2019届四川绵阳市高三一诊考试数学(理)试卷【含答案及解析】

保密＊启用前【考试时间：2018年I I月1日15:00—17:00】
绵阳市高中2016级第一次诊断性考试
数学．（理工类）
本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共4页．满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
第1卷共12小题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的．
l.设集合A={-1,O, 1, 2}, 集合B={y ly=2x }, 则AnB=
A.{O, l}
B.{l, 2}
C.{O, l, 2}
2.已知向量a=(l,2), b=(x, 1), 若a.lb,则x=
A.2
B.-2
C.I
3.若点P(-3,4)是角a的终边上一点，则sin2a=
A.24. "
25B.7
25
4.若a,bER, 且a>I b I, 则
A. a<-b
B.a>b c. 16
25
C.a2<b2
D.(0, +oo)
D.一1
D.-8
I I
D.一＞一
b
5.已知命题p:3xoER, 使得lgcosx。

>0;命题q:Vx < 0 ,J'> 0,则下列命题为真命题的是
A.pAq
B.pV (-,q)
C.(-,p)A (-,q)
D.pVq
数学（理工类）试题第1页（共4页）。

四川省2019届高三第一次诊断性考试数学试题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 = {（x,y）|x+y = 2}, B = {（x,y）|x-y = 4},则集合A B=（）A. x = 3, y = —1B. (3,-1) c. {3,-1} D. {(3,-1)}2.复数2 + i的共辘复数是（)A. 2-iB. -2-zC. i-2D. z + 23.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（)1A. y =——B. y =COSXC. y ——x~D. y"xTT4.为了得到函数^ = 2sin（x —一）的图像，只需把函数y = 2sinx的图像上所有点（）5IT TTA.向左平行移动上个单位长度B.向右平行移动上个单位长度9 7TC.向左平行移动一个单位长度D.向右平行移动一个单位氏度5.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，英得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）▲频率B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在（60,80）的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为55—r 216. 设椭圆—+ ^ = 1(7« >0,n>0)的焦点与抛物线x 2=8y 的焦点相同，离心率为一，则府 iv 2 m —n=( )A. 2>/3 —4B. 4—3>/3C. 4>/3 —8D. 8-4^57. 执行如图所示的程序框图，若输入x = 8,则输出的y 值为( )&已知等差数列｛%｝的公差为2,若4，色，勺成等比数列，贝艸色｝前10项的和为(9•己知函数/(切的导函数为/(X ),且满足f(x) = 2xf \e) + lnx (其中幺为自然对数的底数)，则 f(e )=( )10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(X -2)2 + /=1都相切，则 双曲线C的离心率是()?7 cID. 3A. 10B. 8C. 6D. -8C. 一1D. 1A. 2或迹B. 2或羽C.、疗或鱼D.巫或世3 2 3 211.己知函数/(x) = ^(sinx+cosx),记广(兀)是/⑴的导函数，将满足f \x) = 0的所有正数兀从小到大排成数列｛%｝,〃"，贝|擞列｛/(兀)｝的通项公式是( )A. (_1)'匕一俗“B. (一1)卄»必C. (一1)〃八”D. (_1)"5一曲)“12.如图，在RtAABC中，ZACB = 90°, AC = l f BC = x(x>Q), D 是斜边AB 的中点, 将ABCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB丄AD,则兀的取值范圉A. (—,2)B. [73,2^3]C. (0,2)D.((),舲]第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量a = (—1,1), b = (8,k),若allb,则实数R 二_______________ •x-y>014.若满足约束条件< x+y-l<Q ,贝ijz = 2x+y的最大值为__________________ .j + l>09"x _ 2 y < o'一，则/(2019)= _______________ ./(x-2) + l,x>016.已知直线I: y = kx与圆x2 +y2— 2x-2y+ 1 = 0相交于A, B两点，点M (0, h),且MA丄MB,若〃w (1,2),则实数R的収值范围是2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)17.MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,己知sinA + cosA = 0.(1)求tan A ；｛（2）若b = 2 , c = 3,求\ABC的面积.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格:人数兀10152025303540件数y471215202327（1）在给定的能标系屮画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数兀是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）._ _ 7 _ ___ 7参考数据：兀=25 , y = 15.43 ,工彳=5075,7(x)2 = 4375 , Ixy = 2700,工兀％ = 3245.1=1 1=1A工I-心_ _参考公式：回归方程y = hx+a,其中 --------------- , a = ^-^x.£彳_论）2/=130252015105O19.如图所示，四棱锥S- ABCD中，SA丄底面ABCD, ZABC = 90° , AE =品,BC = 1,AD = 2^, ZACD = 60°, E 为CD 的中点.5 10 15 20 25 30 35 40 :(1)求证：BCH平面SAE；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.已知椭圆C的屮心在原点0,直线/:x+73y-V3= 0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON = 0,求|M/V|的最小值.21.已知函数/(x) = xlnx.(1)求曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程；(2)设b>a>0,证明：0v/(a) + /(b)-2/(仝空)<@ —讪2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程V在平面直角坐标系兀Oy中，曲线P的参数方程为< 4 (f为参数)，在以坐标原点为极点,yhx轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为Q2-8QCOS&+15=0.(1)求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知f(x) =| x+11 +1 兀一11, g(x) = -a.(1)若a = -4f求不等式f(x)-g(x)<0的解集;(2)若函数/(兀)的图像与函数g(Q 的图像有交点，求G 的取值范围.试卷答案一、 选择题1-5: DADBC 6-10: ABABA 11、 12： CD二、 填空题13. -814.3 15. 1010 16. (1,6-阿)(64-^23,-Foo)三、 解答题17. (1)因为sinA+cosA = \/2cos(A-450) = 0,所以 cos(A-45°) = 0,又0°<A<180°,所以A —45° =90°, 即 4 = 135°,所以 tan A = tan 135° =-1.(2)由(1)得A = 135°,乂 b = 2,(所以S E1, . 4 1 o Q V2 3^2= —bcsm A = —x2x3x ——= ----- . 2 2 2 218. (1)图形(略)由散点图可以判断，商品件数y 与进店人数兀线性相关7 _ _(2)因为工兀y =3245,兀= 25, y = 15.43, /=!7 _ ___工#=5075, 7(x)2=4375, Ixy = 2700, Z=17____A工栩- 7xy所以b= ------------ —丫#-7(疔1=1所以 sin A = sin 135° V2 23245-2700 5075-4375a = = 15.43-0.78x25 = -4.07所以回归方程y = 0.78x 一4.07 , 当x = 80时，y = 0.78x80-4.07 = 58 (件)所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件.19. (1)证明：因为 AB =羽,BC = 1, ZABC = 90°, 所以 AC = 2f ABC A = 60°,在 AACQ 中，AD = 2羽,AC = 2f ZACD = 60°, 由余弦定理可得：AD 2 = AC 2 + CD 1 -2 AC CD cos ZACD 解得：CD = 4所以AC 2 + AD~ = CD 2,所以AACD 是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以AE = -CD = CE2又ZACD = 60°,所以AACE 为等边三角形， 所以 ZCAE = 60° = ZBCA ,所以 BC//AE, 又AEu 平面SAE f BC Q 平面SAE f 所以BC//平面SAE.(2)解：rtl (1)可知ZBAE = 90°,以点4为原点，以AB, AE f AS 所在直线分别为兀轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,2), B(A /3,0,0), C(J§,l,0), £>(-73,3,0).所以5B = (>/3,0,-2), SC = (巧,1,一2), 50 = (-73,3,-2).即 fV3x-2z = 0[\/3x+ y-2z = 0设n = (x, y, z)为平面SBC 的法向量,则SB"[/? 5C = 0设兀=1 则严0, 即平面SBC的一个法向量为n = (1,0,所以cos < n, SD >=""-2馆|w|l5D|V21 ~7~所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为—.720.(1)因为l:x+\l^y-羽=0与x轴交点为(、疗,0),与y轴交点为(0,1),又直线/与坐标轴交点为椭圆C的顶点，所以椭圆的顶点为(、疗,0), (0,1),故所求椭圆方程为亍yN(-r2 sin 0. /; cos0),其中 /; =| OM \, r2 =| ON |,从而—+ —r = —+ 1 =—・r； r； 3 31 1 厂2 2又(斥+才)(=+ =)= 2 +七+ (当且仅当时取等号)故所求|MN|的最小值为乔.21.(1)由题意/(I) = 0,又/G) = lnx+1,所以广(1) = 1，因此y = /(兀)在点(1,/(!))处的切线方程为y-0 = lx(x-l),即x-y-l = 0(2)证明：因为Ovcvb,所以->1由于/(d) + /(b)-2/(9^) = alna + blnb-2 匕也n竺么aln2L + bln2-2 2 2 a + b a + b2 2设函数F(Q = In ——+ x\n—— (x > 1)1 + x 1 + x2 YF\x) = [In 2 - ln(l + x) + x In 2x - x ln(l + x)] * = In ----1 + x2 Y当兀>1时，^>1,所以F,(x)>0,1 + x所以F(x)在(1,+oo)上是单调递增函数，又F(l) = 0,所以F(兀)>0(兀>1),所以F(-) > 0 ,即/s)+ /(b) —2/(学)>0a 2bzy A A A② f(a) + f(b) - 2/(——)<(b-a)ln2等价于In —- + — In -^― < 0, "2 1 +八1 +色a a令x = — >1 ,a4 x设两数g(x) = ln ------ + xln — (x>\)1+x1+xxg \x) = [ln4 - ln(l + x) + x\nx -xln(l + x)]1 = In —1 + xX当兀〉1时，0<——<1,所以gd)<0,1 + x所以g(兀)在(l,+oo)上是单调递减函数,又g(l) = 0 ,所以gM < 0 (x > 1)所以g (纟)< 0 ,即/(d) + f(b)— 2/(学)<(b-a)\n2a 2综上①②可得：0 v /⑺)+ /(b) — 2/(出)v @ —a) In 2.22. (1)将曲线P的参数方程消去参数Z,得尸=4兀，将°2=兀2 +丿2, x = pcos0代入曲线C的极坐标方程得%2-8X4-/+15 = 0,即(X-4)2+尸=] (2)由(1)知，圆C的圆心C(4,0),半径r = lt2由抛物线的参数方程，设点M(-,r)4则 | MC|=J(^-4)2+(r-0)2-t2 +16 =£ J(F -8)2 +192所以当尸=8即F = ±2血时，| MC |取得最小值丄V192 =2^3,4此时I MN\的最小值为|MC|inin -r = 2V3-l.23. (1)不等式f(x)-g(x)< 0 可化为|x + l| + |x-l|<4,当%<-1时，不等式化为-2%<4,解得x>—2,故—2vx5—1；当—lvx< 1时，不等式化为2<4成立，故-1<X<1；当兀〉1时，不等式化为2x<4,解得兀<2,故1 <兀<2,综上得若。

