四川省绵阳市2020届高三第一次诊断性考试数学(文)试题及解析试卷版

注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。

特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。

(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ） A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。

||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ）绵阳市高中2020届第一次诊断性考试文科数学A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(=【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。

高2021级第一次诊断性考试数学(文)参考解答及评分HY一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．BBCDA DAACC BC二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．13．214．甲15．216．①④三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．解：由|x -a |≤4有-4≤x -a ≤4，解得a -4≤x ≤a +4，即A ={x |a -4≤x ≤a +4}．……………………………………………………2分 由116<+x 可变形为015<+-x x ，等价于(x +1)(x -5)＞0，解得x ＜-1或者x ＞5， 即B ={}51>-<x x x 或．………………………………………………………4分 〔Ⅰ〕由A ∩B =(]75，知a +4=7，解得a =3． ……………………………7分 〔Ⅱ〕由A ∩B =A 有A ⊆B ，∴ a +4＜-1，或者a -4＞5， …………………………………………………10分 解得a ＜-5或者a ＞9． ………………………………………………………12分 18．解：〔Ⅰ〕由5010.05==n ， 于是5.05025==m ，x =50-(4+5+25+6)=10，2.05040==y ， 即m ，n =50，x =10，y ． …………………………………………4分〔Ⅱ〕据题意，所抽取的两人应分别在(]5.42.4，和(]4.51.5，内取， ∴ 1152112625=+=C C C P ．即所求的概率为115． …………………………………………………………7分 〔Ⅲ〕因为采用的是分层抽样，所以样本中一共有10名女生， 由题知该校的高三女生人数为13013110=÷人， ∴ 全校高三学生人数为130×5=650人．根据频率统计表知，该校高三学生中视力高于 4.8的人数为650×(0.2+0.12)=208人． ……………………………………………………12分 19．解：〔Ⅰ〕设{a n }的公比为q ，那么q ＞0，由有⎩⎨⎧⋅==+，，)(9)(164112111q a a q a q a a 可解得31=q 〔31-=q 已舍去〕，311=a ． ∴ nn n a )31()31(311=⨯=-． ……………………………………………………6分 〔Ⅱ〕∵ 2)1(-2)1(3213213)31()31()31()31()31()31(3++++++===⋅⋅⋅⋅=n n n n n n b n，∴2)1(1+-=n n b n ，即)111(2)1(2+--=+-=n n n n b n ．………………………9分 ∴n n b b b b S ++++= 321)1113121211(2+-++-+--=n n )111(2+--=n 12+-=n n． ………………………………………………………………12分 20．解：〔Ⅰ〕23)2(23)2()(2-+-=-+-=x x x x x h ， ∴ xx x h x f 3)2()(+=+=． ……………………………………………………3分 设0＜x 1＜x 2≤3，那么)3(3)()(221121x x x x x f x f +-+=- 212121)(3)(x x x x x x ---= 2121213)(x x x x x x -⋅-=， ∵ 0＜x 1＜x 2≤3，∴ x 1- x 2＜0，x 1x 2＜3即x 1x 2-3＜0，x 1x 2＞0， ∴ f (x 1)-f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴ f (x )在(0，3)上是减函数．……………………………………………7分 〔Ⅱ〕∵xax x g ++=3)(， ∴ 由有xa x ++3≥8有a ≥-x 2+8x -3， 令t (x )=-x 2+8x -3，那么t =-(x -4)2+13，于是t (x )在(0，3)上是增函数． ∴ t (x )max =12．∴ a ≥12．……………………………………………………………………12分 21．解：〔Ⅰ〕由有ax x x f 23)(2-='，∴ 0382)38(3)38(2=⨯-⨯='a f ，解得a =4． …………………………………2分于是)83(83)(2-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得x 0=0或者38=x ．〔Ⅱ〕要使f (x )在区间[1，2]内至少有一个实数x ，使得f (x )<0，只需f (x )在[1，2]内的最小值小于0．∵)23(23)(2a x x ax x x f -=-='，且由0)(='x f 知x 1=0，322a x =， ①当32a≤0即a ≤0时，0)(>'x f ，∴ f (x )在[1，2]上是增函数， 由023)1()(min <-==a f x f ，解得23>a ．这与a <0矛盾，舍去． ②当320a <≤1即0<a ≤23时，0)(>'x f ，∴ f (x )在[1，2]上是增函数．由023)1()(min <-==a f x f ，解得23>a ．这与0<a ≤23矛盾，舍去． ③当1<32a <2即323<<a 时， 当1≤32a x <时0)(<'x f ，∴ f (x )在⎪⎭⎫⎢⎣⎡321a ，上是减函数， 当32a ≤x <2时0)(>'x f ，∴ f (x ) 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡132，a 上是增函数． ∴02744)32()(3min <-==a a f x f ，解得a >3．这与23<a <3矛盾，舍去．④当32a≥2即a ≥3时，0)(<'x f ，f (x )在[1，2]上是减函数， ∴0412)2()(min <-==a f x f ，解得a >3．结合a ≥3得a >3．综上，a >3时满足题意．……………………………………………………12分 22．解：〔Ⅰ〕证明：令x =y =0时，那么由有)00100()0()0(⨯--=-f f f ，可解得f (0)=0．再令x =0，y ∈(-1，1)，那么有)010()()0(yyf y f f ⋅--=-，即f (-y )=-f (y )，∴ f (x )是(-1，1)上的奇函数．……………………………………………4分 〔Ⅱ〕令x =a n ，y =-a n ，于是)12()()(2nnn n a a f a f a f +=--， 由得2f (a n )=f (a n+1)，时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者： 十乙州 时间： 2022.4.12 单位： ……*** 创编者： 十乙州 ∴ 2)()(1=+n n a f a f ， ∴ 数列{f (a n )}是以f (a 1)=1)21(-=f 为首项，2为公比的等比数列． ∴.221)(11---=⋅-=n n n a f ……………………………………………………8分 〔III 〕n n n a f b 21)(21=-=， ∴ T n = b 1+ b 2+ b 3+…+ b n n n 211211)211(21-=--=.……………………………10分 于是不等式21441<--+m T m T n n 即为21)211(4)211(41<----+m m n n ， 整理得212)4(24)4(2<----m m n n ． 令t =2n (4-m )，于是变形为2124<--t t ，等价于2<t <6． 即2<2n (4-m )<6． 假设存在正整数m ，n 使得上述不等式成立，∵ 2n是偶数，4-m 为整数，∴ 2n (4-m )=4． 于是 ⎩⎨⎧=-=，，1442m n 或者⎩⎨⎧=-=，，2422m n 解得⎩⎨⎧==，，23n m 或者⎩⎨⎧==.12n m ， 因此存在正整数m =2，n =1或者m =3，n =2使原不等式成立．…………14分。

