习题-实系数一元二次方程闵行七宝松江补习班检测
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上海松江二中(集团)初级中学数学一元二次方程单元测试卷附答案一、初三数学一元二次方程易错题压轴题(难)1.Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动,到达点C停止运动.设运动时间为t秒(1)如图1,过点P作PD⊥AC,交AB于D,若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79,求t的值;(2)点Q在射线PC上,且PQ=2AP,以线段PQ为边向上作正方形PQNM.在运动过程中,若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8,求t的值.【答案】(1)t1=2,t2=4;(2)t 47758.【解析】【分析】(1)先求出△ABC的面积,然后根据题意可得AP=t,CP=6﹣t,然后再△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79,列出方程、解方程即可解答;(2)根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】(1)∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=6,∴S△ABC=12×6×6=18,∵AP=t,CP=6﹣t,∴△PBC与△PAD的面积和=12t2+12×6×(6﹣t),∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的79,∴12t2+12×6×(6﹣t)=18×79,解之,得t1=2,t2=4;(2)∵AP=t,PQ=2AP,∴PQ=2t,①如图1,当0≤t≤2时,S=(2t)2﹣12t2=72t2=8,解得:t1=477,t2=﹣477(不合题意,舍去),②如图2,当2≤t≤3时,S=12×6×6﹣12t2﹣12(6﹣2t)2=12t﹣25t2=8,解得:t1=4(不合题意,舍去),t2=45(不合题意,舍去),③如图3,当3≤t≤6时,S=126×6﹣12t2=8,解得:t1=25,t2=﹣25(不合题意,舍去),综上,t的值为477或25时,重叠面积为8.【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题,根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.2.阅读与应用:阅读1:a,b为实数,且a>0,b>0,因为()2≥0,所以a﹣2+b≥0,从而a+b≥2(当a=b时取等号).阅读2:若函数y=x+(m>0,x>0,m为常数),由阅读1结论可知:x+≥2,所以当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.阅读理解上述内容,解答下列问题:问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为,周长为2(x+),求当x=时,周长的最小值为;问题2:汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度,某种汽车在每小时70~110公里之间行驶时(含70公里和110公里),每公里耗油()L.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶,1h的耗油量为yL.(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量.【答案】问题1:2,8;问题2:(1)y=;(2)10.【解析】【分析】(1)利用题中的不等式得到x+=4,从而得到x=2时,周长的最小值为8;(2)根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可,经济时速就是耗油量最小的形式速度.【详解】(1)∵x+≥2=4,∴当x=时,2(x+)有最小值8.即x=2时,周长的最小值为8;故答案是:2;8;问题2:,当且仅当,即x=90时,“=”成立,所以,当x=90时,函数取得最小值9,此时,百公里耗油量为,所以,该汽车的经济时速为每小时90公里,经济时速的百公里耗油量为10L.【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用,最值问题,解题的关键是读懂题目提供的材料,易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”,难度中等偏上.3.(1)课本情境:如图,已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动,出发时,点P和点Q之间的距离是10cm;(2)逆向发散:当运动时间为2s时,P,Q两点的距离为多少?当运动时间为4s时,P,Q 两点的距离为多少?(3)拓展应用:若点P沿着AO→OC→CB移动,点P,Q分别从A,C同时出发,点Q从点C移动到点B停止时,点P随点Q的停止而停止移动,求经过多长时间△POQ的面积为12cm2?【答案】(1)85s或245s(2)62cm;213cm(3)4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E,得到AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,利用勾股定理得到方程,故可求解;(2)根据运动时间求出EQ、PE,利用勾股定理即可求解;(3) 分当点P在AO上时,当点P在OC上时和当点P在CB上时,根据三角形的面积公式列出方程即可求解.【详解】解:(1)设运动时间为t秒时,如图,过点P作PE⊥BC于E,由运动知,AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,∵点P和点Q之间的距离是10 cm,∴62+(16﹣5t)2=100,解得t1=85,t2=245,∴t=85s或245s.故答案为85s或245s(2)t=2时,由运动知AP=3×2=6 cm,CQ=2×2=4 cm,∴四边形APEB是矩形,∴PE=AB=6,BE=6,∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6,根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=,∴当t =2 s 时,P ,Q 两点的距离为62 cm ;当t =4 s 时,由运动知AP =3×4=12 cm ,CQ =2×4=8cm , ∴四边形APEB 是矩形,∴PE =AB =6,BQ =8,CE=OP=4∴EQ =BC ﹣CE ﹣BQ =16﹣4﹣8=4,根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=,P ,Q 两点的距离为213cm .(3)点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ,当点P 在AO 上时,S △POQ =2PO CO ⋅=(163)62t -⋅=12, 解得t =4.当点P 在OC 上时,S △POQ =2PO CQ ⋅=(316)22t t -⋅=12, 解得t =6或﹣23(舍弃). 当点P 在CB 上时,S △POQ =2PQ CO ⋅=(2223)62t t +-⨯=12, 解得t =18>8(不符合题意舍弃),综上所述,经过4 s 或6 s 时,△POQ 的面积为12 cm 2.【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题,解题的关键是熟知勾股定理的应用,根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解.4.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 10 元,则平均每周的销售量可增加 40 千克,若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元,请回答: (1)每千克茶叶应降价多少元?(2)在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售? 【答案】(1)每千克茶叶应降价30元或80元;(2)该店应按原售价的8折出售.【解析】【分析】(1)设每千克茶叶应降价x 元,利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可; (2)为了让利于顾客因此应下降价80元,求出此时的销售单价即可确定几折.【详解】(1)设每千克茶叶应降价x 元.根据题意,得:(400﹣x ﹣240)(200+10x ×40)=41600. 化简,得:x 2﹣10x +240=0.解得:x 1=30,x 2=80.答:每千克茶叶应降价30元或80元.(2)由(1)可知每千克茶叶可降价30元或80元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克茶叶某应降价80元.此时,售价为:400﹣80=320(元),320100%80%400⨯=. 答:该店应按原售价的8折出售.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.5.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点A (0,8),点B (m ,0),且m >0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°,得△ACD ,点O ,B 旋转后的对应点为C ,D ,(1)点C 的坐标为 ;(2)①设△BCD 的面积为S ,用含m 的式子表示S ,并写出m 的取值范围;②当S=6时,求点B 的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C (8,8);(2)①S=0.5m 2﹣4m (m >8),或S=﹣0.5m 2+4m (0<m <8);②点B 的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0).【解析】【分析】(1)由旋转的性质得出AC=AO=8,∠OAC=90°,得出C(8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,得出∠ACE=90°,证出四边形OACE是矩形,得出DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,得出BE=OB−OE=m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m2−4m(m>8)即可;b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,BE=OE−OB=8−m,由三角形的面积公式得出S=−0.5m2+4m(0<m<8)即可;c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;②当S=6,m>8时,得出0.5m2−4m=6,解方程求出m即可;当S=6,0<m<8时,得出−0.5m2+4m=6,解方程求出m即可.【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:m=4±27(负值舍去),∴m=4+27;当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B的坐标为(4+27,0)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.6.问题提出:(1)如图1,在四边形ABCD 中,已知:AD BC ∥,90D ∠=︒,4BC =,ABC 的面积为8,求BC 边上的高.问题探究(2)如图2在(1)的条件下,点E 是CD 边上一点,且2CE =,EAB CBA =∠∠,连接BE ,求ABE △的面积问题解决(3)如图3,在(1)的条件下,点E 是CD 边上任意一点,连接AE 、BE ,若EAB CBA =∠∠,ABE △的面积是否存在最小值;若存在,求出最小值;若不存在;请说明理由.【答案】(1)4;(2)203;(3)存在,最小值为16216- 【解析】【分析】 (1)作BC 边上的高AM ,利用三角形面积公式即可求解;(2)延长DA ,过B 点作BF ⊥DA 于点F ,作BH ⊥AE 于点H ,易得四边形BCDF 为矩形,在(1)的条件下BC=CD=4,则BCDF 为正方形,由EAB CBA =∠∠,结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ,从而推出BF=BH=4,易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ,所以EH=CE=2,设AD =a ,则AF=AH=4-a ,在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ,最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解; (3)辅助线同(2),设AD=a ,CE=m ,则DE=4-m ,同(2)可得出m 与a 的关系式,设△ABE 的面积为y ,由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式,再求y 的最小值即可. 【详解】(1)如图所示,作BC 边上的高AM ,∵S △ABC =1BC AM=82 ∴82AM==44⨯ 即BC 边上的高为4;(2)如图所示,延长DA ,过B 点作BF ⊥DA 于点F ,作BH ⊥AE 于点H ,∵AD BC ∥,90D ∠=︒∴∠BCD=∠D=90°=∠F∴四边形BCDF 为矩形,又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形,∴DF=BF=BC=4,又∵AD ∥BC∴∠FAB=∠CBA又∵∠EAB=∠CBA∴∠FAB=∠EAB∵BF ⊥AF ,BH ⊥AE∴BH=BF=4,在Rt △BCE 和Rt △BHE 中,∵BE=BE ,BH=BC=4∴Rt △BCE ≌Rt △BHE (HL )∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH (HL ) ∴AF=AH设AD=a ,则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中,AD=a ,DE=2,AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得AD 2+DE 2=AE 2,即()22226+=-a a 解得8=3a ∴AE=6-a=103S △ABE=111020AE BH=4=2233⨯⨯ (3)存在, 如图所示,延长DA ,过B 点作BF ⊥DA 于点F ,作BH ⊥AE 于点H ,同(2)可得CE=EH ,AF=AH ,设AD=a ,CE=EH=m ,则DE=4-m ,AF=AH=4-a在Rt △ADE 中,AD 2+DE 2=AE 2,即()()22244+-=-+a m a m整理得8=4+m a m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ,则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m 整理得:223240++-=m ym y∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y ∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦y y (注:利用求根公式进行因式分解) 又∵面积y ≥0∴216≥y即△ABE 的面积最小值为16216.【点睛】本题考查四边形综合问题,正确作出辅助线,得出AB 平分∠FAC ,利用角平分线的性质定理得到BF=BH ,结合勾股定理求出AE 是解决(2)题的关键,(3)题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键.7.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=16 cm.点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动.如果 P、 Q分别从 A、B同时出发,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时,△PBQ的面积等于 35cm2?(2)当 t 为何值时,PQ的长度等82cm?(3)若点 P,Q的速度保持不变,点 P在到达点 B后返回点 A,点 Q在到达点 C后返回点B,一个点停止,另一个点也随之停止.问:当 t为何值时,△PCQ的面积等于 32cm2?【答案】(1)t为5或7;(2)t为45或4;(3)t为4或16【解析】【分析】(1)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用面积公式列方程求解即可.(2)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用勾股定理列方程求解即可.(3)分段要清楚,,P,Q都没有返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,P不返回,Q返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,两点都返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程即可得到答案.【详解】解:(1),.根据三角形的面积公式,得,即,整理,得,解得,.故当为5或7时,的面积等于35.(2)根据勾股定理,得,整理,得,解得,.故当为或4时,的长度等于.