常微分方程典型例题

常微分方程练习题在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。

常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的微分方程。

常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物理学、经济学、工程学等。

本文将通过一些常见的常微分方程练习题来帮助读者巩固对这一概念的理解。

练习题一：一阶线性常微分方程求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。

解答：根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) =2x$。

首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。

解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。

接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。

首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。

最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。

练习题二：二阶齐次常微分方程求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。

解答：首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。

解这个二次方程得到重根 $r = 2$。

因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。

练习题三：二阶非齐次常微分方程求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。

解答：首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。

常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。

计 算 题1、求解微分方程2'22xy xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy+=通过点(0,0)的第三次近似解.3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dxdt y dydt x y==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=2410、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过(0,0)的第三次近似解.11、求解方程''+-=-y y y e x'24的通解12、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x(')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy+=通过点(0,0)的第三次逼近解.15、求解方程''+-=--y y y e x'22的通解16、求解方程xe y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ. 20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ϕ与精确解()x ϕ有如下误差估计式：1|()()|(1)!n n n ML x x x x n ϕϕ+-≤-+。

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdt x y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解 13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

常微分方程练习题常微分方程练习题常微分方程是数学中的重要分支，也是应用数学中的基础知识。

通过解常微分方程，可以描述许多自然现象和工程问题。

在学习常微分方程的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答，可以加深对常微分方程的理解和应用。

下面，我们来看一些常微分方程的练习题。

1. 求解一阶线性常微分方程y' + 2xy = x解：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先，求出齐次方程的通解：y' + 2xy = 0齐次方程的通解为 y = Ce^(-x^2)，其中 C 为常数。

然后，我们可以猜测特解形式为 y = u(x)e^(-x^2)，将其代入原方程得到： u'(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) + 2xu(x)e^(-x^2) = x简化后得到 u'(x)e^(-x^2) = xe^(x^2)，两边同时除以 e^(x^2) 得到：u'(x) = x对 u(x) 求积分，得到 u(x) = 1/2x^2 + C1，其中 C1 为常数。

将 u(x) 代入特解形式，得到特解为 y = (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)。

因此，原方程的通解为 y = Ce^(-x^2) + (1/2x^2 + C1)e^(-x^2)，其中 C 和C1 为常数。

2. 求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' + 4y' + 4y = 0解：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以通过特征方程来求解。

首先，设 y = e^(rx) 为方程的解，代入方程得到：r^2e^(rx) + 4re^(rx) + 4e^(rx) = 0化简后得到 r^2 + 4r + 4 = 0，解这个二次方程得到 r = -2。

因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 为常数。

3. 求解二阶非齐次线性微分方程y'' - y' - 2y = 2x解：这是一个二阶非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法来求解。

常微分方程练习题及答案常微分方程练习试卷一、填空题。

1、方程23210d xx dt +=就是阶 (线性、非线性)微分方程、 2、方程()x dyf xy y dx=经变换_______,可以化为变量分离方程、3、微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个、 4、设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= 、5、朗斯基行列式()0W t ≡就是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件、6、方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为、7、已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = 、8、方程组20'05??=x x 的基解矩阵为 .9、可用变换将伯努利方程化为线性方程、10 、就是满足方程251y y y y ''''''+++= 与初始条件的唯一解、11、方程的待定特解可取的形式:12、三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根就是二、计算题1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、2.求解方程13dy x y dx x y +-=-+、3、求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。

4.用比较系数法解方程、、5.求方程sin y y x'=+的通解、6.验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、7.设3124A -??=??-?? , ??-=11η ,试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ,求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解、8、求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解、9、求的通解试求方程组x Ax '=的解(),t ?12(0),η?ηη??==并求expAt10、若三、证明题1、若(),()t t Φψ就是()X A t X '=的基解矩阵,求证:存在一个非奇异的常数矩阵C ,使得()()t t C ψ=Φ、2、设),()(0βα?≤≤x x x 就是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=?x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ?在],[βα上一致收敛所得的解,而)(x ψ就是这积分方程在],[βα上的连续解,试用逐步逼近法证明:在],[βα上)()(x x ?ψ≡、3、设都就是区间上的连续函数, 且就是二阶线性方程的一个基本解组、试证明:(i) 与都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 与没有共同的零点;(iii) 与没有共同的零点、4、试证:如果)(t ?就是AX dtdX=满足初始条件η?=)(0t 的解,那么η?)(ex p )(0t t A t -=、答案一、填空题。

习题 2.51. 求解下列方程的解（1） ysinx+dxdy cosx=1 解：移项得，dxdy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ⎰x x d cos )(cos 1（⎰x cos 1e ⎰-x x d cos )(cos 1dx+c ）y=cosx(2)cos 1(⎰xdx+c) y=cosx(⎰2sec xdx+c) y=cosx(tanx+c)所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解(2)ydx-xdy=x 2ydy解：两边同除x 2得，2xxdy ydx -=ydy 则d （xy -）=d （22y ） 所以，xy y +22=c 为方程的通解。

