大物课件6章-3

系统机械能的变化 1 1 2 2 Ek ( J 0 2mr2 )2 ( J 0 2mr12 )12 2 2
J 0 2mr12 1 ( J 0 2mr12 )12 ( 1) 2 2 J 0 2mr2
非保守内力作正功，机械能增加。
如r2 r1 , 则Ek 0
m1≠m2
M O (m2 m1 ) gR
系统对O点的总角动量为 LO R(m1v1 m2v 2 ) 开始时两小孩都不动 随后 v1 0 v 2 0
v1 v 2 0 LO 0
Lo 0
OR
+
dLO v1 M O (m2 m1 ) gR v2 dt m1v1 m2v 2 v1 v 2 若 m1＞m2 dLO 0 dt dLO 若 m1＜m2 m1v1 m2v 2 v1 v 2 0 dt
(2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的
动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩
(3) 质点对某点的动量矩,在通过该 点的任意轴上的投影就等于质 点对该轴的动量矩
LO'
例 一质点m，速度为v，如图 所示，A、B、C 分别为三 个参考点,此时m 相对三个 点的距离分别为d1 、d2 、 d3

分析人和转盘组成的系统当双臂由r1变为r2后，系统转动惯 量、转动角速度和机械能的变化情况。 由角动量守恒，有
m
r
( J 0 2mr12 )1 ( J 0 2mr22 )2
( J 0 2mr12 ) 1 得 2 2 ( J 0 2mr2 )
如r2 r1 , 则2 1
§6.3 动量矩和动量矩守恒定律
一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律 1. 质点的动量矩(对O点) LO LO r P r mv r O 其大小 S P LO rpsin mrvsin 惯性参照系
特例：质点作平面圆周运动 L rp mrv 说明 (1) 质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选 择)有关
F0
三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
1. 刚体定轴转动的动量矩 刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩 都具有相同的方向
Z
LZ miv i ri
i
mi ri
2 i
J Z
vi O ri mi
LZ J Z
(所有质元的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理 d 由转动定律 M z J M z dt Jd d J dt
mv 0 r0 mv r
又 v 0 0 r0
mω r mr 2 0 r0 v r 得 v r
2 0 0 2
r0 0 v0
O
r
由动能定理，有 r02 1 1 1 2 2 2 A mv 2 mv 0 m0 r0 2 1 2 2 2 r r 3 2 r 0 时，拉力的功为 A m0 r02 当 2 2 牛顿定律？ 思考：
例 质量为m的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球 限制在一光滑水平面上运动。先使小球以角速度0绕管心作 半径为r0的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径逐 渐减小，最后小球运动轨迹成为半径为r的圆。 求 将小球拉至离中心r0/2处时，拉力 F0 所作的功。 解 小球在有心力作用下运动，有
v 2 gh
P O θ
h
选(粘土块+圆盘)为研究对象
作用时间短，可以忽略重力的矩 该系统对O点的角动量守恒
x
mv R sin[180 (90 )] J 0 1 J (2m) R 2 mR 2 2mR 2 2
0 0
2 gh 0 cos 2R
(2) (m + 圆盘+地球）为系统，只有重力作功，机械能守恒
例 如图，两个质量均为m的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的两端。 一个用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和 轴上的摩擦力都可忽略，开始时两小孩都不动 求 (1) 哪一个小孩先到达滑轮 (2) 若两个小孩质量不等时情况如何 解 (1) 以小孩、滑轮作为系统 则系统对O点的总角动量为 OR
+
v2
1 2 2 1 2 2 2

0
2 2
例 一质量为2m，半径为R的均质圆盘，可绕通过其中心O且与
盘面垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动。有一质量 为m的粘土块从h的高度(图示P点)自由落下，且θ=600 求 (1) 碰撞后瞬刻盘的ω0 (2) P转到x轴时盘的 β，ω y
1 2 解 (1) mgh mv 2
mk rk2 J t
当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒
J t ω 常量
J t
ω
J t
ω
如：花样滑冰
跳水 芭蕾舞等
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观 察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度 的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿 有轻微的损伤。为什么会这样呢？
例 一质量为m，长度为l的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开 始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m0的橡皮泥以速度v0 与细杆在其3l/4处发生完全非弹性碰撞且和杆子粘在一起。 求 (1) 碰撞后系统的角速度； (2) 碰撞后细杆能上摆的最大角度0。 解 (1)碰撞过程系统的合外力矩为零，系统的角动量守恒 则有 m0v 0 而
r
M
r
M

v
由太阳到行星的矢径，在相同的时间内扫过相等的面积 例 证明：一个做匀速直线运动的质点，对任一固定点的动量 矩保持不变 1
证 L1 r1 mv L1 mvr1 sin 1 mvh L2 r2 mv L2 mvr2 sin 2 mvh
总之，在任何情况下总是体轻的小孩上升的快，先到达滑轮
(2) 通常对有心力： 过O点,M=0,动量矩守恒 F
例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律 行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
r rsin L mvrsin m t 1 r rsin S 2 2m 2m t t
LO

v1 LO mR(v1 v 2 )
而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩， 且合力矩为零
所以系统对O点的总角动量守恒 所以 v1 v 2 0
随后 v1 0 v 2 0
开始时两小孩都不动
LO 0
但 LO 0
v1 v 2
(2) 若两个小孩质量不等 系统所受的外力矩为
3 l ( J 杆 J 泥 ) 4
3 2 1 2 J 泥 m0 ( l ) , J 杆 ml 4 3 3 m0v 0 4 9 1 m0l ml 16 3
3 l 4

l
m0 v0
m
(2) 上摆过程机械能守恒，取细杆下端 水平面为重力势能零点，则有
1 (J 杆 J 泥 ) 2 2 3 1 m0 g l (1 cos0 ) mg l (1 cos0 ) 4 2

v

2
r1 L2 L1
h

r2
O
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 求 θ角及着陆滑行的初速度多大？ 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒 质点的动量矩守恒
3 1 9 1 9 2 2 ( m0 m)( m0 m) gl m0v 0 2 16 3 16 cos 0 4 3 1 ( m0 m) gl 4 2
3 l 4

l
m0 v0
m
例 有一转台，初始的角速度为ω0
有一个人站在转台的中心，
以相对于转台的恒定速度u沿半径向边缘走去， 求 人走了t 时间后，转台转过的角度 解 选(人和转台)为系统 u R m ω M
m
r0
v0
v
R
OM

1 GMm 1 GMm 2 2 mv 0 mv 2 r0 2 R v 0 r0sin v 4v 0sin mv 0 r0sin mvR R 1/ 2 1/ 2 3GM 1 3GM v v 0 1 sin 1 2 Rv 2 2 Rv 2 4 0 0
人和转台组成的系统不受 对竖直轴的外力矩
因此，系统对竖直轴的角动量守恒
在时间t 内， 人走到距转台中心的距离为
r ut
2mu t t ut 2m M 1 MR 2 R 0 d d dt arctg( ) u 2m M R dt 0 0
( MR ) 0 ( MR mr )
t1
r F M
v mv 0
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量 说明 (1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因
(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
3. 质点动量矩守恒定律
若 M 0 ，则 L 常矢量 ──质点动量矩守恒定律
讨论 (1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于 宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用
1 2 1 2 mgR sin J 0 J 2 2 gh g 2 cos sin 2 2R R 1 g . (h 4 3R) 2R 2
当P点转到x轴时， (m + 圆盘) 系统所受力矩仅为 mgR
P O θ EP = 0