(3)①当时,,,由题意,得,解得:,(舍去).②当时,,,由题意,得,次方程无解. ③当时,,,由题意,得,解得:(舍去),.综上所述,当为4或16时,的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题,建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键,特别是最后一问,关键是弄懂分段的时间界点,才能正确的表示PB ,CQ 的长.8.在等腰三角形△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中ɑ=4,若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +4(k ﹣12)=0的两个实数根,求△ABC 的周长. 【答案】△ABC 的周长为10. 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k 值,将k 值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k 值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论. 【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k = 当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4. ∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形. ∴△ABC 的周长为10. 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.9.如图,在矩形ABCD 中,6AB = ,10BC = ,将矩形沿直线EF 折叠.使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处,且点E 、F 分别在边AB 、AD 上(含端点),连接CF . (1)当32BG = 时,求AE 的长; (2)当AF 取得最小值时,求折痕EF 的长;(3)连接CF ,当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时,直接写出BG 的长.【答案】(1)92AE =;(2)62EF =3)185BG =. 【解析】 【分析】(1)根据折叠得出AE=EG ,据此设AE=EG=x ,则有BE=6-x ,由勾股定理求解可得; (2)由FG ⊥BC 时FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,显然四边形AEGF 是正方形,从而根据勾股定理可得答案;(3)由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形,可知应分两种情况讨论:①FG=FC ;②FG=GC ;分别求解可得. 【详解】(1)由折叠易知,AE EG =,设AE EG x ==,则有6BE x =-, 由勾股定理,得()(222632x x =-+,解得92x =,即92AE = (2)由折叠易知,AF FG =,而当FG BC ⊥时,FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,当FG BC ⊥时,FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值, 当FG BC ⊥时,点E 与点B 重合,此时四边形AEGF 是正方形,∴折痕226662EF =+=.(3)由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形,可知应分两种情况讨论: ①当FG=FC 时,如图2,过F 作FH ⊥CG 于H ,则有:AF=FG=FC ,CH=DF=GH 设AF=FG=FC=x ,则DF=10-x=CH=GH 在Rt △CFH 中 ∵CF 2=CH 2+FH 2 ∴x 2=62+(10-x )2 解得:x=345, ∴DF=CH=GH=10-165, 即BG=10-165×2=185, ②当FG=GC 时,则有:AF=FG=GC=x ,CH=DF=10-x ; ∴GH=x-(10-x )=2x-10,在Rt △FGH 中,由勾股定理易得:x 2=62+(2x-10)2, 化简得:3x 2-40x+136=0, ∵△=(-40)2-4×3×136=-32<0, ∴此方程没有实数根. 综上可知:BG=185. 【点睛】本题主要考查四边形的综合问题,解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点,也考查了分类讨论的数学思想.10.已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根,又k 为正整数,求代数式2216k k k -+-的值.【答案】0. 【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ,又由于关于x 的方程(k -1)x 2+3x -2a =0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k 为正整数,利用判别式可以求出k ,最后代入所求代数式计算即可求解. 【详解】解:设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩=== , 由条件,知12121211x x x x x x ++==3, 即33a -=,且94a ≤, 故a =-1,则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0,Ⅰ.当k -1=0时,k =1,x =23-,则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时,∆=9-8(k -1)=17-6-8k ≥0,则178k ≤, 又k 是正整数,且k ≠1,则k =2,但使2216k k k -+-无意义.综上,代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,。
实系数一元二次方程的解1一、知识的梳理:1、实系数一元二次方程()0,,,02≠∈=++a R c b a c bx ax⇔>∆0方程有 ,=2,1x ;⇔=∆0方程有 ,=2,1x ;⇔<∆0方程有 ,=2,1x ;2、实系数方程02=++c bx ax ,则=+21x x ,21x x = ,二、例题讲解:例1:在复数集中解方程;⑴ 240x +=⑵0322=+-x x练习:(1)01362=++x x (2)22540x x -+=例2:方程),(02R b a b ax x ∈=++的一个根是i 31+,求a,b 的值。
练习:已知方程042=+-k x x ()R k ∈有一个虚根1-2i ,求k 的值。
实系数一元二次方程的解综合练习一、填空:1、已知(为虚数单位)是一元二次方程(均为实数)的一个根,则=__________.2 、已知复数,则_______. 3、在复数范围内,方程210x x ++=的根是 .4、设复数(2)117z i i -=+(i 为虚数单位),则z = .5、已知复数24z i =+,21(1)z w z +=-,则w = . 6、复数iai -+21(其中i 为虚数单位)为纯虚数,则实数=a _______. 7、已知点(1,1)(12)(21)(34)A B C D --、,、,、,,则向量AB 在CD 方向上的投影为 .8、设为虚数单位,集合,集合,则____.二、选择题:1、若关于x 的一元二次实系数方程02=++q px x 有一个根为22-i (i 为虚数单位),则()(A )⎪⎩⎪⎨⎧==222q p (B )⎪⎩⎪⎨⎧-=-=222q p (C )⎪⎩⎪⎨⎧==422q p (D )⎪⎩⎪⎨⎧=-=422q p 2、下面是关于复数21z i =-+的四个命题: ①2z =; ②22z i =; ③z 的共轭复数为1i +; ④z 的虚部为1-.其中正确的命题……………………………………………………………………………( )A .②③B .①②C .②④D .③④32i x =--i 20x ax b ++=,a b a b +ii z +-=1)1(3=z i {}i i,,1,1--=A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-=i 1i 1i),i)(1(1,i ,1i 410B =B A三、解答题:1、已知复数z 是方程0222=++x x 的解,且0Im >z ,若i b z za +=+(其中a 、b 为实数,i 为虚数单位,z Im 表示z 的虚部).求复数bi a w +=的模.。
实系数的一元二次方程关于x 的方程a x 2 + b x + c = 0 ( a≠0 , a , b , c∈R), 若△= b 2– 4 a c≥0 , 则方程有两个实数根;若△= b 2– 4 a c < 0 , 则方程没有实数根;a x 2 +b x +c = 0 ( x +b2 a)2 =b 2 - 4 a c2 a(1) 若△= b 2– 4 a c > 0 , x 1 = -b2 a+b 2- 4 a c2 a,x 2 = -b2 a-b 2- 4 a c2 a(2) 若△= b 2– 4 a c = 0 , x 1 = x 2 = -b 2 a(3) 若△= b 2– 4 a c < 0 , x 1 = -b2 a+4 a c - b 2 i2 a,x 2 = -b2 a-4 a c - b 2 i2 a实系数一元二次方程a x 2 + b x + c = 0 (a≠0) 在复数集中恒有解, 当△= b 2– 4 a c < 0 时, 方程在复数集中有一对共轭的虚数根,x 1 = -b2 a+- △ i2 a, x 2 = -b2 a-- △ i2 a,且x 1 + x 2 = - ba, x 1 x 2 =ca(韦达定理)例1、在复数集中解关于x 的方程(1) 2 x 2– 4 x + 5 = 0(2) 2 x 2– 4 x + a = 0例2、在复数范围内分解因式:(1)x 4– 4 = __________ ; 2 x 2– 4 x + 5 = __________(2)例3、(1) 若α , β是方程 2 x 2 + x + 3 = 0 的两个根, 则1α+1β=______;(2)2 x 2 + p x + q = 0 ( p , q∈R) 的一个根为3 i - 2 , 则p – q =______例4、(1) 若方程x 2 + 5 x + 3 = 0 ( p∈R) 的两个根为x 1 , x 2 , 则| x 1– x 2 | = ______ ;(2) 若方程x 2 - 5 x + 9 = 0 ( p∈R) 的两个根为x 1 , x 2 , 则| x 1– x 2 | = ______ ;(3) 已知方程x 2– p x + 1 = 0 ( p∈R) 的两个根为x 1 , x 2 , 且| x 1– x 2 | = 1 , 则p = ________ ;例5、(1) 构造一个以 2 + i 为一个根的实系数一元二次方程_____(2) 实系数一元二次方程方程有两个虚数根z 1 , z 2 , 且z 12 = z 2 ,求z 1 , z 2 ;例6、(1) 关于x 的方程 2 x 2– ( 2 i – 1 ) x + m – i = 0 ( m∈R) 有实数根, 则m = _____ , x 1 = _____ , x 2 = ______ ;(2)* 关于x 的方程x 2– ( 6 + i ) x + 9 + a i = 0 (a∈R) 有实数根p , 则 a = _____ , p = _____例7、设关于x 的方程 2 x 2 + 3 a x + a 2– a = 0 (a∈R ) 至少有一个模为 1 的根, 求实数 a 的值;(2)* 若关于x 的方程x 2 + k x + k 2– 3 k = 0 (k∈R ) 至少有一个模为 1 的根, 求实数k 的值;例8、(1) 已知关于x 的方程 2 x 2– k x + 1 = 0 有两根x 1 , x 2 , 求| x 1 | + | x 2 | ;(2) 已知α , β是关于x 的方程x 2 + 4 x + a = 0 (a∈R ) 的两个根,求| α | + | β |(3) 设关于x 的方程2 x 2– ( 3 m – 1 ) x + m 2 + 1 = 0 的两个根为α , β , 且| α | + | β | = 3 , 求实数m 的值;(4)* 设关于x 的方程x 2– 3 x + a – 4 = 0 的两个根为α , β ,求| α | + | β |练习:1、关于x 的方程2 x 2 + 3 a x + a 2– a = 0 (a∈R) 至少有一个模为 1 的根, 求实数 a 的值;2、设z∈C , 求满足z + 4z∈R 且| z + i | = 2 的复数z ;3、设z 是虚数, W = z + 1z是实数且– 1 < W < 2 ,(1) 求| z | 的值及复数z 的实部的取值范围;(2) 设μ = 1 - z1 + z, 求证:μ为纯虚数;(3) 求W –μ2的最小值;。
一元二次方程练习题及答案一元二次方程练习题及答案《一元二次方程》是初中数学的重点内容之一,同样也是初中数学计算的基础。
以下是一元二次方程练习题及答案,欢迎阅读。
一、选择题(每小题3分,共30分)1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )A、(x-p)2=5B、(x-p)2=9C、(x-p+2)2=9D、(x-p+2)2=52、已知m是方程x2-x-1=0的一个根,则代数式m2-m的值等于( )A、-1B、0C、1D、23、若、是方程x2+2x-2005=0的两个实数根,则2+3+的值为( )A、2005B、2003C、-2005D、40104、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )A、k-B、k- 且k0C、k-D、k- 且k05、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程是( )A、 x2+3x-2=0B、x2-3x+2=0C、x2-2x+3=0D、x2+3x+2=06、已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实根,那么k的最大整数值是( )A、-2B、-1C、0D、17、某城2004年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2006年底增加到363公顷,设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意所列方程正确的是( )A、300(1+x)=363B、300(1+x)2=363C、300(1+2x)=363D、363(1-x)2=3008、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程,甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为-3和5,乙把常数项看错了,解得两根为2+ 和2- ,则原方程是( )A、 x2+4x-15=0B、x2-4x+15=0C、x2+4x+15=0D、x2-4x-15=09、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根,则m的值为( )A、2B、0C、-1D、10、已知直角三角形x、y两边的长满足|x2-4|+ =0,则第三边长为( )A、 2 或B、或2C、或2D、、2 或二、填空题(每小题3分,共30分)11、若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1,则另一个根是 .12、一元二次方程x2-3x-2=0的解是 .13、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值是 .14、等腰△ABC中,BC=8,AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根,则m的值是 .15、2005年某市人均GDP约为2003年的1.2倍,如果该市每年的人均GDP增长率相同,那么增长率为 .16、科学研究表明,当人的下肢长与身高之比为0.618时,看起来最美,某成年女士身高为153cm,下肢长为92cm,该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为 cm.(精确到0.1cm)17、一口井直径为2m,用一根竹竿直深入井底,竹竿高出井口0.5m,如果把竹竿斜深入井口,竹竿刚好与井口平,则井深为m,竹竿长为 m.18、直角三角形的周长为2+ ,斜边上的中线为1,则此直角三角形的面积为 .19、如果方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根,则的'值是 .20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为、,则 + 的值为 .三、解答题(共60分)21、解方程(每小题3分,共12分)(1)(x-5)2=16 (2)x2-4x+1=0(3)x3-2x2-3x=0 (4)x2+5x+3=022、(8分)已知:x1、x2是关于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的两个实数根,且(x1+2)(x2+2)=11,求a的值.23、(8分)已知:关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0(1) 当m取何值时,方程有两个实数根?