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学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.将参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【解析】 把②式代入①式得x ＝2＋y ，即x －y －2＝0(2≤x ≤3). 【答案】 C2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.线段D.射线【解析】 由条件知x ＋y ＝1，又0≤cos 2 θ≤1,0≤sin 2 θ≤1，∴参数方程表示的曲线为线段.【答案】 C3.参数方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧D.射线【解析】 消去t ，得x －3y －5＝0. ∵0≤t ≤5，∴－1≤y ≤24. 【答案】 A4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A.y 2－x 2＝1B.x 2－y 2＝1C.y 2－x 2＝1(|x |≤2)D.x 2－y 2＝1(|x |≤2)【解析】 x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α.y 2＝2＋sin α，∴y 2－x 2＝1. 又x ＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4∈[－2，2]，即|x |≤ 2.故应选C. 【答案】 C5.椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )【导学号：12990029】A.(－2,0)，(2,0)B.(0，－2)，(0,2)C.(0，－4)，(0,4)D.(－4,0)，(4,0)【解析】 利用平方关系化为普通方程x 225＋y 29＝1，c 2＝16，c ＝4，焦点在x 轴上，∴焦点为(－4,0)，(4,0)，故选D.【答案】 D 二、填空题6.参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________.【解析】 y ＝cos 2θ＝1－sin 2 θ＝1－2x 2， y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1，－1≤y ≤1).【答案】 y ＝－2x 2＋1(－1≤x ≤1，－1≤y ≤1)7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________.【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1). 【答案】 (1,1)8.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________. 【解析】 直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 3 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点C 的坐标.【解】 ∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋1，t ＝2t ，∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0，① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x ，②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.10.已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝33cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l ：ρ(cos θ－3sin θ)＝12. (1)将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 的距离的最小值.【解】 (1)依题意可得直线l 的直角坐标方程为x －3y －12＝0，曲线C 的普通方程为x 227＋y 23＝1.(2)设P (3 3 cos θ，3sin θ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|33cos θ－3sin θ－12|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－122，故当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1时，d min ＝3.[能力提升]1.已知过曲线⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则点P 的坐标是( )A.(3,4)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22C.(－3，－4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 设|OP |＝t ，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22t ，22t ，代入方程x 29＋y 216＝1，解得t ＝1225，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D2.直线l ：⎩⎨⎧ x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为( )A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D.－π6或－5π6【解析】 ∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ，∴直线l 的普通方程为y ＝x tan θ.∵圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α，∴圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4.由题意得圆心(4,0)到直线y ＝x tan θ的距离为2， 即|4tan θ|tan 2 θ＋1＝2.所以tan θ＝±33，所以直线的倾斜角θ＝π6或5π6. 【答案】 A3.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【导学号：12990030】【解析】 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－32.【答案】 324.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点.当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合.(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.【解】(1)C1是圆，C2是椭圆.当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝310 10.当α＝－π4，射线l与C1、C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为(2x′＋2x)(x′－x)2＝2 5.。
