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.. “构造函数”之专题训练一、选择题1.定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对x∈（0，+∞）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A.＜＜B.＜＜C.＜＜D.＜＜2.已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A. B.＜C.＞D.f（0）＞e2f（4）3.若函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，′的最大值为（）A. B.2 C.2 D.44.己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（2，3），则（）A.f（log2a）＜f（2a）＜f（2）B.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）C.f（2a）＜f（log2a）＜f（2）D.f（2）＜f（log2a）＜f（2a）5.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有′＜0恒成立，则＞的解集为（）A.（-2，0）∪（2，+∞）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（0，2）6.已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，且f（-1）=0，则使得f（x）＜0成立的x的取值范围是（）A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（0，1）C.（0，1）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（-1，0）7.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f′（x），且满足f（1）=0，当x＞0时，xf′（x）＜2f（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）8.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=，b=-3f（-3），c=，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b9.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x 的解集为（）A.，B.（10，+∞）C.，D.，，∞10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＜e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式e x f（x）＞e x+1+2的解集为（）A.（-∞，0）B.（-∞，e+2）C.（-∞，0）∪（e+2，+∞）D.（0，+∞）11.设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有xf′（x）＜f（x）成立，则（）A.3f（2）＞2f（3）B.3f（2）=2f（3）C.3f（2）＜2f（3）D.3f（2）与2f（3）的大小不确定．12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f′（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）＞f′（x），其中e为自然对数的底数，则（）A.ef（2015）＞f（2016）B.ef（2015）＜f（2016）C.ef（2015）=f（2016）D.ef（2015）与f（2016）大小关系不确定13.设函数f′（x）的偶函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，f（2）=0且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A.（-∞，-2）∪（0，2）B.（-2，0）∪（0，2）C.（-2，0）∪（2，+∞）D.（-∞，-2）∪（2，+∞）14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f′（x）≥0，则必有（）A.f（0）+f（2）＜2f（1）B.f（0）+f（2）≤2f （1）C.f（0）+f（2）≥2f（1）D.f（0）+f（2）＞2f （1）15.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A.（-1，+∞）B.（-1，0）C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞）16.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（1，0），f′（x）为函数f（x）的导函数，e 为自然对数的底数，若x＞0，xf′（x）＞1下恒成立，则不等式f（x）≤lnx的解集为（）A.（0，]B.（0，1]C.（0，e]D.（1，e]17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-x）的解集是（）A.（，+∞）B.（-∞，）C.（-∞，0）∪（0，）D.（0，）18.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=f（1），c=-2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.a＞c＞b19.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A.8＜＜16B.4＜＜8C.3＜＜4D.2＜＜320.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（）A.f（1）＞ef（0）B.f（1）＜ef（0）C.f（1）＞f（0）D.f（1）＜f（0）21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x＞0时，有xf′（x）＞f（x），则不等式f（x）＞x的解集是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）C.（-1，0）∪（1，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C高中数学试卷第2页，共10页.. “构造函数”之专题训练答案和解析【答案】1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D 10.A 11.A 12.A 13.B 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.A 21.C【解析】1. 解：令g（x）=，x∈（0，+∞），g′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜′，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴＜，∴＜．令h（x）=，x∈（0，+∞），h′（x）=′，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）=′＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴＞，∴＜．综上可得：＜＜，故选：B．分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2. 解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=，∴f（1）=，f（0）=e0=1，∴f（1）＞，故选：A．根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题．3. 解：由题意，（）′=2x，∴=x2+b，∴f（x）=（x2+b）e x，∵f（0）=1，∴b=1，∴f（x）=（x2+1）e x，f′（x）=（x+1）2e x，∴当x＞0时，′=1+≤2，当且仅当x=1时取等号，∴当x＞0时，′的最大值为2．故选：B．利用函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xe x，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键．