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超详细抛物线知识点归纳总结抛物线是一个经典的二次曲线，它的形状类似于一个向上开口或向下开口的U 形曲线。
在数学和物理学中，抛物线具有许多重要的性质和应用。
下面是超详细的抛物线知识点总结：1. 基本定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）之距离相等的点的轨迹。
准线与抛物线的交点被称为顶点，准线上两个焦点和顶点的中垂线被称为对称轴。
2. 标准方程：一般抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
通过变换可以将一般方程转化为其他形式，如顶点形式、焦点形式和准线形式。
3. 顶点形式：顶点形式的抛物线方程为 y = a(x-h)^2 + k，其中 (h,k) 是顶点的坐标。
通过平移和缩放可以将一般方程转化为顶点形式。
4. 焦点形式：焦点形式的抛物线方程为 (x-h)^2 = 4p(y-k)，其中 (h,k) 是顶点的坐标，p 是焦距的一半。
焦点形式可以直接得到焦点坐标。
5. 准线形式：准线形式的抛物线方程为 y = px^2，其中 p 是焦距的一半。
准线形式的焦点在原点，并且准线是 x 轴。
6. 直径和焦距：抛物线的直径是通过顶点且与曲线相切的直线段。
焦距是焦点到准线的垂直距离。
7. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
即曲线上任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离相等。
8. 切线与法线：抛物线上任意一点处的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
切线的斜率等于该点处的导数。
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。
9. 焦点与直角焦点：焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点。
直角焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点，并且该点与焦点、准线之间的连线与准线垂直。
10. 焦半径：焦半径是焦点与抛物线上任意一点的连线与准线的夹角的二倍。
11. 焦散性质：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离可以通过反射性质来得到。
即经过抛物线上某点的光线经过反射后都通过焦点。
初三数学抛物线知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2t,t 0 ,则 X A t 2* .由于直线AB 过F ,故直线AB 方程为t 22t2代入y 4x ，得故 2ty B即Y B所以又由于1 32,2 1 ttX A X BX c ,G，Y A Y BY c 及重心G 在x 轴上, 2故 2t 7 Y c 0 ,所以，直线AC 方程为y2t由于Q 在焦点F 的右侧,t 2 2t2 2,0 .3t 2 2t x t 2,得 Q t 21,0 .2.从而1JFG| |YA | 1 2|QG|Y C|t2t 4 2t 2 2 3t 21 |2t|2—2— | |22t|3t 2t2t 4 t 2 t 4 1t 2 2 t 4 1 .专题九解析几何第二十七讲抛物线答案部分2019 年21•解析：由题意可得：3p p —，解得P8•故选D . 22. (I )由题意得 1,即p=2.2所以，抛物线的准线方程为 x=-1.(n )设 A x A ，y A , B X B 』B ,C X c ，y c ,重心 G 沧，y •令 Y A2 2 t 2 1y2tx 1 0.设 B x 2, y 2，同理可得 2tX 2 2 y 2+1=0 . 故直线AB 的方程为2tx 2y 10.1所以直线AB 过定点（0,―）.2（2）由（1）得直线AB 的方程为y tx1tx 2 2，可得X 2 X2(2, 0).1乜2m c 1 c 2 •••24m 33 m — 4m、、3 时, 色取得最小值1&此时G 3•解析 (1)设 D t, A X i ,y i,2X12y i .由于y' X ，所以切线DA 的斜率为X 1，— 2 X 1 t y i X i，整理得 2 tx-i 2 y 1+1=0.于是X）X2 2t, y1 y2 X| x2 1 2t21.设M为线段AB的中点, t,t2由于EM u umr 十AB，而uuuuEMt,t2AB与向量（1, t）平行，所以t t2 2 t 0 .解得t=0或t1.当t=0时,uuuu| EM |=2,所求圆的方程为当t 1时，|尚|，所求圆的方程为X22010-2018 年1. C 【解析】由题意可知，如图 MFx 60o ，又抛物线的定义得 MF MN ，所以 MNFFH为等边三角形，在三角形NFH 中，FH 2 ,cos60°,得NF 4,所以M 到NFNF 的距离为等边三角形 MNF 中NF 边上的高，易知为 3 NF 2. 3 •选C .22.D 【解析】易知抛物线的焦点为 F(1,0)，设P(x p , y p )，由PF x轴得x P 1，代入k抛物线方程得 y 2 ( 2舍去)，把P(1,2)代入曲线y (k 0)的k 2，故选D .xp3.B 【解析】因为抛物线的准线方程为x 2 1，二P 2 ,•••焦点坐标为(1,0). 4. D 【解析】当直线I 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即x 5 r ，所以0 r 5 ；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可•设A(X 1, yj ,BE y 2),M(x °, y °)，贝y为 x 22x 0 .又 2y1 4x-i2y 1 y 22y。