（3）dxdy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy=4sinx-e y 所以dxe d y )(=4sinx-e y 令u=e y 得，u x dx du -=sin 4 u=e ⎰-dx 1 (⎰⎰dx xe sin 4dx+c)u=e -x (⎰x xe sin 4dx+c)又因为⎰x xe sin 4dx=4⎰x xde sin =4sinxe x -4⎰x e dsinx=4sinxe x -4⎰x xe cos dx=4sinxe x -4 ⎰x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4⎰x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4⎰x xe sin dx所以dx xe x ⎰sin 4=2e x sinx-2e x cosx （分步积分法） 即e y =e -x （2e x sinx-2e x cosx+c ）所以e y =2（sinx-cosx ）+ce -x 为方程的通解。

（4）dx dy =xyx y - 解：分子分母同除x 得，x yxydx dy -=1令u=x y ，则y=ux,由此u dx du x dx dy +=,代入原方程得，x dx du +u=uu -1 化简得，xdx du =uu u -1 当u u ≠0时，du uu u -1=x 1dx （dx x du uu u 1)11=- （dx xdu u u 1)123=-- c x u u+=--ln ln 21 1ln ln 2c u x u++=- )21(ln 2111c y u-+-= 令-c c =121 则c y u +-=ln 211 即c y y x +-=ln 21，2)ln 21(c y y x +-= 即x=y （-2)ln 21c y + 经验证，y=0也是方程的解。