2020届四川省大教育联盟四市联考第一次诊断性考试高三数学（文）试题注意事项：1. 答卷前，考生务必得将自己的姓名，座位号和准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3. 回答主观题时，将答案写在答题卡上对应位置，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1. 已知全集},9|{*N x x x A ∈≤=集合}70|{＜＜x x B =，则=B A IA.{70|＜＜x x }B.61|{≤≤x xC.{1，2，3，4，5，6}D.{7，8，9}2. 已知i 是虚数单位，复数=++ii 131 A. 2+i B. 2-i C. -1+i D. -1-i3.将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移6π个单位得到函数)(x g 的图像，则函数)(x g 的单调递增区间是 A. )](6,3[z k k k ∈+-ππππ B. )](3,6[Z k k k ∈+-ππππ C. )](125,12[Z k k k ∈+-ππππ D. )](12,125[z k k k ∈+-ππππ 4.供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为0,10),10,20),20,30),30,40),40,50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是A.11月份人均用电量人数最多的一组有400人。

B.11月份人均用电量不低于20度的有300人C.11月份人均用电量为25度D.在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在30,40)一组的概率为101 5.已知等比数列}{n a 满足48,65421=+=+a a a a ，则数列}{n a 前10项的和为10S =A.1022B.1023C.2046D.20476.“12＞x”是“1＞x ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7. 如图，是某算法的程序框图，当输出29＞T 时，正整数n 的最小值是A. 2B. 3C. 4D.58. 如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =,若点P 为CD 的中点，且μλ+=,则=+μλ A. 3 B. 25 C. 2 D. 1 9. 若无论实数a 取何值时，直线01=+++a y ax 与圆02222=+--+b y x y x 都相交，则实数b 的取值范围。

