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“初等数论初步”简介初等数论是研究整数的性质和不定方程（组）的整数解的一门学问，它与几何学是最古老的两个数学分支。
初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴赫（Goldbach）问题，孪生素数猜想，奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大挑战。
人们在解决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数论乃至整个数学的发展起了重要的推动作用，产生了一些直接与数学有关的新的重要数学分支。
初等数论在计算机科学和信息工程中有许多重大的实际应用。
在本专题中，同学们将通过具体的问题，学习初等数论的一些基本知识，如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程（组）和简单的一次不定方程等，初等数论中蕴含的一些思想方法，以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的一些重要成就。
一、内容与课程学习目标本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。
通过本专题的学习，要引导学生：1．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。
体会剩余类运算与传统数的运算的异同（会出现零因子）。
2．理解整除、因数和素数的概念，了解确定素数的方法,如埃拉托斯特尼（Eratoshenes）筛法，知道素数有无穷多个。
3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。
会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法,如弃九验算法。
4．通过实例，探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a能整除bc，且a,b互素，则a能整除c。
探索公因数和公倍数的性质。
了解算术基本定理。
5．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。
并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。
6．通过实例（如物不知其数问题），理解一次同余方程组的模型。
人教版小学数学五年级上册第五单元教材分析班级学生情况分析本学期我接任五年级的数学教学任务。
在经过一段时间的接触后，发现大部分的学生对数学比较感兴趣，学习态度端正，有着良好的学习习惯，上课时基本上能积极思考，举手发言，少数学生能主动、创造性的进行学习。
但也有一部分男同学学习自觉性差，不能及时完成作业，对学习数学有一定困难。
所以在新的学期里，在重点抓好基础知识教学的同时，加强后进生的辅导和优等生的指导工作，全面提高合格率和优秀率。
一、教材分析：本册教材内容包括：小数乘法、小数除法、观察物体,简易方程、多边形的面积、统计与可能性、数学广角等。
（一）数与代数方面,精心安排了小数乘法，小数乘法和轻便方程。
并使学生在认知小数的意义和性质的基础上，在尚无科学知识基础上，自己积极探索出来小数乘法和乘法的计算方法。
并使学生会用“四舍五入法”撷取内积、商是小数的近似值。
并使学生认知整数乘法运算定律对于小数同样适用于，并可以运用这些定律展开一些小数的方便快捷排序（二）在空间与图形方面，安排了观察物体和多边形的面积两个单元。
在已有知识和经验的基础上，探索并体会各种图形的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式及公式之间的关系，渗透平移、旋转、转化的数学思想方法，促进学生空间观念的进一步发展。
（三）在统计数据与概率方面，使学生自学有关可能性和中位数的科学知识。
介绍什么叫做“中位数”，并可以找到“中位数”，可以区分“平均数”与“中位数”。
（四）在用数学解决问题方面，安排了“数学广角”的教学内容，通过观察、猜测、实验、推理等活动，培养他们探索数学问题的兴趣和发现、欣赏数学美的意识。
（五）本册教材根据学生所自学的数学知识和生活经验，还精心安排了两个数学综合应用领域的课堂教学活动，使学生通过小组合作的积极探索活动，运用所学科学知识解决问题，体会积极探索的快感和数学的实际应用领域，体会用数学的惬意，培育数学意识和课堂教学能力。
初等数论在中小学数学教科书中的融合应用一问题提出初等数论在国内主要开设于高等院校，在中小学并未直接设立课程，但在该阶段的数学知识学习过程中，许多关键概念及原理都渗透着初等数论的理论，如：数的整除、带余数除法、因数与倍数、质数与合数、勾股定理等。
尽管初中阶段的数学以代数、几何为主，没有较多初等数论的内容，然而，在高中甚至后续的数学学习过程中，关于整数的部分，必不可少地将会涉及到初等数论的理论，故在初中数学教学中有必要补充和延伸与教学内容相关联的数论知识。
较多学者对初等数论课程的教学现状与教学改革进行了考察与研究，尤其强调在高等师范院校的小学教育专业开设这门课程的必要性；也有大量期刊论文、硕士论文对初等数论在数学竞赛试题中的应用进行分析，但从整体上看，针对初等数论具体应用于中小学数学教科书的研究相对较少。
