高中数学立体几何截图和作图

第七章⎪⎪⎪立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1．简单几何体 (1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． [小题体验]1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )A.5 B ．2 2C ．3D ．2 3解析：选C 在棱长为2的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，BC 的D 1B 1＝22，D 1M 中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D 1-MNB 1，故通过计算可得，＝B 1N ＝5，MN ＝2，MB 1＝ND 1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.2．(教材习题改编)如图，长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′被截去一部分，其中EH∥A ′D ′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是______．答案：五棱柱 三棱柱1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点． 2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．[小题纠偏]1.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1, AB ＝2，B 1C 1＝32，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝32，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1解析：选C 根据棱台是由棱锥截成的，可知A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC ，故A ，B 不正确，C 正确；D 项中满足这个条件的是一个三棱柱，不是三棱台，故D 不正确．2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )解析：选B 俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B. 3．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的个数是________．解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案：1考点一 空间几何体的结构特征(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A ．圆柱 B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体． 2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④[谨记通法]解决与空间几何体结构特征有关问题的3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；(3)通过反例对结构特征进行辨析．考点二空间几何体的三视图(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.2．(2018·杭州模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为()解析：选B由正视图可看出长为2的侧棱垂直于底面，侧视图为直角三角形，直角边长为2，另一直角边为底边三角形的高 3.故侧视图可能为B.[由题悟法]1．已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．2．已知三视图，判断几何体的技巧(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．[提醒]对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．[即时应用]1．(2018·沈阳教学质量监测)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析：选B根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()解析：选D由俯视图是圆环可排除A、B、C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.考点三 空间几何体的直观图(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·杭州模拟)在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．解析：画出等腰梯形ABCD 的实际图形及直观图A ′B ′C ′D ′如图所示，因为OE ＝(2)2－12＝1， 所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24.所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为 S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22[由题悟法]原图与直观图中的“三变”与“三不变” (1)“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度改变(减半)图形改变(2)“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变与x 轴平行的线段长度不变相对位置不变[即时应用]如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形2×22＝4 2解析：选C 如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6 cm ， ∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()解析：选D几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．2．下列说法正确的是()A．棱柱的两个底面是全等的正多边形B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形C．{直棱柱}⊆{正棱柱}D．{正四面体}⊆{正三棱锥}解析：选D因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱}，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确．3．(2019·杭州四校联考)如图所示的为一个几何体的三视图，则该几何体的直观图是()解析：选A对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的正视图中，对角线是虚线，故B不符合题意；对于C，该几何体的正视图中，对角线是从左上到右下的，故C不符合题意；对于D，该几何体的侧视图中，对角线是虚线，故D不符合题意．故选A.4．(2019·台州质检)如图，网络纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长度为()A．62B．6 3C．8 D．9解析：选D由三视图还原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，且PB＝62＋(32)2＝36，PC＝62＋(35)2＝9，则该几何体中最长棱的长度为9.故选D.5.