四川大学理论力学第10章第三课时

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四川大学理论力学第10章第三课时

B
O
aC
C
aA
A
B
运动学关系:

aA = rB = aC rD = aC
m2g
FT2
FA FAN
解: (1) 以重物A为研究对象, 受力如图。
aA
A
m2aA= m2 g sin－FT2－FA FAN－m2 g cos = 0 FA= FAN f
FT1 O F'T2

(2) 以 B 为研究对象。由刚体定轴转动微分方程可得
z'
C y'
y
m=∑mi
LO = rC×mvC + LCr
dLO drC dvC dLCr mvC rC m dt dt dt dt
=0
=∑Fie
=∑ri×Fie =∑(rC+ r'i)×Fie
dLCr r'i Fi e MC (Fi e ) dt
即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力系对质心的主矩。上述结论称为质点系相对于质心的动量矩定理。
LA=MA(mvC) +JC ω
圆轮既滚且滑,设基点为O,故
vO
• vO C •O
r
A
ω
vCO
vC= vO+ vCO
•
vCO = rω/2
vC = vO+(rω/2)
MA(mvC)=(3mrvO /2)+(3mr2ω/4)
又
JC= JO – mr2/4 LA =(JO+mr2/2)ω+3mrvO /2
解: 圆轮纯滚,瞬心为A,故有
vC •C vO •O ω r
A

理论力学第十章PPT

(i )
) =0
∑ Fi dt = 0
d(mi vi ) = Fi (e) dt + Fi (i) dt
质点系： ∑d(mi vi ) = ∑ Fi (e) dt + ∑ Fi (i) dt
得 dp = ∑ F dt = ∑dI i
(e)
(e) i
或
dp (e) = ∑ Fi dt
称为质点系动量定理的微分形式即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和；或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和。
在 t1 t2 内，动量由 p1~ p2 ，有 ~
p2 − p1 = ∑ Ii(e)
i=1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。动量定理微分形式的投影式
dpx = ∑ Fx(e) dt
dpy dt
= ∑F
(e) y
dpz = ∑ Fz(e) dt
动量定理积分形式的投影式
( p2x − p1x = ∑ I xe)
( p2y − p1y = ∑I ye)
p2z − p1z = ∑ I z(e)
3．质点系动量守恒定律．
若 ∑F
(e)
≡ 0 ，则 p = 恒矢量
若 ∑ Fx
(e)
≡ 0，则 px = 恒量
解决动量定理习题步骤
第十章动量定理
§10-1 动量与冲量
1．动量．质点的动量质点系的动量
mv
n i=1
单位： kg⋅ m/ s
p = ∑mivi
dri d p = ∑mivi = ∑mi = ∑mi ri dt dt ∑mi ri 质心 rc = ， m = ∑mi m

10《理论力学》课件

n
r I (e)
i
i 1
－－质点系动量定理微分形式的投影式－－质点系动量定理的积分形式
即在某一时间间隔内,质点系动量的改变量等于在这段时
间内作用于质点系外力冲量的矢量和.
p2 x
p1x
I
(e) x
p2 y
p1y
I (e) y
p2 z
p1z
I
(e) z
－－质点系动量定理积分形式的投影式
3．质点系动量守恒定律
r dIi(e)
Fi(i)dtr dp
或
dt
r F (e)
i
－－质点系动量定理的微分形式
即质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
dpx dt
F (e) x
dpy dt
F (e) y
dpz dt
F (e) z
pr 2
pr1
力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力: 内力性质:
r Fi ( e,)
r
r
内力:
F (i) i
r
r
F (i) i
0
MO (Fi(i) ) 0
r Fi(i)dt
0
质点: 质点系:
dpr
d(mivri )
r d(mivi
)
r
Fi(e)dt
r
r
Fi
(e)dt
r
Fi(i)dt
r
Fi(e)dt
问题：内力是否影响质心的运动？质心运动定理与动力学基本方程有何不同？
在直角坐标轴上的投影式为:
ma
Cx