4. 解：∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），∴函数f（x）关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得（x-2）f′（x）＜0，则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．若a∈（2，3），则4＜2a＜8，1＜log2a＜2，∴2＜4-log2a＜3，∴2＜4-log2a＜2a，即f（2）＞f（4-log2a）＞f（2a），即f（2a）＜f（log2a）＜f（2），故选：C根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．5. 解：设g（x）=，f（x）是R上的奇函数，∴g（x）为偶函数；x＞0时，′′＜；∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（2）=0；∴由g（x）＞0得，g（x）＞g（2）；∴g（|x|）＞g（2）；∴|x|＜2，且x≠0；∴-2＜x＜0，或0＜x＜2；∴＞的解集为（-2，0）∪（0，2）．故选：B．可设g（x）=，根据条件可以判断g（x）为偶函数，并可得到x＞0时，g′（x）高中数学试卷第4页，共10页.＜0，从而得出g（x）在（0，+∞）上单调递减，并且g（2）=0，从而由g（x）＞g （2）便可得到|x|＜2，且x≠0，这样即可得出原不等式的解集．考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数g（x）＞g（2）等价于g（|x|）＞g（2）．6. 解：设g（x）=，则g′（x）=′，∵当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，∴当x＞0时，g′（x）＜0，此时函数g（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）=是偶函数，即当x＜0时，g（x）为增函数．∵f（-1）=0，∴g（-1）=g（1）=0，当x＞0时，f（x）＜0等价为g（x）=＜0，即g（x）＜g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）＜0等价为g（x）=＞0，即g（x）＞g（-1），此时-1＜x＜0，综上不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故选：A根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键．7. 解：根据题意，设函数，当x＞0时，′′＜，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（x）为偶函数，所以g（x）为偶函数，又f（1）=0，所以g（1）=0，故g（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零，即f（x）在（-1，0）∪（0，1）的函数值大于零．故选：D．构造函数设函数，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）＞0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．8. 解：定义域为R的奇函数y=f（x），设F（x）=xf（x），∴F（x）为R上的偶函数，∴F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．.F（）=a=f（）=F（ln），F（-3）=b=-3f（-3）=F（3），F（ln）=c=（ln）f （ln）=F（ln3），∵ln＜ln3＜3，∴F（ln）＜F（ln3）＜F（3）．即a＜c＜b，故选：B．根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0；当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．9. 解：设g（x）=f（x）-x，则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，则不等式g（x）＜0等价为g（x）＜g（1），则不等式的解为x＞1，即f（x）＜x的解为x＞1，∵f（1g2x）＜1g2x，∴由1g2x＞1得1gx＞1或lgx＜-1，解得x＞10或0＜x＜，故不等式的解集为，，∞，故选：D构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＜x的解为x＞1，即可得到结论．本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．10. 解：设g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x+1=e x[f（x）+f′（x）-e]，∵f（x）+f′（x）＜e，∴f（x）+f′（x）-e＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵f（0）=e+2，∴g（0）=e0f（0）-e-2=e+2-e-2＞0，∴g（x）＞g（0），∴x＜0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x+1-2（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质高中数学试卷第6页，共10页.和函数值，即可求解．本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．11. 解：设函数y=，则y′=′，∵xf′（x）＜f（x），∴y′＜0，可得y=对任意x∈R，函数y是减函数，∴＜，可得3f（2）＞2f（3）．故选：A．构造函数，利用函数的单调性判断即可．本题考查函数的单调性的判断与应用，构造函数，求解导函数判断单调性是解题的关键．12. 解：令g（x）=，由题意，则g′（x）=′＜0，从而g（x）在R上单调递减，∴g（2016）＜g（2015）．即＜，∴e2015f（2016）＜e2016f（2015），即ef（2015）＜f（2016），故选：A．造函数g（x）=，通过求导判断其单调性，从而确定选项．本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型．13. 解：令g（x）=，∴g′（x）=′，∵x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，∴x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（2）=0，∴g（2）==0，当0＜x＜2，g（x）＜g（2）=0，即f（x）＜0，当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）＞0，∵f（x）是偶函数，∴当-2＜x＜0，f（x）＜0，故不等式f（x）＜0的解集是（-2，0）∪（0，2），故选：B．构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）.为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）＜0的解集．本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．14. 解：∵（x-1）f′（x）≥0，∴当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；故f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；故f（0）+f（2）≥2f（1），故选C．由题意，当x≥1时，f′（x）≥0，当x＜1时，f′（x）≤0；从而可得f（x）在（-∞，1）上不增，在[1，+∞）上不减，故f（0）≥f（1），f（2）≥f（1）；从而可得．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．15. 解：令g（x）=f（x）-x3-2016，g′（x）=f′（x）-3x2，∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，∴g（x）=f（x）-x3-2016在R上是减函数，且g（-1）=f（-1）+1-2016=2015+1-2016=0，故不等式f（x）＜x3+2016的解集为（-1，+∞），故选：A．