四川省绵阳市绵阳2024届高三年级第一次教学质量诊断性联合考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．72．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞3．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．2313⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,B ．()1,3C ．2313⎛⎤⎥ ⎝⎦,D ．(1,3]4．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ>D ．cos cos αβ<5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．6．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．8．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17319．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2310．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绵阳南山高2021级高三（上）一诊模拟考试文科数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，本试卷收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合2{|20}P x x x =-<，{N |1}Q x x =∈≥，则P Q = （）A.{1,2}B.{1}C.{2,3}D.{1,2,3}【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，再根据交集的定义可求得结果.【详解】220x x -<，02x ∴<<，{}02A x x ∴=<<，又{}N 1B x x =∈≥，{}1A B ∴⋂=.故选：B.2.已知向量()()1,,,2a m b m == ，若4a b =，则实数m 等于（）A. B.0C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的计算规则求解.【详解】由题意：41234,3a b m m m m =⨯+⨯==∴= ；故选：D.3.下列函数中，既是奇函数，又在[0,1]上单调递减的是（）A.sin y x =-B.3y x =C.1y x x=+D.||e x y =【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.【详解】由sin y x =-定义域为R 且sin()sin x x --=，易知sin y x =-为奇函数，又π[0,1][0,]2⊆，故sin y x =-在[0,1]上递减，A 符合.由3y x =在[0,1]上递增，B 不符合；由1y x x=+定义域为{|0}x x ≠，显然区间[0,1]不满足定义域，C 不符合；由||e x y =定义域为R 且||||e e x x -=，即||e x y =为偶函数，D 不符合；故选：A4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.60【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.5.“0a b <<”是“11a b>”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.【详解】由0a b <<，则11a b>成立，充分性成立；由11a b>，若1,1a b ==-，显然0a b <<不成立，必要性不成立；所以“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件.故选：A6.已知β是第三象限角，则点()cos ,sin 2Q ββ位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为β是第三象限角，故sin 0,cos 0ββ<<，则sin 22sin cos 0βββ=>，故()cos ,sin 2Q ββ在第二象限，故选：B7.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A8.已知命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >；q ：若0a >，则1(1)(1a a++4≥，则下列命题为真命题的是（）A.p q ∧B.p q∧⌝ C.p q⌝∧ D.p q⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据条件分别判断命题p ，命题q 的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.【详解】命题p ：在ABC 中，若sin sin A B >，由正弦定理得a b >，所以A B >，为真命题，当0a >，对于()111122a a a a ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =时等号成立，所以命题q ：若0a >，则1(1)(1)a a++4≥，为真命题，所以p q ∧为真命题，p q ∧⌝假命题，p q ⌝∧假命题，p q ⌝∧⌝假命题，故选：A.9.函数y＝2x x e(其中e 为自然对数的底数)的大致图像是()A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.【详解】方法一：排除法：当0x =时，0y =，排除C ，当0x ≠时，0y >恒成立，排除A 、D ，故选B.方法二：222(2)'x x x xx e x e x x y e e⋅-⋅-==，由'0y > ，可得02x <<，令'0y <，可得0x <或2x >，所以函数在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，所以只有B 符合条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.10.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.0.82B.1.15C.3.87D.5.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.【详解】根据题意可得1530507.5C C λλ⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除可得31104λ⎪⎝⎭=⎛⎫，所以31lg lg 104λ=，可得1lg2lg 220.3014 1.153lg 310.4771lg 10λ--⨯==≈=--⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．12.设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（）A.12e- B.211e-C.212e -D.212e +【答案】C 【解析】【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -'=+，所以过切点的切线方程为()()()0000e 1e x xy x x x ----=+-，即()()0001e e 1x xy x x --=+-+，所以()001e e 1xx a b x --⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，所以0002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----'=-+-=-，所以当(),2x ∈-∞时()0g x '<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时()0g x '>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则2πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】45##0.8【解析】【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.【详解】由π4cos sin 65αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得ππ4cos cossin sin sin 665ααα+-=，14cos sin 225αα-=，所以2π2π4sincos cos 335αα+=，所以2π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故答案为：4514.等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，则710a a +=___________．【答案】108【解析】【分析】根据等比数列的性质可得23614a a q a a +=+，求得2q ，继而根据471036()a a q a a +=+求得答案.【详解】由题意等比数列{}n a 中，144a a +=，3612a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则236141234a a q a a +===+，故471036()912108a a q a a +=+=⨯=，故答案为：10815.如图，在ABC 中，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ()m R ∈，则m 的值为___________．【答案】14【解析】【分析】12AP mAC AB =+改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数m 的方程，解之即可.【详解】因为12AP mAC AB =+ ，2AD DB =即，32AB AD= 所以1324AP mAC AB mAC AD =+=+ ,又,,C P D 三点共线，所以314m +=，解得14m =.故答案为：14.16.已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x -=成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，有下列命题：①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ；②函数()y f x =图象关于直线5x =-对称；③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点；④函数()y f x =在[5,3]--上为减函数．则以上结论正确的是___________．【答案】①②【解析】【分析】由题意分析()f x 的对称性、单调性、周期性，对结论逐一判断.