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO的形状为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4 cm，宽为 2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·台州模拟)一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为()A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形解析：选D该几何体是一个长方体时，其中一个侧面为正方形，A可能；该几何体是一个横放的圆柱时，B可能；该几何体是横放的三棱柱时，C可能，只有D不可能．2．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB＜AD＜AC.3．(2018·沈阳教学质量监测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为()A ．三棱台B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥解析：选B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱．4.(2018·温州第八高中质检)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为( )A ．4B ．2 3C ．2 2D. 3解析：选B 由题可得，该几何体的侧视图是一个长方形，其底边长是底面正三角形的高3，高为2，所以侧视图的面积为S ＝2 3.5．已知四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P -ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：选C 四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PM ＝3，PN ＝5，S △PAD ＝12×4×5＝25，S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3，S △PBC ＝12×4×3＝6.所以四个侧面中面积最大的是6.6.(2018·台州模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱BB1的中点，若用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为()解析：选C取DD1的中点F，连接AF，FC1，则过点A，E，C1的平面即为面AEC1F，所以剩余几何体的侧视图为选项C.7．(2019·义乌六校联考)图①是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥A1-AB1D1后得到的几何体，将其绕着棱DD1所在的直线逆时针旋转45°，得到如图②所示的几何体，该几何体的正视图为()解析：选B由题意可知，该几何体的正视图是长方形，底面对角线DB在正视图中的长为2，棱CC1在正视图中为虚线，D1A，B1A在正视图中为实线，故该几何体的正视图为B.8．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④9．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C . 在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5 (cm)． ∴AB ＝122＋52＝13(cm)． 答案：1310．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________． 解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，O ′C ′＝12OC ＝32，C ′D ′＝O ′C ′sin 45°＝32×22＝64. 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64.答案：64三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 画出直观图，共六块．2．(2018·湖南东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．47D ．8解析：选C 设该三棱锥为P -ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA ＝4，则由三视图可知△ABC 是边长为4的等边三角形，故PB ＝PC ＝42，所以S △ABC ＝12×4×23＝43，S △PAB ＝S △PAC ＝12×4×4＝8，S △PBC ＝12×4×(42)2－22＝47，故四个面中面积最大的为S △PBC ＝47，选C.3.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6， 且AD ⊥PD ， 所以在Rt △APD 中， PA ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝6 3 cm.第二节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式[小题体验]1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π. 2．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以该几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝⎛⎭⎫12×2×3×3＝3 3.答案：3 33．若球O 的表面积为4π，则该球的体积为________．解析：由题可得，设该球的半径为r ，则其表面积为S ＝4πr 2＝4π，解得r ＝1.所以其体积为V ＝43πr 3＝43π. 答案：43π1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．3．易混侧面积与表面积的概念． [小题纠偏]1．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶3 1∶12．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S ＝3×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2＝72＋16 2.答案：72＋16 2考点一 空间几何体的表面积(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A ．8＋2 2 B ．11＋2 2 C ．14＋2 2D ．15解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.2．(2018·浙江新高考联盟高三期初联考)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．34＋65B ．44＋12 5C ．34＋6 3D ．32＋6 5解析：选A 由三视图知几何体底面是一个长为6，宽为2的矩形，高为4的四棱锥，所以该几何体的表面积为12×6×25＋12×6×4＋2×12×2×5＋6×2＝34＋65，故选A.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋4 2C ．6＋6 2D ．6＋22＋4 3解析：选A 由三视图可知该棱锥为如图所示的四棱锥P -ABCD ，S △PAB ＝S △PAD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin 60°＝23，S 四边形ABCD＝22×2＝42，故该棱锥的表面积为6＋42＋2 3.[谨记通法]几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理．