参数方程化成普通方程练习1方程1=,=2x t t y ⎧+⎪⎨⎪⎩表示的曲线为( )．A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛物线的一部分2曲线21=1,=1x t y t⎧-⎪⎨⎪-⎩(t 为参数，t ≠0)的普通方程为( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1B ．22=1x x y x --（）（）C ．y ＝211x -（）－1D ．y ＝21x x-＋1 3参数方程=1,=35x q y q +⎧⎨+⎩(q 为参数)化为普通方程是( )． A ．5x －3y ＝1 B ．5x －y ＝1C ．5x －y ＝2D ．x －5y ＝24参数方程=cos ,=cos21x y θθ⎧⎨+⎩(θ为参数)表示的曲线是( )．A ．直线B ．抛物线的一部分C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分5将3=31,=x t y t+⎧⎨⎩(t 为参数)化成普通方程为__________． 6点(x ，y )是曲线C ：=2cos ,=sin x y θθ-+⎧⎨⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则y x 的取值范围是__________．7设P 是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，求x ＋2y 的最大值和最小值．8将曲线C ：=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨-+⎩(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．参考答案1 答案：B x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2.当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴y ＝2(x ≥2或x ≤－2)表示的曲线为两条射线． 2答案：B ∵x ＝1－1t ，∴1=1t x -， ∴y ＝1－t 2＝1－2222122==111x x x x x x x -(-)(-)(-)(-). 3答案：C ∵=1=35x q y q +⎧⎨+⎩，，∴5=55=35x q y q +⎧⎨+⎩， ① ， ②①－②得5x －y ＝2.4 答案：B ∵y ＝cos 2 θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，又∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，它是抛物线的一部分．5 答案：31=27x y (-) 由x ＝3t ＋1得1=3x t -，代入y ＝t 3，得31=27x y (-). 6答案：33⎡-⎢⎣⎦， 曲线C ：=2cos =sin x y θθ-+⎧⎨⎩，是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1. 设=y k x ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值．＝1，解得21=3k . ∴y x的取值范围是33⎡-⎢⎣⎦，. 7 答案：分析：把椭圆方程转化成参数方程，利用三角关系进行求值．解：椭圆的标准方程为22=164x y +.∴参数方程为=2sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)． ∴x ＋2yθ＋4sin θsin(θ＋φ)(其中tan φ＝4，∵sin(θ＋φ)∈[－1,1]，∴x ＋2y∈[．即x ＋2y.8 答案：解：∵=cos =1sin x y θθ⎧⎨-+⎩，，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∴曲线C 是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆．若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，解得1≤a.∴a的取值范围为[1．。
习题2－2 (第28页)A 组1.解 (1)a 作为参数时，方程表示直线；φ作为参数时，方程表示圆.(2)x ，y 分别表示曲线上任意一点的横、纵坐标；x 0，y 0分别表示曲线上某一定点的横、纵坐标；若a 作为参数，则它表示直线上定点M 0(x 0，y 0)与直线上任意一点M (x ，y )构成的有向线段M 0M →的数量，此时φ是直线的倾斜角；若φ作为参数，则它表示圆的半径与x 轴正方向所夹的角，此时a 表示圆的半径.2.2π33.解直线方程⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)可以变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22（2t ），y ＝3＋22（2t ）.所以|2t |＝2，2t ＝±2.所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2).4.解 将直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t ，代入l 2：x ＋y －2＝0，得t ＝－132. 所以点Q 的坐标为(1，1)，所以|PQ |＝13. 5.解(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数). (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x －y －23＝0，得t ＝－10－6 3. 由t 的几何意义知，两直线的交点到点M 的距离为|t |＝10＋6 3.(3)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t代入x 2＋y 2＝16， 得t 2＋(53＋1)t ＋10＝0.所以t 1＋t 2＝－(53＋1)，t 1t 2＝10.由t 的几何意义知，直线与圆的两个交点到点M 的距离分别为|t 1|，|t 2|.因为t 1t 2＞0，所以t 1，t 2同号，所以|t 1|＋|t 2|＝53－1，|t 1|·|t 2|＝10.6.解 (1)⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝3＋5sin α(α为参数). (2)若a ＞0，如图，设点P (x ，y )，则由题意，取|OP |＝t为参数.在Rt △AOP 中，作PM ⊥OA ，根据射影定理，所以⎩⎨⎧|OP |2＝OM ·OA ，t 2＝x ·2a ， 所以x ＝t 22a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 22a ，y ＝±t 2a 4a 2－t2(t 为参数). 若a ＜0，同理.7.证明 以圆心为原点，建立平面直角坐标系，设圆的半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数).圆内接矩形在第一象限内的顶点坐标为(R cos θ，R sin θ).所以S ＝4R cos θ·R sin θ＝2R 2sin 2θ.要使S 最大，则2θ＝π2，θ＝π4.即圆的内接矩形中正方形的面积最大.8.解 直线方程为y ＝tan θ·x .由⎩⎨⎧y ＝tan θ·x ，x 2＋y 2－2x ＝0，得圆x 2＋y 2－2x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋tan 2θ，y ＝2tan θ1＋tan 2θ(θ为参数).9.