高考数学专题10 解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(解析版)

高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。

备战2013高考数学（文）6年高考母题精解精析专题10 圆锥曲线05（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为[C]（A ）12（B ）1（C ）2（D ）4解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==. （2010辽宁文数）（7）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 斜率为PF =（A ）（B ） 8 （C ） （D ） 16 解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，则4||8sin30PF ︒==（2010全国卷2文数）（12）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0）的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =（A ）1 （B（C（D ）2【解析】B ：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB = ，∴ 123y y =-， ∵e =，设2,a t c ==，b t =，∴ 222440x y t +-=，直线AB方程为x sy =。

专题10 解析几何专题（新定义）一、单选题1．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy 中（O 为坐标原点），把到定点1(,0)F c −和2(,0)F c 距离之积等于2(0)c c >的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知()00,P x y 为双纽线Γ上任意一点，有下列命题： ①双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−； ②12F PF △面积最大值为212c ；③022c c y −≤≤；④PO ．其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④【答案】D【分析】由已知212PF PF c ⋅=，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，即可判断④.【详解】对于①，由定义212PF PF c ⋅=2c =， 即()()222222400000022x y c cx x y c cx c +++⋅++−=，整理可得()()22222200002x y c x y +=−，所以双纽线Γ的方程为()()2222222x y c x y +=−，故①正确； 对于②，1212121sin 2F PF SPF PF F PF ∠=221211sin 22c F PF c ∠=≤，故②正确；对于③，因为12212001122F PF SF F y c y c =⨯=≤，所以022c cy −≤≤，故③正确； 对于④，12F PF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 所以2222121242cos PF PF c c F PF ∠+=+. 又因为122PO PF PF =+，所以()()22122POPF PF =+uu u ruuu r uuu r 2212122PF PF PF PF =++⋅uuu r uuu r uuu r uuu r 221212122cos PF PF PF PF F PF =++⋅∠uuu r uuu r uuu r uuu r.所以，()22122PO F F +22212212121221212c 2cos os PF PF PF PF PF PF PF F PF F P PF F =++⋅∠++−⋅⋅∠()22122PF PF =+，即()22221244242cos PO c c c F PF ∠+=⨯+，整理可得222212||cos 2PO c c F PF c ∠=+≤，所以||PO ≤，故④正确.故选：D.2．（2023春·四川达州·高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义： 椭圆 22221(1)x y a b a b +=>>中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为 “好弦”． 则椭圆221259x y +=中所有 “好弦” 的长度之和为（ ）A ．162B ．166C ．312D ．364【答案】B【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断“好弦” 的长度的取值可能，注意椭圆对称性的应用.【详解】由已知可得 5,3a b ==， 所以4c =，即椭圆221259x y +=的右焦点坐标为()4,0，对于过右焦点的弦AB ，则有：当弦AB 与x 轴重合时，则弦长210AB a ==，当弦AB 不与x 轴重合时，设()()1122:4,,,,AB x my A x y B x y =+，联立方程2241259x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2292572810m y my ++−=，则()()()()2221212227281Δ72492581810010,,925925m m m m x x x x m m =−+⨯−=+>+=−=−++，故()22290116101925925m AB m m +⎛⎫==− ⎪++⎝⎭， ∵20m ≥，则221192525,092525m m +≥<≤+，可得21616025925m −≤−<+，即29161125925m ≤−<+， ∴18,105AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，综上所述：18,105AB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故弦长为整数有4,5,6,7,8,9,10，由椭圆的对称性可得：“好弦” 的长度和为 ()445678910166⨯++++++=． 故选 ：B ．3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的许多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点()()1122,,,A x y B x y ，定义两点间“距离”为()1212,d A B x x y y =−+−，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“距离”之和等于定值（大于()12,d F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分横坐标在1F 、2F 之外（内）的区域两种情况讨论，结合所给距离公式判断即可. 【详解】解：根据题意，横坐标在1F 、2F 之外的区域，不能出现与x 轴垂直的线段， 否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值；横坐标在1F 、2F 之内的区域，则必须与x 轴平行，否则该线段上的点与1F 、2F 的“距离”之和不会是定值. 故选：A.4．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得a =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率5c e a ==，所以a =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 3c =. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==.因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当MP MQ ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，a =，故椭圆C 的长轴长为 故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.【详解】由蒙日圆的定义，可知椭圆 22:154x y C +=的两条切线2x y =的交点在圆上，所以3R ==， 故选：A6．（2021秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ） A ．22184x y +=B ．22135x y +=C ．22162x y +=D ．22169x y +=【答案】A. 【详解】由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b 与半焦距c 相等的椭圆是“对偶椭圆”， 对于A ，22844c b =−==，即b c =，A 是“对偶椭圆”； 对于B ，22532c b =−=≠，即b c ≠，B 不是“对偶椭圆”； 对于C ，22624c b =−=≠，即b c ≠，C 不是“对偶椭圆”； 对于D ，22963c b =−=≠，即b c ≠，D 不是“对偶椭圆”. 故选：A7．（2021春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）若曲线0(),f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）A ．210x y +−=B ．10x =C ．2210x y x x +−−−=D ．2310x xy −+=【分析】通过图象，观察其图象是否满足在其图象上存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，进而得到结论.【详解】A ：因为210x y +−=，即21y x =−是抛物线，没有自公切线，故A 错误；B ：因为10x =，表示的是图形中的实线部分，没有自公切线，故B 错误；C ：因为2210x y x x +−−−=，表示的是图形中的实线部分，由两圆相交，可知公切线，故有自公切线，故C 正确；D ：因为2310x xy −+=，即13y x x=+是双勾函数，没有自公切线，故D 错误； 故选：C.8．（2021·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在平面直角坐标系中，定义x y +称为点(,)P x y 的“δ和”，其中O 为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点(,)P x y 的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P 是直线240x y −−=上任意一点，则点(,)P x y 的“δ和”的最小值为2；（3）设P 是直线0ax y b −+=上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是1a =；（4）设P 是椭圆2212y x +=上任意一点，则“δ和”的最其中正确的结论序号为（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2）（4） C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【解析】根据新定义“δ和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）逐一判断即可.