901.一元二次方程的解法-奥数精讲与测试

知识点1.一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c; 其中a 、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少。

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ>0 有两个不等的实根;Δ=0 有两个相等的实根;Δ<0 无实根;Δ≥0 有两个实根(等或不等)。

1.误求得两根为数甲由于看错了二次项系没有实数根的一元二次方程已知关于，，c bx ax x 02=++）（a c a ，，， 324142=+那么和误求得两根为数的符号乙由于看错了某一项系和()()202202ax M 4ac -002b b ，a c bx ax x 、+==Δ≠=++与平方式则判别式的根是若的关系是（ ） A 、Δ>M B 、Δ=M C 、Δ<M D 、不能确定） （3，01--342=+=βαβα则的两个实数根是方程已知x x 、、） （194-03-42231221的值为那么的两个根是方程设+=+x x ，x x x x 、A 、－4B 、8C 、6D 、0）。

（s ）0（051233212=++≠=++cs bs as ，s ，s ，a c bx ax 、则为两根立方和两根平方和为的两根之和为已知方程 ） （ 3-22-323-32-6缙云杯解方程x x x x 、+=+）（ 06131611-162-17222宁夏解方程=++++++x x x x x x 、 ）（ 2432 151 8缙云杯解方程组 z y x X z y x z y x 、==++++=++-。

第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。

专题02 一元二次方程的解法【思维导图】◎题型1：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【解析】【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程210x -=的解是（ ）A ．121x x ==B ．120,1x x ==C ．121,1x x ==-D ．120,1x x ==-【答案】C【解析】【分析】先移项，再两边开平方可得解．【详解】解：由原方程可得：x 2=1，两边开平方可得：121,1x x ==-，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【解析】【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数【答案】A【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根，∴﹣a≥0（平方具有非负性），∴a≤0；故选：A．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．◎题型2：配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x²＋例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（）A．(x＋2)2＝5B．(x－2) 2＝5C．(x－2) 2＝3D．(x＋2) 2＝3【答案】D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】解：∵x 2+4x +1=0，∴x 2+4x =-1，∴x 2+4x +4=-1+4，即（x +2）2=3，故选：D ．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程2610x x -+=，原方程可变形为（ ）A ．()2335x -=B ．()238x -=C ．()238x +=D ．()2335x +=【答案】B【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．【详解】解∶ 2610x x -+=，变形得-=-261x x ，配方得26919x x -+=-+，即2(3)8x -=．故选∶B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程241x x =+，配方后得到的方程是（ ）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(2)3x +=D ．2(2)1x -=【答案】B【解析】【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．【详解】解：把方程x 2＝4x ＋1移项，得：x 2−4x ＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x＋4＝1＋4，配方得（x−2）2＝5，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】【分析】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；B.化为一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x 2﹣4x ＝﹣3，配方得，x 2﹣4x +22＝1，故C 错误；D.利用因式分解法解答，完全正确，故选：D【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．◎题型3：配方法的应用例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【解析】【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程264x x -+=W ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-【答案】C【解析】【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．【详解】设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7，x 2-2px +p 2=7，∴x 2-2px =7-p 2，∴x 2-2px +4=11-p 2，∵方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，∴-2p =-6，a =11-p 2，∴p =3，a =11-32=2，即印刷不清的数字是2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键．变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-【答案】A【分析】由2104m m c -+=变形得214m m c -=-，代入22112124n m m c =-++中得到2134n c c =-+，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．【详解】2104m m c -+=Q \ 214m m c -=-\22111(244m m m -=--³-1c \£22222211111121212()12()344444n m m c m m c c c c c \=-++=-++=´-++=-+23(22n c \=-- 231(24c -³Q 74n \³- 故选：A ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【解析】【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【详解】配方得：226(3)9x x c x c-+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．◎题型4：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a ≠0)的求根公式。

