利用勾股定理求面积

勾股定理在几何学中的应用引言：勾股定理是数学中的一条基本定理，可以用来描述直角三角形的边长关系。

不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在几何学中也有重要的应用。

本文将探讨勾股定理在几何学中的应用，并详细介绍一些相关的几何问题和解决方法。

一、勾股定理的基本原理勾股定理是描述直角三角形边长关系的基本公式，其数学表达方式为：c²= a²+ b²。

其中，c 表示直角三角形的斜边（也即斜边的长度），a 和 b 分别表示直角三角形的两条直角边（也即直角边的长度）。

勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯所发现和证明的，他因此而得到了命名。

二、直角三角形的面积计算在几何学中，勾股定理可以用来计算直角三角形的面积。

根据勾股定理，可以推导得到直角三角形的面积公式为：面积 = 1/2 * 底 * 高。

在这个公式中，底表示直角三角形的一条直角边（也即直角边的长度），高表示直角三角形的另一条直角边（也即直角边的长度）。

通过勾股定理，我们可以得到直角三角形两条直角边的长度，从而计算出其面积。

三、勾股定理在解决三角形问题中的应用勾股定理不仅可以用来计算直角三角形的边长和面积，还可以应用于解决一些与三角形相关的几何问题。

1. 判断三角形是否为直角三角形：通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。

如果三角形的三条边满足勾股定理的条件（即a² + b² = c²），那么该三角形就是直角三角形。

2. 寻找直角三角形的边长：在一些问题中，已知一个直角三角形的一条直角边和斜边的长度，我们可以利用勾股定理求解出另一条直角边的长度。

通过这种方法，我们可以准确地确定直角三角形的边长。

3. 解决相关角度和长度问题：勾股定理可以被应用于解决一些涉及角度和长度的几何问题，如计算三角形的内角和、外角和以及边长比例等。

通过建立相关方程，我们可以利用勾股定理得到所需的结果。

四、勾股定理在实际问题中的应用除了在几何学中的应用，勾股定理还可以在实际生活和工作中的问题中得到应用。

初中数学如何使用勾股定理计算三角形的面积
勾股定理是一个三角形的重要定理，它可以帮助我们计算三角形的边长和面积。

勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

以下是使用勾股定理计算三角形面积的方法：
假设已知一个直角三角形ABC，其中直角边为AB，斜边为AC，直角边和斜边的长度分别为a，b，c。

方法1：使用勾股定理和面积公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据三角形的面积公式，可得到以下关系：
-面积= (1/2) * 直角边1 * 直角边2
步骤3：将勾股定理中的等式代入面积公式，整理得到以下关系：
-面积= (1/2) * a * b
方法2：使用勾股定理和海伦公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据海伦公式，可得到以下关系：
-面积= √[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]
其中，s为半周长，s = (a + b + c) / 2
需要注意的是，以上方法适用于直角三角形。

对于一般的三角形，我们可以先使用勾股定理判断是否为直角三角形，然后再进行计算。

通过以上方法，我们可以计算出三角形的面积。

在计算过程中，需要注意保持精度和正确使用长度单位。

勾股定理的面积公式
勾股定理是一个古老的数学定理，它指出，在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

它是由古希腊数学家苏格拉底发现的，他发现了一个直角三角形的三条边的长度之间的关系，即勾股定理。

勾股定理的面积公式是：面积=1/2*直角边1*直角边2。

这个公式表明，在一个直角三角形中，两条直角边的乘积除以2，就是该三角形的面积。

勾股定理的面积公式可以用来计算任何直角三角形的面积，只要知道它的两条直角边的长度。

这个公式也可以用来计算任何矩形的面积，因为矩形也是一个特殊的直角三角形，它的两条直角边相等。

勾股定理的面积公式也可以用来计算任何梯形的面积，因为梯形也是一个特殊的直角三角形，它的两条直角边不相等。

只要知道梯形的两条直角边的长度，就可以用勾股定理的面积公式来计算梯形的面积。

勾股定理的面积公式是一个非常有用的数学工具，它可以用来计算任何直角三角形、矩形和梯形的面积。

它的简单性和实用性使它成为一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们解决许多实际问题。

勾股定理的三角形面积计算方法勾股定理是数学中的一个基本定理，它描述了直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。

