 已知变量满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】3【解析】解：由变量x,y满足约束条件表示的平面区域，可知当直线过点（1,1）时，目标函数最小，且为514. 已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据函数的单调性及奇偶性可知，当或时，，故或时，，解得，故填.15. 在中，，，，且是边的两个三等分点，则__________．【答案】【解析】如图，,.∴。

四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}，B={2，3，4}，则A ∩B=（ ）A ．（2，4）B ．{2，4}C ．{3}D ．{2，3}2．（5分）若x ＞y ，且x +y=2，则下列不等式成立的是（ ） A ．x 2＜y 2 B ． C ．x 2＞1D ．y 2＜13．（5分）已知向量，，若，则x 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 4．（5分）若，则tan2α=（ ） A ．﹣3 B ．3C ．D ．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．A ．13B ．14C ．15D ．166．（5分）已知命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0：命题q ：a ，b ∈R ，若|a ﹣1|=|b﹣2|，则a ﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．¬qC ．p ∨qD ．p ∧q7．（5分）函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=|x |．若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．（4，5） B ．（4，6） C ．{5} D ．{6} 8．（5分）已知函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx （ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ）祝您高考马到成功！A ．x=0B ．C ．D ．9．（5分）在△ABC 中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．（5分）已知0＜a ＜b ＜1，给出以下结论： ①；②；③．则其中正确的结论个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个11．（5分）已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ） A ．2﹣2B ．1﹣2C ．﹣2D ．﹣112．（5分）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +c 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y 的最小值是 ．14．（5分）已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，若f （2x +1）＜1，则x 的取值范围是 ． 15．（5分）在△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点，则= ．16．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=m ，且a n +1+a n =2n +1，如果{a n }是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）祝您高考马到成功！17．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）设，且，求sin2α的值．18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=15，且a 1，a 4，a 13成等比数列，记数列的前n 项和为T n ．（Ⅰ）求T n ；（Ⅱ）若对于任意的n ∈N *，tT n ＜a n +11恒成立，求实数t 的取值范围． 19．（12分）在△ABC 中，，D 是边BC 上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣x +a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P （1，4）可作曲线y=f （x ）的3条切线，求实数a 的取值范围． 21．（12分）函数f （x ）=﹣lnx +2+（a ﹣1）x ﹣2（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间； （2）若a ＞0，求证：f （x ）≥﹣．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参祝您高考马到成功！数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设，，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．祝您高考马到成功！四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}，B={2，3，4}，则A ∩B=（ ） A ．（2，4） B ．{2，4} C ．{3} D ．{2，3}【解答】解：集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}={x ∈Z |﹣1＜x ＜4}={0，1，2，3}，B={2，3，4}， 则A ∩B={2，3}， 故选：D2．（5分）若x ＞y ，且x +y=2，则下列不等式成立的是（ ）A ．x 2＜y 2B ．C ．x 2＞1D ．y 2＜1【解答】解：∵x ＞y ，且x +y=2，∴x ＞2﹣x ， ∴x ＞1，故x 2＞1正确，故选：C3．（5分）已知向量，，若，则x 的值是（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．2【解答】解：根据题意，向量，，若，则有2x=（x ﹣1），解可得x=﹣1，故选：A ．祝您高考马到成功！4．（5分）若，则tan2α=（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．D ．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D ．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x 立方米，∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，∵该职工这个月缴水费55元，∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x ﹣10）×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30+（x ﹣10）×5=55，解得：x=15，故选：C ．