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，θ＝arctan 239 10.解 直线方程为y ＝tx ＋4.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋4，4x 2＋y 2－16＝0，得椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t t 2＋4，y ＝－4t 2＋16t 2＋4(t 为参数).B 组1.以时间t 为参数，点M 轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .2.解直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t 可以变形为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22（－2t ），y ＝4＋22（－2t ），则两个交点到点A (2，4)的距离之和为2(|t 1|＋|t 2|)，将直线方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t ，代入y 2＝4x ，得t 2－12t ＋8＝0.所以t 1＋t 2＝12，t 1t 2＝8.所以2(|t 1|＋|t 2|)＝2|t 1＋t 2|＝12 2.3.解 因为点B (x ′，y ′)在椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上运动，所以⎩⎨⎧x ′＝2cos θ，y ′＝3sin θ.设⎩⎨⎧x ＝x ′＋y ′，y ＝x ′－y ′，则⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋3sin θ，y ＝2cos θ－3sin θ，所以动点P 的轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 62＝1. 4.解 由cos ∠MOQ ＝35，得在Rt △MOQ 中，OQ OM ＝35.因为OM ＝10，所以OQ ＝6，即a ＝6.所以双曲线的方程为x 236－y 29＝1，且点P 为(10，4).5.略6.⎩⎨⎧x ＝7 782.5cos θ，y ＝7 721.5sin θ(θ为参数). 7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数). 8.点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).。
§3参数方程化成普通方程[对应学生用书P31][自主学习]1．代数法消去参数(1)代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程．(2)代数运算法：通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程．2．利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得曲线的普通方程．[合作探究]1．将参数方程化为普通方程时要注意什么？提示：注意消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2．将参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)化为普通方程是y ＝－2x ＋3吗？提示：不是，应是y ＝－2x ＋3(x ≥1)．[对应学生用书P32]将参数方程化为普通方程[例1] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2tt 3－1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1cos θ，y ＝acos θ(θ为参数)；(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pt 2＋pt 2，y ＝pt －pt(t 为参数)．[思路点拨] 本题考查参数方程化普通方程及运算、转化能力，解答此题需要根据方程的特点，选择适当的消参方法求解．[精解详析] (1)由x ＝t ＋1t －1得t ＝x ＋1x －1， 代入y ＝2tt 3－1化简得 y ＝x ＋1x －123x 2＋1(x ≠1)．(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)把y ＝a cos θ代入x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1cos θ得x －y ＝a tan θ，(x －y )2＝a 2tan 2θ， 由题设得y 2＝a 2cos 2θ，因而x 2－2xy ＋a 2＝0.(4)将y ＝p t－pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p (pt2＋pt 2－2p )．把x ＝p t2＋pt 2代入上式，得y 2＝p (x －2p )．将参数方程化为普通方程的一般思路：先分析方程的结构特征，再选择代入法或代数运算法或三角恒等式消参法消参，但要注意需由参数方程讨论x ，y 的变化范围，并验证其两种形式下的一致性．1．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：由题设可得直线l ：y ＝x －a ，又由椭圆参数方程可知其右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.答案：32．把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝t1＋t2(t 为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．解：由⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1， 得x 2＋4y 2＝1，又－1＜1－t21＋t2≤1，得－1＜x ≤1.∴所求普通方程是x 2＋4y 2＝1(－1＜x ≤1)． 将x 2＋4y 2＝1转化为x 21＋y 214＝1，它表示中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为2，短轴长为1，除去点(－1,0)的椭圆.参数方程化普通方程的应用[例2] 求曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋12t ，y ＝1－12t (t 为参数)上的点的最短距离．[思路点拨] 本题考查参数方程化为普通方程的应用及转化、运算能力，解答此题需要将曲线C 1，C 2的参数方程化为普通方程，转化为圆上点到直线的最短距离求解．[精解详析] 由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －1，sin θ＝y .两式平方相加得：(x －1)2＋y 2＝1. 得C 1为圆心C 1(1,0)，半径为1的圆． 对于曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋12t ，y ＝1－12t消去参数t 得直线方程x ＋y ＋22－1＝0， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d ＝|1＋22－1|2＝2，所以最短距离为2.对于根据曲线的参数方程定形问题，位置关系问题及有关的距离计算等几何性质问题，直接求解有困难时，常将参数方程化为普通方程再求解．