理论力学10 罗特军川大

acceleration)和法向加速度(normal acceleration)。
小随时间的变化率。
at沿M点处轨迹的切线方向,反映了速度大 an的方向永远指向曲率中心,反映了速度方
向随时间的变化率,恒为正值。
例1. 图示曲柄连杆机构,已知r、l、h, = t, 求滑块B的运动方程、速度和加速度。
z
M
v
M'
r(t)
O
x
r r(t+t)
r dr • v lim r Δt→0 t dt
y
v的方向沿轨迹在该点的切线方向,其大小等于
ds dr ds dr v dt ds dt dt
3. 点的加速度
时刻t动点的加速度(acceleration)定义为
v dv • •• a lim vr Δt→0 t dt
动点(point)
刚体(rigid body)
3. 参考系
参考体(reference body)
参考系(reference system) 所谓相对于参考系的运动,即是在参考系上的观察者所观察到的运动,或者说是将参考系当作“静止的”,来研究物体的运动。
由于同一物体相对不同的参考系的运动是不同的, 故不明确指出参考系, 论及物体的运动是毫无意义的。工程上通常以大地为参考系。
1 ds k d
曲率圆(circle of curvature)、曲率半径及曲率中心(center of curvature)的几何意义 O
M'

M M''
■ 自然轴系
轨迹曲线在M点处的曲率园所在的平面称为曲线在该点的曲率平面或密切面(osculating plane)。

理论力学第十章

理论力学
中南大学土木工程学院
3
§10-1
质点系的质心内力与外力
z C
一、质点系的质心
质点系的质量中心称为质心，是表示质点系质量分布情况的一个重要概念。质心C点的位置：rC
rC xC i yC j zC k
mi ri mi ri mi m (m mi )
W3 W2
Fx(e) 0 px const
设沙箱滑动结束后车速为v，则有
v0
x
W1 W2 W3 W1 W2 v0 v g g
代入已知数据，解得 v =3 m/s 再以小车为研究对象，由动量定理有
W1
FN2 FN
F
FN1
px p0 x Ft
W1 W v 1 v0 Ft g行深入的研究。通常情况下，用这些定理来解答质点特别是
质点系的动力学问题非常方便简捷。
本章研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变
与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式——质心运动定理。
理论力学中南大学土木工程学院 2
C2 B
vC2
wr=w
系统质心的速度 p 5 vC lw v A 2m 4
理论力学
中南大学土木工程学院
9
二、冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应(过程量)。 1、力F是常矢量
I F (t2 t1 )
冲量 I F dt
t2 t1
t 积分形式： mv 2 mv1 t12 F d t I
（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）
理论力学

[法律资料]理论力学第10章动静法

m1 πR12l m2 π R22l
Jz
1 2
π l(R14
R24 )
1 2
π l(R12
R22 )(R12
R22 )
由 π l(R12 ，R22得) m
Jz
1 2
m(
R12
R22 )
h
21
5．实验法思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
1.平移
ai aC
rC
miri M
F g,F 1 g, 2,F g nF R g
,
F R gF g im ia i M a C
M g o m 0 ( F g ) i r i m i a i (m i r i ) a C
M r C a C r C ( M a C ) r C F Rg
力系平衡条件
Fi(e) Fi(i) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fi(i) ) mo (Fgi ) 0
注意内力力系自相平衡
Fi(i) 0 mo (Fi(i) ) 0
推得
Fi(e) Fgi 0 mo (Fi(e) ) mo (Fgi ) 0
h
12
解：1. 研究重物H
Fy 0
Fg1m1a12m1a
P1TFg10
2. 研究三角板BCK
Fy 0
Tsi4 n5P 2Fg20
3. 运动学补充方程
vBco2s vH 0
aB t co2sv4B 2 lsin2aH0
h
13
2.定轴转动（平面）
F g1,F g2, ,F gn 向转轴O简化
质点系统动力学方程
F x ( e ) F gx 0
F y ( ) F gy 0

理论力学(第10章)