(2) 为m选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根.24、(8分)已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根(1) 求k的取值范围(2) 如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.25、(8分)已知a、b、c分别是△ABC中A、B、C所对的边,且关于x的方程(c-b)x2+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.26、(8分)某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程,原计划每天拆迁1250m2,因为准备工作不足,第一天少拆迁了20%,从第二天开始,该工程队加快了拆迁速度,第三天拆迁了1440m2求:(1)该工程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同,求这个百分数.27、(分)某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克(1) 现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?(2) 若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多?一元二次方程单元测试题参考答案一、选择题1~5 BCBCB 6~10 CBDAD提示:3、∵是方程x2+2x-2005=0的根,2+2=2005又+=-2 2+3+=2005-2=2003二、填空题11~15 4 25或16 10%16~20 6.7 , 4 3提示:14、∵AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根在等腰△ABC中若BC=8,则AB=AC=5,m=25若AB、AC其中之一为8,另一边为2,则m=1620、∵△=32-411=50又+=-30,0,0,0三、解答题21、(1)x=9或1(2)x=2 (3)x=0或3或-1(4)22、解:依题意有:x1+x2=1-2a x1x2=a2又(x1+2)(x2+2)=11 x1x2+2(x1+x2)+4=11a2+2(1-2a)-7=0 a2-4a-5=0a=5或-1又∵△=(2a-1)2-4a2=1-4a0aa=5不合题意,舍去,a=-123、解:(1)当△0时,方程有两个实数根[-2(m+1)]2-4m2=8m+40 m-(2)取m=0时,原方程可化为x2-2x=0,解之得x1=0,x2=2 24、解:(1)一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根△=16-4k0 k4(2)当k=3时,解x2-4x+3=0,得x1=3,x2=1当x=3时,m= - ,当x=1时,m=025、解:由于方程为一元二次方程,所以c-b0,即bc又原方程有两个相等的实数根,所以应有△=0即4(b-a)2-4(c-b)(a-b)=0,(a-b)(a-c)=0,所以a=b或a=c所以是△ABC等腰三角形26、解:(1)1250(1-20%)=1000(m2)所以,该工程队第一天拆迁的面积为1000m2(2)设该工程队第二天,第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x,则1000(1+x)2=1440,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2,(舍去),所以,该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是20%.27、解:(1)设每千克应涨价x元,则(10+x)(500-20x)=6000解得x=5或x=10,为了使顾客得到实惠,所以x=5(2)设涨价x元时总利润为y,则y=(10+x)(500-20x)=-20x2+300x+5000=-20(x-7.5)2+6125 当x=7.5时,取得最大值,最大值为6125答:(1)要保证每天盈利6000元,同时又使顾客得到实惠,那么每千克应涨价5元.(2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价7.5元,能使商场获利最多.。
一元二次方程的解法和实际问题专题训练1、开平方法)0(2≥=aax2、配方法①移项:左边只留二次项和一次项,右边为常数项(移项要变号.....)②同除:方程两边同除二次项系(每项都要除.....)③配方:方程两边加上一次项系数一半的平方.......④开平方:注意别忘根号和正负⑤解方程:解两个一元一次方程3、公式法①将方程化为一般式②写出a、b、c③求出acb42-,④若b2-4ac<0,则原方程无实数解⑤若b2-4ac>0,则原方程有两个不相等的实数根,代入公式x=⑥若b2-4ac=0,则原方程有两个相等的实数根,代入公式2bxa=-求解。
4、因式分解法①移项:使方程右边为0②因式分解:将方程左边因式分解;方法:一提,二套,三十字,四分组③由A∙B=0,则A=0或B=0,解两个一元一次方程例1、利用因式分解法解下列方程(x-2) 2=(2x-3)2 042=-xx3(1)33x x x+=+x2()()0165852=+---xx例2、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y4(x-3)2=25 24)23(2=+xaxa-==21()0(2≥=+aabx解两个一元一次方程abx±=+例3、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x7x=4x 2+2 01072=+-x x例4、利用公式法解下列方程-3x 2+22x -24=0 2x (x -3)=x -3. 3x 2+5(2x+1)=017、选用适当的方法解下列方程(x +1) 2-3 (x +1)+2=0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=2)2)(113(=--x x x (x +1)-5x =0.)4(5)4(2+=+x x x x 4)1(2=+ 22)21()3(x x -=+31022=-x x 2(2x -1)-x (1-2x )=0 3x(x+2)=5(x+2)x 2+ 2x + 3=0 x 2+ 6x -5=0 -3x 2+22x -24=0x 2-2x -1 =0 2x 2+3x+1=0 3x 2+2x -1 =05x 2-3x+2 =0 -x 2-x+12 =039922=--x x1、传播问题1、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?2、某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?2、循环问题1、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45场比赛,共有多少个队参加比赛?2、生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,这个小组共有多少名同学?3、平均率问题M=a(1±x)n n为增长或降低次数M为最后产量,a为基数,x为平均增长率或降低率平均率和时间相关,必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
实系数一元二次方程一、单选题1.设1z ,2z是非零复数,且满足2211220+=z z z ,则1z 与2z 的关系是( ).A .12z z >B .12z z <C .12=z zD .不确定【答案】C 【分析】将方程两边同时除以22z ,化为12z z 的一元二次方程,利用求根公式求出12z z ,再求出其模,即可得到答案.【详解】因为2211220+=z z z ,且20z ≠,所以21122()10z z z z +=,所以2121(4z z =-,所以1212z i z ==±,所以1212z i z =±,所以121||||122z i z =±=,所以12||1||z z =,所以12||||z z =. 故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式,考查了复数的模长公式和复数模的性质,属于基础题.2.设z C ∈,方程2||0+=z z 的根有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C【分析】将z 表示为复数的形式代入方程,利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,代入方程得220,20,a b ab ⎧⎪-+⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1,所以方程2||0+=z z 的根有3个.故答案选:C【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念,属于基础题.3.已知关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ,2x ,且123x x +=,则a =( )A .12B .72C .12或72D .不存在【答案】A【分析】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ,2x ,所以∆<0,可得1a <,利用根与系数的关系可得()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->,设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈,则12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩,根据123x x +=,可得2294m n +=可求得答案. 【详解】关于x 的实系数方程222440x ax a a -+-+=两个虚根为1x ,2x ,()()2244441610a a a a ∆=--+=-<,所以1a <()2212122,4420x x a x x a a a +=⋅=-+=->设()12,,x m ni x m ni m n R =+=-∈ 所以12222122244x x m a x x m n a a +==⎧⎨⋅=+=-+⎩ 123x x +=,即123x x +==,即2294m n += 由2221244x x m n a a ⋅=+=-+,即()2294424a a a -+=-=,解得12m =或72m =. 又1222x x m a +==,1a <,则1m <,所以12m = 所以12a = 故选:A【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、判别式、根与系数的关系、复数的模的计算公式,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.二、填空题4.若实系数方程20x mx m ++=有虚根,则实数m 的取值范围是________.【答案】(0,4)【分析】由已知可得∆<0,求解即可.【详解】实系数方程20x mx m ++=有虚根,24(4)0,04m m m m m ∴∆=-=-<<<.故答案为:(0,4).【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式,考查计算求解能力,属于基础题.5.若有两个数,它们的和是4,积为5,则这两个数是________.【答案】2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈,利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组,解方程组求得题目所求两个数.【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈,依题意有12124,5z z z z +=⋅=,即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩,所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=,得a c =;将a c =代入4a c +=,解得2a c ==;将2a c ==代入5ac bd -=,得1bd =-,结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为:2i ±【点睛】本小题主要考查复数运算,属于中档题.三、解答题6.已知一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2,求下列各式的值:(1)x 12+x 22;(2)|x 1-x 2|.【答案】(1)254(2【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系计算即可.【详解】因为一元二次方程22340x x +-=的两根为x 1与x 2, 所以1232x x +=-,122x x ⋅=-, (1)x 12+x 22()212129252444x x x x =+-⋅=+=,(2)|x 1-x 2|====【点睛】本题主要考查了一元二次方程,根与系数的关系,考查了运算能能力,属于中档题.7.已知复数2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根,向量(,)=m b c ,(8,)=n t ,求实数λ和t ,使得m n λ=. 【答案】12λ=-,10t =- 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出,b c ,再根据向量共线可求得结果.【详解】∵2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根,∴2i +也是方程的根.则[(2)(2)]4=--++=-b i i ,(2)(2)5=-+=c i i .∴(4,5)=-m ,由m n λ=,得(4,5)(8,)-=t λ.∴485t λλ-=⎧⎨=⎩.∴1210t λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 故答案为:12λ=-,10t =-. 【点睛】本题考查了虚根承兑定理、韦达定理,考查了平面向量共线定理,属于基础题.8.已知复数12,z z 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两根,且复数1z 在复平面内对应的点在第一象限,若122123z z i +=-,其中i 是虚数单位.(1)求复数12,z z ;(2)若复数z 满足1z =,求1z z -的最大值和最小值.【答案】(1)1243,43z i z i =+=-;(2)最大值6,最小值4;【分析】(1)根据实系数一元二次方程根的性质进行求解即可;(2)根据1z z -的几何意义,结合圆的性质进行求解即可.【详解】(1)因为122123z z i +=-,所以实系数一元二次方程有两个互为共轭的复数根,因此复数12,z z 互为共轭复数,因为复数1z 在复平面内对应的点在第一象限,所以设1(0,0)z a bi a b =+>>,则2z a bi =-,所以31242()12333a a a bi a bi i b b ==⎧⎧++-=-⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩, 所以1243,43z i z i =+=-;(2)因为复数z 满足1z =,设(,)z x yi x y R =+∈,所以221x y +=,所以复数z 在复平面上对应的点在单位圆221x y +=上,1z z -表示点(4,3)到圆221x y +=上一点的距离,显然1z z -16=,14=. 所以1z z -的最大值6,最小值4.9.方程20x px p ++=p 的值.【答案】2p =1p =或3p =【分析】设方程的两根为1x ,2x ,则两根在复平面内对应的点之间的距离就是12x x -,由复数模的性质可得()()2212121243x x x x x x -=+-=,利用根与系数的关系式代入,可得到关于p 的方程,解方程可求p 的值.【详解】设方程的两根为1x ,2x ,则()2212121233x x x x x x -=⇔-=⇔-= ()2121243x x x x ⇔+-=,由韦达定理可得243-=p p .当243-=⇒=p p p 2当2431-=-⇒=p p p 或3p =.【点睛】本题考查了复数的几何意义以及一元二次方程根与系数的关系,把复数在复平面上对应点的距离转化为复数差的模的形式是解题的关键,属于中档题.10.方程220x x m ++=的两个虚根为1z ,2z ,且12212<+-z z i ,求实数m 的范围. 【答案】251,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠,则2z a bi =-.根据韦达定理可得211a m b =-⎧⎨=+⎩,再根据模长公式化简不等式可得403b <<,由21m b =+可得答案. 【详解】设1(,,0)z a bi a b R b =+∈≠,则2z a bi =-.因为方程220x x m ++=有虚根,m R ∈,所以2240m ∆=-<,解得1m ,根据韦达定理得12122z z z z m +=-⎧⎨=⎩,∴2222a m a b =-⎧⎨=+⎩,即211a m b =-⎧⎨=+⎩, 因为12212<+-z z i ,所以22124|||12|z z i <+-,所以224|1||(2)|bi b i -+<-+,所以2244(2)b b +<+,所以2340b b -<,所以403b <<, 所以21609b <<, ∴225119m b <=+<. ∴251,9⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m . 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理,考查了韦达定理以及复数的模长公式,属于基础题.11.已知方程240x x m ++=的两根为α,β且满足||6-=αβ,求实数m 的值.指出下面的解法是否有错误,若有请分析错误原因,并给出正确的解答;若没有,请说明理由.||6-=αβ,得2||36-=αβ.∴2()436+-=αβαβ.