【详解】（1）当1x y +=时，点(,)P x y 的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）P 是直线240x y −−=上的一点，24y x ∴=−，24x y x x ∴+=+−43,0,4,02,34,2,x x x x x x −≤⎧⎪=−<<⎨⎪−≥⎩可知，0x ≤，02x <<时递减，2x ≥时递增，故x y +的最小值在2x =时取得，min ()2x y +=，正确；（3）同（2），x y x ax b +=++，可知当1a =±时，都满足，“δ和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为,,x y θθ=⎧⎪⎨⎪⎩cos x y θθ∴+=，. 故选：B.【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“δ和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断即突破难点.9．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点12,F F 的距离之比为2:1，且存在12PF F △，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（ ）A ．2213632x y +=B ．2211615x y +=C ．22154x y −=D ．22115y x −=【答案】C【分析】求出满足条件1221PF PF =时的1PF 和2PF ，再求出12F F ，验证1PF ，2PF ，12F F能否是三角形的三边长，即可得． 【详解】1221PF PF =，则122PF PF =，若是椭圆，则12232PF PF PF a +==，223a PF =，143a PF =， 若是双曲线，则1222PF PF PF a −==，14PF a =，A 中椭圆，6,2a c ==，24PF =，18PF =，124F F =，不存在12PF F △；B 中椭圆，4,1a c ==，183PF =，1163PF =，122F F =，不存在12PF F △C中双曲线，3a c ==，双曲线上点到到右焦点距离的最小值是233ac a −=<，2PF =1PF =126F F =，构成12PF F △，存在“Ω点”，D 中双曲线，1a =，4c =，22PF =，14PF =，128F F =，不存在12PF F △ 故选：C ．【点睛】本题考查新定义“Ω点”，解题方法是弱化条件，求出满足部分条件的P 点具有的性质，验证是否满足另外的条件：构成三角形．从而完成求解．10．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆22:14x C y +=的焦点为1F 、2F ，若点P 在椭圆上，且满足212PO PF PF =⋅（其中O 为坐标原点），则称点P 为“★”点.下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 上的所有点都是“★”点 B ．椭圆C 上仅有有限个点是“★”点 C ．椭圆C 上的所有点都不是“★”点D ．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★”点 【答案】B【分析】设点(),P x y ，由212PO PF PF =⋅得出关于x 、y 的等式，由2214xy =−，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点(),P x y ，则2214x y =−，()1F、)2F ，122PF x ===+，21442222PF PF ⎛⎫=−=−+=− ⎪ ⎪⎝⎭，由212PO PF PF =⋅，得222222x y ⎛⎫⎛⎫+=+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22331444x x +=−，解得x =2y =±， 所以，椭圆C 上有且只有4个点是“★”点. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆中的新定义，考查椭圆方程的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）已知两定点()1,0M −，()1,0N ，若直线上存在点P ，使||||4PM PN +=，则该直线为“A 型直线”，给出下列直线，其中是“A 型直线”的是（ ） ①1y x =+；②2y =；③3y x =−+；④23y x =−+ A ．①③ B ．①②C ．③④D ．①④【答案】D【分析】易得点P 在以M 、N 为焦点的椭圆22143x y +=上，“A 型直线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方程由判别式验证即可.【详解】两定点()1,0M −，()1,0N ，||||4PM PN +=， P ∴在以M 、N 为焦点的椭圆上，且22,1,3a c b ===，故椭圆的方程为22143x y +=，满足题意的“A 型直线”和椭圆有公共点，联立1y x =+和22143x y+=，消y 整理可得27880x x −−=，故0∆>，即直线与椭圆有公共点，即为“A 型直线”，联立2y =和22143x y+=，显然无交点，故不是“A 型直线”，联立3y x =−+和22143x y +=，消y 整理可得2724240x x −+=，故Δ0<，故不是“A 型直线”，联立23y x =−+和22143x y +=消y 整理可得21948240x x −+=，故0∆>，即直线与椭圆有公共点，即为“A 型直线”， 故选：D【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与椭圆位置关系的判断，属于中等题.12．（2017春·吉林·高一统考期末）已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |≤4，则称该直线为“ 切割型直线” , 下列直线中是“ 切割型直线” 的是( ) ①1y x =+;②2y =;③43y x =;④21y x =+. A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】C【分析】根据已知条件，利用点到直线的距离公式进行计算.【详解】对于①，点M 到直线y =x +1的距离14d ==，故不存在点P 使|PM |≤4，故①不是；对于②，点M 到直线y =2的距离d 2=2＜4，故存在点P 使|PM |≤4，故②是； 对于③，直线方程为4x -3y =0，点M 到直线4x -3y =0的距离3543045d ⨯−⨯== ，故存在点P 使|PM |≤4，故③是；对于④，点M 到直线y =2x +1的距离44d =，故不存在点P 使|PM |≤4，故④不是. 综上可知符合条件的有②③.故A ，B ，D 错误. 故选：C.二、多选题13．（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo .设计师的灵感来源于曲线C ：||1n nx y +=.其中星形线E ：22331x y =+常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（ ） A ．E 关于y 轴对称B ．E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C ．E 上的点到原点距离的最小值为14D ．曲线E 所围成图形的面积小于2 【答案】ABD【分析】A 由(,)x y 、(,)x y −均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式2233x y ≥+即可判断；C 由22223333()()x y x y +=+，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据2233x y +与||||x y +图形的位置关系判断.【详解】若(,)x y 在星形线E 上，则(,)x y −也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；由12233312||x y xy =≥=+，则1||8xy ≤当且仅当||||x y =时等号成立，B 正确；由222222222233233333333()1()())3()31([(])4x y x y x y x y xy xy +=+=+=−+−≥，当且仅当||||x y =时等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为12，C 错误；曲线E 过(1,0)±，(0,1)±，由2233||||1x y x y ++≥=，则2233x y +在||||x y +所围成的区域内部，而||||1x y +=所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有2233x y ≥+由22223333()()x y x y +=+及立方和公式求两点距离，利用2233x y +与||||x y +图形的位置判断面积大小.14．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C 的方程为0(),F x y =，集合{}(,)|() 0,T x y F x y ==，若对于任意的11(,)x y T ∈，都存在22(,)x y T ∈，使得12120x x y y +=成立，则称曲线C 为Σ曲线.下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有（ ）A ．22143x y +=B ．221x y −=C ．22y x =D ．1y x =+ 【答案】AC【分析】问题转化为11(,)P x y T ∈，存在22(,)Q x y T ∈，使得OP OQ ⊥，根据这一条件逐一判断即可.【详解】A ：22143x y +=的图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，且图象是封闭图形.所以对于任意的点11(,)P x y T ∈，存在着点Q （x 2，y 2）使得OP OQ ⊥，所以满足；B ：221x y −=的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P ，Q 在双曲线同一支上，此时90POQ ∠<︒，当P ，Q 不在双曲线同一支上，此时90POQ ∠>︒，所以90,POQ OP OQ ∠≠︒⊥不满足；C ：22y x =的图象是焦点在x 轴上的抛物线，且关于x 轴对称，设P 为抛物线上一点，过O 点作OP 的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q 点，所以90,POQ ∠=︒，所以OP OQ ⊥D ：取P （0，1），若OP OQ ⊥，则有20y =显然不成立，所以此时OP OQ ⊥不成立， 故选：AC【点睛】关键点睛：运用圆锥曲线的性质是解题的关键.15．（2021秋·河北保定·高二顺平县中学校考阶段练习）在平面内，若曲线C 上存在点P ，使点P 到点()3,0A ，()3,0B −的距离之和为10，则称曲线C 为“有用曲线”，以下曲线是“有用曲线”的是（ ）A ．5x y +=B ．229x y +=C ．221259x y +=D ．216x y =【答案】ACD【分析】利用有用曲线的定义逐项判断即可. 