根据这个定理，我们可以推导出计算三角形面积的方法。

本文将探讨如何利用勾股定理来计算三角形的面积，并提供一些例题来帮助读者更好地理解。

一、勾股定理简介勾股定理可追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，以其名字命名。

它的数学表达式为：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度。

该定理可以用于求解任意直角三角形中的边长，也可以应用于计算三角形的面积。

二、计算三角形面积的方法根据勾股定理，我们可以利用直角三角形的两个直角边的长度来计算其面积。

一般而言，我们可以使用以下公式来计算三角形的面积：面积 = 1/2 * 直角边a * 直角边b其中，直角边a和直角边b分别表示直角三角形的两个直角边的长度。

这个公式的推导过程如下：1. 已知直角边a和直角边b的长度，根据勾股定理可得斜边c的长度：c = √(a² + b²)。

2. 将斜边c代入三角形面积公式：面积= 1/2 * a * b = 1/2 * a * √(c² - a²)。

值得注意的是，我们一般会选择较为简便的方法来计算三角形的面积。

在已知直角边a和直角边b的情况下，可以直接使用公式面积 = 1/2 * a * b来计算三角形的面积。

三、例题解析为了更好地理解利用勾股定理计算三角形面积的方法，我们提供以下例题解析。

例题1：已知直角三角形的直角边a = 3，直角边b = 4，求三角形的面积。

解答：根据上述公式，面积 = 1/2 * a * b。

将已知数据代入公式，可得面积= 1/2 * 3 * 4 = 6。

因此，该直角三角形的面积为6。

例题2：已知直角三角形的直角边a = 5，直角边b = 12，求三角形的面积。

解答：同样地，根据面积 = 1/2 * a * b的公式，代入已知数据可得面积 = 1/2 * 5 * 12 = 30。

专题01 勾股定理的基本应用题型一 求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为　14　．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60　．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是　4　．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为　8　．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6　．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++=　18　．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二 求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长　2　．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为　【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为　3　．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三 通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE =　76　．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于　6　．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。

勾股定理知识总结一：勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题二：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。

三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

利用勾股定理求图形面积作者：刘权引来源：《初中生之友·中旬刊》2013年第05期勾股定理揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以帮助我们解决许多与直角三角形有关的计算问题，下面就如何运用勾股定理解决面积问题举例说明，供同学们参考。

一、直接运用例1 如图1，BC=4 cm，AB=3 cm，AF=12 cm，求正方形CDEF的面积。

分析利用勾股定理求出CF 2，即是正方形CDEF的面积。

解在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2=AB2+BC2=42+32=52。

同理在Rt△ACF中，CF 2=AF 2+AC 2=122+52=169，所以S正方形CDEF的面积=CF2=169（cm2）。

例2 如图2所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，大正方形的边长为9 cm，则四个正方形A、B、C、D的面积的和是________cm2。

分析根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，可发现四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积。

解由图形可知，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A、B、C、D 的面积之和等于81 cm2。

点评根据勾股定理的几何意义，一个数的平方的几何意义就是以该数为边的正方形的面积。

解题时要熟练运用勾股定理进行面积的转换。

二、通过构造直角三角形应用例3 如图3，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。

分析考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°，可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其他知识来解决。

解延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。

因为∠A=60°，所以∠E=30°。

又AB=2，CD=1，所以AE=2AB=4，CE=2CD=2。

由勾股定理得，DE==，BE==2。

所以S四边形ABCD =S△ABE -S△CDE=×2×2-×1×=。

三角形面积公式有几种三角形是最基本的几何形状之一，研究三角形的性质是数学的重要内容之一。

而计算三角形的面积是解决三角形相关问题的必备环节之一。

在数学中，我们可以利用不同的方法来计算三角形的面积，本文将讨论三角形面积公式的几种常见方法。

一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三边长计算面积的方法。

它是由古希腊数学家海伦提出的，可以用于任意三角形。

设三角形的三边长分别为a、b、c，半周长为s，那么根据海伦公式，三角形的面积S可以计算为：S = √(s × (s-a) × (s-b) × (s-c))其中，s = (a + b + c) / 2。