令g（x）=f（x）-x3-2016，求导g′（x）=f′（x）-3x2，从而确定不等式的解集．本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．16. 解：构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），则g′（x）=f′（x）-=′＞0，∴g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）≤lnx，∴g（x）≤0=g（1），∴0＜x≤1，故选：B．构造函数g（x）=f（x）-lnx（x＞0），确定g（x）=f（x）-lnx在（0，+∞）上单调递增，f（x）≤lnx，化为g（x）≤0=g（1），即可得出结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．17. 解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，∴f（-x）=f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）在（-∞，0）递减；由不等式g（x）＜g（1-x），∴＞＞＜或＜＜＞，高中数学试卷第8页，共10页.解得：0＜x＜，或x＜0∴不等式g（x）＜g（1-x）的解集为：{x|0＜x＜或x＜0}．故选：C．f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 解：当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∴[xf（x）]′＜0，∴令F（x）=xf（x），由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（log2）=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g（），b=f（1）=g（1），由1＜＜2，可得b＜a＜c．故选：A．由f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由导数的积的运算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=f（）=g （），b=f（1）=g（1），即可得到所求大小关系．本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．19. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）-3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）=，h′（x）=′=′，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）-2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），.h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，h（x）=，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．20. 解：令g（x）=，则g′（x）=′=′，∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（1）＞g（0），即＞，∴f（1）＞ef（0），故选：A．令g（x）=，利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案．该题考查利用导数研究函数的单调性，由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在．21. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，令g（x）=，∴g（x）为偶函数，又当x＞0时，xf′（x）＞f（x），∴g′（x）=′＞0；∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数；又f（-1）=-1，∴f（1）=1，g（1）=1；当x＞0时，∵不等式f（x）＞x，∴＞1，即g（x）＞g（1），∴有x＞1；当x＜0时，∵不等式f（x）＞x，∴＜1，即g（x）＜g（-1），∴有-1＜x＜0；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＞x不成立；综上，不等式f（x）＞x的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．构造函数g（x）=，根据题意得出g（x）为偶函数，且x＞0时，g′（x）＞0，g（x）是增函数；讨论x＞0、x＜0和x=0时，不等式f（x）＞x的解集情况，求出解集即可．本题考查了函数奇偶性的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了构造函数的应用问题以及分类讨论的应用问题，是综合性题目．高中数学试卷第10页，共10页。
专题26构造函数法解决导数问题一、多选题1．函数()ln 1xx kf x e x+=--在()0,∞+上有唯一零点0x ，则（）A ．001x x e=B ．0112x <<C ．1k =D ．1k >2．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是（）A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数B ．1x =-是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e ef e e f >3．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =--(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D ．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（）A ．(2)(1)2f f >B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+D ．(2)1(1)42f f +<5．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，导函数为()'f x ，()()'ln xf x f x x x -=，且11f e e⎛⎫=⎪⎝⎭，则（）A ．1'0f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 在1=x e处取得极大值C ．()011f <<D ．()f x 在()0,∞+单调递增6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.7．已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则()A ．64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、单选题8．已知数列{}n a 满足11a =，()1ln 1n n a a +=+.若11n n a a λ++≥恒成立，则实数λ的最大值是（）(选项中e 为自然对数的底数，大约为2.71828)A ．21e -B ．2e 1-C D ．e9．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞10．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞11．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（）A ．()(),11,-∞-+∞UB ．()()1,00,1-UC ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃12．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A ()()34f ππ-<B ．()(34f ππ-<-C ．(0)(4f π>-D ．()(63f ππ<13．已知奇函数() f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0xf x f x '+>，若()()11,,1a f b ef e c f ee ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a cb <<D ．