6．（5分）已知命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0：命题q ：a ，b ∈R ，若|a ﹣1|=|b ﹣2|，则a ﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ） A ．pB ．¬qC ．p ∨qD ．p ∧q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得： 命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0为假命题， 若|a ﹣1|=|b ﹣2|，则a ﹣1=b ﹣2或a ﹣1=﹣b +2 即a ﹣b=﹣1，或a +b=3，故命题q 为假命题， 故¬q 为真命题；祝您高考马到成功！p ∨q ，p ∧q 为假命题， 故选：B7．（5分）函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=|x |．若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．（4，5） B ．（4，6） C ．{5} D ．{6} 【解答】解：因为f （x +2）=f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，在x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=|x |．画出函数f （x ）与g （x ）=log a x 的图象如下图所示；若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则函数g （x ）=log a x 的图象过（5，1）点，即a=5， 故选：C8．（5分）已知函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx （ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x=0 B ．C ．D ．祝您高考马到成功！【解答】解：∵函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx=2sin （ωx +）（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，∴设函数f （x ）的周期为T ，则（）2+[2﹣（﹣2）]2=（）2，解得：T=2，∴T=2=，解得：ω=π，∴f （x ）=2sin （πx +），∴y=g （x ）=f （x ﹣）=2sin [π（x ﹣）+]=2sin （πx +），∵令πx +=kπ+，k ∈Z ，解得：x=k +，k ∈Z ，∴当k=0时，函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是：x=． 故选：C ．9．（5分）在△ABC 中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：“C=”⇔“A +B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB ，反之sinA=cosB ，A +B=，或A=+B ，“C=”不一定成立，∴A +B=是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，故选：A ．10．（5分）已知0＜a ＜b ＜1，给出以下结论： ①；②；③．则其中正确的结论个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【解答】解：∵0＜a ＜b ＜1， 故y=为减函数，y=x a 在（0，+∞）上为增函数，祝您高考马到成功！故，即①正确；y=b x 为减函数，y=在（0，+∞）上为增函数，，即②错误；y=log a x 与在（0，+∞）上均为减函数，故，．即③正确；故选：B11．（5分）已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ）A ．2﹣2B ．1﹣2C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：∵f′（x ）=1﹣=，∴当﹣2＜x ＜﹣1时，f′（x ）＜0，当x ＞﹣1时，f′（x ）＞0，∴当x=﹣1时，f （x ）取得最小值f （﹣1）=0，∴f （x ）只有唯一一个零点x=﹣1，即x 1=﹣1，∵|x 1﹣x 2|≤1，∴﹣2≤x 2≤0，∴g （x ）在[﹣2，0]上有零点，（1）若△=4a 2﹣4（4a +4）=0，即a=2±2，此时g （x ）的零点为x=a ，显然当a=2﹣2符合题意；（2）若△=4a 2﹣4（4a +4）＞0，即a ＜2﹣2或a ＞2+2，①若g （x ）在[﹣2，0]上只有一个零点，则g （﹣2）g （0）≤0， ∴a=﹣1，②若g （x ）在[﹣2，0]上有两个零点，则，解得﹣1≤a ＜2﹣2．祝您高考马到成功！综上，a 的最小值为﹣1． 故选：D ．12．（5分）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +c 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．【解答】解：∵函数f （x ）=ax +bcosx +csinx ，b 2+c 2=1，∴f′（x ）=a +ccosx ﹣bsinx=a ﹣sin （x ﹣φ），其中tanφ=， 则f′（x ）∈[a ﹣1，a +1]，若存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则存在k 1，k 2∈[a ﹣1，a +1]，使k 1k 2=﹣1， 由（a ﹣1）（a +1）=a 2﹣1≥﹣1得： a=0， 则a +c=c=sin （φ+θ），其中tanθ=，故a +c ∈[﹣，]，故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y 的最小值是 3 ．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x +y 得y=﹣2x +z ， 平移直线y=﹣2x +z ，由图象可知当直线y=﹣2x +z 经过点A 时，直线y=﹣2x +z 的截距最小， 此时z 最小． 由，解得A （1，1），代入目标函数z=2x +y 得z=2×1+1=3．祝您高考马到成功！即目标函数z=2x +y 的最小值为3． 故答案为：3．14．（5分）已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，若f （2x +1）＜1，则x 的取值范围是 （﹣，） ．