吉林省北大附属长春实验学校2020届高三数学上学期第三次月考试题 文

2020-2021学年长春实验中学高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x<0}，B={y|y=|x|+1,x∈R}，则A∩∁R B=()A. (0,2)B. [1,2)C. (0,1]D. (0,1)2.已知复数z=2+i，则z⋅z−=()A. √3B. √5C. 3D. 53.已知e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 是单位向量，m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ ，若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，则e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为()A. π4B. π3C. 23π D. 34π4.已知一等差数列的前三项和为94，后三项和为116，各项和为280，则此数列的项数n为()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知集合A={(x,y)|x=−√1−y2}，集合B={(x,y)|kx−y+2−k=0}，且A∩B≠⌀，则实数k的取值范围是()A. [34,+∞) B. [34,1] C. [34,3] D. (34,1]6.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，主视图与左视图是边长为1的正三角形，则其表面积是()A. 2B. 3C.D.7.一次函数与二次函数在同一直角坐标系中大致的图象可能是A. B.C. D.8.下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是()A. f(x)=3x−2B. f(x)=9−x2C. f(x)=1x−1D. f(x)=log2x9.5、函数的一个单调减区间是()A.B.C.D.10.已知球O在母线长为5，高为4的圆锥内部，则球O的表面积最大值为()A. 12πB. 9πC. 8πD. 6π11.若抛物线y=ax2(a>0)的焦点与椭圆x22+y2=1的上顶点重合，则a=()A. 12B. 14C. 2D. 412.已知为上的可导函数，且，均有，则有()A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件{2x−y≥23x+4y≤12y≥−2，则z=x−3y的最大值为______ ．14.函数f(x)=x3+(a−2)x2+2x，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．15.设定义域为R的函数f(x)={1x,x>0−x2−2x,x≤0，若关于x的方程2f2(x)+2af(x)+1=0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是______ ．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c=√2,b=√6，B=120°，则a=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}中，a1=1，S10=100(1)求数列{a n}的通项，以及前n项和S n(2)设b n=1a n a n+1，求{b n}的前n项和T n．18.已知向量a⃗=(cos3x2,sin3x2)，b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[0,π2].(1)已知a⃗//b⃗ ，求x；(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |+2λ的最小值等于−3，求λ的值．19.某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分).公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．(1)如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？(2)若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．20.如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=√2，AD=2√2，G是EF的中点．(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；(2)求三棱锥A−GBC的体积．21.已知函数f(x)=2x2−1−alnx(a∈R)．x(Ⅰ)若a>0时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=f(x)−2x，若g(x)有两个零点，求a的取值范围．22.已知直线垂直于直线2x−3y−4=0，并且与点A(1,1)的距离为2，求该直线的方程．23.求不等式|x2−5x|≥6的解集．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由不等式x2−2x<0解得：0<x<2∴集合A={x|0<x<2}，由函数y=|x|+1，x∈R，可得值域为[1+∞),∴集合B=[1+∞),∴∁R B=(−∞,1)．那么：A∩∁R B=(0,1)故选D求解不等式可得集合A，求B的值域可得集合B，根据集合的基本运算即可求A∩∁R B. 本题考查了不等式的计算，值域的问题和集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．直接由z⋅z−=|z|2求解．解：∵z=2+i，∴z·z−=|z|2=(√22+12)2=5．故选D．3.答案：B解析：解：因为e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 是单位向量，m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ ，因为m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )⋅(5e1⃗⃗⃗ −4e2⃗⃗⃗ )=5+6e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ −8=0，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =12，设e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=e1⃗⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗⃗|e1⃗⃗⃗⃗ ||e2⃗⃗⃗⃗ |=12，因为θ∈[0,π]，故θ=π3．。

2020-2021学年吉林长春高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|y =log 2(x +1)}，B ={y|y =(12)x ，x >0}，则A ∩B =( ) A.(−1, 1) B.(1, +∞) C.(0, +∞) D.(0, 1)2. 在区间[−2,2] 上任意取一个数x ，使不等式x 2−x <0成立的概率为（ ） A.13B.16C.14D.123. 下列说法正确的是( )A.若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题B.“x >1”是“x ≥1”的充分不必要条件C.命题p:∃x ∈R ，使得x 2+x +1≤0，则￢p:∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0D.命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题为：“若x 2−3x +2≠0，则x ≠1”4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=9，a 3=0，则公差d =( ) A.2 B.−2 C.−3 D.35. 已知f (x )={−1+log 2(−2x ),x <0，g (x ),x >0为奇函数，则f(g (2))+g(f(−8))=( )A.−log 23B.0C.2+log 23D.16. 二项式(2x −1x )5的展开式中x 3项的系数是( )A.48B.80C.−80D.−407. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8+8πB.16+8πC.16+16πD.8+16π8. 已知向量a →，b →满足|a →|=1，(a →+b →)⊥a →，(2a →+b →)⊥b →，则向量a →，b →的夹角为( ) A.π4 B.π6C.π3D.3π49. 若函数y =√3sin x −cos x 的图象向右平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π4 B.π6C.2π3D.π310. 直线ax +2by −4=0被圆x 2+y 2+4x −2y +1=0截得的弦长为4，则a 2+b 2的最小值是（ ） A.2 B.3C.√2D.√311. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)单调递增．若实数a 满足f(log 2a)+f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是( ) A.(0, 2] B.(0,12]C.[12，2]D.[1, 2]12. 已知函数f (x )=x 2+2x +a ．若g (x )=1e x ，对任意x 1∈[12,2] ，存在x 2∈[12 ,2]，使f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A.[√2,e ）B.(−∞,√ee−8]C.(−√33 , e 2]D.[√e e−8,+∞）二、填空题已知复数(3+2i )2=a +bi (a,b ∈R )，则a +b =________．已知实数x ，y 满足条件，则{x +2y ≥0，x −y ≤0，0≤y ≤2，则z =x +y 的最小值为________.已知离心率为e 1的椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)和离心率为e 2的双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)有公共的焦点 F 1，F 2，P 是它们在第一象限的交点，且 ∠F 1PF 2=60∘，则e 12+e 22的最小值为________.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择．已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为________．（用数字作答） 三、解答题在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a cos C =(2b −c)cos A ． (1)求角A 的大小；(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ， ∠DAB =90∘，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =DC =12AB =1，M 为PB 中点．(1)证明： CM//平面PAD ；(2)求二面角A −MC −B 的余弦值．某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为13，12；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为12，13，且两人租用的时间都不超过4小时． (1)求甲、乙两人所付费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过A (a,0),B (0,1)，O 为坐标原点，线段AB 的中点在圆O:x 2+y 2=1上．(1)求C 的方程；(2)直线l:y =kx +m 不过曲线C 的右焦点F ，与C 交于P ，Q 两点，且l 与圆O 相切，切点在第一象限，△FPQ的周长是否为定值？并说明理由．已知函数f(x)=ln x +ax −1(a ∈R ). (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)图像过点(1,0)，求证：e −x x+ln x +x −1≥0.在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l: {x =2+t cos α,y =√3+t sin α （t 为参数）与曲线C ：{x =2cos φ,y =sin φ （φ为参数）相交于不同的两点A ，B ．(1)若α=π3，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，求直线AB 的极坐标方程；(2)若直线的斜率为√54，点P(2,√3)，求|PA|⋅|PB|的值．设函数f(x)=|x −1|+12|x −3|. (1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若不等式f(x)≤a(x+1)的解集非空，求实数a的取值范围．2参考答案与试题解析2020-2021学年吉林长春高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质函数奇明性研性质函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】二项正开形的来定恰与特定系数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】求两角因与差顿正弦函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】对数射数长单介性与滤殊点奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】全称量根与存在盖词函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算复数三最本概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯求线性目于函数虫最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆的来义和筒质双曲体的某性双曲根气离心率椭圆水明心率余于视理基来雨等式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】计数正知的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式余于视理正因归理三角函来值的阿号【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用空根冬条求才面间的夹角直线与平三平行定判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相互常立事簧的车号乘法公式互三事实清概西加法公式离散来随机兴苯的期钱与方差离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用都数资究不长式化成立问题利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆的较坐标夏程直线的都连标方程直线表参声方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等明的钙合绝对常不等至的保法与目明其他不三式的解州【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