由方程的根与系数的关系,得2(4)436--=m .解方程,得5m =-.【答案】有错误,理由见解析,5m =-或13m =.【分析】利用举反例的方法,说明错误原因.按照0∆≥和∆<0进行分类讨论,由此求得m 的所有可能取值.【详解】上面解法有错误,原因是当x C ∈时,2z 不一定等于2||z .如z i ,则221,1z z =-=. 正确解法:(1)当1640m ∆=-≥,即4m ≤时,有,R αβ∈,此时解答同上面解法;(2)当∆<0,即4m >时,方程有共轭虚根,两根为42-±=2-.依题意||||6-==αβ.解方程,得13m =.综上所述,5m =-或13m =.【点睛】本小题主要考查在复数范围内求一元二次方程的根,属于中档题.12.方程2236(1)10x m x m --++=的两个虚根的模之和为2,求实数m 的值.【分析】设1x ,2x 是方程的两个根,计算∆<0得到3322-+<<m ,计算11x =,代入数据计算得到答案.【详解】设1x ,2x 是方程的两个根,因为方程有两个虚根,∴∆<0,即()2236(1)4310--⨯+<m m ,化简得2310-+<m m ,解不等式得3322+<<m ,∵122x x +=,且12x x =,∴11x =1=1=.∴22m =,∴m =,检验取m .【点睛】本题考查了方程的虚根,意在考查学生的计算能力和应用能力.13.设1x ,2x 是方程22230()++-=∈x ax a a a R 的两根,求12x x +(用含a 的解析式表示).【答案】123(18)2(01)(80)a a a x x a a ⎧≥≤-⎪+=≤<-<<⎩或 【分析】根据判别式讨论方程根的情况,若0∆≥,再对两实根的符号讨论,结合根与系数关系,即可得出结论;若∆<0,方程两根为共轭虚数,利用模的关系,结合根与系数关系,即可求出结论.【详解】(1)当方程有实根时,2298()(8)0a a a a a ∆=--=+≥,得0a ≥或8a ≤-,若2120x x a a =-≥,得1a ≥或0a ≤.∴当1a ≥或8a ≤-时,12,x x 同号,121232a x x x x ++==; 当01a ≤<时,12,x x 异号,1212x x x x -+=== . (2)当方程有虚根时,(8)a a ∆=+<0,得80a -<<.∴1212+===x x x=.综上:123(18)2(01)(80)a a a x x a a ⎧≥≤-⎪+=≤<-<<⎩或 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的判别式,以及根与系数关系的应用,考查分类讨论思想和计算求解能力,属于中档题.14.若1z ,2z是实系数一元二次方程的两个虚根,2=ω||2ω≤. 求:(1)实数a 的取值范围;(2)|(4)|-+a ai 的最大值.【答案】(1)11a -≤≤;(2【分析】(1)根据实系数方程的两个虚数根互为共轭复数得其模相等,利用模的性质可得a 的范围;(2)求出|(4)|-+a ai ,结合二次函数性质可得结论.【详解】(1)1z ,2z 是实系数一元二次方程的两个虚根,∴12=z z,||==ω2||2a =≤,所以||1a ≤; (2)|(4)|-+==a ai 11a -≤≤上单调递减,所以当1a =-时取到最大【点睛】本题考查复数的模的运算,考查模的性质,在复数乘除法运算中利用模的性质求模可以更加简便.1212z z z z =,1122z z z z =.。
一、选择题1.用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3=0,此方程可变形为( ) A .(x ﹣3)2=3 B .(x ﹣3)2=6 C .(x+3)2=12 D .(x ﹣3)2=12 2.若关于x 的方程kx²+4x-1=0有实数根,则k 的取值范围是( ) A .k-4且k≠0 B .k≥-4C .k>-4且k≠0D .k>-43.用配方法解方程2x 4x 70+-=,方程应变形为( )A .2(2)3x +=B .2 (x+2)11=C .2 (2)3?x -= D .2()211x -=4.若x=0是关于x 的一元二次方程(a+2)x 2- a-2x+a 2+a-6=0的一个根,则a 的值是( ) A .a ≠2B .a=2C .a=-3D .a=-3或a=25.已知a ,b ,c 分别是三角形的三边长,则关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .有且只有一个实数根D .没有实数根6.如图,在矩形ABCD 中,AB =a (a <2),BC =2.以点D 为圆心,CD 的长为半径画弧,交AD 于点E ,交BD 于点F .下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根( )A .线段AE 的长B .线段BF 的长C .线段BD 的长D .线段DF 的长7.若方程()200++=≠ax bx c a 中,,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=,则方程的根是( ) A .1,0 B .1,0-C .1,1-D .2,2-8.有1人患了流感,经过两轮传染后共有81人患流感,则每轮传染中平均一个人传染了( )人. A .40B .10C .9D .89.已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数,且(a +m )( a +n )=2,(b +m )( b +n )=2,则ab ﹣mn的值为( ) A .4 B .1 C .﹣2 D .﹣1 10.已知一元二次方程x 2﹣6x+c =0有一个根为2,则另一根及c 的值分别为( )A .2,8B .3,4C .4,3D .4,811.若()()2222230x y xy ++--=,则22x y +的值是( )A .3B .-1C .3或1D .3或-1 12.一元二次方程x (x ﹣2)=x ﹣2的解是( ) A .x 1=x 2=0B .x 1=x 2=1C .x 1=0,x 2=2D .x 1=1,x 2=2二、填空题13.关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是________.14.关于x 的方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根,则k =_______.15.方程230x -=的解为___________. 16.方程220x x +-=的两个根分别为,m n ,则11m n+的值为_________. 17.已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根,则m =__________.18.某商贸公司2017年盈利100万元,2019年盈利144万元,且2017年到2019年每年盈利的增长率相同,则该公司2018年盈利_____万元.19.若m 是方程210x x +-=的根,则2222018m m ++的值为__________20.若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m 2﹣m =0(m >0),当m =1、2、3、…2020时,相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1,α2、β2,…,α2020、β2020,则112220202020111111αβαβαβ++++++的值为_____.三、解答题21.解方程. (1)2560x x -+=.(2)23(21)(21)x x -=-.(3)23139x x x -=--. 22.5月10日,重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”,以推动直播带货和“网红经济”发展,已知云阳桃片糕每盒12元,仙女山红茶每盒50元,第一次直播期间,共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒.(1)若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元,则至少卖出仙女山红茶多少盒? (2)第一次直播结束,为了回馈顾客,在第二次直播期向,桃片糕每盒降价10%3a ,红茶每盒降价4a %,桃片糕数量在(1)问最多的数量下增加6a %,红茶数量在(1)问最少的数量下增加4a %,最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元,求a 的值.23.某水果超市以每千克20元的价格购进一批大枣,规定每千克大枣的售价不低于进价又不高于40元.经市场调查发现:大枣的日销售量y (千克)与每千克售价x (元)之间满足一次函数关系,其部分对应数据如下表所示: 每千克售价x (元) … 25 30 35 … 日销售量y (千克)…11010090…(2)该水果超市想要获利1000元的日销售利润,每千克大枣的售价应定为多少元? 24.如图,利用22米长的墙为一边,用篱笆围成一个长方形仓库ABCD ,中间用篱笆分割出两个小长方形,在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门,总共用去篱笆34米,为了使这个长方形ABCD 的面积为96平方米,求AB 和BC 的长.25.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元:如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买了这种服装x 件. (1)填空: 购买件数x (件) 513③单价(元)① ② 5026.阅读下列材料:对于任意的正实数a ,b ,总有2a b ab +≥成立(当且仅当a b =时,等号成立),这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值. 例如:若0x >,求式子1x x+的最小值. 解:∵0x >,∴1112x x x x+≥⋅==,∴1x x +的最小值为2.(1)若0x >,求9x x+的最小值; (2)已知1x >,求2251x x x -+-的最小值. (3)如图,四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,AOB 、COD △的面积分别为4和9,求四边形ABCD 面积的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】先移项,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方,最后配方即可得新答案. 【详解】由原方程移项得:x 2﹣6x =3,方程两边同时加上一次项系数一半的平方得:x 2﹣6x+9=12, 配方得;(x ﹣3)2=12. 故选:D . 【点睛】此题主要考查配方法的运用,配方法的一般步骤为:移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成;熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键.2.B解析:B 【分析】分k=0和k≠0两种情况考虑,当k=0时可以找出方程有一个实数根;当k≠0时,根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式,解不等式即可得出k 的取值范围.结合上面两者情况即可得出结论.【详解】解:当k=0时,原方程为-4x+1=0, 解得:x=14, ∴k=0符合题意; 当k≠0时,∵方程kx 2-4x-1=0有实数根, ∴△=(-4)2+4k≥0, 解得:k≥-4且k≠0.综上可知:k 的取值范围是k≥-4. 故选:B . 【点睛】本题考查了根的判别式,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.3.B解析:B 【分析】根据配方法解一元二次方程的方法解答即可. 【详解】解:用配方法解方程2470x x ,方程应变形为24411x x ++=,即()2211x +=.故选:B . 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握配方的方法是解题的关键.4.B解析:B 【分析】将x=0代入方程中,可得关于a 的一元二次方程方程,然后解方程即可,注意a≥2这一隐含条件. 【详解】解:将x=0代入(a+2)x 2- 2+a-6=0中, 得: a 2+a-6=0, 解得:a 1=﹣3,a 2=2, ∵a+2≠0且a ﹣2≥0,即a≥2, ∴a=2, 故选:B . 【点睛】本题考查一元二次方程方程的解、解一元二次方程、二次根式有意义的条件,理解方程的解的意义,熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键,注意隐含条件a≥0.5.D解析:D 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程,所以利用根的判别式可以判断其根的情况.而()()2(2)4c a b a b =-++,根据三角形的三边关系即可判断.【详解】∵a ,b ,c 分别是三角形的三边, ∴a+b >c .∴c+a+b >0,c-a-b <0, ∴()()2(2)4c a b a b =-++2244()c a b =-+()()40c a b c a b =++--<,∴方程没有实数根. 故选:D . 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点.重点是对2244()c a b -+进行因式分解.6.B解析:B 【分析】根据勾股定理求出BF ,利用求根公式解方程,比较即可. 【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形 ∴CD=AB=a在Rt △BCD 中,由勾股定理得,BD =∴a ,解方程2240x ax +-=得22x a a -=±=-∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根. 故选:B . 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键.7.D解析:D【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=,前式减后式,可得0b =,前式加后式,可得4c a =-,将a 、c 代入原方程计算求出方程的根. 【详解】∵根据题意可得:420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②,①-②=40b =,得0b =, ①+②=820a c +=, ∴解得:0b =,4c a =-.将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得,∵240ax bx a +-=,240ax a -= 24ax a =∴2x =± 故选:D . 【点睛】本题考查解一元二次方程,联立关于a 、b 、c 的方程组,由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键.8.D解析:D 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 人,则一轮传染后共有(1+x )人被传染,两轮传染后共有[(1+x )+x(1+x)]人被传染,由题意列方程计算即可. 【详解】解:设每轮传染中平均一个人传染了x 人, 由题意,得:(1+x )+x(1+x)=81, 即x 2+2x ﹣80=0,解得:x 1=8,x 2=﹣10(不符合题意,舍去), 故每轮传染中平均一个人传染了8人, 故选:D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解一元二次方程,理解题意,正确列出方程是解答的关键.9.C解析:C 【分析】先把已知条件变形得到a 2+ (m +n ) a +mn ﹣2=0,b 2+( m +n ) b +mn ﹣2=0,则可把a 、b 看作方程x 2+( m +n ) x +mn ﹣2=0的两实数根,利用根与系数的关系得到ab =mn ﹣2,从而得到ab ﹣mn 的值. 【详解】解:∵(a +m )( a +n )=2,(b +m )( b +n )=2, ∴a 2+( m +n )a +mn ﹣2=0,b 2+( m +n )b +mn ﹣2=0, 而a 、b 、m 、n 为互不相等的实数,∴可以把a 、b 看作方程x 2+(m +n )x +mn ﹣2=0的两个实数根, ∴ab =mn ﹣2, ∴ab ﹣mn =﹣2. 故选:C . 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法,理解代数思想,把“a 、b 看作方程x 2+(m +n )x +mn ﹣2=0的两实数根”是解题关键.10.D解析:D 【分析】设方程的另一个根为t ,根据根与系数的关系得到t +2=6,2t =c ,然后先求出t ,再计算c 的值. 【详解】解:设方程的另一个根为t , 根据题意得t +2=6,2t =c , 解得t =4,c =8. 故选:D . 【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a. 11.A解析:A 【分析】用22a x y =+,解出关于a 的方程,取正值即为22xy +的值是.【详解】解:令22a x y =+, 则(2)30a a --=, 即2230a a --=, 即(3)(1)0aa ,解得13a =,21a =-,又因为220a x y =+>,所以3a = 故22xy +的值是3,故选:A . 【点睛】本题考查解一元二次方程,掌握换元思想可以使做题简单,但需注意220a x y =+>.12.D解析:D 【分析】方程x (x ﹣2)=x ﹣2移项后,运用因式分解法可以求得方程的解,本题得以解决. 【详解】解:x (x ﹣2)=x ﹣2,移项,得x (x ﹣2)﹣(x ﹣2)=0, 提公因式,得(x ﹣2)(x ﹣1)=0, ∴x ﹣2=0或x ﹣1=0, 解得x =2或x =1. 