生活中优化问题举例

能力拓展提升一、选择题11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 39 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D.12．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8 C.43 D.83[答案] C[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2(3－x )3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )． 令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝2033时，V 取最大值．14．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2[答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r .此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 二、填空题15．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．[答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值．16．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．[答案] 25[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．三、解答题17．已知某厂生产x 件产品的成本为c ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)． (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？[解析] (1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40(x >0)， y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x 2＋140. 令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)． 当在x ＝1 000附近左侧时，y ′<0； 在x ＝1 000附近右侧时，y ′>0； 故当x ＝1 000时，y 取得极小值．由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －(25 000＋200x ＋x 240) ＝300x －25 000－x 240. ∴L ′＝300－x20.令L ′＝0，得x ＝6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0；当x 在6 000附近右侧时，L ′<0，故当x ＝6 000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．18．已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值．[分析]将容积V表达为高h或底半径r的函数，运用导数求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数．[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr2 2πr，又圆柱的体积V＝πr2h＝r2(S－2πr 2)＝rS－2πr32，V′＝S－6πr22，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，又r＝S6π，∴h＝2S6π＝6πS3π.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6πS 3π.。

数学最优化问题在现实生活中的应用
1、线性规划
线性规划是一种数学最优化技术，它允许用户解决和优化多变量决策
问题。

它广泛应用于各行各业，例如：用于企业购买原材料的预算计划，航空公司的旅客航班调度，商店的库存规划，经济计划的预测等。

在各个行业，线性规划可以帮助企业实现最优成本、最大收益和最有
效地利用资源。

2、求解网络流问题
求解网络流问题是一种常见的最优化技术，它可以用来解决从一个点
到另一个点的最大流量问题。

在物流行业中，一些公司使用网络流最
优化技术来安排他们发货路线，确保发货处在最短时间内到达指定地点，以及节省最少的成本。

网络流最优化还可以用于搜索引擎的网页
索引，检测和修复网络拓扑结构中的流量传输问题，以及实时优化网
络数据报文等。

3、计算机视觉
计算机视觉也是一种常见的数学最优化技术，它使用先进的图像处理
运算和机器学习算法，来模拟人类视觉系统，以识别和理解图像或视
频中物体和行为的特征。

它已广泛用于各种行业，如工业自动化、医
学图像处理和分析，智能交通系统、虚拟现实和辅助技术，车辆安全
监控和智能家居等。

4、深度学习
深度学习是一种机器学习技术，其目标是使机器从大量数据中自动提取有用信息和特征，从而具有良好的性能和准确性。

它将机器学习和数学最优化技术结合起来，广泛用于语音识别、自然语言处理、图像识别和AI，以帮助企业解决复杂数据和模式识别问题。

比如华为集团使用深度学习策略来优化与客户的互动，以提高客户服务和体验。

凸优化生活例子
1.路线规划：无论是在日常生活中选择最佳的出行路线，还是在物流行业中
选择货物的运输路径，凸优化都能帮助我们找到最优解。

例如，地图应用常常使用凸优化算法为用户规划最短或最快路线。

2.购物决策：在购买商品或服务时，我们经常需要在预算内寻找最佳的商品。

凸优化可以帮助我们找到在预算约束下的最优购买方案，实现花费的最小化。

3.电力系统优化：电力系统的负荷优化是凸优化应用的典型案例。

通过优化
电力的分配和调度，可以提高电力系统的效率并降低能源浪费。

4.农业灌溉：在农业中，灌溉系统的优化设计也是凸优化的应用场景。

通过
合理分配水源，可以提高灌溉效率，节约水资源。

5.通信网络：在通信网络中，信号传输的优化、数据包的路由选择等都涉及
到凸优化技术的应用。

这有助于提高网络的传输效率和稳定性。

最优化问题最优化问题(一)例1：一只平底锅上只能剪两只饼。

用它剪1只饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。

问剪3只饼需要几分钟？怎样剪？例2：6个人各拿一只水桶到水龙头接水。

水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。

现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候最短？这个最短时间是多少？例3：小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班后就能吃上晚饭。