c a b<<14．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞ ，，15．若曲线21:C y x =与曲线2:(0)xe C y a a=>存在公切线，则实数a 的取值范围（）A ．(0,1)B ．21,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,24e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．丹麦数学家琴生(Jensen )是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”.已知()2ln xf x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,e -+∞C ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(),e +∞17．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12xf x e +≥的解集为（）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-18．函数()y f x =，x ∈R ，()12021f =，对任意的x ∈R ，都有()2'30f x x ->成立，则不等式()32020f x x <+的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．(),1-∞19．已知函数()(1)f x lnx a x =-+，若不等式2()1f x ax b ≤+-对于任意的非负实数a 都成立，求实数b 的取值范围为（）A ．(-∞，0]B ．(-∞，1]C ．[0，)+∞D ．[1，)+∞20．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（）A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)21．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭22．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]23．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（）A ．()()10f ef >，()()202020200f ef <B ．()()10f ef >，()()211f e f >-C ．()()10f ef <，()()211f e f <-D ．()()10f ef >，()()202020200f e f >24．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，e 为自然对数的底数，对x R ∀∈均有()()()'f x xf x xf x +>成立，且()22=f e ，则不等式()2xxf x e >的解集是（）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．(),2-∞D ．()2,+¥25．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<-C ．{}2018x x >-D ．{}20200x x -<<26．已知函数f (x )的定义域为R ，f (-1)=3，对任意x ∈R ，f ′(x )>3，则f (x )>3x +6的解集为（）A ．(-1，+∞)B ．(-1，1)C ．(-∞，-1)D ．(-∞，+∞)27．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ4（）B ．ππππ44（，，）-⋃C ．ππ0044-⋃（）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）28．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（）A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-29．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（）A ．()()2,01,2-UB ．()()2,00,1-⋃C ．()()1,2,2⋃-∞-D ．()()2,02,-+∞ 30．已知a 、b R ∈，函数()()3210f x ax bx x a =+++<恰有两个零点，则+a b 的取值范围（）A ．(),0-∞B ．(),1-∞-C ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭31．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（）A ．(3)2(2)2ef f e +<+B ．(3)2(2)2ef f e +>+C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+32．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞33．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞ 三、解答题34．已知函数()()ln af x x a R x=-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e +>.35．已知函数()()()ln 1,f x a x bx a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为212ln 20x y ++-=.（1）求实数a ，b 的值﹔（2）若函数()2()()12t g x f x x t =+≥，试讨论函数()g x 的零点个数.36．已知实数0a >，函数()22ln f x a x x x=++，()0,10x ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ､()()22,Q x f x (12x x <)处的切线分别为1l ､2l ，且1l ､2l 在y 轴上的截距分别为1b ､2b .若12//l l ，求12b b -的取值范围.37．设函数()2ln af x x x=+，()323g x x x =--.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）如果对于任意的12123x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围.38．已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.39．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1a g x x x -=++，且对任意1x ，2(0,1]x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--.（1）若命题p ⌝为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.40．已知函数()212ln 2f x x ax x =-+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，求()()212f x f x -的取值范围.41．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈= .（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+.42．已知函数1()ln f x a x x x=-+，其中0a >.（1）若()f x 在(2,)+∞上存在极值点，求a 的取值范围；（2）设()10,1x ∈，2(1,)x ∈+∞，若()()21f x f x -存在最大值，记为()M a ，则当1a e e≤+时，()M a 是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由43．已知函数()ln 2f x x kx =++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax =-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g xf x >.44．已知函数()e xf x x =.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()0,x ∀∈+∞，()32f x x ax x >-++恒成立，求实数a 的取值范围.45．已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9xx f x f x e e+-=+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解.。
