数论-小学数学竞赛--因数与倍数之综合应用强化篇

小学奥数数论专题--因数与倍数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题 （每空xx 分，共xx 分） 【题文】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【答案】24，1170【解析】360分解质因数；360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c，(其中a ，b ，c 均是整数，且a 为0～3，b 为0～2，c 为0～1) ． 因为a 、b 、c 的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)＝24． 我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1，3，32，它们的和为(1+3+32)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1，2，22，23，它们的和为(1+2+22+23)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(1+5)；所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．现在，我们计算出值了：13×15×6＝1170．所以，360所有约数的和为1170．评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法．下面我们给出一般结论：Ⅰ．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)Ⅱ．约数的和是在严格分解质因数后，将M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000＝23×3×53×7，所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)＝74880．【题文】一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少?【答案】96【解析】设这个数为A ，有A ＝25×33×56×7，我们可以一一列出它所有的两位数的约数，有25×3＝96为其最大的两位数约数．【题文】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【答案】361，400，441，484，529，576，625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积还能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知，我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数？18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之间的完全平方数为192，202，212，222，232，242，252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625．【题文】今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆?【答案】14【解析】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数．即为42，112，70的公约数，有(42，112，70)＝14．所以，最多可以分成14堆．【题文】加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?【答案】10【解析】为了使生产均衡，则每道工序每小时产生的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A＝10B＝15C＝k，那么k的最小值为6，10，15的最小公倍数，即[6，10，15]＝30．所以A＝5，B＝3，C＝2，则三道工序最少共需要5+3+2＝10名工人．【题文】有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚?【答案】30【解析】设在x分钟后3人再次相聚，有甲走了120x米，乙走了100x米，丙走了70x米，有他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x－100x，120x－70x，100x－70x均是300的倍数，那么300就是20x，50x，30x的公约数．有(20x，50x，30x)＝300，而(20x，50x，30x)＝x(20，50，30)＝10x，所以x＝30．即在30分钟后，3人又可以相聚．【题文】 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步．开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米．甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点?【答案】6【解析】甲跑完一圈需÷＝小时，乙跑一圈需÷4＝小时，丙跑一圈需÷5＝．则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为，，的倍数，即它们的公倍数．而＝＝＝6．所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点．评注：求一组分数的最小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为新分数的分子，将分母的最大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最大公约数作为新分数的分子，将分母的最小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约数．【题文】甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．如果甲数是18，那么乙数是多少?【答案】30【解析】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积．有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90＝540，则乙数为540÷18＝30．【题文】 A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少?【答案】2550【解析】由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×b，其中a、b为整数且只含质因子3、5．即A＝31+x×52+y，B＝31+m×52+n，其中x、y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数，所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]＝(2+x)×(3+y)＝12，所以，或．对应A为31+2×52＝675，31+1×52+1＝1125，或31+0×52+4＝46875；由B有10个约数，所以[(1+m)+1]×[(2+n)+1]＝(2+m)×(3+n)＝10，所以．对应B为31+0×52+2＝1875．只有(675，1875)＝75，所以A＝675，B＝1875．那么A，B两数的和为675+1875＝2550．解法二：易知A、B中有一个数质因数中出现了两次5，多于一次3，那么，先假设它出现了N次3，则约数有：(2+1)×(N+1)＝3·(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)＝12，易知N＝3，这个数是A，即A＝33×52＝675．那么B的质数中出现了一次3，多于两次5，则出现了M次5，则有：(1+1)×(M+1)＝2(M+1)＝10，M＝4．B ＝3×54＝1875．那么A，B两数的和为675+1875＝2550．【题文】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?【答案】33【解析】设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=297．…………………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=693，且(q1,q2)=1.………②综合①、②知(a，b)是297，693的公约数，而(297，693)＝99，所以(a，b)可以是99，33，11，9，3，1．第一种情况：(a，b)＝99，则(q1+q2)＝3，(q1q2+1)＝7，即q1q2＝6＝2×3，无满足条件的q1，q2；第二种情况：(a，b)＝33，则(q1+q2)＝9，(q1q2+1)＝21，即q1q2＝20＝22×5，则q1＝5，q2＝4时满足，a＝(a,b)q1＝33×5＝165，b＝(a,b)q2＝33×4＝132，则a-b＝165－132＝33；第三种情况：(a，b)＝11，则(q1+q2)＝27，(q1q2+1)＝63，即q1q2＝62＝2×31，无满足条件的q1，q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的的q1，q2．所以，这个两个自然数的差为33．【题文】两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组?【答案】10【解析】设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=60．…………………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1.………②联立①、②有(q1+q2)= (q1q2+1)，即q1+q2-q1q2=1，(q1-1)(1-q2)=0，所以q1＝1或q2＝1．即说明一个数是另一个数的倍数，不妨记a＝kb(k为非零整数)，有，即(k+1)b＝60，b确定，则k确定，则kb即a确定．60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10，12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果b＝60，则(k+1)＝1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58，2)，(57，3)，(56，4)，(55，5)，(54，6)，(50，10)，(48，12)，(45，15)，(40，20)，(30，30) ．评注：如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．【题文】3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少?【答案】81【解析】当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a，a+1，a+2中有2个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828×2，当a，a+1，a+2中有1个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828．对9828分解质因数：9828＝2×2×3×3×3×7×13，我们注意，13是其最大的质因数，验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2，此时这三个数中存在两个偶数，有9828×2＝2×2×2×3×3×3×7×13．13×2＝26，有26，27，28三个数的积为9828×2，所以这三个连续的自然数数为26，27，28，其中有两个偶数，满足题意．所以，这三个数的和为26+27+28＝81．评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即[a,b]＝a×b．记这3个连续的自然数为a，a+1，a+2．有[a,a+1,a+2]＝[a,a+1,a+1,a+2]＝[[a,a+1],[a+1,a+2]]＝[a×(a+1),(a+1)×(a+2)]＝(a+1)×[a,a+2] ．因为a，a+2同奇同偶，当a，a+2均是偶数时，a，a+2的最大公约数为2，则它们的最小公倍数为；当a，a+2均是奇数时，a，a+2互质，则它们的最小公倍数为a×(a+2) ．所以(a+1)×[a,a+2]＝．即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或．当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．【题文】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【答案】18【解析】对90分解质因数：90＝2×3×3×5．因为5126，所以5甲，即甲中不含因数5，于是乙必含因数5．因为2105，所以2乙，即乙中不含因数2，于是甲必含因数2×2．因为9105，所以9乙，即乙最多含有一个因数3．第一种情况：当乙只含一个因数3时，乙＝3×5＝15，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18；第二种情况：当乙不含因数3时，乙＝5，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18．综上所需，甲为18．评注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a＝2×33×52×7，b＝23×32×5×7×11，则A、B的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数．即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，即[a,b]＝23×33×52×7×11．【题文】 a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?【答案】105【解析】由(a，b)＝75＝3×52，[a，b]＝450＝32×2×52＝75×3×2，又a>b，所以或．[b，c]＝1050＝2×3×52×7．当时有，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以(75，c)×[75，c]＝75×c＝15×1050，得c＝210，但是c＞b，不满足；当时有，则c＝105，c＜b，满足，即为满足条件的唯一解．那么c是105．【题文】有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少?【答案】101【解析】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D＝1111．将1111分解质因数：1111＝11×101，显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101，记此时A＝101a，B ＝101b，C＝101c，D＝101d，有a+b+c+d＝11，当a+b+c+d＝1+2+3+5时满足，即这4个数的公约数可以取到101．综上所述，这4个不同的自然数，它们的最大公约数最大能是101．【题文】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【答案】63【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，，长方形纸块的面积为 (平方厘米)，正方形纸块的面积为 (平方厘米)，共可裁成正方形纸块 (张)．【题文】一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【答案】165【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．，，共需 (块).【题文】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【答案】苹果8 个，桔子6个，梨5个．【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有, 即可以分42份，每份中有苹果8 个，桔子6个，梨5个．【题文】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？【答案】9【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．【题文】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【答案】8,6,5【解析】因为，，，，所以最多可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.【题文】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【答案】101【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．【题文】用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．【答案】9【解析】，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公约数．从而9是这362880个数的最大公约数．【题文】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是___________．【答案】108【解析】，A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小排列依次为：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不是A和B 的约数．由于A和B不能同时被5整除，所以135也不是A和B的公约数．540的约数除去这些数后最大的为108，考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、972，其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A和B一个为756、另一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108，所以A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是108．【题文】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．【答案】40或20【解析】设这两个自然数为：，其中与互质，，，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．【题文】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【答案】98【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。