四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合0，1，，集合，则A. B. C. 1， D.【答案】B【解析】解：集合0，1，，集合，．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知向量，，若，则A. 2B.C. 1D.【答案】B【解析】解：；；．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．3.若点是角的终边上一点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：点是角的终边上一点，，，则，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角的正弦公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题4.若a，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，当时，；当时，，．所以无论b取何值都有，故选：B．分2种情况去绝对值可知，所以无论b取何值都有．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5.已知命题p：，使得；命题q：，，则下列命题为真命题的是A. B. ￢ C. ￢￢ D.【答案】D【解析】解：命题p：，使得，，，命题p为假命题，命题q：，，是真命题，为假命题，￢为假命题，￢￢为假命题，真命题，故选：D．先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项．本题考查符合命题真假性的判断一般化为组成符合命题的基本命题真假性考查逻辑推理，运算求解能力．6.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由题意得：，解得；，，故选：C．根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数以及二次根式的性质，是一道基础题．7.若函数，则不等式的解集是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，则不等式，可得：，可得，，解得．不等式的解集是：．故选：B．利用分段函数，得到分段不等式，求解即可．本题考查分段函数的应用，不等式的解法，考查计算能力．8.已知点A，B，C在函数的图象上，如图，若，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：在中，设，则，由射影定理可得：，即：，可得：，解得：，或舍去，可得：，由函数图象可得：，解得：．故选：D．在中，设，则，由射影定理，勾股定理可得，解得x的值，可求函数的周期，利用周期公式即可计算得解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了射影定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】解：设，，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，又，，即，即，推不出，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．设，，在上单调递增，在上单调递减，，，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了函数的单调性，导数的应用，简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，，，故选：D．根据指数函数的单调性即可判断．本题考查了指数幂的图象和性质，属于基础题11.2018年9月24日，英国数学家阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由于时，，可得，时，，可得，排除D；由，排除A；由，排除B，故选：C．由时，，由裂项相消求和和不等式的性质可得，排除D，再由前几项的和，即可排除A，B，得到结论．本题考查数列不等式的证明，注意运用放缩法和排除法，考查化简运算能力，属于中档题．12.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，，，在R上递增，不等式即为，，即，．，，，，故选：C．构造函数，求出导数，判断在R上递增原不等式等价为，运用单调性，可得，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是______．【答案】7【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线：把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值7，故答案为7．先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．14.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，则，则有，又由，则；故答案为：．根据题意，由函数的解析式可得的解析式，进而可得，即可得，结合的值，计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.若直线与函数的图象相切，则a的值为______．【答案】2【解析】解：，设切点是，故，，由题意得：，解得：，故答案为：2．求出函数的导数，设出切点坐标，得到关于a的方程组，解出即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的导数以及对应思想，是一道常规题．16.已知矩形ABCD的边长，，点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为______．【答案】【解析】解：设，则，，则，，，，，即最小值故答案为：设，则，分别由解直角三角形可得AQ，AP的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变化公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值．本题考查了向量的几何运算和向量的数量积和三角函数的性质，属于中档题三、解答题（本大题共7小题）17.已知等差数列的公差大于0，且，分别是等比数列的前三项．求数列的通项公式；记数列的前n项和，若，求n的取值范围．【答案】解：设等差数列的公差为，由，得，又，，是等比数列的前三项，，即，化简得，联立：解得，．．，，是等比数列的前三项，等比数列的公比为3，首项为3．等比数列的前n项和．由，得，化简得，解得，．【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式，求出数列的首项与公差，然后求出通项公式．求出等比数列的和，列出不等式，推出结果即可．本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查转化首项以及计算能力．18.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图象．求的解析式；求在上的单调递减区间及值域．【答案】解：，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图象，即．由，可得．当，即时，函数单调递减．在上单调递减区间为．当，即时，单调递增，的增区间为．在上单调递增，在上单调递减，．又，，即在上的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用函数的图象变换规律，求出的解析式．利用正弦函数的单调性，求得在上的单调递减区间，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19.在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且．求的值；若，求面积的最大值．【答案】解：，，由正弦定理得，由余弦定理得，化简得，．因为，由知，由余弦定理得，根据重要不等式有，即，当且仅当时“”成立，．由，得，且，的面积．，．．的面积S的最大值为．【解析】利用正弦定理与余弦定理转化求解即可．利用余弦定理求出bc，然后转化求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．20.设函数．讨论函数的单调性；若函数在区间上的最小值是4，求a的值．【答案】解：．当时，0'/>，在R上单调递增；当时，0'/>解得，由解得．综上所述：当时，函数在R上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减．由知，当时，函数在R上单调递增，函数在上的最小值为，即，矛盾．当时，由得是函数在R上的极小值点．当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件．当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾．当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为即．令，则，在上单调递减，而，在上没有零点，即当时，方程无解．综上，实数a的值为．【解析】求出函数的导数通过a的讨论，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．由知，当时，函数在R上单调递增，当，当，当求出即令，则，转化求解即可．本题考查函数的导数，利用函数的单调性以及函数的极值，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21.设函数．当时，求函数的极值；若关于x的方程有唯一解，且，，求n的值．【答案】解：的定义域为．当时，则，令，则．即在上单调递减，又，故时，0'/>，在上单调递增，时，，在上单调递减．所以函数有极大值，无极小值．由，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减．又时，；时，，故存在使得．当时，，在上单调递减．又有唯一解，则必有．由消去a得．令，则．故当时，，在上单调递减，当时，0'/>，在上单调递增．由，，得存在，使得即．又关于x的方程有唯一解，且，，．故．【解析】求出的定义域，当时，，利用函数的导数，通过构造，则转化求解函数的单调区间月极值即可．由，令，则，利用函数的单调性，函数的零点转化求解即可得到．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查发现问题解决问题的能力．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离．【答案】解：直线l的参数方程为为参数，将代入，整理得，所以直线l的普通方程为．由得，将，代入，得，即曲线C的直角坐标方程为．设A，B的参数分别为，．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，由韦达定理得：，于是．设，则则．所以点P到原点O的距离为．【解析】直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．利用的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．当时，解不等式；若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】解：当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得．所以的解集是．的解集包含，当时，恒成立原式可变为，即，即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即m的取值范围是．【解析】通过x讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．题目转化为当时，恒成立，即，转化求解即可．本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。

