离散模型-差分方程模型(12.7)汇总.

数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。

在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。

本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。

差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。

这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。

例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。

差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。

一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。

此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。

以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。

设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。

我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。

差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。

几种常用的数学模型一：建立数学模型本章介绍数学建模的方法和步骤。

掌握以下模型：椅子能否在不平的地面上放平；商人如何安全过河；如何预报人口的增长等模型。

重点掌握如何对模型进行合理假设及Logistic模型。

二：初等模型公平的席位分配；录像机计数器的用途；双层玻璃窗的功效；汽车的刹车距离；动物的身长和体重；实物交换；核军备竞赛。

重点掌握公平的席位分配及动物的身长和体重等模型。

三：简单的优化模型存贮模型；生猪的出售时机；森林救火；最优价格；血管分支；冰山运输。

重点掌握微元法在建模中的应用及模型的敏感性分析、强健性分析。

难点：模型的合理假设。

四：微分方程模型传染病模型；经济增长模型；正规战与游击战；药物在体内的分布与排除；香烟过滤嘴的作用；人口预测与控制。

万有引力定律的发现重点掌握传染病模型及人口预测与控制模型，及数学模型的应用。

难点：模型的合理假设及简化。

五：稳定性模型捕鱼业的持续收获；军备竞赛；种群的相互竞争；种群的相互依存；食饵——捕食者模型。

重点掌握捕鱼业的持续收获及种群的相互竞争等模型。

难点：对实际问题的分析。

六：差分方程模型市场经济中的蛛网模型；减肥计划——节食与运动；差分形式的阻滞增长模型；按年龄分组的种群增长。

重点掌握市场经济中的蛛网模型及按年龄分组的种群增长等模型。

七：离散模型层次分析法；循环比赛的名次；效益的合理分配。

存在公正的选举规则吗重点掌握层次分析法及效益的合理分配。

八：概率模型传送系统的效率；报童的诀窍；随机存贮策略；轧钢中的浪费；广告中的学问。

重点：报童的诀窍及广告中的学问等模型。

九：统计回归模型牙膏的销售量；软件开发人员的薪金；投资额与生产总值和物价指数；教学评估。

重点：MATLAB统计工具箱的使用。

差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。

有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。

例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。

这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。

但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。

数学模型的类型
1. 线性模型：用线性方程、线性规划等方法描述问题，被广泛应用于物理、经济、管理、工程等领域。

2. 非线性模型：解决非线性问题，例如非线性规划、微积分方程、动力系统等。

3. 概率模型：描述随机变量及其概率分布，包括统计推断、回归分析和假设检验等。

4. 离散模型：离散模型的主要应用领域是计算机科学，涉及图论、排队论、模拟等。

5. 运筹模型：用于优化问题，例如线性规划、整数规划、网络流问题等。

6. 贝叶斯模型：基于贝叶斯定理构建出的模型，用于概率推理、统计学习等。

7. 决策模型：描述决策过程，包括决策树、马尔可夫决策过程、多属性决策等。

8. 动态模型：描述随时间变化的系统，例如微积分方程、差分方程、系统仿真等。

9. 系统模型：将一个大型、复杂的系统分解为较小的子系统，并用数学语言来
表示它们之间的相互作用。

10. 统计学模型：可以用于描述数据集，包括回归分析、时间序列分析、聚类分析等。

第八章离散模型一般地说，确定性离散模型包括的范围很广，除第7章的差分方程模型外，用整体规划、图论、对策论、网络流等数学工具都可以建立离散模型。

本章选择了几个在实际应用较广、涉及的数学模型又不太深的模型。

“层次分析模型”和“冲量过程模型”是对社会经济体系进行系统分配的有力工具，“循环比赛的名次”讨论了排序问题，“马氏链模型”主要解决随机转移过程的问题。

从应用的角度看，这些模型只是用到基本的代数、集合，及一点点图论的知识。

8.1层次分析模型人们从日常生活中常常碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中做出抉择；请朋友吃饭，要筹划师办家宴或去饭店，是吃中餐、西餐还是自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或是山水甲天下的桂林。

如果以为这些小事不必作为决策认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业，或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能做出满意的决策了。

从事决策的人也经常面对决策：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中挑选秘书；各地区各部门的官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划做出决策。