数论-因数和倍数-因数-0星题课程目标知识提要因数•定义对于整数a和b，如果a∣b，我们就称a是b的因数。

精选例题因数1. 算式1×2×3×⋯×10的结果中末尾有个连续的零．【答案】2个【分析】此题算式中，有10、5分别有1个因数5，共2个因数5；2、4、6、8、10共有8个因数2．由于因数5的个数少于因数2的个数，只有2个，所以该算式结果末尾有2两个连续的零． 2. A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和．那么A、B两数之差的最大值是．【答案】1781【分析】2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007,所以A的可能值是231或235或675或2011．又2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007,所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B两数之差的最大值为2011−230=1781．，那么在这三个最简真分数中， 3. 三个最简真分数的分母分别是6，15和20，它们的乘积是130最大的数是．【答案】56． 【分析】设这三个真分数分别为a 6,b 15,c 20，其中a 不含因数2和3；b 不含因数3和5；c 不含因数2和5，且a,b,c 均为非0自然数．依题意：a 6×b 15×c 20=130，abc =60=22×3×5．所以a =5,b =4,c =3． 所以最大数为：56．4. 2016名同学排成一排，从左至右依次按照1，2，⋯，n 报数〔n ≥2〕．假设第2016名同学所报的数恰是n ，那么给这轮中所有报n 的同学发放一件新年礼物．那么无论n 取何值，有名同学将不可能得到新年礼物．【答案】576【分析】由题目条件可知，n ∣2016，2016=25×32×7,所以当n =2时，所有编号为2的倍数的同学均能拿到礼物，同理可得编号为3和7的倍数的同学也能拿到礼物，因此只有编号与2016互质的同学拿不到礼物，小于2016且与2016互质的数的个数为 2016×(1−12)×(1−13)×(1−17)=576(个). 5. 有80颗珠子，5年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配，又恰好分完．姐姐比妹妹大2岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差颗．【答案】4【分析】设5年前妹妹的年龄为x ，那么5年前今年妹妹x x +5姐姐x +2x +75年前与今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以2x +2与2x +12均为80的因数，且这两个因数的差为10，80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，所以只有10与20的差为10，所以2x +2=10,x =4, 5年前按照4:6的比例分配，姐姐分80÷(4+6)×6=48(颗),今年按照9:11的比例分配，姐姐分到80÷(9+11)×11=44(颗),两次分配相差48−44=4(颗).6. 算式333×625×125×25×5×16×8×4×2的结果中末尾有个连续的零．【答案】10【分析】乘积末尾0的个数取决于乘数中因数2与因数5的搭配情况．该算式中，625、125、25、5分别提供4、3、2、1个因数5，一共可以提供4+3+2+1=10(个);16、8、4、2分别可以提供4、3、2、1个因数2，一共可以提供4+3+2+1=10(个).10对因数5和因数2乘积产生10个零，所以该算式结果中有10个连续的零0．7. 如图，方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数．比方a=5×10=50，b=50×12=600．那么c方格内所填的自然数的末尾有个连续的0．【答案】102【分析】含有102个2，106个5，所以末尾有102个0．8. 两个相邻质数的和乘以它们的差得120，这样的质数有两组，它们分别是〔，〕和〔，〕．【答案】31,29和17,13．【分析】两个数的乘积是120，可以把120分成以下乘积120=1×120=2×60=3×40=4×30=5×24=6×20=8×15=10×12,而两个数的和与差的奇偶性是相同的，满足条件的只有2×60，4×30，6×20，10×12．相应的，得到这两个数分别是31,29；17,13；13,7；11,1．满足相邻质数这个条件的是前两组，31与29，17与13．9. 算式2×16×24×5×25×125的计算结果的末尾有个连续的零．【答案】6【分析】此题算式中，125、25、5分别有3、2、1个因数5，共6个因数5；2、16、24共有8个因数2．由于因数5只有6个，少于因数2的个数，所以该算式结果末尾有6个连续的零．算式中有8个因数2，6个因数5，所以末尾有6个零．10. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．11. 算式25×26×27×⋯×50的结果中末尾有个连续的零．【答案】8个【分析】此题算式中，30、35、40、45分别有1个因数5，25、50分别有2个因数5，共有8个因数5；此题中含有偶数12个，那么至少含有12个因数2，很明显，因数5的个数少于因数2的个数，只有8个，所以该算式结果末尾有8个连续的零．算式中有8个因数5〔其中25、50分别含有两个因数5〕，所以末尾有8个零．12. 大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，那么n的最小值是．【答案】15【分析】因为3n是5的倍数，所以n也是5的倍数，那么n是3和5的共同倍数，那么n最小为15．13. 小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖，3个水果糖．请问小高把糖分给了多少个朋友？【答案】4个、6个或12个【分析】简答：分出去了60个奶糖和72个水糖果，那么朋友们的个数应该是60和72的公约数，而且要比3大．所以只能是4个、6个或12个．14. 对四位数abcd，假设存在质数p和正整数k，使a×b×c×d=p k，且a+b+c+d=p p−5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。

数论-因数和倍数-因数的个数定理-5星题课程目标知识提要因数的个数定理•因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。

•因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数．精选例题因数的个数定理1. 1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【答案】6个【分析】1001的倍数可以表示为1001k，由于1001=7×11×13，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么1001k至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1),其中n⩾4．如果这个数恰有1001个约数，那么(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1)=1001=7×11×13,但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以n⩾4时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么1001k只有7，11，13这3个质因数．设1001k=7a×11b×13c，那么(a+1)(b+1)(c+1)=1001,a+1、b+1、c+1分别为7，11，13，共有3!=6种选择，每种选择对应一个1001k，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．2. 四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数成双双成有个因数．【答案】12【分析】双成成双共有3＋39＝42个因数，且有3个质因数，所以它的质因数分解形式为双成成双＝a×b2×c6,而双成成双＝双00双+成成0̅＝双×1001＋成×110＝11×(双×91＋成×10)所以三个质因数中有一个是11，所以双成成双＝a×b2×c6,至少是11×32×26＝6336,稍微大一点点就是11×52×26＝17600,已经是五位数了，所以双成成双＝6336，双＝6,成＝3所以成双双成＝3663＝32×11×37,有3×2×2＝12个因数．3. 两数乘积为2800，而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，那么这两个数分别是、．【答案】16、175【分析】先将2800分解质因数：2800=24×52×7，由于其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数．又是2800的因数，故这个数只能为22、24、52、22×52或24×52，另一个数相应地为22×52×7、52×7、24×7、22×7或7．经检验，只有两数分别为24和52×7时符合条件，所以这两个数分别是16和175．4. 能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为．【答案】27720【分析】1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11，因此这个自然数最少包含质因数2、3、5、7、11．1=11，2=21，3=31，4=22，5=51，6=2×3，7=71，8=23，9=32，10=2×5，11=111，所以这个自然数最小为23×32×51×71×111=277205. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且老实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．〞B说：“我的数是一个完全平方数．〞C说：“我的数第二小，恰有6个因数．〞D说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC三人手中的其中两个数是多少了．〞E说：“我的数是某人的数的3倍．〞那么这五个两位数之和是．【答案】180【分析】A的话可知，A的十位是1，又因为是质数，所以A有可能是13，17，19；C能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32；B是完全平方数，但不能含有1和2，所以B有可能是36，49，64；D能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A，且推得A为19，那么E为57最后根据D能知道ABC三人手中两个数，试验可知，BCD手中数分别为36，28，40综上所述，五个两位数之和是1806. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．7. 所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个因数？【答案】6【分析】设70的N倍恰有70个因数．70=2×5×7，有：(1+1)×(1+1)×(1+1)=23= 8，因为8不整除70，所以N内可能有2、5、7．假设有4个不同质因数，但70只能表示为2×5×7，所以N内必含2、5、7中几个，即70N=2a+1×5b+1×7c+1，(a+1+1)×(b+1+1)×(c+1+1)=70，a,b,c分别是0，3，5中一个．N为23×53，23×73，25×23，25×73，53×75，55×73，一共6组．8. 如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【答案】60和135．【分析】设整数n除掉因数1和n外，最小因数为a，可得最大因数为15a，那么n=a×15a=15a2=3×5×a2．那么3、5、a都为n的因数．因为a是n的除掉因数1外的最小因数，那么a⩽3．当a=2时，n=15×22=60；当a=3时，n=15×32=135．所以满足条件的整数n有60和135．9. 一个正整数，它的2倍的约数恰好比自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个，那么这个正整数为多少？【答案】12【分析】这个数只能含2和3的因子，因为如果它还有别的因子，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．设x=2a⋅3b，它的约数有(a+1)(b+1)个，它的2倍为2a+1⋅3b，它的约数有(a+1+1)(b+1)个．(a+1+1)(b+1)−(a+1)(b+1)=b+1=2，b=1同样的，它的3倍为2a⋅3b+1，它的约数为(a+1)(b+1+1)个，比原数多3个(a+1)(b+1+1)−(a+1)(b+1)=a+1=3，a=2，所以这个数的形式是22×3=12．10. 在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？【答案】7个【分析】由于9=1×9=3×3，根据因数个数公式，可知9个因数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中符合条件有22×52=100、22×72=196、22×112=484、22×132=676、32×52=225、32×72=441，所以符合条件的有7个．11. 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？【答案】16个【分析】6=1×6=2×3，故6只能表示为(5+1)或(1+1)×(2+1)，所以恰好有6个因数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：22×322×522×722×1122×1322×1722×1922×23⋯⋯8个32×232×532×732×11⋯⋯4个52×252×3⋯⋯2个72×2⋯⋯1个所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个．12. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2012倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】40220【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2012×n=22×503×n，其约数个数总大于(2+1)×(1+1)=6个，经试验当n=20时，那么x=24×5×503⇒n=5×2×2= 20成立因此x=2011×20=40220．13. 有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，⋯，3599，开始时头都朝东．第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，⋯，如此进行．那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【答案】东．【分析】要求编号为n的甲虫转动的次数实际上是要求n的因数的个数，先将3599分解质因数：3599=3600−1=602−12=59×61，所以3599只有(1+1)×(1+1)=4个因数，那么在1小时即3600秒内，第3599号甲虫共转动了4次，由于每次转90度，所以共转了360度，还是朝向原来的方向，所以1小时后，第3599号甲虫头朝东．14. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2011倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】16088【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2011×n，因为2011是质数，那么n的最小值的约数个数大概率为偶数，经试验当n=8时，那么x=2011×23⇒n=2×4=8成立因此x=2011×8=16088．15. 有一个自然数，它的个位是零，并且它有8个因数，这个数最小可能是多少？【答案】30【分析】因数个数定理：8=1×8=2×4=2×2×2，分解质因数后：a7、ab3、abc，因为这个自然数的个位是零，因此必有质因数2和5，因此可能是23×51或21×31×51，比拟可知最小的数是21×31×51=30．。