数学（理工类）参考答案及评分意见第1页（共6页）绵阳市高中2016级第一次诊断性考试数学（理工类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BBABD CBDAD CC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．7 14．-7 15．216．32-三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，由a 4=7，得a 1+3d =7，① ……………………………………………………2分 又∵ a 2，a 6-2a 1，a 14是等比数列{b n }的前三项，∴ (a 6-2a 1)2=a 2a 14，即(5d -a 1)2=(a 1+d )(a 1+13d )，化简得d =2a 1，② ……………………………4分 联立①②解得a 1=1，d =2．∴ a n =1+2(n -1)=2n -1． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ b 1=a 2=3，b 2=a 6-2a 1=9，b 3=a 14=27是等比数列{b n }的前三项， ……………………………………………………8分 ∴ 等比数列{b n }的公比为3，首项为3．∴ 等比数列{b n }的前n 项和S n =3(13)13n −−=3(31)2n −． ……………………10分 由S n >39，得3(31)2n −>39，化简得3n >27． 解得n >3，n ∈N *． …………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）2())4cos 3f x x x π=−+=2cos cos2sin )33x x ππ−+2(1+cos2x ) ………………2分=32cos222x x −+2cos2x +2=12+cos22x x +2数学（理工类）参考答案及评分意见第2页（共6页） =sin(2)26x π++， ……………………………………………4分 由题意得()sin[2()]2266g x x ππ=−++−， 化简得g (x )=sin(2)6x π−． ……………………………………………………6分 （Ⅱ）由6π≤x ≤23π，可得6π≤2x -6π≤76π． 当2π≤2x -6π≤76π即3π≤x ≤23π时，函数()g x 单调递减． ∴ ()g x 在2[]63ππ，上的单调递减区间为2[]33ππ，． ………………………9分 ∵ ()g x 在[]63ππ，上单调递增，在2[]33ππ，上单调递减， ∴ ()g x ma x =()3g π=sin 12π=． 又2()3g π=7sin 6π=sin (+6ππ)=-1sin 62π=−<()6g π=1sin 62π=， ∴ 12−≤()g x ≤1， 即()g x 在2[]63ππ，上的值域为1[1]2−，．……………………………………12分 19．解 ：（Ⅰ）∵ 2c sin B =3a tan A ，∴ 2c sin B cos A =3a sin A ．由正弦定理得2cb cos A =3a 2， ………………………………………………2分由余弦定理得2cb •222+2b c a bc−=3a 2，化简得b 2+c 2=4a 2， ∴ 2224b c a+=． ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）∵ a =2，由（Ⅰ）知b 2+c 2=4a 2=16，∴由余弦定理得cos A =222+2b c a bc −=6bc， …………………………………6分 根据重要不等式有b 2+c 2≥2bc ，即8≥bc ，当且仅当b =c 时“=”成立，数学（理工类）参考答案及评分意见第3页（共6页）∴ cos A ≥68=34．………………………………………………………………8分 由cos A =6bc，得bc =6cos A ，且A ∈(0)2π，， ∴ △ABC 的面积S =12bc sin A =12×6cos A ×sin A =3tan A ． ………………10分 ∵ 1+tan 2A =1+22sin cos A A =222cos sin cos A A A +=21cos A ， ∴ tan A=≤∴ S =3tan A≤∴ △ABC 的面积S的最大值为． ……………………………………12分20．解：（Ⅰ）()x f x e a '=−．当a ≤0时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增； …………………………2分 当a >0时，由()0f x '>解得x >ln a ，由()0f x '<解得x <ln a . ……………4分 综上所述：当a ≤0时，函数()f x 在R 上单调递增；当a >0时，函数()f x 在(ln )a +∞，上单调递增，函数()f x 在(ln )a −∞，上单调递减． ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≤0时，函数()f x 在R 上单调递增，∴ 函数()f x 在[1，2]上的最小值为f (1)=e -a +3=4，即1a e =−>0，矛盾. …………………………………………………………6分 当a >0时， 由（Ⅰ）得x =ln a 是函数()f x 在R 上的极小值点．① 当ln a ≤1即0<a ≤e 时，函数()f x 在[1，2]上单调递增，则函数()f x 的最小值为f (1)=e -a +3=4，即a =e -1，符合条件． …………7分 ②当ln a ≥2即a ≥e 2时，函数()f x 在[1，2]上单调递减，则函数()f x 的最小值为f (2)=e 2-2a +3=4即212e a −=<e 2，矛盾．…………8分 ③当1<ln a <2即e <a <e 2时，函数()f x 在[1，ln a ]上单调递减，函数()f x 在[ln a ，2]上单调递增，则函数()f x 的最小值为f (ln a )=e ln a -a ln a +3=4即a -a ln a -1=0．数学（理工类）参考答案及评分意见第4页（共6页）令h (a )=a -a ln a -1(e <a <e 2)， 则()ln h a a '=−<0，∴ h (a )在(e ，e 2)上单调递减，而h (e )=-1，∴ h (a )在(e ，e 2)上没有零点，即当e <a <e 2时，方程a -a ln a -1=0无解．综上，实数a 的值为e -1． …………………………………………………12分21．解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0，+∞)．当a =e -1时，()f x =ln x -e x +(e -1)x -e +1，则()f x '=1x-e x +e -1， 令1()()1x h x f x e e x '==−+−，则21()0x h x e x '=−−<．………………………2分 即()f x '在(0+)∞，上单调递减，又(1)0f '=，故(01)x ∈，时，()f x '>0，)(x f 在(0，1)上单调递增，(1+)x ∈∞，时，)(x f '<0，)(x f 在(1+)∞，上单调递减．所以函数()f x 有极大值f (1)=-e ，无极小值． ………………………………4分 （Ⅱ）由()f x '=1x -e x +a ，令g (x )=()f x '=1x -e x +a ， 则21()x g x e x '=−−<0，所以g (x )在(0+)∞，上单调递减， 即)(x f '在(0+)∞，上单调递减．又0x →时，()f x '→+∞；x →+∞时，()f x '→−∞，故存在0x ∈(0+)∞，使得0()f x '=01x 0x e −+a =0． ……………………………6分 当x ∈(0，x 0)时，)(x f '>0，f (x )在(0，x 0)上单调递增，x ∈(x 0，+∞)时，)(x f '<0，f (x )在(x 0，+∞)上单调递减．又()f x =0有唯一解， 则必有0000()ln 0x f x x e ax a =−+−=． 由0000010ln 0x x e a x x e ax a ⎧−+=⎪⎨⎪−+−=⎩，， 消去a 得000001ln (1)()0x x x e x e x −+−−=．数学（理工类）参考答案及评分意见第5页（共6页） 令1()ln (1)()x x x x e x e x ϕ=−+−−=1ln 2+1x x x e xe x−+−，……………………8分 则211()2x x x x e e xe x xϕ'=−++− 21=(1)x x x e x −+− =21(1)()x x e x −+． 故当x ∈(0，1)时，)(x ϕ'<0，)(x f 在(0，1)上单调递减，当x ∈(1，+∞)时，)(x ϕ'>0，)(x f 在(1，+∞)上单调递增．…………10分 由1(1)0(2)ln 202e ϕϕ=−<=−+>，， 得存在0(1,2)x ∈,使得0()0x ϕ=即0()0f x =.又关于x 的方程()f x =0有唯一解x 0，且*0(1)x n n n ∈+∈N ，，，∴ 0(12)x ∈，．故n =1． ………………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）将t =2y 代入x=3+，整理得30x −= ， 所以直线l的普通方程为30x −=． …………………………………2分 由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +−=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y −+=． ……………………………5分 （Ⅱ）设A ，B 的参数分别为t 1，t 2．将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得221(32)()42t −+=，化简得230t −=，由韦达定理得12t t +=于是122P t t t +== ………………………………………………………6分数学（理工类）参考答案及评分意见第6页（共6页） 设P (x 0，y 0)，则0093(41(2x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，即P (94，． ……………………………………………………………8分 所以点P 到原点O的距离为2=． ……………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤12−时，)(x f =-2x -1+(x -1)=-x -2， 由)(x f ≥2解得x ≤-4，综合得x ≤-4； ……………………………………2分 当112x −<<时，)(x f =(2x +1)+(x -1)=3x ， 由)(x f ≥2解得x ≥23，综合得23≤x <1； …………………………………3分 当x ≥1时，)(x f =(2x +1)-(x -1)=x +2，由)(x f ≥2解得x ≥0，综合得x ≥1． ………………………………………4分所以)(x f ≥2的解集是2(4][+)3−∞−∞，，． ………………………………5分 （Ⅱ）∵ )(x f =|2x+1|-|x -m |≥|x -3|的解集包含[3，4]，∴ 当x ∈[3，4]时，|2x+1|-|x -m |≥|x -3|恒成立． …………………………7分 原式可变为2x+1-|x -m |≥x -3即|x -m |≤x +4， ……………………………8分 ∴ -x -4≤x -m ≤x +4即-4≤m ≤2x +4在x ∈[3，4]上恒成立，显然当x =3时，2x +4取得最小值10，即m 的取值范围是[-4，10]． ………………………………………………10分。