吉林省长春实验高中2020届高三数学第三次月考试题 理第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|12}A x x =<-≤，B ＝{x|x ＞－2}，则A B =UA ．（－2，－1）B ．（－2，－1]C ．（－4，＋∞）D ．[－4，＋∞）2．设复数z ＝1＋2i ，则A ．z 2＝2z －3B ．z 2＝2z －4C ．z 2＝2z －5D ．z 2＝2z －63．若双曲线221y x m-=的一个焦点为（－3，0），则m ＝ A ．22 B ．8 C ．9 D ．644．设向量a 、b 满足|a |＝1，||2=b ，且a ·b ＝1，则|a －2b |＝A ．2B ．5C ．4D ．55．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．5B．6 C．6.5 D．76．设x，y满足约束条件320,6120,4590,x yx yx y+-⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≥≤≥则z＝2x－y的最小值为A．－3B．4C．0D．－47．执行如图的程序框图，若输入的k＝11，则输出的S＝A．12B．13C．15D．188．若函数f（x）＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为A．（0，4）B．（0，＋∞）C．（3，4）D．（3，＋∞）9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2＝1，则“a3＞5”是“S3＋S9＞93”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．函数，f（x）＝Acos（wx＋φ）（A＞0，w＞0，－π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝Asinwx的图象，只需将函数y＝f（x）的图象A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度11．在四面体ABCD 中，AD⊥底面ABC ，10AB AC ==BC ＝2，E 为棱BC 的中点，点G 在AE 上且满足AG ＝2GE ，若四面体ABCD 的外接球的表面积为244π9，则tan∠AGD＝ A ．12B ．2C ．22D 212．已知函数f （x ）的导数为f′（x ），f （x ）不是常数函数，且（x ＋1）f （x ）＋xf′（x ）≥0对x∈[0，＋∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是 A ．f （1）＜2ef （2） B ．ef （1）＜f （2） C ．f （1）＜0D ．ef （e ）＜2f （2）第Ⅱ卷二、填空题13．若函数f （x ）＝log 8x ＋log 2x 2，则，f （8）＝________．14．在（x ＋a ）9的展开式中，若第四项的系数为84，则a ＝________．15．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若5AF FB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为________．16．在数列{a n }中，a 1＝12，且133431nn a a n n +=++．记131n n i aiS i ==+∑，13ni i i a Tn ==∑，则下列判断正确的是________．（填写所有正确结论的编号） ①数列31n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列；②存在正整数n ，使得a n 能被11整除； ③S 10＞T 243；④T 21能被51整除．三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos (23)cos c A b a C =-． （1）求角C ； （2）若π6A =，△ABC 的面积为3，D 为AB 的中点，求sin∠BCD． 18．某家电公司根据销售区域将销售员分成A ，B 两组．2020年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]内对应的年终奖分别为2万元，2.5万元，3万元，3.5万元．已知200名销售员的年销售额都在区间[90，110]内，将这些数据分成4组：[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]，得到如下两个频率分布直方图：以上面数据的频率作为概率，分别从A 组与B 组的销售员中随机选取1位，记X ，Y 分别表示A 组与B 组被选取的销售员获得的年终奖． （1）求X 的分布列及数学期望；（2）试问A 组与B 组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AC⊥BD，AC∩BD＝O ，PO ⊥AB，△POD 是以PD 为斜边的等腰直角三角形，且11123OB OC OD OA ====．（1）证明：平面PAC⊥平面PBD ； （2）求二面角A －PD －B 的余弦值．20．已知椭圆2222:1y x W a b+=（a ＞b ＞0）的焦距与椭圆22:14x y Ω+=的短轴长相等，且W 与Ω长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA （O 为坐标原点）垂直，且l 与W 交于M ，N 两点． （1）求W 的方程；（2）求△MON 的面积的最大值．21．已知a∈R ，函数2()2(2)x x xf x xe e ax xe =+-+．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））21，判断函数，f （x ）在1(,)2-∞上的单调性；（2）若1(0,)a e∈，证明：f （x ）＞2a 对x∈R 恒成立． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线C 2的方程为3y x =，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； （2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求11||||OA OB +． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x|＋|x －3|． （1）求不等式()62x f <的解集；（2）若k ＞0，且直线y ＝kx ＋5k 与函数f （x ）的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围．高三数学试卷参考答案（理科）1．D 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8．C 9．A 10．D 11．B 12．A 13．7 14．115．2±16．①②④17．解：（1cos (2cos A b C =，得2cos cos cos )b C c A a C =+，由正弦定理可得，2sin cos cos sin cos )B C C A A C =+)A C B =+=，因为sinB≠0，所以cos C =，因为0＜C ＜π， 所以π6C =． （2）因为π6A =，故△ABC 为等腰三角形，且顶角2π3B =，故21sin 2ABCS a B ===△ 所以a ＝2，在△DBC 中，由余弦定理可得，CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BCcosB ＝7，所以CD =中，由正弦定理可得，sin sin CD DBB BCD=∠，1sin 2BCD =∠，所以sin BCD ∠=． 18．解：（1）A 组销售员的销售额在[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]的频率分别为：0．2，0．3，0．2，0．3，P0.2 0.3 0.2 0.2故E （X ）＝20000×0.2＋25000×0.3＋30000×0.2＋35000×0.3＝28000（元）． （2）B 组销售员的销售额在[90，95），[95，100），[100，105），[105，110]的频率分别为：0．1，0．35，0．35，0．2， 则Y 的分布列为：X （元） 20000 25000 30000 35000 P0.10.350.350.2故E （Y ）＝20000×0.1＋25000×0.35＋30000×0.35＋35000×0.2＝28250（元）． ∵E（X ）＜E （Y ），∴B 组销售员获得的年终奖的平均值更高． 19．（1）证明：∵△PO D 是以PD 为斜边的等腰直角三角形， ∴PO⊥DO．又PO⊥AB，AB∩DO＝B ，∴PO⊥平面ABCD ， 则PO⊥AC，又AC⊥BD，BD∩PO＝O ， ∴AC⊥平面PBD ．又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC⊥平面PBD ．（2）解：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A （3，0，0），D （0，－2，0），P （0，0，2），则(3,2,0)DA =u u u r ，(0,2,2)DP =u u u r，设n ＝（x ，y ，z ）是平面ADP 的法向量，则00DA DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg n n ，即320220x y y z -=⎧⎨+=⎩， 令y ＝3得n ＝（2，3，－3）．由（1）知，平面PBD 的一个法向量为(1,0,0)OC =-u u u r，∴22cos ,11||||22OC OC OC <>===-u u u ru u u r g u u u r n n n ，由图可知，二面角A －PD －B 的平面角为锐角， 故二面角A －PD －B的平面角的余弦值为11． 20．解：（1）由题意可得22241a a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，∴2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故W 的方程为22143y x +=． （2）联立222214314y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223613413x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2219y x =，又A 在第一象限，∴13OA y k x ==． 故可设l 的方程为y ＝3x ＋m ．联立223143y x m y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则121831mx x +=，21231231m x x -=，∴||MN ==又O 到直线l的距离为d =，则△MON的面积1||2S d MN ==，∴2231)S m m =+-=，当且仅当m 2＝31－m 2，即2312m =，满足Δ＞0，故△MON． 21．（1）解：∵()()(x xf x e ax xe =-+，∴()()(()(1)x x x xf x e a xe e ax x e '=-+-+，∴(0))11f a '=-+=，∴ａ＝0．∴2()(21)x xf x x e '=++，当1(,)2x ∈-+∞时，2x ＋1＞0，e 2x ＞0，e x ＞0，∴f′（x ）＞0， ∴函数f （x ）在1(,)2-+∞上单调递增．（2）证明：设()xg x xe =+x ）＝（x ＋1）e x，令g′（x ）＞0，得x ＞－1，g （x ）递增；令g′（x ）＜0，得x ＜－1，g （x ）递减．∴min 1()(1)g x g e =-=- 2.7，∴11e->，∴g（x ）＞1． 设h （x ）＝e x－ax ，令h′（x ）＝0得x ＝lna ，令h′（x ）＞0，得x ＞lna ，h （x ）递增；令h′（x ）＜0，得x ＜lna ，h （x ）递减． ∴h（x ）min ＝h （lna ）＝a －alna ＝a （1－lna ）， ∵1(0,)a e∈，∴lna＜－1，∴1－lna ＞2，∴h（x ）min ＞2a ，∴h（x ）＞2a ＞0． 又g （x ）＞1，∴g（x ）h （x ）＞2a ，即f （x ）＞2a ．22．解：（1）曲线C 1的普通方程为（x －2）2＋（y －2）2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标为π3θ=（ρ∈R ）（或tan θ=．（2）由24cos 4sin 70,π3ρρθρθθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得22)70ρρ-++=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||2||||||||7OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===g ． 23．解：（1）由()62xf <即|||3|622x x+-<得， 3236x x ⎧⎪⎨⎪-<⎩≥或03236x ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或0236xx ⎧⎪⎨⎪-+<⎩≤， 解得－3＜x ＜9，∴不等式()62xf <的解集为（－3，9）．（2）作出函数23,0()3,0323,3x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩≤≥的图象，如图所示，∵直线y＝k（x＋5）经过定点A（－5，0），∴当直线y＝k（x＋5）经过点B（0，3）时，35 k=，∴当直线y＝k（x＋5）经过点C（3，3）时，38 k=．∴当33(,]85k∈时，直线y＝kx＋5k与函数f（x）的图象可以围成一个三角形．。