【解答】解：根据题意，f （x ）为偶函数，则（2x +1）=f （|2x +1|），又由f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，则f （2x +1）＜1⇒f （|2x +1|）＜f （2）⇒|2x +1|＜2，解可得﹣＜x ＜；则x 的取值范围是（﹣，）； 故答案为：（﹣，）．15．（5分）在△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点，则=．【解答】解：根据题意，如图△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点， 有=+=+=+（﹣）=+， =+=+=+（﹣）=+，祝您高考马到成功！则=（+）•（+）=2+2+•=；即=；故答案为：．16．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=m ，且a n +1+a n =2n +1，如果{a n }是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 （，） ．【解答】解：根据题意，数列{a n }中，a n +1+a n =2n +1，对其变形可得[a n +1﹣（n +1）]+（a n ﹣n ）=0，即a n +1﹣（n +1）=﹣（a n ﹣n ）， 又由a 1=m ，则a 1﹣1=m ﹣1，当m=1时，a n ﹣n=0，则a n =n ，符合题意，当m ≠1时，数列{a n ﹣n }是以m ﹣1为首项，公比为﹣1的等比数列， 则a n ﹣n=（m ﹣1）×（﹣1）n ， 即a n =（m ﹣1）×（﹣1）n +n ，则a n ﹣1=（m ﹣1）×（﹣1）n ﹣1+n ﹣1， 当n 为偶数时，a n ﹣a n ﹣1=2（m ﹣1）+1，① 当n 为奇数时，a n ﹣a n ﹣1=﹣2（m ﹣1）+1，② 如果{a n }是单调递增数列，则有，解可得＜m ＜，即m 的取值范围是（，）∪（1，）；祝您高考马到成功！故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）设，且，求sin2α的值．【解答】解：（1）由图得，A=2． …（1分），解得T=π，于是由T=，得ω=2．…（3分）∵，即， ∴，k ∈Z ，即，k ∈Z ，又， 所以，即． …（6分）（2）由已知，即， 因为，所以，∴． …（8分）祝您高考马到成功！∴===． …（12分）18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=15，且a 1，a 4，a 13成等比数列，记数列的前n 项和为T n ．（Ⅰ）求T n ；（Ⅱ）若对于任意的n ∈N *，tT n ＜a n +11恒成立，求实数t 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d （d ＞0）， 由S 3=15有3a 1+=15，化简得a 1+d=5，①…（2分）又∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴a 42=a 1a 13，即（a 1+3d ）2=a 1（a 1+12d ），化简得3d=2a 1，②…（4分） 联立①②解得a 1=3，d=2，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1． …（5分）∴，∴．…（7分）（Ⅱ）∵tT n ＜a n +11，即，∴，…（9分）又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴≥162，…（11分）∴t ＜162． …（12分）19．（12分）在△ABC 中，，D 是边BC 上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．祝您高考马到成功！【解答】解：（1）△ABD 中，由正弦定理，得，∴，∴．（2）由（1）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD 中，由余弦定理：AC 2=AD 2+CD 2﹣2AD•CD•cos ∠ADC ， 即，整理得CD 2+6CD ﹣40=0， 解得CD=﹣10（舍去），CD=4， ∴BC=BD +CD=4+2=6． ∴S △ABC =．20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣x +a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P （1，4）可作曲线y=f （x ）的3条切线，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f'（x ）=3x 2+2x ﹣1=（3x ﹣1）（x +1），…（1分）由f'（x ）＞0解得或x ＜﹣1；由f'（x ）＜0解得，又x ∈[﹣1，2]，于是f （x ）在上单调递减，在上单调递增．…（3分） ∵， ∴f （x ）最大值是10+a ，最小值是．…（5分）（2）设切点Q （x ，x 3+x 2﹣x +a ），P （1，4）， 则，整理得2x 3﹣2x 2﹣2x +5﹣a=0，…（7分） 由题知此方程应有3个解．祝您高考马到成功！令μ（x ）=2x 3﹣2x 2﹣2x +5﹣a ，∴μ'（x ）=6x 2﹣4x ﹣2=2（3x +1）（x ﹣1）， 由μ'（x ）＞0解得x ＞1或，由μ'（x ）＜0解得，即函数μ（x ）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．…（10分）要使得μ（x ）=0有3个根，则，且μ（1）＜0，解得，即a 的取值范围为． …（12分）21．（12分）函数f （x ）=﹣lnx +2+（a ﹣1）x ﹣2（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若a ＞0，求证：f （x ）≥﹣．【解答】解：（1）． …（1分）①当a ≤0时，f'（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；…（3分）②当a ＞0时，由f'（x ）＞0解得，由f'（x ）＜0解得．即f （x ）在上单调递减；f （x ）在上单调递增；综上，a ≤0时，f （x ）的单调递减区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是，f （x ）的单调递增区间是． …（5分）（2）由（1）知f （x ）在上单调递减；f （x ）在上单调递增， 则． …（6分）要证f （x ）≥，即证≥，即lna +≥0，祝您高考马到成功！即证lna ≥．…（8分）构造函数，则，由μ'（a ）＞0解得a ＞1，由μ'（a ）＜0解得0＜a ＜1，即μ（a ）在（0，1）上单调递减；μ（a ）在（1，+∞）上单调递增； ∴，即≥0成立．从而f （x ）≥成立．