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第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n ia表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
中南林业科技大学利息理论教学大纲课程编号：学分：4课程名称：利息理论学时：48英文名称：Interest Theory课程性质：必修适用专业：保险专业先修课程：高等数学—、课程简介（宋体小四加粗）（包括课程性质和任务）（一）课程教学目标《利息理论》是保险、精算专业的一门专业必修课程。
本课程教学的主要内容是介绍利息理论的基本知识，包括：利息的基本概念、年金、收益率、债务偿还、债券与其他证券、利息理论的应用与金融分析。
（二）教学任务学习如何通过数学模型刻画许多金融领域中遇到的有关利息的计算以及与利息有关的金融产品的定量分析方法，掌握金融数学中以货币时间价值为基础的金融定量分析方法。
二、课程目标（一）教学目标目标是让学生了解利息理论的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理利息的基本思想和方法，培养学生运用利息理论分析和解决实际问题的能力。
（二）教学理念作为保险学专业学生培养，涉及到金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。
本课程的基本理念是使学生掌握基本的投资和金融计算的术语、概念及计算原则。
理论与实际联系起来，更好的让学生掌握一些基础性的金融工具的现金流价值分析。
（三）教学要求要求教师用多媒体的形式，结合投资学，保险学的知识基础，掌握金融产品的定量分析方法。
三、教学安排和学时分配四、理论课程教学大纲（包括课程教学设计、教学实施）第一部分利息的基本概念[授课时间] [10学时][教学目的与要求] 通过本章教学，使学生初步了解利息理论的基本概念。
[教学内容]1、利息度量[重点]2、利息问题求解[重点]第二部分年金[授课时间] [13学时][教学目的与要求] 本章为全书的基础，通过教学，要求学生掌握年金的标准型与一般型。
[教学内容]1、年金的标准型[难点]2、年金的一般型[难点]第三部分收益率[授课时间] [10学时][教学目的与要求] 通过本章教学，使学生掌握收益率的概念及将收益率应用于投资基金的收益分析。
第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。
试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。
解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3 In = A(n) − A(n − 1)= (n2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n). 解:()n n-1t 11I A (n )A (t)I I I n (n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・(2)1t 11I A (n )A (t) 22nn k k t I ++=+=-==-∑3. 已知累积函数的形式为:2a (t) at b=+。
若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。
解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2)tA (t) 100(1 0.1)=+.解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17% i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45% (2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1)10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.设()n A 4 1000, i 0.01n==. 试计算A(7) 。
第 2 章：等额年金第 2.1 节：年金的含义本节内容：一、年金的含义（annuity ）年金是指一系列的付款（或收款）。
年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。
但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。
二、年金的分类1、确定年金和风险年金。
2、定期年金和永续年金。
3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。
4、期初付年金和期末付年金。
5、即期年金和延期年金。
6、等额年金和变额年金。
本节重点：年金的定义。
本节难点：年金的分类。
第 2.2 节：年金的现值年金现值是一系列款项在期初的价值。
本节内容：2.2.1 期末付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。
其现值一般用符号n i a表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式23...n nv v v v a=++++(1)11n nv v v v i--==-二、理解1n n v ia +=三、例题1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？解：应用期末付年金现值公式：4000 58%a=4000×3.9927=15971说明：58%a的具体数值可以通过年金现值表查到2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。
如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。
若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。
解：201045aa =20101145v v i i--=100.25v =i=0.1486982.2.2 期初付定期年金的现值假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。
其现值一般用符号n i a表示。
在不引起混淆的情况下，通常简记为na 。
na的计算过程图（略）一、公式2311...n nv v v v a -=+++++(1)11n nv v v d--==-二、na与na的关系1、(1)n ni a a =+（可用公式展开证明）2、11nn aa -=+ （可用图形讲述）三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962.2.3 期末付永续年金的现值永续年金是指无限期支付下去的年金。
因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限n 趋于无限大时的极限。
若用a ∞表示期末付永续年金的现值，则有1lim n n i a a ∞→∞==2.2.4 期初付永续年金的现值 一、公式若用a∞表示期初付永续年金的现值，则有1lim nn daa ∞→∞==二、a ∞与a ∞的关系 (1)i a a ∞∞=+三、例题1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？解：设仓库的年租金为A ，可以建立50000=A8a，A=75962、一笔10000元的贷款，期限为10年。
如果年利率为6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息多。
（1）在10年末一次性偿付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再偿付本金；（3）10年内每年末偿付相等的金额，在10年末刚好付清。
