高中数学解析几何专题圆锥曲线第3讲抛物线

【最新】高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结高二数学圆锥曲线:抛物线知识点整理和总结专题九抛物线一.根本概念1.抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹.其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线.2.抛物线的标准方程.图象及几何性质:p0标准方程l焦点在_轴上,开口向右y2焦点在_轴上,开口向左y2p_2焦点在y 轴上,开口向上_2焦点在y轴上,开口向下_22p_2py2pyyP_OFPyl_FOlyPFOy轴lyOF_图形_PO(0,0)顶点对称轴焦点离心率准线二．例题分析【例1】〔河西区__高考一模〕双曲_a22_轴F(p2,0)F(p2,0)F(0,p2)F(0,p2)e1_p2_p2yp2yp2yb221a0,b0的一个顶点与抛物线y20_的焦点重合,该双曲线的离心率为252,那么该双曲线的渐近线斜率为〔〕A2B43C12D34【例2】〔南开区__年高三一模〕假设抛物线y2p_的焦点与双曲线焦重合,那么p的值为〔〕A3B-3C6D-62_26y231的左【变式1】〔河北区__年高三三模〕抛物线y245_的焦点和双曲线_a22yb221(a0,b0)的一个焦点重合,且双曲线的离心率e52,那么双曲线的方程为〔〕A【变式2】〔__年第三次六校联考〕.双曲线_a22_216y291B_29y2161C_2y241D_24y291yb221的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y28_的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为--------------------------------【例3】.〔__年天津一中高三第五次月考〕抛物线y22p_p0的焦点F为双 _a22曲线yb221a0,b0的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰好过点F,那么该双曲线的离心率为〔〕A2B【例4】〔__年天津文〕双曲线_a2221C3D31yb221(a0,b0)的左顶点与抛物线y2p_(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点2坐标为〔-2,-1〕,那么双曲线的焦距为〔〕A．23B．25C．43D．45【例5】〔__年天津文〕双曲线_a22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y3_,它的一个焦点与抛物线y216_的焦点相同.那么双曲线的方程为.【变式1】〔__年天津理〕双曲线_a22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3_,它的一个焦点在抛物线y224_的准线上,那么双曲线的方程为〔〕〔A_236y21081〔B_29y2271〔C〕_2108y2361〔D〕_227y291【变式2】〔__陕西理〕设抛物线的顶点在原点,准线方程为_2,那么抛物线的方程是.【例6】〔__年福建〕双曲线_24yb221的右焦点与抛物线y212_的焦点重合,那么该双曲线的焦点到渐近线的距离为_________.【变式1】〔__年安徽〕过抛物线y4_的焦点F的直线交抛物线于A.B两点,O 为坐标原点,假设AF3,那么三角形AOB的面积为________.【例7】〔__辽宁理〕F是抛物线y2=_的焦点,A,B是该抛物线上的两点,AFBF=3,那么线段AB的中点到y轴的距离为〔〕A．34B．1C．54D．74【变式1】〔__年天津理〕抛物线的参数方程为_2pty2pt2〔t为参数,p>0〕,焦点为F,准线为l,过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.假设|EF|=|MF|,点M 的横坐标是3,那么p=_________.【变式2】〔__山东文〕设M(_0,y0)为抛物线C:_28y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是〔〕A．(0,2)【变式3】〔__年四川〕抛物线关于_轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M2,y0,假设点M到抛物线焦点距离为3,那么OM长度________.B．[0,2]C．(2,+∞)D．[2,+∞)扩展阅读:抛物线题及知识点总结一.抛物线的定义及其应用[例1]设P是抛物线y2＝4_上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线_＝－1的距离之和的最小值;(2)假设B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值．例2.．(__山东高考)设M(_0,y0)为抛物线C:_2＝8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2,＋∞)D．[2,＋∞)．二.抛物线的标准方程和几何性质例3.抛物线y＝2p_(p>0)的焦点为F,准线为l,经过F的直线与抛物线交于A. 2B两点,交准线于C点,点A在_轴上方,AK⊥l,垂足为K,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,那么△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8[悟一法]1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有p,可利用题中条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点.对称轴.开口方向等几何特征．例4．过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A.B,交其准线l 于点C,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3那么此抛物线的方程为()39A．y2＝_B．y2＝9_C．y2＝_D．y2＝3_22三.抛物线的综合问题[例5](__江西高考)过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)(_10)上,M点到抛物线C的焦点F的1 距离为2,直线l:y＝－_＋b与抛物线C交于A,B两点．2(1)求抛物线C的方程;(2)假设以AB为直径的圆与_轴相切,求该圆的方程．练习题1．抛物线_2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－_2＝2的上焦点,那么a等于() A．1B．4C．8D．162．抛物线y＝－4_2上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是() A．－1716157B．－C.16162D.15163．(__辽宁高考)F是物线y＝_的焦点,A,B是该物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,那么线段AB的中点到y轴的距离为()3A.425B．1C.47D.44．抛物线y＝2p_,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定5．(__宜宾检测)F为抛物线y2＝8_的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于()A．42A.B两点,那么||FA|－|FB||的值等于D．16B．8C．826．在y＝2_2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,那么点P的坐标是()A．(－2,1)C．(2,1)B．(1,2)D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8_的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为－3,那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．168．(__陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为_＝－2,那么抛物线的方程是()A．y2＝－8_B．y2＝8_C．y2＝－4_D．y2＝4_9．(__永州模拟)以抛物线_2＝16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．10．抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(－3,m)到焦点的距离是5,那么抛物线的方程为________．11．抛物线y＝4_与直线2_＋y－4＝0相交于A.B两点,抛物线的焦点为F,那么|FA|＋|FB|＝________.212．过抛物线y2＝4_的焦点作直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)两点,假设_1＋_2＝6,那么|AB|等于________13．根据以下条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线16_2－9y2＝144的左顶点;(2)过点P(2,－4)． 14．点A(－1,0),B(1,－1),抛物线C:y2＝4_,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向与OP的夹角为,求△POM的面积．4一.抛物线的定义及其应用[例1]设P是抛物线y2＝4_上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线_＝－1的距离之和的最小值;(2)假设B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是_＝－1.由抛物线的定义知:点P到直线_＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然,连结AF交曲线于P点,那么所求的最小值为|AF|,即为5.(2)如图,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为 4.例2.．(__山东高考)设M(_0,y0)为抛物线C:_2＝8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是() A．(0,2)B．[0,2]C．(2,＋∞)D．[2,＋∞)解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即p＝4,根据只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,＋∞)．二.抛物线的标准方程和几何性质例3.抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点为F,准线为l,经过F的直线与抛物线交于A.B两点,交准线于C点,点A在_轴上方,AK⊥l,垂足为K,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,那么△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8设点A(_1,y1),其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线,垂足为B1.那么有|BF|＝|BB1|;又|CB|＝2|FB|,因此有|CB|＝2|BB1|,cos∠CBB1＝ππCBB1＝.即直线AB与_轴的夹角为.335|BB1|1＝,∠|BC|pπ又|AF|＝|AK|＝_1＋＝4,因此y1＝4sin＝23,因此△AKF的面积等于|AK|y1＝423＝43.22[悟一法]1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有p,可利用题中条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点.对称轴.开口方向等几何特征．例4．过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A.B,交其准线l 于点C,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3那么此抛物线的方程为()3A．y2＝_B．y2＝9_29C．y2＝_D．y2＝3_2解析:分别过点A.B作AA1.BB1垂直于l,且垂足分别为A1.B1,由条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|,∴∠BCB1＝30°,又|AA1|＝|AF|＝3,∴|AC|＝2|AA1|＝6,∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3,∴F为线段AC的中点．故13点F到准线的距离为p＝|AA1|＝,故抛物线的方程为y2＝3_.22三.抛物线的综合问题[例5](__江西高考)过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)(_1所以p＝4,从而抛物线方程是y2＝8_.(2)由p＝4,4_2－5p_＋p2＝0可简化为_2－5_＋4＝0,从而_1＝1,_2＝4,y1＝－22,y2＝42,从而A(1,－22),B(4,42);设OC＝(_,y)＝(1,－2332)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．3＝8_3,即[2即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0,或λ＝2.例6.(__湖南高考)(13分)平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l与轨迹C相交于点D,E,求ADEB的最小值2妙解](1)设动点P的坐标为(_,y),由题意有_－12＋y2－|_|＝1.化简得y2＝2_＋2|_|.当_≥0时,y2＝4_;当_例7．点M(1,y)在抛物线C:y2＝2p_(p>0)上,M点到抛物线C的焦点F的1距离为2,直线l:y＝－_＋b与抛物线C交于A,B两点．2(1)求抛物线C的方程;(2)假设以AB为直径的圆与_轴相切,求该圆的方程．解:(1)抛物线y2＝2p_(p>0)的准线为_＝－,由抛物线定义和条件可知2|MF|＝1－(－)＝1＋＝2,解得p＝2,故所求抛物线C的方程为y＝4_.22ppp2y＝－1_＋b,2(2)联立y＝4_2消去_并化简整理得y＋8y－8b＝0.2依题意应有Δ＝64＋32b>0,解得b>－2.设A(_1,y1),B(_2,y2),那么y1＋y2 ＝－8,y1y2＝－8b,设圆心Q(_0,y0),那么应用_0＝_1＋_22,y0＝y1＋y22＝－4.因为以AB为直径的圆与_轴相切,所以圆的半径为r＝|y0|＝4.又|AB|＝5[_1－_222＋y1－y22＝1＋4y1－y22＝y1＋y2－4y1y2]＝564＋32b64＋32b所以|AB|＝2r＝58＝8,解得b＝－.548,5所以_1＋_2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝那么圆心Q的坐标为(2424,－4)．故所求圆的方程为(_－)2＋(y＋4)2＝16.551．抛物线_2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－_2＝2的上焦点,那么a等于() A．1B．4C．8D．16解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,),双曲线的上焦点为(0,2),4依题意那么有＝2解得a＝8.4aa2．抛物线y＝－4_2上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是() A．－1716157B．－C.1616D.1516y12解析:抛物线方程可化为_＝－,其准线方程为y＝.设M(_0,y0),那么由416115抛物线的定义,可知－y0＝1y0＝－.16163．(__辽宁高考)F是物线y2＝_的焦点,A,B是该物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,那么线段AB的中点到y轴的距离为()3A.45B．1C.47D.4解析:根据物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:11315(|AF|＋|BF|)－＝－＝.242444．抛物线y2＝2p_,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是() A．相离B．相交C．相切D．不确定解析:设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线l,A1.B1分别为A.B在直线l上的射影,那么|AA1|＝|AF|,|BB1|＝|BF|,于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)11＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径,故相切．225．(__宜宾检测)F为抛物线y＝8_的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于()A．42B．8C．82D．16212A.B两点,那么||FA|－|FB||的值等于y＝_－2,解析:依题意F(2,0),所以直线方程为y＝_－2由2y＝8_,消去y得_2－12_＋4＝0.设A(_1,y1),B(_2,y2),那么||FA|－|FB||＝|(_1＋2)－(_2＋2)|＝|_1－_2|＝(_1＋_2)－4_1_2＝144－16＝82.6．在y＝2_2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,那么点2P的坐标是()A．(－2,1)C．(2,1)B．(1,2)D．(－1,2)2解析:如下图,直线l为抛物线y＝2_的准线,F为其焦点,PN⊥l,AN1⊥l,由抛物线的定义知,|PF|＝|PN|,∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|,当且仅当A.P.N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,那么可排除 A.C.D.答案:B7．设抛物线y2＝8_的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为－3,那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．168．(__陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为_＝－2,那么抛物线的方程是()A．y2＝－8_B．y2＝8_C．y2＝－4_D．y2＝4_解析:由准线方程_＝－2,可知抛物线为焦点在_轴正半轴上的标准方程,同时得p＝4,所以标准方程为y2＝2p_＝8_9．(__永州模拟)以抛物线_2＝16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析:抛物线的焦点为F(0,4),准线为y＝－4,那么圆心为(0,4),半径r＝8.所以,圆的方程为_2＋(y－4)2＝64.10．抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(－3,m)到焦点的距离是5,那么抛物线的方程为________．解析:设抛物线方程为_2＝ay(a≠0),那么准线为y＝－.∵Q(－3,m)在抛4物线上,∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离,aa99a∴|m－(－)|＝5.将m＝代入,得|＋|＝5,解得,a＝±2,或a＝±18,4aa4∴所求抛物线的方程为_＝±2y,或_＝±18y.11．抛物线y2＝4_与直线2_＋y－4＝0相交于A.B两点,抛物线的焦点为F,那么|FA|＋|FB|＝________.22y2＝4_解析:由2_＋y－4＝0,消去y,得_2－5_＋4＝0(_),方程(_)的两根为A.B两点的横坐标,故_1＋_2＝5,因为抛物线y2＝4_的焦点为F(1,0),所以|FA|＋|FB|＝(_1＋1)＋(_2＋1)＝712．过抛物线y2＝4_的焦点作直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)两点,假设_1＋_2＝6,那么|AB|等于________解析:因线段AB过焦点F,那么|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝_1＋1,|BF|＝_2＋1,故|AB|＝_1＋_2＋2＝8.13．根据以下条件求抛物线的标准方程:(1)抛物线的焦点是双曲线16_2 －9y＝144的左顶点;(2)过点P(2,－4)．解:双曲线方程化为－＝1,左顶点为(－3,0),由题意设抛物线方程为9162_2y2py2＝－2p_(p>0),那么－＝－3,∴p＝6,∴抛物线方程为y2＝－12_.2(2)由于P(2,－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y2＝m_或_2＝ny,代入P点坐标求得m＝8,n＝－1,∴所求抛物线方程为y2＝8_或_2＝－y.14．点A(－1,0),B(1,－1),抛物线C:y2＝4_,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向量OMπ与OP的夹角为,求△POM的面积．4解:设点M(,y1),P(,y2),44∵P,M,A三点共线,∴kAM＝kPM,即y21y22y1y21＝4＋1y1－y2y11＝,∴y1y2＝4.22,即2y1y2y1＋4y1＋y24－4444y2y2π12∴OMOP＝＋y1y2＝5.∵向量OM与OP的夹角为,π1π5∴|OM||OP|cos＝5.∴S△POM＝|OM||OP|sin＝.4242。