3．求参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－55t ，y ＝255t (t ∈R )与⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ∈R )所表示的图形相交所得的弦长．解：由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ∈R )消去θ得椭圆x 22＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－55t ，y ＝255t(t ∈R )代入椭圆方程，化简得9t 2＋25t －5＝0， 设该方程的两实根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－259，t 1t 2＝－59.所求弦长为|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2592＋209＝1029. 4．将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C 与直线x ＋y＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∴曲线C 是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆． 若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.∴a 的取值范围为[1－2，1＋2]．本课时考点是近几年高考及各地模拟的热点，主要考查参数方程化为普通方程及其应用，同时考查转化、运算求解能力，常与三角、解析几何等知识交汇命题．[考题印证]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边 形A 1A 2B 2B 1的面积．[命题立意] 本小题主要考查参数方程与普通方程的互化问题，极坐标方程与直角坐标方程的互化．[自主尝试](1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为2x ′＋2xx ′－x2＝25. [对应学生用书P33]一、选择题1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 21＋t2，y ＝5－t21＋t2(t 为参数)表示的图形为( )A ．直线B ．圆C ．线段(但不包括右端点)D ．椭圆解析：选C 从x ＝3t 21＋t 2中解得t 2＝x 3－x ，代入y ＝5－t 21＋t 2，整理得2x ＋y －5＝0.由t 2＝x3－x≥0解得0≤x ＜3.所以参数方程化为普通方程为2x ＋y －5＝0(0≤x ＜3)，表示一条线段，但不包括右端点．2．下列双曲线中，与双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 29－x 23＝1B.y 23－x 29＝1C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 解析：选B ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝tan θ⇒x 23－y 2＝1⇒e ＝233，渐近线为y ＝±33x ，经验证知B 正确．3．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2，(t 为参数)表示的曲线为( )A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛物线的一部分解析：选B x ＝t ＋1t，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2.当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴y ＝2(x ≥2或x ≤－2)表示的曲线为两条射线．4．下列参数方程中，与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin tC.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos 2t 1＋cot 2t ，y ＝tan t解析：选D B 中sin 2t 和sin t 都表示在一定范围内；A ，C 中化简不是方程y 2＝x ，而是x 2＝y ，故借助万能公式代入化简可知选D. 二、填空题 5．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________．解析：椭圆的普通方程为x ＋424＋y －1225＝1.∴c 2＝21，∴2c ＝221. 答案：2216．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3tan φ，y ＝1cos φ(φ为参数)的渐近线方程是________．解析：化为普通方程是y 2－x －329＝1，它是由y 2－x 29＝1向右移3个单位长度得到y 2－x 29＝1的渐近线方程为：x ±3y ＝0， ∴原双曲线的渐近线方程为：x ±3y －3＝0. 答案：x ±3y －3＝0 7．(江西高考)设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝08．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m |2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝c b 2＋c2＝63. 答案：63三、解答题9．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ， 得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.10．已知直线l ：x －y ＋9＝0和椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)求椭圆C 的两焦点F 1，F 2的坐标；(2)求以F 1，F 2为焦点且与直线l 有公共点M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程． 解：(1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为x 212＋y 23＝1，所以a 2＝12，b 2＝3，c 2＝a 2－b 2＝9. 所以c ＝3.故F 1(－3,0)，F 2(3,0)． (2)因为2a ＝|MF 1|＋|MF 2|，所以只需在直线l ：x －y ＋9＝0上找到点M 使得|MF 1|＋|MF 2|最小即可． 点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点是F 1′(－9,6)， 所以M 为F 2F 1′与直线l 的交点，则 |MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1′|＋|MF 2|＝|F 1′F 2| ＝－9－32＋6－02＝65，故a ＝3 5.又c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝36. 此时椭圆方程为x 245＋y 236＝1.11．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，试求线段AB 的长．