绵阳市高中 2019届高三第一次（ 11 月）诊断性考试数学理试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题） ．第 I 卷.1 至 2 页，第 II 卷 2 至 4 页．共 4页．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在 本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第 I 卷（选择题，共 50 分）注意事项： 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 第 I 卷共 10 小题．一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的．＊1．集合 S={x ｜｜ x-4｜＜2，x N }，T ＝{4，7，8}，则 S U T ＝（A ）{4}（B ）{3 ，5， 7，8}（C ） {3， 4, 5， 7，8} （D ） {3 ，4, 4, 5, 7, 8} 22．命题 “ x 0 N,x 02 2x 0 3 ”的否定为（A ） x 0 N,x 02 2x 0 3 （B ） x N,x 2 2x 3 （C ） x 0 N,x 02 2x 0 3 （D ） x N,x 2 2x 33．己知幂函数过点（ 2， 2 ），则当 x=8 时的函数值是 （A ） 2 2 （B ） 2 2 （C ） 2 （D ）64 4.若a,b,c R,己知 P ： a,b,c 成等比数列； Q: b = ac ．则 P 是 Q 的16．在等差数列{ a n }中，若 a 4＋a 9＋a l4＝36，则 a 10a 11 ＝2 （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）247．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a,b,c ，若 c 2 b 2 2ab,sin A 2 2sinB ，则 cosC ＝A ）充分不必要条件C ）充要条件B ）必要不充分条件 D ）既不充分也不必要条件 5.下列四个函数中，最小正周期为 5，且关于直线 x ＝一对称的函数是12xA ) y sin( )23C ) y sin(2 x )3xB ) y sin(D ) y sin(2 x )3xy0x 2y 4 0，且 x y 的最大值为 3，则实数 m=x my 1 01 （A ）一 1 （B ） （C ）l （D ）2 229．设函数 y ＝f （x ），x R 满足 f （x ＋l ）＝f （x 一 l ），且当 x （－ 1，1］时， f （x ）＝1一 x 2，lg|x|,x 0，则 h （ x ）＝ f （x ）一 g （ x ）在区间［－ 6， 9］内的零点个数是1,x 0最大值是第 II 卷（非选择题共 100 分） 注意事项：必须使用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可 先用铅笔绘出，确认后再用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷、草稿纸上无效． 第 II 卷共 11 小题．二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分，11、·函数 f （x ） 1 lgx 的定义域为12，式子 tan200 tan 400 3 tan 200 tan 400的值是 ．2x 6x 6,x 213·已知函数 f （x ） x其中 a >0， a 1 ，若对任意的x 1,x 2 R,x 1 x 2，恒有 a x a,x 2［ f （x 1） f （x 2）］（x 1 x 2 ）>0，则实数 a 的取值范围 ． 214.二次函数 f （x ） ax 2 +2bx+c 的导函数为 f '（x ） ，已知 f '（0） 0 ，且对任意实数 x ，有 f （x ）0， 则 f （1）的最小值为 ．f '（0）1 5．设集合 M 是实数集 R 的一个子集，如果点 x 0 R 满足：对任意 >0，都存在 x M ，使得 0<|x x 0 | ；，称 x 0 为集合 M 的一个 “聚点 ”．若有集合：①有理数集；② cos |n N * n1③ sin |n N* ④ |n N * n 1 n 1其中以 0为“聚点 ”的集合是 ．（写出所有符合题意的结论序号） 三、解答题：本大题共 6小题，共 75 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 12 分）已知向量 m （cos ,1 sin ）,n （ cos ,sin ）（ R ） （1）若 m n ，求角 的值；A ）B ) 2D ）8．若实数 x ，y 满足不等式组 函数 g （ x ）A )15B )14C ）13．（D ）1210．直角△ ABC 的三个顶点都在单位圆 x 2y 21上，点M （ 1 ， 1 ），则｜ MA MB MC ｜的 2211A ）B ） 2＋2 （C ）322 ＋1D )3 2 ＋22（2）若，求cos2 的值．17、（本小题满分12 分）已知数列{ a n}的首项a1＝1，且a n+1＝2a n＋（n N*, R）（1）试问数列{a n＋}是否为等比数列？若是，请求出数列{ a n }的通项公式；若不是，请说，明理由；（2）当＝1 时，记b n n，求数列{ b n} 的前n项和Sna n 118．（本小题满分12 分）某民营企业家去年为西部山区80 名贫困大学生捐资奖学金共50 万元妥该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10 万元，资助的贫困大学生每年净增 a 人。

2019届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学（理工类）第I卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.设集合A { 1,0,1,2}，集合B {yl y 2x}，则Al-(0,2.已知向量a （1,2），b （x,1），若a b，则xA.2B.-2 :C . 1 D .-13. 若点P（3,4）是角的终边上一点，则si n2A. 24 7 16 rB c D25 25 254. 若a,b R，且a |b|，则（）A. a b B .a b c. a2b25. 已知命题p: X。

R，使得lg COSX0 0;命题qA. p q B .p ( q) c. (p)6. 函数y 、.sin(x —）的定义域为（4 )A. [, ) B .[,5 ]4 4 4C. [2 k — ,2k45](k Z) D4.[k x7.若函数f(x)1,x 0 &，则不等式f(x) 1 lg x, x 0A. （丄-) B .(,0) U(0, 丄）c.10 108. 已知点A,B,C在函数f （x）、、3sin（x 一）（{0,1,2}((Dx( q) 3A. {0,1} B . {1,2} C3x0，则下列命题为真命题的是（5〒(k Z)0的解集是1 1(咏)D. (1,°)U(云)0）的图像上，如图，若AB BC，则10.若 a 4e 5 , b33e 3 4, c 5e 5，则(2A. a b c a cb C.第U 卷（共90 分）uuu uuur2 , AD 4，点P,Q 分别在边BC,CD 上，且 PAQ ，则APgAQ33 C.24 0y 0 ，则z x 2y 的最大值是 2a9. A. “ a b e ”是充分不必要条件aln b bln aF (B •必要不充分条件.充要条件 D .既不充分也不必要11.2018 年 9 月 24日，英国数学家 M .F 阿帝亚爵在 “海德堡论坛”展示了他 “证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动, 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记12.设f '（X ）是函数f （X ）的导函数, 且 f '(X)f(x)(xR), f(2)2e （ e 为自然对数的底数），则不等式 f (2ln x)x 2的解集为（A. (、.e,e)B . (0^,e)C. (0,e) D.(1,e)、填空题 （每题5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） x x, y 满足约束条件 x 13.已知变量14.已知函数 f (x) 3x 4sin x 1，若 f ( a) 5，则 f (a) 15.若直线yx 1与函数f (x)ax ln x 的图像相切，则 a 的值为16.已知矩形ABCD 的边长AB的最小值为 ___________ .三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列｛a n ｝的公差大于0，且a 4 7，a 2,a 6 2a n a 14分别是等比数列｛b n ｝的前三项• (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 记数列｛b n ｝的前n 项和S n ，若S n 39，求n 的取值范围.18. 已知函数f (x) 、、3si n(2x -) 4COS 2X ，将函数f(x)的图像向右平移一个单位，再向下平移 23 6个单位，得到函数 g(x)的图像. (1) 求 g(x)的解析式；2(2) 求g(x)在［_,2 ］上的单调递减区间及值域.6 319. 在 ABC 中，a,b, C 分别是角 代B,C 所对的边，且2csin B 3atanA .(2)若a 2，求 ABC 面积的最大值20.设函数 f(x) e x ax 3(a R). (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f (x)在区间［1,2］上的最小值是4，求a 的值. 21.设函数 f (x) ln x e x ax a(a R). (1) 当a e 1时，求函数f (x)的极值； (2) 若关于x 的方程f (x)0有唯一解x 0，且沧(n, n 1)， n N ，求n 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修4-4 :坐标系与参数方程3昌2( t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴$2(1)求b 2 C 2的值;在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos(1)求直线I的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)若直线I与曲线C交于A,B两点，求线段AB的中点P到坐标原点0的距离.23. 选修4-5 :不等式选讲已知函数f(x) 12x 1| | x m | (m R).(1)当m 1时，解不等式f(x) 2 ；(2)若关于x的不等式f(x) |x 3|的解集包含［3,4］，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BBABD 6-10:CBDAD 11 、12：CC二、填空题13.7 14.-7 15.2 16. 32 16、3三、解答题6 17.解：（I ）设等差数列 a n 的公差为d （ d 0）由a 4 7 ，得•- a n 12(n 1) 2n 1又・a 2 , a 62印,印4是等比数列 b n 的前三项,2 --(a 6 2a 1) a2a i4 ,即(5d a 1)2(a i d)(a !13d ），化简得联立①②解得a 11, d2.(II )••• bia 6 2a i 9,b g a i4 27是等比数列的前三项,•••等比数列 b n 的公比为3,首项为3. •••等比数列 b n 的前n 项和S n 3(1 3n) 1 3 3(3n 1) 2 由S n 39，得 33 卫 39，化简得3n 227,解得n 3, n 18.解：(I ) f (x) . 3sin(2x ) 4cos 2x 3,3s in( 2xcoscos2xs in ) 2(1 3 3cos2x)3 3 sin2x cos2x 2cos2x 2 2 2 .31 sin 2x cos2x2 2 2 sin(2x -)2 , 由题意得g(x) sin 2(x -) 6化简得 g(x) sin(2x ). 62 (II )由 x ，可得一6367 2 2x 当 2x即 x 时，函数g(x)单调递减.2 66 3 3• 2csin BcosA 3asin A ,.2 2b c42 ia••• g(x)在J上单调递增，在2 上单调递减，6 33’ 3• ' g ( x) maxg(寸sin1. 22 又 g(—).7 sin - sin() sin — 1 /、 • 1 -g(—) sin —3666 2 6 6 2• 2 g(x) 1,即g(x)在2上的值域为1 ,1 .6，323 19.解：(I )••• 2csi nB 3a ta nA ,-,—上单调递减区间为6 3 (ll )因为a 2，由(I )知 b 2 4a 216,•由余弦定理得cos Ab 2c 22bc根据重要不等式有b 2bc ，即 8 bc , 当且仅当b c 时“=”成立,“ 6 3 •- cosA - 8 4由 cos A —，得 bc bc 6 cosA • ABC 的面积 1-bcsin A 2(0,),2 6 cos Asin A 3tan A .sin 2 AA •- tan A cos 2 sin 2 A12 .，cos A••• g(x)在 由正弦定理得 2cb cos A 3a 2 由余弦定理得2cbg b2a2bc3a 2, 化简得 b 2 c 2 4a 2,••• ABC的面积S的最大值为、、.7 .20. (I) f '(x) e x a .当a 0时，f'(x) 0 , f (x)在R上单调递增；当a 0 时，f '(x) 0 解得x Ina,由f '(x) 0 解得x Ina. 综上所述：当a 0时，函数f(x)在R上单调递增；当a 0时，函数f (x)在(In a,)上单调递增,函数f (x)在(，ln a)上单调递减•(II )由(1 )知，当当a 0时，函数f (x)在R上单调递增，•函数f(x)在［1,2］上的最小值为f(1) e a 3 4,即a e 1 0，矛盾.当a 0时，由(1 )得x In a是函数f (x)在R上的极小值点.①当Ina 1即o a e时，函数f(x)在［1,2］上单调递增，则函数f(x)的最小值为f(1) e a 3 4，即a e 1，符合条件②当lna 2即a e4时，函数f (x)在［1,2］上单调递减，4令h(a) a al na 1 (e a e ),则h'(a) ln a 0,• h(a)在(e,e2)上单调递减，而h(e) 1,•- h(a)在(e,e2)上没有零点，即当e a e2时，方程a alna 1 0无解.综上，实数a的值为e 1.则函数2 e2 1 2 f(x)的最小值为f(2) e 2a3 4即a e ,矛盾.2③当1 Ina 2即e a e2时，函数f (x)在［1,ln a］上单调递减，函数f (x)在［In a,2］上单调递增,则函数 f (x)的最小值为f (ln a) e lna a In a 3 4 即a a In a 1 0.x x 21. (I ) f(x)的定义域为(0,). 当a e 1时， f(x0In x e x (e 1)xe 1，则 f '(x)1 e xx e 1令 h(x) f'(x) 1 xexe 1，则 h'(x)1 x ne 0.x 即 f '(x)在(0, )上单调递减 ，又 f'(1) 0，故 x (0,1)时，f'(x)0， f(x)在(0,1)上单调递增, x (1, )时， f'(x) 0， f(x)在(1, )上单调递减•所以函数 f (x)有极大值 f(1)e ，无极小值.(II )由 f'(x) 1 xe xa，1 x 令 g(x) f'(x)— e a ， x则 g'(x)1 e 0 ，所以g(x)在(0,)上单调递减，x即f '(x)在(0,)上单调递减. 又 x 0 时，f'(x)； x 时，f'(x)故存在X 。