圆锥曲线抛物线的基本知识点一、什么是抛物线？抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的所有点到焦点距离等于该点到准线距离的轨迹。

二、抛物线的基本性质1. 抛物线的对称轴是准线，焦点在对称轴上；2. 抛物线上任意一点与其对称轴的距离相等；3. 焦点到抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等；4. 抛物线在对称轴上有最小值，即顶点；5. 抛物线开口方向由焦点和准线位置决定。

三、抛物线方程1. 标准式：y = ax^2 （a>0）其中 a 为常数，表示开口方向和开口大小。

2. 顶点式：y - k = a(x - h)^2其中 (h, k) 为顶点坐标。

3. 参数式：x = at^2, y = 2at其中 t 为参数。

四、抛物线应用1. 物理学中，抛物运动就是指在重力作用下，以一定初速度沿着一个确定角度投掷出去后，运动轨迹为抛物线的运动方式。

2. 工程学中，抛物线常用于设计拱形桥、天桥、高架桥等建筑结构。

3. 数学中，抛物线是圆锥曲线中最简单的一种，也是研究圆锥曲线的基础。

五、抛物线相关概念1. 焦距：焦点到顶点的距离。

2. 焦直线：过焦点且与准线垂直的直线。

3. 焦半径：从焦点到抛物线上任意一点的距离。

4. 垂直平分线：过顶点且与对称轴垂直的直线。

六、抛物线相关定理1. 抛物定理：从焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线距离的一半。

2. 切角定理：从焦点引一条切线，该切线与准线之间的夹角等于该切点处法向量与准线方向向量之间夹角（即反射角等于入射角）。

3. 两个相交抛物面交于一条直母线。

抛物线的知识点、题型1.抛物线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

2. 抛物线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；3. 抛物线几何性质：（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈； ②焦点：一个焦点(,0)2p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离； ③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线⇔1e =。

例题（1）设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a）； 4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed =，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。

（2）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）； （5）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；5、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。

抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种, 即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。

1、抛物线的定义平面内到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合称之为抛物线。

F 称为 " 抛物线的焦点 ", l 称为 " 抛物线的准线 " 。

如图:设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p , M为 x 轴,建立坐标系,设动点 M 的坐标为 (x,y 若 M 到直线 l 的距离与到定点 F 的距离相等, 则有:2222p x y p x +=+⎪⎭⎫⎝⎛-整理可得抛物线的标准形式为:px y 22= 对应的焦点坐标为( , 2p 对应的准线方程为 2p x -=对应的顶点坐标为(0, 0 离心率 e=1抛物线的形式一共有以下四种:2、抛物线的性质设抛物线的标准方程 y 2=2px (p >0 ,则(1 . 范围:则抛物线上的点 (x , y 的横坐标 x 的取值范围是x ≥0., 在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。

(2 . 对称性:这个抛物线关于轴对称, 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 . 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 .(3 .顶点:抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。

(4 .离心率;抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率, 其值为 1.(5 . 在抛物线 y 2=2px (p >0中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 , 2(, , 2(p p p p -,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为 2p .(6 . 平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点 . 但它不是双曲线的切线 . (7 焦点弦长公式:过焦点弦长 121222p p P Q x x x x p =+++=++抛物线和椭圆、双曲线的比较(1 . 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大 . 它的离心率等于 1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有渐近线 .(2 . 椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线 . 抛物线没有中心,称为无心圆锥曲线 .3. 习题讲解例 1(1 如图 5, 已知定直线 l 及定点 F , 定直线上有一动点 N , 过 N 垂直于 l 的直线与线段 N F 的垂直平分线相交于点 M ,则点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (2 点 M 与 (4,0 F 的距离比它到直线 :50l x +=的距离小 1, 点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (3 已知圆 22:(3 1C x y -+=, 动圆 M 与圆 C 外切且与 y 轴相切 (图 6 , M 的轨迹是什么形状的曲线?例 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线上的射影分别为 A 1、 B 1,则∠ A1FB 1=__________。