海伦公式是计算三角形面积的一种便捷方法，尤其适用于不规则三角形。

二、底边高公式底边高公式是最简单直接的计算三角形面积的方法。

对于一个已知底边长度为b，高为h的三角形，可以直接应用底边高公式来计算面积。

三角形的面积S = 1/2 ×底边长度 ×高三、正弦公式正弦公式是通过三角形的一个角度和两边长计算面积的方法。

对于一个已知夹角A，以及其中一边长a和另一边长b的三角形，可以应用正弦公式计算面积。

三角形的面积S = 1/2 × a × b × sin(A)其中A为夹角的度数，sin(A)为角A的正弦值。

四、直角三角形的勾股定理对于一个直角三角形，即其中一个角为90度，可以利用勾股定理计算面积。

勾股定理表达了直角三角形的两条直角边a、b与斜边c之间的关系：c² = a² + b²三角形的面积S = 1/2 × a × b其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。

五、向量法另外一种计算三角形面积的方法是利用向量的性质。

对于三角形的两个边a、b，可以通过计算它们的叉积的模长来得到三角形的面积。

三角形的面积S = 1/2 × |a × b|其中|a × b|表示向量a和向量b的叉积的模长。

专题1.2 勾股定理章末重难点题型【人教版】【考点1 利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在Rt AED D 中，90E Ð=°，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED D 的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．5B ．25C ．7D ．10【分析】根据勾股定理得到5AD ==，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：Q 在Rt AED D 中，90E Ð=°，3AE =，4ED =，5AD \==，Q 四边形ABCD 是正方形，\正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．24B ．56C ．121D ．100【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：E F GS S S =+A B C DS S S S =+++100=；即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，以AC 、BC 为直径作半圆1S和2S ，且122S S p +=，则AB 的长为( )A ．16B ．8C ．4D ．2【分析】根据勾股定理得到222AC BC AB +=，根据圆的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，222AC BC AB +=，2222111()()()222228AC BC AC BC p p p p ´+´=´+=，解得，2216AC BC +=，则22216AB AC BC =+=，解得，4AB =，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222a b c +=．【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等于( )A ．25B ．31C ．32D ．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出2AB 、2AC ，进而得到2BC ，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：21213AB S S =+=，23418AC S S =+=，22231BC AB AC \=+=，231S BC \==．故选：B ．【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．【考点2 判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )A ．4a =，5b =，6c =B ．::5:12:13a b c =C ．a =，b =，c =D ．4a =，5b =，3c =【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：A 、222456+¹，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B 、设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、(2(+2(=2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式2-1】（2018春•淮南期中）a 、b 、c 为ABC D 三边，不是直角三角形的是( )A ．::3:4:5A B C ÐÐÐ=B ．54a =，1b =，34c =C ．222a c b =-D ．8a k =，17b k =，15c k=【分析】利用勾股定理的逆定理判断B 、C 、D 选项，用直角三角形各角之间的关系判断A 选项．【答案】解：A 、::3:4:5A B C ÐÐÐ=Q ，\设3A x Ð=，则4B x Ð=，5C x Ð=，180A B C Ð+Ð+Ð=°Q ，即345180x x x ++=°，解得，15x =°，55157590x \=´°=°<°，故本选项错误；B 、2226810+=Q ，222a b c \+=，故本选项正确；C 、222a b c =-Q ，222a c b \+=，故本选项正确；D 、22281517k k k +=Q ，222a b c \+=，故本选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有( )①如果0A B C Ð+Ð-Ð=，那么ABC D 是直角三角形；②如果::5:12:13A B C ÐÐÐ=，则ABC D 是直角三角形；③，则ABC D 为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC D 是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C Ð为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90°的角；③，则有2271017x +=；④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为90°来判定．【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A 、B 、C 、D 、E 、F 、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )A ．点A 、点B 、点CB ．点A 、点D 、点GC ．点B 、点E 、点FD ．