【详解】解：设点P 的坐标为(),x y ，因为点P 到点()3,0A ，()3,0B −的距离之和为10，由椭圆的定义可得点P 的轨迹方程为：2212516x y +=，对A ，由22512516x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2412502250x x −+=2Δ250441225256000=−⨯⨯=>因此曲线5x y +=上存在点P 满足条件，所以5x y +=是“有用曲线”，故A 正确；对B ，因为曲线229x y +=在曲线2212516x y +=的内部，无交点，所以229x y +=不是“有用曲线”，故B 错误；对C ，曲线221259x y +=与2212516x y +=有交点()5,0与()5,0−，所以221259x y +=是“有用曲线”，故C 正确；对D ，曲线216x y =与2212516x y +=也有交点，所以216x y =是“有用曲线"，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题利用所给曲线的定义进行判断，关键是由题意得出点P 满足的方程，所给选项中的曲线只要与点P 满足的方程有交点即符合题意.16．（2021秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段AB 长度为2a ，动点M 满足2MA MB a ⋅=，那么M 的轨迹称为双纽线.已知曲线1C =为双纽线，下列选项判断正确的是（ ） A ．曲线C 过点()0,0B．曲线C上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣ C ．曲线C 关于x 轴对称D ．P 为曲线C 上的动点，,A B 的坐标为()0,1和()0,1−，则PAB 面积的最大值为2【答案】ABC【分析】将点()0,0代入曲线C 方程可知A 正确；1y ≥−1y ≥+可求得211y −≤，进而求得y 的范围，知B 正确；设曲线C 上的点(),x y 关于x 轴的对称点(),x y −代入曲线C 方程可知C 正确； 由1sin 2PABSPA PB θ=⋅知当PA PB ⊥时，PAB 面积最大，验证可知曲线C 上存在点P 使得PA PB ⊥，可知()max 12PAB S=，D 错误. 【详解】对于A ，将()0,0代入曲线C 方程，知方程成立，∴曲线C 过点()0,0，A 正确； 对于B ，(21x y y +≥=−（当且仅当0x =时取等号），1y =+（当且仅当0x =时取等号）， 2111y y y ≥−⋅+=−（当且仅当0x=时取等号），即211y −≤，2111y ∴−≤−≤，解得：y ≤即曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是⎡⎣，B 正确；对于C ，设曲线C 上任一点为(),x y ，则其关于x 轴对称的点为(),x y −， 1==，即点(),x y −也在曲线C 上，∴曲线C 关于x 轴对称，C 正确； 对于D ，设APB θ∠=，则1sin 2PABSPA PB θ=⋅， P 为曲线C 上的点，1PA PB ∴⋅=，1sin 2PABSθ∴=， 则当sin 1θ=，即PA PB ⊥时，()max 12PABS=， 当PA PB ⊥时，设()00,P x y ，则220011x y ⎧+==，解得：0012x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即曲线C 上存在点P ，使得PA PB ⊥，()max 12PAB S ∴=，D 错误. 故选：ABC.17．（2021秋·江苏南通·具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率e =的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ） A ．椭圆2212x =是“黄金椭圆” B ．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，且满足2b ac =，则该椭圆为“黄金椭圆”C ．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，右顶点为A ，若90ABF ∠=︒，则该椭圆为“黄金椭圆”D ．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，若21211=⋅F F AF F B ，则该椭圆为“黄金椭圆” 【答案】ABC【分析】定义离心率12e =的椭圆称为“黄金椭圆”，根据各命题中的椭圆方程，由题设及c e a =、222a b c =+列方程求椭圆离心率即可确定是否为“黄金椭圆”【详解】对于A ：由题意得21a =，22b =，故e ==2212x =是“黄金椭圆”，故A 正确； 对于B ：2b ac =，即22a c ac −=，故210e e +−=，解得e =e =（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故B 正确；对于C ：由90ABF ∠=︒得22222()+=+++a c a b b c ，化简可知210e e +−=，解得12e =或e =（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故C 正确；对于D ：由21211=⋅F F AF F B ，得2(2)()()=−+c a c a c ，则e =（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”， 故D 错误． 故选：ABC三、填空题18．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C 的方程为：()221224x y x x +=>−+，O 为坐标原点，点(1,0)A ，点P 为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是________.①卵圆C 关于x 轴对称②卵圆上不存在两点关于直线12x =对称 ③线段PO 长度的取值范围是[1,2] ④OAP △的面积最大值为1 【答案】①③④【分析】利用点(),x y 和(),x y −均满足方程，即可判断①；设()00,x y 和()001,x y −都在卵圆C 上，再解()22000200012411124x y x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨−⎪+=⎪−+⎩即可判断②；利用两点间的距离公式表示2OP ，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出OAP S △，然后利用导数研究其最值，即可判断④. 【详解】对于①，设(),x y 是卵圆C 上的任意一个点，因为()222212424y x x y x x −+=+=++，所以点(),x y −也在卵圆C 上，又点(),x y 和点(),x y −关于x 轴对称， 所以卵圆C 关于x 轴对称，故①正确；对于②，设()00,x y 在卵圆C 上，()00,x y 关于直线12x =对称的点()001,x y −也在卵圆C 上， 则()2200200012411124x y x x y x ⎧+=⎪+⎪⎨−⎪+=⎪−+⎩，解得0010x y =−⎧⎨=⎩或0020x y =⎧⎨=⎩， 所以卵圆上存在()()1,0,2,0−两点关于直线12x =对称，故②错误； 对于③，由22124x y x +=+，得22124x y x =−+， 所以212x x ≤+，又2x >−，所以12x −≤≤，设点()[],,1,2P x y x ∈−，则2322222241422x x x OP x y x x x ⎛⎫−=+=+−=+ ⎪++⎝⎭， 令()[]()3224,1,22x x f x x x −=+∈−+，则()()()[]()2224,1,22x x x f x x x +−'=∈−+，令()0f x '=，则0x =或1−±，当10x −<<或12x −+<<时，()0f x ¢>，当01x <<−()0f x '<，所以函数()f x 在()()1,0,1−−上递增，在(0,1−上递减，又()()(()11,04,12624f f f f −==−=−=，且261−>，所以()()min max 1,4f x f x ==，即[]21,4OP ∈，所以[]1,2OP ∈，故③正确； 对于④，点()[],,1,2P x y x ∈−，1122OAPSOA y =⋅=⨯= 令()2,122x g x x x =−≤≤+，则()()()24,122x x g x x x +'=−≤≤+， 当10x −<<时，()0g x '<，当02x <<时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,0−上递减，在()0,2上递增， 所以()()min 00g x g ==，此时OAP △的面积取得最大值1，故④正确. 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答. 19．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系中，()1,0A −，()10B ,，若在曲线C 上存在一点P ，使得∠APB 为钝角，则称曲线上存在“钝点”，下列曲线中，有“钝点”的曲线为______．（填序号）①24x y =；②22132x y +=；③221x y −=；④()()22224x y −+−=；⑤344x y +=．【答案】①④⑤【分析】根据曲线上存在“钝点”的定义，依次判断各曲线是否存在“钝点”即可.【详解】设点P 的坐标为(),x y ， 若∠APB 为钝角，则1cos 0APB −<∠<， 所以0PA PB ⋅<，且,,A P B 不共线， 所以()()()()110x x y y −−−+−−<，且0y ≠， 化简可得221,0x y y +<≠，反之若221,0x y y +<≠，则∠APB 为钝角， 对于曲线24x y =，取曲线上的点11,216E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为221111,021616⎛⎫⎛⎫+<≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AEB ∠为钝角，故曲线24x y =为有“钝点”的曲线；对于曲线22132x y +=，若曲线上的点()11,F x y 为“钝点”，则2211132x y +=，221111,0x y y +<≠，所以21113x <−，矛盾所以曲线22132x y +=不是有“钝点”的曲线；对于曲线221x y −=，若曲线上点()22,G x y 为“钝点”，则22221x y −=，222221,0x y y +<≠，所以220y <，矛盾 所以曲线221x y −=不是有“钝点”的曲线；对于曲线()()22224x y −+−=，取曲线上的点(2M ，因为((2222121,20+=−<≠，所以AMB ∠为钝角，故曲线()()22224x y −+−=为有“钝点”的曲线； 对于曲线344x y +=，取曲线上的点()21,32N， 因为222111,0322⎛⎫⎛⎫+<≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ANB ∠为钝角，故曲线344x y +=为有“钝点”的曲线. 所以曲线①④⑤为有“钝点”的曲线. 故答案为：①④⑤.20．（2023秋·广东茂名·高二统考期末）法国数学家蒙日(),17461818Monge −发现：双曲线()2222:10x y a b a bΓ=>>−的两条互相垂直切线的交点P 的轨迹方程为：2222x y a b +=−，这个圆被称为蒙日圆.