抛物线的概念与几何性质一、知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质3.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.4.焦半径：抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.二、例题精讲 + 随堂训练1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________. 解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y .答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5B.－3或5C.－2或6D.6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m＝－3或5.答案B5.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P 作P A⊥y轴，垂足是A，延长P A交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.答案B6.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].答案[－1，1]考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x21－y2－x22＝()A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135 C.145 D.3解析 (1)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋12，|BF |＝y 2＋12，∴|AF |－|BF |＝y 1－y 2＝2，又知x 21＝2y 1，x 22＝2y 2，∴x 21－x 22＝2(y 1－y 2)＝4，∴y 1＋x 21－y 2－x 22＝(y 1－y 2)＋(x 21－x 22)＝2＋4＝6.(2)由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离，∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1，0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2. 答案 (1)B (2)A规律方法 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p2或|PF |＝|y 0|＋p 2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.22(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x 解析 (1)过M 作MP 垂直于准线，垂足为P ， 则|MA ||MF |＝2＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ，则cos ∠AMP ＝22，又0°<∠MAP <180°， 则∠AMP ＝45°，此时△AMP 是等腰直角三角形， 设M (m ，4m )，由|MP |＝|MA |，得|m ＋1|＝4m ， 解得m ＝1，M (1，2)，所以△AMF 的面积为12×2×2＝2. (2)由题意，知直线AB 必过原点， 则设AB 的方程为y ＝kx (易知k >0)， 圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165， 所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x . 答案 (1)C (2)C规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|P A |，则P 的横坐标为( ) A.1B.32C.2D.52解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)由抛物线定义知：|PB |＝|PF |，又|PB |＝|P A |，所以|P A |＝|PF |，所以x P ＝x A ＋x F2＝2(△PF A 为等腰三角形). 答案 (1)y 2＝3x (2)C考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程. 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py 得y ′＝xp ，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，切线AN 的方程为y AN ＝x 1p x －x 212p ，同理切线BN 的方程为y BN ＝x 2p x －x 222p . 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .∴N (pk ，－1). |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .规律方法 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16B.14C.12D.10解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2， 由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2. 同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16. 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号. 故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A[思维升华]1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p . [易错防范]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0).2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4B.92C.5D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1). 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知 |AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.法二 因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1， 解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S△OAB ＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝2p sin2α得|AB|＝2psin2α＝3sin230°＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝3 8，故S△AOB ＝12|AB|·d＝12×12×38＝94.答案D【例3】(2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A.5B.6C.163 D.203[一般解法]如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋p2＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝23，所以A(3，23)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y＝3(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.答案 C三、课后练习1.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3解析 设|AF |＝m ，|BF |＝n ，∵|AF |＋|BF |＝233|AB |，∴233|AB |≥2mn ，∴mn ≤13|AB |2，在△AFB 中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝m 2＋n 2－|AB |22mn ＝（m ＋n ）2－2mn －|AB |22mn ＝13|AB |2－2mn 2mn ≥－12，∴∠AFB 的最大值为2π3. 答案 D2.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，P A ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32B.33C.12D.34解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点A ，B 处的切线方程为x 1x ＝2(y ＋y 1)，x 2x ＝2(y ＋y 2)，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 1x 1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2x 2，0，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，0，因为这两条切线都过点P (2，－1)，则⎩⎨⎧2x 1＝2（－1＋y 1），2x 2＝2（－1＋y 2），所以l AB ：x ＝－1＋y ，即l AB 过定点(0，1)，则S △PEF S OAB＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 12－x 2212×1×|x 1－x 2|＝12. 答案 C3.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案655－14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.解 (1)因为点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，所以点A 的纵坐标为p 4，所以p 4＋p 2＝32，所以p ＝2，所以C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≥0)，代入抛物线方程，可得x 2－4kx－4b ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以y 1＋y 2＝4k 2＋2b ， 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以2k 2＋b ＝1，即2k 2＝1－b ≥0，所以0<b ≤1，S △OPQ ＝12b |x 1－x 2|＝12b （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12b 16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0<b ≤1)，设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b >0，函数单调递增，所以b ＝1时，△OPQ 的面积最大，最大值为2.5.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8解析 过点M 作抛物线的准线的垂线，垂足为点M ′，则易得|MM ′|＝|MF |，所以cos ∠NMM ′＝|MM ′||MN |＝|MF ||MN |＝55，则k AM ＝－tan ∠NMM ′＝－1－cos 2∠NMM ′cos 2∠NMM ′＝－2，则直线AM 的方程为y －2＝－2x ，令y ＝0得抛物线的焦点坐标F (1，0)，则p ＝2×1＝2，故选B.答案 B。

高中数学- 圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 第1课 椭圆A 【考点导读】1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 2.椭圆1422=+y x 的离心率为233.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是221164x y += 4. 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22-，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。

圆锥曲线复习（三）------抛物线焦点弦 过px y 22=()0>p 的焦点弦ＡＢ Ａ（1x ，1y ）Ｂ（2x ，2y ）（1）,sin 2221αp p x x AB =++=（2）221p y y -=，4221p x x =， （3）以AB 为直径的圆与准线相切（4）抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为2p ,通径是过焦点最短的弦. 三、直线与抛物线的位置关系（1）将直线方程与抛物线方程联立消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=或20ay by c ++=（1）0a =或⇔>∆0相交；（2）⇔=∆0相切；（3）⇔<∆0相离 直线与抛物线只有一个公共点：相交或相切。

此时相交 该直线与对称轴平行。

（2）设直线可设()00,y y k x x y kx b -=-=+和()000,x x y y m y y x my a --=-=+抛物线px y 22=上的点可标为()00,y x 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02,2y p y 或()pt pt 2,22()R t ∈ 四、例题讲解题型一、抛物线的标准方程例1、（1）抛物线24ax y =的焦点坐标是_____________.（2）焦点在直线042=--yx 上的抛物线的标准方程是_______________.其对应的准线方程是_________________.(3) 以抛物线()022>=p py x 的一条焦点弦为直径的圆是08622=--+y x y x ，则=p _______________(4)到y 轴的距离比到点()0,2的距离小2的动点的轨迹方程是_____________解：（1）焦点F ⎪⎭⎫⎝⎛a 161,（2）因为焦点在坐标轴上，所以焦点为()0,4或()2,0-，故抛物线的标准方程为xy 162=或y x 82-=,对应的准线方程是2,4=-=y x 。