构造函数比较大小原题呈现【原题】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，,则 A. a b c << B. c b a << C. c a b <<D.a cb << A. 1 B.32C.52D. 3【答案】C【解析】解法一：设()ln(1)(10)f x x x x =+--<≤,因为1()1011x f x x x'=-=->++, 所以()f x 在(1,0)-上单调递增, 1()(0)010f f -<=,即91ln+01010<,故1109e 10-<,所以11011e 109<,故a b <,设1()e ln(1)(0)4xg x x x x =+-<<,则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-,2()e (21)0x h x x x '=+-<,当104x <<时2()e (1)+1x h x x =-单调递减,又(0)0h =,所以当104x <<时,()0h x <,()0g x '>,()g x 单调递增,所以(0.1)(0)0g g >=,即0.10.1e ln 0.9>-,所以a c >,故选C.解法二：易得0x ≠时e 1x x >+,所以1x <且0x ≠ 时e 10x x ->->,即1e 1xx<-,所以0.11101+0.1<e 10.19<<-,所以0.11a b <<,设()()11ln 12f x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭,则()211112f x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭()22102x x-=-<,所以()()10f x f <=,即()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭,取109x =,得10110919ln 0.1192910180c a ⎛⎫=<-=<< ⎪⎝⎭,故选C. 【就题论题】通过构造复杂函数比较式子的大小,是近两三年高考的热点,求解此类问题关键是观察所给式子的结构,通过结构的特点构造相应的函数,构造没有固定模式,且所构造函数大多需要借助导数研究其单调性，故成为高考的难点.在解题中常见的导数不等式有：(1)e 1x x ≥+；(2)1e x x -≥；(3)()ln 1x x +≤； (4)ln 1x x ≤-；(5)1ln 1x x≥-，(6)()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭.三年新高考同类题展示（2021新高考全国2卷） 已知5log 2a =,8log 3b =,12c =,则下列判断正确的是（ ） A. c b a << B. b a c << C. a c b << D. a b c << 练习题：2.71828为自然对数的底数，则（b c，则下列不等关系一定不成立的是（1x < 的实数，若1e a a ++A ．1ea b +< B ．1ea b +> C ．e ab < D ．e ab >。
高考数学培优---逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于()f x 、()f x '，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.2. 常见的构造函数:①对于()()0(0)xf x f x '+><，构造()()h x xf x '=；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '+><，构造()()n h x x f x =．②对于()()0(0)xf x f x '-><，构造()()xx f x h =；一般的，对于()()0(0)xf x nf x '-><，构造()()n f x h x x=． ③对于()()0(0)f x f x '-><，构造()()x e x f x h =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '-><，构造()()nx f x h x e =． ④对于()()0(0)f x f x '+><，构造()()x f e x h x =；一般的，对于()()0(0)f x nf x '+><，构造()()nx h x e f x =．⑤对于()()tan (()()tan )f x f x x f x f x x ''><或，即()cos ()sin 0(0)f x x f x x '-><，构造()()cos h x f x x =．⑥对于()cos ()sin 0(0)f x x f x x '+><，构造()()cos f x h x x=． ⑦对于()0()f x f x '>，构造()ln ()h x f x =. ⑧对于()ln ()0(0)f x af x '+><，构造()()x h x a f x =. ⑨对于()()ln 0(0)f x f x x x'+><，构造()()ln h x f x x =.【典型题示例】例 1 已知偶函数()f x (x ≠0)的导函数为()f x '，(e)e f =，当x ＞0时，()2()0xf x f x '->，则使21(1)(1)ef x x ->-成立的x 的取值范围是 ．（其中e 为自然对数的底数）【答案】()(),11,e e -∞-⋃++∞【分析】利用()2()0xf x f x '->构造函数2()()f x F x x =，再使用函数的单调性、奇偶性即可. 【解析】设2()()f x F x x =，则243()2()()2()()f x x xf x f x x f x F x x x ''--'== ∵x ＞0时，()2()0xf x f x '-> ∴当x ＞0时，()0F x '>，故()F x 在（0，+∞）单增又(e)e f =，所以1()F e e= ∵()f x 是偶函数 ∴()F x 也是偶函数，且()F x 在（－∞，0）单减21(1)(1)e f x x ->-等价于2(1)1(1)ef x x ->-，即(1)()F x F e -> 由()F x 是偶函数且()F x 在（0，+∞）单增，得1x e ->，解之得11x e x e >+<-或.例 2 已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且3()2()x xf x x e f x '=+，若f （2）244e =+，则函数()()4g x f x =-的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由3()2()x xf x x e f x '=+的结构特征，逆向使用导数的四则运算法则构造函数，求出()f x 的解析式.【解析】由3()2()x xf x x e f x '=+，可得24()2()x x f x xf x x e '-=， 则24()2()x x f x xf x e x'-=，即2()()x f x e x '=， 设2()x f x e C x=+，2()()x f x x e C =+，又f （2）244e =+，所以22444()e e C +=+， 所以1C =，所以2()(1)x f x x e =+，所以2()()4(1)4x g x f x x e =-=+-，2()2(1)(22)x x x x g x x e x e x xe e '=++=++，令()22x x h x xe e =++，()2(3)x x x x h x e xe e x e '=++=+，令()0h x '=，得3x =-，当(,3)x ∈-∞-时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(3,)x ∈-+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()h x 的最小值为3(3)20h e --=-+>，则对于()(22)x x g x x xe e '=++，令()0g x '<，可得0x <，令()0g x '>，可得0x >，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()g x 的最小值为(0)40g =-<，当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以函数()g x 的零点个数为2．点评：作为选择题，求出2()(1)x f x x e =+后，欲判断零点个数，直接分离函数241x e x +=转化为1x y e =+与24y x =交点的个数。