2020年吉林省长春市市实验中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体中,分别为和的中点,则与平面所成的角为( ).A. B.C. D.参考答案：答案：C2. 已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．3. 曲线y＝在点（2,4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A、1B、2C、D、参考答案：D4. 已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A略5. 若集合= （）A. B. C. D.参考答案：A6. 已知椭圆C．：的短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，那么椭圆C的离心率为（）A． B． C． D ．参考答案：A略7. “”是“函数在区间上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：D略8. 在△ABC中，则∠BAC=A．30° B． 120° C．15 0° D． 30°或150参考答案：C9. 由不等式组，表示的平面区域(图中阴影部分)为（）参考答案：A略10. 已知是定义在R上的函数，对任意，都有，若函数的图像关于直线x=1对称，且，则（）A．6 B．4 C．3 D．2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：正方形的面积S=0.5×0.5=0.25，若铜钱的直径为2cm，则半径是1，圆的面积S=π×12=π，则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P==，故答案为：．12. 已知是公比为的等比数列，且成等差数列，则_______ ．参考答案：1或13. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t =0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d (cm)表示成t (秒)的函数，则d=______________其中参考答案：14. 在中，内角的对边分别为，若，，．则边的长度为__________．参考答案：【知识点】余弦定理C84解析：由余弦定理，得，.【思路点拨】由余弦定理可求.15. 已知，则的取值范围是_________________.参考答案：16. 在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为______.参考答案：略17.已知，则的值为参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年吉林省长春市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知向量，满足，，且，则A. B. C. 5 D. 43.已知复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为A. 7B. 8C. 9D. 105.等比数列中，、是函数的两个零点，则等于A. B. 3 C. D. 46.函数的图象大致为A. B.C. D.7.设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.9.已知函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是A. B. ，C. D.11.已知双曲线与椭圆有相同焦点，，离心率为若双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为12，N为线段的中点，O为坐标原点，则等于A. 4B. 3C. 2D.12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分包括黑白交界处中一点，则的最大值为2；设点，点Q在此太极图上，使得，b的范围是．其中所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，则______ ．14.已知长方形ABCD中，，，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为______．15.若，是函数的两个极值点，则______；______．16.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，设，为数列的前n项和，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌优等品和合格品，某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x，，质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀张进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；Ⅱ试估计该公司生产宣纸的年利润单位：万元．18.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求tan B；Ⅱ若，的面积为6，求BC．19.四棱锥中，，，，，平面ABCD，E在棱PB上．Ⅰ求证：；Ⅱ若，求证：平面AEC．20.已知O为坐标原点，抛物线E的方程为，其焦点为F，过点的直线1与抛物线相交于P、Q两点且为以O为直角顶点的直角三角形．Ⅰ求E的方程；Ⅱ设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．21.已知函数，，若曲线与曲线都过点且在点P处有相同的切线l．Ⅰ求切线l的方程；Ⅱ若关于x的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线1的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：根据题意，，，且，则有，解可得，即，则，故；故选：C．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3.答案：B解析：解：由，得，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.答案：B解析：解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知．由茎叶图可知乙班学生的总分为，又乙班学生的平均分是86，总分又等于所以，解得，可得．故选：B．对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到的值．5.答案：B解析：解：、是函数的两个零点，、是方程的两个根，，由等比数列的性质可得：．故选：B．利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又，可排除A；故选：B．先判断函数的奇偶性，可排除选项CD，再由，可排除选项A，进而得出正确选项．本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：C解析：解：A、B、D的反例如图．故选：C．根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．本题考查线面间的位置关系，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．属于基础题．8.答案：B解析：解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．9.答案：D解析：解：函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，函数是在上是增函数，又，，由，得或，或．的取值范围是．故选：D．由奇函数的图象关于原点对称及在为增函数，可得函数是在上是增函数，结合，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．10.答案：B解析：解：当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，当时，，，，所以或，即或，故选：B．当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11.答案：B解析：解：如图，为线段的中点，，双曲线的离心率为，，椭圆与双曲线的焦点相同，，则，即，．故选：B．由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得，再由已知椭圆方程及双曲线的离心率求解a，则答案可求．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.答案：A解析：解：对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，直线，圆的方程为，联立可得，，，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大，由解得舍去，错误；对于，要使得，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即，于是，解得．故选：A．根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．13.答案：解析：解：，，，，则，故答案为：由的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出与的值，代入原式计算即可．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.答案：解析：解：长方形ABCD中，，，可得，，作于E，可得，所以，，因为平面平面BCD，面ABD，平面平面，所以面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点，且外接圆的半径，过作垂直于底面BCD，所以，所以，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作于F，则四边形为矩形，，，则，在中，即；在中：，即；由可得，，即外接球的球心为，所以外接球的表面积，故答案为：．由长方形中，，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面平面BCD 可得面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．15.答案：2解析：解：函数，，，令得：，，是方程的两个根，，，，故答案为：2，．先求出导函数，由题意可得，是方程的两个根，利用韦达定理可得，，代入即可求出．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题．16.答案：880解析：解：，当时，，解得或舍去，当时，，，得：，整理得：，数列的各项均为正数，，即，数列是首项为2，公差为2的等差数列，，，，故答案为：880．利用公式可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以，进而，再利用并项求和法即可算出结果．本题主要考查了数列的递推式，以及并项求和法求数列的前n项和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基本事件有：AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10种，其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种，其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得：一刀张宣纸有正牌宣纸张，有副牌宣纸张，有废品张，该公司一刀宣纸的利润为元，估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．解析：Ⅰ按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀张约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基利用列举法能求出其中无废品的概率．Ⅱ由频率分布直方图得一刀张宣纸有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润．本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，利用正弦定理可得：，又，化为：，．，，可得，．．，可得：．又，可得．，解得．解析：由，利用正弦定理可得：，又，化简即可得出．由，，可得，，由正弦定理：，可得：又，可得即可得出a．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：证明：Ⅰ过A作于F，，，，四边形ABCF为正方形，则，，得，又底面ABCD，平面ABCD，，又PA，平面PAD，，平面PAD，又平面PAD，；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，则，得．又，则PB：：：1．，，，连接DB交AC于O，连接OE，∽，：：1，得DB：：1，：：OB，则．又平面AEC，平面AEC，平面AEC．解析：Ⅰ过A作于F，推导出，，从而平面PAD，由此能求出；Ⅱ设E到平面ABCD的距离为h，由已知体积列式求得h，可得PB：：：1，连接DB交AC于O，连接OE，再由三角形相似证得DB：：1，可得PB：：OB，得到，再由直线与平面平行的判定可得平面AEC．本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，设，，联立直线l与抛物线的方程，整理可得：，所以，所以，因为是以O为直角顶点的直角三角形，所以，即，所以，解得，所以抛物线的方程为：；Ⅱ证明：由Ⅰ得，准线方程为：，设，则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，而由抛物线的性质可得，即以NF为直径的圆的半径为，所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切．解析：Ⅰ由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之积，由是以O为直角顶点的直角三角形，所以，可得p的值，进而求出抛物线的方程；Ⅱ由Ⅰ可得F的坐标和准线方程，设N的坐标，可得NF的中点M，即圆心的坐标，求出M 的纵坐标到x轴的距离，再求NF的半径，可得M的纵坐标恰好等于半径，可证得结论．本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由已知可得，即，解得，，，切线的斜率，切线l的方程为，即，Ⅱ由Ⅰ可得，，设，即，对任意恒成立，从而，，当时，，在上单调递减，又，显然不恒成立，当时，，解得，，当时，即时，，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，，单调递增，，即恒成立，当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，解得，，综上所述得．解析：Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程；Ⅱ构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，转换为参数方程为为参数，．直线1的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为．Ⅱ设，，所以点P到直线l的距离，由于，所以，所以，故等边三角形的边长的取值范围：．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。