因为质心 C 的速度大小 vC = rC 。
由上式得

P C vC
rc
1 2 1 T m vC J C 2 2 2
即,平面运动刚体的动能 ,等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和。
第10章动能定理
10.2 动能及其计算
例10-1 求例9-6所示系统的动能，系统如图所示。解： 1.运动分析
约束力的功恒等于零。
FA
dr
FA dr dr FA (c)
(a)
(b)
第10章动能定理
10.1 力的功
7.功率的概念表示力做功的快慢是功率。通常用力在单位时间内所做的功
定义为力的功率，记为P。
δW P F v dt 当作用于转动刚体上的力矩为Mz，则其功率为
P Mz d M z dt
1 T J P 2 2
根据转动惯量的平行轴定理有

P
C
J P J C mrC
2
rc
vC
式中JC是对平行于瞬轴的质心轴的转动惯量。
第10章动能定理
10.2 动能及其计算
3. 平面运动刚体的动能
J P J C mrC
2
1 2 T ( J C mrC ) 2 2
mv2 mv2 d( ) d ( ) dT 2 2
故上式可写成
d T δW (e) δW (i)
即，质点系动能的微分等于作用于质点系所有外力元功和内力元功的代数和—质点系动能定理的微分形式。
第10章动能定理
10.3 动能定理
10.3.2 质点系动能定理
2.积分形式由微分形式
代入运动学关系

理论力学第十章

简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 R Q 和一个
惯性力偶 M QO 。
RQ Q m a M aC M
QO
与简化中心无关与简化中心有关
m O (Q )
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质
心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
Fi N i Q i 0 m O ( Fi ) m O ( N i ) m O (Q i ) 0
注意到 F i 0 , m O ( F i ) 0 划分, 则
Fi
(e)
(i)
(i)
, 将质点系受力按内力、外力
Qi 0
(e)
12
一、刚体作平动向质心C简化：
RQ M aC
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。
RQ M ac
13
二、定轴转动刚体先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。直线 i : 平动，过Mi点， Q i m i a i 空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面） O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：主矢：主矩：
d 2 dt
2
mC (F
(e)
)
20
§10-4 达朗伯原理的应用
应用动静法求动力学问题的步骤及要点： ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出
方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯性力系的简化结果。

理论力学第十章作业答案

v A O A B C D 300w 0
v A v AB v B [10-6]图示曲柄摇块机构中，曲柄OA 以角速度 0绕O 轴转动，带动连杆AC 在摇块B 内滑动,摇块及其刚连的BD 杆则绕B 铰转动，杆BD 长l,求在图示位置时摇块的角速度及D 点的速度.
解：运动分析：OA 、摇块B 定轴转动，AC 平面运动0A v OA ω=⋅以A 点为基点分析B 点的速度
-以摇块上的B 点为动点，以AC 为动系统，通过分析B 点的速度，得知
AC 杆上B 点的速度沿AC 方向。

1/2AB A v v =AB AB v AC
ω=⋅ 又01/4AB ωω⇒=01/4B AB ωωω∴==0
/4D B v l l ωω=⋅=以AC 杆为研究对象：
O A
B C D
300w 0
速度瞬心法：I v A 0A AB v OA IA ωω==由几何关系得：4IA OA
=0
1/4AB ωω⇒=0
1/4B AB ωωω∴==0
/4D B v l l ωω=⋅=
v A A AB v ω= 又01/4AB ωω⇒==
v A v B （3）再研究齿轮D v =v D
（1）取轮为研究对象：v B
（2）取销钉v Br v Be 0cos 60Be B v v =⋅ωO1A
AD 作平面运动。