两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216，这两个数分别是多少？两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。

那么这些小朋友最多有多少人？一次考试，参加的学生中有七分之一得优，四分之一得良，三分之一得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100人，那么得差的学生有人。

有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。

已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点？因数与倍数（二）—约数倍数综合运用(10年希望杯五年级初赛第11题)夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走。

小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印。

那么这条小路长__ 米。

连续7个自然数的和既是5的倍数，也是9的倍数，那么这7个自然数中最大的一个数的最小值是_______。

在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．有两个自然数，它们的最大公因数是12，最小公倍数是180，并且两数不成倍数关系。

这两个数分别是( )A．36，60 B．12，180 C．12，150 D．36，1502．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，这两个数分别是( ) A．45，72 B．36，90 C．24，135 D．18，1803．鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端开始向另一端挖洞。

鼹鼠每隔3米挖一个洞，老鼠每隔5米挖一个洞，老鼠对鼹鼠说：“你挖完后，我再挖。

”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖( )个洞。

第十七讲数论综合之整除相关问题强化篇
【例1】
月月写了一个五位数，它能被9和11整除。

如果去掉第，1、3、5位，得到的数是35；如果去掉前三位，得到的数能被8整除；如果去掉后三位，得到的数能被7整除。

那么这个五位数是______。

【例2】
一个整数与12的和能整除该整数的平方，那么这个整数最大可能是______。

【例3】
有一类六位自然数，它们的前三位数组成的数与后三位数组成的数相同。

求在这类自然数中，能被4433整除的最大数。

【例4】(2009年“迎春杯”六年级初赛试题)
如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍。

那么，这个五位数的前两位的最大值是______。

【例5】
构造6个互不相同的整数，使得其中任意两个数的乘积能被其和整除。

《因数与倍数》说课稿7篇(因数与倍数(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如工作文档、教学教案、企业文案、求职面试、实习范文、法律文书、演讲发言、范文模板、作文大全、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!And, our store provides various types of practical materials for everyone, such as work summaries, work plans, experiences, job reports, work reports, resignation reports, contract templates, speeches, lesson plans, other materials, etc. If you want to learn about different data formats and writing methods, please pay attention!《因数与倍数》说课稿7篇(因数与倍数《因数与倍数》说课稿1开场白：尊敬的各位评委老师，大家上午好！我是面试小学数学教师的8号考生，今天我说课题目是《倍数与因数》，下面我将从说教材、学情、教法学法、教学过程、板书设计这几个方面进行，下面开始我的说课。

第十三讲倍数与因数知识导航如果a=b×c，（a,b,c都是非零自然数），那么，我们就说a是b和c的倍数，b和c是a 的因数。

(1)如果要找出一个非0自然数a的全部因数，可以将a写成b×c的形式，通过一一列举就可以找出来。

如12=1×12=2×6=3×4，所以12的因数有1,2,3,4,6,12;一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

(2)如果要找出一个非0自然数a的所有倍数，可以将这个数依次乘1、乘2、乘3,……如:7的倍数有7×1=7,7×2=14,7×3=21,……，则7,14,21,……都是7的倍数。

一个数的倍数的个数有无限个，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

任何非0自然数的因数都有1,1是任何非0自然数的因数。

(3)几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

最大公因数用()表示。

如8和12的最大公因数是4，记作((8,12)=4，读作8和12的最大公因数是4。

(4)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

最小公倍数用[]表示。

如8和12的最小公倍数是24，记作[8,12]=24，读作8和12的最小公倍数是24.(5)两个数的最大公因数乘这两个数的最小公倍数，等于这两个数的乘积。

(a,b)×[a,b]=a×b，如:(8,12)×[8,12]=4×24=96(6)求几个数的最大公因数或者最小公倍数，我们可以用列举法，也可以用短除法。

精典例题例1:求出10，25，36，42,49的全部因数，你发现了什么？[分析]因数用除法或乘法来找。

如：10÷2=5，或2×5=10。

10的因数：1，2，5，10。

25的因数：1，5，25。

36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。

因数和倍数的教案（推荐13篇）因数和倍数的教案第1篇教学内容：人教版小学数学五年级下册第二单元第5第6页《因数与倍数》教材分析：整除概念是贯穿这部分教材的一条主线。

签于学生在前面已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识基础，对整除的含义已经有了比较清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其他概念产生任何影响。

因此，教材中删去了“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式a×b=c 直接引出因数和倍数的概念。

学情分析：因数和倍数是最基本的两个概念，理解了因数和倍数的含义，对于一个数的因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的等结论自然也就掌握了，对于后面的奇数、偶数、质数、合数等概念的理解也是水到渠成。

要引导学生用联系的观点去掌握这些知识，而不是机械地记忆一堆支离破碎、毫无关联的概念和结论。

数论本身就是研究整数性质的一门学科，有时不太容易与具体情境结合起来，而学生到了五年级，抽象能力已经有了进一步发展，有意识地培养他们的抽象概括能力也是很有必要的，如让学生通过几个特殊的例子，自行总结出任何一个数的倍数个数都是无限的，逐步形成从特殊到一般的归纳推理能力，等等。

教学目标：1.学生掌握找一个数的因数，倍数的方法。

2.学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的；能熟练地找一个数的因数和倍数。

3.培养学生的观察能力。

教学重点：掌握找一个数的因数和倍数的方法。

教学难点：能熟练地找一个数的因数和倍数。

教学准备：多媒体课件教学过程：一、自主探索1、出示书上主题图,学生列出乘法算式2×6=12，在这里,2和6是12的因数。

12是2的倍数，也是6的倍数。

（教师板书因数，倍数）2、出示书中主题图，学生列出乘法算式。

3×4=12，能试着说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？学生口答，巩固因数和倍数的含义？3、两个数在什么情况下才能说是因数和倍数关系？能不能说3是因数，12是倍数？为什么？学生发表自己的见解。

五年级奥数.数论.因数与倍数（A级答案因数与倍数课前预习因数与倍数⼀天，因数和倍数⾛到了⼀起。

倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？”“我为什么要拜你，你算⽼⼏呀？”因数⽓愤地回答。

“我是⽼⼤呀。

”“你是⽼⼤？为什么”“你说，⼀个数的倍数有多少个呀？”“这我知道，⼀个数的倍数有⽆数个。

”只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，⼀个数的因数的个数就那么可怜的⼏个。

⽽⼀个数的倍数有⽆数个.你的家庭成员这么少，⽽我的家庭是这样的庞⼤。

你说，你不应该拜我吗？”“是的，你的家庭是庞⼤的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞⼤，你知道你是⽼⼏吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们⾃⼰的位置。

再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成⽴吗？”因数理直⽓壮地回答。

只见倍数挠着⽿朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。

刚才是我不对，我向你道歉了。

”“没有关系，没有关系，你知道⾃⼰错了就好。

在⾃然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。

没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们⼜是谁的倍数呢？让我们共同携⼿，紧密团结在⼀起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。

