含参二次函数的最值问题(课堂PPT)

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含参二次函数的最值问题经典.ppt

二次函数含参问题
求最值
最新
1
第一类：：函数对称轴不固定，区间固定
例1：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间
[0,2]上的最小值？
y
分析：对称轴
x=a是个动直线，
有可能位于0的
左侧，有可能位
于0与2之间，有
可能位于2的右
O
x
侧
X=a
最新
2
解：由题知，函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
5a x
(2)当1 a 5时
f (x)min =f(1)=-4 f (x)max =f(-3)=12
(3)当a 5时
f (x)min=f(1)=-4 f 最新 (x)max =f(a)= a2-2a-3 9
小结：
本节课讨论了两类含参数的二次函数最值问题:
(1)轴动区间定 (2)轴定区间动核心思想仍然是判断对称轴与区间的相对位置，从中体会到数形结合思想、分类讨论思想。
已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值 2，求a？
最新
4
❖第2类:函数对称轴固定，动区间例2：
求函数f (x) x2 2x 5在区间t,t 2上的最大值
对称轴：x=1
(1)t+2≤1时，即：t ≤ -1时，函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
若0 a 2，则函数f(x)的最小值为f (a) a2 1
若 a 2 ，则函数f(x)的最小值为f(2)=3—4a.

含参二次函数的最值问题课件

工程、经济、物理等领域。
学生在学习过程中，对于含参二次函数的最值问题往往存在困惑，
需要有针对性的教学课件进行讲解和指导。
课程目标
掌握含参二次函数的最值问题的基本概念和求解方法。
理解参数对二次函数最值的影响，以及如何根据实际问题的需求进行参数的取值。
通过案例分析和实践练习，提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维和数学应用能力。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
二次函数的最值点在顶点处取得，当开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。
二次函数的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。
得到最值。
配方法
对于二次函数，可以通过配方将其转化为顶点式，从而容易找到最值。
判别式法
对于二次方程，可以通过判别式判断其根的情
况，从而得到最值。
换元法
通过引入新的变量进行换元，将原函数转化为更简单的形式，便于寻
找最值。
04
含参二次函数的最值问题解析
CHAPTER
参数对最值的影响
参数对开口方向的影响参数对对称轴的影响参数对最值点的影响
最值求解方法
01
02
配方法
判别式法
03 导数法
参数取值范围的确定
根据题目条件确定
根据图像特征确定
根据实际意义确定
05
实例解析
CHAPTER
简单实例解析

二次函数的最值问题课件

顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点，再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是二次函数在特定条件下的最大值或最小值。这些条件可能包括函数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定了抛物线的上下位置。

九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)

【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，

解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二根据函数的图像解决问题

二次函数的应用(最值问题)课件PPT

2021/3/10
P
6
例2变式： 4.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物线y=x2+bx+c同时经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一交点，若点P是直线BC下方抛物线上一点，四边形ABPC的面积是否存在最大面积？最大面积是多少？
2021/3/10
P
7
练习1.
2
例2：如图，直线y=x-3与x轴、 y轴分别交于B、C两点，抛物线 y=x2+bx+c同时经过 B 、 C两点，点A是抛物线与x轴的另一交点
（1）求抛物线解析式（ 2 ）若点 p 在直线 BC 上，且
S△ABP=4，求P点坐标
2021/3/10
3
例2变式： 1.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物线y=x2+bx+c同时经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一交点，若点p在抛物线上，且S△ABP=4求P点坐标。
如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作 PD⊥x轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）△PAB的面积是否存在最大面积？最大面积是多少？
2021/3/10
4
例2变式： 2.如图，直线y=x-3与x轴、y 轴分别交于B、C两点，抛物线y=x2+bx+c同时经过B、C两点，点A是抛物线与x轴的另一交点，若点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴，交直线BC于点F，求PF的最大值.

二次函数含参问题课件

拾级而上
变式2 已知二次函数y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且a < 0) 的图像经过P （x1，y1）、Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1，当x2≥3时，y1≥y2，要求出实数n的取值范围．
拓展提升
已知函数 y = x2 - 2kx+k 2 - 1 k -（1 k为常数且k > 2）
二次函数含参问题
——函数值大小比较及最值问题
基础热身
例1 已知二次函数 y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且 a ≠0) 中，二次项、一次项、常数项中含有参量a，像这样的二次函数叫作含参二次函数．
（1）由这个二次函数的关系式，你能得到哪些结论？（2）若该二次函数的图像经过点P（-1，y1 ）、Q（2， y2 ），你能比较y1 和 y2 的大小关系吗？
2
（1）当2≤x≤3时，该抛物线对应的函数有最小值-2，求k的值；（2）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当3≤x≤4时，新抛物线对应的函数有最小值-2，求k的值．
回顾反思
问题1：在本课3个题组求解过程中，你觉得它们之间有怎样的联系？问题2：你在解决含参二次函数问题时，有哪些经验值得积累，先在小组内交流，再汇总后由组长在全班汇报你们小组最小值，越靠近对称轴越小
开口向下，有最大值，越靠近对称轴越大代入法：作差，解不等式函数值大小比较题型定轴动区间：移动点的位置，比较点到对称轴距离的大小动轴定区间：移动对称轴，对称轴在区间内，则对称轴处取到最值
对称轴不在区间内，则根据函数的增减性确定最值
拾级而上
例2 已知二次函数 y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且a <0) 的图像经过点P（n，y1）、Q（n+1，y2）