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝16cos 2θ，y 2＝16sin 2θ.故圆的方程为x 2＋y 2＝16. (2)法一：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t (t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0. ∴t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36. ∴线段AB 的长为 |AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4 3.法二：直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t 化为普通方程：3x －y ＋4＝0.由(1)知：圆心的坐标为(0,0)，圆的半径R ＝4. ∴圆心到直线l 的距离d ＝|4|32＋－12＝2.∴|AB |＝2R 2－d 2＝216－4＝4 3.11 法三：直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t化为普通方程：3x －y ＋4＝0. 由⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝16，3x －y ＋4＝0得x 2＋23x ＝0. ∴x 1＝0，x 2＝－2 3.∴y 1＝4，y 2＝－2. ∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝4 3.。
一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( ) A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析 消去参数y x ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线.答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B.答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( ) A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x， 代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2. 答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( )A.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线解析 将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D.答案 D二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________. 解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加， 得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∴最大值为2 2.答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案 31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ)＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ).其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s＝x ＋y 的最大值. 解 因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程：(1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数). (2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.。
参数方程化成普通方程练习1方程1=,=2x t t y ⎧+⎪⎨⎪⎩表示的曲线为( )．A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛物线的一部分2曲线21=1,=1x t y t⎧-⎪⎨⎪-⎩(t 为参数，t ≠0)的普通方程为( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1B ．22=1x x y x --（）（）C ．y ＝211x -（）－1D ．y ＝21x x-＋1 3参数方程=1,=35x q y q +⎧⎨+⎩(q 为参数)化为普通方程是( )． A ．5x －3y ＝1 B ．5x －y ＝1C ．5x －y ＝2D ．x －5y ＝24参数方程=cos ,=cos21x y θθ⎧⎨+⎩(θ为参数)表示的曲线是( )．A ．直线B ．抛物线的一部分C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分5将3=31,=x t y t+⎧⎨⎩(t 为参数)化成普通方程为__________． 6点(x ，y )是曲线C ：=2cos ,=sin x y θθ-+⎧⎨⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则y x 的取值范围是__________．7设P 是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，求x ＋2y 的最大值和最小值．8将曲线C ：=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨-+⎩(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．参考答案1 答案：B x ＝t ＋1t ，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2.当t ＜0时，x ＝t ＋1t≤－2.∴y ＝2(x ≥2或x ≤－2)表示的曲线为两条射线． 2答案：B ∵x ＝1－1t ，∴1=1t x -， ∴y ＝1－t 2＝1－2222122==111x x x x x x x -(-)(-)(-)(-). 3答案：C ∵=1=35x q y q +⎧⎨+⎩，，∴5=55=35x q y q +⎧⎨+⎩， ① ， ②①－②得5x －y ＝2.4 答案：B ∵y ＝cos 2 θ＋1＝2cos 2θ－1＋1＝2x 2，又∵x ＝cos θ，∴－1≤x ≤1.∴普通方程为y ＝2x 2(－1≤x ≤1)，它是抛物线的一部分．5 答案：31=27x y (-) 由x ＝3t ＋1得1=3x t -，代入y ＝t 3，得31=27x y (-). 6 答案：33⎡-⎢⎣⎦， 曲线C ：=2cos =sin x y θθ-+⎧⎨⎩，是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1. 设=y k x ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值．＝1，解得21=3k . ∴y x的取值范围是33⎡-⎢⎣⎦，. 7 答案：分析：把椭圆方程转化成参数方程，利用三角关系进行求值．解：椭圆的标准方程为22=164x y +.∴参数方程为=2sin x y θθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)． ∴x ＋2yθ＋4sin θsin(θ＋φ)(其中tan φ，∵sin(θ＋φ)∈[－1,1]，∴x ＋2y∈[．即x ＋2y.8 答案：解：∵=cos =1sin x y θθ⎧⎨-+⎩，，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∴曲线C 是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆．若圆与直线有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，解得1a∴a的取值范围为[1．。