【最新整理，下载后即可编辑】一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-8≠0，即m≠±．可知它的各项系数分别是a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．举一反三：【变式】关于x的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）3.已知m，n是方程2210--=的两根，且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)＝8，x x则a的值等于( )A．-5 B．5 C．-9 D．9【答案】C；【解析】根据方程根的定义，m，n是方程x2-2x-1＝0的两根，∴m2-2m-1＝0，n2-2n-1＝0．变形可得：7m2-14m＝7，3n2-6n＝3．将变形后的式子代入已知等式中可得：(7+a)(3-7)＝8，解得a＝-9．【总结升华】当看到式子很复杂，别着急，注意与已知条件联系，运用根的定义，注意观察已知等式的特点，将7m2-14m与3n2-6n看作整体，运用整体代入法求解．举一反三：【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x的一元二次方程22-++-=有一个根是m x x m(1)2100，求m的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：【变式】解方程：(1)(3x+1)2=7；(2) 9x2-24x+16=11.【答案】(1)解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x 1=， x 2=.(2)解：9x 2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x= ∴原方程的解为x 1=， x 2=.类型五、因式分解法解一元二次方程 5．解方程：(x+1)2-2(x+1)(2-x)+(2-x)2＝0【答案与解析】设x+1＝m ，2-x ＝n ，则原方程可变形为：2220m mn n -+=．∴ (m-n)2＝0，∴ m ＝n ，即x+1＝2-x ．∴ 1212x x ==． 【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m ，将(2-x)看作n ，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】 将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x 1＝-2 x 2＝3．6．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

一元二次方程的解法【知识梳理】形如()002≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的根本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式aacb b x 242-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它答复了一元二次方程的诸如怎样务实根、实根的个数、何时有实根等根本问题；它展示了数学的简洁美。

【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程〔根底题〕：〔1〕x 2–2x =0 〔2〕 x 2–9=0 〔3〕(1－3x )2＝1；〔4〕〔t －2〕〔t ＋1〕＝0 〔5〕x 2＋8x ＝2〔6〕2760x x -+=〔7〕24210x x --= 〔8〕22150x x --= 〔9〕241290x x -+=〔10〕24210a a --+= 〔11〕211180x x ++= 〔12〕2230x x --=〔13〕x 〔x －6〕＝2 〔14〕〔2x ＋1〕2＝3〔2x ＋1〕 〔15〕227150b b +-=〔16〕23440a a +-= 〔17〕23145b b += 〔18〕20x +=〔19〕42200x x --= 〔20〕2(35)5(35)60x x +-+-=；【例2】用适当的方法解以下关于x 的方程〔进步题〕： 〔1〕()()53423=+-x x ； 〔2〕033272312=--x x ；〔3〕()()35412352-=--x x ； 〔4〕()()()()114113-+=--x x x x ；〔5〕()()06132322=----x x 。

【稳固】用适当的方法解以下关于x 的方程：〔1〕()()019222=+--x x ； 〔2〕22296a b ax x -=-；〔3〕()0632222=--+x x 。

〔4〕()()()()x x x x --=-+314312。

知识点、重点、难点例题精讲例1：解方程2(21)32120.x x ---+=例2：解方程22140.x x ---=例3：解关于x 的方程2()2()0.a b c x ax a b c -++++-=例4：已知首项系数不相等的两个关于x 的二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=及（,a b 是正整数）有一个公共根，求2bb aa b a b--++的值。

例5：若二次方程2220x px q ++=有实根，其中p 、q 为奇数。

证明：此方程的根是无理数。

例6：解关于x 的方程：2222(1)2()0.x t x tx t t +--+-=习题 A 卷一、填空题1. 设方程22(1)(1)30m x m x --++=，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程。