考点二 空间几何体的体积(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·金华高三期末考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.223B.233C.423D.433解析：选D 由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如＝13×4×3图所示．底面ABCD 的面积为2×2＝4，高PO ＝3，故该几何体的体积V ＝433. 2．(2018·宁波十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________．解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为12×π×22×3＝6π，表面积为2×12×π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋12.答案：6π 12＋10π[由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略1．(2018·杭州高级中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.32 C.12D.34解析：选C 由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边分别为1和2，高为1的直角梯形，又四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V＝13×12×(1＋2)×1×1＝12.2．(2019·台州高三适考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的三棱锥M -A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以VM -A 1B 1N ＝13×12×2×2×2＝43.又A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝5，A 1M ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝2103，B 1M ＝22＋⎝⎛⎭⎫432＝2133，MN ＝22＋22＋⎝⎛⎭⎫132＝733，所以该几何体中最长棱的长是733. 答案：437333.(2018·温州高三一模)如图，一个简单几何体的三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：如图，还原三视图为正四棱锥，易得正四棱锥的高为32，底面积为1，体积V ＝13×1×32＝36；易得正四棱锥侧面的高为⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＝1，所以表面积S ＝4×12×1×1＋1＝3.答案：363 考点三 与球有关的切、接问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变． 常见的命题角度有： (1)球与柱体的切、接问题； (2)球与锥体的切、接问题．[题点全练]角度一：球与柱体的切、接问题1.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6D.33π 解析：选C 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝22×tan 30°＝66， 所以S ＝πr 2＝π×16＝16π.2．(2018·金华一模)一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O 的体积为V 1，圆柱内除了球之外的几何体体积为V 2，则V 1V 2的值为________．解析：如图，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，球O 的半径为r ，∴球O 的体积V 1＝43πr 3，圆柱内除了球之外的几何体体积 V 2＝πr 2×2r －43πr 3＝23πr 3，∴V 1V 2＝43πr 323πr 3＝2. 答案：2角度二：球与锥体的切、接问题3．(2018·绍兴质检)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A ．6B ．5 C.92D.94解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P -ABCD 是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94.4．(2018·嘉兴一模)如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为( )A.20π3 B ．8π C ．9πD.19π3解析：选D 如图，该几何体为三棱锥A -BCD ，设三棱锥外接球的球心为O ，O 1，O 2分别为△BCD ，△ABD 的外心，依题意得，OO 1＝36AB ＝33，O 1D ＝12CD ＝52，∴球的半径R ＝OO 21＋O 1D 2＝ 1912，∴该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝19π3. [通法在握]解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：[演练冲关]1．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3C ．5πD.55π6解析：选D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，∴球半径为R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫h 22＝1＋14＝52，∴该球的体积V ＝43πR 3＝43×⎝⎛⎭⎫523π＝55π6. 2．(2018·镇海期中)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为________．解析：由题可得，要使正方体可以在纸盒内任意转动，则只需该正方体在正四面体的内接球内即可．因为正四面体的棱长为6，所以其底面正三角形的高为33，正四面体的高为26，则该正四面体的内球的半径为62，设该正方体的边长为a ，要满足条件，则3a ≤6，即a ≤ 2.所以正方体的最大体积为V ＝a 3≤2 2. 答案：2 2一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校联考)“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件．2．(2018·长兴中学适应性测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．64B ．72C ．80D ．112解析：选C 由题可得，该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥的组合体，所以其体积为V ＝43＋13×42×3＝80.3．(2019·杭二月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π＋33B ．2π＋33C ．2π＋ 3D ．π＋ 3解析：选A 由三视图知，该几何体的上半部分是一个三棱锥，下半部分是一个圆柱．由题图中的数据知V 圆柱＝π×12×1＝π，三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，故其高即为三棱锥的高，故三棱锥的高为3，由于三棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，因此两直角边长都是2，则底面三角形的面积是12×2×2＝1，故V 三棱锥＝13×1×3＝33，故该几何体的体积为π＋33.4．(2018·嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝________，该几何体的表面积为________．解析：由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a 的等腰三角形，高为3.因为其体积为33，所以V ＝12×2a ×3＝3a ＝33，解得a ＝ 3.