§参数方程化成普通方程.了解参数方程化成普通方程的意义..掌握参数方程化成普通方程的基本方法.(重点).能够利用参数方程化成普通方程解决有关问题.(难点)教材整理参数方程化为普通方程两种不同形式参数方程和普通方程是曲线方程的，普通方程用代数式直接表示点的坐标地反映点的坐标之间的关系之间的关系；参数方程是借助于参数间接两者之间可以互化，将.参数方程化成普通方程的常用方法有：()代数法消去参数代入法：从参数方程中选出一个方程，①解出另一个方代入参数，然后把参数的表达式程，消去参数，得到曲线的普通方程.②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.，消去参数，得到曲线的普通方程()利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的，都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程.填空：()将参数方程(\\(＝，＝))(为参数)化为普通方程是.()将参数方程(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)化为普通方程是.()将参数方程(\\(＝，＝＋))(为参数)化为普通方程是.【解析】()把＝代入②得＝即普通方程为＝.()由θ＋θ＝得＋＝.()由②得＝－，代入①得＝(－).【答案】()＝()＋＝()＝(－)预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：()＋＝，＝θ＋.(θ为参数)()－＋－＝，＝＋.(为参数)【精彩点拨】根据题目要求代入可求解.【自主解答】()将＝θ＋代入＋＝得＝＋θ.∴(\\(＝() θ＋，＝() θ＋))(θ为参数).这就是所求的参数方程.()将＝＋代入－＋－＝得＝＋－＝(＋)＋＋－＝＋＋，∴(\\(＝＋，＝＋＋))(为参数).这就是所求的参数方程.普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.如本例()，若令＝θ(θ为参数)，则参数方程为(\\(＝θ，＝θ＋θ－))(θ为参数).。
参数方程化成普通方程练习1方程1=,=2x t t y ⎧+⎪⎨⎪⎩表示的曲线为()．A ．一条直线B ．两条射线C ．一条线段D ．抛物线的一部分 2曲线21=1,=1x t y t⎧-⎪⎨⎪-⎩（t为参数，t ≠0）的普通方程为( ）．A ．(x －1）2（y －1）＝1B ．22=1x x y x --（）（）C ．y ＝211x -（）－1 D ．y ＝21xx -＋13参数方程=1,=35x q y q +⎧⎨+⎩（q 为参数）化为普通方程是( ）．A ．5x －3y ＝1B ．5x －y ＝1C ．5x －y ＝2D ．x －5y ＝2 4参数方程=cos ,=cos21x y θθ⎧⎨+⎩(θ为参数)表示的曲线是（ )．A ．直线B ．抛物线的一部分C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分5将3=31,=x t y t +⎧⎨⎩(t 为参数)化成普通方程为__________． 6点(x ,y ）是曲线C ：=2cos ,=sin x y θθ-+⎧⎨⎩（θ为参数，0≤θ＜2π）上任意一点,则y x的取值范围是__________．7设P 是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点,求x ＋2y 的最大值和最小值．8将曲线C :=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨-+⎩(θ为参数）化为普通方程，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．参考答案1 答案：B x ＝t ＋1t，当t ＞0时，x ＝t ＋1t≥2。
当t ＜0时，x ＝t＋1t≤－2。
∴y ＝2(x ≥2或x ≤－2)表示的曲线为两条射线．2答案：B ∵x ＝1－1t，∴1=1t x -， ∴y ＝1－t2＝1－2222122==111x x x x x x x -(-)(-)(-)(-). 3答案：C∵=1=35x q y q +⎧⎨+⎩，，∴5=55=35x q y q +⎧⎨+⎩， ① ， ② ①－②得5x －y ＝2。
§3 参数方程化成普通方程1.代数法消去参数(1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法.(2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】【知能要点】1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程.2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程.题型一 代数法消去参数这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2.解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)， 即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr1＋k 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2，y 2＝4k 2r2（1＋k 2）2，得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r2（1＋k 2）2＝r 2. ∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程.【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第(2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两边取平方.然后相加消去参数.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1；(2)⎩⎨⎧x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p t2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2tt 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1(x ≠1).(2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0.(3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式， 得y 2＝p (x －2p ).