故选:D . 【点睛】本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法,解题的关键是会利用提公因式法解方程.二、填空题13.且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为:且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析:1k ->且0k ≠. 【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可. 【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>,解得1k >-.又∵该方程为一元二次方程,0k ∴≠,1k ∴>-且0k ≠.故答案为:1k >-且0k ≠. 【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义,属于基础题,掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键.14.-1【分析】根据方程有两个相等的实数根可得判别式△=0可得关于k 的一元二次方程解方程求出k 值即可得答案【详解】∵方程有两个相等的实数根∴解得:k1=k2=-1故答案为:-1【点睛】此题主要考查了根的解析:-1 【分析】根据方程()210x k x x -++=有两个相等的实数根可得判别式△=0,可得关于k 的一元二次方程,解方程求出k 值即可得答案. 【详解】∵方程()221(1)0x k x x x k x k -++=---=有两个相等的实数根,∴()2140k k =-+=,解得:k 1=k 2=-1, 故答案为:-1. 【点睛】此题主要考查了根的判别式,对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0),根的判别式△=b 2-4ac ,当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根;熟练掌握相关知识是解题关键.15.【分析】先移项然后利用数的开方直接求出即可【详解】移项得解得:故答案为:【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解要仔细观察方程的特点解析:x =【分析】先移项,然后利用数的开方直接求出即可. 【详解】 移项得,23x =,解得:x =故答案为:x =【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.16.;【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1mn=-2将其代入中即可求出结论【详解】解:∵方程x2+x ﹣2=0的两个根分别为mn ∴m+n =﹣1mn =﹣2故答案为:【点睛】本题考查了根与系数的关系牢解析:12; 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1,mn=-2,将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论. 【详解】解:∵方程x 2+x ﹣2=0的两个根分别为m ,n ,∴m +n =﹣1,mn =﹣2, 111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-. 故答案为:12 . 【点睛】本题考查了根与系数的关系,牢记“两根之和等于-b a ,两根之积等于c a是解题的关键. 17.-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解:将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是:【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项 解析:-4【分析】根据方程根的定义,把0x =代入原方程,求出m 的值.【详解】解:将0x =代入原方程,得2340m m +-=,解得14m =-,21m =,∵该方程是一元二次方程,∴10m -≠,即1m ≠,∴4m =-.故答案是:4-.【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程,需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0.18.120【分析】设平均年增长率为x 列式求出年平均增长率即可算出结果【详解】解:设平均年增长率为x 根据题意得:整理得:开方得:解得:(舍去)则平均年增长率为20∴该公司2018年盈利100(1+20)=解析:120【分析】设平均年增长率为x ,列式()21001144x +=,求出年平均增长率,即可算出结果.【详解】解:设平均年增长率为x ,根据题意得:()21001144x +=,整理得:()21 1.44x +=,开方得:1 1.2x +=±,解得:10.2x =,2 2.2x =-(舍去),则平均年增长率为20%,∴该公司2018年盈利100(1+20%)=120(万元).故答案为:120.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是掌握增长率问题的求解方法.19.2020【分析】根据m 是方程的根得代入求值【详解】解:∵m 是方程的根∴即原式故答案是:2020【点睛】本题考查一元二次方程的根解题的关键是掌握一元二次方程根的定义解析:2020【分析】根据m 是方程210x x +-=的根,得21m m +=,代入求值.【详解】解:∵m 是方程210x x +-=的根,∴210m m +-=,即21m m +=,原式()222018220182020m m =++=+=.故答案是:2020.【点睛】本题考查一元二次方程的根,解题的关键是掌握一元二次方程根的定义. 20.【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题即【详解】解:∵x2+2x ﹣m2﹣m =0m =123…2020∴由根与系数的关系得:α1+β1=﹣2α1β1=﹣1×2;α2+β2=﹣2α2β2=﹣2×3;…α 解析:40402021【分析】 由一元二次方程根与系数的关系解题,即+=-b c a a αβαβ=,. 【详解】解:∵x 2+2x ﹣m 2﹣m =0,m =1,2,3, (2020)∴由根与系数的关系得:α1+β1=﹣2,α1β1=﹣1×2;α2+β2=﹣2,α2β2=﹣2×3;…α2020+β2020=﹣2,α2020β2021=﹣2020×2021;∴原式=3320202020112211223320202020++++++++αβαβαβαβαβαβαβαβ 2222=++++12233420202021⨯⨯⨯⨯1111111=2(1)2233420202021⨯-+-+-++- 1=2(1)2021⨯-4040=2021故答案为:40402021. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.三、解答题21.(1)12x =,23x =;(2)112x =,22x =;(3)2x =- 【分析】(1)利用因式分解法解方程,即可得到答案;(2)先移项,然后利用因式分解法解方程,即可得到答案;(3)先把分式方程化为整式方程,然后解方程即可得到答案.【详解】解:(1)2560x x -+=, (2)(3)0x x --=,∴12x =,23x =,∴原方程的解为:12x =,23x =.(2)23(21)(21)x x -=-,∴2(21)3(21)0x x ---=,∴(21)(213)0x x ---=,∴(21)(24)0x x --=,∴112x =,22x =. ∴原方程的解为:112x =,22x =. (3)23139x x x -=--, ∴2(3)39x x x +-=-,∴22339x x x +-=-,∴36x =-,∴2x =-,经检验:2x =-为原方程的解,∴原方程的解为2x =-.【点睛】本题考查了解一元二次方程,解分式方程,解题的关键是熟练掌握解方程的方法,注意解分式方程时组要检验.22.(1)至少卖出仙女山红茶800盒;(2)a 的值为5.【分析】(1)设卖出仙女山红茶x 盒,则卖出桃片糕(2000-x )盒,由题意得关于x 的不等式,求解即可;(2)根据(1)的结果得出桃片糕最多卖出的盒数,根据题意得出关于x 的方程,解方程即可.【详解】解:(1)设卖出仙女山红茶x 盒,则卖出桃片糕(2000-x )盒,由题意得:50x+12(2000-x )≥54400,解得:x≥800,∴x 的最小值是800,∴至少卖出仙女山红茶800盒;(2)∵(1)中最少卖出仙女山红茶800盒,∴桃片糕最多卖出的盒数为:2000-800=1200(盒).由题意得:12×(110%3a -)×1200×(1+6a%)+50(1-4a%)×800×(1+4a%)=54400-80a , 解得:a 1=0(舍去),a 2=5.∴a 的值为5.【点睛】 本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用,理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键.23.(1)2160y x =-+;(2)商贸公司该水果超市想要获利1000元的日销售利润,每千克大枣的售价应定为30元.【分析】(1)用待定系数法求解即可;(2)根据总利润=每千克利润×数量列方程求解即可.【详解】解:(1)设一次函数解析式为:y kx b =+,将:()25,110;()30,100代入,得 ∴2511030100k b k b +=⎧⎨+=⎩解得:2160k b =-⎧⎨=⎩, ∴一次函数解析式为:2160y x =-+;,(2)由题意得:()()2021601000x x --+=整理得:210021000x x -+=,解得130x =,270x =(不合题意,舍去),即商贸公司该水果超市想要获利1000元的日销售利润,每千克大枣的售价应定为30元.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,一元二次方程的应用,熟练掌握待定系数法是解(1)的关键,列出方程式解(2)的关键.24.AB=8米,BC=12米.【分析】设AB 为x 米,然后表示出BC 的长为(36-3x )米,利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可.【详解】解:设AB 为x 米,则BC 为(36-3x )米,x (36-3x )=96,解得:x 1=4,x 2=8,当x=4时,36-3x=24>22(不合题意,舍去),当x=8时,36-3x=12.答:AB=8米,BC=12米.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是设出一边的长,并用未知数表示出另一边的长.25.(1)①80;②74;③25x ≥(2)20件【分析】(1)①如果一次性购买不超过10件,单价为80元;②用单价80元减去(13-10)×2,得出答案即可;③求出单价恰好是50元时的购买件数,即可分析得到;(2)根据一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,表示出每件服装的单价,进而得出等式方程求出即可.【详解】解:(1)①∵如果一次性购买不超过10件,单价为80元,故填:80;②80-(13-10)×2=74,故填:74;③设购买a 件时,单价恰好是50元,80-(a -10)×2=50,解得:a =25,而题目中“单价不得低于50元”,∴25x ≥时,单价是50元,故填:25x ≥;(2)因为1200>800,所以一定超过了10件,设购买了x 件这种服装且多于10件,根据题意得出:[80-2(x -10)]x =1200,解得:x 1=20,x 2=30,当x =20时,80-2(20-10)=60元>50元,符合题意;当x =30时,80-2(30-10)=40元<50元,不合题意,舍去;答:购买了20件这种服装.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,根据已知得出每件服装的单价是解题关键. 26.(1)6;(2)4;(3)25.【分析】(1)将原式变形为9x x +≥ (2)结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值; (3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9,则由等高三角形可知:BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△,用含x 的式子表示出36AOD S x =△,再按照题中所给公式求得最小值,加上常数即可. 【详解】解:(1)∵0x >,∴9x x +≥又∵6=, ∴96x x +≥ ∴9x x+的最小值为6; (2)∵1x >∴10x ->, ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥-∴2251x x x -+-的最小值为4. (3)设(0)BOC S x x =>△, 则由等高三角形可知:BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△,即36AOD S x=△, ∴四边形ABCD面积364913x x =+++≥,∵13=25,当且仅当x=6时,取等号, ∴四边形ABCD 面积的最小值为25.【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用,同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用.对不能直接应用公式的,需要正确变形才可以应用,本题中等难度略大.。
一、选择题1.据网络统计,某品牌手机2020年一月份销售量为400万部,二月份、三月份销售量连续增长,三月份销售量达到900万部,求二月份、三月份销售量的月平均增长率?若设月平均增长率为x ,根据题意列方程为( ).A .()40012900x +=B .()40021900x ⨯+=C .()24001900x +=D .()()240040014001900x x ++++= 2.下列方程是关于x 的一元二次方程的是( )A .20ax bx c ++=B .210x y -+=C .2120x x +-=D .(1)(2)1x x x -+=-3.用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-,做法正确的是( )A .3125x x +=-B .31(25)x x +=--C .31(25)x x +=±-D .3125x x +=±- 4.下列方程中,没有实数根的是( )A .2670x x ++=B .25260x x --=C .22270x x -=D .2220x x -+-= 5.方程22x x =的解是( )A .0x =B .2x =C .10x =,22x =D .10x =,22x =6.若m 是方程220x x c --=的一个根,设2(1)p m =-,2q c =+,则p 与q 的大小关系为( )A .p <qB .p =qC .p >qD .与c 的取值有关 7.下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A .(2)(2)0x x -+= B .220x -=C .2(1)0x -=D .2(1)20x ++= 8.如图,在矩形ABCD 中,AB =a (a <2),BC =2.以点D 为圆心,CD 的长为半径画弧,交AD 于点E ,交BD 于点F .下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根( )A .线段AE 的长B .线段BF 的长C .线段BD 的长 D .线段DF 的长9.若方程()200++=≠ax bx c a 中,,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=,则方程的根是( )A .1,0B .1,0-C .1,1-D .2,2-10.关于x 的方程2mx 0x +=的一个根是1-,则m 的值为( ) A .1 B .0 C .1-D .1或0 11.已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+=-有实数根,则m 的取值范围是( )A .0m ≠B .14mC .14m <D .14m > 12.已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1=0的两个根,则x 1•x 2等于( ) A .4 B .1 C .﹣1 D .﹣4二、填空题13.若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =,则一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________.14.把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法,其中h ,k 为常数,那么本题中h k +的值是_________.15.对于任意实数a ,b ,定义:22a b a ab b =++◆.若方程()250x -=◆的两根记为m 、n ,则22m n +=______.16.若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016=0有一根为x =﹣1,则a +b =_____.17.若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根,则c 的值可以是_________________.(写出一个即可)18.关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根,则k 的取值范围______________. 19.