所以该几何体的表面积为S ＝2×12×2×3＋2×3×3＝23＋18.答案：3 23＋185．(2018·丽水模拟)若三棱锥P -ABC 的最长的棱PA ＝2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是________，表面积是________．解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径R ＝12PA ＝1，所以该三棱锥的外接球的体积V ＝43×π×13＝43π，表面积S ＝4πR 2＝4π.答案：43π 4π二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：选B 设圆柱的轴截面的边长为x ， 则x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×2 2 ＝12π.故选B.3．(2018·温州十校联考)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．4 B.163 C ．8D.323解析：选B 由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱锥，所以其体积为V ＝13×4×2×2＝163.4．(2018·兰州实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )A.32πB.32C ．3πD ．3解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43π⎝⎛⎭⎫323＝32π，故选A.。

立体几何专题(1)☆多面体的粒面多面体的微面在课本P59—例3、P63—B—1 处体现。

一、定义及相关要素个几)叫做截线.此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点.二、匸、方法().该作图关键在于确定截点，有了位于多面体面.2.据有：(1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如枭一条直线工的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4)这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.(5)如果两个平面平行，那么两条交线平行.<41三、作图题型1•截®（2C2的三个S 餉圭分炉）《$而体的植£, C 舞中侖》 点—个®的檢£・作图题1.如图，正方i^AltCD —A,B,C,D,中，E 、F 、G 分别 在/!〃、RC 、DQi 上，求作过£、F 、G 三点的截面.I✓ A ―?作法：⑴在底面4C 内，过£、F 作直线^法⑴分别与DA 、DC 的 延长线交于I 、M,（2）面4 4内，连结IG 交A4］于K. ⑶在侧®D,C 内，连结GM 交CC\于H.⑷连结KE 、FH ・则五边形EFMFK 即为所求的截面. 作图题2・1\ Q 、尺三点分别在直四棱柱zlC ］的棱Bg <?C|和 DD ］上，试画岀过几 0 /?三点的截面.c,1:1 1:14K£it作法!（1）连接e/?并延长，分别交C〃、CD的延长线于枳F・⑵连接EF交A5于T,交AD于S・⑶连接RS、TP。

则多边形PQRST 即为所求截面。

ZAC,Q<41牒£蛊2',络牆驛黔黑址編鑑'1:1作法s (1)连接0尸并延长交D4延长线于点人(2)在平面ABCD 内连接/V 交AB 于点 ⑶连接QP 、RM 。

则四边形PQRM 即为所求。

1=1作图题4・如图，五棱^—ABCDE 中, 点尸、G 、H,求作过F 、P三条侧棱上各有一已知GpL7ACK F作法:(1)将侧面/啊〃、PBC 、伸展得到三棱锥P —砒匚 ⑵在侧面P 於内，⑶在侧面PRT 内， (4)在侧面psr 内， ⑸连结FN 、MH,l ；l连结并延长GF,交PS 于K ・ 连结并延长GH 交PF 于乙• 连结分别交加、PE 于M 、N.则五边形FGHM/V 即为所求的截面.2•厳丽《过的三个S 細鱼《少有一i«$丽体的®£,翼含圭 农檯£・ 作 G 在底面AC 内，求过E 、AECHn.tt作法：⑴过E 、F 作辅助面。

一、空间几何体的结构特征：（一）棱柱的结构特征：1.棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做；棱柱中两个互相平行的面叫做，简称为底；其余各面叫做；相邻侧面的公共边叫做；侧面与底面的公共顶点叫做。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.(1)棱柱的侧棱都，侧面是.(2)棱柱的两底面与平行于底面的截面是全等的多边形(3)经过两条不相邻的侧棱的截面（即对角面）是平行四边形3.一些特殊的四棱柱(1) :底面是平行四边形的四棱柱(2) :侧棱与底面垂直的平行六面体(3) :底面是矩形的直平行六面体(4) :棱长都相等的长方体（二）棱锥的结构特征1.棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做；各侧面的公共顶点叫做；相邻侧面的公共边叫做。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……2.正棱锥的定义与性质(1)一个棱锥成为正棱锥必须满足两个条件：①底面是正多边形②顶点在底面上的射影是正多边形的中心.(2)正棱锥的各侧棱长都，各侧面都是全等的.正棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影构成直角三角形.正棱锥的高、侧棱及侧棱在底面上的射影构成直角三角形(三)圆柱的结构特征1.圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做。

棱柱与圆柱统称为柱体；2.圆柱的简单性质(1)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆(3)圆柱的侧面展开图是矩形(四)圆锥的结构特征1.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

二面角+平行2018石景山一模理17()(0,0,0)(0,4,0)(4,4,0)(2,0,2)(4,0,0)0(4,4,4)(0,0,4)4,2,(0,4,2)(2,0,2)A B A AD C AB AP AF D AF PC PC P AB PA EB F PD E F x y z ⎧⎪⎪⎪⎧=⎪⎪→→⋅=⎨⎨=-⎪⎪⎩⎪===⎪I ⎫⎪⎪→⎬⎪⎪⎭⎪⎩向量语言表述直线、平面的位点坐标向量以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系为的中点AF PC −−−−−−−−−−→⊥置关系()(2,2,2)(2,2,0)2//(4,4,0)//PC M M EM BD EM BD EM BD BD PEC EM PEC BD PEC −−−−−−→⎫⎫=-⎪→=−−−−−−−−−−→⎪⎬⎪=-⎪⎭⎪−−−−−−−→⎬⊂⎪⊄⎪⎪⎭II空间中点坐标公式向量语言表述直线、平面的位置关系线面平行的判定定理取的中点平面平面平面()(2,0,2)(,,)0,4440,(4,4,4)1(1,1,2)420,0,(0,4,2)AF PDAF PC AF PCD PCD AF PD PC P PEC x y z n PC x y z PC y y z n PE PE AF III ⊥⎫⎪⊥→⊥→=⎬⎪=⎭=⎫⎧⎪⋅=+-=⎧⎪=-−−−−−→→→=-→=---⎬⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎭求平面的法向量平面平面法向量为法向量可为设令平面nn (2,0,2)5πcos ,6(1,1,2)AF n D PC E ⎫=⎪−−−−−−→<>==→--⎬→=---⎪⎭向量方法计算二面角二面角大为钝角小为判断n()=ABC BCDE ABC BCDE CB CD ABC ACD ABC CD BCDE CD CB CD ACD I ⎫⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪−−−−−−−→⎬⎪⎪⊥⊥⎪⎭⎪⎪⊥⊂⎭⊂⊥ 