第3节抛物线及其性质知识点一抛物线的定义与方程1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.思考抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?答案若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．4.抛物线的标准方程思考抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？答案p的几何意义是焦点到准线的距离．一、求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．解(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.故所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.(2)求焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 解析 设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .二、抛物线定义的应用例2 (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 解析 ∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1.(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知， 点P ，点(0,2)和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d ＝ ⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.延伸探究1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值． 解 将x ＝3代入y 2＝2x ，得y ＝± 6.所以点A 在抛物线内部．设点P 为其上一点，点P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值是72.即|P A |＋|PF |的最小值是72.2.若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l 1：3x －4y ＋72＝0，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解 如图，作PQ 垂直于准线l 于点Q ，|P A 1|＋|PQ |＝|P A 1|＋|PF |≥|A 1F |min .|A 1F |的最小值为点F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋(－4)2＝1即所求最小值为1.反思感悟 抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．跟踪训练2 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．解析 把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4.(2)设点A 的坐标为(1，15)，点P 在抛物线y 2＝8x 上移动，P 到直线x ＝－1的距离为d ，则d ＋|P A |的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 由题意知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，点P 到准线x ＝－2的距离为d ＋1， 于是|PF |＝d ＋1，所以d ＋|P A |＝|PF |－1＋|P A |的最小值为|AF |－1＝4－1＝3.知识点二 抛物线的简单几何性质x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R抛物线的几何性质的应用例1 (1)等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2 D ．p 2解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(2p ，2p )和(2p ，－2p )． 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点， |AB |＝23，求抛物线方程．解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称，∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23，∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4，得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a ，∴a ＝±3. ∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .反思感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 (1)边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． 又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ， 解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C. (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则抛物线的焦点坐标为( ) A ．(2,0) B ．(1,0) C ．(8,0)D ．(4,0)解析 因为c a ＝2，所以c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，于是b 2＝3a 2，则ba＝3，故双曲线的两条渐近线方程为y ＝±3x .而抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫－p 2，3p 2，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3p 2，则|AB |＝3p ，又三角形的高为p 2，则S △AOB ＝12·p2·3p ＝3，即p 2＝4.因为p >0，所以p ＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．一、直线与抛物线位置关系的判断例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交； ②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离．综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点；当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点． 二、直线与抛物线的相交问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0. 延伸探究本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．解 如图，过A ，B ，M 分别作准线x ＝－p2的垂线交准线于点C ，D ，E .由定义知|AC |＋|BD |＝52p ，则梯形ABDC 的中位线|ME |＝54p ，∴M 点到y 轴的距离为54p －p 2＝34p .反思感悟 直线与抛物线的位置关系1.设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．2.一般弦长：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y ，所以12AB x =-或12AB y y =-（1）证明：因为()()1122,,,A x y B x y 在直线l 上，所以1122y kx my kx m=+⎧⎨=+⎩AB ∴=1122y kx m y kx m =+⎧⎨=+⎩可得：AB12x ==-同理可证得12AB y y =-（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果,A B 为直线与曲线的交点（即AB 为曲线上的弦），则12x x -（或12yy -）可进行变形：12x x -==跟踪训练2 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析 如图，过P 可作抛物线的两条切线，即y 轴和l 1均与抛物线只有一个公共点，过P 可作一条与x 轴平行的直线l 2与抛物线只有一个公共点．故过点P 与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.(2)设抛物线C ：x 2＝4y 焦点为F ，直线y ＝kx ＋2与C 交于A ，B 两点，且||AF ·||BF ＝25，则k 的值为( )A ．±2B ．－1C ．±1D ．－2解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线y ＝kx ＋2代入x 2＝4y ，消去x 得y 2－(4＋4k 2)y ＋4＝0， 所以y 1·y 2＝4，y 1＋y 2＝4＋4k 2，抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，因为||AF ＝y 1＋1，||BF ＝y 2＋1，所以||AF ·||BF ＝y 1·y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝4＋4＋4k 2＋1＝25⇒k ＝±2.三、抛物线的综合问题例3 如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2,0)的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N .(1)求y 1y 2的值；(2)连接MN ，记直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，证明：k 1k 2为定值．(1)解 依题意，设AB 的方程为x ＝my ＋2， 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8.(2)证明 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，k 1k 2＝y 3－y 4x 3－x 4×x 1－x 2y 1－y 2＝y 3－y 4y 234－y 244×y 214－y 224y 1－y 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4， 设直线AM 的方程为x ＝ny ＋1，代入y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ny －4＝0， 所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4，k 1k 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－4y 1＋－4y 2＝y 1y 2－4，由(1)知y 1y 2＝－8，所以k 1k 2＝2为定值．反思感悟 解决抛物线综合问题的基本策略对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．跟踪训练3 (1) 已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上的一点，则|AB |的最小值为________．解析 设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0，所以|AB |＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋x ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －322＋74.所以当x ＝32时，|AB |取得最小值，且|AB |min ＝72.(2)已知动点P 在y 轴的右侧，且点P 到y 轴的距离比它到点F ()1，0的距离小1. ①求动点P 的轨迹C 的方程；②设斜率为－1且不过点M ()1，2的直线交C 于A ，B 两点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2＝0.①解 依题意动点P 的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F ()1，0，准线为x ＝－1， 设其方程为y 2＝2px ()p >0，则p2＝1，解得p ＝2，所以动点P 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ()x >0.②证明 设直线AB ：y ＝－x ＋b ()b ≠3，A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋b ，得y ＝－y 24＋b ，即y 2＋4y －4b ＝0，Δ＝16＋16b >0，所以b >－1，y 1＋y 2＝－4，因为x 1＝y 214，x 2＝y 224，所以k 1＋k 2＝y 2－2y 224－1＋y 1－2y 214－1＝4()y 2－2y 22－4＋4()y 1－2y 21－4＝4y 2＋2＋4y 1＋2＝4()y 1＋2＋y 2＋2()y 2＋2()y 1＋2＝0.因此k 1＋k 2＝0.与抛物线有关的最值问题典例 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离． 解 方法一 设A (t ，－t 2)为抛物线上的点， 则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎫t －232－43＋8＝15⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎫t －232＋203＝35⎝⎛⎭⎫t －232＋43.所以当t ＝23时，d 取得最小值43.方法二 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43.