专题九 解析几何第二十七讲 抛物线答案部分1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=o，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆ 为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，cos 60FHNF=o ，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NFNF =C ．x2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由PF x ⊥轴得1P x =，代入抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)ky k x=>的2k =，故选D ． 3．B 【解析】因为抛物线的准线方程为12px =-=-，∴2p =，∴焦点坐标为(1,0)．4．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰好有2条，即5x r =±，所以05r <<；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩．又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-，121212042AB y y k x x y y y -===-+．设圆心为(5,0)C ，则005CM y k x =-，因为直线l 与圆相切， 所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，于是2204y r =-，2r >，又2004y x <，即2412r -<，所以04r <<，又05r <<，2r >所以24r <<，选D ．5．C 【解析】过点Q 作QQ l '⊥交l 于点Q '，因为4PF FQ =u u u r u u u r，所以||:||3:4PQ PF =，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以||||3QF QQ '==．故选C ．6．D 【解析】易知抛物线中32p =，焦点3(,0)4F ，直线AB 的斜率33k =，故直线AB 的方程为33()34y x =-，代入抛物线方程23y x =，整理得22190216x x -+=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x +=，由物线的定义可得弦长12||12AB x x p =++=，结合图象可得O 到直线AB 的距离3sin 3028p d ==o ， 所以OAB ∆的面积19||24S AB d =⋅=． 7．D 【解析】∵(2,3)A -在抛物线22y px =的准线上，∴22p-=-．∴4p =，∴28y x =， 设直线AB 的方程为(3)2x k y =--①，将①与28y x =联立， 得2824160y ky k -++=②，则△=2(8)4(2416)0k k --+=， 即22320k k --=，解得2k =或12k =-（舍去）， 将2k =代入①②解得8,8x y ==，即(8,8)B ，又(2,0)F ，∴43BF k =，故选D ． 8．C 【解析】∵2OF =，由抛物线的定义可得P 点的坐标()32,26±，∴POF ∆的面积为112262322P OF y =⨯⨯=． 9．C 【解析】依题意可得AF 所在直线方程为12xy +=代入x 2=4y 得352y -=， 又|FM |：|MN |=（1-y ）：（1+y ）＝1:．10．C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,3)A -(4,3)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=11．D 【解析】∵双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,所以23.c b a a=⇒=又渐近线方程为0,bx ay ±=所以双曲线1C 30.x y ±=而抛物22:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,),2p||28p p =⇒=.故选D ．12．C 【解析】设抛物线的方程为22y px =，易知||212AB p ==，即6p =，∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为6p =，所以ABP ∆面积为36，故选C ．13．(1,0)【解析】由题意知0a >，对于24y ax =，当1x =时，y =±l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，所以4=，所以1a =，所以抛物线的焦点坐标为(1.0)． 14．22y px =的准线方程为2p x =-，又0p >，所以2p x =-必经过双曲线221x y -=的左焦点(，所以2p-=，p = 15．1由正方形的定义可知BC= CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以||AD p a ==，D (,0)2p (,)2p F b b +，将点F 的坐标代入抛物线的方程得222()22pb p b a ab =+=+，变形得22()10b ba a --=，解得1b a =1b a =-，所以1b a=+16．2，1x =-【解析】1,22p p ==；准线12px =-=-．17．62【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），设抛物线的方程为22x py =-，l 与抛物线的交点为A 、B ，根据题意知A （–2，–2），B （2，–2） 则有()222-⨯=-a ，∴21-=a ∴抛物线的解析式为221x y -= 水位下降1米，则y=–3，此时有6=x 或6-=x∴此时水面宽为62米．18．4【解析】由题意可得p 的值为2，B 点坐标为（142，）所以点B19．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．20．【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -=因此，PAB ∆的面积32212001||||4)2PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是]4． 21．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2xy'=．设33(,)M x y ，由题设知312x=，解得32x =，于是(2,1)M ．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 22．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-。