【详解】根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；由(2)()f x f x -=得()()(11)(11)f x f x --=+-，即(1)(1)f x f x -=+所以1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()()f x f x f x -==--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]12,0,1x x ∈，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[]0,1上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1,1]-上单调递增；据此分析选项：对于①，(2)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，()()()()12320195040(1)(2)(3)0f f f f f f f ++++=⨯+++= ，故①正确；对于②，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x =是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，故②正确；对于③，函数()y f x =在[]7,7-上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6，故③错误；对于④，()f x 在区间[1,1]-上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5,3]--上为增函数，故④错误；故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设{}n a 是公差不为0的等差数列，38a =，1311,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式：（2）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）31n a n =-（2）364n nS n =+【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列方程可求出1,a d ，从而可求出通项公式，（2）由（1）得13113132n n n b a a n n +==--+，再利用裂项相消法可求得结果.【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =⋅又因为38a =，所以()()288288d d =-+，所以230d d -=．因为0d ≠，所以3d =，所以11268a d a +=+=，得12a =，故()23131n a n n =+-=-．【小问2详解】因为()()1331131323132n n n b a a n n n n +===--+-+，所以11111125573132n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ -+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11323264n n n =-=++．18.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到()g x 的图象，求函数()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．【答案】（1）π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据函数图象求出A =πT =，进而得出ω.根据“五点法”，即可求出ϕ的值；（2）先求出π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据已知得出22333x πππ-≤-≤.结合正弦函数的单调性，解ππ2π2233x ≤-≤，即可得出答案.【小问1详解】由图易知A =，5π262π3πT =-=，所以πT =，2π2π2πT ω===．易知π44T =，故函数()f x 的图象经过点π12M ⎛ ⎝，π212ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．又π2ϕ<，∴π3ϕ=．∴π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由题意，易知πππ()22333g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为02x π≤≤时，所以22333x πππ-≤-≤.解ππ2π2233x ≤-≤可得，5ππ122x ≤≤，此时π()23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故函数()y g x =的单调递减区间为5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin()sin2B C a A B c ++=．（1）求A ；（2）已知3c =，1b =，边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S = ，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）334AD =【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【小问1详解】∵sin()sin2B C a A B c ++=，即sin sin()sin sin 2B C A A B C ++=由正弦定理，有sin sin sin cos 2A A C C =又sin 0C ≠，即有sin cos 2A A =，2sin cos cos 222A A A =，π(0,22A ∈ ，cos 02A ≠，所以1sin 22A =，π26A =，故π3A =．【小问2详解】设BDA α∠=，πADC α∠=-，由（1）知π3A =，在△ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可知21912312BC =+-⨯⨯⨯，∴BC =又3ABD ADC S S = ，可知34BD DC ==，在△ABD 中，2222cos AB BD AD BD AD α=+-⋅⋅，即2639cos 16AD α=+-⋅，在△ACD 中，271cos()16AD πα=+-⋅-，即271cos 162AD AD α=+-⋅，联立解得334AD =.20.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对[]x 1,2∈-，不等式()2c f x <恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）1,22a b =-=-，单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1c <-或2>c【分析】（1）求出函数导数，由题可得203(1)0f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪='⎩'即可求出,a b ；（2）求出()f x 在[1,2]x ∈-的最大值即可建立关系求解.【详解】（1）32()f x x ax bx c =+++ ，∴()232f x x ax b '=++，()f x 在23x =-与1x =时都取得极值，21240393(1)320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=''⎩∴，解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，2()32(32)(1)f x x x x x '∴=--=+-，令()0f x '>可解得23x <-或x 1>；令()0f x '<可解得213x -<<，()f x ∴的单调递增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(1,)+∞，单调递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）[]321()2,1,22f x x x x c x =--+∈-，由（1）可得当23x =-时，22()27f x c =+为极大值，而(2)2f c =+，所以()()max 22f x f c ==+，要使2()f x c <对[1,2]x ∈-恒成立，则22c c >+，解得1c <-或2>c .21.已知函数()1ln f x x a x x=-+，R a ∈．（1）若()f x 在区间()3,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，转化为1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立，构造函数()1h x x x=+，利用导数可求出其最小值，（2）由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=，121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >，则()()12212222ln 21f x f x x a x x x x --=-+--，所以只需证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x =-+，利用求出其出其最大值小于零即可.【小问1详解】∵()222111a x ax f x x x x-+'=--+=-，又()f x 在区间()3,+∞上单调递减，∴221()0x ax f x x-+'=-≤在()3,+∞上恒成立，即210x ax -+≥在()3,+∞上恒成立，∴1a x x ≤+在()3,+∞上恒成立；设()1h x x x =+，则()211h x x '=-，当3x >时，()0h x '>，∴()h x 单调递增，∴()()1033h x h >=，∴103a ≤，即实数a 的取值范围是10,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【小问2详解】由（1）知：1x ，2x 满足210x ax -+=．∴121=x x ，不妨设120x x <<，则21x >．∴()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=--=-+----，则要证()()12122f x f x a x x -<--，即证2222ln 1x a a x x -<-，即证22212ln x x x <-，也即证22212ln 0x x x -+<成立．设函数()12ln g x x x x =-+，则()()22211210x g x x x x-'=--+=-<，∴()g x 在()0,∞+单调递减，又()10g =．∴当()1,x ∈+∞时，()0g x <，∴22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证22212ln 0x x x -+<成立，构造函数()12ln g x x x x=-+，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ =，此时31(,)22P .【解析】【详解】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,22.试题解析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()212f x x x =--+.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()23f x t t ≥-在[]0,1上无解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[)4,6,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦;（2）3535,22⎛⎛⎫-+-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】【详解】试题分析：（1）将()f x 的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；（2）()23f x t t ≥-在[]0,1上无解相当于()2max 3f x t t <-，从而得到关于的一元二次不等式，解得t 的范围.试题解析：（1）由题意得()13,21{31,223,2x x f x x x x x -≥=---≤≤-<-.则原不等式转化为1{233x x ≥-≥或12{2313x x -≤<--≥或2{33x x <--≥.∴原不等式的解集为][4,6,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题得()2max 3f x t t <-，由（1）知，()f x 在[]0,1上的最大值为1-，即()2max 13f x t t =-<-，。