若某双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程为223x y +=，则=a ___________.【答案】2【分析】根据题意写出双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程，可得出关于a 的等式，即可求得正数a 的值.【详解】由双曲线()22210x y a a−=>的方程可得21b =，由蒙日圆的定义可得双曲线()22210x y a a −=>对应的蒙日圆方程223x y +=，所以223a b −=，即213a −=，可得2a =. 故答案为：2.21．（2023·全国·高三专题练习）一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是___________.(填写序号) （1）任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖； （2）与抛物线对称轴不平行､不共线的射线不能被该抛物线覆盖；（3 （4）任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面. 【答案】（1）（2）（4）【分析】由平面图形被该抛物线覆盖的定义逐项分析判断即可【详解】解：由抛物线的图像和性质可知，由于任意一个多边形所围区域沿着抛物线顶点出发向抛物线对称轴所在直线平移，总能把有限的区域放入抛物线内部，所以（1）正确；由于过抛物线内部一点的直线（不平行于轴）与抛物线都有两个交点，故抛物线无法覆盖一条直线，也不能覆盖与轴不平行、不共线的射线，所以（2）正确；由于锐角是由两条不平行的射线组成，故抛物线不能覆盖任何一个锐角，所以（3）错误；取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴，根据抛物线的图像和性质可知直线上的点不能被完全覆盖，如图，因为一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线的对称轴，所以任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面，所以（4）正确故答案为：（1）（2）（4）【点睛】关键点点睛：此题考查新定义，考查抛物线的性质的应用，解题的关键是对新定义的正确理解，属于中档题22．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y −+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________. 【答案】34【分析】先根据新定义，利用二倍角公式判断PM 最小时cos θ最小，再设2,4a P a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用距离公式，结合二次函数最值的求法求得PM 最小值，即得结果.【详解】解：如图，2cos cos cos 212sin APB APM APM θ∠∠∠===−，要使cos θ最小，则1sin AM APM PMPM∠==最大，即需PM 最小.设2,4a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PM =∴当24a =，即2a =±时，min ||PM =1sin APM PM ∠==， 此时(1,2)P 或(1,2)−，22min 3(cos )12sin 124APM θ∠=−=−⨯=.故答案为：34.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于理解新定义，将cos θ的最小值问题转化为线段PM 最小问题，结合二次函数求最值即突破难点.23．（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与原点О重合，称射线OM 与224x y +=的交点N 为点M 的“中心投影点”，曲线2213x y −=上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______【答案】83π 【解析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.【详解】曲线2213x y −=的渐近线方程为：y = ，设渐近线与圆224x y +=的交点分别为,,,A C B D ,如下图则曲线2213x y −=上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧,AB CD由题意6AOx π∠=，所以23AOB π∠=所以24233AB ππ=⨯=,则83AB CD π+= 故答案为：83π24．（2020·浙江·高二期末）把椭圆C 的短轴和焦点连线段中较长者､较短者分别作为椭圆C '的长轴､短轴，使椭圆C 变换成椭圆C '，称之为椭圆的一次“压缩”.按上述定义把椭圆(0,1,2,)i C i =Λ“压缩”成椭圆1i C +，得到一系列椭圆123,,C C C ，…当短轴长与焦距相等时终止“压缩”.经研究发现，某个椭圆0C 经过(3)n n ≥次“压缩”后能终止，则椭圆2n C −的离心率可能是①2，②5中的______.（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②【解析】分类讨论，确定压缩数为2n −时，半长轴、半短轴、半焦距，利用离心率公式，即可求得结论. 【详解】解：依题意，若原椭圆，短轴＞焦距，则压缩数为n 时，半长轴为a ，半短轴为c ，半焦距为c所以压缩数为n 1−a ，半焦距为c ；压缩数为2n −a ∵压缩数为n 时，22222a c c c =+=∴2n C −的离心率==同理，若原椭圆，短轴＜焦距，则压缩数为n 时，半长轴为a ，半短轴为c ，半焦距为c所以压缩数为n 1−c ，半焦距为a ；压缩数为2n −c ∵压缩数为n 时，22222a c c c =+=∴2n C −的离心率== 故答案为：①②.【点睛】本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.25．（2018·北京·高二统考期末）已知两定点(2,0),(2,0)M N −,若直线上存在点P ,使得||||6PM PN +=,则该直线为“T 型直线”.给出下列直线,其中是“T 型直线”的是___________. ①2y x =+ ②3y = ③3y x =−+ ④132y x =+ 【答案】①③【分析】根据椭圆的定义将“T 型直线”的判定问题转化为直线与椭圆是否有公共点的问题.【详解】由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，其方程为22195x y +=，对于①中，直线2y x =+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得2143690x x +−=，则236414(9)0∆=−⨯⨯−>，所以2y x =+是“T 型直线”；对于②中，把3y =代入22195x y +=，则29195x +=，此时无解，所以3y =不是“T 型直线”；对于③中，把直线3y x =−+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得21454360x x −+=，则254414360∆=−⨯⨯>，所以3y x =−+是“T 型直线”；对于④中，把直线132y x =−+代入椭圆的方程22195x y +=，整理得2291081440x x −+=，可得Δ0<，所以132y x =−+不是“T 型直线”，故答案为：①③.26．（2017·河南漯河·漯河高中校考三模）平面直角坐标系中，(1,0)A −，(1,0)B ，若曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，有下列曲线①2212x y +=；②21y x =+；③2221y x −=；④2231x y +=；⑤24x y +=，其中“合作曲线”是__________．（填写所有满足条件的序号） 【答案】①③④【分析】设点(,)P x y ，曲线C 为“合作曲线”⇔存在点(,)x y 使得221x y +<．解出即可判断出结论． 【详解】解：设点(,)P x y ，曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，∴合作曲线⇔存在点(,)x y 使得221x y +<．①由2212x y +=，则满足存在点(,)x y 使得221x y +<，曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故1为合作曲线； ②令2(,1)P x x +，则222(1)1x x ++<，化为4230x x +<，此时无解，即不满足221x y +<，故2不为合作曲线；③由2221y x −=，可得a =，1b =，则曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故3为合作曲线；④由2231x y +=，可得：1a =，b =，则曲线C 上存在一点P 满足221x y +<，故4为合作曲线； ⑤因为直线圆心到直线24x y +=的距离1d =>，故曲线C 上不存在一点P 满足221x y +<，故5不为合作曲线；综上可得：“合作曲线”是①③④．故答案为：①③④27．（2016·河北衡水·统考一模）如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为___________.【答案】2210x y xy ++−=【分析】过点P 作 ,PA x PB y ⊥⊥， 设(,)P x y 在直角坐标下的坐标为 ()11,P x y ， 因为30,BON ON y ∠==，所以 1,2OB y BN y ==，即111,2y y x x y ==+， 因为()11,P x y 在单位圆上，所以22111x y +=，即221122y x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得2210x y xy ++−=.考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.28．（2022·全国·高三专题练习）称离心率为e =22221(0,0)x y a b a b −=>>为黄金双曲线.如图是双曲线22221(0,0,x y a b c a b −=>>=的图象，给出以下几个说法：①双曲线221=x 是黄金双曲线； ②若2b ac =，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0,b )，B 2(0,-b )且∠F 1B 1A 2=90°，则该双曲线是黄金双曲线； ④若MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON =90°，则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为____________【答案】①②③④【分析】根据双曲线方程求离心率，或由已知条件及双曲线参数关系构造齐次方程求离心率，结合黄金双曲线的定义判断正确命题.【详解】①：双曲线的标准方程为221x =，则2221,a b c ===，故c e a ===，满足； ②：由2222010b ac c ac a e e =⇒−−=⇒−−=，可得e =e =（舍），故满足； ③：由11290F B A ∠=︒，则222112112B F A B F A +=，所以()()222222()c b a b a c b ac +++=+⇒=，由②可得。