点B 、点G 、点E【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：A 、213637AB =+=，2162541AC =+=，21910BC =+=，371041+¹，不可以构成直角三角形；B 、2161632AD =+=，293645AG =+=，2145DG =+=，32545+¹，不可以构成直角三角形；C 、2361652BE =+=，2252550BF =+=，2112EF =+=，50252+=，可以构成直角三角形D 、225934BG =+=，2361652BE =+=，29110GE =+=，341052+¹，不可以构成直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．【考点3 利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A ．20cmB ．13cmC ．14cmD ．18cm【分析】根据题意画出图形，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP 即可．【答案】解：如图展开，连接AP ，则AP 就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C Ð=°，11052AC cm cm =´=，20BC cm =Q ，35PC BC =，12CP cm \=，由勾股定理得：13()AP cm ===，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A ．15 dmB ．17 dmC ．20 dmD ．25 dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为(23)3dm +´，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++´=，解得17x =．故选：B ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )A ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A 、B ¢，则13138()AA cm ¢=+++=，6A B cm ¢¢=，根据两点之间线段最短，10AB cm ¢==．故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A 厘米B ．10厘米C ．厘米D ．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：P A ¢®，将圆柱展开，10PA cm ¢===，最短路程为10PA cm ¢=．故选：B ．【点睛】此题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【考点4 勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a 为1个大于1的奇数，b ，c 是两个连续的自然数，且有a ²=b+c ，则a,b,c 为一组勾股数；（2）如果a,b,c 为一组勾股数，那么na ，nb ，nc 也是一组勾股数，其中n 为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3）23，24，25（4）7，24，25 （5），【分析】根据勾股数：满足222a b c += 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【答案】解：因为2226810+=；22272425+=，6，8，10，7，24，25都是正整数\勾股数有2组，故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足222a b c +=，则三角形ABC 是直角三角形．【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理222a b c +=本身就是一个关于a ，b ，c 的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数(a ，b ，)c 通常叫做勾股数．如果三角形最长边2221c n n =++，其中一短边21a n =+，另一短边为b ，如果a ，b ，c 是勾股数，则b = （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）【分析】根据勾股定理解答即可．【答案】解：2221c n n =++，21a n =+222b n n \=+，故答案为：222n n+【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26¼¼请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n 组数，则这组数中的第一个数是2(1)n +，第二个是：(2)n n +，第三个数是：2(1)1n ++．根据这个规律即可解答．【答案】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(1)n +；第二个是：(2)n n +；第三个数是：2(1)1n ++．所以第⑦组勾股数：16，63，65．故答案为：16，63，65．【点睛】考查了勾股数，规律型：数字的变化类，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．【变式4-3】（2019春•永城市期中）探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)¼可发现，23142-=，251122-=，271242-=请写出第5个数组： ．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【答案】解：Q ①3211=´+，242121=´+´，2521211=´+´+；②5221=´+，2122222=´+´，21322221=´+´+；③7231=´+，2242323=´+´，22523231=´+´+；④9241=´+，2402424=´+´，24124241=´+´+；⑤11251=´+，2602525=´+´，26125251=´+´+，故答案为：11，60，61．【点睛】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．【考点5 利用勾股定理求长度】【例5】（2018春•港南区期中）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于点D ，3AC cm =，4BC cm =，求AD ，CD 的长．【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高，进一步根据勾股定理即可求得AD 的长．【答案】解：90ACB Ð=°Q ，3AC cm =，4BC cm =，5AB cm \=．根据直角三角形的面积公式，得 2.4AC BC CD cm AB==g ．在Rt ACD D 中， 1.8AD cm ==．【点睛】考查了勾股定理、此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【变式5-1】（2018秋•滨湖区期中）在等腰ABC D 中，已知AB AC =，BD AC ^于D ．（1）若48A Ð=°，求CBD Ð的度数；（2）若15BC =，12BD =，求AB 的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得CBD Ð的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB 的长．