四川省绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学理试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ={x ∈Z|-2<x <1}，N ={-1，0，1}，则集合M 与N 的关系是A ．M ∈NB ．M ⊆NC ．M ⊇ND ．M =N2．复数z =1+i ，则zz-+11= A ．2-i B ．2+i C ．-1+2i D ．1+2i 3．数列{a n }中，a n =2n -12，S n 是其前n 项和，当S n 取最小值时，n =A ．11或12B ．12或13C ．5或6D ．6或74．已知1)(-=x x f ，那么A ．0)(lim 1=+→x f xB ．0)(lim 1=-→x f xC ．0)(lim 1=→x f xD ．0)(lim =∞→x f x5．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-，，)1(21)1(2)(x x x f x 若0<f (x 0)<1，则x 0的取值范围是A ．[)∞+，1B ．(1，+∞)C ．(]1，∞- D ．(0，+∞)6．已知随机变量ξ服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛221σ，N ，且P (0≤ξ≤21)=a ，则P (ξ<0)=A ．aB ．21C ．1-aD ．21-a 7．已知函数f (x )=3x +1，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()1(lim 0的值为A ．31-B ．31C ．32D ．08．函数y =lg|x -1|的图象大致为xyO 1 2xy O 1 2xy O 1 xyO-1 -2 2A ．B ．C ．D ．9．“a =1”是“函数f (x )=x 2-2ax +1在区间[)∞+，1上是增函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知2b 是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-45，B ．(-∞，45)C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-451，D ．(-1，45) 11．右图是一个“直角三角形数阵”，已知它的每一行从左往右的数均成等差数列，同时从左往右的第三列起，每一列从上往下的数也成等比数列，且所有等比数列的公比相等．记数阵第i 行第j 列的数为a ij （i ≤j ，i 、j ∈N*），则a 68=A ．61B ．241 C ．31D ．121 12．已知g (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，且在区间[0，1]上满足三个条件：①对于任意的x 1，x 2∈[0，1]，当x 1<x 2时，恒有g (x 1)≤g (x 2)成立，②)(215x g x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛，③g (x )+g (1-x )=1．则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛1515121g g g A ．23B ．45C ．67D ．89 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，不能答在试题卷上． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．在等差数列{a n }中，如果a n =a n +2，那么公差d = ．14．为庆祝祖国母亲60华诞，教育局举行“我的祖国”歌咏比赛，某中学师生踊跃报名参加．据统计，报名的学生和教师的人数之比为5∶1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队参加比赛．已知教师甲被抽到的概率为101，则报名的学生人数是 ． 15．曲线y =x sin x +cos x 在x =π处的切线与函数y =e ax(a ∈R ，a ≠0)的图象在x =0处的切线平行，则实数a = ．16．已知二次函数f (x )=x 2-mx +m （x ∈R ）同时满足：（1）不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0<x 1<x 2，使得不等式f (x 1)>f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n =f (n )，nn a mb -=1．我们把所有满足b i ·b i +1＜0的正整数i 的个数叫做数列{b n }的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题： ①m =0； ②m =4；3132 131 2141…… … …③数列{a n }的通项公式为a n =2n -5； ④数列{b n }的异号数为2； ⑤数列{b n }的异号数为3．其中正确命题的序号为 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数()23log 1)(2-=x x f 的定义域为集合A ，不等式x-21≥1的解集为B ．（1）求(R A )∩B ；（2）记A ∪B =C ，若集合M ={x ∈R||x -a |<4}满足M ∩C =∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）国庆前夕，我国具有自主知识产权的“人甲型H1N1流感病毒核酸检测试剂盒”（简称试剂盒）在上海进行批量生产，这种“试剂盒”不仅成本低操作简单，而且可以准确诊断出“甲流感”病情，为甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障．某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了知道诊断结论的5位发热病人（其中“甲流感”患者只占少数），对病情做了一次验证性检测．已知如果任意抽检2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率为52． （1）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数；（2）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本题满分12分）等差数列{a n }的各项均为正数，a 1=3，前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，b 1=1，且b 2S 2=4，b 3S 3=415． （1）求a n 与b n ；（2）记数列{n S 1}的前n 项和为T n ，且n n T ∞→lim =T ，求使b n ≥3T成立的所有正整数n ．20．（本题满分12分）已知函数f (x )=a x +2-1（a >0，且a ≠1）的反函数为)(1x f -．（1）求)(1x f -；（2）若)(1x f -在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a 的值； （3）设函数1log )(-=x a x g a，求不等式g (x )≤)(1x f -对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2131，a 恒成立的x 的取值范围．21．（本题满分12分）已知f (x )是定义在[)0，e -∪(]e ，0上的奇函数，当x ∈(]e ，0时，f (x )=ax +ln x ，其中a <0，a ∈R ，e 为自然对数的底数． （1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数a ，使得当x ∈[)0，e -时，f (x )的最小值为3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．22．（本题满分14分）已知函数f (x )=222-x x （x ≠1），各项同号且均不为零的数列{a n }的前n 项和S n满足4S n ·f (na 1)=1（n ∈N*）．（1）试求f (x )的单调递增区间和单调递减区间； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）求证：ea n a n 1)11(1<-+．（e 为自然对数的底数） 绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCCAD DABAC DB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．0 14．500 15．-π 16．②⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：由⎩⎨⎧≠->-123023x x ，解得32>x 且x ≠1，即A ={x |32>x 且x ≠1}，由x-21≥1解得1≤x <2，即B ={x |1≤x <2}． ………………………………4分 （1）于是R A ={x |x ≤32或x =1}，所以(R A )∩B ={1}． ……………………7分（2）∵ A ∪B ={x |32>x }，即C ={x |32>x }．由|x -a |<4得a -4<x <a +4，即M ={x |a -4<x <a +4}． ∵ M ∩C =∅，∴ a +4≤32，解得a ≤310-．…………………………………………………12分18．解：（1）设有x 人患“甲流感”，则由题意有5225151=⋅-C C C xx ， ……………3分 解得 x =1或x =4（舍）．∴ 这5位发热病人中有1人患“甲流感”．…………………………………5分 （2）=1，2，3，4，则511)1(15===A P ξ，51)2(2514===A A P ξ，51)3(3524===A A P ξ，52)4(454434=+==A A A P ξ． ∴的分布列为ξ 1 2 3 4P51 51 51 52 ……………………………………………………………………………………10分∴8.2524513512511=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………………………12分19．解：（1）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则由题意可列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，415)33(4)2(12111d a q b d a q b ……………………………………………………………3分 把a 1=3，b 1=1代入解得⎪⎩⎪⎨⎧==，，212q d 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=．