吉林省长春市市省实验中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C.D.参考答案：A2. 等差数列的前n项和为，已知.则等于（）A．100 B．50 C. 0 D．－50参考答案：C设等差数列的公差为，又，所以，解得，所以，故选C.3. 已知复数是正实数，则实数a的值为( )A. 0B. 1C. －1D. ±1参考答案：C【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为为正实数，所以且，解得. 故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.4. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点.若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率等于A． B．C．2 D．参考答案：C5. 函数的图像可能是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。

【详解】当时，，故排除D；由于函数的定义域为，且在上连续，故排除B；由，由于，，所以，故排除C;故答案为A。

【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法的应用，属于中档题。

6. （5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的侧面积为（）A． 6+4 B． 9+2 C． 12+2 D． 20+2参考答案：C【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形，一侧面垂直于底面的四棱锥，利用题目中的数据求出它的侧面积即可．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，一侧面PCD垂直于底面ABCD的四棱锥，如图所示；∴该四棱锥的侧面积为S=S△PCD+2S△PBC+S△PAB=4×+2××3×2+×4×=2+12．故选：C．【点评】：本题考查了利用几何体的三视图求几何体侧面积的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何模型，是基础题目．7. 已知函数的导函数是,且,则实数a的值为( )A. B. C. D. 1参考答案：B【分析】先对函数求导得，再根据得到a的方程，解方程即得a的值.【详解】由f(x)=ln(ax-1)可得,由,可得=2,解得a=.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查对复合函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作8. 若，则a的取值范围是（）A.（0，1）B.C.D.参考答案：B因为函数满足，所以函数为递减函数，所以有，即，所以，解得，选B.9. 已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=?B．A∪B=RC．B?AD．A?B参考答案：C【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】求出集合A，B，根据集合包含关系的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|y=}=（﹣∞，2]，B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），故B?A，故选：C．10. 已知抛物线的焦点为是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为（）A.2B.4C.10D.6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每大能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为________元.参考答案：设甲种设备需要租赁生产天，乙种设备需要租赁生产天，该车间所需租赁费为元，则，且，满足关系为作出不等式表示的平面区域，当对应的直线过两直线，的交点时，目标函数取得最小值元，即最少租赁费用为元.试题立意：本小题考查线性规划问题等基础知识；考查应用意识，化归转化思想，数形结合思想. 12. 在中，，则的取值范围是________．参考答案：13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________.参考答案：，，切线方程，即14. 设，向量，，，且，，则．参考答案：. 故答案为：15. 设满足约束条件组，则的最大值为________参考答案：5略16. 已知函数f（x）=为奇函数，则a= ．参考答案：2【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先求出函数的定义域，利用f（﹣1）=﹣f（1），即可得出结论．【解答】解：显然定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由f（﹣1）==﹣（1﹣2）（1+a），所以a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了利用函数的奇偶性定义，考查赋值法的运用，比较基础．17. 设函数，则f（f（﹣1））的值是．参考答案：﹣16【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f （﹣1））=f （1+3）=f （4）=﹣24=﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高三年级第三次月考数学(文科）试题第Ⅰ卷一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设{},2,1,0,1,2,{|1}U R A B x x ==--=≥ ，则U A C B ⋂= A. {}1,2 B. {}1,0,1- C 。

{}2,1,0-- D. {}2,1,0,1--2．下列说法正确的是 A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为:“若21x =，则1x ≠" B 。

命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题C 。

命题“存在x R ∈，使得210x x ++<"的否定是:“对任意x R ∈， 均有210x x ++<”D 。

ABC ∆中， A B >是sin sin A B >的充要条件 3．已知向量a 与b 的夹角是3π，且|a ｜＝1，|b ｜＝4，若（3a ＋λb ）⊥a ,则实数λ＝ A 。

32- B. 32C. －2 D 。

24。

若定义在R 上的函数()y f x =在2x =处的切线方程1y x =-+则f （2）+f’（2）= A 。

2- B. 1- C. 0 D. 15．定义域为R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=+,且()11f -=,则()2017f =A 。

2B 。

1C 。

-1 D. -2 6．若把函数cos 3sin (0)y x x ωωω=->的图象向左平移6π个单位长度后,所得到的图象关于原点对称，则ω的最小值是A 。

1 B. 2 C 。

3 D. 47．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则13141516a a a a +++= A 。

8 B. 12 C. 16 D.208．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 中点，点F 满足2,AF FD EF x AC y AB ==+ ，则x y +=A. 13- B 。

2020年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数的图像经过（9，3），则=A.3B.C.D.1参考答案：C设幂函数为，则，即，所以，即，所以，选C.2. 命题：若，则是的充分不必要条件；命题：函数的定义域是，则 ( )A．“或”为真 B．“且”为真 C．真假 D．假假参考答案：A3. 则的值为参考答案：C4. 若的图象必不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：B5. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种参考答案：D考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．6. 右图是一个几何体的三视图，则该几体的侧面积是（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：D略7. P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心参考答案：答案：D8. 若集合P=，，则集合Q不可能是（）＞参考答案：D9. 已知全集U={l，2，3，4，5，6}，集合A={l，2．4：6}，集合B={l，3，5}，则（）A．{l,2,3,4,5,6} B．{1，2,4,6} C．{2,4,6} D．{2,3,4,5,6}参考答案：10. 已知，则的值为 ( )A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 实数满足不等式组，则的取值范围是_______________.参考答案：略12. 已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是 .参考答案：令，则由，可得，故为偶函数，又当时，即，所以在上为增函数.不等式可化为，所以有，解得.13. 已知，，那么的值是_参考答案：14. 已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为参考答案：由，得，即．设，令，则．考察的函数的零点个数，即如下图所示为，的图象，易知：（1）方程的一个根为1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，．综上可知，．15. 若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为．参考答案：316. 在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论解答：解：在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点则f′（x）=x2+2mx﹣（n2﹣π）=0有两个不同的根，即判别式△=4m2+4（n2﹣π）＞0，即m2+n2＞π对应区域的面积为4π2﹣π2．如图∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键17. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.参考答案：画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

