勾股定理与图形面积关系的拓展

从勾股定理到图形面积关系的拓展HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】从勾股定理到图形面积的拓展教学目标：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力教学重点：利用勾股定理，解决实际问题教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。

教学过程：一、 向外拓展正方形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+∴ 132s s s =+拓展练习：1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？请试一试．2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=（）3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11.求正方形b的面积.4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和为多少?二、向外拓展正三角形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+如图做三角形2s 的高h ，因为2s 是以b 为边的等边三角形，易得 h=b 23，2s =b b 2321••=243b 同理：2343a s =，2143c s =；)(432232b a s s +=+，根据勾股定理222c b a =+得23243c s s =+=1s 即：132s s s =+三、向外拓展正五边形如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，求证：132s s s =+1s S2 3s证明：如图连接正五边形的中心O 与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h,∵cot α=2c h , ∴αcot 2c h =, ∴ααcot 455cot 22121•=••=c c c S . 同理：αcot 4522•=b s ，αcot 4523•=a s ，∴)(cot 45cot 45cot 45222232a b a b s s +=•+•=+ααα 由勾股定理得：222c b a =+，∴1232cot 45s c s s =•=+α 即：132s s s =+依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n 边形时. αcot 422•=b n s ，αcot 423•=a n s ，αcot 421•=c n S ，根据勾股定理：222cb a =+，1232cot 4sc n s s =•=+α 即：132s s s =+通过上面的证明我们就得到了“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和.”四、向外拓展半圆 同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”. 下面我们来看证明： 已知：如图，直角三角形的两直角边为a,b ，斜边为c,分别以a,b,c 为直径做半圆. 求证：132s s s =+证明：∵ 2218)2(21c c s ππ==，2228)2(21b b s ππ==， 2238)2(21a a s ππ== ∴ )(888222232a b a b s s +=+=+πππ，由勾股定理222c b a =+得：122222328)(888s c a b a b s s ==+=+=+ππππ，即：132s s s =+拓展练习：把大半圆向上翻折，得到如下图：SS欣赏勾股图教学总结：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，从勾股定理到图形面积关系的拓展练习中感受学习数学的魅力，体会古代数学的文化成就．。

勾股定理与三角形面积的关系勾股定理是三角学中的基础定理之一，它描述了直角三角形的边与斜边之间的关系。

三角形的面积是另一个重要的概念，表示了平面图形的大小。

本文将探讨勾股定理与三角形面积之间的关系，并且通过具体的例子来进一步说明这一关系。

一、勾股定理的定义和应用勾股定理是指在任意直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

即对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²这一定理在解决各类几何问题中有着广泛的应用。

例如，我们可以利用勾股定理求解三角形的边长、判断一个三角形是否为直角三角形以及计算三角形的周长等。

二、三角形的面积公式三角形的面积是根据其底边和高来计算的。

对于一个三角形，设其底边为b，高为h，则三角形的面积S可以表示为：S = 1/2 * b * h这一公式可以用于计算各种类型的三角形的面积，包括直角三角形、等腰三角形和一般三角形等。

三、三角形面积与勾股定理的关系接下来，我们将探讨三角形面积与勾股定理的关系。

首先，我们回顾一下直角三角形的特点，其中的一个角为直角（即90度），而另外两个角分别为锐角和钝角。

对于直角三角形，斜边的长度即为直角边界线的最大长度。

考虑一个直角三角形，直角边的长度分别设为a和b，斜边的长度为c。

根据勾股定理可知：a² + b² = c²假设我们将直角边a和直角边b所在的线段绘制成一个矩形，其边长分别为a和b。

那么这个矩形的面积就是a*b。

另一方面，直角三角形的面积可以表示为S。

我们可以将直角三角形分成两个等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的面积为S/2。

由此可得：a *b = 2 * (S/2)a *b = S由此可见，在一个直角三角形中，直角边的乘积恰好等于这个三角形的面积。

这是因为直角边的乘积实际上就是以直角边作为底边和高的矩形的面积。

这个关系可以进一步扩展到一般三角形。

浙教版数学八年级上册《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》教案1一. 教材分析《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》是浙教版数学八年级上册的一篇阅读材料。

本节课主要通过介绍勾股定理以及图形面积关系的拓展，让学生了解并掌握勾股定理在解决实际问题中的应用，以及图形面积计算方法的拓展。

教材通过阅读材料的形式，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了勾股定理，对勾股定理有一定的认识和理解。

但如何在实际问题中应用勾股定理，以及图形面积关系的拓展，可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将已知的勾股定理与实际问题相结合，通过探究和解决实际问题，加深对勾股定理的理解和应用。

三. 教学目标1.了解勾股定理在解决实际问题中的应用。

2.掌握图形面积计算方法的拓展。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：勾股定理在解决实际问题中的应用，图形面积计算方法的拓展。