，6556q d ∵ {a n }的各项均为正，∴ 56-=d 应舍去． ∴ .)21()21(1122)1(311--=⋅=+=⨯-+=n n n n b n n a ，……………………………5分（2）∵ )2(2)123(+=++=n n n n S n ，∴ T n )2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=n n )21151314121311(21+-++-+-+-=n n )2111211(21+-+-+=n n ， =)2(21)1(2143+-+-n n ． …………………………………………………9分∴ ])2(21)1(2143[lim lim +-+-=∞→∞→n n T n n n =43，即43=T ，∴ 1)21(-n ≥41，解得 n ≤3，∴ 正整数n =1，2，3． ………………………………………………………12分20．解：（1）令y =f (x )=a x +2-1，于是y +1=a x +2，∴ x +2=log a (y +1)，即x =log a (y +1)-2，∴ )(1x f -=log a (x +1)-2(x >-1)．………………………………………………3分 （2）当0<a <1时，)(1x f -max =log a (0+1)-2=-2，)(1x f -min =log a (1+1)-2=log a 2-2，∴ -2-(2log a -2)=2，解得22=a 或22-=a （舍）． 当a >1时，)(1x f -max =log a 2-2，)(1x f -min =-2，∴ 2)2()22(log =---a ，解得2=a 或2-=a （舍）．∴ 综上所述，22=a 或2=a ．……………………………………………7分 （3）由已知有log a 1-x a≤log a (x +1)-2，即1log -x a a ≤21log a x a +对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ ]2131[，∈a ，∴ 21ax +≤1-x a ．①由21ax +>0且1-x a >0知x +1>0且x -1>0，即x >1，于是①式可变形为x 2-1≤a 3，即等价于不等式x 2≤a 3+1对任意的]2131[，∈a 恒成立．∵ u =a 3+1在]2131[，∈a 上是增函数，∴2728≤a 3+1≤89，于是x 2≤2728，解得9212-≤x ≤9212．结合x >1得1<x ≤9212．∴ 满足条件的x 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎝⎛92121，．…………………………………12分 21．解：（1）设-e ≤x <0，则0<-x ≤e ，∴ f (-x )=a (-x )+ln(-x )，已知f (x )是奇函数可得f (-x )=-f (x )． ∴ -f (x )=-ax +ln(-x )，即f (x )=ax -ln(-x )．∴ f (x )=[)(]⎩⎨⎧∈+-∈--．，，，，，e x x ax e x x ax 0ln 0)ln( ………………………………………………4分（2）x ∈[)0，e -时，，xa x f 1)(-=' 令0)(='x f ，得ax 1=．…………………………………………………………5分 ①当a1≤-e ，即-e 1≤a <0时，0)(>'x f ．故f (x )在[)0，e -上是增函数． ∴ f (x )min =f (-e )=-ae -1=3，解得e e a 14-<-=（舍）．………………………………………………………8分②当a 1>-e ，即ea 1-<时，则x[-e ，a 1) a 1 (a1，0) )(x f ' - 0 + )(x f ↘ 最小值 ↗∴ f (x )min =)1(af =)1ln(1a --=3，解得2e a -=．综上所述，存在实数a =-e 2满足条件．………………………………………12分22．解：（1）∵ 2222)22(42)22(2)22(2)(--=---='x xx x x x x x f ，∴ 由0)(>'x f 有x <0或x >2，由0)(<'x f 有0<x <2且x ≠1，即f (x )的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0，1)，(1，2)． ………………………………………………………………………………………4分（2）由题有1212142=-⋅⋅nnn a a S ，整理得2S n =a n (1-a n )， ①∴ 当n =1时，2S 1=a 1(1-a 1)，解得a 1=-1，或a 1=0（舍）． 当n ≥2时，2S n -1=a n -1(1-a n -1)， ②于是①-②得2a n =a n -2n a -a n -1+21-n a ， 整理得a n +a n-1=(a n -1-a n )(a n -1+a n )，由已知有a n +a n-1≠0， ∴ a n -a n -1=-1（常数）．∴ {a n }是以-1为首项，-1为公差的等差数列．∴ a n =-n ．………………………………………………………………………9分 （3）∵ a n =-n ，∴ 原不等式即为e n n 1)11()1(<++-，等价于e nn >++1)11(． 两边同取对数得1)11ln()1(>++nn ， 即证11)11ln(+>+n n ． 构造函数xxx x g +-+=1)1ln()(， ∵ 2)1()1(11)(x x x x x g ++--+=' 2)1(2x x++=， 显然当x ≥0时，0)(>'x g ， ∴ g (x )在[)∞+，0上是增函数．∴ )0()1(g ng >，即0111)11ln(>+-+nn n ，整理即得n n +>+11)11ln(．故原不等式得证．………………………………………………………………14分绵阳市高中2019届高三第一次诊断性考试数学（第Ⅱ卷） 答题卷（理工类）题号 二 三 第Ⅱ卷总 分总分人总分 复查人 17 18 19 20 21 22 分数得 分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． ． 14． ． 15． ．16． ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 得 分 评卷人 17．（本题满分12分）得分评卷人18．（本题满分12分）得分评卷人19．（本题满分12分）得分评卷人20．（本题满分12分）得分评卷人21．（本题满分12分）得分评卷人22．（本题满分14分）。

2019年四川省绵阳市南山中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=（）A. （0，2）B. [0，2]C. {0，2}D. {0，1，2}【答案】D【解析】解：∵A={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选：D．由题意可得A={x|-2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A. ab＞acB. c（b-a）＜0C. cb2＜ab2D. ac（a-c）＞0【答案】A【解析】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b-a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a-c＞0，故ac（a-c）＜0，所以D不正确故选：A．先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．3.下列命题正确的是（）A. 命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q都是假命题B. 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题C. 若x0使得函数f（x）的导函数f’（x0）=0，则x0为函数f（x）的极值点；D. 命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”【答案】B【解析】解：命题“p∧q”为假命题，则p，q至少一个是假命题，所以说命题p与命题q都是假命题，不正确；命题“若x=y，则sin x=sin y”是真命题，它的逆否命题也为真命题，所以B正确；若x0使得函数f（x）的导函数f’（x0）=0，如果两侧的导函数的符号相反，则x0为函数f（x）的极值点；否则，不是函数的极值点，所以C不正确；命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”，不满足命题的否定形式，所以不正确；故选：B．利用复合命题的真假判断A的正误；逆否命题的真假判断B的正误；函数的极值判断C上的正误；命题的否定判断D 的正误．本题考查命题的真假的判断，涉及逆否命题以及命题的否定，复合命题的真假的判断．4.已知向量，满足•（-）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵•（-）=．∴==-1．∴cos＜＞=．∴＜＞=．故选：D．求出，代入向量的夹角公式即可．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5.已知sin（-α）=，则cos（2α+）=（）A. -B.C.D. -【答案】A【解析】解：∵sin（-α）=，∴cos（2α+）=-cos（π--2α）=-cos（-2α）=-1+2sin2（-α）=-1+2×（）2=-．故选：A．利用诱导公式以及二倍角的余弦函数求解即可．本题考查诱导公式以及二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力．6.已知a＞1，，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A. 0＜x＜1B. -1＜x＜0C. -2＜x＜0D. -2＜x＜1【答案】B【解析】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞1∴x2+2x＜0∴-2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是-1＜x＜0故选：B．求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合A⊆集合B且B⊊A时，A是B的充分不必要条件．本题考查不等式的解集是不等式的充要条件；据集合之间的关系判断条件关系．7.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A. 21B. 20C. 19D. 18【答案】B【解析】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=-2，∴S n=39n+×（-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．8.函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=A sinωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】解：由函数f（x）=A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）的部分图象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2cos（2x+φ），将代入得，∵-π＜φ＜0，∴．故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到g（x）=A sinωx的图象，故选：B．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）=（）x-1，则a=f（log32），b=f （-log），c=f（3）的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. b＞a＞cD. c＞b＞a【答案】C【解析】解：∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，f（x）=（）x-1为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）=f（log3），且-=2=log34，log34＜log3＜3，∴b＞a＞c，故选：C．根据函数y=f（x+1）是偶函数得到函数关于x=1对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．10.设函数，则使得f（x）＜f（2x-1）成立的x的取值范围是（）A. （，1）B. （-∞，）∪（1，+∞）C. （-，）D. （-∞，-）∪（，+∞）【答案】B【解析】解：函数，是偶函数，x＞0时，函数是增函数，所以：f（x）＜f（2x-1），可得|x|＜|2x-1|，即x2＜（2x-1）2，可得3x2-4x+1＞0，解得x∈（-∞，）∪（1，+∞）．故选：B．利用函数的单调性以及函数的奇偶性，化简不等式推出结果即可．