（1v D
（2）取滑块D 为动点，v Dr v De 0cos30De D v v =1O D ω∴=ωO1D。

结构力学第10章 (四川大学)讲解

（3）采用集中质量法和广义坐标法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法是不同的。集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。
10.2 单自由度体系运动方程的建立
研究单自由度的目的：单自由度体系的动力分析虽然比较简单，但非常重要。这是因为：（1）很多实际的动力问题常可按单自由度体系进行计算，或进行初步的估算。（2）单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
Fb cy
式中，c为体系的粘滞阻尼系数
（ 3 ）惯性力 FI ：根据达朗伯原理，惯性力是质量与加速度的乘积，但与加速度方向相反。即 F m y
I
建立振动微分方程有两种基本方法：（ 1 ）根据达朗伯原理 ( 动静法、惯性力法）列出瞬时动力平衡方程，又称为刚度法（列平衡方程）。（2）另一种方程是列位移方程，又称为柔度法。
cy ky 0 m y
研究单自由度体系自由振动的目的在于：研究体系振动运动的基本特性，确定其固有特性，以便进行结构的动力设计时加以控制及改进结构的动力特性。
产生自由振动的原因只是由于在初始时刻的干扰。初始的干扰有两种情况：（1）一种是由于体系具有初始位移；（2）另一种则是由于体系具有初始速度；或者这两种初始干扰同时存在。
无限个自由度体系
图示为一块形基础，计算时可简化为一刚性块。当考虑基础在平面内的振动时，体系共有三个自由度，包括水平位移x、竖向位移y和角位移。当仅考虑基础在竖直方向的振动时，则只有一个自由度。自由度数与集中质量的个数并不一定彼此相等
自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定或超静定无关。

《理论力学》课件第10章

下面讨论两种特殊情况。
（1）若 MO (Fi(e) ) 0 ，则由式（10-10）有
LO 常矢量
（2）若 M (F
x
i
(e)
) 0 ，则由式（10-11）有
Lx 常量
由此可知，若作用于质点系的外力对某定点（或定轴）的
主矩（或力矩的代数和）恒等于零，则质点系对于该定点（
或定轴）的动量矩保持不变。这就是质点系动量矩守恒定理

Pr
1 1 P2 r2
g
2
2
Jg Pr
1 1 P2 r2
例题解析
例10-4 重为 P、半径为 R 的水平均质圆盘，绕通过其中心 C 的铅垂固定
轴 Cz 以角速度 0 转动，如图 10-7（a）所示。重为 G 的质点 M 开始
是相对圆盘静止，然后沿 AB 弦运动，当 M 运动到弦的中点 D 时，
G
1P 2
G 2
R2
Lz 0 J z0 R0 R
R 0 R 0 ( P 2G )
0
g
2g
g
2g
由图10-7（c）可知
LzD J z
G
1P 2
G
Gau
(a u )a
R (a u )a ( PR 2 2Ga 2 )

g
2g
解
（1）取重物M1，M2和塔轮组成的
质点系为研究对象。
（2）受力分析。质点系受力如图106所示。作用在质点系上的外力对O轴
的矩为
MO(e) Pr
1 1 P2 r2
图10-6
（3）运动分析，计算动量矩。设塔轮的转动角速度为
，则重物 M 的速度为 r1 ，重物 M 的速度为 r2 ，质点系

理论力学10章.ppt

(m1 m2 ) s ks m2e2 sin t
• 齐次解：

s
k
s 0，p2
k
m1 m2
m1 m2
s Asin pt
2020/1/29
理论力学第10章
16
• 令s=l-l1，它表示从静止平衡位置起算的位移。则得到振动方程：

m1 m2 ) s ks m2e2 sin t
t0
t0
• 质点的动量定理：质点的动量在某时段的增量等于作用在质点上的外力对时间的积分（冲量）。
• 质点的动量守恒定理：如果作用在质点的外力和为零，则质点的动量保持不变。
2020/1/29
理论力学第10章
4
• 质点系的动量定理
• 质点系的每个质点，除了受到系统外部的作用力（如重力）外，还受到相邻质点的作用力。
n
理论力学第10章 mivi mvc
1
i 1
• 动量的质心定理：
n mivi
i 1

n
mi
i 1
dri dt

d dt
n
mi ri
i 1
n
miri
rc

i 1
m
n
mivi mvc i 1
• 2.冲量：作用力与作用时间的乘积。
t
I 0 Fdt

J z M z (F) 0
J z const
2020/1/29
理论力学第10章
30
• 例10.5 复摆的质量为m，对摆轴O的转动惯量为J，质心C到转轴O距离为a，求微小摆动的周期T。
• 解：对摆应用动量矩定理

理论力学课后习题答案第10章动能定理及其应用 )