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设，，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程是（α为参数），∴将C 的参数方程化为普通方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，即x 2+y 2﹣6x ﹣8y=0． …（2分）∴C 的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（4分） （2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴． …（6分）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴． …（8分）∴S△AOB ===． …祝您高考马到成功！（10分）.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．【解答】解：（1）当x ≤时，f （x ）=﹣2﹣4x ，由f （x ）≥6解得x ≤﹣2，综合得x ≤﹣2，…（2分） 当时，f （x ）=4，显然f （x ）≥6不成立，…（3分）当x ≥时，f （x ）=4x +2，由f （x ）≥6，解得x ≥1，综合得x ≥1，…（4分）所以f （x ）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（5分）（2）f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|≥|（2x ﹣1）﹣（2x +3）|=4，即f （x ）的最小值m=4． …（7分） ∵a•2b ≤，…（8分）由2ab +a +2b=4可得4﹣（a +2b ）≤，解得a +2b ≥，∴a +2b 的最小值为．…（10分）祝您高考马到成功！。

2019年10月绵阳南山中学2019年秋季高2017级绵阳一诊热身考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] 2.已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4) 3.已知），（23ππα∈，54cos -=α，则=-)4tan(απA ．7 B.17 C ．－17 D ．－74.若a ，b ，c 为实数，则下列命题中正确的是A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋cC ．若a ＜b ，则ac ＜bcD ．若a ＜b ，则1a ＞1b5.设a ，b ，c 是非零向量．．．．．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是 A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨(⌝q )6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为A.165 B. 1615 C. 1629 D. 16317.已知函数||()e cos x f x x =+，若(21)()f x f x -≥，则实数x 的取值范围为 A ．1(,][1,)3-∞+∞B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1(,]2-∞D ．1[,)2+∞8.已知正项等比数列{}n a 的公比为3,若229a a a n m =⋅，则nm 212+的最小值等于 A.1 B.21 C.43 D.23 >0,>0,||<2,x ∈在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x)的图象可由函数y=cos x 的图象(纵坐标不变)如何变换得到A.先把各点的横坐标缩短到原来的21,再向左平移6π个单位 B.先把各点的横坐标缩短到原来的21,再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移12π个单位 10.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11.定义在R 上的函数f (x )满足：)()(x f x f >'恒成立，若21x x <，则)(21x f e x⋅与)(12x f e x⋅的大小关系为A ．e x 1f (x 2) >()21e x f x B ．e x 1f (x 2) <()21e x f xC ．e x 1f (x 2)＝()21e x f xD ．e x 1f (x 2)与()21e x f x 的大小关系不确定12.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是 A.(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－1)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1.已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（ ）A．B．C．D．2.已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④4. 已知函数（且），则关于x 的不等式的解集是（ ）A．B．C．D ．以上答案都不对5.某班全体学生某次测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．若不低于80分的人数是15，则该班的学生人数是（）A ．40B ．45C ．50D ．606. 已知函数，若曲线存在与y 轴垂直的切线，则a 的最大值为（ ）A．B．C．D．7. 已知，则的值为（ ）A ．24B ．48C ．32D ．728.函数有两个零点，下列说法错误的是（ ）A．B．C．D．9. 设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）A ．一定垂直B．的最大值为4四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三一诊模拟考试文科数学试题三、填空题C ．点的轨迹方程为D．的最小值为10. 如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上一个动点，则（）A ．存在点，使直线平面B ．平面截正方体所得截面的最大面积为C ．三棱锥的体积为定值D ．存在点，使平面平面11. 在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（）A．当为中点时，为锐角B ．存在点，使得平面C．的最小值D ．顶点到平面的最大距离为12. 2021年4月30日，国家统计局发布了《2020年农民工监测调查报告》.如图，为2016年至2020年的农民工规模及增速图，则以下说法正确的是（）A ．2019年农民工规模达到最大B ．这5年农民工规模的中位数为28836万人C ．2020年农民工规模比2019年减少517万人，下降%D ．5年以来，农民工规模增速逐年递减13.已知函数满足.若对于恒成立，则实数a 的取值范围是_________.四、解答题14. 已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.15. 