因数和倍数两位好伙伴的⼿紧紧地握在了⼀起。

⼀、约数的概念与最⼤公约数0被排除在约数与倍数之外1．求最⼤公约数的⽅法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=?=；③辗转相除法：每⼀次都⽤除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最⼤公约数．⽤辗转相除法求两个数的最⼤公约数的步骤如下：先⽤⼩的⼀个数除⼤的⼀个数，得第⼀个余数；再⽤第⼀个余数除⼩的⼀个数，得第⼆个余数；⼜⽤第⼆个余数除第⼀个余数，得第三个余数；这样逐次⽤后⼀个余数去除前⼀个余数，直到余数是0为⽌．那么，最后⼀个除数就是所求的最⼤公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最⼤公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最⼤公约数是15．2．最⼤公约数的性质①⼏个数都除以它们的最⼤公约数，所得的⼏个商是互质数；②⼏个数的公约数，都是这⼏个数的最⼤公约数的约数；③⼏个数都乘以⼀个⾃然数n ，所得的积的最⼤公约数等于这⼏个数的最⼤公约数乘以n ．3．求⼀组分数的最⼤公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最⼩公倍数a ；求出各个分数的分⼦的最⼤公约数b ；b a即为所求．⼆、倍数的概念与最⼩公倍数1. 求最⼩公倍数的⽅法①分解质因数的⽅法；例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772==；②短除法求最⼩公倍数；例如：2181239632，所以[]18,12233236==；知识框架③[,](,)a b a b a b ?=． 2. 最⼩公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最⼩公倍数的倍数．②两个互质的数的最⼩公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最⼤公约数是其中较⼩的数，最⼩公倍数是较⼤的数．3. 求⼀组分数的最⼩公倍数⽅法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分⼦的最⼩公倍数a ；求出各个分数分母的最⼤公约数b ；b a即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最⼤公约数不能是整数，最⼩公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3??== 三、最⼤公约数与最⼩公倍数的常⽤性质1．两个⾃然数分别除以它们的最⼤公约数，所得的商互质。

因数与倍数之综合应用【例 1】(北京市第十届“迎春杯”刊赛试题)筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个一个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有种不同的拿法。

【巩固】筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？【例 2】现有三个正整数，它们的和是1111，这样的三个正整数的公约数中，最大的可以是多少？【巩固】9个非零自然数的和是848，它们的最大公约数的最大值是多少？【例 3】恰有8个约数的两位数有个。

【巩固】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？【例 4】一个数的平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【巩固】一个数的立方有28个约数，求这个数的约数个数可能是几？【例 5】把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的九位数，则所有这些九位数的最大公约数为。

【巩固】把1，2，3，4，5，6这六个数依不同的次序排列，可以得到720个不同的六位数，则所有这些六位数的最大公约数为。

【例 6】有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，…，3599，开始时头都朝东。

第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，…，如此进行。

那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【巩固】200名同学编为1至200号面向南站成一排。

第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西）；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；…；第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有名。

〖答案〗【例 1】10【巩固】16【例 2】101【巩固】53【例 3】10【巩固】16【例 4】20或14【巩固】10或6【例 5】9 【巩固】3 【例 6】头朝东【巩固】8。

数论-因数和倍数-倍数-3星题课程目标知识提要倍数•定义对于整数a和b，如果a∣b，我们就称b是a的倍数。

精选例题倍数1. 橘子、苹果、梨共有六箱，这六箱水果的重量分别为15、16、18、19、20、31千克，其中苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱．这箱橘子重千克．【答案】20【分析】因题目中提到“苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱〞，这说明除去橘子后，剩下的水果重量恰好等于苹果重量的3倍，也就是说重量是3的倍数．而事实上，在15、16、18、19、20、31这六个数中，只有除去20后剩下的五个数之和恰好是3的倍数，所以这箱橘子重20千克．2. 一只小蜜蜂发现了一处蜜源，它立刻回巢招来10个同伴，可还是采不完．于是，每只蜜蜂回去分头各找来10只蜜蜂，大家再接着干，还是剩下很多蜜没有采．于是，蜜蜂们又回去叫同伴，每只蜜蜂又叫来10个同伴，但仍然采不完．蜜蜂们再回去，每只蜜蜂又叫来10个同伴．这一次，终于把这一片蜜源采完了．你来算一算采这块蜜源的蜜蜂一共有只．【答案】14641【分析】每只小蜜蜂每次都叫来10只蜜蜂，所以每次新叫来的蜜蜂是原来蜜蜂数目的10倍，即每叫一次，蜜蜂数目变为原来的11倍，共叫了4次．现在的蜜蜂共有1×11×11×11×11=14641〔只〕．3. 自然数1，2，⋯，50中，是3的倍数，但不是2的倍数的数有个．【答案】8【分析】3的倍数有50÷3=16⋯2．16÷2=8(个)．3、9、15、21、27、33、39、454. 将1从开始到100的连续的自然数相乘，得到1×2×3×4×⋯⋯×99×100．记为100！〔读作100的阶乘〕．用3除100！，显然，100！被3整除，得到一个商：再用3除这个商，⋯⋯，这样一直用3除下去，直到所得的商不能被3整除为止，那么，在这个过程中用3整除了次．【答案】48【分析】从1到100里，3的倍数有3、6、9、⋯⋯、99〔根据等差数列〕共33个；其中9=3×3，9的倍数有9、18、27、⋯⋯、99，共11个；27=3×3×3，27的倍数有27、54、81，共有3个；81=3×3×3×3，1个；所以，在这个过程中用3整除了33+11+3+1=48(次).5. 有n个自然数相加：1+2+⋯+n=aaa，那么a=．【答案】36【分析】1+2+3+⋯+n=(1+n)n÷2=111a，(1+n)n=2×3×37×a，a取1～9．n 和n+1中有一个是37的倍数，如果n=37k，那么37k2+k=6a⩽54，所以k=1，此时a不是整数．只有n+1=37k，那么37k2−k=6a，同样地k只能能取1，此时a=6．所以n= 36．6. x，y是大于0的自然数，且x+y=150，假设x是3的倍数，y是5的倍数，那么(x,y)的不同取值有对．【答案】9【分析】由题意得，x，y为3和5的公倍数才符合要求，公倍数有15、30、45、60、75、90、105、120、135，那么共有9对不同取值．7. 一个四位数2abc扩大3倍后，变成了abc8，这个四位数是．【答案】2856【分析】根据题意，c×3的个位数字是8，知道c=6，b×3的个位数字是6−1=5，所以b= 5，a×3的个位数字是5−1=4，所以a=8，因此这个四位数是2856．8. 将1至8填入方格中，使得数列□□,9,□□,□□,□□从第三个项开始，每一项都等于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是．【答案】198【分析】第三个数比第一个数多9，第四个数比第三个数多9；假设第一个数除以9余a，那么第三个数和第四个数也余a，第五个数那么余2a，五个数总和除以9余4a；而由于1+2+3++9=45是9的倍数，易知a=0，即这五个数都是9的倍数；假设设第一个数为18，那么这五个数分别为18，9，27，36，63；6出现两次不符合要求；假设设第一个数为27，那么这五个数分别为27，9，36，45，81；符合要求．所有项之和为27+9+36+45+81=1989. 某个三位数ABC与它的反序数CBA相乘，所得乘积的3倍是2010的倍数，那么ABC×CBA×3÷2010=．【答案】508【分析】ABC、CBA两数中必一个数是67的倍数，也必有一个数是5的倍数，如果不妨设ABC 是67的倍数．情形一ABC是5的倍数，那么只能等于335，335×533×3并不是2010的倍数．情形二：ABC不是5的倍数，那么CBA是5的倍数且ABC是2的倍数．故ABC是134的倍数，且A=5．所以ABC=134×4=536．10. 有8只盒子，每只盒内放有同一种笔．8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，铅笔支数是钢笔支数的3倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有支．【答案】49【分析】铅笔数是钢笔数的3倍，圆珠笔数是钢笔数的2倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的3+2+1=6(倍)．17+23+33+36+38+42+49+51=289，除以6余1，所以水彩笔的支数除以6余1，在上述8盒的支数中，只有49除以6余1，因此水彩笔共有49支．11. 给定一个除数〔不为0〕与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足被除数=除数×商+余数其中，0⩽余数<除数。

第十九讲数论在方程、计数、最值、行程等问题中的应用强化【例1】
一个圆的周长为60厘米，三个点把这个圆圈分成三等分，3只甲虫A、B、C按顺时针方向分别在这三个点上，它们同时按逆时针方向沿着圆圈爬行，A的速度为每秒5厘米，B 的速度为每秒1.5厘米，C的速度为每秒2.5厘米。

问3只甲虫爬出多长时间后第一次到达同一位置。

【例2】证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【例3】
在下面的□中填入数字，使等式成立(注：每个□内只允许填0，1，2，…，9中的一个数字，允许重复)□□×□＋□=101，那么满足以上要求的等式可以填出______个。

【例4】各位数字均不大于5，且能被99整除的4位数，共有多少个？
1。

数的整除之四大判断法综合运用数的整除之四大判断法2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推5系列: 被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75被125整除只需看末三位能否被125整除，即只可能是000，125，250…3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除判断7、11、13整除特征的方法⑴如果该数是1001的倍数，则必然能被7、11、13整除；⑵末三位一段，用前面的数减去末三位或末三位减去前面的数，如果差是7或11或13的倍数，这个数也能被7或11或13整除；⑶从末三位开始，三位为一段，如果奇数段数之和与偶数段数之和的差能被7或11或13整除，则该数也能被7或11或13整除。