Cv ϕABC rv 1v 1v 1ωϕ(a)CCωCv ωO(a)第10章动能定理及其应用10－1 计算图示各系统的动能：1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。

在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，= 45º（图a ）。

2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。

3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。

细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为（图c ）。

解： 1．222222163)2(2121)2(212121BB BC C C mv r v mr v m J mv T =⋅+=+=ω ^2．222122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=⋅++=3．22222222)2(212121ωωωωmR R m mR mR T =++=10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。

现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。

当杆与铅垂线的夹角为ϕ时，试求系统的动能。

解：图（a ）B A T T T +=)2121(21222211ωC C J v g W v g W ++=@21221121212211122]cos 22)2[(22ωϕωω⋅⋅+⋅++++=l g W l l v l v l g W v g W]cos 31)[(2111221222121ϕωωv l W l W v W W g +++=10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。

齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。

曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。

理论力学第10章

450
C
B
Dபைடு நூலகம்
vCD
×
输入文件检查构件数量 = 3 构件号= 1 构件类型代码= 1 2 (主动构件,转动 ) 角速度分量(w),角加速度分量(e) .000 .000 -5.000 .000 .000 .000 约束类型数= 2 2 自由度约束个数 = 1 2 自由度约束坐标(x,y) .000 .000 .000 1.000 1.000 .000 联接点约束个数 = 1 联接点约束中2自由度约束个数= 1 联接点约束中2自由度约束坐标(x,y) .000 -1.000 .000 1.000 1.000 .000 构件号= 2 构件类型代码= 0 3 (被动构件,平面运动) 基点坐标,角速度矢量方向 .000 -1.000 .000 .000 .000 1.000 约束类型数= 1 联接点约束个数 = 2 联接点约束中1自由度直线约束个数= 1 联接点约束中1自由直线约束坐标(x,y) -1.000 -2.000 .000 -.710 .710 .000 联接点约束中2自由度约束个数= 1 联接点约束中2自由度约束坐标(x,y) .000 -1.000 .000 1.000 1.000 .000
第十章运动构件系统分析和计算机计算
沈阳建筑大学
侯祥林
第十章运动构件系统分析和计算机计算
§10-1 刚体一般运动概述
§10-2 构件系统运动分析
§10-3 构件系统运动计算机计算
例题
第十章运动构件系统分析和计算机计算
§10-1 刚体一般运动概述
1. 刚体的定点运动刚体运动时，若体内有一点在空间的位置保持不变则这种运动为刚体的定点运动 O xyz 为过定点O的定坐标系，固定在刚体上的动坐标系为O x´y´ z ´， ON是坐标O x´y´和O xy 的平面交线称为节线 ON和x轴的夹角ψ---进动角 z ´轴和z轴θ----章动角。

精品文档-理论力学(张功学)-第10章

第10章动量矩定理及其应用
第10章动量矩定理及其应用
10.1 动量矩的计算 10.2 动量矩定理 10.3 刚体对轴的转动惯量 10.4 刚体定轴转动微分方程 10.5 质点系相对于质心的动量矩定理及
刚体平面运动微分方程思考题习题
第10章动量矩定理及其应用
10.1 动量矩的计算
10.1.1 质点的动量矩
心Ｏ的水平轴Oz转动，如图10-4所示。鼓轮上缠绕一绳，绳的
一端挂一质量为m1的物体。在鼓轮上作用一矩为M的常力偶，以提升重物，求重物上升的加速度。鼓轮可视为均质圆柱体，转
动惯量为
J，z 绳12的m质r2量及各处摩擦忽略不计。
第10章动量矩定理及其应用
图 10-4
第10章动量矩定理及其应用
第10章动量矩定理及其应用
10.2 动量矩定理
10.2.1 质点的动量矩定理设质点M对固定点O的矢径为r，动量为mv，其上的作用力是
F(如图10-3所示)。质点M对O点的动量矩为 mO(mv)=r×mv
将此式对时间求一阶导数，有
d dt
mO
(mv)
dr dt
(mv)r d (mv) dt
(10-12)
J Z R2dm mR2
m
第10章动量矩定理及其应用
图 10-8
第10章动量矩定理及其应用
3. 均质薄圆盘对于中心轴的转动惯量图10-9所示的均质薄圆盘半径为R，质量为m。把圆盘分成许多同心的薄圆环，任一圆环的半径为r，宽度为dr，则薄圆环的质量为
dm=2πr drρ 其中，ρ是圆盘单位面积的质量。因此圆盘对于中心轴的转动惯量是
(10-6)可知，质点对该点的动量矩保持不变，即 mO(mv)=恒矢量