2. 方程33(1)(1)2x x +--=，用 方法较简捷，其根是 。

3. 用公式法解23412x x =-，其根是 。

4. 将方程22730x x ++=化成()()0a x m x n ++=的形式，可得 。

5. 若1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，则a b c ++= 。

6. 若方程22(1)230m x x m m -+++-=有一个根为0，则m = 。

7. 关于x 的方程222440c x bx b -+-=，则x = 。

8. 若a 是方程20x bx a ++=的根，则a b += 。

9.已知473x -=，则2421x x x ++的值是 。

10.如果对于任意两个实数a 、b ，定义*2a b a b =+，解方程： 2*(2)2*10x x +=，可得x = 。

二、解答题11.用公式法解2(1)2(2)0.m x m x m --++=12.若方程210x bx ++=与方程20x x b --=至少有一个相同的实数根，求实数b 的值。

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。

国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。

奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

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下⾯是为⼤家带来的初三年级奥数知识点：⼀元⼆次⽅程的解法，欢迎⼤家阅读。

1、直接开平⽅法
利⽤平⽅根的定义直接开平⽅求⼀元⼆次⽅程的解的⽅法叫做直接开平⽅法。

直接开平⽅法适⽤于解形如的⼀元⼆次⽅程。

根据平⽅根的定义可知，是b的平⽅根，当时，，，当b<0时，⽅程没有实数根。

2、配⽅法
配⽅法是⼀种重要的数学⽅法，它不仅在解⼀元⼆次⽅程上有所应⽤，⽽且在数学的其他领域也有着⼴泛的应⽤。

配⽅法的理论根据是完全平⽅公式，把公式中的a看做未知数x，并⽤x代替，则有。

3、公式法
公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。

公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。

知识点、重点、难点例题精讲例1：解方程2(21)32120.x x ---+=例2：解方程22140.x x ---=例3：解关于x 的方程2()2()0.a b c x ax a b c -++++-=例4：已知首项系数不相等的两个关于x 的二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=及（,a b 是正整数）有一个公共根，求2bb aa b a b--++的值。

例5：若二次方程2220x px q ++=有实根，其中p 、q 为奇数。

证明：此方程的根是无理数。

例6：解关于x 的方程：2222(1)2()0.x t x tx t t +--+-=习题 A 卷一、填空题1. 设方程22(1)(1)30m x m x --++=，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程。

2. 方程33(1)(1)2x x +--=，用 方法较简捷，其根是 。

3. 用公式法解23412x x =-，其根是 。

4. 将方程22730x x ++=化成()()0a x m xn ++=的形式，可得 。

5. 若1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，则a b c ++= 。

6. 若方程22(1)230m x x m m -+++-=有一个根为0，则m = 。

7. 关于x 的方程222440c x bx b -+-=，则x = 。

8. 若a 是方程20x bx a ++=的根，则a b += 。

9.已知x =，则2421x x x ++的值是 。

10.如果对于任意两个实数a 、b ，定义*2a b a b =+，解方程： 2*(2)2*10x x +=，可得x = 。

二、解答题11.用公式法解2(1)2(2)0.m x m x m --++=12.若方程210x bx ++=与方程20x x b --=至少有一个相同的实数根，求实数b 的值。

一元二次方程奥数难题一元二次方程（quadratic equation）是指形式为ax²+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 都是实数，且 a 不等于 0。

一元二次方程是初等代数中的一个重要概念，也是奥数竞赛中常见的难题类型之一、在本文中，我将为你提供一个关于一元二次方程的奥数难题，并给出详细的解答。

题目如下：有一个正方形花坛，边长为x米。

在正方形花坛的四个角上，分别种植了四株玫瑰花。

为了让花坛更美观，我们希望将每两株玫瑰花之间的距离都保持为d米。

现在问题是，给定花坛的边长x，如何确定d的值，使得符合要求？请你用一元二次方程来解答。

解答：首先，我们可以根据问题描述画出正方形花坛的示意图，如下所示：A---------------BD---------------C正方形花坛的四个角分别为A、B、C、D，这四个角上分别种植了四株玫瑰花。

假设玫瑰花之间的距离为d米，我们可以绘制出每两株玫瑰花之间的连线，如下所示：A---------------BD-------O-------C在连线AD和BC的中点O处，我们可以看到一个等边三角形。