特殊的11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。

【例1】要使26ABCD6能被36整除，A、B、C、D表示四个不同的自然数，而且所得的商最小，那么A、B、C、D分别是多少？【巩固】要使26ABCD6能被36整除，A、B、C、D表示四个不同的自然数，而且所得的商最大，那么A、B、C、D分别是多少？【例2】小强叔叔给45名工人发完工资后，把总钱数写在一张纸上，可是由于他吸烟不小心，火星落在纸上，把这笔帐的总数烧去两个数字，67□8□，小强叔叔记得每名工人的工资都一样，而且都是整数元，那么这每名工人的工资可能是多少呢？【巩固】五位数3□07□能同时被11和25整除，那么这个五位数是多少？【例3】求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除。

【巩固】在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？【例4】⑴一个多位数(两位及两位以上)，并且含有数字0，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？⑵一个多位数(两位及两位以上)，它的各位数字互不相同，并且含有数字0，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？【巩固】一个多位数，它的各个数位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？【例5】20082008…200808能被99整除，那么，n的最小值为多少？n个2008【巩固】(全国小学数学奥林匹克)如果20052005…200501能被11整除，那么n的最小值是。

《因数和倍数》说课稿《因数和倍数》说课稿「篇一」教学目标:1．通过动手操作和写不同的乘法算式，认识倍数和因数。

2．依据倍数和因数的含义和已有的乘除法知识，自主探索并总结找一个数的倍数和因数的方法。

3．在探索中，培养学生抽象，概括的能力，渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义的观点。

教学重点、难点分析：由于学生对辨析、理清除尽和整除的关系、整除的两种读法等易混淆的概念，使学生明确了一个数是否是另一个数的倍数或因数时，必须是以整除为前提，因数和倍数是相互依存的概念，不能独立存在。

所以本节课的教学我把重点定位于理解因数和倍数的含义。

教学难点是自主探索并总结找一个数的倍数和因数的方法。

教学课时：人教版五年级下册第二单元《因数与倍数》第一课时教具学具准备:1．学生每人准备12个大小完全相同的小正方形,一张写有自己学号的卡片。

2．教师准备多媒体课件。

一、创设情景，明确探究目标师：人与人之间存在着许多种关系，我和你们的关系是？生：师生关系。

师：对，我是你们的老师，你们是我的学生，我们的关系是师生关系。

在数学中，数与数之间也存在着多种关系，这一节课，我们一起探讨两数之间的因数与倍数关系。

（板书课题：因数与倍数）1．操作激活。

师：我们已经认识了哪几类数？生：自然数，小数，分数。

师：现在我们来研究自然数中数与数之间的关系。

请你们用12个小正方形摆成不同的长方形，并根据摆成的不同情况写出乘、除算式。

2．全班交流。

1×12=12 2×6=12 3×4=1212×1=12 6×2=12 4×3=1212÷1=12 12÷2=6 12÷3=412÷12=1 12÷6=2 12÷4=3师：在这3组乘、除法算式中，都有什么共同点？生汇报。

师：（指着第②组）像这样的乘、除法式子中的三个数之间的关系还有一种说法，你们想知道吗？请看课本p12。

竞赛题型（因数与倍数)————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:ﻩ五下数学竞赛复习题库班级姓名得分系列一:因数与倍数(1）1、48名同学进行体操表演，表演时排成长方形队形，每行每列的人数不得少于3人,有几种排法？每种排法的每行每列各是多少人?2、一张2０12圣殿杯英超足球挑战赛门票的价格既是３的倍数，又是11的倍数。

如果这张门票的价格在３0~50英镑，这张门票的价钱是多少？3、把１8个苹果平均分成若干份,每份大于1个,小于18个。

一共有多少种不同的分法？4、填一填。

合数分解质因数因数个数96 96＝25×31（5＋1)×(1+１）=1236 36=22×３2144 １44=２４3２5、有15张卡片，其中５张上面写着数字4,5张上面写着数字8,5张上面写着数字6．你能否从中选出几张卡片,使上面的数字的和是39?为什么?6、在２012年伦敦奥运会上,有5名中国男子篮球队队员的球衣号码是连续的自然数，这5个自然数的和是65.这5名队员的球衣号码分别是多少?7、写出1０0以内（包括10０)同时是2和5的倍数的数，再算出这些数的和是多少?五下数学竞赛复习题库班级姓名得分系列一：因数与倍数(2）1、数列1,1,2,3，5,8，13,21,……的第50０个数是奇数还是偶数？2、一个杯子杯口朝上放在桌上，翻动1次后杯口朝下。

翻动２次后杯口朝上。

翻动10次和19次后，杯口分别朝哪个方向？3、奇数与偶数的和是奇数,奇数与奇数的和是偶数,那么奇数与偶数的积是奇数还是偶数？举例说明？4、金星小学的五年级同学在2013年６月５日世界环境日这天到社区捡白色垃圾，他们每3人分成一组,现在一共有２８人,至少再来几人才能正好分成整组?5、在6８5后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别是2、3、5的倍数,符合条件的最小六位数是多少?（1）补上数字后的六位数用６85abc表示。

2020—2021六年级上学期专项冲刺卷（沪教版）第1章数的整除（强化篇）姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：150分）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．要把一个奇数变成偶数，下列说法中错误的是（）A．加上1 B．减去1 C．乘以2 D．除以2【答案】D【分析】根据奇数和偶数的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A、一个奇数加上1可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；B、一个奇数减去1可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；C、一个奇数乘以2可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；D、奇数不能被2整除，所以一个奇数除以2不能变成偶数，故本选项说法错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了奇数和偶数的定义，属于基础概念题型，熟知二者的概念是关键．2．2014个连续自然数的和是（）．A．奇数B．偶数C．可能是奇数，也可能是偶数【答案】A【分析】根据题意可得，先求出2014个连续自然数中分别有奇数和偶数多少个，奇数个奇数的和，一定是奇数，奇数个偶数的和，一定是偶数，奇数与偶数相加还是奇数，据此分析．【详解】2014÷2＝1007，即任意2014个连续自然数中，奇数和偶数各有1007个，1007个偶数的和＋1007个奇数的和＝偶数＋奇数＝奇数，所以任意2014个连续自然数的和是奇数．故答案为：A【点睛】2的倍数叫偶数，不是2的倍数叫奇数，关键是明白奇数和偶数的运算性质．3．当m 为非0自然数时，2m ＋1一定是（ ）．A ．奇数B ．偶数C ．合数D ．质数【答案】A【分析】任何数与偶数相乘的积都是偶数，偶数＋奇数＝奇数，由此判断即可．【详解】当m 为非0自然数时，2m 一定是偶数，2m ＋1一定是奇数．故答案为：A ．【点睛】本题主要考查用字母表示数和奇数、偶数的意义及其用运算性质，解题时要明确偶数＋奇数＝奇数．4．下列各组数中不互素的是（ ）A ．4和1B ．4和6C ．4和5D ．4和9 【答案】B【分析】根据互素数的意义可以得到正确答案．【详解】解：若两个或两个以上数的公因数只有1，那么这些数就称为互素数，在题中四个选项中，B 选项的两个数的公因数除了1外还有2，其它选项的两个数的公因数只有1一个数，所以根据互素数的定义，B 为正确选项 ．故选B ．【点睛】本题考查互素，根据互素数的意义准确判断两个或两个以上的数是否为互素数是解题关键． 5．把合数126分解素因数，正确的是（ ）A ．12623371=⨯⨯⨯⨯B ．126367=⨯⨯C ．1262337=⨯⨯⨯D ．2337126⨯⨯⨯= 【答案】C【分析】根据素因数的概念和合数分解素因数的方法即可解答．【详解】因为1即不是素因数也不是合数，所以126=2×3×3×7，故选：C．【点睛】本题考查合数分解素因数，熟知素因数的概念，熟练掌握合数分解素因数的方法是解答的关键．6．20以内的素数中，减去2仍然是素数的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【分析】根据素数的概念和20以内的素数解答即可．【详解】解：20以内的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19，减去2仍是素数的有：5、7、13、19，共4个，故选：B．【点睛】本题考查素数的概念，熟练掌握素数的概念，熟知20以内的素数是解答的关键．二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）7．最小的正整数是_______，最小的素数是_______，最小的合数是______．【答案】1 2 4【分析】根据数的分类、素数、合数的定义进行解答．【详解】最小的正整数是1，2是最小的素数，4是最小的合数；故填：1，2，4．【点睛】本题考查素数与合数，素数实际上就是质数，常见的素数2、3、5、7、11、13、17、19等．8．最小的自然数是__________，小于3的自然数是____________．【答案】0 0、1、2【分析】根据自然数的意义（0和正整数）即可解答．【详解】根据自然数的意义，最小的自然数是0，小于3的自然数是0、1、2，故答案为：0；0、1、2．【点睛】本题考查了自然数的意义，理解自然数的意义，知道自然数包括0和正整数是解答的关键．9．数274至少加上____________能同时被2，5整除．【答案】6【分析】2和5互质，其最小公倍是2×5=10，一个数能同时被2与5整除，则这个数也能被10整除，能被10整除的数的末位数一定是0，则274加上一个数后最近的整十数是280，280－274=6．即274至少加上6，所得的和能同时被2和5整除．【详解】解：2×5=10，一个数能同时被2与5整除，则这个数也能被10整除，274加上一个数后最近的整十数是280，所以280－274=6．故答案为：6．【点睛】首先由题意得出个数能同时被2与5整除，则这个数也能被2与5的最小公部数10整除是完成本题的关键．10．若四位数□36□能同时被2和5整除，则这个四位数最大是___________．【答案】9360【分析】同时被2和5整除，则这个数的个位数只能是0，而最高位上时9时最大，据此解答即可；【详解】若四位数□36□能同时被2和5整除，则这个四位数最大是：9360；故答案是：9360．【点睛】本题主要考查了有理数的除法，准确理解是解题的关键．11．233A =⨯⨯，27B =⨯，则A 和B 的最小公倍数是________．【答案】126【分析】由题意得A 与B 共有的素因数为2，A 独有的素因数为3、3，B 独有的素因数为7，然后可直接进行求解最小公倍数．【详解】由233A =⨯⨯，27B =⨯，可得：A 与B 共有的素因数为2，A 独有的素因数为3、3，B 独有的素因数为7，故A 和B 的最小公倍数为2337=126⨯⨯⨯；故答案为126．【点睛】本题主要考查最小公倍数，熟练掌握最小公倍数的求法是解题的关键．12．在正整数2到10中，既是合数又是互素数的两个数是______；既是奇数又是互素数的两个数是______．【答案】4和9（或8和9） 5和9（或7和9或5和7或3和5或3 和7）【分析】首先把正整数2到10的合数与奇数分别找出来，再根据互素数的定义进行判断．【详解】解：∵正整数2到10的合数有：4、6、8、9；正整数2到10的奇数有：3、5、7、9∴在正整数2到10中，既是合数又是互素数的两个数是：4、9或8、9；既是奇数又是互素数的两个数是：3、5或3、7或5、7或5、9或7、9．故答案为4、9或8、9；3、5或3、7或5、7或5、9或7、9．【点睛】本题考查合数、奇数与互素数的综合应用，熟练掌握合数、奇数与互素数的定义是解题关键． 13．个位上是______的整数，一定能被2整除．【答案】0，2，4，6，8【分析】由能被2整除的数的特点：这样的数是偶数，从而可得答案．【详解】解：个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除．故答案为：0,2,4,6,8．【点睛】本题考查的是能被2整除的数，即偶数的特点，掌握以上知识是解题的关键．14．写出一个比13大但比12小的最简分数：______．【答案】512（答案不唯一）【分析】分母2和3的公倍数有6，12，18…，依据分数基本性质，分别把13和12化为分母是6，12，18…的分数，找出一个大于13小于12的最简分数即可．【详解】解：解：114433412⨯==⨯，116622612⨯==⨯，因为456 121212<<，所以151 3122 <<，故答案为：512（答案不唯一）【点睛】本题考查学生依据分数的基本性质通分，掌握分数的基本性质是解题的关键．15．最小的合数一定是最小素数的________倍．【答案】2【分析】分别算出最小合数和最小素数，即可得到解答．【详解】解：∵最小的合数是4，最小素数是2，∴最小的合数一定是最小素数的2倍，故答案为2．【点睛】本题考查合数和素数的知识，在正确理解合数和素数概念的基础上算出最小合数和最小素数是解题关键．16．若a=18，则a的素因数是______________，a的因数是____________________【答案】2，3，3 1，18，2，9，3，6【分析】因为a=18，所以直接根据素因数及因数得概念可得答案．【详解】根据“素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素因数都是这个合数的素因数。