理论力学10章课件

由此看出,速度瞬心P的加速度并不等于零,即它不是加速度瞬心.当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时,其速度瞬心P的加速度指向轮心.
例3 曲柄滚轮机构,滚子半径R=15cm, n=60 rpm,OA=15cm 求:当θ =60时 (OA⊥AB),滚轮的ωB,αB.(滚轮纯滚动) P1 分析: 要想求出滚轮的ωB, αB 先要求出vB, aB 解: AB杆和轮B作平面运动 1)分析OA: ω = nπ / 30 = 2π rad/s
n
ω
θ
anBA aA aB
aτBA
a B = a BA n / cos 30 = 131 .5 cm/s 2 ( ← )
4)研究轮B:P2为其速度瞬心
aA 2
P
α B = aB / BP2 = 131.5 / 15 = 8.77 rad/s
ω B = v B / BP2 = 20 3π / 15 = 7.25 rad/s (
例1已知OO'=l,ω1=常数,动齿轮半径为r.求图示位置时A,B两点的加速度. 解:1)先分析OO'杆 B 2 A 分析杆知 v ' = lω1 ao ' = lω1 O'
o
2)分析动轮:用瞬心法求速度因为C为速度瞬心可求得动轮的角速度 O I
C
r Ⅱ
ω1
vo'
ω=
vo ' r
=
lω1 = 常量 r
vB = ω CB =
R2 + r 2 R vO = vO 1 + ( ) 2 r r
vD = ω CD = ( R + r )
vE = ω CE =
vO R = (1 + )vO r r

ch10理论力学课程

进行受力分析。小球所受的力 F 是未知的，可假设它沿 x、y 坐标轴的两个分量为 FX 和 FY。将小球的运动方程对时间 t 求二阶导数得
{x•• =−aω2 cosωt y•• =−bω2 sinωt
代入直角坐标形式的运动微分方程，有
⎧⎪ ⎨
Mx
=
−
Maω
2
cosω
t
=
FX
⎪⎩ My=−Mbω2 sinωt=FY
不同的质点，则质量 m 愈大，它的惯性也愈大。所以质点的质量是它的惯性的量度。
在古典力学里，一个物体的质量 m 被看作是常量，不因为物体的运动状态不同而改变。
但是根据相对论力学，物体的质量将随运动速度而变化，只有当物体的速度可与光的速度
相比时，变化才显著。在古典力学里，由于所考察的物体的机械运动速度都远小于光速，
a 是：
a
=
dv dt
=
d2 r dt2
其中 v 是质点的速度。于是方程可以改写为：
mdv = F
或
d2 m
r
=
F
dt
dt2
(10.2)
这就是矢量形式的质点运动微分方程。过原点 O 取直角坐标系 Oxyz ，将方程投影到各
坐标轴上，就得到了直角坐标形式的质点运动微分方程：
m
d2 x dt2
=
FX
，
m
根据静滑动摩擦力的性质，有
F ≤fN
解以上方程组，可得
f ≥ lε0 cosθ = 0.35 g + lεo sinθ
为保证木箱不滑动，所需最小净滑动摩擦系数为：
fmin = 0.35 【例 10.3】地球表面以初速度 v0 垂直向上发射一质量为 m 的物体，地球对物体的引力与