吉林省实验中学2020届高三第三次模拟考试数学学科（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合A ={}2560x x x -+>，B ={}10x x -<，则A ∩B = （ ）A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞) 2．己知i 为虚数单位，12zi i=-，则复数z 的模为 （ ）ABC ．3D ．5 3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像 （ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位4．①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件； ②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为假的充分不必要条件； ③“p ∨q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件；④“¬p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．以上结论中，正确的是 （ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④5．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 （ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．126．已知向量， 若 ，则的最小值为（ ）A ．12B ．C ．15D ．sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+4π4π2π2π7．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则 （ ）A ． 233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．函数2()ln 8x f x x =- 图象大致为 （ ）A. B.C. D.9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上， 则sin(2)3πθ+=（ ）A ．B ．C ． D10．从[]2,3-中任取一个实数a ，则a 的值使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为 （ ） A ．45B ．35C ．25D ．1511．已知点()2,0A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|F M|：|MN |= （ ） A ．B ．1:2C ．1:D ．1:312．已知曲线 ln x y ae x x =+在点 处的切线方程为 ，则 （ ） A ． B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13．函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．14．在中，内角的对边分别是，若1sin sin sin 2b B a A a C -=，且的面积为，则___________．15．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为___________．16．将正整数排成如表，则在表中第45行第83个数是___________．12345678910111213141516⋯ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆B a sin 2=B cos三、解答题：（本大题共6小题，其中17~21小题为必考题，每小题12分；第22~23为选考题，考生根据要求做答，每题10分） 17．已知函数()21cos sin cos 64f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 的最小正周期； （2）判断函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.18．商场为提高服务质量，随机调查了100名男顾客和100名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 是正方形，,M N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM .（1）求证：平面11B BCC ⊥平面11A ABB ； （2）求证：1A N P 平面BCM ；（3）若三棱柱111ABC A B C -的体积为10，求三棱锥11C BB M -的体积.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，短轴长为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点（2,0）且与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，直线6x =与x 轴交于点D ,E 是直线6x =上异于D 的任意一点，当0AE DE ⋅=时，直线BE 是否恒过x 轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.21．已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()f x x ax <-在1x >时恒成立，求a 的取值范围．选做题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．（1）写出直线l 的直角坐标方程和⊙C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23．已知函数|2|||)(-++=x a x x f ． （1）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（2）若()|4|f x x -…的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．吉林省实验中学2020届高三第三次模拟考试数学（文科）参考答案一．选择题： A B B B D D C CA C C D 二. 填空题： 13. -4 14 . 3415. 36π 16. 2019 三．解答题： 17. 解：（1）由题意，函数()211cos cos cos 24f x x x x x ⎫=⋅+-+⎪⎪⎝⎭211cos cos 24x x x =⋅-+()1121cos 244x x =-++112cos sin 24426x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）由（1）得()1sin 226f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,633x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当22,632x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时，即,46x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减， 当2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦时，即,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递增. 18. 解： （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）()22200804060202009.524 3.8411406010010021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 19. 解：（1）∵AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，∴AB BC ⊥，在正方形11B BCC 中，1BB BC ⊥， ∵1AB BB B ?，∴BC ⊥平面11A ABB .∵BC ⊂平面11B BCC ， ∴平面11B BCC ⊥平面11A ABB .（2）设BC 中点为Q ，连接,NQ MQ ， ∵,N Q 分别是,AC BC 的中点， ∴NQ AB P ，且12NQ AB =. 又点M 是11A B 的中点，∴11112A M AB =. ∵11//AB A B ，且11AB A B =， ∴1//NQ A M ，且1NQ A M =， ∴四边形1A MQN 是平行四边形， ∴1//A N MQ .∵MQ Ì平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， ∴1//A N 平面BCM .（3）连接1A B ，则11111111033B A BC ABC A B C V V --==， ∵M 为11A B 的中点，∴三棱锥11C BB M -的体积11111111523C BB M B B C M B A B C V V V ---===. 20. 解：（1）由题意得2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2a b ==，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0) 证明如下：因为0AE DE ⋅=.所以AE DE ⊥，因为直线l 过点(2,0) ①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，不妨设2,,2,,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭则6,3E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭此时，直线BE的方程为4)3y x =-，所以直线BE 过定点(4,0)； ②直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，所以()16,E y .直线2112:(6)6y y BE y y x x --=--，令0y =，得()122166y x x y y --=--即1212166y x y x y y -+=+-，又222x my =+所以()12121266y my y x y y -++=+-,即证()121212664y my y y y -+++=- 即证()()121220*y y my y +-=联立2211242x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消x 得()223480m y my ++-=， 因为点(2,0)在C 内，所以直线l 与C 恒有两个交点，由韦达定理得，12122248,33my y y y m m +=-=-++代入（*）中得()121222882033m my y my y m m -+-=--=++ 所以直线BE 过定点(4,0)，综上所述，直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0). 21. 解： （1）()1122,(0)ax f x a x x x-'=-=>， ①若0a ≤，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增； ②若0a >,当102x a <<时，()0f x '>，当12x a>时，()0f x '<， 所以10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间，1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是函数()f x 的单调减区间，综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+?；当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由题意可知，不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1x >时恒成立，令()()2ln 211g x x ax a x x =+-+>，， ()()()()()222112111221ax a x ax x g x ax a x x x-++-'-=+-+==， ①若0a ≤，则()0g x '<，()g x 在()1,+?上单调递减，所以()()11g x g a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤； ②若102a <<，则112a >，当112x a <<时，()0g x '<，当12x a>时，()0g x '>， 所以()g x 在112a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，()g x 在1+2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， 所以()1,2g x g a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()0g x '>，()g x 在()1,+?上单调递增，所以()()()1g x g ∈+∞，，不符合题意； 综上所述，10a -≤≤22. 解：（1）由， 从而有．（2）设，2,sin ρθρθ==得(2222+,+3x y x y =-=所以1(32P +又则故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0).23．解：（1）当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩……或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔…或4x …．（2）原命题()4f x x ⇔-…在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--…在[1,2]上恒成立22x ax ⇔---剟在[1,2]上恒成立 30a⇔-剟．|PC |==。