故最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[素养提升] 求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力． 三圆锥曲线mx 2＋ny 2＝1(当m ＞0，n ＞0，m ≠n ，为椭圆方程，当mn <0，m≠n ，为双曲线，当m=n ≠0，为圆)上任意一点P(x 0,y 0)处的切线方程为mxx 0＋nyy 0＝1; 对比记忆抛物线y 2=2px 切线为yy 0=p(x+x 0)1．抛物线y ＝－14x 2的准线方程为( )A ．x ＝116B ．x ＝1C ．y ＝1D ．y ＝2答案 C解析 抛物线的标准方程为x 2＝－4y ，则准线方程为y ＝1.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 答案 B解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p2，由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.3．(多选)经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x B. y 2＝8x C ．y 2＝－8x D ．x 2＝－8y答案 AD解析 当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .4．若抛物线y ＝ax 2()a >0的焦点与椭圆x 22＋y 2＝1的上顶点重合，则a 等于( )A.12B.14 C ．2 D ．4 答案 B解析 椭圆x 22＋y 2＝1的上顶点是()0，1 抛物线y ＝ax 2()a >0的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ， 因为两点重合，所以14a ＝1，所以a ＝14.5．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 D解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点， 所以3p －p ＝⎝⎛⎭⎫p 22，解得p ＝8.6．已知双曲线x 2m －y 2＝1的右焦点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则m ＝________.答案 3解析 由题意得m ＋1＝22，解得m ＝3.7．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是____________． 答案 (－6,62)或(－6，－62)解析 由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3,0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )， 则由定义知|PF |＝3－x .又|PF |＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2. 所以所求点的坐标为(－6,62)或(－6，－62)．8．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为________，准线方程为________． 答案 (1,0) x ＝－1解析 圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1. 9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程． 解 方法一 如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ， 则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2＝5，即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.方法二 设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5， 故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6. ∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.10．花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，点P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1 m)解 如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．依题意有P (－1，－1)在抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .又点B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝ 2 m ， 则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝(2＋1) m ，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.11．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 由题意，知抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为抛物线y 2＝4x 上的一点P 到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P 到准线x ＝－1的距离是5，则点P 到y 轴的距离是4，所以P (4，±4)，所以△PFO 的面积为12×1×4＝2.12．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________. 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________. 答案 14解析 根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8，则m ＝±4，不妨取M (1,4)，又A (－1,0)，则直线AM 的斜率为2， 由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.14．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________． 答案 2解析 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F (1,0)到直线l 1的距离d ＝|4＋6|(－3)2＋42＝2.15．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) 答案 ②④解析 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝⎛⎭⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．16．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点． (1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|P A |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解 (1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 由抛物线的定义，知|PF |＝d ， 于是问题转化为求|P A |＋|PF |的最小值．如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22＋12＝ 5.(2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12， 因为12>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |， 则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4.1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 A解析 由题意，知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， ∵抛物线y 2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为23， 则P (3，±23)，∴点P 到抛物线的准线的距离为3＋1＝4， ∴点P 到抛物线的焦点F 的距离为4.故选A.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在答案 B解析 当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意． 当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)， 可设直线方程为y ＝k (x －1)，k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2＝5，∴k 2＝43，即k ＝±233.因而这样的直线有且仅有两条．3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 答案 B解析 由抛物线方程y 2＝8x ，可得准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)，设点A (－2，n )， ∴－3＝n －0－2－2， ∴n ＝4 3.∴P 点纵坐标为4 3. 由(43)2＝8x ，得x ＝6， ∴P 点坐标为(6,43)，∴|PF |＝|P A |＝|6－(－2)|＝8，故选B.4．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|F A |＋|FB |等于( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|F A |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x ＋y －4＝0得x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7.5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 答案 C解析 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 依题意，l ⊥x 轴，且焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p2＝p ＝6，故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫18，±24解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24.7．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 是FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，过点M 作MM ′⊥y 轴，垂足为M ′，|OF |＝2，∵M 为FN 的中点，|MM ′|＝1，∴M 到准线距离d ＝|MM ′|＋p2＝3，∴|MF |＝3，∴|FN |＝68．已知点A 到点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等，点A 的轨迹与过点P (－1,0)且斜率为k 的直线没有交点，则k 的取值范围是________． 解析 设点(x ，y )，依题意得点A 在以y 2＝4x . 过点P (－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0，当k ＝0时，显然不符合题意； 当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1＞0，解得k ＞1或k ＜－1， 因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程． 解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，由题意知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 10．已知抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，O 为坐标原点．(1)求证：l 与C 必有两交点．(2)设l 与C 交于A ，B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值． (1)证明 联立抛物线C ：y ＝2x 2和直线l ：y ＝kx ＋1，可得2x 2－kx －1＝0， 所以Δ＝k 2＋8>0，所以l 与C 必有两交点． (2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1，①因为y 1＝kx 1＋1，y 2＝kx 2＋1，代入①，得2k ＋⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝1，②由(1)可得x 1＋x 2＝12k ，x 1x 2＝－12，代入②得k ＝1.11．若点M (1,1)是抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点，则弦AB 的长为________． 答案15解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x ，可得y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 代入抛物线的方程得4x 2－8x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，则||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×⎝⎛⎭⎫22－4×14＝15， 即弦AB 的长为15.12．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________． 答案 x ＝5p2解析 由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称．