专题训练（构造函数）一．课前复习：1。
=•,)]()([x g x f 2. =,])()([x g x f 3. =,)]([x xf 4. =,])([x x f5。
=,)]([x f e x 6. =,])([x ex f7. =,2])([x ex f 8。
=,2)]([x f x二．课前练习:1. 函数)(x f 的定义域为R , 且2)1(=-f ，对任意2)(,,>∈x f R x ， 则42)(+>x x f 的解集为 （ )A 。
(-1，1） B.),1(+∞- C 。
)1,(--∞ D. ),(+∞-∞2函数)(x f 的定义域为R ，满足1)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数21)(,>x f ,则不等式2ln 1)(ln x x f +<的解集＿＿＿＿＿＿＿＿ 3。
若定义在上的函数满足,其导函数满足，则下列结论中一定错误的是 ( )A.B 。
C 。
D.三．基本题型题型Ⅰ：1.设)(x f 、g （x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,)(x g 恒不为0，当0<x 时,0)()()()(,,>+x g x f x g x f ，且0)3(=f ,则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ） A 。
),3()0,3(+∞- B 。
)3,0()0,3( - C 。
),3()3,(+∞--∞ D. )3,0()3,( --∞2．设)(x f 、g(x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，)(x g 恒不为0，当0<x 时,0)()()()(,,>-x g x f x g x f ，且0)3(=f ,则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ) A 。
),3()0,3(+∞- B.)3,0()0,3( - C.),3()3,(+∞--∞ D 。
)3,0()3,( --∞3．定义在R 上的奇函数)(x f ,当)0,(-∞∈x 时,0)()(,<+x xf x f 恒成立，若)2(2),3(log )3(log ),3(3--=⋅==f c f b f a ππ,，则a ，b,c 的大小关系为＿＿＿＿＿4．是定义在上的非负可导函数，且满足,对任意正数，，若，则必有 ( ） A ． B ． C ． D ．5． 设函数是奇函数（）的导函数，,当时，，则使得成立的的取值范围是 ( ）A 。
第20讲导数中的构造函数近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．【方法综述】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．方法总结：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ；22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=；()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；…………………()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =．()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e x f x F x =，………………()()f x nf x '-，构造()()e nxf x F x =，奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。
（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。
给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。
【解答策略】类型一、巧设“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是（）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y<<D ．1y x<<【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题【答案】B【解析】由已知()2244log log x y y x -=-，因为2log 4x ＝log 2x ，所以原式可变形222log 4g 2lo x x y y =++令()222log f x x x =+，()24log g x x x =+，函数()f x 与()g x 均为()0,∞+上的增函数，且()()f x g y =，且()()11f g =，当1x >时，由()1f x >，则()1g y >，可得1y >，当1x <时，由()1f x <，则()1g y <，可得1y <，要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x-=-=+--=-+设()()222log 0h x x x x x =-+>，则()212ln 2h x x x '=-+()2220ln 2h x x ''=--<，故()h x '在()0+∞，上单调递减，又()2110ln 2h '=-+>，()1230ln 2h '=-+<，则存在()01,2x ∈使得()0h x '=，所以当()00,x x ∈时，()0h x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，又因为()()()()010,10,412480h h x h h =>==-+=-<，所以当1x <时，()0h x <，当1x >时，()h x 正负不确定，故当1,1x y <<时，()0h x <，所以()()()1g x g y g <<，故1x y <<，当1,1x y >>时，()h x 正负不定，所以()g x 与()g y 的正负不定，所以,,111x y x y y x ><<>>>均有可能，即选项A ，C ，D 均有可能，选项B 不可能．故选：B ．【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222log g x g y g x f x x x x -=-=-+，设()()222log 0h x x x x x =-+>，求导得出其单调性，从而得出,x y 的大小可能性．【举一反三】1．若实数a ，b 满足()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，则a b +=（）A ．22B C ．322D ．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题【答案】C【解析】 ()ln 1g x x x =--，1()1g x x'=-，()0g x '>(1,)x ⇒∈+∞，()0g x '<⇒(0,1)x ∈，∴()g x 在(0,1)x ∈单调递减，在(1,)x ∈+∞单调递增，∴()(1)1ln110g x g =--=，∴1ln 0x x x -≥>，恒成立，1x =时取等号，2211a b +-121a b =-，221ln ln(2)ln a a a b b b-=-， ()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，∴2211ln(2)ln a a b b +-=-，又21ab =（不等式取等条件），解得：2,2a b ==，322a b ∴+=，故选：C.2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --331[(1)]3m m ≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,22-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．