函数()2835m y m x -=+-是一次函数,则m =______.20.已知1x ,2x 是方程2250x x --=的两个实数根,则2212123x x x x ++=__________.三、解答题21.解方程:(1)x 2+10x +9=0;(2)x 2=14. 22.设,a b 是一个直角三角形的两条直角边的长,且()()2222112a ba b +++=,求这个直角三角形的斜边长c 的值.23.(1)()2120x --=; (2)21212t t += (3)()22x x x -=-(4)23520.x x --=24.(1)用配方法解:221470x x --=;(2)用因式分解法解:()()222332x x -=-.25.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边由长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),若苗圃园的面积为72平方米.求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米?26.解下列方程:(1)2810x x --=;(2)2(2)6(2)80x x ---+=.参考答案【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】设月平均增长率为x ,根据三月及五月的销售量,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解.【详解】解:设月平均增长率为x ,根据题意得:400(1+x )2=900.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识.增长前的量×(1+年平均增长率)年数=增长后的量. 2.D解析:D【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可.【详解】A 、当a =0时,不是一元二次方程,故此选项不合题意;B 、含有两个未知数,不是一元二次方程,故此选项不合题意;C 、不是整式方程,故此选项不合题意;D 、是一元二次方程,故此选项符合题意;故选:D .【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义,关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面:“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.3.C解析:C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-,表示两个式子的平方相等,因而这两个数相等或互为相反数,据此即可把方程转化为两个一元一次方程,即可求解.【详解】解:22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-,故选:C .【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法,关键是将方程右侧看做一个非负已知数,根据法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解. 4.D解析:D【分析】根据判别式的意义对各选项进行判断.【详解】A 、224641780b ac =-=-⨯⨯=>,则方程有两个不相等的实数根,所以A 选项不符合题意;B 、()()224541261290b ac =-=--⨯⨯-=>,则方程有两个不相等的实数根,所以B 选项不符合题意;C 、()224274207290b ac =-=--⨯⨯=>,则方程有两个不相等的实数根,所以C 选项不符合题意;D 、()()224241240b ac =-=-⨯-⨯-=-<,则方程没有实数根,所以D 选项符合题意.故选:D .【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.5.C解析:C【分析】移项并因式分解,得到两个关于x 的一元一次方程,即可求解.【详解】解:移项,得220x x -=,因式分解,得()20x x -=,∴0x =或20x -=,解得10x =,22x =,故选:C .【点睛】本题考查解一元二次方程,掌握因式分解法是解题的关键. 6.A解析:A【分析】结合m 是方程220x x c --=的一个根,计算p-q 的值即可解决问题.【详解】解:∵m 是方程220x x c --=的一个根,∴220m m c --=∵2(1)p m =-,2q c =+,∴222(1)(2)212211p q m c m m c m m c -=--+=-+--=---=-,∴p <q故选:A .【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算,熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键.7.D解析:D【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得.【详解】A 、由因式分解法得:122,2x x ==-,此项不符题意;B 、由直接开平方法得:120x x ==,此项不符题意;C 、由直接开平方法得:121x x ==,此项不符题意;D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=,此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<,则此方程没有实数根,此项符合题意; 故选:D .【点睛】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握各解法是解题关键.8.B解析:B【分析】根据勾股定理求出BF ,利用求根公式解方程,比较即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD中,由勾股定理得,BD =∴a , 解方程2240x ax +-=得x a =±=- ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根.故选:B .【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键.9.D解析:D【分析】联立420a b c ++=和420a b c -+=,前式减后式,可得0b =,前式加后式,可得4c a =-,将a 、c 代入原方程计算求出方程的根.【详解】∵根据题意可得:420420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩①②, ①-②=40b =,得0b =,①+②=820a c +=,∴解得:0b =,4c a =-.将a 、b 、c 代入原方程()200++=≠ax bx c a 可得,∵240ax bx a+-=,240ax a-=24ax a=∴2x=±故选:D.【点睛】本题考查解一元二次方程,联立关于a、b、c的方程组,由方程组推出a、b、c的数量关系是解题关键.10.A解析:A【分析】由关于x的方程x2+mx=0的一个根为-1,得出将x=-1,代入方程x2+mx=0求出m即可.【详解】解:∵-1是方程x2+mx=0的根,∴1-m=0,∴m=1,故答案为:A.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解,由方程的根为-1,代入方程是解决问题的关键.11.B解析:B【分析】由方程有实数根即△=b2﹣4ac≥0,从而得出关于m的不等式,解之可得.【详解】解:根据题意得,△=b2﹣4ac=[﹣(2m﹣1)]2﹣4m2=﹣4m+1≥0,解得:14 m,故选:B.【点睛】本题主要考查根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键.12.C解析:C【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可.【详解】解:∵方程x2-4x-1=0的两个根是x1,x2,∴x1∙x2=-1.故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系,两根之和是-b a ,两根之积是c a. 二、填空题13.x=2019【分析】对于一元二次方程设t=x+1得到at2+bt=1利用at2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020从而可判断一元二次方程a (x-1)2+b (x-1)-1=0必有一解析:x=2019【分析】对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=,设t=x+1得到at 2+bt=1,利用at 2+bt-1=0有一个根为t=2020得到x+1=2020,从而可判断一元二次方程a (x-1)2+b (x-1)-1=0必有一根为x=2019.【详解】解:对于一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=,设t=x+1,所以at 2+bt=1,即at 2+bt-1=0,而关于x 的一元二次方程ax 2+bx-1=0(a≠0)有一根为x=2020,所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2020,则x+1=2020,解得x=2019,所以2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为x=2019.故答案为:x=2019.【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 14.3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得:即∴∴故答案是:3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识;解题的关键是熟练掌握配方法 解析:3【分析】首先把常数项移到等号右边,经配方,h 和k 即可求得,进而通过计算即可得到答案.【详解】根据题意,移项得223x x -=,配方得:22131x x -+=+,即2(1)4x -=,∴1h =-,4k =∴143h k +=-+=故答案是:3.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识;解题的关键是熟练掌握配方法的性质,从而完成求解.15.6【分析】根据新定义可得出mn为方程x2+2x﹣1=0的两个根利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2mn=﹣1将其代入m2+n2=(m+n)2﹣2mn中即可得出结论【详解】解:∵(x◆2)﹣5=x2+解析:6【分析】根据新定义可得出m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根,利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1,将其代入m2+n2=(m+n)2﹣2mn中即可得出结论.【详解】解:∵(x◆2)﹣5=x2+2x+4﹣5,∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根,∴m+n=﹣2,mn=﹣1,∴m2+n2=(m+n)2﹣2mn=6.故答案为6.【点睛】本题考查了根与系数的关系,牢记两根之和等于﹣ba、两根之积等于ca是解题的关键.16.2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx﹣2016=0得到a+b﹣2016=0然后将a+b当作一个整体解答即可【详解】解:把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016=0得:a+b﹣2016=解析:2016.【分析】将x=-1代入ax2﹣bx﹣2016=0得到a+b﹣2016=0,然后将a+b当作一个整体解答即可.【详解】解:把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0得:a+b﹣2016=0,即a+b=2016.故答案是2016.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解,理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键.17.1(答案不唯一)【分析】根据非负数的性质可得于是只要使c的值非负即可【详解】解:若关于的一元二次方程有实根则所以的值可以是1(答案不唯一)故答案为:1(答案不唯一)【点睛】本题考查了一元二次方程的解解析:1(答案不唯一)【分析】根据非负数的性质可得0c ,于是只要使c的值非负即可.【详解】解:若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根,则0c ≥,所以c 的值可以是1(答案不唯一).故答案为:1(答案不唯一).【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,正确理解题意、掌握非负数的性质是关键. 18.且【分析】利用根的判别式b2-4ac 由于原方程有实数根那么判别式大于或等于零【详解】解:∵关于x 的方程有两个实数根且解得:且故答案为且【点睛】关于x 的方程有两个实数根(1)说明这是一个一元二次方程故解析:k 2≤且0k ≠【分析】利用根的判别式b 2-4ac .由于原方程有实数根,那么判别式大于或等于零.【详解】解:∵关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根,2(8)480k ∆=--⋅⋅≥,且0k ≠,解得:k 2≤且0k ≠,故答案为k 2≤且0k ≠,.【点睛】关于x 的方程有两个实数根,(1)说明这是一个一元二次方程,故“二次项系数不能为0”;(2)“根的判别式△的值要大于或等于0”;这两个条件要同时满足,解题时不要忽略了第一个条件.19.3;【分析】根据一次函数的定义得到m2-8=1且m+3≠0据此求得m 的值【详解】解:依题意得:m2-8=1且m+3≠0 解得m=3 故答案是:3【点睛】本题考查了一次函数的定义一般地形如y=kx+b解析:3;【分析】根据一次函数的定义得到m 2-8=1且m+3≠0,据此求得m 的值.【详解】解:依题意得:m 2-8=1且m+3≠0,解得m=3.故答案是:3.【点睛】本题考查了一次函数的定义.一般地,形如y=kx+b (k≠0,k 、b 是常数)的函数,叫做一次函数.会利用x 的指数构造方程,会解方程,会利用k 限定字母的值是解题关键 20.—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为:-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系解题的关键是根据公式正确计算【分析】根据根与系数之间的关系解题即可.【详解】∵1x ,2x 是方程2250x x --=的两个实数根,∴122x x +=,125x x =,∴()()2222112*********x x x x x x x x ++++=+-=-=, 故答案为:-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系,解题的关键是根据公式正确计算.三、解答题21.(1)121,9x x =-=-;(2)12x x == 【分析】(1)运用因式分解法求解即可(2)运用公式法求解即可.【详解】解:(1)∵x 2+10x +9=0,∴(x +1)(x +9)=0,则x +1=0或x +9=0,解得x 1=﹣1,x 2=﹣9;(2)x 2=14整理,得:x 2﹣14=0, ∵a =1,b c =﹣14, ∴△2﹣4×1×(﹣14)=4>0,则x =22,即x 1=22,x 2=22-. 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键.22对题目中所给的条件进行变形,利用整体思想求解出22a b +的值,从而结合勾股定理求解斜边长即可.【详解】由题意得()()22222120a b a b +++-=, ()()2222340a b a b +∴+-+=223a b ∴+=或224a b +=-(不合题意,舍去)则2223c a b =+=c ∴=负舍).【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理的应用,能够准确从条件中求解出直角边的平方和是解题关键.23.(1)1211==x x 2)1222t t =-=-3)1221x x ==,(4)12123x x ==-,.【分析】(1)利用直接开平方法求解即可;(2)利用配方法求解即可;(3)方程整理后,利用因式分解法求出解即可;(4)利用因式分解法解方程.【详解】解:(1)()212x -=,x-1=,11x x -=-=,1211x x ∴==(2)242t t +=,()226t ∴+=2t ∴+=1222t t ∴=-=-(3)()2(2)0x x x ---=,() 1)20(x x ∴--=122,1x x ∴==(4)23520.x x --=()2310()x x -+=1212,3x x ∴==-. 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法,配方法,以及直接开平方法,熟练掌握各种解法是解题的关键.24.(1)172x +=,272x -=;(2)x 1=1,x 2=-1. 【分析】(1)先移项,把二次项系数化为1,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方,进而开平方解方程即可得答案;(2)先根据完全平方公式把方程两边展开,再移项整理成一元二次方程的一般形式,再利用因式分解法解方程即可得答案.【详解】(1)221470x x --=移项得:2x 2-14x=7,二次项系数化为1得:x 2-7x=72, 配方得:x 2-7x+27()2=72+27()2,即(x-72)2=634,开平方得:x-72=,解得:172x +=,272x -=. (2)()()222332x x -=-展开得:4x 2-12x+9=9x 2-12x+4移项、合并得:5x 2-5=0,分解因式得(x+1)(x-1)=0,解得:x 1=1,x 2=-1.【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程,熟练掌握解方程的步骤是解题关键. 25.这个苗圃园垂直于墙的一边长为12米.【分析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米,利用长方形面积公式列方程求解,再根据靠墙边的长度范围确定取值即可.【详解】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米,根据题意得:()30272x x -=解得:13x =,212x =,∵30218x -≤,∴6x ≥,∴12x =.答:这个苗圃园垂直于墙的一边长为12米.【点睛】本题考查了长方形的周长公式的运用,长方形的面积公式的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据长方形的面积公式建立方程是关键,注意实际应用中的取值范围.26.(1)14x =24x =2)16x =,24x =.【分析】(1)先对原方程配方,然后再运用直接开平方法解答即可;(2)先对原方程配方,然后再运用直接开平方法解答即可.【详解】解:(1)2810x x --=281x x -=281617x x -+=()2417x -=4x -=14x =,24x =(2)2(2)6(2)80x x ---+=[]2(2)31x --=51x =±,16x =,24x =.【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程,正确的对原方程配方成为解答本题的关键.。