因为正方形的对角线相等，所以连线AD和BC的长度也相等，设为x米。

由于等边三角形的性质，连线AD和BC之间的距离也等于x米。

现在，我们可以看到一个由正方形ABDC和等边三角形ABO构成的直角三角形AOB。

我们可以利用勾股定理来求解这个直角三角形的边长。

根据勾股定理，我们知道a²+b²=c²，其中a、b、c分别表示直角三角形两条直角边的长度，c表示斜边的长度。

在这个问题中，直角边a和直角边b的长度分别为(x-d)/2米和d/2米，斜边c的长度为x/2米（即连线AD或BC的长度的一半）。

所以我们可以得到以下方程：((x-d)/2)²+(d/2)²=(x/2)²接下来，我们将这个方程进行展开和化简，求解一元二次方程。

中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。

解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。

2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。

3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。

4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。

二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。

在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。

2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。

如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。

3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。

在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。

4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。

5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。

通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。

总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。

在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。

初三数学一元二次方程的性质与解题方法一元二次方程作为初中数学中的重要内容，对于学生来说是一项相对较难的知识点。

本文将为大家详细介绍一元二次方程的性质和解题方法，希望能帮助广大初三学生更好地掌握这一知识。

一、一元二次方程的性质1. 一元二次方程的定义和一般形式一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0（其中a≠0）的方程。

其中，a、b、c都是已知实数，且a不等于0。

2. 一元二次方程的解的个数对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其解的个数取决于方程的判别式Δ=b^2-4ac的值。

a. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；b. 当Δ=0时，方程有两个相等的实数解；c. 当Δ<0时，方程没有实数解，但有复数解。

3. 一元二次方程的根与系数的关系对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其两个解分别是x1和x2。

则有以下重要性质：a. x1+x2=-b/a；b. x1·x2=c/a。

这些性质在解一元二次方程时非常有用，可以帮助我们更快地求解方程。

二、一元二次方程的解题方法1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过因式分解的方法来求解方程。

例如，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0。

根据乘法原理，当两个数的乘积为零时，其中至少有一个数为零。

因此，可以得到x+2=0或者x+3=0。

由此解得x=-2或者x=-3，即方程的解为x=-2或者x=-3。

2. 公式法对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（其中a≠0），我们可以通过一元二次方程的求根公式来求解方程。

一元二次方程的求根公式为x=(-b±√Δ)/(2a)，其中Δ=b^2-4ac。

例如，对于方程x^2-4x+3=0，我们可以计算出Δ=(-4)^2-4×1×3=16-12=4。

根据一元二次方程的求根公式，我们可以得到x=(-(-4)±√4)/(2×1)。

4.2 一元二次方程的解法学习目标1．会用直接开方法、因式分解法、公式法、配方法解一元二次方程。

2．知道一元二次方程根的判别式的概念，会用一元二次方程根的判别式判别根的情况。

3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。

知识详解1. 直接开平方法：对于形如()20a a x =≥的方程，根据平方根的定义，解得1x2x如果一个一元二次方程具有()()20k k x h =≥+的形式，那么就可以直接用开平方法。

2. 配方法：将一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平 方法求解，这样解一元二次方程的解法叫做配方法，一般的步骤是：（1）先把方程20bx c x ++=一项，2bx c x +=-（如果一元二次方程的二次项系数不是1，可以先把二次项的系数化为1）（2）方程两边同加一次项系数一半的平方，得到22222bx c b b x ++=-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即22442c b b x -+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭3. 因式分解法步骤:（1）若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零 ，（2）将方程的左边因式分解 ，（3）根据若A B ⨯，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