绵阳市高中2017级第一次诊断性考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B ⋂=A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．(0,3]D ．(3,4]2．若0b a <<，则下列结论不正确的是A ．11a b< B ．2ab a >C ．|a|+|b|>|a+b|D ．33a b >3．下列函数中定义域为R ，且在R 上单调递增的是A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．2()xf x e =D ．()ln ||f x x =4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，33S =，则6a =A ．4B ．5C ．10D ．155．已知函数2()21xx f x =-，若()2f m -=，则()f m =A ．12B ．0C ．-1D ．-26．已知命题:p 函数2sin sin y x x=+，(0,)x π∈的最小值为22；命题:q 若向量a ，b ，c 满足a b b c ⋅=⋅，则a c =．下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∧B ．p q ∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝7．若0.613a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.83b -=，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．已知x ，y 满足约束条件20,10,10,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．4B ．2C ．1D ．139．设函数()ln xf x ae x =-（其中常数0a ≠）的图象在点(1,(1)) f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为A ．1B ．2C ．1ae -D ．12ae -10．某数学小组到进行社会实践调查，了解鑫鑫桶装水经营部在为如何定价发愁。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4四川省绵阳市2024-2025学年高三第一次诊断性考试数学质量检测试题．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}2,1,0-- C. []2,0- D. []22-,【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由()211x +≤，可得20x -≤≤，所以{}20B x x =-≤≤，所以A B = {}{}{}2,1,0,1,2202,1,0x x --⋂-≤≤=--.故选：B2. “22ac bc >”，是“a b >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若22ac bc >，则20,0c c ≠>，因此a b >，当a b >，0c =时，220ac bc ==，所以“22ac bc >”，是“a b >”的充分不必要条件.故选：A3. 已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（ ）A. 3B. C. 6D. 9【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式化简已知条件，再解不等式求得xy 的范围，从而求得xy 的最小值.详解】3x y xy +=-≥)23310--=+≥，30,9xy -≥≥，当且仅当3x y ==时等号成立，所以xy 的最小值为9.故选：D4. 某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（ ）A. 30万元 B. 32万元C. 36万元D. 40万元【答案】D 【解析】【分析】先得求数据的中心点()10,50.5，代入ˆ 1.6ˆ5yx a =+得ˆ34a =，再由ˆ100=y 求得40x =即得.【详解】258111519106x +++++==，33455053586450.56y +++++==，因ˆ 1.6ˆ5yx a =+过点()x y ，故ˆ50.5 1.6510a =⨯+，得ˆ34a =，【故当ˆ100=y时，341001.65x +=，得40x =，故选：D5. 下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（ ）A. 2y x -= B. 1y x x=+C. sin y x x =-D. 1ln1x y x -=+【答案】C 【解析】【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A ，令()2f x x -=，0x ≠，()()()22fx x x fx ---=-==，所以2y x -=是偶函数，故A 错误；对于B ，1y x x=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减，故B 错误；对于C ，令()sin g x x x =-，R x ∈，()()()()sin sin g x x x x x g x -=---=--=-，所以sin y x x =-是奇函数，又1cos 0y x '=-≥，所以sin y x x =-是R 上的增函数，故C 正确；对于D ，令()1ln1x h x x -=+，()(),11,x ∈-∞-⋃+∞，则()()()11201111x x h x x x x x '+-⎛⎫'=⋅=> ⎪-+-+⎝⎭，所以函数1ln 1x y x -=+在(),1∞--和()1,+∞上单调递增，但在定义域上不单调，故D 错误.故选：C.6. 已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（ ）A. 9 B. 3C.13D.19【答案】B 【解析】【分析】根据两角和正切公式结合已知条件可求出tan θ=.【详解】由题意知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，的故πtan tan3tan 0π1tan tan 3θθθ++=-，解得tan θ=或tan θ=（舍去），则2221cos22sin tan 31cos22cos θθθθθ-===+，故选：B7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：lg 20.301≈）A. 33h B. 35h C. 37h D. 39h【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出常数k ，然后再令0.4P =即可解出t .【详解】依题意，900(120%)ekP P --=，解得1ln 0.89k =-，即900.8t P P =，当0(160%)P P =-时，9000.40.8tP P =，即90.80.4t=，解得9lg 0.49(2lg 21)9(120.301)37lg 0.83lg 21130.301t --⨯==≈≈--⨯，所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h .故选：C8. 已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（ ）A. 30,2⎛⎤⎥⎝⎦B. 2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. (]2e,0- D. ()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】令()()2e3,0xh x xx =->，则()()()e 31x h x x x +'=-，当01x <<时，ℎ′(x )<0，则ℎ(x )在(0,1)上单调递减；当1x >时，ℎ′(x )>0，则ℎ(x )在(1,+∞)上单调递增；令()()231,0k x x x =-+≤，则其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线；由关于x 的不等式()()()0x f x g x -<，可知0x ≠，当0x >时，()()f x g x <，即有()()h x g x <；当0x <时，()()f x g x >，即有()()k x g x >；作出函数图象如图：要使关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，显然0m ≤不能满足题意，故需满足()()()()02222m h g k g ⎧>⎪≥⎨⎪-≤-⎩，即20e 232m m m>⎧⎪≥⎨⎪-≤-⎩，解得302m <≤，即m 的取值范围为30,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（ ）A. 342S = B. 2n nS a <C. {}n S 是等比数列 D. 存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =【答案】AB 【解析】【分析】通过n a 与n S 的关系，作差得到数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可.【详解】由16n n a S +=+，可得16,2n n a S n -=+≥两式相减可得：12,2n n a a n +=≥，又2211612,2a a S a =+==，所以数列{}n a 是以6为首项，2为公比的等比数列，所以162n n a -=⨯，626nn S =⨯-，所以3362642S =⨯-=，A 正确；262n n a =⨯，所以2n n S a <，B 正确；由626nn S =⨯-，可得1236,18,42S S S ===，显然3212S S S S ≠，可判断{}n S 不是等比数列，C 错误；若n k S a =，即162662n k -⨯-=⨯，也即1221n k --=，显然不存在大于1的整数,n k ，使得等式成立，D 错误；故选：AB10. 已知函数()22sin cos0)222xxxf x ωωωω=-+>在[)0,π上有且仅有4个零点，则（ ）A.1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦B. 