常微分方程测试题1一、填空题30%1、形如的方程,称为变量分离方程,这里.分别为的连续函数;2、形如-的方程,称为伯努利方程,这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件;4、形如-的方程,称为欧拉方程,这里5、设的某一解,则它的任一解-;二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解;3、求方程的隐式解;4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵;2.设为方程x=AxA为n n常数矩阵的标准基解矩阵即0=E,证明:t =t- t其中t为某一值.<%建设目标%>常微分方程测试题2一、填空题：30%1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们有或无共同零点．7、设是方程的通解,则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一解.9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根,则该方程相应于的K个线性无关解是.10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：40%1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.10分四、求解微分方程组满足初始条件的解.10%五、证明题：10%设,是方程的解,且满足==0,,这里在上连续,．试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题31．辨别题指出下列方程的阶数,是否是线性方程：12%1234562、填空题8%1．方程的所有常数解是___________.2．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________.3.若方程Mx, y d x + Nx, y d y= 0是全微分方程,同它的通积分是________________.4.设Mx0, y0是可微曲线y=yx上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题14%1．方程是.A可分离变量方程B线性方程C全微分方程D贝努利方程2．方程,过点0,0有.A一个解B两个解C无数个解D三个解3．方程xy2－1d x+yx2－1d y=0的所有常数解是.A y=±1,x=±1,B y=±1C x=±1D y=1,x=14．若函数yx满足方程,且在x=1时,y=1,则在x =e时y= .A B C2 De5．阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A维B维C维D维6.方程奇解．A有三个B无C有一个D有两个7．方程过点．A有无数个解B只有三个解C只有解D只有两个解4.计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4.5.5.计算题10%求方程的通解．6．证明题16%设在整个平面上连续可微,且．求证：方程的非常数解,当时,有,那么必为或<%建设目标%>常微分方程测试题41．辨别题指出下列方程的阶数,是否是线性方程：12%1234562、填空题8%1．方程的所有常数解是___________.2．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________.3.若方程Mx, y d x + Nx, y d y= 0是全微分方程,同它的通积分是________________.4.设Mx0, y0是可微曲线y=yx上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题14%1．方程是.A可分离变量方程B线性方程C全微分方程D贝努利方程2．方程,过点0,0有.A一个解B两个解C无数个解D三个解3．方程xy2－1d x+yx2－1d y=0的所有常数解是.A y=±1,x=±1,B y=±1C x=±1D y=1,x=14．若函数yx满足方程,且在x=1时,y=1,则在x =e时y= .A B C2 De5．阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A维B维C维D维6.方程奇解．A有三个B无C有一个D有两个7．方程过点．A有无数个解B只有三个解C只有解D只有两个解4.计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2.3.4.5.5.计算题10%求方程的通解．6．证明题16%设在整个平面上连续可微,且．求证：方程的非常数解,当时,有,那么必为或常微分方程测试题5一、填空题30%1．若y=y1x,y=y2x是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个,其中,．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是． 6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题40%求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题30%1．试证明：对任意及满足条件的,方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续,且,求证：方程的任意解均有．3．设方程中,在上连续可微,且,．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．常微分方程测试题6一、填空题20%1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题25%1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是个．A B-1C+1D+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．A充分B必要 C充分必要D必要非充分3.方程过点共有个解．A一B无数C两D三4．方程奇解．A有一个B有两个C无D有无数个5．方程的奇解是．A B C D三、计算题25%=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分30%1.2.3.常微分方程测试题7一.解下列方程80%1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x+}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05.=6-x6.=27.已知fx=1,x0,试求函数fx的一般表达式;8．一质量为m质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比比例系数为的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比比例系数为;试求此质点的速度与时间的关系;二．证明题20%1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解;2．试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试同齐次函数,且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子常微分方程测试题8计算题.求下列方程的通解或通积分70%1.2.3.4.5．6．7．证明题 30%8.在方程中,已知,在上连续,且．求证：对任意和,满足初值条件的解的存在区间必为9.设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件,且,是定义在区间I上的两个解．求证：若<,,则在区间I上必有<成立常微分方程测试题9一、填空题30%1、方程有只含的积分因子的充要条件是;有只含的积分因子的充要条件是______________;２、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________;３、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________;４、若为阶齐线性方程的个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________;５、形如___________________的方程称为欧拉方程;６、若和都是的基解矩阵,则和具有的关系是_____________________________;７、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________;二、计算题６０％1、２、３、若试求方程组的解并求expAt ４、５、求方程经过0,0的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题１０％１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解;常微分方程测试题10一、选择题30%1微分方程的阶数是____________2若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_________________________3 _________________________________________称为齐次方程.4如果___________________________________________ ,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中_______________________ .5对于任意的,为某一矩形区域,若存在常数使______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.6方程定义在矩形区域:上,则经过点的解的存在区间是___________________7若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________8若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________9若为毕卡逼近序列的极限,则有__________________ 10_________________________________________称为黎卡提方程,若它有一个特解,则经过变换___________________,可化为伯努利方程．二求下列方程的解 35%１２求方程经过的第三次近似解３讨论方程,的解的存在区间4求方程的奇解567三证明题 35%1试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一<%建设目标%>常微分方程测试题 11一．填空题30%;1、当_______________时,方程Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全微分方程;2、________________称为齐次方程;3、求=fx,y满足的解等价于求积分方程____________________的连续解;4、若函数fx,y在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是__________;5、若为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________;6、方程组的_________________称之为的一个基本解组;7、若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =____________8、满足___________________的点,称为方程组的奇点9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________;二、计算题60%1、求解方程：=2、解方程：2x+2y-1dx+x+y-2dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点0,0的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵,并计算6、试讨论方程组1的奇点类型,其中a,b,c为常数,且ac0;三、证明题10%;试证：如果满足初始条件的解,那么常微分方程测试题13一、判断题10%1．方程是恰当方程;2．是三阶微分方程;3．是方程的通解;4．函数组线性相关的充要条件是它们的伏朗斯基行列式等于零;5．方程是二阶线性方程;二、选择题101．方程定义在矩形域上,则经过点的解的存在区间是;A．B．C．D．2．与初值问题等价的一阶方程组是________. A．B．C．D．3．方程是一个函数矩阵的解空间构成________维线性空间.A．n-1 B．n C．n+1 D．4．微分方程的一个解是A．B．C．D．5．方程有积分因子A．B．C．D．三、填空题20%1．方程通过点的第二次近似解是________________;2．当_______________时,方程Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全微分方程;3．如果在且,则方程存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中,;4．若1,2,……,是齐线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程5．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________;6．利用变量替换__________可把方程化为变量分离方程___________________;7.若都是=AtX的基解矩阵,则具有关系：;8．方程的一个特解是________________________9．形如的方程称为欧拉方程;10．若是常系数线性方程组的基解矩阵,则expAt =____________;四、计算题60%1．求方程的通解;8分2．求解下列初值问题：;8分常微分方程测试题14一、判断题10%1．方程是二阶非线性方程;2．方程的通解是;3．利普希茨条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件; 4．向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念并不等价; 5．若是阶齐次线性方程的个解,其伏朗斯基行列式,则在I上线性相关;二、选择题10%1．曲线满足方程A． B． C． D．2．积分方程的一个解是A． B． C． D．3．若微分方程有积分因子,则满足A． B．C． D．4．微分方程可化为A．B．C．D．5．设有微分方程,则有123A．方程1是线性方程式 B．方程2是线性方程C．方程3是线性方程 D．它们都不是线性方程三、填空题20%1.含有自变量、未知函数及它的导数或微分的方程,称为________________方程2．利用变量替换__________可把方程化为变量分离方程___________________;3．方程的一个特解是________________________;4．方程是自变量的对应的特征方程是_________________________; 5．一曲线,其上每点处的切线斜率为该点横坐标的二倍,且通过点,则该曲线方程是________________;6．微分方程初值问题与积分方程_________________________等价; 7．如果在矩形域R上满足：①_______________,②____________________,则方程存在惟一解;8．方程有仅与有关的积分因子的充要条件是___________; 9．方程的常数解是____________________;10．微分方程是自变量的通解是_______________________;方程通过点的第二次近似解是________________四、计算题60%1．求方程的通解;8分2．求方程8分3．求方程9分4．求方程的通解;8分5．求方程的通解;9分6．求非齐次方程的通解;7．已知微分方程组的基解矩阵是, 求微分方程组的通解;9分。