人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是他们通常要涉及到经济、社会、人文等方面的因素。

在做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人们的主观选择（当然要根据客观实际）会起到相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。

T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出一种能有效地处理这类问题的实际方法，称为层次分析法（Analystic Hierarchy Process,简记AHP），这是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。

8.1.1层次分析方法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。

数学建模方法之差分方程模型差分方程模型是数学建模中常用的一种方法，它基于差分方程来描述问题，并用差分方程来求解问题。

所谓差分方程，是指用差分代替微分的方程，它是一种离散的模型。

在实际问题中，很多情况下，并不能直接通过微分方程来描述问题，而差分方程模型则可以通过离散化的方法来近似地描述问题。

差分方程模型的优点之一是可以适用于离散化的数据，对于实际问题的离散化模型建立是非常有帮助的。

差分方程模型的另一个优点是可以通过数值方法来求解，不需要进行繁琐的解析推导，因此适用于复杂问题的求解。

差分方程模型的基本形式为：yn+1 = fn(yn, yn-1, ..., yn-k)其中，yn表示第n个时刻的解，fn是一个给定的函数，表示通过前k个时刻的解来计算第n+1个时刻的解。

这个方程是离散的，通过已知的初始条件来逐步递推获得结果。

差分方程模型的适用范围非常广泛，可以用于描述和预测各种动态过程。

例如，差分方程模型可以用来描述人口增长模型、生态系统模型、传染病模型等等。

在这些例子中，差分方程模型可以通过已知的数据和初始条件来预测未来的发展趋势。

差分方程模型的建立步骤主要包括以下几个方面：1.确定问题的描述和目标：明确问题的背景和目标，确定需要建立差分方程模型的原因和用途。

2.确定模型的变量和参数：根据实际问题，确定需要用到的变量和参数。

3.确定差分方程的形式和函数：根据问题的特点和要求，选择合适的差分方程形式和函数。

这部分需要结合实际问题和数学方法来确定。

4.确定初始条件和边界条件：确定差分方程模型的初始条件和边界条件。

这部分是求解差分方程的前提条件。

5.差分方程的求解和分析：通过数值方法求解差分方程，得到数值解，并对结果进行分析和解释。

基本数学模型的分类数学模型是指用数学语言和符号描述现实世界中的问题和现象的一种工具。

数学模型可以帮助我们理解和解决实际问题，对于各个领域的研究和应用都起到了重要的作用。

根据模型的特点和应用领域的不同，数学模型可以分为多种不同的类型。

本文将从几个常见的基本数学模型分类进行介绍。

一、线性模型线性模型是最简单和最常见的数学模型之一。

它假设变量之间的关系是线性的，并且可以用一条直线或平面来描述。

线性模型广泛应用于回归分析、优化问题、经济学等领域。

线性模型具有简单、易于理解和计算的特点，但对于非线性问题的描述能力有限。

二、非线性模型与线性模型相对应的是非线性模型。

非线性模型假设变量之间的关系不是线性的，而是曲线、曲面或更复杂的形式。

非线性模型适用于描述更复杂的现象和问题，如生物学、物理学、天文学等领域。

非线性模型的建立和求解相对复杂，需要借助数值计算和优化算法等方法。

三、离散模型离散模型是指模型中的变量取有限个数值的情况。

离散模型适用于描述离散事件的发生和变化，如排队论、网络流动等问题。

离散模型可以用图论、概率论等数学工具进行描述和求解。

四、连续模型与离散模型相对应的是连续模型。

连续模型是指模型中的变量可以取任意实数值的情况。

连续模型适用于描述连续变化的现象和问题，如物理学、流体力学等领域。

连续模型的建立和求解需要运用微积分等数学方法。

五、确定性模型确定性模型是指模型中的变量和参数都是确定的，不存在任何随机性。

确定性模型适用于描述确定性的规律和关系，如力学系统、电路分析等问题。

确定性模型的求解可以通过解析方法或数值计算方法进行。

六、概率模型概率模型是指模型中的变量和参数都是随机的，存在一定的不确定性。

概率模型适用于描述随机事件的发生和变化，如概率论、统计学等领域。

概率模型的求解需要借助概率论和统计学的方法。

七、动态模型动态模型是指模型中的变量随时间变化的情况。

动态模型适用于描述系统随时间演化的过程，如动力系统、控制系统等问题。