理论力学第十章

质心运动定理：质点系的总质量与质心加速度的乘积等于
作用于质点系外力的矢量和。内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
2.质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为:
ma Cx F
(e ) x
maCy Fy(e)
maCz F
(e ) z
在自然轴上的投影式为:
2 dvC vC (e) (e) m Ft m Fn dt
第十章动量定理
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量单位
z
mv
mi
rc
vi
pi mi vi
kg m / s n p mi vi 质点系的总动量
i 1
ri
x mi ri rc 质心， m mi m 动量：描述 drc dri m mi mi vi 质点或质点 dt dt 系运动状态总动量 p mvc 的参量。
l 2m1 m1 2 sin t yC l sin t 2m1 m2 2m1 m2
消去t 得轨迹方程
xc yc 2 [ ] [ ]2 1 2(m1 m2 )l /( 2m1 m2 ) m1l /( 2m1 m2 )
系统动量沿x, y轴的投影为:
px mvCx mxC 2(m1 m2 )l sin t
p p0 pa1b1 pab ( pbb pa b ) ( pa b paa ) 1 1 1 1 pbb1 paa1 qV dt (vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
即设
qV dt (vb va ) ( P Fa Fb F )dt qV (vb va ) P Fa Fb F F F F

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B
JOB = F'T2r －FT1r JO = m1r2/2
B
m1g
(3) 以圆柱D为研究对象,受力如图。由刚体平面运动微分方程有
m1aC = F'T1－FD JCD = FD r 式中 JC = m1r2/2
注意到运动学关系:
F'T1
D
aC
FDN C m1g
D
FD
aA = rB = aC rD = aC
z'
C y'
y
m=∑mi
LO = rC×mvC + LCr
dLO drC dvC dLCr mvC rC m dt dt dt dt
=0
=∑Fie
=∑ri×Fie =∑(rC+ r'i)×Fie
dLCr r'i Fi e MC (Fi e ) dt
即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力系对质心的主矩。上述结论称为质点系相对于质心的动量矩定理。
O C
系统动能
O R h
A
1 1 2 1 2 T J O mv J C 2 2 2 2 5 2 mv 8
由动能定理
B C R v
5 2 mv mgh 8 4 a g 5
v vB RC 2R v 2R
8 v gh 5
FT
取C, 由质心运动定理
dLCr M C ( Fi e ) dt
maC =∑Fi
(1) 式中LCr是质点系在质心平动坐标系中对质心的动量矩,对于非质心平动系无类似结果。 (2) 质点系相对于质心的动量矩定理表明,内力不能改变质点系相对于质心的动量矩。
(3) 当∑MC(Fie )≡ 0时,质点系对质心的动量矩守恒。
例3. 如图示,已知均质圆柱的半径为r,质量为m1, 重物的质量为m2,与水平桌面间的动摩擦系数为f, 试求圆柱质心C的加速度和绳的张力。
aB
B

运动学关系:
C
aC
r
a C = a B + r
解: (1) 以重物B为研究对象, 受力如图。
aB
FT 2
FN
m2g
B
m2 aB = FT 2－F F = m2 g f a C = a B + r
2. 质点系相对于质心的动量矩定理
因为
ri = rC + r'i
LO = ∑ri×mivi
LO = ∑(rC + r'i)×mivi
= rC×∑mivi +∑r'i×mivi
z mi ri rC O x x' r'i
LO = rC×mvC + LCr
即质点系对任一点O的动量矩等于集中于系统质心的动量对于点O的动量矩加上此系统对于质心的动量矩。
C
x'
x
maC =∑Fi dLC / dt =∑MC (Fi)
将前一式投影于x轴和y轴,后一式投影于Cz' 轴得此即刚体平面运动微分方程。
y mC Fx mC Fy J M z (F ) x
e
例1. 如图示,质量为m的圆轮的质心为C,对O的转动惯量为JO。若轮只滚不滑,已知r、 vO、OC=r/2,求它的动量和对接触点A的动量矩。
由以上方程即可解出
m2 (sin f cos ) aC g 2m1 m2 m1m2 (sin f cos ) FD g 2(2m1 m2 )
点评:
求解系统的动力学问题时,一种比较直观的办法就是将系统拆开成单个刚体, 分别列出相应的动力学微分方程 , 然后联立求解。但是由于内力的出现,导致未知量的数目增加,这种方法有时会比较繁琐。
例2. 如图示,质量为m的圆轮的质心为C,对O的转动惯量为JO。若轮既滚且滑,已知r、vO、 ω、 OC=r/2,求它的动量和对接触点A的动量矩。
ω
vO
•C •O
A
r
LO = rC×mvC + LCr
P=m(vO+rω/2)
•
LA =(JO+mr2/2)ω+3mrvO /2
LO = rC×mvC + LCr
C R mg
ma mg FT
1 FT mg 5
B
B
O
aC
C
aA
A
B
运动学关系:

aA = rB = aC rD = aC
m2g
FT2
FA FAN
解: (1) 以重物A为研究对象, 受力如图。
aA
A
m2aA= m2 g sin－FT2－FA FAN－m2 g cos = 0 FA= FAN f
FT1 O F'T2

(2) 以 B 为研究对象。由刚体定轴转动微分方程可得
LC = ∑r'i×(mivC + mivir)
= (∑mi r'i)×vC +∑r'i×mivir
z ri rC O x x'
LC = LCr
即质点系在绝对运动中对质心的动量矩与它在相对质心平动坐标系的相对运动中对质心的动量矩是相等的。
mi r'i
z'
C y'
y
LCr =∑r'i×mivir
(4) 任意刚体的一般运动可分解为随质心的平动和绕质心的转动,由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理共可得6个标量方程, 从而完全确定自由刚体的6个坐标。
3. 刚体平面运动微分方程
设平面图形S在Oxy平面内运动。取质心C为基点, 质心平动系为Cx'y'z',由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理可得 y S z' O z y'
习题: 10-14, 10-15, 10-19, 10-21,
解：设圆盘A、B的角加速度分别为O、C，
则
O R h A
J O O FT R J C C FT R
因所以
J O J C且FT FT
O C
B
C R
由于均从静止开始运动，所以
P333 11.31
LA=MA(mvC) +JC ω
圆轮既滚且滑,设基点为O,故
vO
• vO C •O
r
A
ω
vCO
vC= vO+ vCO
•
vCO = rω/2
vC = vO+(rω/2)
MA(mvC)=(3mrvO /2)+(3mr2ω/4)
又
JC= JO – mr2/4 LA =(JO+mr2/2)ω+3mrvO /2
LO =∑ri×mivi
质点系在定系中相对质心C的动量矩:
z ri rC O x
mi r'i
z' C y y'
LC =∑r'i×mivi
质点系在质心平动系中相对质心C的动量矩:
x'
LCr =∑r'i×mivir
vi = ve + vir = vC + vir
因为
vi = vC + vir
LC =∑r'i×mivi
理论力学
欢迎光临
dLO e M O ( Fi ) dt
dLx M x ( Fi e ) dt dLy e M y ( Fi ) dt dLz e M z ( Fi ) dt
12.4 质点系相对于质心的动量矩定理
1. 质点系相对于质心的动量矩
质点系相对固定点O的动量矩:
m1 m2 ( 2 f ) aC g m1 3m2
m1m2 (1 f ) FT 1 g m1 3m2
例4. 如图示, 半径为r, 质量为m1的B和D均可视为均质圆柱,且D沿水平面作纯滚动;重物的质量为m2, 与倾角为的斜面间的动摩擦系数为f, 试求圆柱D的质心C的加速度和水平面对它的摩擦力。 D D
解: 圆轮纯滚,瞬心为A,故有
vC •C vO •O ω r
A
vO / r
vC 3vO / 2
p 3mvO / 2
•
LO = rC×mvC + LCr
又 J O J C mr / 4
2
LA M A (mvC ) J C
J C J O mr2 / 4
LA ( J O 2mr 2 )vO / r
F

FT 1
(2) 以圆柱为研究对象。由刚体平面运动微分方程有
m1g
C
aC
r
m1aC = m1g－FT1 JC = FT1r 而 JC = m1r2/2 FT1=FT 2
aC = aB + r m2 aB = FT 2－F F = m2 g f m1aC = m1g－FT1 JC = FT1r JC = m1r2/2 FT1=FT 2

四川大学理论力学第10章第三课时

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