1(,]2-∞-D ．1[,)2+∞【答案】D【解析】由()()1f m f m --()33113m m ⎡⎤≥--⎣⎦得：3311(1)(1)()33f m m f m m ---≥-，构造函数31()()3g x f x x =-，2()()0g x f x x '=-<'故g （x ）在()0,+∞单调递减，由函数()f x 为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R 上单调递减，故112m m m -≤⇒≥选D点睛：本题解题关键为函数的构造，由()2'f x x <要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；3．（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()1F x f x x=+，利用已知条件求得()'0F x >，即函数()F x 为增函数，而()23F =，由此求得e 2x <，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1e e 3e x x x F f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件()21x f x '>的应用.通过观察分析所求不等式，转化为()1e 3e x x f +<，可发现对于()()1F x f x x=+，它的导数恰好可以应用上已知条件()21x f x '>.从而可以得到解题的思路.4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为()A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【解析】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又 3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，故选D5．定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．【答案】()112，【解析】()()ln F x f x x =-，则()11()()xf x F x f x x x-=-='''，而()10xf x '-<，且0x >，∴()0F x '<，即()F x 在()0+，∞上单调递减，不等式()()21ln 211f x x ->-+可化为()()21ln 2111ln1f x x --->=-，即()()211F x F ->，故210211x x ->-<⎧⎨⎩，解得：112x <<，故解集为：()112，．类型二巧设“()()f x g x ”型可导函数【例】已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是()f x ¢，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（）A ．(1,1)-B ．(),1-∞-C ．()1,+¥D ．()(),11,-∞-⋃+∞【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）【答案】A【解析】当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，即有()()()10f x x f x '++>．令()()()1F x x f x =+，则当1x <-时，()()()()10F x f x x f x ''=++>，故()F x 在(),1-∞-上单调递增．∵()()()()()()22121F x x f x x f x F x --=--+--=---=⎡⎤⎣⎦，∴()F x 关于直线1x =-对称，故()F x 在()1,-+∞上单调递减，由()()10xf x f ->等价于()()()102F x F F ->=-，则210x -<-<，得11x -<<．∴()()10xf x f ->的解集为(1,1)-．故选：A.【举一反三】1．（2020锦州模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．{20 x x -<<或}02x <<B ．{ 2 x x <-或}2x >C ．{20 x x -<<或}2x >D ．{ 2 x x <-或}02x <<【答案】D ．【解析】令()()F x xf x =，则()F x 为奇函数，且当0x <时，()()()0F x f x xf x '+'=<恒成立，即函数()F x 在()0-，∞，()0+，∞上单调递减，又(2)0f =，则(2)(2)0F F -==，则()0xf x >可化为()(2)F x F >-或()(2)F x F >，则2x <-或02x <<．故选D ．2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤【答案】A【解析】令()()x g x e f x =，则()(()())0x g x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g >即()()2323e f e f >，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等3．（2020·海南高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（）A ．(0)02(1)f f <<B ．0(0)2(1)f f <<C ．02(1)(0)f f <<D ．2(1)0(0)f f <<【答案】B【解析】由题意设()()()1g x x f x =+，则()()()()'1'0g x f x x f x =++>，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ．4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.5.（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+ ，，∞∞B ．()()2002- ，，C ．()()202-+ ，，∞D ．()()202-- ，，∞【答案】C ．【解析】构造函数()2()1()g x x f x =+，则()2()1()g x x f x ''=+．又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()1()g x x f x =+为奇函数，且当0x >时，()2()1()2()0g x x f x xf x ''=++<，()g x 在()0+，∞上函数单减，()0()0f x g x <⇒<．又(2)0g =，所以有()0f x <的解集()()202-+ ，，∞．故选C ．点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．6．（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<- ，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()1001- ，，B ．()()11--+ ，，∞∞C ．()()101-+ ，，∞D ．()()101-- ，，∞【答案】D.【解析】设()ln ()g x x f x = ，当0x >时，1()()ln ()0g x f x xf x x '=+<'，()g x 在()0+，∞上为减函数，且(1)0g =，当()01x ∈，时，()0g x >，ln 0x <∵，()0f x <∴，2(1)()0x f x ->；当()1x ∈+，∞时，()0g x <，ln 0x >∵，()0f x <∴，()21()0x f x -<，∵()f x 为奇函数，∴当()10x ∈-，时，()0f x >，()21()0x f x -<；当()1x ∈--，∞时，()0f x >，()21()0x f x ->．综上所述：使得()21()0x f x -<成立的x 的取值范围是()()101-- ，，∞【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商，2x 与()f x 的积或商，e x 与()f x 的积或商，ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．7．（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（）A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数【答案】A【解析】令()e [()]x g x xf x =，则由题意，得()e [(1)()()]0x g x x f x xf x '+'=+>，所以函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0>g x ，则()0f x >，当0x <时，()0<g x ，则()0f x >，而()()()1'0x f x xf x ++>恒成立，则(0)0f >；所以()0f x >；故选A.点睛：本题的难点在于如何利用()()()1'0x f x xf x ++>构造函数()e [()]x g x xf x =。