4.公式法（1）公式法：对于一元二次方程20a bx c x ++=（0a ≠）如果240ac b -≥，那么方程的两个根为x =（2）用公式法解一元二次方程的步骤A 、把方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值B 、 求出24ac b -C 、 代入求根公式)20,40x a ac b =≠-≥ D 、写出方程的解1x 与2x5.一元二次方程根的判别式一元二次方程20a bx c x ++=（0a ≠）的根的情况可由240ac b -≥来判定： 当240ac b->时，方程有两个不相等的实数根； 当240ac b-=时，方程有两个相等的实数根； 当240ac b -<时，方程没有实数根。

一元二次方程的解法不少同学在解决一元二次方程有关问题时，忽视隐含条件、思考不周而导致各种各样的缺误，下面分类剖析一下错解的原因，希望同学们引以为戒．一、 忽视方程的同解性 例１．解方程：)1(3)1(2+=+x x 错解：由原方程得：x+1=3 ∴x=2．剖析：上面的解法错在方程的两边同除以为零的x+1，违背了方程的同解原理，造成失根．正确的解法为；0)1(3)1(2=+-+x x ，(x+1)(x －2)=0，∴2,121=-=x x ．二、 忽视方程的定义例１．已知一元二次方程0)12(22=+--k k kx 有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是 ．错解：令△＝224)12(k k --＞０，即－4k+1＞0，解得41<k ．∴当41<k 时，原方程有两个不等的实数根．剖析：这里忽视了二次项系数o k ≠的隐含条件． 故本题的正确答案为：41<k 且o k ≠． 三、 忽视有根的前提条件例３．关于x 方程012)2(2=+++-k x k x 的两实数根为与，若112221=+x x ， 求实数k 的值．错解：由根与系数的关系得：12,22121+=+=+k x x k x x ．∵2212221)(x x x x +=+－２＝１１，∴11)12(2)2(2=+-+k k ，∴092=-k ，解得：3±=k ． 剖析：关于x 的二次方程的两实数根的平方和为１１，首先要保证它有实数根为前提．所以，此解忽视了判别式△≥０这一隐含条件．本题中，当k=3时，原方程为0752=+-x x ，△ ＝－３＜０，故只取k=－3．四、忽视方程根多样性例４．已知实数a 、b 满足条件025,02522=+-=+-b b a a ，则=+abb a ．错解：由已知条件可知，a 、b 为方程0252=+-x x 的两根，∴a+b=5，ab=2，=+a bb a22122252)(22=⨯-=-+ab ab b a ．剖析：本题就a 、b 的关系有两种情况：一是a 、b 为方程0252=+-x x 的两根，此时△ ＞０．可知a ≠b ．二是a=b 同样能使已知两式同时成立．而上述解法只考虑了a ≠b 的情形，却忽视了第二种情况a=b ．当a=b 时，=+abb a ２． 本题的正确解答为：当a ≠b 时，=+a b b a 221；当a=b 时，=+a bb a ２．五、忽视方程根的符号例5．已知一元二次方程0152=++x x 的两根为，求2112x x x x +的值． 错解：由根与系数的关系，得31,352121=-=+x x x x ，所以原式＝221121x x x x x x +＝335212121-=+x x x x x x ． 剖析：∵31,352121=-=+x x x x ，∴0021<<x x 且．∴2112x x x x +≠221121x x x x x x +，因此，原式＝221121x x x x x x --＝－335212121=+x x x x x x ． 六、忽视条件的等价性例６．若一元二次方程0562=-+-m x x 的两实数根都大于２，求m 的取值范围．错解：设方程的两实数根为，则m x x x x -==+5,62121，∵2,221>>x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆4402121x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->≥--45460)5(436m m ，解得－４≤m ＜１． 剖析：由2,221>>x x ，可以推出4,42121>>+x x x x ，但反过来，由4,42121>>+x x x x 却推不出2,221>>x x ，即它们之间不等价．两实数根都大于２的充要条件是△≥０且0)2()2(21>-+-x x 且0)2)(2(21>--x x ，解得－４≤m ＜－３．七、忽视隐含条件例７． 已知关于x 的方程=-+--112)21(2x m x m ０有两个不等的实根，求m 的取值范围．错解：∵方程有两个不等的实根，∴△＝0)21(4)12(2>-++-m m ，得m ＜2．又∵1－２m ≠0，∴m ≠21． 剖析：本题求解时注意了a 及△，但忽视了1+m 这一隐含条件下：m+1≥0． 故正确的答案应是－1≤m ＜2且m ≠21．。