另一方面，人教版数学教材是全国义务教育阶段数学学习的主流教材之一，具有较广的普及范围和较强的影响力。
本文将主要分析初等数论在现行一至九年级新人教版教科书中的融合应用。
二研究方法本文主要采用了文献研究法和案例研究法等。
基于数据资料库、图书馆等途径，进行大量文献检索，并搜集、梳理、分析相关资料；同时，通过研究案例，将理论与实际结合，梳理初等数论在中小学数学教科书中的具体应用，并对案例进行系统理解与深入分析，了解初等数论在中小学数学教学过程中的意义与价值。
三初等数论融合于中小学数学教科书中的案例分析（一）有余数的除法学生在小学阶段已接触初等数论中最基本的内容——整除理论，但结合儿童心理发展规律，代入具体数值，联系生活实际，能够帮助学生理解并掌握知识。
学生将在二年级学习“有余数的除法”，教材呈现出用小棒摆出正方形的活动情境，教师引导学生观察、归纳，让学生发现“余数要比除数小”的特点在本单元中，最典型的实际问题是与“日历”相联系的题型（如图2），例如：六月份有30天，有几个星期？还多几天？观察生活中的日历，便能发现其中蕴含着同余理论，假若知道某月2号是星期二，则9号、16号均是星期二，日历中位于同一列的整数被7除后的余数相同。
小学数学教学内容分析可以从一一﹣三个方面进行。
一、教材分析本册教材包括下面一些内容：图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。
因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计等是本册的重点教学内容。
在数与代数方面，这一册教材安排了因数与倍数、分数的意义和性质，分数的加减法。
因数与倍数，在前面学习整数及其四则运算的基础上教学初等数论的一些基础知识，包括因数和倍数的意义，2、5、3的倍数的特征，质数与合数。
教材在三年级上册分数的初步认识的基础上教学分数的意义和性质以及分数的加减法，结合约分教学公因数，结合通分教学最小公倍数。
在空间与图形方面，这一册教材安排了图形的变换、长方体和正方体两个单元。
促进学生空间观念的进一步发展。
在统计方面，本册教材让学生学习有关众数和复式折线统计图的知识。
在用数学解决问题方面，教材一方面结合分数的加减法，长方体和正方体两个单元，教学用所学的知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动想学生渗透优化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。
本册教材根据学生所学的数学知识和生活经验，安排了两个数学综合应用活动，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。
二、教学目标1、理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进行整数、小数的互化，能够比较熟练的进行约分和通分。
2、掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、3、5的倍数的特征；会求100以内的两个数的公因数和最小公倍数。
3、理解分数加减法的意义，掌握分数加减法的计算方法，比较熟练的计算简单的分数加减法，会解决有关分数加减法的简单实际问题。
初等数论在中小学的背景
初等数论课程是高等院校初等教育专业的一门专业技术课程。
初等数论是主要用算术方法来研究整数性质的一门学.科,是数学中最
古老的分支之-。
初等数论研究的主要研究整除理论、同余理论、不
定方程及原根与指标四大部分。
其中整除理论是初等数论的基础;同
余理论是初等数论的核心内容,是初等数论所特有的思想、概念和方法;以整除和同余理论为基础,初等数论主要研究整数的性质和不定
方程。
目前高等院校中的初等数论课程教学内容相对陈旧，教学方法比较单一，而且在日常生活中的应用不明显，这些问题对于提高数论的教学质量而言十分不利,同时对我们培养具有灵活思维能力、具有创
造力的未来中小学数学教师也更加不利。
为此,本文针对初等数论课
程的特点,从教学内容和教学方法等方面对数论课程的教学进行改进。
我国初等数论课程的教学现状数学不仅仅是逻辑推理和数、式
的简单演算,而且还是活生生的科学现实。
数学史、数学意识及数学
思维方法的形成都是数学教学应当涉及的范畴,然而,在初等数论的
教学中这些几乎是盲区。
数学基础知识固然重要,但是初等数论的产生、演化、发展数学事件、数学思维方法的孕育、萌芽、形成过程及划时代的意义等也非常重要。
我们的初等数论教材中对数学史的渗透、融合重视程度还很不够。
因而,应该改变初等数论课程的现有教学模式，充分发挥数学史知识在提高教师的教学效果及进行国家提倡的素质教育方面的重要作用。
论初等数论与小学数学的关系
——“同余”在小学数学教学中的应用
姓名：胡燕尔班级：070214 学号：15
刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉，那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过，似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法。
初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。