2020届吉林省普通高三第三次联合模拟数学（文）试题一、单选题1．若()26(2)z m m m i =+-+-为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-3 D ．3【答案】C【解析】本题首先可以确定复数()()262z m m m i =+-+-的实部和虚部，然后根据纯虚数的相关性质即可列出方程组，通过计算即可得出结果． 【详解】因为()()262i z m m m =+-+-为纯虚数，所以()()23020m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得3m =-，故选C ．【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查纯虚数的相关性质，纯虚数的实部为0且虚部不为0，考查运算求解能力，考查方程思想，是简单题．2．已知集合{|A x y ==，2{|80}B x x =-<，则A B =I （ ）A ．)+∞B ．(,-∞C ．(0,D ．[0,【答案】D【解析】分别求解集合A,B ，再求两个集合的交集. 【详解】由题可知，集合{|0}A x x =≥，{|B x x =-<，则0,A B ⎡⋂=⎣.选D. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，正确描述集合是求解关键，关注代表元素对集合的影响. 3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 【答案】C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证. 【详解】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.4．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15S S ==，则公比q =（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】首先可以使用2S 的值以及4S 的值计算出42S S -的值，然后通过将2S 转化为12a a +以及将42S S -转化为34a a +即可列出方程组，最后通过计算即可得出结果．【详解】因为23S =，415S =，4212S S -=， 所以1234312a a a a +=⎧⎨+=⎩，两个方程左右两边分别相除，得24q =，因为数列是正项等比数列， 所以2q =，故选D ．本题考查等比数列的相关性质以及数列的前n 和的相关性质，主要考查等比数列的项与项之间的关系，考查运算求解能力，等比数列有公式n m n m a a q -=，是简单题．5．已知实数,x y 满足,430,260,y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．6D ．8【答案】C【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】画出可行域和目标函数，如图所示： 2z x y =+，即122zy x =-+，z 表示直线y 轴上截距的两倍， 根据图像知：当直线2z x y =+过点(2,2)时，z 取得最大值为6. 故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.7．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A．())4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C．())4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则A =()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.8．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()cos '()2f x x xf π=-，若曲线()y f x =在0x =处的切线为l ，则下列直线中与直线l 垂直的是（ ） A ．210x y --= B ．210x y ++= C ．220x y --= D ．210x y ++=【答案】B【解析】先求导数代入2π，求出()2f π'，再求出切线斜率，可得.()'sin '2f x x f π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令2x π=，则1'22f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()1cos 2f x x x =+.()01f =，()1'02f =，所以l 的方程为112y x =+，所以直线210x y ++=与直线l 垂直.选B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解在某点处的切线，把切点横坐标代入导数可得切线斜率.9．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 分别是1，2048，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】C【解析】逐步代入，进行计算，可得结果. 【详解】第一次运算，2i =，2a =，1024b =，a b <； 第二次运算，4i =，8a =，256b =，a b <； 第三次运算，6i =，48a =，1283b =，a b >，所以输出6i =.选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的识别，解决的方法是“还原现场”.10．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C ．13D ．22【答案】D【解析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现. 11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.12．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3,0)对称，且当(0,3)x ∈时，1()()12x f x =-，则函数()f x 在区间[2013,2018]上的（ ）A ．最小值为34-B ．最小值为78- C ．最大值为0 D ．最大值为78【答案】A【解析】先利用奇函数的定义和对称性求出函数的周期，根据简图可得结论. 【详解】因为函数()f x 的图象关于点()3,0对称，所以()()6f x f x +=--.又函数()f x 为奇函数，所以()()6f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，又函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，故()00f =，()()330f f -==，依次类推，()()30f n n N =∈.作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数()f x 在区间[]2013,2018上的图象与在区间[]3,2-上的图象完全一样，可知函数()f x 在(]3,2-上单调递减，且()30f -=，所以函数()f x 在区间[]2013,2018上的最小值为34-.选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质，函数的性质综合考查时一般是作出函数的简图，结合图像可得结论.二、填空题13．已知函数3log ,0()1,0a x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，若[(2)]2f f -=-，则a =_____． 【答案】-2【解析】从内到外，逐个代入相应关系式可得. 【详解】()()232f f f a ⎡⎤-===-⎣⎦.【点睛】本题主要考查分段函数的求值问题，分段函数求值时，一定要“对号入座”.14．已知向量,a b r r 满足2(1,2)a b m +=r r ，(1,)b m =r ，且a r 在b r，则实数m =____． 【答案】2±【解析】计算0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，22m a b ⋅=r r ，根据投影得到42516160m m --=，解得答案. 【详解】向量,a b r r 满足2(1,2)a b m +=r r ，(1,)b m =r，所以0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，22m a b ⋅=r r ，2||||cos 2m a b b a θ⋅=⋅==r r r r ，所以42516160m m --=， 即()()225440m m +-=，解得2m =±． 故答案为：2±. 【点睛】本题考查了向量的数量积，向量投影，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15．数列{}n a 满足13a =，且对于任意的*n N ∈都有，12n n a a n +-=+，则39a =_______．【答案】820【解析】根据条件中的递推关系，利用累加法，求出数列{}n a 的通项公式，然后计算39a 的值. 【详解】因为12n n a a n +-=+， 所以213a a -=，324a a -=， 435a a -=，…，()112n n a a n n --=+≥，上面1n -个式子左右两边分别相加 得()()1412n n n a a +--=，即()()122n n n a ++=，所以3940418202a ⨯==. 【点睛】本题考查累加法求数列通项，求数列中的项.属于中档题.16．在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______．【答案】27【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知MA MC ==1OG MO ==1CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()22233h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，222233h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3h =，253R =，得15R =.所以342015==3O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22sin ()3cos 0B C A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若,234B a π==，求边长c .【答案】（1）3π； （262【解析】（1）把B C A π+=-代入已知条件，得到关于cos A 的方程，得到cos A 的值，从而得到A 的值.（2）由（1）中得到的A 的值和已知条件，求出sin C ，再根据正弦定理求出边长c . 【详解】（1）因为A B C π++=，()22sin3cos 0B C A +-=，所以22sin 3cos 0A A -=，()221cos 3cos 0A A --=， 所以22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=. 因为()cos 1,1A ∈-，所以1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12==. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c aC A=，42=，解得c =.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18．某省确定从2021年开始，高考采用“312++”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行调查. （1）已知抽取的n 名学生中含男生110人，求n 的值及抽取到的女生人数； （2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调杳（假定每名学生在这两个科目中必须洗择一个科目且只能选择一个科目）.下表是根据调查结果得到的22⨯列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理”的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）200n=，女生人数为90；（2）列联表见解析，有99.5%的把握认为选择科目与性别有关，理由见解析；（3）3 5【解析】（1）利用公式：每层抽取数=总人数⨯抽样比计算；（2）利用2K公式计算即可；（3）采用枚举法，枚举出基本事件总数以及事件“2人中至少有1名女生”所包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】（1）因为11020001100n=，所以200n=，女生人数为20011090-=.（2）列联表为：2K的观测值()2200606050308.9997.8791109090110k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为a，b，c，d；2名女生记为A，B.抽取2人所有的情况为(),a b、(),a c、(),a d、(),a A、(),a B、(),b c、(),b d、(),b A、(),b B、(),c d、(),c A、(),c B、(),d A、(),d B、(),A B，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有(),a A、(),a B、(),b A、(),b B、(),c A、(),c B、(),d A、(),d B、(),A B，共9种，故所求 概率为93155P ==. 【点睛】本题考查简单随机抽样、独立性检验以及古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，第三问在枚举情况的时候要注意细心，不要漏掉任意一种情况，本题属于基础题. 19．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，90,60BAD BCD ADC ︒︒∠=∠=∠=且1,AD CD BB =⊥平面1,22ABCD BB AB ==.（1）证明：1AC B D ⊥； （2）求三棱锥11C B BD -的体积. 【答案】（1）见解析； （2）33. 【解析】（1）通过证明ABD CBD ∆≅∆，得到AC BD ⊥，根据线面垂直得到1AC BB ⊥，从而证明AC ⊥平面1BB D ，再得到1AC B D ⊥.（2）先证明1CC P 平面1B BD ，将点1C 到平面1B BD 的距离转化为点C 到平面1B BD 的距离，从而求出四棱锥11C B BD -的体积. 【详解】（1）证明：由90BAD BCD ∠=∠=︒，AD CD =，BD BD =ABD CBD ∆≅∆，所以AB CB =，ADB CDB ∠=∠. 又AD CD =，所以AC BD ⊥.因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD所以1AC BB ⊥，而1,BB BD ⊂平面1BB D , 1BB BD B ⋂= 所以AC ⊥平面1BB D ， 又1B D ⊂平面1BB D ， 所以1AC B D ⊥.（2）解：因为11//CC BB ，1BB ⊂平面1B BD ,1CC ⊄ 平面1B BD 所以1CC P 平面1B BD .所以点1C 到平面1B BD 的距离与点C 到平面1B BD 的距离相等. 又已知122BB AB ==，60ADC ∠=︒，根据（1）的结论知点C 到平面1B BD 的距离为d = 在1Rt BB D V 中2BD =，12BB = 所以1B BD ∆的面积12222S =⨯⨯=，所以三棱锥11C B BD -的体积11112323c B BD c B BD V V --==⨯⨯=. 【点睛】本题考查通过线面垂直证明异面直线垂直，通过线面平行进行三棱锥的等体积转化，属于中档题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出2a 和2b 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，当直线l x ⊥轴时，可得出直线l 的方程为1x =±，可求出四边形OMDN 的面积；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出点D 的坐标，将点D 的坐标代入椭圆C 的方程得出22212k m +=，计算出MN 以及原点O 到直线l 的距离，通过化简计算可得出四边形OMDN的面积为，进而得证.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得12x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，此时，MN =OMDN的面积为122= 同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12212MN x x k =-==+，点O 到直线MN 的距离21m d k=+，由OM OC OD +=u u u u r u u u r u u u r，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k=+=+， Q 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN 的面积为22222122422212121OMDN OMNm k m S S MN d k k k ∆⋅+-==⨯⨯=+⨯⨯++()()()()2222222222184214842621621k k k m k m k k ⎡⎤++-++-⋅+⎣⎦====+.故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为6. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积的计算，考查定值问题，一般利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21．已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，，求的最大值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）求出导数，讨论参数a 的取值;（2）构造新函数，把双变量问题转化为单变量. 【详解】 解：（1）函数的定义域为，由，得，当时，，所以函数在上单调递增. 当时，则时，，函数在上单调递减；时，，函数在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，函数在上单调递增，当时，与相矛盾；当时，，，所以，此时.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.，即，则. 令，则. 令，则，令，则，当时，，即当，时，的最大值为.综上，的最大值为. 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，利用导数讨论函数的单调性问题时，注意参数的分类依据.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为424πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，若1117||||4MA MB +=，求sin α的值. 【答案】（1）22(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-为圆心，22（2）15sin α=【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t 的几何意义结合1117||||4MA MB +=求解出sin α的值. 【详解】解：（1）由424πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=. 所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=.设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.12121211||||||||||||4t t t t MA MB MA MB MA MB t t +-++======， 解得21cos16α=，则sin α==. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 23．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8{|2}3x x x ≤≥或； （2）13(2,]5. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a 的取值范围，判断x a +，4x +为正，去掉绝对值，转化为254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立,得到4a ≤，4254a x a -≤-≤-，在[],22x a a ∈-恒成立，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即223x x <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，2x <-或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即5283x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，83x ≥ 综上：2x ≤或83x ≥， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[],22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，又[],22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-.所以21449a a a a ≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤， 结合24a <≤， 所以1325a <≤，即a的取值范围为13 2,5⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.。