初三数学一元二次方程的解法（一）人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：一元二次方程的解法（一）［教学目标］1. 知道整式方程，一元二次方程的含义；知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

2. 初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如()()x a b b -=≥20的方程；初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程。

二. 重点、难点： 1. 重点：一元一次方程的概念、直接开方法、配方法。

2. 难点：凑配的方法与技巧。

三. 教学过程：1. 方程ax b +=0（其中x 是未知数，a ，b 是已知数，并且a ≠0）叫做一元一次方程的一般形式。

这里a 是未知数的系数，b 是常数项。

2. 一元二次方程的一般形式是：ax bx c 20++=（其中a ≠0）③。

在这里必须强调a ≠0，否则便不是一元二次方程了。

在方程③中，ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

3. 不完全一元二次方程ax bx c a b c ax bx c a b c b c b c ax c b c ax bx b c b c ax b c 22222000000000000000++=≠++=≠≠≠+==≠+=≠=⎧⎨⎪⎩⎪===⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪()()()()()，，，，，，，，，全不为零（叫做完全的一元二次方程）可能为零有且只有一个为零都为零 我们把()()ax a ax c a c 2200000=≠+=≠≠，，和()ax bx a b 2000+=≠≠，都叫做不完全的一元二次方程。

今天我们来解ax 20=和ax c 20+=两种类型。

4. 方程分为两大类：方程整式方程分式方程⎧⎨⎩例：方程()()()()()m m x m m x m ----++-=2323202是一元二次方程，则（）A. m ≠3B. m ≠2且m ≠3C. m ≠2D. m ≠2且m ≠-3注意：不能用()m -2除方程的各项，因为没有断定m ≠2。

第23章一元二次方程第一节一元二次方程的定义与一般形式13 知识点1 一元二次方程的定义 13知识点2 一元二次方程的一般形式14第二节一元二次方程的解法15 知识点1 直接开平方法解一元二次方程15知识点2 因式分解法解一元二次方程16知识点3 配方法解一元二次方程18知识点4 公式法解一元二次方程19第三节一元二次方程的解法22 知识点1一元二次方程根的判别式22知识点2一元二次方程根与系数的关系23第四节一元二次方程的实践与探索26 知识点1一元二次方程根的实践26知识点2一元二次方程的探索29赢家大比拼:勇闯三关唯我甲天下! 32排查第一节一元二次方程的定义与一般形式评价[ ] 知识点1 一元二次方程的定义【】观察下列方程有何共同特点?(1 0900102=-+x x ; (202.21052=-+x x ; (3232=-x x ; (42237x x =-.上述方程都符合: (1 (2例1下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。

(13523-=+x x (242=x (32112x x x =-+- (4222(4+=-x x解: (1不是二次; (3不是整式方程; (4不是, 化简后没有二次项; (2是,符合三个条件: 一元, 二次, 整式方程.例2方程(2a —4x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?解:当a ≠2时是一元二次方程;当a =2,b ≠0时是一元一次方程;挑战你: 学透知识想通方法挑战需要智慧!1, 指出下列方程,哪些是一元二次方程?(1x (5x-2=x (x +1+4x 2; (27x 2+6=2x (3x +1; (37x 212=; (46x 2=x ; (52x 2=5y ; (6-x 2=02 关于x 的方程03(2=++-m nx x m ,在什么条件下是一元二次方程?在什么条件下是一元一次方程?3,关于x 的方程02=++c bx ax ,在什么条件下是一元二次方程?在什么条件下是一元一次方程?4.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程,m 应满足什么条件?[ ] 知识点2 一元二次方程的一般形式【】其其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数,c 叫做常数项。