某科研机构为评定新研发的水稻的亩产量，随机抽取了部分地块进行测试，得到的样本亩产量（单位：kg ）分别为1120，1135，1128，1123，1128，1129，1126，则该次新研发的水稻亩产量的平均值的估计值为___________.16.在凸四边形中，，，，．(1)若，求；(2)若的角平分线交对角线于点，求的最大值．17. 某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）.(1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；(2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值.18.如图中，已知点在边上，且，，，．（1）求的长；（2）求．（注：）19.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，且，再从条件①､条件②中选择一个作为已知.（1）求的值；（2）求的面积.条件①：；条件②：.20. 已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点P （t ，﹣2）在C 上，且|PF |＝2|OF |（O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8，求当|AB |取最大值时，直线AB 的方程．21. 设的内角A 、、所对的边分别为、、，且．(1)证明：；(2)若，求的值．。

2021-2022学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|−1<x ≤1}，B ={−1,0,1}，则A ∩B =( )A. {−1,0}B. {−1,1}C. {0,1}D. {−1,0,1}2. 设函数f(x)={x +2,(x ≤0),√x,(x >0),若f(a)=f(a −2)，则f(5−a)=( )A. 2B. 0或1C. 2或√5D. √53. 若0<a <b ，则下列结论正确的是( )A. lna >lnbB. b 2<a 2C. 1a <1bD. (12)a >(12)b4. 已知函数f(x)对任意实数x ，满足f(x)+f(−x)=0，当x ≥0时，f(x)=2x −m(m 为常数)，则f(1−log 23)=( )A. 12B. −12C. 13D. −135. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( )A. 25B. 20C. 15D. 106. 设x ，y 满足约束条件{x +y −5≤02x +y −8≤0y ≤3，则z =3x +4y 的最大值是( )A. 12B. 17C. 18D. 3927. “ln(x +2)<0”是“x <−1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=sinx+x cosx在(−π2, π2)上的图象大致为( )A.B.C.D.9. 通常人们用震级来描述地震的大小．地震震级是对地震本身大小的相对量度，用M表示，强制性国家标准GB17740—1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值(A/T)max 进行测定，计算公式如下：M =log(A/T)max +1.66lgΔ+3.5(其中Δ为震中距)，已知某次某地发生了4.8级地震，测得地震面波质点运动最大值为0.01，则震中距大约为( )A. 58B. 78C. 98D. 11810. 已知a =(1681)−14，b =log 32+log 23，c =23log 23，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >b >aB. b >a >cC. a >c >bD. b >c >a11. 把函数f(x)=3sin(2x +π6)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x 1)=g(x 2)−6，x 1，x 2∈[−π,π]，则x 1−x 2的最大值为( )A. 3π4B. πC. 7π4D. 2π12. 设D ，E 为△ABC 所在平面内两点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 32AB ⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗−32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(m,−1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |=______． 14. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=2，S 7=35，则a 6=______． 15. 若β∈(π2,π)，sinβ=13，若3sin(α+2β)=sinα，则tan(α+β)=______．16.已知函数f(x)=2x2−ax，若不等式|f(x)|≤1任意的x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在极坐标系中，已知点M(2,0)，曲线C1是以极点O为圆心，以OM为半径的半圆，曲线C2是过极点且与曲线C1相切于点(2,π2)的圆．(1)分别写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C1，C2分别相交于点A，B(异于极点)，求△ABM面积的最大值．18.已知函数f(x)=−13x3+ax2+3a2x−53．(1)若a=−1时，求f(x)在区间[−4,2]上的最大值与最小值；(2)若函数f(x)仅有一个零点，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=|x+m|−|x−2m|(m>0)的最大值为6．(1)求m的值；(2)若正数x，y，z满足x+y+z=m，求证：√xy+√xz≤√m．20.已知函数f(x)=(x−2)e x+ax2−bx，其图象在点(0,f(0))处的切线斜率为−3．(1)求b的值；(2)若f(x)>−e−1在上恒成立，求实数a的取值范围．21.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a1a2−a2a3+⋅⋅⋅+(−1)n+1a n a n+1．22.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π2，点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点．(1)求函数f(x)的解析式及函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈[−π8,π8]，求函数y=f(x)的值域．23.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从以下三个条件中任选一个：①btanC=(2a−b)tanB；②2ccosB=2a−b；③accosA+a2(cosC−1)=b2−c2，解答如下的问题．