数论-因数和倍数-因数的个数定理-4星题课程目标知识提要因数的个数定理•因数的个数定理因数的个数等于不同质因数的指数分别加1后再相乘的积。

•因数个数性质当因数个数为奇数的时候，这个数一定是完全平方数．精选例题因数的个数定理1. A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A,B]＝1728，那么B=．【答案】108【分析】1728=26×33，所以A、B质因数只能有2和3，又由于A有7个因数，而7是一个质数，所以A分解质因数的形式只能有A=26，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，得k=2所以B=22×33=108．2. 整除2015的数称为2015的因数，1和2015显然整除2015，称为2015的平凡因数，除了平凡因数，2015还有一些非平凡因数，那么，2015的所有非平凡因数之和为．【答案】672【分析】〔解法一〕2015=5×13×312015所有的约数和为(50+51)×(130+131)×(310+311)=6×14×32=26882015的所有非平凡因数之和为2688−1−2015=672〔解法二〕由于该数比拟小，可以直接写出2015的所有约数2015=1×2015=5×403=13×155=31×652015的所有非平凡因数之和为5+403+13+155+31+65=6723. 有一列数，第1个是1，从第2个数起，每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这些数相乘，那么在计算结果的末尾中有个连续的零．【答案】9【分析】这一列数为1，4，7，⋯，100，要求他们相乘的积中0的个数，找到因数2和5的个数即可，又因为因数2的个数远多于5的个数，所以找到5的个数即为积中末尾0的个数，5的倍数有10，25，40，55，70，85，100共9个5，所以有9个0．4. 60的不同约数〔1除外〕的个数是．【答案】11【分析】60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10.60的约数〔1除外〕有：2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共11个．5. 数学小组原方案将72个苹果发给学生，每人发的苹果数量一样多，后来又有6人参加小组，这样每个学生比原方案少发了1个苹果．那么，原来有名学生．【答案】18【分析】前后两次每人分到的苹果数量相差1，且都是72的因数，72的相差1的因数对有(1,2)、(2,3)、(3,4)和(8,9)，经试因数对(3,4)符合要求：前后人数分别为72÷4=18(人)和72÷3=24(人).6. 自然数甲有10个约数，那么甲的10倍的约数个数可能是．【答案】40、22、18、30或24【分析】详解：甲含有约数2、5的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，得约数个数有五种可能：40、22、18、30和24．例如：29、24×5、24×7、2×74、79的10倍分别有22、18、24、30、40个约数．7. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且老实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．〞B说：“我的数是一个完全平方数．〞C说：“我的数第二小，恰有6个因数．〞D说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC三人手中的其中两个数是多少了．〞E说：“我的数是某人的数的3倍．〞那么这五个两位数之和是．【答案】180【分析】A的话可知，A的十位是1，又因为是质数，所以A有可能是13，17，19；C能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32；B是完全平方数，但不能含有1和2，所以B有可能是36，49，64；D能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A，且推得A为19，那么E为57最后根据D能知道ABC三人手中两个数，试验可知，BCD手中数分别为36，28，40综上所述，五个两位数之和是1808. 能被210整除且恰有210个约数的数有个．【答案】24个【分析】210=2×3×5×7，所以原数肯定含有2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是1，2，4，6，可以任意排列，所以有4!=24个9. 所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个因数？【答案】6【分析】设70的N倍恰有70个因数．70=2×5×7，有：(1+1)×(1+1)×(1+1)=23= 8，因为8不整除70，所以N内可能有2、5、7．假设有4个不同质因数，但70只能表示为2×5×7，所以N内必含2、5、7中几个，即70N=2a+1×5b+1×7c+1，(a+1+1)×(b+1+1)×(c+1+1)=70，a,b,c分别是0，3，5中一个．N为23×53，23×73，25×23，25×73，53×75，55×73，一共6组．10. [A]表示自然数A的约数的个数．例如4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：([18]+[22])÷[7]=．【答案】5【分析】因为18=2×32，有约数个为(1+1)×(2+1)=6(个),所以[18]=6，同样可知[22]=4，[7]=2．原式=(6+4)÷2=5.11. 两数乘积为2800，而且己知其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，那么这两个数分别是、．【答案】16、175【分析】先将2800分解质因数：2800=24×52×7，由于其中一数的因数个数比另一数的因数个数多1，所以这两个数中有一个数的因数为奇数个，这个数必为完全平方数．又是2800的因数，故这个数只能为22、24、52、22×52或24×52，另一个数相应地为22×52×7、52×7、24×7、22×7或7．经检验，只有两数分别为24和52×7时符合条件，所以这两个数分别是16和175．12. 算式1×8×15×22×⋯×2010的乘积末尾有个连续的0．【答案】72【分析】详解：乘数15、50、85、⋯、2010中含有因数5，都除以5得到3、10、17、⋯、402；其中10、45、⋯、395还含有因数5，都除以5，得到2、9、16、⋯、79．其中30、65里还含有因数5．我们第一次除掉了2010−1535+1=58个5，第二次除掉了395−1035+1=12个5，最后还剩下两个因数5．说明1×8×15×22×⋯×2010含有58+12+2=72个约数5，由于其中含有的约数2是足够多的，因而的0的个数就等于约数5的个数，是72个．13. 1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．【答案】6个【分析】1001的倍数可以表示为1001k，由于1001=7×11×13，如果k有不同于7，11，13的质因数，那么1001k至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1),其中n⩾4．如果这个数恰有1001个约数，那么(a1+1)(a2+1)(a3+1)(a4+1)⋯(a n+1)=1001=7×11×13,但是1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以n⩾4时不合题意，即k不能有不同于7，11，13的质因数．那么1001k只有7，11，13这3个质因数．设1001k=7a×11b×13c，那么(a+1)(b+1)(c+1)=1001,a+1、b+1、c+1分别为7，11，13，共有3!=6种选择，每种选择对应一个1001k，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．14. 四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数成双双成有个因数．【答案】12【分析】双成成双共有3＋39＝42个因数，且有3个质因数，所以它的质因数分解形式为双成成双＝a×b2×c6,而双成成双＝双00双+成成0̅＝双×1001＋成×110＝11×(双×91＋成×10)所以三个质因数中有一个是11，所以双成成双＝a×b2×c6,至少是11×32×26＝6336,稍微大一点点就是11×52×26＝17600,已经是五位数了，所以双成成双＝6336，双＝6,成＝3所以成双双成＝3663＝32×11×37,有3×2×2＝12个因数．15. 2010的全部约数有个，这些约数的和数是．【答案】16；4896【分析】详解：2010=2×3×5×67，约数有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，约数之和是(1+2)×(1+3)×(1+5)×(1+67)=4896．16. 自然数N有20个正约数，N的最小值为．【答案】240【分析】先将20写成几个数相乘的形式，再写成几个和的积的形式，最后利用约数个数的公式解题：①20=20×1=19+1，N的最小值为：219=524288，②20=2×10=(9+1)×(1+1)，N的最小值为：29×3=1536，③20=4×5=(4+1)×(3+1)，N的最小值为：24×33=432，④20=2×2×5=(4+1)×(1+1)×(1+1)，N的最小值为：24×31×51=240．17. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．18. S=19+199+1999+⋯+199⋯9⏟10000个9那么S的小数点后第2016位是．【答案】6【分析】首先，1 99⋯9⏟n个9=0.0⋅0⋯0⏟n−1个01⋅即小数点后第n，2n，3n，…位都是1，其它为都是0所以当n是2016的因数时，199⋯9⏟n个9化成小数后，小数点后第2016位是1，其余情况小数点后第2016位是0.2016=25×32×7,有36个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有36个1相加，这一位的数字是6，下面考虑进位，因为2017是质数，所以2017位上只有2个1相加，单独不构成进位，而2018=1009×2，有4个因数，本身也缺乏以向第2018位进位，显然2019位即以后都缺乏以进位到2016为，所以第2016位是6【解】19. 