解析几何中的曲线与曲面方程应用解析几何是几何学的一个分支，它通过代数方法来研究图形和几何问题。

在解析几何中，曲线和曲面方程是非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将对解析几何中的曲线与曲面方程应用进行解析与探讨。

一、曲线的方程应用在解析几何中，曲线是指由方程所决定的点的集合。

曲线的方程形式多种多样，下面将介绍几种常见的曲线方程及其应用。

1. 直线的方程在解析几何中，直线是最简单的曲线。

直线的方程常见的有斜截式、点斜式和一般式等形式。

其中，斜截式方程为y = kx + b，表示斜率为k，与y轴交点为b的直线方程。

点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)，表示已知直线上的一点P(x1, y1)和该直线的斜率k来确定直线方程。

一般式方程为Ax + By + C = 0，通过将直线的斜率截距形式通分化简得到，可以直观地表示一条直线的方程。

直线的方程在几何图形的描述和计算中有广泛的应用。

例如，在平面几何中，直线方程可以用来描述两点之间的连线，以及直线与直线之间的关系。

在工程应用中，直线的方程可用于设计道路、建筑和机械零件等。

2. 圆的方程圆是解析几何中的一个重要曲线，它是由平面上到一个定点距离等于一个定值的点的集合。

圆的方程一般形式为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

在实际应用中，圆的方程被广泛用于计算和几何图形的描述。

例如，在地理学中，圆的方程可以用来表示地球的经纬线以及各个地点之间的距离。

在工程中，圆的方程可以用于设计轮胎、圆形舞台和圆形建筑等。

3. 椭圆的方程椭圆是由平面上到两个定点的距离之和为定值的点的集合。

椭圆的方程一般形式为[(x - h) / a]² + [(y - k) / b]² = 1，其中(h, k)表示椭圆的中心的坐标，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。

高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)高中数学讲义之解析几何圆锥曲线第 2 讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义1.双曲线的第一定义:平面内到两个定点F1 、F 的距离之差的绝对值等于定长2a（2叫双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.注1:在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作2a），不但要小于这两个定点之间的距离F1F2（记作2c），而且还要大于零，否则点的是一个双曲线。

具体情形如下：（ⅰ）当2a 0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；(ⅱ）当2a 2c 时，点的轨迹是两条射线;（ⅲ)当2a 2c 时，点的轨迹不存在;高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改)（ⅳ）当0 2a 2c时，点的轨迹是双曲线.特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支.MF MF 2a1 2注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为F1F2 2c），即M F1 MF F F2 12。

2.双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （e 1)的点的轨迹叫做双曲线.二、双曲线的标准方程1.双曲线的标准方程22xy122（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是0 ，b 0）;ab1高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)(word版可编辑修改) 高中数学讲义之解析几何（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是2y2a2x2b1（a0 ）注：若题目已给出双曲线的标准方程, 那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴, 主要看实半轴跟谁走. 若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。

高考数学解析几何专题练习解析版82页【1】1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A.19422=+y x B.14922=+y x C.113422=+y x D.141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ）A ．54B ．45 C ．254D ．425 9． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B.13222=+y x C.12222=+y xD.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．3 12．已知)0(12222>>=+b a b y a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B 2 （C 3（D ）2 18．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( ) (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π)C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32C ．32-D ．23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ） A ．()21,1-B ．()21,2-C ．()1,2D ．()2,+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21.D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4B. 3C. 2D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( )A.B.C.D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r =。