2.难点：如何将勾股定理与实际问题相结合，运用图形面积计算方法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。

通过设置问题情境，引导学生主动探究，以实际案例分析为基础，让学生在解决问题的过程中掌握勾股定理的应用和图形面积计算方法的拓展。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。

2.准备图形面积计算的相关材料。

3.准备教学PPT。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题情境，如测量一个直角三角形的斜边长度，引导学生回顾勾股定理。

让学生思考：勾股定理在解决这个问题中起到了什么作用？2.呈现（15分钟）呈现一系列与勾股定理相关的实际问题，让学生独立思考并尝试解决。

如：一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长度。

引导学生运用勾股定理解决问题。

3.操练（20分钟）让学生分组合作，探讨并解决更多的实际问题。

如：一个长方形的长和宽分别为8cm和6cm，求长方形的对角线长度。

浙教版数学八年级上册《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》教学设计1一. 教材分析《阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展》是浙教版数学八年级上册的一篇阅读材料。

本节课主要通过介绍勾股定理及其在几何图形面积计算中的应用，让学生了解勾股定理的来历，理解勾股定理的本质，掌握运用勾股定理解决一些简单几何图形面积问题的方法。

教材通过丰富的阅读材料，激发学生的学习兴趣，培养学生的阅读理解能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了勾股定理的定义和证明，对勾股定理有一定的了解。

但部分学生对勾股定理的理解停留在死记硬背上，缺乏深入理解和灵活运用。

此外，学生在之前的学习中已经接触过一些几何图形的面积计算，但对于如何运用勾股定理解决面积问题还不太清楚。

因此，在教学过程中，教师需要帮助学生深化对勾股定理的理解，引导学生将勾股定理与面积计算相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.了解勾股定理的来历，理解勾股定理的本质。

2.掌握运用勾股定理解决一些简单几何图形面积问题的方法。

3.培养学生的阅读理解能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

4.激发学生的学习兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.重点：了解勾股定理的来历，理解勾股定理的本质；掌握运用勾股定理解决一些简单几何图形面积问题的方法。

2.难点：如何引导学生将勾股定理与面积计算相结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解勾股定理的来历、证明和应用，帮助学生了解和掌握勾股定理。

2.阅读理解法：学生通过阅读教材中的阅读材料，提高阅读理解能力，理解勾股定理在面积计算中的应用。

3.实践操作法：学生通过动手操作，解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

4.讨论交流法：学生通过小组讨论，分享学习心得，互相学习，提高学习效果。

六. 教学准备1.教材：浙教版数学八年级上册。

深入了解三角形的面积和勾股定理三角形的面积和勾股定理是数学中的基本概念和定理。

通过深入了解这些内容，我们可以更好地理解和应用三角形的相关性质。

本文将从三角形的面积开始探讨，然后介绍勾股定理，最后总结其应用。

一、三角形的面积三角形是几何学中最基本的图形之一，其面积的计算是几何学的核心问题之一。

1. 三角形的面积公式对于任意三角形，其面积可以通过底边的长度和对应的高来计算。

假设三角形的底边长为a，高为h，则三角形的面积S可以表示为：S = 0.5 * a * h。

2. 随着形状变化的三角形面积计算除了常见的直角三角形，其他形状的三角形也可以通过不同的方法计算面积。

①等边三角形：等边三角形的三条边相等，其面积可以通过公式S = (边长)^2 * 根号3 / 4来计算。

其中根号3 / 4为一个常数。

②等腰三角形：等腰三角形的两边相等，可以通过底边和高来计算面积。

假设等腰三角形的底边为a，高为h，则面积可以表示为：S = 0.5 * a * h。

③任意形状的三角形：对于一般的三角形，我们可以利用海伦公式来计算其面积。

给定三角形的三条边长a、b、c，半周长为p = (a + b +c) / 2，则三角形的面积可以表示为：S = 根号(p * (p-a) * (p-b) * (p-c))。

二、勾股定理勾股定理是三角学中一个重要的定理，描述了直角三角形三边之间的关系。

1. 定理表述勾股定理的数学表述为：在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。

假设一个直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则勾股定理可以表示为：a^2 + b^2 = c^2。

2. 勾股定理的应用勾股定理在数学和物理等领域有广泛的应用。

①解决三角形的边长和角度：通过已知一个直角三角形的两边，可以利用勾股定理求解第三边的长度；通过已知两边或一边和一个角度，同样可以使用勾股定理计算出三角形的其他边长或角度。

②解决实际问题：勾股定理可以应用于测量问题，例如测量难以直接测量的距离，同时还可以帮助解决导弹飞行轨迹计算、地图测量等实际问题。