设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知AF ⊥OB ，则有y x －p 2·－yx＝－1.所以y 2＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2，2px ＝x ⎝⎛⎭⎫x －p 2. 因为x ≠0.所以x ＝5p 2.所以直线AB 的方程为x ＝5p2.13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.解析 抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 23－y23＝1得||x ＝ 3＋p 24.要使△ABF 为等边三角形，则tan π6＝|x |p＝3＋p 24p ＝33，解得p 2＝36，p ＝6. 14．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，所以|PQ |＝8， 所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.15．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k 等于( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x 得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 2＋8k2，x 1x 2＝4.y 1＋y 2＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)＝k (x 1＋x 2－4)＝8k ，y 1y 2＝－8x 18x 2＝－16.∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4－16－16k＋4＝0， 解得k ＝2，故选D.16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0，解得x 1＝12，x 2＝92，故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.1．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆答案 A解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ，由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，所以点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹是抛物线．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 消去x ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.3．已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．0答案 B解析 因为点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，所以x ≥0，因为z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2， 所以当x ＝0时，z 最小，最小值为3.4．(多选)已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－4 D ．4答案 CD解析 ∵抛物线C ：y ＝x 28，∴x 2＝8y ， ∴焦点F (0,2)，准线方程为y ＝－2.∵A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，由抛物线的定义，得y 0＋2＝2y 0，∴y 0＝2，∴x 20＝16，∴x 0＝±4.5．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，||AF ·||BF ＝16，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) ∴直线AB 的方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px 可得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， 由抛物线的定义可知，||AF ＝x 1＋p 2，||BF ＝x 2＋p 2， ∴||AF ·||BF ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24＋32p 2＋p 24＝2p 2＝16，解得p ＝2 2.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 22解析 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p 2＝－2，故p ＝2 2. 7．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为________．答案 12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝4，∵A ，B 在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，相减得 y 21－y 22＝2(x 1－x 2)， 即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝24＝12. 8．已知抛物线C ：y 2＝2x ，直线l 的斜率为k ，过定点M (x 0，0)，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，且A ，B 位于x 轴两侧，OA →·OB →＝3(O 为坐标原点)，则x 0＝________.答案 3解析 设直线l 的方程为y ＝k (x －x 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与抛物线方程联立可得⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k ()x －x 0，消y 并整理可得，k 2x 2－(2k 2x 0＋2)x ＋k 2x 20＝0， 由根与系数的关系可得，x 1x 2＝x 20，则y 1y 2＝－4x 1x 2＝－2x 0，∵OA →·OB →＝3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝3，即x 20－2x 0＝3，解得x 0＝3.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．求曲线C 1的方程． 解 方法一 设点M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝(x －5)2＋y 2－3.易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧，于是x ＋2＞0，所以(x －5)2＋y 2＝x ＋5. 化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .方法二 由题设知，条件“对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值”等价于“曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离”．所以，曲线C 1是以点(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线，所以曲线C 1的方程为y 2＝20x .10．已知抛物线y 2＝－8x 的顶点为O ，点A ，B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，求证：直线AB 经过一个定点．证明 设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为－1k，则直线OA 的方程为y ＝kx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝－8x ，得A ⎝⎛⎭⎫－8k 2，－8k ， 同理可得B (－8k 2,8k )，于是直线AB 的方程为y －8k ＝8k ＋8k 8k 2－8k 2(x ＋8k 2)，整理可得y ＝k 1－k 2(x ＋8)， 因此直线AB 经过定点(－8,0)．11．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由题意可知，直线AB 的方程为 y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 代入抛物线的方程可得4y 2－123y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94， 故所求三角形的面积为12×34×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝94. 12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．33答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2 3. ∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝3＋1＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3.13．已知点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝5(其中O 为坐标原点)，则直线AB 在x 轴上的截距是( )A ．5 B.15 C.14D ．4 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 2216＋y 1y 2＝5，因为y 1y 2<0，所以y 1y 2＝－20. 设直线AB 在x 轴上的截距为m ， 若AB 斜率不存在，则y 1＝－y 2，所以y 1＝25，从而x 1＝5，m ＝5，若AB 斜率存在，设直线AB 方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，y 2＝4x ， 得ky 2－4y －4km ＝0，y 1y 2＝－4m ＝－20，m ＝5.综上，直线AB 在x 轴上的截距是5.14．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线与抛物线交于A ，B 两点，则|F A |·|FB |的值为________．答案 8解析 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0， Δ＝36－4＝32>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1>0，x 2>0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，F (1,0)，|F A |·|FB |＝(x 1－1)2＋y 21·(x 2－1)2＋y 22 ＝x 21－2x 1＋1＋4x 1·x 22－2x 2＋1＋4x 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝8.15．已知直线l 与抛物线y 2＝6x 交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1·k 2＝3，则直线l 恒过定点( )A ．(－63，0)B ．(－33，0)C ．(－23，0)D ．(－3，0) 答案 C解析 设直线l 为x ＝my ＋n ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝6x ，消去x 可得y 2－6my －6n ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1y 2＝－6n ，因为k 1·k 2＝3，即y 1x 1·y 2x 2＝3，所以y 1y 2y 216·y 226＝36y 1y 2＝36－6n ＝3， 所以n ＝－23，所以x ＝my －23，所以直线l 一定过点()－23，016．已知动圆E 经过定点D (1,0)，且与直线x ＝－1相切，设动圆圆心E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设过点P (1,2)的直线l 1，l 2分别与曲线C 交于A ，B 两点，直线l 1，l 2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB 的斜率为定值．(1)解 由已知，动点E 到定点D (1，0)的距离等于E 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知E 点的轨迹是以D (1，0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线，故曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由题意可知直线l 1，l 2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 1的方程为y ＝k (x －1)＋2，k ≠0.直线l 2的方程为y ＝－k (x －1)＋2，由⎩⎨⎧ y ＝k ()x －1＋2y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2－4k ＋4)x ＋(k －2)2＝0，已知此方程一个根为1，∴x 1×1＝()k－22k 2＝k 2－4k ＋4k 2，即x 1＝k 2－4k ＋4k 2，同理x 2＝()－k 2－4()－k ＋4()－k 2＝k 2＋4k ＋4k 2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋8k 2，x 1－x 2＝－8k k 2＝－8k ，∴y 1－y 2＝[k (x 1－1)＋2]－[－k (x 2－1)＋2]＝k (x 1＋x 2)－2k ＝k ·2k 2＋8k 2－2k ＝8k ，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8k－8k＝－1， 所以，直线AB 的斜率为定值－1.。