令()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C. 函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D. 函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，可确定πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，进而解得111433ω<≤，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】()2π2sincossin 2sin (0)2223xxxf x x x x ωωωωωωω⎛⎫=-=+=+> ⎪⎝⎭对于A ， [)0,πx ∈，πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，所以π4ππ5π3ω<+≤，解得111433ω<≤，∴1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ2sin 2sin 6363x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()ππ2cos 63g x x ωωω'⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则πππ,63k k ω+=∈Z ，即62,k k ω=-∈Z ，∵0,ω>∴取4ω=，()8cos 4g x x '=-为偶函数,满足题意，故B 正确；对于C ，x ∈(0,π)，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，(]ππ4π,5π3ω+∈，∴函数()f x 在()0,π上可能有4个或5个极值点， 故C 不正确；对于D ，若ππ,3535x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则πππππ,3353353x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，∴ππ7π8πππ46π7π,,,353353535310515ωω⎡⎫⎛⎤-+∈+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. 故D 正确；故选：ABD.11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. ()0f 可以等于零 B. ()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C. 曲线f (x−1)为轴对称图形 D. 若()11f =，则201()20k f k ==∑【答案】BCD【解析】【分析】利用赋值法可得()00f =或()01f =，分类讨论可得()01f =，判断A ；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B ；结合B 的分析以及图象的平移可判断C ；判断出(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，即可判断D.【详解】令0x y ==，可得()()000000222f f f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()200f f =，解得()00f =或()01f =，当()00f =时，则可得()()0222f x f x x x x x f f ++-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()0f x =，与()f x 不恒为0矛盾，所以()01f =，故A 错误；令y x =-，可得()()()()()()20,f x f x f f x f x f x +-=∴-=，所以()f x 为偶函数，因为()cos 2f x x =是偶函数，所以()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =，故B 正确；因为()f x 为偶函数，所以()f x 的图象关于直线0x =对称，所以()1f x -关于直线1x =对称，所以曲线()1f x -为轴对称图形，故C 正确；令2,x k y k =+=，则可得()()2222222f k f k k f f +++⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()()*221,N f k f k f k k ++=+∈，又()()2022222f f f f +⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得()21f =，所以(){}f k 是以()11f =为首项，0为公差的等差数列，所以201()20k f k ==∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =______．【解析】【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.【详解】由()()2cos cos πcos 3B C B C A ⎡⎤+=-+=-=-⎣⎦，故2cos 3A =，则22222cos 491253a b c bc A =+-=+-⨯=，故a =..13. 已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为________．【答案】8-【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数()f x 的定义域为{R |2}x x ∈≠-，由()0f x =，得|ln|2||x m +=，令函数()|ln|2||g x x =+，(4)|ln|42|||ln |2||()g x x x g x --=--+=+=，则函数()y g x =图象关于直线2x =-对称，在同一坐标系内作出直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象，如图，直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，观察图象得14234x x x x +=+=-，所以()f x 的零点之和为8-.故答案为：8-14. 若2x =是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】2e a <-【解析】【分析】根据函数的导数，对a 分类讨论，再结合()0f x '=的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案.【详解】()()()()()e222e xx f x x a x x a =-+-=-+'，当0a ≥时，e 0x a +>，当2x <时，f ′(x )<0，当2x >时，f ′(x )>0，所以()f x 在(),2∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以2x =是函数的极小值点，不符合题意；当0a <时，令()0f x '=，可得()122,ln x x a ==-，若()2ln a <-，即2e a <-时，则2x <时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()2ln x a <<-时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极大值点，符合题意；若()2ln a >-即20e a >>-时，则2x >时，f ′(x )>0，函数()f x 单调递增，()ln 2a x -<<时，f ′(x )<0，函数()f x 单调递减，所以2是函数()()213e 22xf x x a x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭的极小值点，不符合题意；若()2ln a =-即2e a =-时，则R x ∈时，f ′(x )≥0，函数()f x 单调递增，函数()f x 无极值点，不符合题意.综上，当2e a <-时，2是函数()f x 的极大值点.故答案为：2e a <-【点睛】关键点点睛：首先观察导函数，当0a ≥时，分析函数单调性判断2是否为极大值点，当0a <时，根据()0f x '=的两根大小分类，由导数的正负得函数的单调性，再由单调性判断极大值点是否为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计（2）根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bcn a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001xα1.3232.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为15，女生有报考军事类院校意向的概率为1 4（2）能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关【解析】【分析】（1）先填写22⨯列联表，再根据古典概型概率计算公式求得正确答案.（2）计算2χ的知识，从而作出判断.【小问1详解】根据已知条件，填写22⨯列联表如下：有报考意向无报考意向合计男学生100400500女学生100300400合计200700900男生有报考军事类院校意向的概率为1001 5005=，女生有报考军事类院校意向的概率为1001 4004=.【小问2详解】()22900100300400100 3.214 2.072200700400500χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．16. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，（1）求ABC V 的面积；（2）若π4B =，求A ．【答案】（1）14； （2）π8或5π8.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.（2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.