【答案】解：（1）Q 在等腰ABC D 中，AB AC =，BD AC ^，ABC C \Ð=Ð，90ADB Ð=°，48A Ð=°Q ，66ABC C \Ð=Ð=°，42ABD Ð=°，24CBD \Ð=°；（2）BD AC ^Q ，90BDC \Ð=°，15BC =Q ，12BD =，9CD \=，设AB x =，则9AD x =-，90ADB Ð=°Q ，12BD =，22212(9)x x \+-=，解得，22518x =，即22518AB =．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式5-2】（2018春•兴义市期中）如图，在ABD D 中，90D Ð=°，C 是BD 上一点，已知9BC =，17AB =，10AC =，求AD 的长．【分析】先设CD x =，则9BD BC CD x =+=+，再运用勾股定理分别在ACD D 与ABD D 中表示出2AD ，列出方程，求解即可．【答案】解：设CD x =，则9BD BC CD x =+=+．在ACD D 中，90D Ð=°Q ，222AD AC CD \=-，在ABD D 中，90D Ð=°Q ，222AD AB BD \=-，2222AC CD AB BD \-=-，即22221017(9)x x -=-+，解得6x =，22210664AD \=-=，8AD \=．故AD 的长为8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据AD 的长度不变列出方程是解题的关键．【变式5-3】（2018秋•东明县期中）如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，16AB cm =，正方形BCEF 的面积为2144cm ，BD AC ^于点D ，求BD 的长．【分析】根据正方形的面积公式求得12BC cm =．然后利用勾股定理求得20AC cm =；则利用面积法来求BD 的长度．【答案】解：Q 正方形BCEF 的面积为2144cm ，12BC cm \==，90ABC Ð=°Q ，16AB cm =，\20AC cm ==．BD AC ^Q ，\1122ABC S AB BC BD AC D ==g g ，\485BD cm =．【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．【考点6 利用勾股定理作图】【例6】（2018秋•越城区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2的线段；（3）请你在图3为直角边的直角三角形．【分析】（1）根据三角形的面积公式画出图形即可；（2）画出以1和2为长方形的宽和长的对角线的长即可；（3的线段，再画出直角三角形即可．【答案】解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式6-1】（2018春•安庆期中）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中以格点为顶点，画出一个周长为的ABCD，并求它的面积．【分析】根据勾股定理在方格中作出三角形的三条边，根据直角三角形的面积公式、矩形的面积公式计算即可．【答案】解：ABCD是一个周长为+三角形，ABCD的面积111 342413135222=´-´´-´´-´´=．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理作出三角形的三条边是解题的关键．【变式6-2】（2018春•石家庄期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．【分析】（1）根据正方形的面积为10（2）①，②【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．【点睛】此题主要考查了利用勾股定理画图，关键是计算出所画图形的边长是直角边长为多少的直角三角形的斜边长．【变式6-3】（2018秋•高新区期中）如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：（1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个三边长分别为3，的三角形，一共可画这样的三角形 个．【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；（2）由勾股定理容易得出结果．=，【答案】解：（1）Q5\D即为所求，ABC如图1所示：（2）如图2所示：Q==，\D，DBCD，¼，ABC都是符合条件的三角形，一共可画这样的三角形16个；故答案为：16．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、作图--应用与设计作图；熟记勾股定理是解决问题的关键．【考点7 勾股定理的证明】【方法点拨】勾股定理又称为毕达哥拉斯定理，通常利用面积来证明.【例7】（2019春•洛阳期中）下列两图均由四个全等的直角三角形拼接而成，且它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，a b >．请选择一个你喜欢的图形，利用等面积法验证勾股定理．你选择的是 图，写出你的验证过程．【分析】直接利用图形面积得出等式，进而整理得出答案．【答案】解：选择的是图2，证明：2S c =Q 大正方形，2144()2S S S ab b a =+=´+-V 大正方形小正方形，2214()2c ab b a \=´+-，整理，得22222ab b ab a c +-+=，222c a b \=+．故答案为：2，【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键．【变式7-1】（2018秋•兴化市期中）我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一．勾股定理其实有很多种证明方法．下图是1876年美国总统伽菲尔德()Garfield 证明勾股定理所用的图形：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C 、B 、D 三点在一条直线上．（1）求证：90ABE Ð=°；（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明：222)a b c +=．【分析】（1）由全等三角形Rt ACB Rt BDE D @D 的判定于性质解答；（2）用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．【答案】解：（1）Rt ACB Rt BDE D @D Q ，CAB DBE \Ð=Ð．90CAB ABC Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，1809090o o ABE \Ð=°-=．（2）由（1）知ABE D 是一个等腰直角三角形，212ABE S c D \=．又21()2ACDE S a b =+Q 梯形，212ABC BDE ABE ACDE S S S S ab c D D D =++=+梯形，\2211()22a b ab c +=+，即222a b c +=．