一、选择题1.方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A .m≠±lB .m≥-l 且m≠1C .m≥-lD .m >-1且m≠12.据网络统计,某品牌手机2020年一月份销售量为400万部,二月份、三月份销售量连续增长,三月份销售量达到900万部,求二月份、三月份销售量的月平均增长率?若设月平均增长率为x ,根据题意列方程为( ).A .()40012900x +=B .()40021900x ⨯+=C .()24001900x +=D .()()240040014001900x x ++++= 3.已知一元二次方程2210x x --=的两个根分别是1x ,2x ,则2112x x x -+的值为( ).A .-1B .0C .2D .34.下列方程属于一元二次方程的是( )A .222-=x x xB .215x x +=C .220++=ax bx cD .223x x += 5.下列方程中是一元二次方程的是( )A .210x +=B .220x -=C .21x y +=D .211x x += 6.一元二次方程2304y y +-=,配方后可化为( ) A .21()12y += B .21()12y -= C .211()22y += D .213()24y -= 7.设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根,则23m m n -+=( ) A .1- B .1 C .17- D .178.若关于x 的一元二次方程ax 2+2x -12=0(a <0)有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A .a <-2B .a >-2C .-2<a <0D .-2≤a <0 9.某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件100元降到每件64元,则平均每次降价的百分率为( )A .15%B .40%C .25%D .20%10.某中学举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间只比赛1场,共比赛10场,则参加此次比赛的球队数是( )A .4B .5C .6D .7 11.不解方程,判断方程23620x x --=的根的情况是( ) A .无实数根 B .有两个相等的实数根C .有两个不相等的实数根D .以上说法都不正确 12.已知2x 2+x ﹣1=0的两根为x 1、x 2,则x 1•x 2的值为( )A .1B .﹣1C .12D .12- 13.下列方程是一元二次方程的是( )A .20ax bx c ++=B .22(1)x x x -=-C .2325x x y -+=D .2210x += 14.已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx (k ≠1),则方程根的情况是( )A .没有实数根B .有两不等实数根C .有两相等实数根D .无法确定 15.已知m 是方程2210x x --=的一个根,则代数式2242020m m -+的值为( )A .2022B .2021C .2020D .2019 二、填空题16.若关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a +-=≠有一根为2020x =,则一元二次方程2(1)(1)1a x b x +++=必有一根为________.17.解方程:268x x +=-解:两边同时加_________,得26x x ++________8=-+________则方程可化为(_______)2=________两边直接开平方得_____________即_________或_____________所以1x =__________,2x =___________.18.方程230x -=的解为___________.19.某商贸公司2017年盈利100万元,2019年盈利144万元,且2017年到2019年每年盈利的增长率相同,则该公司2018年盈利_____万元.20.关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α,β,且2212αβ+=,那么m 的值为________.21.已知x =1是一元二次方程(m -2)x 2+4x -m 2=0的一个根,则m 的值是_____. 22.三角形两边长分别为3和5,第三边满足方程x 2-6x+8=0,则这个三角形的形状是__________.23.如图,将一张矩形纸片ABCD 折叠,使两个顶点A C 、重合,折痕为FG ,若4,8AB BC ==,则线段BF 的长为_________.24.已知1x ,2x 是方程2250x x --=的两个实数根,则2212123x x x x ++=__________. 25.如图,世纪广场有一块长方形绿地,AB =18m ,AD =15m ,在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后,剩余绿地的面积为144m 2,则x =_____.26.为解决民生问题,国家对某药品价格分两次降价,该药品的原价是48元,降价后的价格是30元,若平均每次降价的百分率均为x ,可列方程.为____________.三、解答题27.解方程:2250x x +-=.28.解方程:(1) 2890x x --=(2)(x+1)2=6x+629.我们知道20x ≥,2()0a b ±≥,这一性质在数学中有着广泛的应用,比如,探究多项式2245x x +-的最小值时,我们可以这样处理:解:原式()2225x x =+- ()22222115x x =++-- 222(1)15x ⎡⎤=+--⎣⎦22(1)25x =+--22(1)7x =+-因为()210x +≥,所以()221707x +-≥-,即()22177x +-≥-所以()2217x +-的最小值是7-,即224 5x x +-的最小值是7-.请根据上面的探究思路,解答下列问题:(1)多项式()2531x -+的最小值是_________;(2)求多项式24163x x -+的最小值(写过程).30.某文具商从荷花池小商品批发市场购进一批书包,每个进价50元.调查发现,当销售价为80元时,每季度可售出500个;如果售价每降低1元,那么平均每季度可多售出40个.(1)当降价2元时,平均每季度销售书包_____个.(2)某文具商要想平均每季度赢利18000元,且尽可能让利与顾客,应该如何定价?。
上海松江区第七中学数学一元二次方程(培优篇)(Word 版 含解析)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.(1)求这两年藏书的年均增长率;(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?【答案】(1)这两年藏书的年均增长率是20%;(2)到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.【解析】【分析】(1)根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以得到这两年藏书的年均增长率; (2)根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著,从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解:(1)设这两年藏书的年均增长率是x ,()2517.2x +=,解得,10.2x =,2 2.2x =-(舍去),答:这两年藏书的年均增长率是20%;(2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=(万册), 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是:5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=, 答:到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用方程的知识解答,这是一道典型的增长率问题.2.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%,购买数量和原计划一样:“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%,求出m的值.【答案】(1)120;(2)20.【解析】试题分析:(1)本题介绍两种解法:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,解出即可;解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价;(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+52m%),在“美团”网上的购买实际消费总额:a[120(1﹣25%)﹣920m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可.试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,x≤120;解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元).答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:120×0.8a(1﹣25%)(1+52m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣920m](1+15m%)=120×0.8a(1﹣25%)×2(1+ 152m%),即72a(1+52m%)+a(72﹣920m)(1+15m%)=144a(1+152m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍),m2=20.答:m的值是20.点睛:本题是一元二次方程的应用,第二问有难度,正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键.3.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A(0,8),点B(m,0),且m>0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°,得△ACD,点O,B旋转后的对应点为C,D,(1)点C的坐标为;(2)①设△BCD的面积为S,用含m的式子表示S,并写出m的取值范围;②当S=6时,求点B的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C(8,8);(2)①S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②点B的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0).【解析】【分析】(1)由旋转的性质得出AC=AO=8,∠OAC=90°,得出C(8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,得出∠ACE=90°,证出四边形OACE是矩形,得出DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,得出BE=OB−OE=m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m2−4m(m>8)即可;b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,BE=OE−OB=8−m,由三角形的面积公式得出S=−0.5m2+4m(0<m<8)即可;c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;②当S=6,m>8时,得出0.5m2−4m=6,解方程求出m即可;当S=6,0<m<8时,得出−0.5m2+4m=6,解方程求出m即可.【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:7(负值舍去),∴7当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B的坐标为(70)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.4.已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程(a ﹣6)x 2+2ax+a=0的两个实数根.(1)求a 的取值范围;(2)若(x 1+1)(x 2+1)是负整数,求实数a 的整数值.【答案】(1)a≥0且a≠6;(2)a 的值为7、8、9或12.【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可;(2)根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ,x 1x 2=-6a a ,由(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数,即可得66a -是正整数.根据a 是整数,即可求得a 的值2.【详解】(1)∵原方程有两实数根,∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩, ∴a≥0且a≠6.(2)∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程(a ﹣6)x 2+2ax+a=0的两个实数根,∴x 1+x 2=﹣26a a -,x 1x 2=6a a -, ∴(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -. ∵(x 1+1)(x 2+1)是负整数, ∴﹣66a -是负整数,即66a -是正整数. ∵a 是整数,∴a ﹣6的值为1、2、3或6,∴a的值为7、8、9或12.【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系,能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键.5.近几年,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也在逐年增加.某商场从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,两种净化器的销售相关信息见下表:(1)每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少?(2)该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台,其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍,为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大,请你设计相应的进货方案;(3)已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时,B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时.某长方体室内活动场地的总面积为200 m2,室内墙高3 m.该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新,如不考虑空气对流等因素,至少要购买A型空气净化器多少台?