面面垂直的性质定理面面垂直的判定定理平面平面平面平面平面平面平面平面平面 ()//////////22OP ADEOP BCDE OP DE CPO FDE ADE BCDE DE CD F EFBE CD BE CF BEFCEF BC PCO DFE CD BE BE CF CD BE CPO FDE CP CO CO COP FED FD FE BC PCO DFE ⎫⎪⊂−−−−−−−→→∠=∠⎬⎪=⎭→⎫⎪→→→∠=∠=⎫⎬→=⎬⎪=⎭⎭∠=∠⎫→∆∆→==⎬=∠I ∠⎭I 线面平行的性质定理四边形为平行四边平面平面平面平面中接形取点，连11242CP CD CD FD ⎫=⎪→=⎬⎪=⎭ ()(()),,//,022CD ABC OA ABC CD OA CD OB OM OA OM OB O OB A OB ABC OM OA D OM CD AB AC E OA OB O BC AB AC CD B x y z E ⎫⎫⎫⊥⎫III ⎪⎪⎪⎪⊂−−−−−→⊥⊥⎪⎬⎪⎪⎧⊥⊥⎬⎪⎪⎪⊂⎪⎭⎪⎪→⎬⎪⎪→⎬⎭⎪⎪⎪=⎫⎪⎪→⊥⎬⎪⎪⎭⎭⎪⎪====⎭线面垂直的定义平面平面以为原点，分别以、平面、为轴、轴、轴建立空点间直角坐标系点为中点坐标作()(()(0,0,1),,0,20,10.0.(0,0,1OA OB OA OM OA BCDE BCDE OB OM O PEC x y z AD y AD x AE y AE ⎪⎪⎨⎪⎪⎩⊥⎫⎪⊥→⊥→=⎬⎪=⎭⎫=⎪⎧⎧⋅=+=⎪⎪⎪=−−−−−→→→=→=⎬⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎪=⎭=求平面的法向量平面平面法向量可为设平面法向量为令n m m m mn ())cos ,4A DE B ⎫⎪⋅π−−−−−−→===→--⎬=⎪⎭→向量方法计算二面角判断二面角为锐角大小为n m n m n m m()=P A P A AB BCD AB BCD AB BC AB BC PB BC BCD BC AB PB AB P A P I ⎫⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪−−−−−→⎬⎪⎪⊥⊥⊥⊂⊥⊂⎪⎭⎪⎪⎭面面垂直的性质定理线面垂直的定义平面平面平面平面平面平面平面()222(1,0,0)2(0,0,0)(0,2,0)1(1,3,0)3,22,(AB BC A PA B BA B PB PA AB PB PB AB BC BP C AB D BC PB P AD P x y A BC AB PB A D z BC ⎫⊥⎫⎪⎪⎧-=⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=→=+→⊥→⎬⎪⎪→⎬⎨⎪=⎪I ⎪⎭⎪-⎪⎪⎪⊥⎭⎪⎪⎩⎪==⎭I ====以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐反方向点坐标一标系易知平面法向可为个量n ()0,0,1),,0(1,1,0)220(0,2,(0,0,1)cos ,PCD x y z x y CD CD z y PC PC P =⎫⎧⎪=⎧⋅=⎪⎪⎪=-−−−−−→→→=→=⎬⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎪⎩=⎪⎭=⎫⎪⋅−−−−−−→<>===→-⎬⋅=⎪⎭求平面的法向量向量方法计算二面角设法向量为令判断平面二面角m m m m n n m n m n mm CD A -→为锐角　()000[0,1](,,))()=(1,0,0)()E AE AP E x y z AE E AP A BE B PA PC E D B λλλλλ⎫⎫−−−−−−−−→=∈⎪⎪→=⎬⎪→-⎬⎪III ⎪⎭⎪-⎭⎫=-⎪⎪=−−−−−−−−−−→⎬⎪⎪⎭⎫⎬⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线、平面的位置关系点在棱上设平面，(（∥m 1201)20=(332(3E BE BE BE BE λλλ⋅=-+=→→=-=-−−−−−−−−→==空间两点间的距离与向量模m()2AB AE A O BE O BE A O BCDE A BE BCDE A O CD A BE BCDE BE A O A BE CD BCDE ⎫⎫I →⎬⎪⎭⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪⎫=⎪⎪⎭='⊥⎪⎪⎪'⊥'⊥⎪'−−−−−→⊥⎬'=⎪⎪''⊂⎪⎪⊂⎭面面垂直的性质定理线面垂直的定义为中点平面平面平面平面平面平面平面 ()(00(110)(130)(1302/4/F BC B OF BC A OF OG O OF G CD BC B OG OA C A O BCDE A O OF A O OG D OF BCDE A B OG B x y z OG C ⎫⎫⊥⎫'→⊥⎪⎪⎬-⎪⎪⎭'→⎬⎪→'⊥⎬⎫⎪''−−−−−→⊥⊥⎬⎪⎪-⊂⎭⎭⎪⎪'=I =⎭I →→线面垂直的定义取为线段上靠近点的四等分点以为原点，分别以、取,，为中点、为轴、轴、轴平面建立空间直角坐标点坐系平面标，，，，，、，(11111111)(110)(,,)0, 30, (1311)20. 0, (020)1,3,E A DE x y z A D x y A D z y DE DE A C θ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎩'=⎫⎧'⎧⎪⋅=-+-=⎪⎪⎪'=--−−−−−→→→=-→=-⎬⎨⎨-=⋅=⎪⎪⎪⎩⎩=-⎪⎭'==求平面的法向量，，法向量为，，令，，设线面角设平为面m m m mm sin cos ,0,1)A C A C A C θ⎫⎪⎪'⋅'−−−−−−→=<>=⎬'⋅⎪→-⎪⎭向量方法计算线面角正弦值　m m m ()000[0,1](,,)(,3,)(,3)(13(00(,3)1)//A C P A P A C P x y z A P P A C A OP OP A DE λλλλλλλλ⎫'⎫III ⎫''−−−−−−−−→=∈⎪⎪⎬'→=⎪⎬⎭→⎬⎪'=-⎪⎭⎪'⎭⎫=⎪⎪=-⎬⎪'⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线假设线段点平面存在，设，，m 1100=[0,1]22A P OP A C λ'−−−−−−−−−−→⋅=→+=→∈→=' 、平面的位置关系m二面角+垂直2015北京高考理17()=AEF EFCB AEF EFCB EF AO AEF AO EFCB AO BE AEF AO EF O EF BE EFCB ⎫⎫I ⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪−−−−−→⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⊥⊂⊥⊥⎫⎪⎪→⎭⊥⎬⎭⊂ 面面垂直的性质定理线面垂直的定义平面平面平面平面平面平面是等边三角形为的△中点平面 ()(,0,0)(0,0,)(2,),0)4,2,60BC OG EF EFCB O OE E a AO EFCB OG OA OA OG A EFCB B a AO EF BC EF a x y z G OG O EBC FCB G ⎫⎫⎫→⊥⎪⎪⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎧⊥⎪⎫⎪→⎪−−−−−→⊥⎬⎪⎬→⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎪-⊥⎩⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪==∠=I =I ⊂∠⎭线面垂直的定义取中点，连结是等腰梯形以为原点，分别以、平面、为轴、轴、轴平面建立空间直角坐标点系坐标易知(0,1,0)(,,)0(,0,)11,1)0(2,2),0)(0,1,0)cos 1)0,0,,1AEF PCD x y z EA x EA a z BE x BE a a ==⎫⎧⎪-=⎪=-−−−−−→→→=→=-⎬⎨=⎪⎪⎩=--⎭=⎧⋅=⎪⎨⋅⎫⎪−−−−−−→⎬=⎪-⎩⎪=⎭求平面的法向量向量方法计算二面角平面一个法向量为令法向量可为设平面p n n