【小问1详解】在ABC V 中，由余弦定理及cos cos 1a C c A +=，得222222122a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得1b =，而1sin 2a C =，所以ABC V 的面积11sin 24S ba C ==.【小问2详解】由（1）及正弦定理得1πsin sin sin 4a b A B ===a A =，于1sin 2A C =1sin(2π)4A A +=，12cos )A A A +=，即22sin cos 12sin A A A =-，因此sin 2cos 2A A =，即tan 21A =，由3π04A <<，得3π022A <<，解得π24A =或5π24A =，所以π8A =或5π8A =.17. 已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．（1）若124a a +=，求1b 的值；（2）若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．【答案】（1）2（2）（ⅰ）()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()32n n n n T S +-=【解析】【分析】（1）先得112b a =，2232b a =，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得；（2）（ⅰ）先求得1n n n b a n+=，利用1n a +是n b 与1n b +的等比中项可得12n n n a a n ++=，由累乘法可得()1n a n n =+，进而可得()21n b n =+；（ⅱ）先得1n n n a b -=+，利用等差数列前n 项和公式可得()32n n T S n n +-=.【小问1详解】由()1n n n a nb +=可得112b a =，2232b a =，由题意可知2a 是1b 与2b 的等比中项，故2212a b b =，可得22123a a a =，即213a a =，又因124a a +=，故11a =，故1122b a ==【小问2详解】（ⅰ）由()1n n n a nb +=得1n n n b a n +=，由题意可得1211121n n n n n n n a a a n n b b ++++++==⋅，得12n n n a a n ++=，故12n n a n a n++=，故()1112211321121n n n n n a a a a n n n n a n n a a a ---=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+--= ，()211n n n b a n n+==+，故()1n a n n =+，()21n b n =+（ⅱ）()()2111n n b n a n n n =+-=-++，()()1212n n n n T b b b a a a S =+++-++-()()()1122n n b a b a b a =-+-++- ()231n =++++ ()212n n++=()32n n +=18. 已知函数()3221f x x ax a x =+--．（1）当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）有3条切线，322y x =-+（2）答案见解析 （3）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；（2）求出导函数，对a 分类讨论即可得出函数单调区间；（3）根据函数的单调性，结合当x →+∞时，()f x →+∞，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】当5a =-时，()325251f x x x x =---，()231025f x x x =--'，设切点为()00,x y ，因为切线过点(0,2)，所以切线斜率存在，故可设切线方程为2y kx =+，则3200002002525131025kx x x x k x x ⎧+=---⎨=--⎩，化简可得()2200021330x x x --+=，即()()200012330x x x ---=，由2002330x x --=的判别式9240∆=+>知方程有2个不等实根且不为1，故()()200012330x x x ---=有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故3102532k =--=-，所以切线方程为322y x =-+.【小问2详解】()()()22323f x x ax a x a x a =+-=-+'，当0a =时，()230f x x ='≥，所以函数R 上单调递增；当0a >时，3a a -<，所以x a <-或3ax <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3aa x -<<时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；当0a <时，3aa ->，所以x a >-或3a x <时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当3ax a <<-时，f ′(x )<0，()f x 单调递减；综上，0a =时，()f x 在R 上单调递增，无递减区间；当0a >时，()f x 在(),a ∞--和,3a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()f x 在,3a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),a ∞-+上单调递增，在,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.【小问3详解】当0a =时，3()1f x x =-，函数仅有1个零点1；当0a >时，由（2）知，()f x 的极大值为()f a -，且当x →+∞时，()f x →+∞，若()f x 有唯一零点，则333()10f a a a a -=-++-<，解得1a <，故()0,1a ∈，当0a <时，由（2）知，()f x 的极大值为3a f ⎛⎫⎪⎝⎭，同理，若()f x 有唯一零点，则3510327a f a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，解得a >，故a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，综上，实数a的取值范围⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数，研究单调区间的关键在于对导函数的特点分析，本题导函数为二次函数，所以分析的重点在于导函数零点的关系，在根据函数有唯一零点求参数的时候，利用函数的极大值点建立不等式是解题关键.19. 已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．在（1）求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312nii a=-<∑．【答案】（1）a =2（2）(1)1n a >，理由见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数判断()f x 的单调性求出最大值得解；（2）（i ）由已知结合基本不等式可得1ln 12nn na a a +≥+，利用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，（ii ）先构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a ，将所证明的式子放缩求和证明.【小问1详解】()()()121123x x f x x x x--'=+-=Q ，(]0,1x ∈，当102x <<时，10x -<，210x -<，()0f x '∴>，则()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当112x ≤≤时，10x -≤，210x -≥，()0f x '∴≤，则()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()max 11133ln ln 222424f x f a ⎛⎫∴==+-+=- ⎪⎝⎭，解得2a =所以实数a 的值为2.【小问2详解】（i ）由（1）知，()2ln 32f x x x x =+-+，所以212ln 3231n n n n n n a a a a a a +=+-++-，即21ln 12n n n na a a a +++=，212n n a a +≥Q ，1ln 12nn na a a +∴≥+，.下面用数学归纳法证明1n a >，()2,Z n n ≥∈，当2n =时，143a =，1214lnln 3111823a a a ∴≥+=+>，假设()2,Z n k k k =≥∈时，命题成立，则1k a >，当1n k =+时，有1ln 112kk ka a a +≥+>成立，所以上述命题对2,Z n n ≥∈，均有1n a >成立.（ii ）当1n =时，13112a -=<成立，当2n ≥时，令()ln 1x x x ϕ+=，则()2ln xx x ϕ-'=，当01x <<时，()0x ϕ'>，当1x >时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11x ϕϕ<=，所以()()21ln 11ln 1112222n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a ϕ+⎛⎫++++==+=+< ⎪⎝⎭，即11112n n a a +-<-，又由（i ）知1n a >，则()11112+-<-n n a a ，()()()121313111ni n i a a a a =∴-=-+-++-⎡⎤⎣⎦∑L ()121111311222n a -⎡⎤⎛⎫<-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦L 111123211322n n -⎛⎫=⨯⨯=- ⎪⎝⎭，102n >Q ，1112n ∴-<，12122n⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即1312ni i a =-<∑，得证.【点睛】关键点点睛：本题最后小问证明的关键是构造函数()ln 1x x xϕ+=，并利用导数证明()1x ϕ<，从而得到()11112+-<-n n a a .。