解：（1）这笔款项在第10年末的累计值为1010000(10.06)17909+=因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元 （2）每年末支付的利息为100000.06600⨯= 因此支付的利息总额为：6000元 （3）设每年末偿付的金额为A 则1010000Aa =A=1359因此支付的利息总额为：135********⨯=3、A 留下一笔十万元遗产。
这笔财产头10年的利息付给收益人B ，第2个10年利息付给收益人C ，此后的均给慈善机构D 。
若此项财产的年实际利率为7%，试确定B 、C 、D 在此项财产中的分额。
解：此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。
B ：700010a=7000×7.0236=49165C ：7000（20a -10a ）=700010a 10v =24993 D ：7000（a ∞-20a）=7000a ∞20v =25842本节重点：期末付定期年金的现值的计算公式。
本节难点：公式之间的关系。
第 2.3 节：年金的终值定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。
本节内容：2.3.1 期末付定期年金的终值 期末付定期年金的终值一般用符号n is表示。
一、公式211(1)(1)...(1)n ni i i s-=+++++++1(1)(1)11(1)n n i i i i-++-==-+二、解释1(1)nni is++=2.3.2 期初付定期年金的终值 期初付定期年金的终值一般用符号n i s表示。
一、公式21(1)(1)...(1)(1)n n ni i i i s-=++++++++(1)(1(1))(1)1(1)11(1)/1n n n i i i i i i i d+-++-+-===-++二、ns与ns的关系1、(1)nni s s =+ （可用公式展开证明） 2、11nn s s+=- （可用图形讲述）三、例题1、某人预计在10年后需要40000的资金，为此他打算每年初往一种基金存入一笔钱。
如果基金的年实际利率为6%，那么他每年初应该存入多少钱才能保证在10年末获得40000元。
解：假设每年初存入A 元1040000A s =A=28632、投资者A 和投资者B 在40年间每年末均投资100，从第41年开始，投资者A 每年末抽回X 并持续15年，投资者B 每年末抽回Y 也持续15年。
两项投资在最后一次抽回后的账面余额均为0.已知投资者A 得年利率为8%，投资者B 的年利率为10%，求Y-X 。
解：对于投资者A ：400.08150.08100s Xa =得 X=3026.54 对于投资者B ：400.1150.1100sYa =得 Y=5818.94 Y-X=2792.40本节重点：期末付定期年金的终值。
本节难点：ns与ns的关系。
第 2.4 节：年金的现值与终值的关系本节内容：2.4.1 年金的现值与终值之间的换算关系(1)n n n i s a =+(1)nnni s a=+2.4.2 年金的现值与终值之间的倒数关系11nni a s =+11nnd as=+本节重点：年金的现值与终值之间的换算关系。
本节难点：年金的现值与终值之间的倒数关系。
第 2.5 节：年金在任意时点上的值本节内容：2.5.1年金在支付期开始前任意时点上的值 一、延期m 个时期的期末付定期年金的现值|nm a。
|(1)m m n n n m i v a a a -=+=|nm nm m a aa +=-二、延期m 个时期的期末付永续年金的现值|m a∞|m m v ia∞=三、期初付延期年金的现值的计算（略） 四、例题2.5.2 年金在支付期内任意时点上的值2.5.3年金在支付期结束后任意时点上的值本节重点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|n m a 。
本节难点：延期m 个时期的期末付定期年金的现值|nm a。
第2.6节：可变利率的年金的现值与终值本节内容：2.6.1 每笔款项都以其支付时的利率计算2.6.2 每笔款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算本节重点： 本节难点：补充：一、非标准时期与利率 二、非复利年金补充概念：一、利息结转周期和年金支付周期周期是一个时间的概念。
利息结转周期是指结转一次利息所需要的时间长度；年金支付周期是指支付一次年金所需要的时间长度。
二、利息结转周期和年金支付周期不相等时的的利息问题。
具体计算有两种思路。
第2.7节 每个利息接转周期支付m 次的年金（每年支付m 次年金） 本节内容：一、此类问题的直接计算例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%，试计算每月末的付款金额。
解：月实际利率112(10.0609)10.0049386+-=假设每月末的付款金额为X ，则有 600.004938650000Xa =X=965 二、新公式n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，mn 表示年金的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率。
2.7.1 期末付年金一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：121()1(...)n m n mm m na v v v v m-=++++ ()()1n m m n v ia i i-==二、相应的，在每个支付周期末付款1/m 元，那么该年金的终值为()()(1)m n m n n s i a =+()m n i s i=三、例题1、投资者在每月末向某基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末的累计值是多少？解：m=12，i=5%，每年支付的总额为1200元。
(12)(12)5512001200is s i ==6781.37 2、有一笔3000万元的贷款将在今后的5年内每半年末等额偿还一次，若贷款的年利率为5%，计算每半年末的付款额R 应该为多少。
解：每年付款总额为2R ，(2)523000Ra =R=342.24万元2.7.2 期初付年金一、n 表示利息结转次数，m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期初付款1/m 元，每个利息结转周期的付款是1元，那么该年金的现值为：121()1(1...)n m m m m na v v v m-=++++ ()()1n m m n v da d d-== 二、相应的，在每个支付周期初付款1/m 元，那么该年金的终值为()()(1)m n m n n s i a =+()m n d s d=三、转换关系 1()()(1)m m mn n a i a =+1()()(1)m m mnn s i s =+四、例题例、一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果年实际利率为6019%，试计算每月初的付款金额。
解：设每月初的付款金额为X ，那么全年付款总额为12X ，因此有(12)50.06095000012Xa = X=960元2.7.3 永续年金一、m 表示每个利息结转周期包含的支付次数，i 表示每个利息结转周期的实际利率，在每个支付周期末付款1/m 元的永续年金现值为：12()1(...)m mm a v v m∞=++ ()1m i =二、同理，在每个支付周期初付款1/m 元的永续年金现值为：()m a∞()1m d =三、转换关系 1()()(1)m m ma i a ∞∞=+本节重点：121()1(...)n m n m m m na v v v v m -=++++()()1nm m n v ia i i-==的推导。