(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，且a=mb，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|−1<x≤1}，B={−1,0,1}，∴A∩B={0,1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由函数解析式可知，x>0时，f(x)单调递增，当x≤0时，f(x)也是单调递增函数，所以若f(a)=f(a−2)，0≤a−2<a，所以f(a−2)=(a−2)+2=a，f(a)=√a，所以a=√a，解得a=0或1，(a=0舍去)，所以a=1，所以f(5−a)=f(4)=√4=2，故选：A．根据解析式可知x>0时，f(x)单调递增，当x≤0时，f(x)也是单调递增函数，所以要满足f(a)=f(a−2)，只能是0≤a−2<a，代入解析式可得a，从而求得f(5−a)．本题考查了分段函数求值，以及函数单调性，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，因为函数f(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增，又0<a<b，则f(a)<f(b)，即lna<lnb，故A错误；对于B ，因为函数f(x)=x 2在(0,+∞)上单调递增， 又0<a <b ，则f(a)<f(b)，即a 2<b 2，故B 错误； 对于C ，0<a <b ，由不等式的性质可得1a >1b ，故C 错误； 对于D ，因为函数f(x)=(12)x 在(0,+∞)上单调递减， 又0<a <b ，则f(a)>f(b)，即(12)a >(12)b ，故D 正确． 故选：D ．由对数函数的性质即可判断A ；由二次函数的性质即可判断B ；由不等式的性质即可判断C ；由指数函数的性质即可判断D ．本题主要考查不等式的基本性质，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)对任意实数x ，满足f(x)+f(−x)=0，即有f(−x)=−f(x)， 且f(0)=0，当x ≥0时，f(x)=2x −m(m 为常数)， 则f(0)=1−m =0，解得m =1，所以f(1−log 23)=−f(log 23−1)=−(2log 23−1−1)=−(32−1)=−12， 故选：B ．由奇函数f(x)在x =0处有定义，可得f(0)=0，求得m 的值，由奇函数的定义和已知解析式，结合对数的运算性质，可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及对数的运算性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为{a n }是正项等比数列， 所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列， 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6)， 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5，所以S9−S6=(S6−S3)2S3=(S3+5)2S3=S3+25S3+10，又正项等比数列{a n}，所以S3>0，所以S3+25S3+10≥2√S3×25S3+10=20，当且仅当S3=5时，等号成立，所以S9−S6的最小值为20，故选：B．利用等比数列前n项和的性质表示出S9−S6，再表示成同一变量S3，然后利用基本不等式求出其最小值即可．本题考查了等比数列的性质，等差数列等比数列综合，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(2,3)，由z=3x+4y，得y=−34x+z4，由图可知，当直线y=−34x+z4过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3×2+4×3=18．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由ln(x+2)<0，得0<x+2<1，解得−2<x<−1，由−2<x<−1可以推出x<−1，反之x<−1不能推出−2<x<−1，所以“ln(x+2)<0”是“x<−1”的充分不必要条件，故选：A．求解不等式ln(x+2)<0得−2<x<−1，由充分必要条件的定义判断即可．本题考查了对数不等式解法，充分必要条件的判定，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：函数f(x)=sinx+xcosx 在(−π2, π2)为奇函数，则其图象关于原点对称，因为f(π4)=sinπ4+π4cosπ4>0，故选项B，D错误，又f(π4)=sinπ4+π4cosπ4>1，故选项C错误．故选：A．利用特殊值f(π4)，即可判断得到答案．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意得：设震中距为x，则4.8=lg0.01+3.5+1.66lgx，易得lg0.01=−2，整理得lgx近似等于1.99，即lgx=1.99，因为lg100=2，且1.99<2，可得x等于98，故选：C．由题意列出方程，再由对数运算进行求解即可．本题考查函数的实际应用，属于容易题．10.【答案】B【解析】解：∵a =(1681)−14=32，b =log 32+log 23>log 31+log 22√2>32， c =23log 23=log 2323<log 2232=32，∴b >a >c ． 故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到y =3sin[2(x −π6)+π6]=3sin(2x −π6)， 再把横坐标缩短到原来的12倍，得到g(x)=3sin(2⋅2x −π6)=3sin(4x −π6)， 由题意，要使g(x 1)=g(x 2)−6，x 1，x 2∈[−π,π]，只需g(x 1)=g(x)min ，g(x 2)=g(x)max ，故4x 1−π6=−π2+2kπ,k ∈Z ，x 1=−π12+kπ2,k ∈Z ……①，4x 2−π6=π2+2kπ,k ∈Z ，x 2=π6+kπ2,k ∈Z ……②，由①式，当k =2时，x 1的最大值为11π12；由②式，k =−2时，x 2的最小值为−5π6，故x 1−x 2的最大值为11π12−(−5π6)=7π4．故选：C ．先根据图像的平移变换、伸缩变换的规律求出g(x)的解析式，然后根据正弦函数的性质求出g(x)的最值点的横坐标，根据给的范围求出结果． 本题考查三角函数的图像变换以及性质，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =32CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．利用平面向量基本定理，向量的线性运算即可求解．