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，此题主要利用了三角形的面积公式：底´高2¸，和梯形的面积公式：（上底+下底）´高2¸证明勾股定理．【变式7-2】（2018秋•东台市期中）如图，将Rt ABC D 绕其锐角顶点A 旋转90°得到Rt ADE D ，连接BE ，延长DE 、BC 相交于点F ，则有90BFE Ð=°，且四边形ACFD 是一个正方形．（1）判断ABE D 的形状，并证明你的结论；（2）用含b 代数式表示四边形ABFE 的面积；（3）求证：222a b c +=．【分析】（1）利用旋转的性质得出90BAE BAC CAE CAE DAE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，AB AE =，即可得出ABE D 的形状；（2）利用四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，即可得出答案；（3）利用四边形ABFE 面积等于Rt BAE D 和Rt BFE D 的面积之和进而证明即可．【答案】（1）ABE D 是等腰直角三角形，证明：Rt ABC D Q 绕其锐角顶点A 旋转90°得到在Rt ADE D ，BAC DAE \Ð=Ð，90BAE BAC CAE CAE DAE \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，又AB AE =Q ，ABE \D 是等腰直角三角形；（2）Q 四边形ABFE 的面积等于正方形ACFD 面积，\四边形ABFE 的面积等于：2b ．（3）BAE BFEACFD S S S D D =+Q 正方形即：1122()()22b c b a b a =++-，整理：222()()b c b a b a =++-222a b c \+=．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及图形面积求法和勾股定理的证明等知识，根据已知得出BAE BFE ACFD S S S D D =+正方形是解题关键．【变式7-3】（2019春•东光县期中）ADE D 和ACB D 是两直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形，按如图所示摆放，其中90DAB Ð=°，求证：222a b c +=．【分析】连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，根据ACD ABC ADB DCB ADCB S S S S S D D D D =+=+四边形即可求解．【答案】证明：连结DB ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-．21122ACD ABC ADCB S S S b ab D D =+=+Q 四边形．又()21122ADB DCB ADCB S S S c a b a D D =+=+-Q 四边形\221111()2222b abc a b a +=+-222a b c \+=【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．【考点8 勾股定理逆定理的应用】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例8】（2018春•宾阳县期中）如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC Ð=°．（1）连结AC ，求AC 的长；（2）求ADC Ð的度数；（3）求出四边形ABCD 的面积【分析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，20AB cm =Q ，15BC cm =，\由勾股定理可得：25AC cm ===；（2）Q 在ADC D 中，7CD cm =，24AD cm =，222CD AD AC \+=，90ADC \Ð=°；（3）由（2）知，90ADC Ð=°，\四边形ABCD 的面积2112015724234()22ABC ACD S S cm D D =+=´´+´´=，【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．【变式8-1】（2019春•长白县期中）如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC Ð=°，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，在Rt ADC D 中，已知AB ，BC 的长，运用勾股定理可求出AC 的长，在ADC D 中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt ACD D 与Rt ABC D 的面积之差．【答案】解：连接AC ，90ABC Ð=°Q ，12AB =，9BC =，15AC \=，39CD =Q ，36DA =，222215361521AC DA +=+=，22391521CD ==，ADC \D 为直角三角形，ACD ABCABCD S S S D D \=-四边形1122AC AD AB BC =´-´11153612922=´´-´´27054=-216=．故四边形ABCD 的面积为216．【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出ACD D 的形状是解答此题的关键．【变式8-2】（2018春•丰台区期中）如图，在四边形ABCD 中，90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，12DC =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，然后根据勾股定理求出AC 的长度，再根据勾股定理逆定理计算出90ACD Ð=°，然后根据四边形ABCD 的面积ABC =D 的面积ACD +D 的面积，列式进行计算即可得解．【答案】解：连接AC ，90ABC Ð=°Q ，3AB =，4BC =，5AC \===，12DC =Q ，13AD =，222251225144169AC DC \+=+=+=，2213169AD ==，222AC DC AD \+=，ACD \D 是90ACD Ð=°的直角三角形，四边形ABCD 的面积ABC =D 的面积ACD +D 的面积，1122AB BC AC CD =+g g 113451222=´´+´´630=+36=．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接AC ，构造出直角三角形是解题的关键．【变式8-3】（2019春•鄂城区期中）如图，四边形ABCD 中，4AB BC CD AD ====，90DAB B C D Ð=Ð=Ð=Ð=°，E 、F 分别是BC 和CD 边上的点，且14CE BC =，F 为CD 的中点，问AEF D 是什么三角形？请说明理由．【分析】根据正方形的性质和勾股定理能求出AE ，AF ，EF 的长，从而可根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状．