21专题九 解析几何第二十七讲 抛物线2019 年x 2 1.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆+ y =1的一个焦点，则 3 p pp = A ．2 B ．3 C ．4D ．82.（2019 浙江 21）如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧.记△AFG ,△CQG 的面积为 S 1 , S 2 . （1）求 p 的值及抛物线的准线方程； S（2）求 1 的最小值及此时点 G 的坐标.S 23.(2019 全国 III 文 21）已知曲线 C ：y = x 2，D 为直线 y = - 上的动点，过 D 作 C 的两条切2线，切点分别为 A ，B . （1）证明：直线 AB 过定点：5（2）若以 E (0， 2)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程.1.解析（1）设 D ⎛ t , - 1 ⎫,A (x , y )，则 x 2 = 2 y .2 ⎪ 1 1 1 1 ⎝ ⎭22 5 y2 1由于 y' = x ，所以切线DA 的斜率为 x 1 ，故 1+ 1 2= x，整理得2 tx 1 - 2 y 1 +1=0.设B (x 2 , y 2 ) ，同理可得2tx 2 - 2 y 2 +1=0 . 故直线AB 的方程为2tx - 2 y +1 = 0 . 1所以直线AB 过定点(0, ) .2x 1 - t（2）由（1）得直线AB 的方程为 y = tx + 1.2⎧y = tx + 1⎪⎪ 由⎨ 2 ⎪ y = x⎪⎩ 2 2 ，可得 x 2- 2tx -1 = 0 . 于是 x + x = 2t , y + y = t (x + x )+1 = 2t 2+1 .121212设M 为线段AB 的中点，则M ⎛ t , t 2 + 1 ⎫. 2 ⎪ ⎝ ⎭由于 EM ⊥ AB ，而 EM = (t , t 2- 2)， AB 与向量(1, t ) 平行，所以t + (t 2- 2)t = 0 .解得 t =0或t = ±1.当t =0时， | EM | =2，所求圆的方程为 x 2+ ⎛ y - ⎝ 5 ⎫2⎪ ⎭⎛= 4 ；5 ⎫2当t = ±1时， | EM |= ，所求圆的方程为 x 2 + y - ⎪ ⎝ ⎭= 2 .2010-2018 年一、选择题1．（2017 新课标Ⅱ）过抛物线C ：y 2= 4x 的焦点 F ，且斜率为 的直线交C 于点 M ( M在 x 轴上方)， l 为C 的准线，点 N 在l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为A ．B ． 2C ． 2D ． 3 3 2 3 323 3 9 3 2 2．（2016 年全国 II 卷）设 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，曲线 y = k（k >0）与 C 交于点 P ，xPF ⊥x 轴，则 k =A ． 12B ．1C ． 32D ．23．（2015 陕西）已知抛物线 y 2= 2 px ( p > 0 )的准线经过点(-1,1) ，则该抛物线的焦点坐标为 A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)4．（2015 四川）设直线l 与抛物线 y 2= 4x 相交于 A , B 两点，与圆(x - 5)2+ y 2= r 2(r > 0)相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点．若这样的直线l 恰有 4 条，则r 的取值范围是 A ． (1，3) B ． (1，4) C ． (2，3) D ． (2，4)5．（2014 新课标 1）已知抛物线C ： y 2= 8x 的焦点为 F ，准线为l ， P 是l 上一点， Q 是直线 PF 与C 的一个焦点，若 FP = 4FQ ，则| QF | =A ． 72B ． 52C ．3D ．26．（2014 新课标 2）设 F 为抛物线 C ：y 2 = 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交C 于A ,B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的面积为A ． 4B ． 8C ．63 32D ．9 47．（2014 辽宁）已知点 A (-2, 3) 在抛物线 C ： y 2= 2 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B ，记 C 的焦点为 F ，则直线 BF 的斜率为 A ． 12B ． 23 C ． 34 D ． 438．（2013 新课标 1） O 为坐标原点， F 为抛物线C : y 2= 4 2x 的焦点， P 为C 上一点，若| PF |= 4 ，则∆POF 的面积为A ． 2B ． 2C ． 2D ． 49．（2013 江西）已知点 A (2, 0) ，抛物线C : x 2 = 4 y 的焦点为 F ，射线 F A 与抛物线 C 相交于点 M ，与其准线相交于点 N ，则|F M|：|MN |=2322A ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:310．（2012 新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2 = 16 x 的准线交于 A 、 B 两点， | AB |= 4 ，则C 的实轴长为A ．B ． 2C ．4D ．8x2-y2=>>11 ．（ 2012 ft 东） 已知双曲线 C 1 ： a 2b 21(a 0,b 0) 的离心率为 2 ． 若抛物线 C : x 2 = 2 py ( p > 0) 的焦点到双曲线C 的渐近线的距离为2，则抛物线C 的方程为21 2A ． x 2 = 8 3 y 3B ． x 2 = 16 3yC ． x 2 = 8 yD ．x 2 = 16 y 312．