n n pn ,F AE B ⋅〈〉==→-→二面角为钝角余弦判断--值为　n p n p n p ()2(2,2),0)2(2)3(2)=043(2,),000)02BE OC BE a a BE AOC BE OC BE OC OC AOC a BE OC a a a OC a −−→−−→−−→−−→−−→−−→⊥⊥−−−−−−−−−−→⋅=⊂⎫⋅=⎪⎪⎪→⎬⎪III ⎫−⎪⎪⎭−−−−→⎬⎭⎫⎪⎪=--⋅=----⎪→=⎬⎪=-⎪⎪<-<⎭线面垂直的定向量语言表述直线、平面的位置关义系由题意知，平面平面2013北京高考理17()11111111111AA C C AA AC ABC AA C C AA ABC ABC AA C C AC AA AA C C →⎫I ⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪⊥⊥⊥=⊂⎪⎭面面垂直的性质定理为正方形平面平面平面平面平面平面()222111111111354(0,3,0)(0,0,4)(0,3,4)(4,0,4)34A AC AB BC AC AB AC BC AB AC B AB AA A AA ABC AA AC AA AB AC ABC B C AA C C x y z B AB A ⎫⎫===→+=→⊥⎧⎪⎪⎪→⊥⎫⎬⎪⎪−−−−−→⊥⊥→⎬⎬⎨⎪⊂⎭⎭⎪⎪⎪⎪I =⎩⎭I 线面垂直的定义以为原点，分别以、、为轴、轴、轴平面建立空间直角坐标系平面是边长为的正，，，点标、形坐方,设平1111111111(,,)0,340,(034)3(0,4,3)40. 0.(400)(3,4,0)(0,4,3)cos ,(3,4,0)A BC x y z A B y z A B z x A C A C B BC −−→−−→−−→−−→=⎫⎪⎧⋅=-=⎧⎪⎪=-−−−−−→→→=→=⎬⎨⎨=⎩⎪⎪⋅=⎩⎪=⎭==⎫−−−−−−→〈⎬=⎭求平面的法向量向量方法计算二面角面平面的法向法向量为，，令，，同理可得为，量n n n n m n n m 1111616||||2525A BCB ⋅〉==--→→判断二面角余弦值为为锐角n m m n m ()1111[0,1](,,)(4,3,4)(4,33,4)(4,3,4)(030)(4,33,4)(0,3,4)BC D BD BC D x y z BD D BC B AD AD AD A Bλλλλλλλλλλλ−−→−−→−−→−−→−−→−−→⎫⎫⎫−−−−−−−−→=∈⎪⎪⎬III ⎪⎪⎭→=-⎬⎪→-⎬⎪⎪=-⎪⎭⎪⎪⎭⎫=-⎪⎪⎪=-⎬⎪⊥⎪⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线、平面的位置关存在设，，假设线段点119909250[0,1]2525BD AD A B BC λλλ−−→−−→−−−−−−−−−−→⋅=→-=→=∈→==系()//////F ABCD AD BC AD BC BC BC AD MN ADMN BC F MN B F C FBC ⎫→⎫−−−−−−−→⎪⎬⊂⎭⎪⎪−−−−−−−→=⎬⎪⊂⎪⎭I ⎪ 线面平行的判定定理线面平行的性质定理为矩形平面平面平面平面平面 ()ABCD AD CD AD FC AD CDEF ADMN CDEF CD FC CDEF CD FC C AD ADMN ⎫→⊥⎫⎪⎪⊥⎪⎪−−−−−−−→⊥⎬⎪−−−−−−−→⊥⊂⎬⎪⎪⎪=⎭⎪⎪I ⊂I ⎭线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理为矩形平面平面平面、平面平面 (),ABCD AD CD EA CD AD CD D DA EA AD A CD ADE CD DE DC DE EA AD ADE DE ADE AD CDEF AD DE DE CDE x z F E y ⎫⎪→⊥⎪⎪⎫⊥⊥⎫⎪⎪⎪⎪=−−−−−−−→⊥⎬⎪⎪−−−−−→⊥→⎬⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪⊂⎭⎪⎪⊥⎫−−−−−→⊥⎪⎬⊂⎪⎭II ⎭I 线面垂直线面垂直的定义线面垂直的定义的判定定理以为原点，分别以、、为轴、轴、为矩形平面轴建立空间、平面平面平面平面角坐标系令直()(,0,0)(,2,0)(0,2,0)(0,0,0)(0,0,1)(0,1,1)1,(0)(0,2,0),,(,0,0)(0,1,1)A a B a C D E F F ED AD a a ADE DC FBC x y z CB CB a CF ⎫⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪→⎬⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪===>⎪⎭==⎫⎪⋅=⎪=−−−−−→⎬⎪=-⎪⎭求平面的法向量易知平面法向量点坐标设一个法向面量为可为设平nn 001(0,1,1)00(0,1,1)πcos ,4(0,2,0)ax z y z CF DC DC A l B DC DC ⎧=⎧⎪→→=→=⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩=⎫⎪⋅−−−−−−→<>==→--→⎬=⋅⎪⎭向量方法计算二面角令判断为锐角大小为二面角n n n n n n()//////PQ CD PQCD PD QC PD QBC PD QBC PQ C Q C D C QB I ⎫⎫→⎬⎪=⎭⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪⎪⎪⎭→⊄⊂线面平行的判定定理四边形为平行四边形平面平面平面 ()//,O AD E BC OE AD AB DC AB AD O AD OP AD O PA PD OP ABCD PAD ABCD OP OE PAD ABCD AD OP PAD OE ABCD OP AD ⎫⎫⎪⎪→⊥⎬⎪⎪⎪⊥⎭⎪⎪⎫⎫⎫⎪→⊥⎪⎬⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪⎪→⎬−−−−−−−→⊥⊥⎬⎪−−−−−→⊥⎪⎬⎪=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⊂⎭⎪⎪⎪⎪⊂⎭I ⎪⊥⎪⎪⎭I 面面垂直的性质定理线面垂直的定义取为中点取为中点为中点以为原点，分别平面平面平面平面平面平面平面()()()()()()()()0,1,02,1,01,1,01,0,190,2,10,0,1,,1,1,10,1,1x y A OE B OD OP C Q APD AB AD PQ CD ABCD QBC x y z BQ BQ C z Q ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧-⎪⎪⎪-⎪⎪→⎬⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∠=︒====⎭==⎫⎪⋅⎪=-−−−−−→⎬⎪=-⎪⎭求平面的法向量点坐标易知以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系设平面的一个法向量可为法向平量面为m n n ()0,0,1(2,1,1)0.0,0,0,1cos ,(2,1,1)x y z z y z CQ Q BC A ⎧=-++=⎧⎪→→=→=⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩=⎫⎪⋅−−−−−−→===--→⎬⋅=⎪⎭→向量方法计算线面角判断二面角余弦令角为锐　n n m m n n m m n n ()()()()()()[0,1],,(,,)1,,11,1,1(101)1,1,1.2,1,1QB M QM QB M a b c QM M QB Q AM AM QBC λλλλλλλλλλλ⎫III ⎫⎫⎪−−−−−−−−→=∈⎪⎪⎬⎪→=--⎪⎪⎬⎭→+--+⎬⎪=--⎪⎪⎭⎪⎭⎫=+-+-+⎪⎪=−−−→⎬⎪⊥⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线、平面的位置关系假设线段点平面存在，设，，n 1111.