本题主要考查平面向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,√3)，b ⃗ =(m,−1)， 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =m −√3=0，解可得m =√3， 即b ⃗ =(√3,1)，则|b ⃗ |=√3+1=2； 故答案为：2．根据题意，由向量垂直的判断方法可得a ⃗ ⋅b ⃗ =m −√3=0，求出m 的值，进而计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，注意向量垂直的判断方法，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 7=35，得7a 1+21d =35，又a 1=2，所以14+21d =35，解得d =1， 所以a 6=a 1+5d =2+5=7． 故答案为：7．设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 1=2，S 7=35，可求出d 值，从而利用a 6=a 1+5d 进行求解即可．本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．15.【答案】√22【解析】解：∵β∈(π2,π)，sinβ=13， ∴cosβ=−√1−sin 2β=−2√23，则tanβ=sinβcosβ=−√24． sin2β=2sinβcosβ=−4√29，cos2β=cos 2β−sin 2β=79．3sin(α+2β)=3sinαcos2β+3cosαsin2β=73sinα−4√23cosα=sinα，∴43sinα=4√23cosα，得tanα=√2．∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−√24+√21−(−√24)×√2=√22． 故答案为：√22．由已知求得tanβ，展开3sin(α+2β)=sinα的左边，求得tanα，再由两角和的正切求解tan(α+β)的值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】[1,2√2]【解析】解：f(x)=2x 2−ax ，不等式|f(x)|≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立⇔−1≤2x 2−ax ≤1⇔−1≤ax −2x 2≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立，(∗) ①当x =0时，−1≤0≤1，成立；②当x ≠0时，(∗)式化为2x −1x ≤a ≤2x +1x 对任意的x ∈(0,1]恒成立⇔∀x ∈(0,1]，(2x −1x)max ≤a ≤(2x +1x)min ，∵y =2x −1x 在(0,1]上单调递增，故(2x −1x)max =2×1−1=1③，又2x +1x ≥2√2x ⋅1x =2√2(当且仅当2x =1x ，即x =√22时取等号)，而√22∈(0,1]，符合题意，即(2x +1x )min =2√2④， 由③④得1≤a ≤2√2，即a ∈[1,2√2]， 故答案为：[1,2√2].不等式|f(x)|≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立⇔−1≤ax −2x 2≤1对任意的x ∈[0,1]恒成立，(∗)；分x =0与x ≠0两类讨论，可得实数a 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算求解算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)已知点M(2,0)，曲线C 1是以极点O 为圆心，以OM 为半径的半圆，曲线C 1是过极点且与曲线C 1相切于点(2,π2)的圆． 所以：曲线C 1的极坐标方程为ρ=2(0≤θ≤π)；曲线C 2是过极点且与曲线C 1相切于点(2,π2)的圆，整理得：x 2+(y −1)2=1， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(2)由于直线θ=α(0<α<π,ρ∈R)与曲线C 1，C 2分别相交于点A ，B(异于极点)， 所以S △ABM =S △AOM −S △BOM =12×2×2×sinα−12×2×2sinα⋅sinα=2sinα−2sin 2α=−2(sinα−12)2+12；当α=π6或5π6时，S △ABM 的最大值为12．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用三角形的面积公式和分割法的应用及二次函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意得f′(x)=−x 2+2ax +3a 2=−(x −3a)(x +a)，当a =−1时，f′(x)=−(x −1)(x +3)，x ∈[−4,2]， 由f′(x)>0，解得−3<x <1，由f′(x)<0，解得−4≤x <−3或1<x ≤2，所以函数f(x)在区间(−3,1)上单调递增，在区间(−4,−3)，(1,2)上单调递减， 又f(−4)=−253，f(−3)=−323，f(1)=0，f(2)=−73， 所以函数f(x)在区间(−4,−2)上的最大值为0，最小值为−323． (2)函数f(x)只有一个零点，因为f′(x)=−x 2+2ax +3a 2=−(x −3a)(x +a)， ①当a <0时，由f′(x)>0，解得3a <x <−a ， 所以函数f(x)在区间(3a,−a)上单调递增，由f′(x)<0，解得x<3a或x>−a，所以函数f(x)在区间(−∞,3a)，(−a,+∞)上单调递减，又f(0)=−53<0，所以只需要f(−a)<0，解得−1<a<0，所以实数a的取值范围为(−1,0)．②当a=0时，显然f(x)只有一个零点成立，③当a>0时，由f′(x)>0，解得−a<x<3a，即f(x)在区间(−a,3a)上单调递增，由f′(x)<0，解得x<−a或x>3a，即函数f(x)在区间(−∞,−a)，(3a,+∞)上单调递减，又f(0)=−53<0，所以只需f(3a)<0，解得0<a<√533，综上，实数a的取值范围为(−1,√533).【解析】(1)根据题意可得当a=−1时，f′(x)=−(x−1)(x+3)，x∈[−4,2]，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，最值．(2)函数f(x)只有一个零点，又f′(x)=−(x−3a)(x+a)，分三种情况：①当a<0时，②当a=0时，③当a>0时，分析f(x)的零点，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．19.【答案】(1)解：由题意得f(x)=|x+m|−|x−2m|≤|(x+m)−(x−2m)|=|3m|，因为函数f(x)的最大值为6，所以|3m|=6，即m=±2．因为m>0，所以m=2．(2)证明：由(1)知，x+y+z=2，因为x>0，y>0，z>0，所以2=x+y+z=(x2+y)+(x2+z)≥2√xy2+2√xz2，当且仅当x2=y=z时，即x=1，y=z=12等号成立，即√2×√xy+√2×√xz≤2=m2，所以√xy+√xz≤√m，当且仅当x=1,y=z=12时，等号成立．