专题检测卷(五) 解析几何(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·济南质检)若双曲线C ：x 2m －y 2＝1(m >0)的一条渐近线的方程为3x ＋2y ＝0，则m ＝( ) A.49B.94C.23D.32解析 由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±1mx (m >0).3x ＋2y ＝0可化为 y ＝－32x ，所以1m ＝32，解得m ＝49.故选A.答案 A2.(2020·北京西城区二模)若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋a ＝0与x 轴、y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1] B.(－∞，0] C.[0，＋∞)D.[5，＋∞)解析 将圆的一般方程化作标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－a ，则该圆的圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝5－a .因为该圆与x 轴、y 轴均有公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤5－a ，1≤5－a ，5－a >0，解得a ≤1，则实数a 的取值范围是(－∞，1].故选A. 答案 A3.(2020·河南六市模拟)已知P 为圆C ：(x －5)2＋y 2＝36上任意一点，A (－5，0).若线段P A 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则点Q 的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x <0)D.x 29－y 216＝1(x >0)解析 如图，由题意知|QA |＝|QP |，||QA |－|QC ||＝||QP |－|QC ||＝|PC |＝6<|AC |＝10，所以动点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线，其方程为x 29－y 216＝1.故选B.答案 B4.(2020·辽宁五校模拟)仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美地证明了平面截圆柱的截面为椭圆面.如图，底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.32解析 由题意可知椭圆的长轴与两球心连线的夹角为30°，所以椭圆的长轴2a ＝2sin 30°＝4，a ＝2，椭圆的短轴长等于球的直径，所以b ＝1，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D. 答案 D5.(2020·江南十校素质测试)已知点P 在圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上，点Q 在直线l ：x －2y ＋1＝0上，且点Q 的横坐标x ∈[－1，a ).若|PQ |既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤35，115 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，115D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，＋∞ 解析 如图，直线l ：x －2y ＋1＝0与x 轴交于点Q 1(－1，0).连接Q 1C 并延长，交圆C 于点P 1.过点C 作CQ 2⊥直线l 于点Q 2，交圆C 于点P 2，则|P 2Q 2|为|PQ |的最小值.易知直线CQ 2：y ＝－2x ＋2.设Q 2(x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋2，x －2y ＋1＝0，解得x 2＝35，∴a >35.设点Q 3(x 3，y 3).为点Q 1关于点Q 2的对称点，则x 3＝115.当a >115时，|PQ |无法取到最大值，当35<a ≤115时，|PQ |的最大值为|P 1Q 1|，∴35<a ≤115.故选A. 答案 A6.(2020·青岛检测)已知直线y ＝k (x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k (x －2)与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB |－2|MN |，则( ) A.λ<－16 B.λ＝－16 C.－12<λ<0D.λ＝－12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2.因为直线y ＝k (x －1)经过抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k 2.同理可得|MN |＝8＋2k 2.所以λ＝4＋4k 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋2k 2＝4－16＝－12.故选D. 答案 D7.(2020·南昌调研)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.(2，5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，52D.(5，2＋1)解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0的圆心坐标为(0，5)，半径为3.因为圆C 上有且仅有两点到直线bx －ay ＝0的距离为1，所以圆心(0，5)到直线bx －ay ＝0的距离d 的范围为2<d <4，即2<5a a 2＋b2<4.又a 2＋b 2＝c 2，所以2<5a c <4，即54<e <52.故选C. 答案 C8.(2020·潍坊模拟)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (x 0，23)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点.以P 为圆心的圆与线段PF 交于点Q ，与过焦点F且垂直于x 轴的直线交于点A ，B ，|AB |＝|PQ |，直线PF 与抛物线C 的另一交点为M .若|PF |＝3|PQ |，则|PQ ||FM |＝( )A.1B. 3C.2D. 5解析 如图，连接P A ，PB .因为|AB |＝|PQ |，所以△P AB 是正三角形.又x 0>p2，所以x 0－p 2＝32|PQ |.又因为|PF |＝x 0＋p 2＝3|PQ |，所以x 0＝3p 2.所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，23，所以(23)2＝2p ·3p 2.因为p >0，所以p ＝2.所以F (1，0)，P (3，23)，所以|PQ |＝33|PF |＝33·（23－0）2＋（3－1）2＝433，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线PF 的方程为y ＝3(x －1).由⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，所以|FM |＝13＋1＝43，所以|PQ ||FM |＝ 3.故选B.答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A.0<r<2 2B.若△P AB为直角三角形，则r＝4C.△P AB外接圆的方程为x2＋y2＝4D.直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0解析因为过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)的切线有两条，则点P 在圆C外，则r<|PC|＝42，故A错误；若△P AB为直角三角形，则四边形P ACB 为正方形，则2r＝|PC|＝42，解得r＝4，故B正确；由P A⊥CA，PB⊥CB，可得点P，A，C，B共圆，所以△P AB的外接圆就是以PC为直径的圆，即x2＋y2＝8，故C错误；将(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2与x2＋y2＝8相减即得直线AB的方程，所以直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2＝0，所以D正确.故选BD.答案BD10.(2020·潍坊模拟)已知双曲线x24－y22＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是()A.焦距B.离心率C.顶点坐标D.渐近线方程解析由题意，得双曲线的标准方程为x24sin2θ－y22sin2θ＝1，则a＝2|sin θ|，b＝2|sin θ|，则c＝a2＋b2＝6|sin θ|，则双曲线的焦距为2c＝26|sin θ|，顶点坐标为(±2|sin θ|，0)，离心率为e＝ca＝62，渐近线方程为y＝±22x.所以不因θ改变而变化的是离心率、渐近线方程.故选BD. 答案BD11.设P 是椭圆C ：x 22＋y 2＝1上任意一点，F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，则( ) A.|PF 1|＋|PF 2|＝2 2 B.－2<|PF 1|－|PF 2|<2 C.1≤|PF 1|·|PF 2|≤2 D.0≤PF 1→·PF 2→≤1解析 椭圆C 的长轴长为22，根据椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝22，故A 正确；||PF 1|－|PF 2||≤|F 1F 2|＝22－1＝2，所以－2≤|PF 1|－|PF 2|≤2，B 错误；|PF 1|·|PF 2|＝14[(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|－|PF 2|)2]，而0≤(|PF 1|－|PF 2|)2≤4，所以1≤|PF 1|·|PF 2|≤2，C 正确；PF 1→·PF 2→＝(OF 1→－OP →)·(OF 2→－OP →)＝OF 1→·OF 2→－OP →·(OF 1→＋OF 2→)＋|OP →|2＝|OP →|2－1，根据椭圆性质有1≤|OP |≤2，所以0≤PF 1→·PF 2→＝|OP →|2－1≤1，D 正确.故选ACD. 答案 ACD12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，∠EPF 的外角平分线交x 轴于点Q ，过点Q 作QN ⊥PE 交EP 的延长线于点N ，作QM ⊥PF 交线段PF 于点M ，则( )A.|PE |＝|PF |B.|PF |＝|QF |C.|PN |＝|MF |D.|PN |＝|KF |解析 由抛物线的定义，得|PE |＝|PF |，A 正确；∵PN ∥QF ，PQ 是∠FPN 的平分线，∴∠FQP ＝∠NPQ ＝∠FPQ ，∴|PF |＝|QF |，B 正确；若|PN |＝|MF |，则由PQ 是∠FPN 的平分线，QN ⊥PE ，QM ⊥PF ，得|QM |＝|QN |，从而有|PM |＝|PN |，于是有|PM |＝|FM |，则有|QP |＝|QF |，∴△PFQ 为等边三角形，∠FPQ ＝60°，也即有∠FPE ＝60°，这只是在特殊位置才有可能， 因此C 错误；连接EF ，如图，由选项A、B知|PE|＝|QF|，又PE∥QF，∴EPQF是平行四边形，∴|EF|＝|PQ|，∴△EKF≌△QNP，∴|KF|＝|PN|，D正确.故选ABD.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020·武汉质检)已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4，1)，则该双曲线的标准方程为________.解析由题知，双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0).因为点(4，1)在双曲线上，所以λ＝42－4＝12，所以双曲线的标准方程为x212－y23＝1.答案x212－y23＝114.已知点A(－5，0)，B(－1，－3)，若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是________.解析由题意可得|AB|＝（－1＋5）2＋（－3－0）2＝5，根据△MAB和△NAB的面积均为5可得M，N到直线AB的距离均为2，由于直线AB的方程为y－0－3－0＝x＋5－1＋5，即3x＋4y＋15＝0，若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r＋2，解得r＝1，若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则圆心到直线AB的距离为|0＋0＋15|9＋16＝r－2，解得r＝5.故r的取值范围是(1，5). 答案(1，5)15.如图，点A，B分别是椭圆x225＋y2b2＝1(0<b<5)的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为15x ＋y －415＝0，且P A →·PF →＝0，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，则椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为________.解析 依题意得直线AP 的方程为x －15y ＋5＝0，直线PF 与x 轴的交点为(4，0)，即F (4，0)，∴b 2＝25－16＝9，即椭圆方程为x 225＋y 29＝1.设M (m ，0)(－5≤m ≤5)，则M 到直线AP 的距离为|m ＋5|4，又|MB |＝|5－m |，所以|m ＋5|4＝|5－m |，∵－5≤m ≤5，∴m ＋54＝5－m ，解得m ＝3，∴M (3，0).设椭圆上的点(x ，y )(x ∈[－5，5])到M (3，0)的距离为d ，则d 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 225＝1625x 2－6x ＋18＝1625⎝ ⎛⎭⎪⎫x －75162＋6316，∵x ∈[－5，5]，∴当x ＝7516时，d 2最小，此时d min ＝374. 答案37416.(2020·烟台诊断)已知F 为抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，点A (1，p )，M 为抛物线上任意一点，且|MA |＋|MF |的最小值为3，则该抛物线的方程为________.若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点，则四边形APFQ 的面积为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由题意，得抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线的方程为y ＝－p 2.因为|MF |等于点M 到准线的距离，所以当p >12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为点A 到准线y ＝－p 2的距离，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以3p2＝3，解得p ＝2，满足p >12p ；当p ≤12p 时，|MA |＋|MF |的最小值为|AF |，而|MA |＋|MF |的最小值为3，所以（1－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －p 22＝3，解得p ＝42，不满足p ≤12p .综上所述，p ＝2.因此抛物线的方程为x 2＝4y .由p ＝2得，点A (1，2)，焦点F (0，1)，则线段AF 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，且|AF |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.设线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x 2＝4y .解得⎩⎨⎧x 1＝－2＋23，y 1＝4－23或⎩⎨⎧x 2＝－2－23，y 2＝4＋23，则|PQ |＝（4＋23－4＋23）2＋（－2－23＋2－23）2＝4 6.所以四边形APFQ 的面积S ＝12|AF |·|PQ |＝12×2×46＝4 3. 答案 x 2＝4y 4 3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(2020·北京适应性考试)已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为A (0，1)，B (0，－1)，焦距为2 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝m 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，设D 为直线AN 上一点，且直线BD ，BM 的斜率的积为－14.证明：点D 在x 轴上. (1)解 由题意知c ＝3，b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝4. ∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可设M (－x 0，m )，N (x 0，m )，－1<m <1，则x 20＝4(1－m 2).①∵点D 在直线AN 上一点，A (0，1)， ∴AD →＝λAN →＝λ(x 0，m －1)， ∴OD →＝OA →＋AD →＝(λx 0，λ(m －1)＋1)， ∴D (λx 0，λ(m －1)＋1). ∵B (0，－1)，M (－x 0，m )，∴k BD ·k BM ＝λ（m －1）＋2λx 0·m ＋1－x 0＝－14. 整理，得4λ(m 2－1)＋8(m ＋1)＝λx 20. 将①代入上式得(m ＋1)[λ(m －1)＋1]＝0. ∵m ＋1≠0，∴λ(m －1)＋1＝0， ∴点D 在x 轴上.18.(本小题满分12分)(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A ).(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值. 解 (1)由p ＝116，得抛物线C 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫132，0. (2)由题意可设直线l ：x ＝my ＋t (m ≠0，t ≠0)，点A (x 0，y 0). 将直线l 的方程代入椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，得 (m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0， 所以点M 的纵坐标y M ＝－mtm 2＋2. 将直线l 的方程代入抛物线C 2：y 2＝2px ，得y 2－2pmy －2pt ＝0， 所以y 0y M ＝－2pt ，解得y 0＝2p （m 2＋2）m，因此x 0＝2p （m 2＋2）2m 2.由x 202＋y 20＝1，得1p 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m 4≥160， 当且仅当m ＝2，t ＝105时，p 取到最大值1040.19.(本小题满分12分)(2019·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1).(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点.(1)解 由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1. 同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2. 所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0).20.(本小题满分12分)(2020·沈阳一监)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (2，2)，点B 在抛物线C 上，且满足OF →＝FB →－2F A →(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 任作两条相互垂直的直线l 与l ′，直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，直线l ′与抛物线C 交于M ，N 两点，△OPQ 的面积记为S 1，△OMN 的面积记为S 2，求证：1S 21＋1S 22为定值. (1)解 设B (x 0，y 0)，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴OF →＝FB →－2F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－p 2，y 0－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 2，2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2－4，y 0－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p 2－4＝p 2，y 0－4＝0，∴⎩⎨⎧x 0＝4，y 0＝4. ∵点B 在抛物线C 上，∴42＝2p ×4，∴p ＝2，∴y 2＝4x .(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意得，直线l 的斜率存在且不为零.设l ：x ＝my ＋1，代入y 2＝4x 得，y 2－4my －4＝0.∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∴|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝16m 2＋16＝4m 2＋1.因此S 1＝12|y 1－y 2|×1＝2m 2＋1.同理可得，S 2＝21m 2＋1.∴1S 21＋1S 22＝14（m 2＋1）＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋1＝14（m 2＋1）＋m 24（m 2＋1）＝14. ∴1S 21＋1S 22为定值，定值为14. 21.(本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.(1)证明 因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83).当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83).22.(本小题满分12分)(2020·东北三校一联)已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线l ：x＝－12相切，与定圆F ：(x －1)2＋y 2＝14外切.(1)求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上位于x 轴两侧的点M ，N (MN 不与x 轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，直线l 交x 轴于点A ，记△AMM 1，△AMN ，△ANN 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 22＝4S 1S 3，求证：直线MN 过定点.(1)解 设P (x ，y )，⊙P 的半径为R ，则R ＝x ＋12，|PF |＝R ＋12，∴点P 到直线x ＝－1的距离与到定点F (1，0)的距离相等，故点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2， 设直线MN ：x ＝ty ＋n (t ≠0，n >0).将直线MN 的方程代入y 2＝4x 消去x 并整理，得y 2－4ty －4n ＝0，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4n <0.∵S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12·|y 1|，S 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|y 2|， ∴4S 1S 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 1y 2| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 1＋n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2＋n ＋12|y 1y 2| ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 2y 1y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12t （y 1＋y 2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·|－4n | ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4nt 2＋4t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·4n . ∵S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·|y 1－y 2| ＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， ∴S 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122·(16t 2＋16n )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n ).∵S 22＝4S 1S 3，∴n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122(t 2＋n )， 即2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，解得n ＝12. ∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.。