二次函数区间最值问题学习教育PPT课件

2
上的最大值为4，求a的值。
5.求函数y＝－x（x－a）在x － 1，a 上的最大值。
6.关于x的方程x －（k－2）x＋k ＋3k＋5＝0 有两个实根，，求 2＋ 2的最值。
2
பைடு நூலகம்
2
7.若对任意的k －1,1，函数f(x)＝x ＋（k－4）x－2k＋4 的最小值恒为正，求x的范围。
二次函数区间最值问题
8 1.函数y= 2 的最大值为____最小值为___ x 4x 5
2
2.函数y＝－x ＋x＋2的最小值为_______最大值为_____
1 2 3 3.函数f(x)＝ x －x＋的定义域和值域 2 2 都是 1,b（ b>1)，求b的值。
4.已知：函数f（x）＝x ＋2ax＋ 1在区间－ 1,2
圆的面积之和最小，求此时正方形的周长。
2
8.设对一切实数x, y＝x －4ax＋2a＋6的值均为非负数，求函数f(a)＝2－a a＋3 的最值。
2
9.设f(x)＝x －4x－4，x t，t＋ 1（ t R)，
2
求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。
10.将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形和

含参数的二次函数最值问题PPT课件

当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3 f(x) min=f(k)=k2-2k-3 13
评注：探究1属于“轴定区间动”的问题，
看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。
14
（1）讨论对称轴x= b 与区间 [ a，b]的相对位置；
7
y = x 2∙x 3
8
6
4
2 x=1
k+2
k 15
5
2
4
6
8
10
y = x2 2∙x 3 y = x2 2∙x 3
8
6
4
x=1
2
10 5
k
15
2
k+2
5
10
10
4
6
8
10
8
6
4
x=1
2
k
5
2
k+2
15 5
4
6
8
10
10
8
6
4
2 x=1
10 5
k 1105
k+2
2
4
6
8
8
10
2019/10/30
注意数形结合和分类讨论
16
17
2019/10/30
18
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
6
当k ≤-1时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3

高一数学二次函数求最值PPT课件

例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1 x
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最值：
y
O -1 1 x
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最值：
y
O -1 1 x
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
的对称轴为x=－1，
∴f(x)在[0，2]上单
调递增，
∴f(x)的最小值为
f(0)=a，即a=4
变1:若最大值为
8,求a的值
-3 -1 O 2 x
变2:已知函数f(x)=x2+2x+a(0≤x≤2)
的最小值是4，求a的值。
y
解:∵f(x)=x2+2x+a 的对称轴为x=－1，
∴f(x)在[0，2]上单调递增，
2009年9月15日
给定二次函数：y=2x2-8x+1，我们怎
么求它的最值。
解:y=2（x-2）2-7，由图象知,
y
当x=2时，y有最小值， ymin=f（2）=-7，
O
2
x
没有最大值。
-7
小结、二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）中，
当自变量x=
b 2a
时， y取得最小值
例1.当x∈[2，4]时，求函数y=f（x）
=2x2-8x+1的最值。
y
分析：此题和上题有何不同
因 y=2(x － 2)2 － 7，是否当x=2时，y 取得最小值？为什么？
OLeabharlann 2 4x-7变 1 ： x∈[-1 ， 4] 时，

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4
❖第2类:函数对称轴固定，动区间例2：
求f函 (x ) x 数 2 2 x 5 在t区 ,t 2 上间的
对称轴：x=1
(1)t+2≤1时，即：t ≤ -1时，函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递增当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
5
(2)t<1<t+2,即-1<t<1时当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
10
y x
(3)
7
例3：求二次函数>-3)上的最值
y
a -3 o 1
(1)当3a1时
f ( x)min =f(a)=a2-2a-3 x f (x)max =f(-3)=12
8
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
y
y
-3 o 1 a 5 x -3 o 1
5a x
(2)当 1a5时
f ( x)min =f(1)=-4 f (x)max =f(-3)=12
(3)当a5时
f ( x)min =f(1)=-4 f (x)max =f(a)= a2-2a-3 9
小结：
本节课讨论了两类含参数的二次函数最值问题:
(1)轴动区间定 (2)轴定区间动核心思想仍然是判断对称轴与区间的相对位置，从中体会到数形结合思想、分类讨论思想。
二次函数含参问题
求最值
1
第一类：：函数对称轴不固定，区间固定
例1：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间
[0,2]上的最小值？
y
分析：对称轴 x=a是个动直线，有可能位于0的
左侧，有可能位于0与2之间，有可能位于2的右侧
O
x
X=a 2
解：由题知，函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
（3）t≥1时,函数f(x)在区间 [t,t+2]上单调递减，
当x=t时，y有最大值， y max = f(t)= -t2+2t+5
y
x (2)
y
x
(1)
6
综上所述:
（1） t ≤ -1时， y max = -t2-2t+5 （2） -1<t<1时， y max = 6 （3） t ≥1时， y max = -t2+2t+5
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
若0a2，则函数f(x)的最小值为f (a)a2 1
若 a 2 ，则函数f(x)的最小值为f(2)=3—4a.
所以，
1,(a 0) f (x)min a2 1,(0 a 2)
34a,(a 2)
3
变式作业上第9题已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值 2，求a？