四川省绵阳市2024届高三第一次诊断性考试语文试题一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

学记是中国古代文学中一种重要而常见的文体，属于“记”类散文，起初主要用来叙述学校的兴建过程。

学记起源于中唐，兴盛于宋。

一种文体的兴盛，往往是时代文化多个层面相互作用的结果，不能单纯归因于文体形式本身的演进。

宋代学记的创作发生与发展同宋代文化诸层面均有着密切的关系。

首先，科举制度是宋代学记得以发展的重要动力。

科举制度对宋代政治、文化及文学创作等均产生了深远的影响，对学记创作的影响尤其明显。

从作品创作的角度来看，宋代学记在某种程度上正是由科举催生，地方政府因科举考试的需要而兴建官学，学记也随之大量产生。

地方官学的兴建，最初的动机之一便是地方官员想为本地的士子提供一个读书学习的场所，帮助其更好地应对科举考试。

而学校兴建完毕后，负责修建的官员士绅往往请一些著名的文人来撰写学记，以表彰其政绩。

比如，仁宗庆历七年，杜应之出守浔州，“下车三日……乃大相厥土，而营学宫”，完工以后便请余靖作记。

科举取士人数较多的地区，官学教育往往比较兴盛，该地的学记作品数量也比较多。

科举制度催生了宋代学记，但宋代创作的学记并没有因此对这一制度歌功颂德，随着时代的发展，它反而变成了反思、批判科举制度的一面镜子。

胡寅在《桂阳监学记》中就将科举取士视为“世远道丧”的表现。

随着科举考试中各种弊端的显现，越来越多的对科举制度进行批评与否定的内容涌现在宋人的学记里面。

学记成了宋人表达自己崇高的“政学一体”政治文化理想的一种常用文体。

如王安石的名作《虔州学记》《慈溪县学记》，在批评科举取士之弊的基础上，高瞻远瞩地指出学校乃为政之本。

其次，道学的兴盛对宋代学记产生了重大影响。

道学是儒学的新形态，是宋代思想界最为重要的学说之一。

从学记创作的数量上看，南宋远超过北宋，但其创作质量却又另当别论，这一点与道学家对学记的情有独钟密不可分。

四川省绵阳市2018届高三第一次诊断性考试数学试题（文史类）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故选D.2. 若，且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】假设则，所以，这与已知矛盾.故假设错误，应有，所以选C.3. ．已知向量，，若，则的值是（）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为，所以，解得，故选A.4. 若，则（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】因为，解得，所以，故选D.5. 某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米.A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】C【解析】设该职工的月实际用水为x立方米，所缴水费为y元，由题意得，即。

根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以，解得。

选C。

6. 已知命题，使得；命题，若，则.下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为恒成立，所以命题为假命题，由得或，即或，所以是假命题，故是真命题，选B.7. 函数满足，且当时，.若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数满足，所以函数的周期为又在一个周期内，函数解析式为，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数的图象，要使两个函数图象有且仅有四个交点，只需，所以，故选C.8. 已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，因此，向右平移后得，，所以代入选项检验，当时，取最大值，所以是一条对称轴，故选B.9. 在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.10. 已知，给出以下结论：①；②；③.则其中正确的结论个数是（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B【解析】对①，由指数函数的性质知，再由幂函数性质知，所以；对②取，显然，故不正确；对③根据对数函数的性质和图象知，故正确. 故选B.点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．11. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A点睛：解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理.在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形.12. 已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故可设，∵∴ ，根据题意.存在，使得，只需，即，∴ ，∴.∴∴.故选B.点睛：本题主要考查了三角函数和导数的有关知识，难度较大，属于难题.求解时要做到灵活转化，一是根据条件设出，进而得到，并确定导数的值域；二是将存在两条互相垂直的切线转化为存在存在，使得，故得到只需，求得后再转化为三角函数的最值问题处理.13. 已知变量满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】3【解析】解：由变量x,y满足约束条件表示的平面区域，可知当直线过点（1,1）时，目标函数最小，且为514. 已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据函数的单调性及奇偶性可知，当或时，，故或时，，解得，故填.15. 在中，，，，且是边的两个三等分点，则__________．【答案】【解析】如图，,.∴。