【答案】解：4AB BC CD AD ====Q ，4AB =，14CE BC =，1EC \=，3BE =，F Q 为CD 的中点，2DF FC \==，90DAB B C D Ð=Ð=Ð=Ð=°Q ，EF \==，AF ==，AE ==222AE EF AF \=+．AEF \D 是直角三角形．【点睛】本题考查了正方形的性质，四个边相等，四个角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．【考点9 勾股定理的实际应用】【方法点拨】将实际问题转化为直角三角形，利用勾股定理求解即可.【例9】（2019春•东湖区校级期末）数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，Q 旗杆垂直于地面，\旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，\旗杆的高度为15米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式9-1】（2019春•内黄县期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【分析】在Rt ABC D 中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC D 中：90CAB Ð=°Q ，17BC =米，8AC =米，15AB \==（米)，Q 此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD \=-´=（米)，6AD \===（米)，1569BD AB AD \=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式9-2】（2019春•道里区期末）某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km 的A 、B 两站之间E 点修建一个土特产加工基地，使E 点到C 、D 两村的距离相等，如图，DA AB ^于点A ，CB AB ^于点B ，15DA km =，10CB km =，求土特产加工基地E 应建在距离A 站多少km 的地方？【分析】设AE x =千米，则(25)BE x =-千米，再根据勾股定理得出2222DA AE BE BC +=+，进而可得出结论．【答案】解：设AE x =千米，则(25)BE x =-千米，在Rt DAE D 中，222DA AE DE +=，在Rt EBC D 中，222BE BC CE +=，CE DE =Q ，2222DA AE BE BC \+=+，22221510(25)x x \+=+-，解得，10x =千米．答：基地应建在离A 站10千米的地方．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．【变式9-3】（2019春•商南县期末）勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 1.77)»【分析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB =-即可得出结论．【答案】解：Rt OAB D Q 中， 2.6AB m =， 2.4AO m =，1OB m \===；同理，Rt OCD D 中，2.6CD m =Q ， 2.40.5 1.9OC m =-=，1.77OD m \===»，1.7710.77()BD OD OB m \=-=-=．答：梯子底端B 向外移了0.77米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【考点10 利用勾股定理解折叠问题】【例10】（2019春•番禺区期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE D 的面积．【分析】由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得6AC AE cm ==，90DEB Ð=°，由勾股定理可求DE 的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：6AC cm =Q ，8BC cm =10AB cm\==Q 将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，6AC AE cm \==，90DEB Ð=°1064BE cm\=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB D 中，2224(8)x x +=-解得3x =，即DE 等于3cmBDE \D 的面积14362=´´=答：BDE D 的面积为26cm 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．【变式10-1】（2018秋•建邺区期末）如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，且90FPH Ð=°，3BF cm =，求FH 的长．【分析】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH D 中，根据222FH PH PF =+，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH D 中，90FPH Ð=°，222FH PH PF \=+，222(9)3x x \=-+，5x \=，FH \的长是5cm ．【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式10-2】（2019秋•杭州期中）如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD ¢处，AD ¢交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC =；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．【分析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA Ð=Ð，就可以得出AE CE =，（2）设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理就可以求出结论；（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．【答案】解：（1）Q 四边形ABCD 是矩形，AB CD \=，AD BC =，90B Ð=°，//AD BC ，DAC BCA \Ð=Ð．ADC D Q 与△AD C ¢关于AC 成轴对称ADC \D @△AD C ¢，DAC D AC \Ð=Т，D AC ACB \Т=Ð，AE EC \=；（2）2AB cm =Q ，4BC cm =，2CD cm \=，4AD cm =．设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE D 中，由勾股定理，得224(4)x x +-=，解得： 2.5x =．答：EC 的长为2.5cm ；（3）2AEC EC AB S D =g Q ，22.52 2.52AEC S cm D ´==．答：重叠部分的面积为22.5cm ．。