专题01 压轴小题中构造函数或放缩比较大小目录类型一：先同构，构造相同的函数，比较不同的函数值 (1)类型二：构造不同的函数判断相同的函数值 (2)类型三：用放缩法比较大小 (4)类型一：先同构，构造相同的函数，比较不同的函数值类型二：构造不同的函数判断相同的函数值典型例题：若a=0.6e0.4，b=2―ln4，c=e―2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．c>b>a【答案】B试题分析：通过构造函数f(x)=x(1―lnx)和g(x)=2x―xlnx―e，分别比较a和b，b和c与a和c的大小，即可得出a，b，c的大小关系.详细解答：解：由题意，a=0.6e0.4，b=2―ln4，c=e―2对于a和b，∵a=0.6e0.4=e0.4(1―ln e0.4)，b=2―ln4=2(1―ln2)，∴可以构造函数f(x)=x(1―ln x)，则a=f(e0.4)，b=f(2).对f(x)求导，得f′(x)=―ln x，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(1,+∞)上单调递减.∵1=e0<e0.4<e0.5<2，∴f(e0.4)>f(2)，即a>b；对于b和c，∵b―c=4―ln4―e=4―2ln2―e.∴可以构造函数g(x)=2x―x ln x―e，则g′(x)=1―ln x，当x∈(0,e)时，g′(x)>0；当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，∴g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(e)=0，∴g(2)<0，∴b―c<0，即c>b；对于a和c，∵a―c=(1―0.4)e0.4―e+2，∴可以构造函数ℎ(x)=(1―x)e x―e+2，则ℎ′(x)=―x e x，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(0,1)上单调递减.又∵ℎ(0.5)=0.5e0.5―e+2，且e0.5>1.6，∴ℎ(0.5)>0，∴ℎ(0.4)>ℎ(0.5)>0，∴a―c>0，即a>c.∴a>c>b，故选：B.类型三：用放缩法比较大小1、常见的指数放缩：)1();0(1=≥=+≥x ex e x x e xx2.常见的对数放缩：)(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =≤=-≤≤-3.常见三角函数的放缩：x x x x tan sin ,2,0<<⎪⎭⎫⎝⎛∈π典型例题：（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知a =ln1.01，b =0.01，c =e ―0.99.则（ ）。
构造函数之大题一、直接构造形式一：应用于比较大小，通过构造新函数()()()h x f x g x =-，判断新函数最值与0的关系例1. 已知函数()ln f x a x =，()213222g x x x =-+-，对任意的[)1,x ∈+∞，都有()()f xg x ≥恒成立，则实数a 的最小值是______．（恒成立问题，要注意到端点值()()11f g =，讨论函数单调性）【答案】1练1. 已知函数()x f x e =，()()1g x bx b R =+∈．若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合．（讨论函数单调性，利用单调性判断最值，注意端点值和单调性对函数的影响） 解析：令()()()1x x f x g x e bx ϕ=-=--，所以()'x x e b ϕ=-.① 当0b ≤时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ在R 上单调递增．又()00ϕ=，所以(),0x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾．② 当0b >时，由()'0x ϕ>，得ln x b >；由()'0x ϕ<，得ln x b <，所以函数()x ϕ在(),ln b -∞上单调递减，在()ln ,b +∞上单调递增．1°当01b <<时，所以ln 0b <.又()00ϕ=，所以()ln 0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾； 2°当b>1时，同理φ(lnb)<0，与函数()()f x g x ≥矛盾；3°当1b =时，ln 0b =，所以函数()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 所以()()00x ϕϕ≥=，故1b =满足题意． 综上所述，b 的取值的集合为{}1．形式二：分参后得到新函数()h x ，转化为min()a h x ≤例2. 对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若sin ax x bx ≤≤恒成立，求b a -的最小值练2. 若不等式2ln 1ax x>+对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．令()'0f x =得1x =，易知当()0,1x ∈时，()'0f x >；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <．故()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减．二、间接构造形式一：变化率1 ()()1212f x f x a x x > 对1212,,x x I x x ∀∈≠，假设()()12120f x f x x x >，则()'0f x ≥；反之若()'0f x ≥，则()()12120f x f x x x >，这表明()()12120f x f x x x >⇔()'0f x ≥。
高三数学构造函数练习题构造函数在数学中扮演着重要的角色，它们被用来描述数学模型以及解决各种实际问题。
本文将提供一些高三数学构造函数的练习题，帮助读者巩固和加深对该知识点的理解。
练习题一：线性函数已知函数f(x) = 2x + 3，求它的图像与y轴的交点以及与x轴的交点。
解答：1. 与y轴的交点：当x = 0 时，f(x) = 2(0) + 3 = 3。
因此，函数与y轴的交点为(0, 3)。
2. 与x轴的交点：当f(x) = 0 时，2x + 3 = 0。
解这个方程可得 x = -3/2。
因此，函数与x轴的交点为(-3/2, 0)。
练习题二：二次函数已知函数g(x) = x^2 + 4x + 2，求它的顶点坐标以及与x轴的交点。
解答：1. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/(2a) 来求得，其中 a = 1，b = 4。
代入公式可得 x = -4/(2*1) = -2。
将 x = -2 代入函数中可得，g(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) + 2 = 0。
因此，顶点坐标为 (-2, 0)。
2. 与x轴的交点：当g(x) = 0 时，x^2 + 4x + 2 = 0。
解这个方程需要使用配方法或求根公式，解得 x = -2 ± √2。
因此，函数与x轴的交点为 (-2 + √2, 0) 和 (-2 - √2, 0)。
练习题三：指数函数已知函数h(x) = 2^x，求它的图像与y轴的交点以及与x轴的交点。
解答：1. 与y轴的交点：当x = 0 时，h(x) = 2^0 = 1。
因此，函数与y轴的交点为(0, 1)。
2. 与x轴的交点：当h(x) = 0 时，2^x = 0。
由于指数函数不存在对应的 x 值使整个函数为 0，所以不存在与x轴的交点。
练习题四：对数函数已知函数k(x) = log2(x + 1)，求它的定义域和值域。
解答：1. 定义域：由于对数函数的底数不能为 0 或 1，所以 x + 1 > 0。