抛物线1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，肓线 /叫做抛物线的准线。

2.标准方程朋标系：使*标轴经过点F且垂总于总线/于K,并使原点与线段KF的中点重合。

设|KF|=p （p>0）,则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：3.几何性质以抛物线y=2px （p>0）为例。

（1）范围。

x^O, |y|随x增人而增大，但无渐近线。

（2）对称性。

关于x轴对称。

（对称轴与准线垂直）（3）顶点。

对称轴与抛物线的交点。

（4）离心率。

同椭圆、双Illi线离心率定义。

e二1 （注e与抛物线开口大小无关，开口大小由p值确定，画特征草图时，先画岀通径（2p）过焦点且与对称轴垂直的弦）。

4.几个重要的解析结果：（1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。

（2）焦点弦两端点的纵处标乘积为常数即yM=—代（p>0）（3）焦半径公式：IMF匸乞w+#（4 ）焦点弦长公式：| AB|=xi+x2+p （XI、X2分别为A、B的横坐标）或\AB\=^—（O^AB的倾斜角），由此知，通径长为焦点弦长的最小值：2psiir 01、抛物线y2 = 8x的焦点到准线的距离是（）A. 1B. 2C. 4D. 82、设抛物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 123、设抛物线『=8x的焦点为F,准线为1, P为抛物线上一点，PA丄1, A为垂足.如果直线AF的斜率为,那么|PF|=（）A. 4^3B. 8C. 8yf3D. 164、已知抛物线y2=2px（p>Q）的准线与圆x2 + y2-6x-7 = 0相切，则p的值为（）A. -B. 1C. 2D. 425、已知抛物线/ =2/?x（p>0）,过其焦点JI斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为（）A. x = 1B. x = —\C. x = 2D. x = —26、已知抛物线C:y2 =x与直线l:y = kx + \t线1与抛物线C有两个不同交点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充耍条件D.既不充分也不必要条件7 .以抛物线y2=4x的焦点为関心，过坐标原点的関的方程为（）A. x2 +），+ 2兀=0B. %2 +）, + 兀=0C.力2 + y? 一兀=oD. x2 + y2 - 2x = 08已知抛物线/ =2/?X（/7>0）的焦点为F,点斥（兀］,）\）、£（兀2，“）、人（兀3，儿）在抛物线上‘且2力2=召+兀3，则有（）A・|锢+ |硏冃隅| B.|F对+|F町=必「C・2|础同码| + |比| D.|F&卜冋|・|码|9 •.设抛物线），=2x的焦点为F,过点M （、疗，0）的直线与抛物线相交于A, B两点，与抛物线的准线相交于VC, BF =2,则ABCF与厶ACF的成面积之比一泌二Sg42（A）一（B）—534 1（C） - （D）一7 210 .设斜率为2的直线Z过抛物线y二血(QHO)的焦点F,口和V轴交于点A,若AOAF (O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(A) y2=±4(B) y2 =±8x(C) y2=4x(D) b =8兀1 1在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O,H•过点P(2,4),则该抛物线的方程是.1 2若直线ax —y+l= 0经过抛物线y2 = 4x的焦点，则a- _________ .1 3 .抛物线>，2 = x的准线方程是_____1 4 .过抛物线护=2px(p > 0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8,则P= •711 5 •过点A (1, 0)作倾斜角为4的直线，与抛物线『=2x交于M、N两点,则|伽 = ____________________ 。

3.抛物线的参数方程(1)抛物线的参数方程的探究及参数的几何意义教科书以抛物线22y px =为例，介绍抛物线的参数方程.从抛物线的形状可以发现，当a 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内变化时，角a 的终边与抛物线有惟一交点.这样．取a 为参数探求抛物线的参数方程是比较容易想到的.值得注意的是，求抛物线的参数方程时需要利用其普通方程，采用“解方程组”的方法来推导这与椭圆、双曲线的参数方程的推导有差异.另一方面，抛物线的参数方程 22tan 2tan p x a p y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(a 为参数) ①并不包括定点.因此，为了使参数方程能够包括抛物线上所有点，我们令1tan t a=,得到 22,2.x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 将t=0代入上述方程可得(x ，y)=(0，0),正好把抛物线的顶点补上．这样与22y px =对应的抛物线的参数方程就是22,2.x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数) ②上述过程，不仅得到了抛物线的参数方程，而且还可以让学生体会完整、全面地讨论问题的方法．通过这样的教学，可以逐步培养学生严密地思考和严谨地推理的习惯.由上述过程可以看到．参数方程①中的参数a 是x 轴正半轴到OM(M 为抛物线上的点)所成的角；参数方程②中参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．(2)关于“思考”的教学分析第34页“思考”是让学生进一步认识曲线的参数方程的不惟一性，进一步认识根据问题的几何特征选择参数的方法.根据抛物线的定义得出抛物线的参数方程的过程如下：如图2-4，设点M(x ，y)是抛物线()220y px p =>上的任一点，点M 到准线x=2p -的距离为t ，则有 2p x t =- 由于 ()22222.MF t t p y t y pt p =⇔-+=⇔=±-所以,抛物线的参数方程为 2,22,p x t y pt p ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ (t 为参数) 2,22,p x t y pt p ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩ (t 为参数)(3)例题的教学分析例3是利用抛物线的参数方程解决问题.本例的条件中涉及两个垂直的条件，利用抛物线的参数方程，垂直条件得到了非常简洁的表示.因此，通过解答本例，学生可以体会到参数方程的方量．另外，本例的解答中，因为涉及到线段的垂直、共线等，所以向量知识的应用也是非常关键的.为了使学生能够顺利解答本例，教学中应当引导学生适当复习向向量垂直、平行的坐标表示等方面的知识．第35页的“探究’’可以看成是例3的变式，其解答如下：由例3可得()()222211112221,OA pt pt p t t =+=+ ()()22222222222 1.OB pt pt p t t =+=+所以，△AOB 的面积为 ()()2221212211S p t t t t =++△AOB()2222212122224p t t p t t =++=++≥24.p当且仅当12t t =-，即当点A ．B 关于x 轴对称时，△AOB 的面积最小，最小值为24.p。