本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性，绝对值不等式的解法，考查计算能力以及转化思想的应用．11.已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax-1恒成立，则a的取值范围是（）A. [-2，0]B. [-2，1]C. [-4，0]D. [-4，1]【答案】C【解析】解：当x＞0时，ln（x+1）＞0恒成立则此时a≤0当x≤0时，-x2+2x的取值为（-∞，0]，|f（x）|=x2-2xx2-2x≥ax-1（x≤0）x=0时，左边＞右边，a取任意值都成立．x＜0时，有a≥x+-2 即a≥-4综上，a的取值为[-4，0]．故选：C．分x的范围进行讨论，当x＞0时，|f（x）|恒大于0，只要a≤0不等式|f（x）|≥ax-1恒成立；x=0时对于任意实数a不等式|f（x）|≥ax-1恒成立；x＜0时，把不等式|f（x）|≥ax-1取绝对值整理后分离参数a，然后利用基本不等式求解a的范围，最后取交集即可得到答案．本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了参数分离法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是中高档题．12.在△ABC中，O为外心，已知=x+y，且2x+y=1，cos B=，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设CD为⊙O的直径，则=2=2x+y•2，延长CA至P，使得=2，∵2x+y=1，∴B，D，P三点共线，∵CD是⊙O直径，∴BC⊥BP，延长AO交BC于M，则AM⊥BC，AM∥BP，∴=|AB|2，=|BC|2，∴=（）2，∵cos∠ABC=sin∠ABM==，∴==，∴=．故选：A．做出图形，根据共线定理求出即可．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则z=3x-4y的最大值为______．【答案】6【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，0），化目标函数z=3x-4y，化为y=x-，由图可知，当直线y=x-过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为：6．故答案为：6．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点D在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度为______；角C=______．【答案】30°【解析】解：由A向BC作垂线，垂足为E，∵AB=AC，∴BE=BC=，∵AB=2，∴cos B==，∴B=30°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=30°，∴AE=BE•tan30°==1，∵∠ADC=45°，∴AD==．故答案为：，30°．由A向BC作垂线，垂足为E，由已知条件求出cos B，从而能求出∠C=∠B=30°，进而能求出AE，由此利用正弦定理能求出AD的长．本题考查三角形的边长和角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．15.设函数f（x）=在x=1处取得极值为0，则a+b=______．【答案】-【解析】解：∵f（x）=，∴f'（x）=ax2-2bx+a2，∵在x=1处取得极值为0，∴f'（1）=a-2b+a2=0，f（1）=0，∴a=1或a=-，∵函数有极值，a=1不成立．∴a=-，b=-，故答案为-．求出导函数，根据定义可知f'（1）=a-2b+a2=0，f（1）=0，得出a=1或a=-，由极值概念可知a=1不成立，故a=-，b=-，得出答案．本题考查了极值的概念和导函数的应用，属于基础题型，应熟练掌握．16.若函数f（x）=（e为自然对数的底数）的图象上存在两点M、N，使得∠MON=90°，（其中O为坐标原点），且MN中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是______．【答案】（0，]【解析】解：设曲线y=f（x）上存在两点M、N满足题设要求，则点M、N只能在y轴两侧．不妨设M（t，f（t））（t＞0），∵MN中点恰好在y轴上，∴N（-t，2t3），∵∠MON=90°，∴•=0，即-t2+2t3f（t）=0，即2tf（t）-1=0，①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点M、N；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点M、N．若0＜t＜e，则f（t）=-2t3代入①式得：-2t•2t3-1=0，即4t4+1=0，∵0＜t＜e，∴方程4t4+1=0无解，因此t≥e，此时f（t）=a ln t，代入①式得：2ta lnt-1=0，即2at lnt=1，即2a=，令h（x）=，（x≥e），则h′（x）===＜0恒成立，∴h（x）在[e，+∞）上单调递减，∵t≥e，∴h（x）≤h（e）==，又当t≥e时，h（x）＞0，∴0＜h（x）≤，即0＜2a≤，得0＜a≤，∴实数a的取值范围是（0，]，故答案为：（0，]设出M，N的坐标，根据直线垂直，转化为向量垂直得到关于t的方程，利用参数分离法，进行转化，构造新函数求函数的导数，研究函数的单调性，求出函数的取值范围进行求解即可．本题考查分段函数的运用，根据直线垂直，转化为向量垂直，利用中点坐标公式求出M，N的坐标关系，利用构造法，求函数的导数，研究函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知向量=（sin2x，cos2x），=（cosθ，sinθ）（|θ|＜），若f（x）=，且函数f（x）的图象关于直线x=对称．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[-，]上的值域．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=•=sin2x cosθ+cos2x sinθ=sin（2x+θ），……………（2分）∵函数f（x）的图象关于直线x=对称，∴2×+θ=k，k∈Z，∴θ=kπ+，k∈Z，又|θ|＜，∴θ=．……………………（3分）∴f（x）=sin（2x+）．……………………（4分）∵函数y=sin x的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z令2x+∈[2kπ+，2kπ+]，∴x∈[kπ+，kπ+]．……………………（5分）∴f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．……………………（6分）（Ⅱ）∵x∈[-，]，∴2x+∈[-，]．……………………（8分）∴sin（2x+）∈[-，1]，∴f（x）在x∈[-，]上的值域为[-，]……………………（12分）【解析】（Ⅰ）根据对称轴以及θ的范围可得θ=，从而可得f（x）及单调递减区间；（Ⅱ）换元后利用正弦函数的图象可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．18.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，其中S n为{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求a n；（2）若数列{b n}满足b n=，{b n}的前n项和为T n，且对任意的正整数n都有T n＜m，求m的最小值．【答案】解：（1）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，n≥2时，a n=2S n-1+1，相减可得：a n+1-a n=2a n，即a n+1=3a n，∴数列{a n}是等比数列，公比为3，首项为1．a n=3n-1．（2）数列{b n}满足b n====，∴{b n}的前n项和为T n=+…+==-．对任意的正整数n都有T n＜m，∴-＜m．∴m≥，∴m的最小值为．【解析】（1）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，n≥2时，a n=2S n-1+1，相减可得：a n+1-a n=2a n，即a n+1=3a n，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）数列{b n}满足b n====，利用裂项求和、数列的单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和、数列的单调性、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积S满足S=b2+c2-a2（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若△ABC能够盖住的最大圆面积为π，求的最小值．【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵在△ABC中由余弦定理有b2+c2-a2=2bc cos A，……………………（1分）∴可得：S=（b2+c2-a2）=bc cos A=bc sin A，…………（4分）∴tan A=，∵A∈（0，π），∴A=．……………………（6分）（Ⅱ）∵由余弦定理，可知a2=b2+c2-bc，∴由题意，可知△ABC的内切圆半径为1．……………………（7分）∴△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，可得b+c-a=2，……………………（9分）∴（b+c-2）2=b2+c2-bc，∴可得：4bc=4（b+c）≥8，可得：bc≥12，或bc≤，（舍）………（11分）∴=bc∈[6，+∞），当且仅当b=c时，的最小值为6．……………………（12分）【解析】（Ⅰ）由三角形的面积公式及余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tan A=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（Ⅱ）由余弦定理，可知a2=b2+c2-bc，利用△ABC的内切圆面积公式可求半径为1．进而可求b+c-a=2，利用基本不等式可求4bc=4（b+c）≥8，解得bc≥12，根据平面向量数量积的运算即可求得的最小值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，基本不等式，平面向量数量积的运算在解三角形中的应用，由内切圆的半径求得b+c-a=2是解题的关键，属于中档题．20.已知函数f（x）=ln（1+x）-x+（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【答案】解：（I）当K=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x2，f′（x）=-1+2x，由于f（1）=ln（2），f′（1）=，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-ln2=（x-1）．即3x-2y+2ln2-3=0；（II）f'（x）=-1+kx（x＞-1）当k=0时，f′（x）=-，因此在区间（-1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，f′（x）==0，得x1=0，x2=＞0；因此，在区间（-1，0）和（，+∞）上，f'（x）＞0；在区间（0，）上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）和（，+∞），单调递减区间为（0，）；当k=1时，f′（x）=，f（x）的递增区间为（-1，+∞）当k＞1时，由f′（x）==0，得x1=0，x2=∈（-1，0）；因此，在区间（-1，）和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间（，0）上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（-1，）和（0，+∞），单调递减区间为（，0）．【解析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想．21.已知函数f（x）=（x2-1）e x+x．（Ⅰ）求f（x）在x∈[，1的最值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）-ae x-x，当g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时，总有e•g（x2）≤t（2+x1）（+1），求此时实数t的值．