自然数N有45个正约数，N的最小值为．【答案】3600【分析】正约数个数的求法：分解质因数后，每个指数加1的连乘积45=3×3×5，容易知道，指数比拟小，原数比拟小．质因子比拟小，原数比拟小，因此原数最小是24×32×52=3600．20. 一个自然数有10个不同的因数〔即约数，指能够整除它的自然数〕，但质因数〔即为质数的因数〕只有2与3．那么，这个自然数是．【答案】162或48【分析】设这个数为2a×3b〔a、b均为正整数〕，由题意可知(a+1)×(b+1)=10=2×5所以a=1,b=4或a=4,b=1所以这个自然数是21×34=162或24×31=4821. 从2016的因数中选出不同的假设干个数写成一圈，要求相邻位置的两个因数互质，那么最多可以写出个因数．【答案】12【分析】2016=25×32×7,所以2016的奇因数有(2++1)×(1+1)=6个2016的偶因数有5×(2++1)×(1+1)=30个.假设排列最多的可能一定是“奇偶奇偶……〞，所以最多一圈有12个；假设有13〔或以上〕个因数，那么必有两偶数相邻，构造12个数的情况：1,2,3,14,9,4,7,8,21,16,63,32圈成一圈．22. 恰好有12个不同因数的最小的自然数为．【答案】60【分析】12=12×1=6×2=4×3=3×2×2所以，有12个因数的数对应的质因数分解形式分别是：A11，A5×B，A3×B2，A2×B×C，这四种形式下的最小自然数分别是：2048，96，72，60，所以符合要求的数是60．23. 能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为．【答案】27720【分析】1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11，因此这个自然数最少包含质因数2、3、5、7、11．1=11，2=21，3=31，4=22，5=51，6=2×3，7=71，8=23，9=32，10=2×5，11=111，所以这个自然数最小为23×32×51×71×111=27720，那么符合条件的A最小是．24. 一个正整数除以3!后所得结果中因数个数变为原来因数个数的13【答案】12【分析】设A=2x×3y×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,那么B=A÷3!=2x−1×3y−1×p1a1×p2a2×p3a3×⋯⋯×p n a n,那么(x+1)(y+1)(a1+1)(a2+1)⋯⋯(a n+1)=3[xy(a1+1)(a2+1)(a n+1)],即(x+1)(y+1)=3xyxy都取1不满足此式，所以取x=2，y=1，a1=a2=⋯=a n=0得到最小值1225. A和B是两个非零自然数，A是B的24倍，A的因数个数是B的4倍，那么A与B的和最小是．【答案】100【分析】{B=2A=48=24×3B的因数个数为2，A的因数个数为5×2=10不符合要求；{B=3A=72=23×32B的因数个数为2，A的因数个数为4×3=12不符合要求；{B=4=22A=96=25×3B的因数个数为3，A的因数个数为6×2=12,符合要求；可见A+B的最小值为4+96=10026. 在三位数中，恰好有9个因数的数有多少个？【答案】7个【分析】由于9=1×9=3×3，根据因数个数公式，可知9个因数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有28=256符合条件，后者中符合条件有22×52=100、22×72=196、22×112=484、22×132=676、32×52=225、32×72=441，所以符合条件的有7个．27. 3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？【答案】45；30；27；21【分析】详解：3600=24×32×52，有(4+1)×(2+1)×(2+1)=45个约数．3600=3×(24×3×52)，有(4+1)×(1+1)×(2+1)=30个约数是3的倍数．3600=24×32×52=4×(22×32×52)，有(2+1)×(2+1)×(2+1)=27个．28. 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？【答案】16个【分析】6=1×6=2×3，故6只能表示为(5+1)或(1+1)×(2+1)，所以恰好有6个因数的数要么能表示成某个质数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：22×322×522×722×1122×1322×1722×1922×23⋯⋯8个32×232×532×732×11⋯⋯4个52×252×3⋯⋯2个72×2⋯⋯1个所以符合条件的自然数一共有1+8+4+2+1=16个．29. 如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小因数的3倍．现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩下的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足条件的整数n有哪些？【答案】60和135．【分析】设整数n除掉因数1和n外，最小因数为a，可得最大因数为15a，那么n=a×15a=15a2=3×5×a2．那么3、5、a都为n的因数．因为a是n的除掉因数1外的最小因数，那么a⩽3．当a=2时，n=15×22=60；当a=3时，n=15×32=135．所以满足条件的整数n有60和135．30. 在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？【答案】31【分析】详解：平方数有奇数个约数．1000以内的平方数有12，22，32，⋯，312，因此有31个数有奇数个约数．31. 以下各数分别有多少个约数？18、47、243、196、450【答案】6；2；6；9；18【分析】简答：分解质因数后，指数加1连乘即可．32. 240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？【答案】20个；4个；10个【分析】简答：240=24×3×5，有(4+1)×(1+1)×(1+1)=20个约数．奇约数即不含有因子2，有(1+1)×(1+1)=4个奇约数，有(4+1)×(1+1)=10个约数是3的倍数．33. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2011倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】16088【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2011×n，因为2011是质数，那么n的最小值的约数个数大概率为偶数，经试验当n=8时，那么x=2011×23⇒n=2×4=8成立因此x=2011×8=16088．34. 16200有多少个因数？因数中有多少个奇因数？有多少个偶因数？因数中有多少个是3的倍数？有多少个是6的倍数？有多少个不是5的倍数？【答案】60；15；45；48；36；20【分析】把16200分解质因数：16200=23×34×52，根据因数个数定理，16200的因数个数为：(3+1)×(4+1)×(2+1)=60个；奇因数：(4+1)×(2+1)=15个；偶因数：60−15=45个；因数中3的倍数：3×1×4×(2+1)=48(个)；因数中6的倍数，也就是2，3都得选；3×4×(2+1)=36(个)；不是5的倍数，(3+1)×(4+1)=20(个)．35. 79、128、180分别有多少个约数？【答案】2；8；18【分析】简答：提示，牢记计算约数个数的公式．并能准确分解质因数．36. 数270的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？【答案】16个，8个【分析】270=33×2×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数为(3+1)×(1+1)=8(个)．37.数360的约数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？【答案】24个，18个【分析】360=23×32×5，因数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)，奇因数个数为(2+1)×(1+1)=6(个)，偶因数有24−6=18(个)．38. 有一个自然数，它的个位是零，并且它有8个因数，这个数最小可能是多少？【答案】30【分析】因数个数定理：8=1×8=2×4=2×2×2，分解质因数后：a7、ab3、abc，因为这个自然数的个位是零，因此必有质因数2和5，因此可能是23×51或21×31×51，比拟可知最小的数是21×31×51=30．39. 有一个整数，它恰好是它约数个数的2012倍，这个正整数的最小值是多少？【答案】40220【分析】设这个数为x，其约数的个数为n，那么有x=2012×n=22×503×n，其约数个数总大于(2+1)×(1+1)=6个，经试验当n=20时，那么x=24×5×503⇒n=5×2×2= 20成立因此x=2011×20=40220．40. 数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你们知道这个数可能是多少吗？【答案】64或36【分析】假设约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多．假设约数个数为3个，可以用a2来表示，也有很多．约数个数为4个的两位数也有很多．约数个数为5个的数可以表示为a4，有16和81，不唯一．约数个数为6个的两位数也不唯一．约数个数为7个的两位数表示为a6，只有26=64，是唯一的．同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36．