题型二 利用三角恒等式消去参数利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变形，然后进行代数运算消去参数，化为普通方程.【例2】 将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型. (1)⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a ，b 为常数，且a ＞b ＞0)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数，a ，b 为正常数)； (3)⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数). 解 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1得x 2a 2＋y 2b 2＝1这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆.(2)由已知1cos φ＝x a ，tan φ＝y b ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ2－tan 2φ＝1，∴有x 2a 2－y 2b 2＝1这是一条双曲线.(3)由已知t ＝y 2p 代入x ＝2pt 2中得y 24p 2·2p ＝x ， 即y 2＝2px ，这是一条抛物线.【反思感悟】 用三角恒等式法把参数方程转化为普通方程时，要特别注意保证等价性.2.化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数).解 (1)由y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x 得y 2＝2x ＋1， ∵－12≤12sin 2θ≤12， ∴－12≤x ≤12.∵－2≤sin θ＋cos θ≤2， ∴－2≤y ≤ 2.故所求普通方程为y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12，－2≤y ≤2，图形为抛物线的一部分.(2)由x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t t 2－12＝1及x ＝1t ≠0，xy ＝t 2－1t 2≥0知，所求轨迹为两部分圆弧x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0).1.若曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( ) A.直线x ＋2y －2＝0 B.以(2，0)为端点的射线 C.圆(x －1)2＋y 2＝1D.以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析 x ＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin 2θ＝2－2y ，故普通方程为x ＋2y －2＝0，但⎩⎨⎧0≤sin 2θ≤1，0≤1＋cos θ≤2，即0≤y ≤1，0≤x ≤2，故为一条线段. 答案 D2.参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A.直线 B.圆 C.线段 D.射线解析 ∵x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ，∴x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，y ＝1－cos 2θ＝1－x ， ∴x ＋y ＝1，是一条线段，故选C.答案 C3.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t 2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 y ＝t 2＋1t 2＝t 2＋2·t ·1t ＋1t 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2＝x 2－2(x ≠0). 答案 y ＝x 2－2(x ≠0)4.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为________，圆心到直线l 的距离为________.解析 消参数得圆方程为x 2＋(y －2)2＝4，得圆心坐标为(0，2).消参数后直线方程为x ＋y ＝6，那么圆心到直线的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案 (0，2) 22[P 42练习]已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ(a ，b ，λ均不为0，0≤θ≤2π)分别取：(1)t 为参数，(2)λ为参数，(3)θ为参数. 则下列结论中成立的是( ) A.(1)，(2)，(3)均是直线 B.只有(2)是直线C.(1)，(2)是直线，(3)是圆D.(2)是直线，(1)，(3)是圆锥曲线 解析 (1)t 为参数，t ＝x －λcos θa 代入y ＝bt ＋λsin θ中得，y ＝b x －λcos θa＋λsin θ. 整理得：bx －ay －λb cos θ＋λa sin θ＝0，其中a 、b 、λ、θ为常数，故为直线. (2)λ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ⇒⎩⎨⎧x －at ＝λcos θ，y －bt ＝λsin θ.消去参数λ，y －btx －at ＝tan θ，整理得，y ＝tan θ·x －at tan θ＋bt 为直线.(3)θ为参数⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ，用三角恒等式消去参数θ.得(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2为以(at ，bt )为圆心，λ为半径的圆. 由以上解答，应选C. 答案 C【规律方法总结】由参数方程化为普通方程时，有两种基本方法.代数法和三角恒等法.这两种方法中都有可能先对参数方程进行变形然后经过代数运算进行消去参数，但在变形中特别注意取等价性，有时要进行必要的讨论，有时要利用三角函数写出x ，y 的取值范围.一、选择题1.参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(r 为参数)表示的曲线为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解析 消去参数yx ＝tan α，即y ＝tan α·x 为直线. 答案 A2.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 由题意知，a ＜0，b ＞0，又由于圆心坐标为(a ，b )，故在第二象限.选B. 答案 B3.曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x （x －2）（1－x ）2C.y ＝1（1－x ）2－1D.y ＝x 1－x 2解析 ∵x ＝1－1t ，∴1t ＝1－x ，t ＝11－x ，代入y ＝1－t 2得，y ＝1－1（1－x ）2＝（1－x ）2－1（1－x ）2＝x （x －2）（1－x ）2.答案 B4.由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( ) A.一个定点 B.一个椭圆 C.一条抛物线D.