【解析】(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，让最大值等于6即可得m的值；(2)由(1)知，x+y+z=2，由2=x+y+z=(x2+y)+(x2+z)利用基本不等式即可求证．本题主要考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式的方法等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可得f′(x)=(x−1)e x+2ax−b，因为函数f(x)的图象在点(0,f(0))的切线的斜率为−3，所以f′(0)=−b−1=−3，解得b=2．(2)因为f(x)>−e−1恒成立，所以f(1)=−e+a−2>−e−1，即a>1，所以f(x)≥(x−2)e x+x2−2x(当x=0时，取“=”)，令g(x)=(x−2)e x+x2−2x，则g′(x)=(x−1)e x+2(x−1)=(x−1)(e x+2)，由g′(x)>0，得x>1，由g′(x)<0，得x<1，所以函数g(x)在区间(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=−e−1，所以g(x)≥−e−1(当x=1时，取“=”)，所以f(x)>−e−1，综上所述，a的取值范围为a>1．【解析】(1)求导得f′(x)=(x−1)e x+2ax−b，由导数的几何意义可得k切=f′(0)=−3，解得b，即可得出答案．(2)由于f(1)=−e+a−2>−e−1，即a>1，则f(x)≥(x−2)e x+x2−2x(当x=0时，取“=”)，令g(x)=(x−2)e x+x2−2x，求导，分析g′(x)的正负，即可得出f(x)的单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：(1)当n=1时，S1=2a1−2=a1，解得a1=2．∵S n=2a n−2，①∴当n≥2时，S n−1=2a n−1−2.②①−②得a n=2a n−1，整理得a n=2a n−1(n≥2)．∴数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列．∴a n=2n．(2)由(1)得(−1)n+1a n a n+1=−2×(−4)n．∴T n=a1a2−a2a3+⋯+(−1)n+1a n a n+1=−2−4[1−(−4)n]1−(−4)=85[1−(−4)n]．【解析】(1)利用公式法求解即可得出{a n}得通项公式；(2)先求出(−1)n+1a n a n+1的通项公式可得其是一个等比数列，再利用等比数列求和公式进行求解．本题主要考查数列通项公式的求解，等比数列前n项和公式等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π2=2πω，∴ω=4，∵点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点，∴A=2，可得2cos[4×(−7π24)+φ]=−2，可得4×(−7π24)+φ=π+2kπ，k∈Z，可得φ=2kπ+13π6，k∈Z，又∵|φ|<π2，∴φ=π6，∴函数f(x)的解析式为f(x)=2cos(4x+π6)，令2kπ−π≤4x+π6≤2kπ，k∈Z，解得12kπ−7π24≤x≤12kπ−π24，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是：[12kπ−7π24,12kπ−π24]，k∈Z．(2)∵x∈[−π8,π8 ]，∴4x+π6∈[−π3,2π3]，∴cos(4x +π6)∈[−12,1]，∴f(x)=2cos(4x +π6)∈[−1,2]，即函数y =f(x)的值域是[−1,2]．【解析】(1)由已知利用余弦函数的周期公式可求ω，又点M(−7π24,−2)是该函数图象的一个最低点，可求A =2，结合范围|φ|<π2，可求φ的值，进而可求函数f(x)的解析式，进而根据余弦函数的单调性即可求解． (2)由题意可求范围4x +π6∈[−π3,2π3]，进而根据余弦函数的性质即可求解．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查了余弦函数的性质，属于中档题．23.【答案】解：(1)选择条件①：由btanC =(2a −b)tanB ，得bsinC cosC =(2a−b)sinBcosB，由正弦定理可得，sinBsinCcosB =(2sinA −sinB)sinBcosC ， ∴sinCcosB =2sinAcosC −sinBcosC ，∴2sinAcosC =sinCcosB +sinBcosC =sin(C +B)=sinA ， ∵A ∈(0,π)，∴sinA ≠0， ∴cosC =12，又C ∈(0,π2)， ∴C =π3．选择条件②：由正弦定理可得，2sinCcosB =2sinA −sinB ， 又sinA =sin(C +B)，∴2sinCcosB =2sin(C +B)−sinB =2(sinCcosB +cosCsinB)−sinB ， 化简整理得2cosCsinB =sinB ，由sinB >0，故cosC =12， 又0<C <π2， ∴C =π3．选择条件③：由己知得，b 2+a 2−c 2=accosA +a 2cosC ， 由余弦定理，得b 2+a 2−c 2=2abcosC ， ∵b 2+c 2−a 2=accosC +c 2cosA ， ∴2abcosC =accosA +a 2cosC ， ∵a >0，∴2bcosC =ccosA +acosC ，由正弦定理，有2sinBcosC =sinCcosA +sinAcosC =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB ≠0，∴cosC =12， 又C ∈(0,π2)，∴C =π3． (2)∵a =mb ， ∴m =ab =sinAsinB =sin(B+π3)sinB=12+√32tanB ，∵△ABC 为锐角三角形，则B ∈(π6,π2)， ∴tanB >√33， ∴12<m <2．【解析】(1)选择条件①：由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC 的值，结合范围C ∈(0,π2)，可求C 的值．选择条件②：由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB >0，可求cosC =12，结合0<C <π2，可求C 的值． 选择条件③：由余弦定理，正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得cosC =12，结合范围C ∈(0,π2)，可求C 的值．(2)由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求m =12+√32tanB ，可求范围B ∈(π6,π2)，利用正切函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．。