她准备做大米饭和炒鸡蛋。

小红家有两个炉灶。

估计一下，洗锅要用1分钟，淘米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。

你认为最合理的安排要几分钟能做好饭菜？例4：在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。

1号仓库里有10吨货物，2号仓库里有20吨货物，5号仓库里有40吨货物，其余两个仓库都是空的。

现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5：沿铁路有5个工厂，A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。

现在想建一座车站，使这5个工厂的货物运到车站的行程总和越小越好。

车站应建在何处？如果在E的右侧增加一个工厂，车站建在何处总行程最小呢？例6：在公路干线的附近，有5个工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要存库。

现在想在公路干线上建一座库房，使这5个工厂的货物运到库房的行程总和越小越好，库房应建在何处？例7：工地上有手推车20辆,其中10辆从A1到B1运垃圾,要60车次运完。

另外10辆从A2到B2运砖头，要40车次运完。

工地上的可行道路及路程如图（单位：米）所示。

有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。

那么，怎样安排才算合理呢？【练习题】1、有7个满杯水、7个半杯水和7个空杯。

不许倒水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？2、有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人。

生活中系统优化原理的例子系统优化原理是指通过对系统内部各个组成部分和运行流程进行分析和改进，以提高系统整体性能和效率的一种方法。

生活中有很多例子可以体现系统优化原理的应用，包括：1. 交通流优化：城市交通堵塞是一个普遍存在的问题，通过优化交通流可以提高交通效率。

例如，道路规划不当可能导致交叉口拥堵，可以通过减少交叉口数量、设置红绿灯优化信号灯配时，以及利用流量监测和智能交通系统来改进交通流。

2. 餐厅排队优化：在繁忙的餐厅等候排队是一种常见的情况，通过系统优化原理可以减少顾客等待时间。

例如，通过设置有效的预订和排号系统、提高厨房效率、设置快速结账通道，以及利用智能点餐系统等手段来优化餐厅排队过程。

3. 供应链管理：供应链是一个涉及多个环节和参与方的系统，通过优化供应链能够提高整体效率和降低成本。

例如，通过优化物流和库存管理，减少节点之间的运输和储存时间，以及建立供需预测机制等手段来改进供应链运作。

4. 生产流程优化：在制造业中，通过对生产流程进行优化可以提高生产效率和产品质量。

例如，通过改进工艺和设备、合理安排生产计划和员工工作，以及优化物料供应和排程等手段来提高整个生产流程的效率。

5. 能源消耗优化：为了减少能源消耗和环境负荷，需要对能源消耗进行优化。

例如，通过改进建筑结构和隔热材料、使用高效能源设备和照明系统、引入清洁能源，以及建立能源管理体系等手段来降低能源消耗。

6. 电子设备的运行优化：对于电子设备，通过对软硬件的优化可以提高系统性能和用户体验。

例如，通过优化操作系统和应用程序的代码，减少资源占用和提高响应速度，以及优化电池管理和内存管理等手段来提高电子设备的运行效率。

7. 信息检索和推荐系统优化：在互联网时代，信息的获取和推荐成为了一个重要的问题，通过优化搜索引擎和推荐算法可以提高用户的信息获取和推荐准确度。

例如，通过优化搜索算法和索引结构、个性化推荐算法，以及利用用户反馈和数据分析来优化信息检索和推荐系统。

生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。

为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。

在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。

什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。

通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。

在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。

生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。

我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。

以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。

2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。

这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。

3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。

这样可以提高效率，并避免时间的浪费。

4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。

2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。

以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。

合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。

2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。

根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。

3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。

合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。

4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。

3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。

1。

4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。

错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。

8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。

5m。

3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。

令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。

因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。

生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。

2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。

3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。

4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。

5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。

6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。

7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。

8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。

9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。

10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。