其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。
这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外，也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。
有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。
”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：
整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）
余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）
（2）同余的性质和运用
奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算
质数合数：重点是质因数的分解
约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法
则
可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。
对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等
数论中的核心内容——同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。
同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分。
其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。
在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系，欧拉定理和循环小数等几个知识点。
在没接触初等数论学习之前，我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。
在小学中主要体现在余数的运用上，余数是小学数学中的重要概念，也是数学竞赛的热门话题，其中有关概念多，方法性强。
在小学，关于余数问题我们知道：如果整数a除以正整数m，商为q，余数为r，则a=qm+r，其中q与r都是自然数，并且0≤r＜m.而现在我们学的同余
知识是：如果两个正整数a,b被非零自然数m除时所得的余数相同，
a=qm+r,b=pm+r，那么就说a与b关于模m同余,记为a≡b（mod m）.此时a与b 的差能被m整除，记为a-b ≡0（mod m）.因此同余问题常常转化为整除问题求解。
下面，我以一个例题来反应同余在小学数学教学中的应用：
例题、a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几
这道题目出现在小学奥数中，小学生一般的解答方法是：
方法一：凑数法。
取a为6，取b为9，这样满足了条件a除以5余1，b
除以5余4，3a-b=9,9/5余数为4。
方法二、设a=5x+1 b=5y+4 3a-b=15x-5y-1=15x-5y-5+4=5(3x-y-1)+1 3a－b除以的余数是4 a=5x+1 （x为正的整数） b=5y+4（ y为正的整数）
(3a-b)/5 =(15x+3-5y-4)/5 =3x-y-1/5 =(3x-y-1)+4/5
根据x,y均为正的整数,并且3a>b，所以余数为4。
而在初等数论中的解法：
解：∵a≡1（mod5），
∴3a≡3（mod 5），
或者3a≡8（mod 5）．（1）
又∵b≡4（mod 5），（2）
∴（1）－（2）得：
3a－b≡8－4≡4（mod 5）．
因此，3a－b除以5余4．
在小学生解法中我们可以看出，两种方法，尤其是第二种，都是以同余知识出发去处理问题，只是在形式表达上相对于大学里初等数论练习中较为简单化。
在小学的奥数思维训练中，同余思想的应用更是数不胜数，如“抽屉原理”是同余应用中最典型的例子，可以说，同余理论是近世代数中一个很重要的数学模型。
除此之外，其他很多数学知识都涉及到了同余，比如像欧拉函数，它也是初等数论中的重要函数之一，在证明过程中就大量地体现了同余的思想。
学过初等数论的人应该都知道，小学数学和初等数论之间最大的不同在于小学数学在于如何应用定理、法则，而初等数论则要明白为什么这么应用。
显然，初等数论是更为深层次的学习，在难度上有了一个跨越。
那么数论部分在小学数学考试题型中占据什么地位呢可以说，翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。
有专家在小学各类数学竞赛中研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题中，这一分值比例更高。
出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定学生在选拔性考试中成绩的好坏。
综上所述，初等数论作为一门为小学教育专业的学生开设的课程，在培养学生扎实的数学基础之外，更多的是有利于师范生更好地将初等数论的理论灵活地应用于小学教育中，进一步培养科学的人生观、价值观。