第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。

( )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。

( )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。

( )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。

( )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。

() 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。

( )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。

( )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。

( )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。

( )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是 。

②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。

③x yy dx dyx ln ⋅=是 。

④x x y y x sin 2+='是 。

⑤02=-'+''y y y 是 。

2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。

3．x e y 2-=''的通解是 。

4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。

5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。

6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 阶微分方程。

7．xy 1=所满足的微分方程是 。

8．x y y 2='的通解为 。

9．0=+xdy y dx 的通解为 。

10．()25112+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。

数学必修二：常微分方程习题答案1. 问题1已知常微分方程dy/dx = x + y，求解该微分方程。

解答：将该微分方程重新整理，得到(dy/dx) - y = x。

这是一个一阶线性常微分方程。

首先求解其齐次方程(dy/dx) = y。

解齐次方程得到y = ce^x，其中c为任意常数。

然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^x，其中u(x)是待定函数。

将y代入原方程得到(u'e^x + u)e^x - u(x)e^x = x，化简可得u'e^x = x，解这个常微分方程得到u(x) = (1/2)x^2 + C1，其中C1为常数。

因此，原方程的通解为y = ce^x + (1/2)x^2 + C1e^x，其中c和C1为任意常数。

2. 问题2已知常微分方程 dy/dx = 2xy，求解该微分方程。

解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx - 2xy = 0。

这是一个一阶线性齐次微分方程。

首先求解其齐次方程 dy/dx = 2xy，将其变形为 dy/y = 2x dx，并对两边同时积分，得到 ln|y| = x^2 + C，其中C为常数。

解出y为 y = Ce^(x^2)，其中C为常数。

3. 问题3已知常微分方程 dy/dx + y = 3e^(-x)，求解该微分方程。

解答：将该微分方程进行整理，得到 dy/dx = 3e^(-x) - y。

这是一个一阶非齐次线性微分方程。

首先求解其齐次方程dy/dx = -y，得到y = Ce^(-x)，其中C为常数。

然后我们利用常数变易法，假设原方程的特解形式为y = u(x)e^(-x)，其中u(x)是待定函数。

将y代入原方程得到 (u'e^(-x) - u)e^(-x) = 3e^(-x)，化简可得 u' = 3，解这个常微分方程得到u(x) = 3x + C1，其中C1为常数。

因此，原方程的通解为 y = ce^(-x) + (3x + C1)e^(-x)，其中c和C1为任意常数。

第十四章 常微分方程典型习题解答与提示习 题 14-11．（1）一阶； （2）二阶； （3）三阶； （4）一阶。

2．（1）2xy y '=，25y x =，因10y x '=，将y 及y '代入微分方程有 21025x x x ⨯=⨯恒成立，则函数25y x =是微分方程2xy y '=的解；（2）0y y ''+=，3sin 4cos y x x =-，因3cos 4sin y x x '=+，3sin 4cos y x x ''=-+， 将y 及y ''代入微分方程(3sin 4cos )(3sin 4cos )0x x x x -++-=恒成立， 则函数3sin 4cos y x x =-是微分方程0y y ''+=的解；（3）20y y y '''-+=，2x y x e =，因22x xy xe x e '=+，224xxxy e xe x e ''=++，将y ，y '，y ''代入微分方程222(24)2(2)20xxxxxxxe xe x e xe x e x e e ++-++=≠ 方程不成立，则函数2xy x e =不是微分方程20y y y '''-+=的解； （4）1212()0y y y λλλλ'''-++=，1212xx y c ec e λλ=+，因121122x x y c e c e λλλλ'=+，12221122xx y c ec e λλλλ''=+，将y ，y '，y ''代入微分方程，有1212122211221211221212()()()()0x x x x x x c e c e c e c e c e c e λλλλλλλλλλλλλλ+-++++=恒成立，则函数1212xx y c ec e λλ=+是微分方程1212()0y y y λλλλ'''-++=的解。

计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。

2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。

7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。