（2011 新课标）已知直线l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ，B 两点， | AB |= 12 ， P 为C 的准线上一点，则∆ABP 的面积为A ．18B ．24C ．36D ．48二、填空题13．(2018 北京)已知直线l 过点(1, 0) 且垂直于 x 轴，若l 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．14．（2015 陕西）若抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的准线经过双曲线 x 2- y 2= 1的一个焦点，则p =15．（2014 湖南）如图，正方形 ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a , b (a < b ) ，原点O为 AD 的中点，抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 经过C , F 两点，则b=．a16．（2013 北京）若抛物线 y 2= 2 px 的焦点坐标为(1, 0) ，则 p =，准线方程为 ．17．（2012 陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽米．55 3x18．（2010 浙江）设抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，点 A (0, 2) ．若线段 FA 的中点 B在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为．三、解答题19．（2018 全国卷Ⅱ）设抛物线C ：y 2= 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 与C 交于 A ， B 两点， | AB | = 8 ．(1)求l 的方程；(2)求过点 A ， B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．（2018 浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线C ： y 2= 4x 上存在不同的两点 A ， B 满足 PA ， PB 的中点均在C 上．(1)设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y 轴；2y 2 (2)若 P 是半椭圆 x += 1( x < 0 )上的动点，求∆PAB 面积的取值范围．4221．（2017 新课标Ⅰ）设 A ， B 为曲线C ： y = 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4． 4(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥ BM ，求直线AB 的方程．22．（2017 浙江）如图，已知抛物线 x 2= y ．点 A (- 1 , 1) 2 4 3 9 ， B ( , ) 2 4，抛物线上的点yAPMxOB1 2P (x , y ) (- 1 < x < 3) ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为Q ．2 2x（Ⅰ）求直线 AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求| PA | ⋅ | PQ | 的最大值．23．（2016 年全国 I 卷）在直角坐标系 xOy 中，直线l ： y = t (t ≠ 0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线C ：y 2= 2 px ( p > 0) 于点 P ，M 关于点 P 的对称点为 N ，连结ON 并延长交C 于点 H ．| OH | （I ）求；| ON |（II ）除 H 以外，直线 MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．24．（2016 年全国 III 卷）已知抛物线C ：y 2= 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线l , l分别交C 于 A ，B 两点，交C 的准线于 P ，Q 两点．（I ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR P FQ ； （II ）若∆PQF 的面积是∆ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．25．（2016 年浙江）如图，设抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于| AF | -1 ． （I ）求 p 的值；（II ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ，AN 与 x 轴交于点 M .求 M 的横坐标的取值范围．26．（2015 浙江）如图，已知抛物线C ：y = 1x 2，圆C ：x 2+ ( y -1)2= 1，过点 P (t ,0) (t >0)142作不过原点O 的直线 PA ， PB 分别与抛物线C 1 和圆C 2 相切， A , B 为切点．（Ⅰ）求点 A , B 的坐标；（Ⅱ）求∆PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．27．（2015 福建）已知点 F 为抛物线E : y 2 = 2 px （ p > 0 ）的焦点，点 A (2, m ) 在抛物线E 上，且 ΑF = 3 ．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点G (-1, 0)，延长 ΑF 交抛物线E 于点 Β ，证明：以点 F 为圆心且与直线GΑ 相切的圆，必与直线GΒ 相切．28．（2014 ft 东）已知抛物线C : y 2 = 2 px ( p ＞0）的焦点为 F ， A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA =当点A 的横坐标为3 时，∆ADF 为正三角形。