高中数学的解析解析几何中的曲线与曲面解析几何是数学中的重要分支，用于研究几何图形在坐标系中的表示和性质。

其中，曲线与曲面是解析几何中的重要概念，它们在数学和实际应用中都具有广泛的意义和价值。

一、曲线的表示与性质1. 一般曲线方程的表示在解析几何中，一般曲线方程的表示通常使用坐标系中的方程，常见的形式包括直角坐标、极坐标和参数方程等。

- 直角坐标表示直角坐标系是解析几何中最常用的坐标系，通过方程将点的坐标与曲线的性质关联起来。

例如，直角坐标表示的圆的方程为x^2+y^2=r^2，其中r表示圆的半径。

- 极坐标表示在极坐标系中，曲线用极径r和极角θ表示。

例如，极坐标表示的直线方程为r=a/secθ，其中a表示直线与极点的距离。

- 参数方程表示参数方程表示曲线时，将坐标表示为参数的函数形式。

例如，抛物线的参数方程为x=at^2和y=2at，其中t为参数。

2. 曲线的性质解析几何中的曲线具有多种性质，包括对称性、切线与法线、曲率等。

- 对称性曲线可以具有关于坐标轴的对称性，如关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称等。

通过对称性，可以简化曲线的研究和表达。

- 切线与法线曲线上的每个点都有唯一的切线和法线。

切线是曲线在该点处的切线方向，法线是曲线在该点处与切线垂直的直线。

- 曲率曲线的曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度。

曲率越大，曲线在该点处的弯曲程度越大。

二、曲面的表示与性质1. 一般曲面方程的表示解析几何中的曲面通常由方程表示，常见的形式包括直角坐标、极坐标和参数方程等。

- 直角坐标表示直角坐标系中，曲面通常由一个或多个方程表示。

例如，二次曲面的方程为Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0，其中A、B、C等系数决定了曲面的形状。