一条直线解析 将方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0化为标准方程为(x －2t )2＋(y －t )2＝4，圆心坐标为(2t ，t )，故圆心轨迹为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t 消去参数t 为x ＝2y ，为直线，故选D. 答案 D 二、填空题5.将参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ⇒⎩⎨⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ.平方相加，得(x －1)2＋y 2＝4.答案 (x －1)2＋y 2＝46.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.解析 x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，x －y ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴最大值为2 2. 答案 2 27.设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________.解析 l 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x －2，则l 1与l 2平行再利用两平行线间的距离公式可求得d ＝3105. 答案31058.若点(x ，y )在圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2＋3x 的最小值是________.解析 ∵x 2＋y 2＋3x ＝(3＋2cos θ)2＋(2sin θ－4)2＋3(3＋2cos θ) ＝9＋12cos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ－16sin θ＋16＋9＋6cos θ ＝38＋18cos θ－16sin θ＝38＋2145cos(θ＋φ). 其中cos φ＝182145.∴最小值为38－2145. 答案 38－2145 三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求s ＝x ＋y 的最大值.解 因椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π，因此，s ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，s 取最大值2.10.求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0，4)的直线的斜率k 为参数.解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 点的任一点.则y －4x ＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)，另有一点⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2(k ≠0)和⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4.习题2－3 第42页A 组1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2b 2＝1，双曲线.(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，所以y －2x －1＝4.所以4x －y －2＝0，直线. (5)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225＝1，焦距为221.4.椭圆的普通方程为（x －1）216＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0).5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24＝1，中心坐标(2，1).6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b2，点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).B 组1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，即x 2＋y 2＝2.2.解 设动点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25.即（x ＋1）225＋（y －2）29＝1.3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24＝1.4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20x 2，射程为3v 202g ，(2)证明略.。
习题2－3 第42页
A 组
1.解 (1)2x －y －7＝0，直线.
(2)x 216＋y 29＝1，椭圆.
(3)x 2a 2－y 2
b 2＝1，双曲线.
(4)原参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2，
所以y －2x －1＝4. 所以4x －y －2＝0，直线.
(5)⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5.
3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225
＝1，焦距为221. 4.椭圆的普通方程为（x －1）216
＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0). 5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24
＝1，中心坐标(2，1). 6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23
＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°.
7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12.
8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b 2，
点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1).
B 组
1.设动点A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，
即x 2＋y 2＝2. 2.解 设动点M (x ，y )，则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53
（y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25. 即（x ＋1）225＋（y －2）29
＝1. 3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1).
所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24
＝1. 4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20
x 2，射程为3v 202g ， (2)证明略.。