=[0,1]2133QM QB λλλ+-+−−−−−−−=→∈→=二面角+线面成角2018北京高考理16()11111111A B C A ACC AC EF CC ABC E F AC AC AC BEF AB BC AC BE E AC EF BE BEF EF BE E ABC ⎫⎫⎫I ⎪→⎪⎪⎬→⊥⊥⎪⎬⎪⎭⎪⎪⎭⎪⎪−−−−−−−→⊥⎬=⊥⎪⎪⎪⊂⎪⎪=⎭-⎫→⎬⎭ 线面垂直的判定定理为矩三棱柱四边形平面，分别为，中点平面为中点，形平面 ()111(0,2,0)(1,0,0)(1,0,1)(20,0,2)EF CC EF ABC EF BE CC ABC B C BE ABC x y z D AC EF F G AC BE E EA EB EF AB BC AC AA ⎫⎫⎫−−−−II ⎫⊥⎪−−−−−→⊥⊥⎬⎪-⊂⎭⊥⊥−−−→⎪⎪⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪→⎬⎪→⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪====⎭线面垂直的性线面垂直的质定理定义∥平面平面以为原点，分别以、平面、为轴、轴、轴建立空间直标角坐标系点坐1(0,2,0)(,,)020(2,0,1)2(2,1,4)200(1,2,0)(0(0,2,1,2,0)(21,4),)C EB x y z CD x z CD x x y CB CB EB DC BCD ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩==⎫⎧⎪⋅=+=⎧⎪=−−−−−→→→=→=--⎬⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎭⎫=⎪⎬=--⎪⎭求平面的法向量向量易知法向量可为设平平面一个法面向量为令n n n nn 1cos =EB EB B CD C EB ⋅−−−−−−→⋅=→---→ 方法计算二面角二面角为钝判断角余弦值为　n n n ()(2,1,4)2(0,2,1)GF GF BCD GF BCD B GF GF CD =--⎫⎪→⋅=-→−−−−−−−−−−→⎬III →=-⎪⎭向量语言表述直线、平面的位置关系与平面不平行与不垂直与平面相交且不在平面内n n n2017北京高考理16(),////AC BD E ME PD MAC PD ME MAC PDB PB PD ME ABCD E B M DB N D P ⎫⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪⎪⎪⎪⎪→⊂⎬⎭⎪⎪⎪⎪=⎪⎭I 线面平行的性质定理平面平面平设交点为，连接面平面为的中点是正方形为的中点(),OP AD ABCD OP AB O OP OE OP O AD PA PD PAD O OD PA CD OP OE ABCD AD OP AD ABCD ABC D OE OP PA D O x y z D D E E A ⎫⎫→⎬⎪=⎭⎪⎪⊥⎫⎪⎪⎪⎪−−−−−−−→⎪⎬⊥⎫⎪⎪⊥⎪−−−−−→⊥=⎬⎪⊥⎪→⎬⎪⎪⎪⎭⎪⊂⊂II ⎪⎪⎪⎪⎭⊥→⎪⎭ 面面垂直的性质定线面垂直的定理义取中点，连结平面平面以为原点，分别以、平面平面、为轴、轴、轴平面平面建立空间直平面是正方形(2,0,0)(2,44(0,1,0)(,,)4402,0)0,(4,4,0)0,(2,0,0PA PD AB PAD BDP x y z x y x P D B BD BD PD PD −−→−−→−−→−−→⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪→⎬⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪===⎭==⎫⎪-=⎧⎪⎪−−−−−-⎧⋅=⎪=-⎨⎪⋅=⎩=→→⎬⎨=⎪⎪⎭求平面的法向量点坐标平面一个法向量角坐标系易知法向量可为为设平面p n nn 1(1,1,(0,1,0)1πcos ,23(1,1,x B PD A →=→=⎪⎩=⎫⋅⎪−−−−→−−→〈〉==→--⎬=⎪⎭向量方法计算二面角令判断　二面角为锐角大小为n p n p n p n p n ()()(3,2,sin |cos ,|(1,2,(2,4,0)(1,1,MC MC M C MC B MC DP αα−−−−→−−−→→−→⎫⎪⎪⋅−−−−−−→=〈〉=-→⎬⎪⎧→⋅⎪=⎪III II -⎪⎩⎭=⎨向量方法计算线面角设线面角为，由平面的法向量为　得n n nn2018东城一模理17(),ABCD PD AD PO OA PC BC PO OB P CD PO OAB A BE BCDE PO AB OA OB O OA OB OAB AB OAB ⎫⎫I →⎬⎪⎭⎪⎪−−−−−−−⎫⊥⊥⎧⎧→⎪⎨⎨⊥⊥⎩⎩→⎬⎪⎪⎪⎪⎪⊥'⊥⎪−−−−−→⊥⎬=⎪⎭⎪⊂⎪⎪⊂⎭线面垂直的判定定理线面垂直的定义为中点平面平面平面面平面形平正方(),//((001)2OA OB A x y z PO OAB PO PO O AB F OF OF AB OF OG O OG OF OP O OG AB B P OF OG OF ABC G OAB D AO ⎫⎫⎫⎫→⊥⎪⎪⎬⎪→⊥⎬⎪⎭⎪⎧⎪⎪⎪⎪→⎬⎪⎪⎭→-⎬⎨⎪⎫⎪⎪⎪−−−−−→⊥⊥⎬⎪⎪⎩⎪⊂⎭⎭⎪⎪II =⊥⎭线面垂直的定义中点连接过作点坐标，，，、正取以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间方形边长直角坐标系平面平面取为中(),,3(,1,0)1(221,M BM BM AO OB AB BM PO OAB BM POA OAB POA PO PO BM AO PO O AO PO B P A M M B α⎫⎫→⊥⎬⎪=⎭⎪⎪⎪−−−−⎫⎪⎪⎪⊥⎫⎪⊥−−−−−→⎬⎪⎭→-⎬⎪⎪⎪⎪⎪→⎭−−−→⊥⎬⊂⎪⎪=⎪⎪⊂⎭== 线面垂直的判定定理线面垂直的定义平面平面平面平面的法向量可点连接设线面角取为平面m =m=sin cos 1,0)BP BP BP α⎫⎪⋅⎪−−−−−−→=<>=⎬⎪⎪⎭→- 向量方法计算线面角正弦值　m m,m ()1111()2222()(,,)0,0,0.011221,0)E OE POA OAE x y z OA x OA OE x z OE ⎧⎛⎫⎛⎫-→=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪III II ⎨⎝⎭⎝⎭⎪⎩⎫⎪=⎪⎧⎪⋅==⎪=−−−−−−→→⎬⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭-⎭求平面的法向量由得平面的法向量法向量设平面为n m =nn11,.21πcos ,24231,0)y P AO E ⎧⎪→=-→=-⎨⎪⎩⎫⋅⎪−−−−−−−→===→--⎬⋅⨯=-⎭-⎪→向量方法计算二面角二面角为锐角大断小判为令n m n m n m n m =n二面角+线面成角2016北京高考理17(),PAD ABCD AB AD AB PAD AB PD PAD ABCD AD AB ABCD PD PAB PD PAD PA PD PA AB PAB PA AB A ⎫⎫⊥⎪⎪⊥⎪⎪⊥⎪⎪−−−−−→⊥=⎬⎫⎪I ⎪−−−−−−−→⎬⎪⎪⊂⎪⎪−−−−−→⊥⎬⎪⊂⎪⎭⎪⊥⎪⎪⊂⎪=⎭⎪⎪⎭ 面面垂直的性质线面垂直的判定定理线面垂直的定义平面平面平面平面平面平面平面平面平面(),,AD O PO CO PA PD PO AD CO AD AC CD O OC PAD ABCD OA OP PO AD PO ABCD PO CO PAD x y ABCD AD PO PAD CO ABC z D II ⎫⎪⎪−⎫⎫⎪⎪=→⊥⊥⎬⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎫⊥⎪→⎬⎪⊥⎪⎪⊥⎪⎪−−−−−→⊥=⎬⎪⎪⎪⊂⎪⎪⎪⊂−⎪⎭⎭−−−−−→⎬⎪⎪⎭ 面面垂直的性质定理线面垂直的定义取的中点，连结以为原点，分别以、平面平面、为轴、轴、轴建立空间直平面平面平面平面平面(0,1,0)(1,1,0)(2,0,0)(0,1,0)(0,0,1)1,2,(,,)0,0,(011)200,(210)A B C D P AB AD PCD x y z PD y z PD x z PC PC AC CD −−→−−→−−→−−→⎫⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪→⎬⎨⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪==⎪⎭=⎫⎧⎪⋅=--=⎪⎪=--−−−−−→→⎬⎨-=⎪⎪⋅=⎩⎪==-⎭=求平面的法向量点坐标法向量为角坐，，，，标系设平面n nn 2(1,2,2). (1,1,1)sin |cos ,|||||(1,2,2)z PB PB PB PB θθ−−→−−→−−→−−→⎧→=→=-⎨⎩⎫⎪⎪⋅=-−−−−−−→=〈〉=⎬⎪⎭→=-⎪向量方法计算线面角令设线面角为　n n n n n ()000[0,1](,,)(0,,)(0,1,)(011)(010)(1,,)(1,2,2)//PA M AM AP M x y z AM M AP A BM BM PCDλλλλλλλλ−−→−−→−−→−−→−−→⎫⎫⎫III −−−−−−−−→=∈⎪⎪⎬⎪⎪⎭→=-⎬⎪→-⎬⎪⎪=-⎪⎭⎪⎪⎭⎫=--⎪⎪=-−−−−−−−−−→⎬⎪⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述直线、平面的位置关系存假设线段点在，面设，平，，，n 110410=[0,1]44AM BM AP λλ−−→−⋅=→-=→∈→=n()//////AMDE AB DE AB PDE B AM AB FG AB PDE DE PDE AB ABF ABF PDE FG ⎫⎪⎫⎪⎪⎪−−−−−−−→⎬⎪−−−−−→⎬⎪⊄⊂⎭⎪⎪⊂⎪⎪=⎭I ⎫→⎬⎭ 线面平行线面垂直的判定的判定定理四边形平面是的中点平面平平面，面平面平面 ()(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0)(0,0,2);,,(0,1,1)A A AB PA ABCDE PA AB PA AE B AE AP AB AE ABCDEC AMDE AB AE P AMDE B C P x A y z PE AE F F ⎧⎫⎫⊥⎫⎪−−−−−→⊥⊥⎪⎪⎬⎪→⊂⎬⎪⎪⎭→⎬⎨⎪→⊥⎭⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎩II 线面垂直的定义以为原点，分别以、平面、为轴、轴、轴平面建立空间直角坐标系分点坐标正方形正别为的中点,为棱的中点方形设平(,,)0,0, (100)1(0,1,1)0. 0,(011)(1,1,0)sin |cos ,||(0,1,1)x y z AB x AB z y z AFAF BC BC A BC BF αα−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→=⎫⎧⎪⋅==⎧⎪⎪=−−−−−→→→=→=-⎬⎨⎨+=⎩⎪⎪⋅=⎩⎪=⎭⎫⎪⎪⋅=−−−−−−→=〈〉=⎬⎪=-⎪⎭求平面的法向量向量方法计算线面角法向量为，，令，，设线面角为面n n n n n n n 1π26|||[0,1](,,)(2,,2)(2,,22)(212)(0,0,2)(2,,22)(0,1,1)BC H PC PH PC H u vw PH H PC P AH AH PCD λλλλλλλλλλλ−−→−−→−−→−−→−−→−−→⎫⎫⎫−−−−−−−−→=∈⎪⎬⎪⎪⎭⎪→=-⎬⎪→-⎬⎪⎪=-⎪⎭⎪⎪⎭⎫=-⎪⎪=-⎬⊂→⎪⎪⎭向量方法设直线上任意一点向量语言表述大在棱上，设，，小为点平面n n 24220230=[0,1](,,23333AH H PH λλ−−→−−−−−−−−−−→⋅=→-=→∈→→==直线、平面的位置关系　n()1111111111//,,DE A D AC BC DE AC DE BC DE CD DE A DC DE A C A D CD D A D CD A DC A C B A C A DC A C CD DE CD D DE CD BCDE ⎫⎫⎪⎪⊥⎧⊥⎪⎪⎪⊥→⎨⎪⎪⊥⎪⊥⎩⎪⎪−−−−−→⊥⎫⎪⎫⎪→⎬⎪I −−−−−−−→⎬⎪=⎪⎪⎪⎪⊂−−−−−−−→⊥⎬⎪⎪⎪⊂⎪⎭⎪⊥⎪⎪=⎪⎭⎬⎪⎪⎪⎭⊂⎪⎭线面垂直的判定定理线面垂直的判定定线面垂直的性质理平面平面平面平面平面CDE ()111111(0,0,(0,2,0)(0,1,(3,0,0)(2,2,0)3,6,//=2A AC BC CD BC C CB D A C BCDE A C BC CD CA x y M BC BCDE B A C CD E BC AC DE BC DE A B z E ⎧⎫⎫⊥→⊥⎪⎪⎪⎪⊥⎫⎪⎪⎪−−−−−→⊥→⎪⎬⎬⎪→⊂⎬⎨⎪⎪⎭⎪⎪⎪⊥⎪⎪⎭⎪⎪==⎭I ⎩I 线面垂直的定义以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系设平面点坐标平面，平面法向()11,,0,30,(3,0,1(2,1,20.0,(1,2,0)(0,1,sin cos ,(2,1,x y z A B x A B y x y BE BE CM CM θθ=⎫⎧⎪⋅=⎧-=⎪⎪⎪=-−−−−−→→→=→=⎬⎨⎨-+=⎪⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎭⎫⎪=−−−−−−→=〈〉=⎬⎪=⎭求平面的法向量向量方法计算线面角量为令设线面角为n n n n n n π4||||CMCM ⋅==→ 大小　为n n ()()()1111[0,3],0,0,,0,20,(0,2,2(2,,20.0,(,2,0)BC P p P p A DP x y z A D y A D x p px y DP DP p A DP ⎫⎪III −−−−−−−−→∈⎬⎪⎭=⎫⎧⎪⋅=⎧-=⎪⎪⎪=-−−−−−→→→=→=⎬⎨⎨-=⎪⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎭⊥向量方法设直线上任意一点求平面的法向量假设线存在设法向量为令平面设平平段点面m m m m 10402A BE p p p P−−−−−−−−−−→⋅=→++=→=-→向量语言表述直线、平面的位置关系面不存在点m n2018海淀二模理17()11111111111111111AB ABC AB ACAC ABC AC AB C AC ACAC B C AB AC A AB AC AB C B C AB C ⎫⎫I −−−−−→⎪⎬⎭⎪⎪⎫⊥⊥⎪⊂⎪⎪⊥⊥⎪−−−−−→⊥⎬=⎪⎪⊂⎪⎪⊂−−−−−−−→⎬⎪⎪⎭⎪⎭ 线面垂直的定义线面垂直的判定定理线面垂直的定义平面平面平面平面平面，()111111*********111111,,1//,/2////1,/2,A B M MA ME ME A C ME A C E B C ME ADME AD DE AA B B ABC A B C AD A C AD A C D AC AM AA ADEM DE AM B B DE AA B B ⎫⎫⎫⎪→=⎪⎪⎬⎪⎧⎪⎪⎭→→⎬⎨⎪=→-⎫⎬⎩⎪→=⎬⎪⎪⎭⎭⎪⎪→⊂I ⊄⎭I 取的中点四边形是平行四边形平面的中点中点连接是三棱柱面是　平面平 ()1111111111////2ABC A B C BC B C AC BC AC B C C CB CA Cz Cz AB Cz ABC Cz AC AB ABC Cz BC AC BC ABC AC BC AB x y z ⎫⎫-→⎫→⊥⎪⎪⎬⊥⎪⎭⎪⎪⎪→⎫⎫⎬⎪⎪→−−−−−−−→⊥⊥⎬⎧⎪I ⎬⎪−−−−−→⊥⎪⎬⎨⎪⎭⎪⊥⎩⎪⎪⎪⊂⎭⎭⎪⎪===I ⎭线面垂直的性质定理线面垂直的定义以为原点，分三棱柱作点坐标平面平面，平面别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系()111111(0,0,0)(2,0,0)(0,2,2)(2,2,2)(0,1,0)(1,2,2),,020,(2,0,0)1(0,1,1)220.0(0,2,2)C B B C D E BB C C x y z CB x CB y y z CB CB DE θ⎧⎪⎪⎪⎪⎨-⎪⎪⎪-⎪⎩=⎫⎧⎪⋅==⎧⎪⎪=−−−−−→→→=→=-⎬⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎪⎭求平面的法向量设平面法向量为令设线面角为n n nn (1,1,2)sin cos ,||||(0,1,1)DE DE DE θ⎫⋅⎪=-−−−−−−→=<>=→⎬⋅⎪=-⎭向量方法计算线面角正弦　值n n n n。