- 极坐标表示在极坐标系中，曲面是由极径r、极角θ和高度z的函数关系给出的。

例如，球面的极坐标方程为r=a*sinθ*cosφ，其中a为球的半径。

专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。

它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．3y x =± D ．33y x =±【来源】陕西省西安市长安区2021届高三下学期二模理科数学试题 【举一反三】1.（2020南宁模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛⎤⎥ ⎝⎦ C ． 32,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） A ．22B ．23C ．4D ．25 3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点5(2,)3到右准线的距离为52，过点()0,1M 的直线l 与C 交于两点,A B ，且23AM MB =，则l 的斜率为 A ．13B ．13±C ．12±D ．19【来源】江苏省无锡市八校联盟2020-2021学年高三上学期第三次适应性检测数学试题 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．22.（2020南充模拟）已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 13．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程 【例3】已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若2AF FB =，则sin MPQ ∠=（ ） A ．59B ．37C ．917D ．513【来源】山西省太原市2021届高三一模数学（理）试题 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，直线l 过A 点且与x 轴垂直，P 为直线l 上的任意一点，若122AB F F =，则12F PF ∠的取值范围是（ ） A ．[0,]6πB ．[0,]4πC ．[0,]3πD ．7[0,]12π【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷） 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52⎫-⎪⎪⎝⎭ B ． 52⎛- ⎝⎭ C ． 51⎛- ⎝⎭ D ． 51⎫-⎪⎪⎝⎭2.已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞ 类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【举一反三】已知,A B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点，点A 在第一象限且3AF FB =，以AB 为直径的圆与准线的公共点为C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．1B ．43C ．3D ．233【来源】四川省宜宾市2021届高三二模（理科）试题三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12B ．C ．24D ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ）5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．6.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ． 9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（ ）10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．23 B ．4 C ．43 D ．811．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3B ．23C ．2D ．-312.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．5C ．26D ．6【来源】河南省安阳市2021届高三一模数学（文）试题15．已知点F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为N ，与C 的另一条渐近线的交点为M ，若3MN FN =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ） A ．233B ．62C ．2D ．5【来源】贵州省毕节市2021届高三三模数学（文）试题16．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________17．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________．18．（2020·北京高考模拟（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点O （0，0），M （-4，0），N （4，0），P （0，-2），Q （0，2），H （4，2）．线段OM 上的动点A 满足()()01OA OM λλ=∈，；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=．直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k'，则k•k'的值为______；当λ变化时，动点L 一定在______（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．19．（2020·江苏高考模拟）已知点()0,5Q ，若P R 、分别是22:4O x y +=和直线34y x =上的动点，则QP QR +的最小值为_____.20．（2020·湖南长沙一中高考模拟（理））设F 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过F且斜率为ab的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且||2||AF BF =，则双曲线C 的离心率为________.21．（2020·河南高考模拟（理））物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则AB CD的最小值为22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的一条渐近线交于B 点，且1BA AF =，若12BF F △是等腰三角形，且12cAF =，则双曲线C 的离心率为___________.【来源】湖南省2021届高三下学期4月联考数学试题23．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，以双曲线E 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为过双曲线E 的右焦点F 作双曲线E 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于点B ，若FA AB =，则双曲线E 的标准方程为___________．【来源】文科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷）24．已知抛物线24y x =，斜率小于0的直线l 交抛物线于()1,2A 、B 两点，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足2QC CP =，则直线OP 的斜率的最大值为________．【来源】江西省重点中学盟校2021届高三第二次联考数学（理）试题25．如图，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 的准线l 与x 轴相交于点A ，点Q （Q 在第一象限）在抛物线C 上，射线FQ 与准线l 相交于点B ，2BQ QF =，直线AQ 与抛物线C 交于另一点P ，则||||||||PQ BP AQ PF +=________．【来源】甘肃省金昌市2021届高三第二次联考理科数学试题。

专题05 椭圆一相关知识点1．椭圆的定义把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，P点的集合是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的集合是线段；(3)当2a<|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．i．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.ii．焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2ta n θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3) S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值为bc .(4)焦半径公式：|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0. (5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (6)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .(7)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． (8)过点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.(9)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2. (10)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 4．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 (1)|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为 2a .题型一 椭圆的定义及其应用1．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为2．已知动点P (x ，y )的坐标满足x 2＋(y ＋7)2＋x 2＋(y －7)2＝16，则动点P 的轨迹方程为________．3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆题型二 椭圆的标准方程类型一 利用椭圆定义求椭圆的标准方程1．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为2．在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为4．与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为_______．5．已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为7．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．8．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为9．已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．求点M 的轨迹C 的方程．类型二 利用待定系数法求椭圆标准方程1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为________．2．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为________．5．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是6．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是________________．7．过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为9．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程 为11．与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程为12．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为10，一个焦点的坐标是(－5，0)，则椭圆的标准方程为________．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为14．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为15．已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点的椭圆的标准方程为________．16．已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．17．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________．18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为19．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为20．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________．21．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．22．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为23．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ．(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．题型三 椭圆的几何性质类型一 识别椭圆相关性质概念1．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为2．已知椭圆的标准方程为x 2＋y 210＝1，则椭圆的焦点坐标为 3．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于4．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．5．曲线C 1：x 225＋y 29＝1与曲线C 2：x 225－k ＋y 29－k＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为____________．7．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为8．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于9．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m ＜n ＜0)的焦点坐标是10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．类型二 求离心率的值(或范围)1．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是2．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为________．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与直线l 平行，则椭圆C 的离心率为5．若椭圆x 24＋y 2m ＝1上一点到两焦点的距离之和为m －3，则此椭圆的离心率为6．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为7．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是8．如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 28＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的交点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是A.23B.45C.35D.259．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，若|PF |＝34|AF |，则该椭圆的离心率是________．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为12．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为13．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠P AF ＝12，则椭圆的离心率e 为14．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为15.如图，底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C＝________.18．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM ―→·NF ―→＝0，则椭圆的离心率为19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M ，N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为20．已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为21．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为22．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.则椭圆C 的离心率是________．23．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点， 且PF 1―→·(OF 1―→＋OP ―→)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1―→|＝2|PF 2―→|，则椭圆的离心率为24．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点， |OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为25．椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝32|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是26．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是27．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________.28.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．29．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF →1·MF →2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．30．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是31．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0＜t ＜b )．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为32．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22＝33．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是34．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于32(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是____．35．已知F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B 上下两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是36．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.37．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使1－cos 2∠PF1F21－cos 2∠PF2F1＝a2c2，求该椭圆的离心率的取值范围．38．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q )．(1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程．类型三 求参数的值(或范围)1．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．2．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是3．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是4．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是5．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．6．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．7．“2<m <6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于9．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ＝23，则实数k 的值是________．10．“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点， 若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是12．设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是13．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________．14．已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．类型四 焦点三角形1．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________．2．过椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长为3．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．4．已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝5．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为6．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.8．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为9．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为10．已知F 1，F 2是长轴长为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点， 则△PF 1F 2面积的最大值为________．11．P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝12．设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2等于13．设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为 点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为14．设椭圆x 29＋y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过焦点F 1的直线交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若△ABF 2的内切圆的面积为π，则|y 1－y 2|＝15．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为16．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是17．椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为18．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．19．已知F 1，F 2分别为椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，连接AF 2和BF 2.(1)求△ABF 2的周长；(2)若AF 2⊥BF 2，求△ABF 2的面积．类型五 与椭圆的几何性质有关的最值问题1．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为 ，最小值为 .3．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)， 则|P A |＋|PB |的最大值为5．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)， 则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．6．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点， 则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为________．7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为8．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是9．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．。