利用勾股定理求图形的面积江苏刘顿众所周知，勾股定理是我国古代科学文化的一颗明珠，是极其重要的几何定理，它揭示了直角三角形的三边之间的平方关系，对于解决一些与直角三角形相关的问题起到不可低估的作用．下面就运用勾股定理处理图形的面积问题举几例说明．例1已知直角三角形的斜边的长为13，两直角边之比为5∶12．求它的面积．分析与解由于已知直角三角形的斜边的长为13，两直角边之比为5∶12，所以可设两直角边分别为5x、12x，则由勾股定理，得(5x)2+(12x)2＝132，解得x＝1．即5x＝5，12x＝12，所以这个直角三角形的面积为12×5×12＝30．说明利用勾股定理求得的x有一个负值，应及时将其舍去．例2等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，试求这个等腰三角形的面积．分析与解若能求出这个等腰三角形底边上的高，即可顺利地求出其面积了．而由等腰三角形的“三线合一”性质，可以作出底边上的高AD，此时点D也是BC边上的中点，于是在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝102－82＝36，所以AD＝6．所以这个等腰三角形的面积为12×8×6＝24．说明灵活运用等腰三角形和勾股定理的知识是求解本题的关键．例3直角三角形的斜边长为1．5cm，周长为3．6cm，求这个直角三角形的面积．分析与解两直角边长之和为3．6－1．5＝2．1，设一条直角边长x，则另一条直角边长为2．1－x，由勾股定理得：x2+(2．1－x)2＝1．52，将会用到一元二次方程，没学过．但考虑到关系式(a+b)2＝a2+b2+2ab＝c2+4S△，即S△＝14[ (a+b)2－c2]＝14(2．12－1．52)＝0．054．所以这个直角三角形的面积是0．054cm2．说明利用关系式(a+b)2＝a2+b2+2ab＝c2+4S△，这说明两直角边的和、斜边的长和三角形的面积之间存在联系．同样地，在上述三个量中已知两个量可以求出第三个量．例4已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝8，AD＝4，BC＝6，试求以DC为边的正方形面积．分析与解依据题意可画出如图所示的图形．要求以DC为边的正方形面积，只要求出DC2，此时可以过点D作DE⊥BC于点E，于是DE＝AB＝8，BE＝AD＝4，即CE＝2，在Rt△DEC中，由勾股定理，得DC2＝DE2+CE2＝82+22＝68．即以DC为边的正方形面积68．说明正确地画出图形可以降低求解的难度．B C D E 图1 A。

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典例论坛
勾股定理与面积问题
例题呈现
如图1，直角三角形三边的半圆面积之间有什么关系？
图1
命题意图：本题考查应用勾股定理判断三个半圆面积之间的数量关系.
思路点拨：设出三角形的三边长，根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，由勾股定理求出三边之间的关系，即可得出答案．
解：
变式训练：
1.
图2是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S 1=22，S 2=14，AC=
10，则AB=
．
图2 图3
思路点拨：由勾股定理可求出S 3，进一步应用勾股定理求得结果．
解： ．
2. 如图3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC ＝4，BC ＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A ．4
B ．4π
C ．8π
D ．8
思路点拨：根据勾股定理，得AB 2＝AC 2+BC 2，由“阴影部分面积=两个小半圆面积之和+△ABC 的面积-大半圆的面积”可求得结果．
解： .
参考答案：【例题呈现】设直角三角形的直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，根据勾股定理，得a 2+b 2=c 2.
表示出斜边上及直角边上的半圆面积，可得出斜边上半圆的面积等于两直角边上的半圆面积之和. 变式训练：1.8 2.A。