2020-2021学年吉林省长春实验中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，3，5}，B={x|x>3或x<1}，则(∁R B)∩A=()A. {−1,0，5}B. {1,2，3}C. {2,3}D. {1,3}2.复数z=3+i1−2i(其中i为虚数单位)，则|z−|=()A. 2B. 43C. √2D. √53.若向量a⃗=(2,−1)，b⃗ =(−3,2)，则3a⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 的夹角余弦值为()A. −√22B. −√32C. −3√1010D. −3√13134.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？(注：1两等于10钱)()A. 乙分8两，丙分8两，丁分8两B. 乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C. 乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D. 乙分9两，丙分8两，丁分7两5.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2−2x=0相切，则a的值为()A. −1，1B. −2，2C. 1D. −16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2π+4√33B. 2π+12√33C. 4π+4√33D. 4π+12√337.函数f(x)=2x√9−x2e x+e−x的图象大致为()A.B.C.D.8. 设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间[−1,0)上单调递增，且f(x +2)=−f(x)，则有( )A. f(13)<f(32)<f(1) B. f(1)<f(32)<f(13) C. f(1)<f(13)<f(32)D. f(32)<f(1)<f(13)9. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π2)的图象关于直线x =π3对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )A. (−π12,0)B. (π3,1)C. (5π12,0)D. (π12,0)10. 已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD//BC ，AB =DC =AD =2，BC =PA =4，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为( )A. 16πB. 64√2π3C. 16√2π3D. 16√2π11. 已知点P(x 0,y 0)(x 0≠±a)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO ⊥PM(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A. (0,√33) B. (√33,1) C. (√22,1) D. (0,√22) 12. 设函数f′(x)是函数f(x)(x ∈R)的导函数，已知f′(x)<f(x)，且f′(x)=f′(4−x)，f(4)=0，f(2)=1，则使得f(x)−2e x <0成立的x 的取值范围是( )A. (−2,+∞)B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. (4,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某社团计划招入女生x 人，男生y 人，若满足约束条件{2x +y ≥46x −y <122x −3y ≥−12，则该社团今年计划招入的学生人数最多为______．14. 若函数f(x)=√33x3−lnx +x ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的倾斜角是______．15.设f(x)是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)−f(−x)=0，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，若函数g(x)=f(x)−log a x(a>0且a≠1)在x∈(0,+∞)上有且仅有三个零点，则a的取值范围为______．16.在△ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若(a+b)sinB=csinC−asinA，c=2√3，△ABC的面积记为S，则当S+2取最小值时，ab=______S三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列{a n}中，a1=4，na n+1−(n+1)a n=2n2+2n．}的通项公式；(1)求数列{a nn}的前n项和S n．(2)求数列{1a n18.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m⃗⃗⃗ =(a,b)，n⃗=(sinB,sinA)，p⃗=(b−2,a−2)．(1)若m⃗⃗⃗ //n⃗，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⃗⃗⃗ ⊥p⃗，边长c=2，角C=π，求△ABC的面积．319.某iphone手机专卖店对某市市民进行iphone手机认可度的调查，在已购买iphone手机的1000名市民中，随机抽取100名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：分组(岁)频数[25,30)5[30,35)x[35,40)35[40,45)y[45,50]10合计100(1)求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iphone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iphone6s手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，PD=BD，且PD⊥平面ABCD．(Ⅰ)证明：平面PBC⊥平面PBD；(Ⅱ)若Q为PC的中点，求三棱锥D−PBQ的体积．21. 已知函数f(x)=lnx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性； (Ⅱ)证明：e x −e 2lnx >0恒成立．22. 已知直线l 的参数方程为{x =4+√22t,y =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．(1)求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；(2)动点P 在圆C 上(不与A ，B 重合)，试求△ABP 的面积的最大值．23.已知函数f(x)=|x−a|+|2x−1|−1(a∈R)的一个零点为1．(1)求不等式f(x)≤1的解集；(2)若1m +2n−1=a(m>0,n>1)，求证：m+2n≥11．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A ={−1,0，1，3，5}，B ={x|x >3或x <1}， 则∁R B ={x|1≤x ≤3}， 所以(∁R B)∩A ={1,3}． 故选：D ．根据补集和交集的定义，计算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：设复数z =3+i1−2i ， 则|z −|=|z|=|3+i1−2i |=|3+i||1−2i| =√32+12√12+(−2)2=√10√5=√2．故选：C ．根据|z −|=|z|，计算即可．本题考查了共轭复数与复数的模运算问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：3a ⃗ +b ⃗ =(3,−1),a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，∴|3a ⃗ +b ⃗ |=√10,|a ⃗ +2b ⃗ |=5，(3a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b⃗ )=−12−3=−15， 设3a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=(3a ⃗ +b ⃗)⋅(a ⃗ +2b ⃗)|3a ⃗ +b ⃗ ||a ⃗ +2b⃗ |=5√10=−3√1010． 故选：C ．可以求出3a ⃗ +b ⃗ 和a ⃗ +2b ⃗ 的坐标，进而可求出|3a ⃗ +b ⃗ |，|a ⃗ +2b ⃗ |和(3a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )的值，从而得出3a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ +2b⃗ 的夹角余弦值． 本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1=10.4，a5=5.6，所以a5=a1+4d=5.6，即10.4+4d=5.6，解得d=−1.2，可得a2=a1+d=10.4−1.2=9.2；a3=a1+2d=10.4−1.2×2=8；a4=a1+3d=10.4−1.2×3=6.8，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1=10.4，a5=5.6，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线(1+a)x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．【解答】解：x2+y2−2x=0即(x−1)2+y2=1，表示以(1,0)为圆心、半径等于1的圆，∴圆心到直线(1+a)x+y+1=0的距离d=，√(a+1)2+1∵直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2−2x=0相切，∴d==1，√(a+1)2+1解得a=−1．故选D．6.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为√3． 则该组合体的体积V =12×43π×13+13×2×2×√3=2π+4√33． 故选：A ．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上半部分是半径为1的半球，下半部分为正四棱锥，底面是边长为2的正方形，高为√3.再由球与棱锥体积公式求解． 本题考查由三视图求几何体体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】D【解析】解：f(x)的定义域为[−3,3]， 当x =±3时，f(±3)=0，故排除ABC ， 故选：D ．求出函数的定义域，根据f(±3)=0，故排除ABC ，即可求出．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性，函数值的特点，属于基础题．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查函数的单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．