【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x2-1）e x+x的定义域为R，f′（x）=2x•e x+（x2-1）e x+1=（x2+2x-1）e x+1，∵y=x2+2x-1在[-1，1]上单调递增，当x=时，y＞0，f′（x）=（x2+2x-1）e x+1＞0，在[，1]上恒成立．∴f（x）在[，1]上单调递增，∴=-，f（x）min=f（1）=1，（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-ae x-x=（（x2-1-a）e x，∴g′（x）=（x2+2x-1-a）e x，∵g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时．∴△＞0，即a＞-2，x1+x2=-2，即x2∈（-1，+∞）eg（x2）≤t（2+x1）（+1）⇒e（x22-1-a）e≤t（2+x1））（e+1），∵x22+2x2-1-a=0，∴-2ex2e≤t（-x2）（+1）⇒当x2=0时，t∈R．当x2∈（-1，0）时，=2e（1-），显然函数y=1-在（-1，0）递增，y=1-∴t≥e，当x2∈（0，+∞）时，t，显然函数y=1-在（0，+∞）递增，∴t≤e，综上所述，t=e．【解析】（Ⅰ）函数f（x）=（x2-1）e x+x的定义域为R，f′（x）=2x•e x+（x2-1）e x+1=（x2+2x-1）e x+1＞0在[，1]上恒成立．f（x）在[，1]上单调递增，即可求解．（Ⅱ）g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）时，可得a＞-2，x1+x2=-2，且x2∈（-1，+∞）eg（x2）≤t（2+x1）（+1）⇒当x2=0时，t∈R．当x2∈（-1，0）时，=2e（1-），当x2∈（0，+∞）时，t，即可求解．本题考查了利用导数求解函数的最值、极值，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．22.在直角坐标系xOy中，直线l过定点P（1，-）且与直线OP垂直．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-2cosθ=0．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于AB两点，求+的值．【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-2cosθ=0．即ρ2sin2θ-2ρcosθ=0．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x．………………………………（2分）∵直线l过定点P（1，-）且与直线OP垂直，k OP=-，∴k l=，设直线l的斜率角为α，则cosα=，sinα=，∴直线l的参数方程为，（t为参数）．………………………………（4分）（Ⅱ）设A，B对应的参数分别为t1，t2，………………………………（5分）将直线l与曲线C的方程联立得，………………………………（6分）则t1+t2=8，t1t2=4，……………………………（8分）故t1，t2同正，∴+=||=||==2．………………………………（10分）【解析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2θ-2ρcosθ=0．由此能求出曲线C的直角坐标方程，由直线l过定点P （1，-）且与直线OP垂直，能求出直线l的参数方程．（Ⅱ）设A，B对应的参数分别为t1，t2，将直线l与曲线C的方程联立得，则t1+t2=8，t1t2=4，由此能求出+．本题考查曲线的直角坐标方程、直线的参数方程的求法，考查极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数f（x）=|x-a|+|x-3|．（1）若f（x）的最小值为4，求a的值；（2）当x∈[2，4]时，f（x）＜x恒成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）由f（x）的最小值为4，∴f（x）=|x-a|+|x-3|≥|a-3|，………………………………（1分）令|a-3|=4，………………………………（2分）解得a=7或a=-1；………………………………（4分）（2）①当3≤x≤4时，f（x）＜x恒成立等价于|x-a|＜3恒成立，………………………………（5分）即a-3＜x＜a+3在3≤x≤4时恒成立………………………………（6分）即，解得1＜a＜6；………………………………（7分）②当2≤x＜3时，f（x）＜x恒成立等价于|x-a|＜2x-3恒成立，………………………………（8分）即在2≤x＜3时恒成立，须解得1＜a＜3；………………………………（9分）综上，a的取值范围是（1，3）．………………………………（10分）【解析】（1）由题意利用绝对值不等式，列方程求出a的值；（2）讨论3≤x≤4和2≤x＜3时，不等式f（x）＜x恒成立，转化为关于|x-a|的不等式恒成立，从而求得a的取值范围．本题考查了含有绝对值不等式的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．。

2019届四川省绵阳市高三第二次（1月）诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】z＝＝－i2．己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B={x ｜＞1｝，则A∩B＝( )A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{4}【答案】B【解析】先求出集合B，由此能求出A∩B．【详解】＞1＝，所以，x－1＞0，即x＞1，集合A中，大于1的有：{2，3，4} ，故A∩B＝{2，3，4} .故选B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为( )A．0 B．2 C．3 D．5【答案】D【解析】根据茎叶图中的数据，直接写出甲、乙两个班级的中位数，得出30+m＝35，求出m的值．【详解】甲班成绩：25、30、35、40、40，中位数为：35，乙班成绩：30、30、30+m、35、40，因为中位数相同，所以30+m＝35，解得：m＝5故选D.【点睛】本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，是基础题．4．“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1，所以，必要性不成立，∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设是互相垂直的单位向量，且（＋）⊥（＋2），则实数的值是（）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件：向量垂直数量积等于0，列出方程求出λ．【详解】依题意，有：｜a｜＝｜b｜＝1，且a•b＝0，又（a＋b）⊥（a＋2b），所以，（a＋b）（a＋2b）＝0，即a2＋2b2＋（2＋1）a•b＝0，即＋2＝0，所以，＝－2故选B.【点睛】本题考查两向量垂直的充要条件：数量积等于0；单位向量的定义，属于基础题.6．执行如图的程序框图，其中输入的，，则输出a的值为（）A．－1 B．1 C．D．－【答案】B【解析】由条件结构的特点，先判断，再执行，计算出a，即可得到结论．【详解】由a＝，b＝，a＞b，则a变为﹣＝1，则输出的a＝1．故选B.【点睛】本题考查算法和程序框图，主要考查条件结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．7．抛物线的焦点为F，P是抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若｜PF｜＝，则△PQF的面积为（）A．3 B．C．D．【答案】D【解析】由条件结合抛物线定义可知P的横坐标为x＝3，代入抛物线方程得点P的纵坐标的绝对值，则可求△PQF的面积.依题意，得F（，0），因为｜PF｜＝4，由抛物线的性质可知：｜PQ｜＝4，即点P的横坐标为x＝3，代入抛物线，得点P的纵坐标的绝对值为：｜y｜＝2，所以，△PQF的面积为：S＝，故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单应用．涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力．8．已知⊙O：与⊙O1：相交于A、B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且｜AB｜=4，则⊙O1的方程为（）A．＝20 B．＝50C．＝20 D．＝50【答案】C【解析】根据两圆相交，在A处的切线互相垂直，即可得到结论．【详解】依题意，得O（0,0），R＝，O1（，0），半径为r两圆在A点处的切线互相垂直，则由切线的性质定理知：两切线必过两圆的圆心，如下图，OC＝，OA⊥O1A，OO1⊥AB，所以由直角三角形射影定理得：OA2＝OC×OO1，即5＝1×OO1，所以OO1＝5，r＝AO1＝＝2，即＝5，得＝5，所以，圆O1的方程为：＝20，【点睛】本题主要考查两圆位置关系的应用，根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键．9．在边长为2的等边三角形内随机取一点，该点到三角形三个顶点距离均大于1的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．【详解】满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形4满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影π则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是P．故选：A．【点睛】本题考查几何概型概率公式，涉及三角形的面积公式、扇形的面积公式，属于基础题．10．已知F1，F2是焦距为8的双曲线E：的左右焦点，点F2关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若｜AF1｜＝4，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．3【答案】C【解析】由题意知AF2＝=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,故选C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．11．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（）A．P1•P2＝B．P1＝P2＝C．P1+P2＝D．P1＜P2【答案】C【解析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故选C.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.12．函数在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a的范围是（）A．{1} B．(－1，1) C．(0. 1) D．{－1，1}【答案】A【解析】根据f′（x），结合结论，即进行放缩求解，求得实数a的取值范围．【详解】f′（x）=恒成立，即恒成立，由课本习题知：，即，只需要x，即(a-1)(x-1)恒成立，所以a＝1故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的性质的问题，属于中档题．二、填空题13．(2+)(2＋x)5的展开式中x2的系数是____．(用数字作答）【答案】200【解析】求出(2＋x)5展开式的通项公式，要求x2的系数，只需求出(2＋x)5展开式中x2和x3的系数即可．【详解】(2+)(2＋x)5展开式中，含x2的项为2+=(2+)＝200x2，所以系数为200,故答案为200.【点睛】本题主要考查二项式定理的基本应用，利用展开式的通项公式确定具体的项是解决本题的关键．14．一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为，则的方差是_____．【答案】12【解析】直接由二项分布的方差公式计算即可.【详解】由题意知,其中n=50，p==，D（）=50=12，故答案为12.【点睛】本题考查了二项分布的概念及方差的计算，属于基础题.15．若f（x)＝，则满足不等式f(3x一1)十f(2)＞0的x的取值范围是__．【答案】【解析】先判断奇偶性，再直接利用函数的单调性及奇函数可得3x一1>-2，由此求得x的取值范围．【详解】根据f（x）＝e x﹣e﹣x．在R上单调递增，且f（-x）＝e﹣x﹣e x =- f（x），得f（x）为奇函数，f(3x一1)＞-f(2)=f(-2)，3x一1>-2，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．16．已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。