约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在．因此这个数可能为64或36．41. 求出所有恰好含有10个因数的两位数，并求出每个数的所有因数之和．【答案】124或186【分析】10=9+1=2×5，表达式为a9或者ab4，29>100，2×34>100，只可能是24×3=48或24×5=80．48的因数之和：(20+21+22+23+24)×(30+31)=124，80的因数之和：(20+21+22+ 23+24)×(50+51)=186．42. 有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？【答案】60；5【分析】详解：有12个约数的数分解质因数后，可能是▫11、▫×▫5、▫2×▫3、▫×▫×▫2；对应的最小数分别是2048、96、72、60，那么最小的就是60，其中两位数除了60、72、96之外还有84和90，共5个．43. 1000以内恰有10个因数的数有多少个？【答案】22【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512；第二种情况为a4×b，a只能取2和3，经试验分别有17种和4种可能，综合共有22个．44. A有7个约数，B有12个约数，且A、B的最小公倍数是1728，求B．【答案】108【分析】1728=26×33，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3两个质因数，如果A为36，那么1728不是A的倍数，不符合题意，所以A=26，那么33为B的约数，设B=2k×33，那么(k+1)×(3+1)=12，解得k=2，所以B=22×33=108．45. 3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？【答案】32；24；24；11【分析】简答：3456=27×33，约数有8×4=32个．其中3的倍数有8×3=24个，4的倍数有6×4=24个，6的倍数有7×3=21个．那么有32−21=11个不是6的倍数．46. 一个正整数，它的2倍的约数恰好比自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个，那么这个正整数为多少？【答案】12【分析】这个数只能含2和3的因子，因为如果它还有别的因子，例如5，那么最后增加的个数要比给定的数字大．设x=2a⋅3b，它的约数有(a+1)(b+1)个，它的2倍为2a+1⋅3b，它的约数有(a+1+1)(b+1)个．(a+1+1)(b+1)−(a+1)(b+1)=b+1=2，b=1同样的，它的3倍为2a⋅3b+1，它的约数为(a+1)(b+1+1)个，比原数多3个(a+1)(b+1+1)−(a+1)(b+1)=a+1=3，a=2，所以这个数的形式是22×3=12．47. 在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？【答案】185【分析】简答：平方数有奇数个约数．小于200的平方数有12，22，⋯，32，142，共14个，因此有偶数个约数的数有185个．48. 在所有30的倍数中，共有个数恰好有30个因数？【答案】6【分析】设30的N倍恰有30个因数．因为30=2×3×5，所以N内可能有2、3、5．根据因数个数定理，(1+1)×(2+1)×(4+1)=30，所以N内必含2、3、5中几个，即30N=2a×3b×5c，(a+1)×(b+1)×(c+1)=30，a,b,c分别是1，2，4中一个．N为21×32×54，21×34×52，22×31×54，22×34×51，24×31×52，24×32×51，一共6个．49. 360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？【答案】6、78【分析】360=23×32×5，奇约数有：(2+1)×(1+1)=6(个)，奇约数的和是：(30+31+32)×(50+51)=78．50. 偶数A不是4的倍数，它的约数个数为12，求4A的约数个数．【答案】24【分析】由于A是偶数但是不是4的倍数，所以A只含1个因子2，可将A分解成A=21×B，其中B奇数，根据约数个数定理，它的约数个数为(1+1)×N=12，那么4A=8B=23×B，所以它的约数个数为(1+3)×N=24个．51. a，b均为质数且不相等，假设A=a3b2，那么a有多少个因数？假设B=9A，那么B有多少个因数？假设C有6个因数，那么C2有多少个因数？【答案】12；36个或18个或20个；11个或15个【分析】A有(3+1)×(2+1)=12个因数．B=9A=32a3b2，假设a和b都不是3，那么B有(2+1)×(3+1)×(2+1)=36个因数；假设a=3，那么B=35b2，那么B有(5+1)×(2+1)=18个因数，假设b=3，那么B=34a3，B有(4+1)×(3+1)=20个因数．综上B的因数可能有36个、18个或20个；6=2×3=1×6，那么假设C=p1×p22，C2=p12×p24，有(2+1)×(4+1)=15个因数；或C=p5，C2=p10，有11个因数．52. 11个连续的两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？【答案】220【分析】末4位都是0．这个乘积分解质因数后，至少有4个因数2和4个因数5．而连续的11个数中至少有5个偶数，所以因数2的个数足够了，因而问题在于因数5是不是够4个．由于连续的11个自然数中，最多有3个数是5的倍数，而乘积中要出现4个因数5，说明这3个数中，至少一个数含有两个因数5，这个数最小是25，所以所求的11个连续自然数的总和最小是25+24+23+⋯+15=220．53. 一个数的完全平方数有39个约数，求该数的约数个数是多少？【答案】14个或者20个．【分析】设该数为p1a1×p2a2×⋯×p n a n，那么它的平方就是p12a1×p22a2×⋯×p n2a n，因此(2a1+1)×(2a2+1)×⋯×(2a n+1)=39．由于39=1×39=3×13，⑴所以，2a1+1=3，2a2+1=13，可得a1=1，a2=6；故该数的约数个数为(1+1)×(6+1)=14个；⑵或者，2a1+1=39，可得a1=19，那么该数的约数个数为19+1=20个．所以这个数的约数个数为14个或者20个．54. 一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？【答案】74【分析】最大的约数是这个自然数本身，因此它是次大约数的倍数．它们的和也应该为次大约数的倍数．111=3×37，次大约数为37时满足条件，这个自然数为74．55. 10000的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】24211；1000012×100【分析】10000=24×54，因数和：(20+21+22+23+24)×(50+51+52+53+54)=24211因数积为(1002)n×100，其中n=[(4+1)×(4+1)−1]÷2=12所以因数的积为1000012×10056. 数120的因数有多少个？这些因数中奇因数有多少个？【答案】16个；4个【分析】120=23×3×5，因数的个数为(3+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)，奇因数个数为(1+1)×(1+1)=4(个)．57. 数240的因数有多少个？这些因数中偶因数有多少个？【答案】20个；16个【分析】240=24×3×5，因数的个数为(4+1)×(1+1)×(1+1)=20(个)，奇因数个数为(1+1)×(1+1)=4(个)，偶因数有20−4=16(个)．58. 求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数的个数．【答案】6个【分析】30=2×3×5，所以原数肯定只含有2，3，5，这三个质因子，并且指数分别为1，2，4，可以任意排列所以有3!=6个．59. 算式(1+2+3+⋯+n)+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？【答案】5个．【分析】1+2+3+⋯+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007．其中1舍去，有5个满足要求的自然数．60. 有3599只甲虫，依次编号为1，2，3，⋯，3599，开始时头都朝东．第1秒钟，编号为1的倍数的甲虫向右转90度；第2秒钟，编号为2的倍数的甲虫向右转90度；第3秒钟，编号为3的倍数的甲虫向右转90度，⋯，如此进行．那么，1小时后，第3599号甲虫头朝哪个方向？【答案】东．【分析】要求编号为n的甲虫转动的次数实际上是要求n的因数的个数，先将3599分解质因数：3599=3600−1=602−12=59×61，所以3599只有(1+1)×(1+1)=4个因数，那么在1小时即3600秒内，第3599号甲虫共转动了4次，由于每次转90度，所以共转了360度，还是朝向原来的方向，所以1小时后，第3599号甲虫头朝东．61. 2008÷a=b⋯⋯6，a、b均为自然数，a有多少种不同的取值？【答案】14【分析】由2008÷a=b⋯⋯6可知：ab+6=2008，ab=2002，又因为2002=2×7×11×13，而且a>6，所以a的取值有：7、11、13、2×7、2×11、2×13、7×11、7×13、11×13、2×7×11、2×7×13、2×11×13、7×11×13、2×7×11×13，共14种不同的取值．62. 28有多少个因数？和28因数个数相同的两位数还有那些？【答案】6个；共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.【分析】28=22×7，共6个因数，枚举6个因数的两位数．6=1×6=2×3，原数为a5或b2c形式共16个，分别是：12,18,20,28,32,44,45,50,52,63,68,75,76,92,98,99.63. 200以内恰有10个因数的数有多少个？【答案】5【分析】10=1×10=2×5，对于第一种情况29=512>200；第二种情况为a4×b，a只能取2和3：24×3、24×5、24×7、24×11、24×13=208>200；34×2、34×5=405> 200，综上，共有5个．。