【答案】(1)每台A型空气净化器的利润为200元,每台B型空气净化器的利润为100元;(2)为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大,应购进A型空气净化器33台,购进B型空气净化器67台;(3)至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解:(1)设每台A型空气净化器的利润为x元,每台B型空气净化器的利润为y元,根据题意得:5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答:每台A型空气净化器的利润为200元,每台B型空气净化器的利润为100元. (2)设购买A型空气净化器m台,则购买B型空气净化器(100﹣m)台,∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍,∴100-m≥2m,解得:m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意,得W=200m+100(100﹣m)=100m+10000.∵要使W最大,m需最大,∴当m=33时,总利润最大,最大利润为W:100×33+10000=13300(元).此时100﹣m=67.答:为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大,应购进A型空气净化器33台,购进B 型空气净化器67台. (3)设应购买A 型空气净化器a 台,则购买B 型空气净化器(5﹣a )台,根据题意得:12[300a +200(5-a )]≥200×3. 解得:a ≥2.∴至少要购买A 型空气净化器2台.6.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数1y x =-,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数1y x =-的零点.己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数).(1)当m =0时,求该函数的零点;(2)证明:无论m 取何值,该函数总有两个零点;(3)设函数的两个零点分别为1x 和2x ,且121114x x +=-,此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧),点M 在直线10y x =-上,当MA+MB 最小时,求直线AM 的函数解析式.【答案】(1)当m =0时,该函数的零点为6和6-.(2)见解析,(3)AM 的解析式为112y x =--. 【解析】【分析】(1)根据题中给出的函数的零点的定义,将m=0代入y=x 2-2mx-2(m+3),然后令y=0即可解得函数的零点;(2)令y=0,函数变为一元二次方程,要想证明方程有两个解,只需证明△>0即可; (3)根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标,个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′,连接AB′,求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时,直线AM 的函数解析式【详解】(1)当m =0时,该函数的零点为6和6-.(2)令y=0,得△=∴无论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根. 即无论m 取何值,该函数总有两个零点.(3)依题意有, 由解得.∴函数的解析式为. 令y=0,解得∴A(),B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’,连结AB’,则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点.易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C (10,0),D (0,10).连结CB’,则∠BCD=45°∴BC=CB’=6,∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’(106-,)设直线AB’的解析式为y kx b =+,则20{106k b k b -+=+=-,解得112k b =-=-, ∴直线AB’的解析式为112y x =--, 即AM 的解析式为112y x =--.7.如图,正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上,我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形.探究一:已知边长为1的正方形ABCD ,是否存在一个外接正方形EFGH ,它的面积是正方形ABCD 面积的2倍?如图,假设存在正方形EFGH ,它的面积是正方形ABCD 的2倍. 因为正方形ABCD 的面积为1,则正方形EFGH 的面积为2,所以EF =FG =GH =HE 2EB =x ,则BF 2﹣x ,∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF =AE 2﹣x在Rt △AEB 中,由勾股定理,得x2+﹣x)2=12解得,x1=x2=2∴BE=BF,即点B是EF的中点.同理,点C,D,A分别是FG,GH,HE的中点.所以,存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍?(仿照上述方法,完成探究过程)探究三:已知边长为1的正方形ABCD,一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的4倍?(填“存在”或“不存在”)探究四:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍?(n>2)(仿照上述方法,完成探究过程)【答案】不存在,详见解析【解析】【分析】探究二,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可;探究三,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答;探究四,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答.【详解】探究二:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为3,所以EF=FG=GH=HE,设EB=x,则BF x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+x)2=12,整理得x2x+1=0,b2﹣4ac=3﹣4<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍;探究三:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为4,所以EF=FG=GH=HE=2,设EB=x,则BF=2﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE=2﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+(2﹣x)2=12,整理得2x2﹣4x+3=0,b2﹣4ac=16﹣24<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍,故答案为不存在;探究四:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为n,所以EF=FG=GH=HE=n,设EB=x,则BF=n﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE=n﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+(n﹣x)2=12,整理得2x2﹣2n x+n﹣1=0,b2﹣4ac=8﹣4n<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键.8.如图,某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym(其中y≥4),另两边的篱笆长分别为xm.(1)求y关于x的函数表达式,并求x的取值范围.(2)若仅用现有的11m长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.【答案】(1)y=;1.5≤x≤3;(2)长为8m,宽为1.5m.【解析】【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式,结合4≤y≤8可求出x的取值范围;(2)由篱笆的长可得出y=(11﹣2x)m,利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】(1)∵矩形的面积为12m2,∴y=.∵4≤y≤8,∴1.5≤x≤3.(2)∵篱笆长11m,∴y=(11﹣2x)m.依题意,得:xy =12,即x (11﹣2x )=12,解得:x 1=1.5,x 2=4(舍去),∴y =11﹣2x =8.答:矩形园子的长为8m ,宽为1.5m .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的面积公式,找出y 关于x 的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.9.如图,在矩形ABCD 中,6AB = ,10BC = ,将矩形沿直线EF 折叠.使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处,且点E 、F 分别在边AB 、AD 上(含端点),连接CF .(1)当32BG = 时,求AE 的长;(2)当AF 取得最小值时,求折痕EF 的长;(3)连接CF ,当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时,直接写出BG 的长.【答案】(1)92AE =;(2)62EF =3)185BG =. 【解析】【分析】 (1)根据折叠得出AE=EG ,据此设AE=EG=x ,则有BE=6-x ,由勾股定理求解可得;(2)由FG ⊥BC 时FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,显然四边形AEGF 是正方形,从而根据勾股定理可得答案;(3)由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形,可知应分两种情况讨论:①FG=FC ;②FG=GC ;分别求解可得.【详解】(1)由折叠易知,AE EG =,设AE EG x ==,则有6BE x =-,由勾股定理,得()(222632x x =-+,解得92x =,即92AE = (2)由折叠易知,AF FG =,而当FG BC ⊥时,FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,当FG BC ⊥时,FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,当FG BC ⊥时,点E 与点B 重合,此时四边形AEGF 是正方形,∴折痕226662EF =+=(3)由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形,可知应分两种情况讨论:①当FG=FC 时,如图2,过F 作FH ⊥CG 于H ,则有:AF=FG=FC ,CH=DF=GH设AF=FG=FC=x ,则DF=10-x=CH=GH在Rt △CFH 中∵CF 2=CH 2+FH 2∴x 2=62+(10-x )2 解得:x=345, ∴DF=CH=GH=10-165, 即BG=10-165×2=185, ②当FG=GC 时,则有:AF=FG=GC=x ,CH=DF=10-x ;∴GH=x-(10-x )=2x-10,在Rt △FGH 中,由勾股定理易得:x 2=62+(2x-10)2,化简得:3x 2-40x+136=0,∵△=(-40)2-4×3×136=-32<0,∴此方程没有实数根. 综上可知:BG=185. 【点睛】本题主要考查四边形的综合问题,解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点,也考查了分类讨论的数学思想.10.已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根,又k 为正整数,求代数式2216k k k -+-的值. 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ,又由于关于x 的方程(k -1)x 2+3x -2a =0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k 为正整数,利用判别式可以求出k ,最后代入所求代数式计算即可求解.【详解】解:设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩=== , 由条件,知12121211x x x x x x ++==3, 即33a -=,且94a ≤, 故a =-1, 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0,Ⅰ.当k -1=0时,k =1,x =23-,则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时,∆=9-8(k -1)=17-6-8k ≥0,则178k ≤, 又k 是正整数,且k ≠1,则k =2,但使2216k k k -+-无意义. 综上,代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,。
实系数一元二次方程
1. 方程2
210x +=的解是__________。
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2. 方程210x x ++=的两个根是,αβ,()1αβ+=_________,()2αβ=__________。
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3. 已知:关于x 的方程()()2210,x i x ai a R -+++=∈有一实根b ,则1a bi
=+_______。
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4. 方程()22220x ax a a R ++=∈的解是______。
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5. 方程2
10x x ++=的两个根为12,x x ,4412x x +=_________。
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6. 复数集内方程2320z z -+=的解的个数有_____。
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7. 关于x 的方程()
()22220x t t tx i t R +-+=∈有纯虚数根,则t 是______。
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8. 若,αβ是方程2220x x -+=的两个相异的根,则88αβ+=________。
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9. 方程3210x x x +++=在复数范围内的解是________。
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10. 若z 是复数,则方程20z z -=的根的个数是____。
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11. 实系数方程20x ax b ++=的一个根为2i
,则a b +=_______。
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12. z 是实系数方程2240x x ++=的一个根,则32
1z z z +++=________。
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13. 二次方程2250x xi --=的根的情况是____________。
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14. 设关于x 的方程2
20x x k ++=有两个虚根α和β,且αβ-=k 。
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15. 方程220x x p -+=p 的值。
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16. 求满足方程()22210x i x m i --+-=的实数m 和x 。
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17. 已知:1i +是关于x 的方程()20,x ax b a b R ++=∈的一个根,设1214i z a bi
+=
+,25z =,且12z z ⋅为纯虚数,求2z 。
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18. 已知:关于x 的方程2
430x zx i +++=有实数根,求z 的最小值。
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19. 关于x 的方程240x x m -+=的两个根为,αβ。
()1若1αβ-=,求实数m 的值;
()2若5αβ
+=,求实数m 的值。
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