根据题意，可得f(32)=−f(−12)=f(12)，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在区间(0,1]上单调递增，进而可得f(13)<f(12)<f(1)，进而分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(x +2)=−f(x)， 当x =−12时，有f(32)=−f(−12)=f(12)，函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，在区间[−1,0)上单调递增， 则f(x)在区间(0,1]上单调递增， 则有f(13)<f(12)<f(1)， 则有f(13)<f(32)<f(1)， 故选：A ．9.【答案】D【解析】解：由已知函数f(x)的周期为π，则2πω=π， 所以ω=2，则f(x)=Asin(2x +φ)，又函数的对称轴方程为x =π3，则2×π3+φ=π2+kπ,k ∈Z ， 解得φ=kπ−π6，k ∈Z ，又|φ|≤π2，所以φ=−π6， 故函数f(x)=Asin(2x −π6)， 令2x −π6=kπ，k ∈Z ，解得x =kπ2+π12，k ∈Z ，令k =0，则x =π12，所以函数的一个对称中心为(π12,0)， 故选：D ．由周期定义即可求出ω的值，然后根据正弦函数的对称轴方程以及φ的取值范围即可求出φ的值，再根据正弦函数的对称中心即可求解．本题考查了三角函数的周期性以及对称性，涉及到正弦函数的性质，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：如图，由题意，ABCD为等腰梯形，作AE⊥BC，DF⊥BC与E，F，则BE=CF=1，可得AE=√3，取BC中点M，连接AM，易得AM=2，故M到A，B，C，D距离相等，为球小圆的圆心，取PA中点N，则ANOM为矩形，在等腰直角三角形AMO中，得球半径OA=2√2，故球O的体积为：43π×OA3=64√2π3，故选：B．利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点，取PA中点N，在矩形ANOM 中，求得半径OA，得解．此题考查了球内接几何体及球体积的求法，难度适中．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了椭圆的离心率的求法，两个向量坐标形式的运算问题，也考查了一元二次方程在一个区间上有实数根的应用问题，是难题．根据平面向量的数量积运算得出x 0与y 0的关系，再代入椭圆方程中，整理得关于x 0的方程，构造函数f(x)，考查函数的零点情况，从而求得−a 2、b 2的关系，再求椭圆C 的离心率e 的取值范围． 【解答】解：由题意知M(a,0)，点P(x 0,y 0)， 则PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0,−y 0)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0,−y 0)， ∵PO ⊥PM ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 0)(a −x 0)+(−y 0)(−y)=0，∴y 02=ax 0−x 02>0；又−a <x 0<a ，代入椭圆方程中，整理得(b 2−a 2)x 02+a 3x 0−a 2b 2=0；令f(x)=(b 2−a 2)x 2+a 3x −a 2b 2=0，x ∈(−a,a)； ∵f(0)=−a 2b 2<0，f(a)=0， 如图所示：△=(a 3)2−4×(b 2−a 2)×(−a 2b 2)=a 2(a 4−4a 2b 2+4b 4)=a 2(a 2−2c 2)2≥0， ∴对称轴满足0<−a 32(b 2−a 2)<a ，即0<a 32(a 2−b 2)<a ， ∴a 22c 2<1，∴c 2a 2>12，∴e =ca >√22； 又0<e <1， ∴√22<e <1；则椭圆C 的离心率e 的取值范围是(√22,1)．故选C ．12.【答案】B【解析】解：设F(x)=f(x)e x，则F′(x)=f′(x)−f(x)e x<0，即函数F(x)在R 上单调递减， 因为f′(x)=f′(4−x)，即导函数y =f′(x)关于直线x =2对称，所以函数y =f(x)是中心对称图形，且对称中心(2,1)， 由于f(4)=0，即函数y =f(x)过点(4,0)， 其关于点(2,1)的对称点(0,2)也在函数y =f(x)上， 所以有f(0)=2， 所以F(0)=f(0)e 0=2，而不等式f(x)−2e x <0即f(x)e x<2，即F(x)<F(0)， 所以x >0，故使得不等式f(x)−2e x <0成立的x 的取值范围是(0,+∞)． 故选：B ．构造函数F(x)，利用F(x)的导数判断函数F(x)的单调性，求出不等式的解集即可． 本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，是综合题目．13.【答案】9【解析】解：画出约束条件{2x +y ≥46x −y <122x −3y ≥−12表示的平面区域，如图阴影部分所示；由题意知，联立{6x −y =122x −3y =−12，解得{x =3y =6，所以点C(3,6)；则目标函数过点C 时取得最大值为z =x +y =3+6=9， 即该社团今年计划招入的学生人数最多为9人．画出约束条件表示的平面区域，利用图形找出最优解，求出目标函数的最大值． 本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．14.【答案】2π3【解析】解：函数f(x)=√33x 3−lnx +x 的导数为f′(x)=−√3x −4−1x +1，可得曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为−√3−1+1=−√3， 设切线的倾斜角是θ，可得tanθ=−√3， 由0≤θ<π，且θ≠π2，可得θ=2π3，故答案为：2π3．求得f(x)的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，再由直线的斜率公式，可得倾斜角．本题考查导数的几何意义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】(3,5)【解析】解：∵对任意的实数x ，恒有f(x)−f(−x)=0，∴函数f(x)是周期为2的偶函数， ∵当x ∈[−1,0]时，f(x)=x 2，∴若x ∈[0,1]，则−x ∈[−1,0]，即f(−x)=(−x)2=x 2=f(x)， 即f(x)=x 2，x ∈[−1,0]，而g(x)=f(x)−log a x 在x ∈(0,+∞)有且仅有三个零点可化为函数f(x)与ℎ(x)=log a x 在x ∈(0,+∞)上有三个不同的交点， 故作函数f(x)与ℎ(x)=log a x 在(0,+∞)上的图象可得， 若0<a <1，则两个函数只有一个交点，不满足条件．则a >1，若函数f(x)与ℎ(x)=log a x 在x ∈(0,+∞)上有三个不同的交点， 则{ℎ(3)<1ℎ(5)>1，即{log a 3<1log a 5>1，即{a >3a <5，故3<a <5； 故答案为：(3,5)．由题意可判断出函数f(x)是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象，利用数形结合进行求解即可求a 的取值范围．本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的奇偶性和函数在一个周期内的图象，利用数形结合是解决本题的关键．16.【答案】4√63【解析】解：∵(a +b)sinB =csinC −asinA ， ∴(a +b)b =c 2−a 2，可得a 2+b 2−c 2=−ab ， ∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=−ab 2ab=−12，∵C ∈(0,π)， ∴C =2π3，∵△ABC的面积记为S，S+2S ≥2√2，当且仅当S=2S，即S=√2=12absinC=√34ab时等号成立，解得此时ab=4√63．故答案为：4√63．由正弦定理化简已知等式可得a2+b2−c2=−ab，利用余弦定理可求cosC=−12，结合范围C∈(0,π)，可求C=2π3，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵na n+1−(n+1)a n=2n2+2n，两边同时除以n(n+1)，得a n+1n+1−a nn=2(n∈N∗)，∴数列{a nn}是首项为4，公差为2的等差数列，∴a nn=2n+2；(2)由(1)，得a nn=2n+2，∴a n=2n2+2n，故1a n =12n2+2n=12(1n−1n+1)，∴S n=12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=12(1−1n+1)=n2(n+1)．【解析】(1)已知等式变形为a n+1n+1−a nn=2(n∈N∗)，求出数列{a nn}是首项为4，公差为2的等差数列，从而求出其通项公式即可；(2)求出1a n =12(1n−1n+1)，根据裂项相消法求和即可．本题考查了求等差数列的通项公式，考查根据裂项相消法求和问题，是一道常规题．18.【答案】证明：(1)∵m⃗⃗⃗ //n⃗，∴asinA=bsinB，即a⋅a2R =b⋅b2R.其中R为△ABC外接圆半径．∴a =b ，∴△ABC 为等腰三角形． (2)由题意可得：m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =0， ∴a(b −2)+b(a −2)=0， ∴a +b =ab ，由余弦定理4=a 2+b 2−2ab ⋅cos π3， ∴4=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ， ∴(ab)2−3ab −4=0， ∴ab =4或ab =−1(舍去)．∴S △ABC =12absinC =12×4×sin π3=√3．【解析】本题考查了向量的平行与垂直，属于基础题．(1)利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用正弦定理变形得到三角形是等腰三角形．(2)利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．19.【答案】解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，{5+x +35+y +10=1000.04×5×100=x，解得x =20，y =30． 频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的频率组距为0.35=0.06，所以补全的频率分布直方图如下：(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在[25,30)内的市民的人数为5×525=1，记为A 1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5×2025=4，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4． 从这5人中任取2人的所有基本事件为：{A 1,B 1}，{A 1,B 2}，{A 1,B 3}，{A 1,B 4}，{B 1,B 2}，{B 1,B 3}， {B 1,B 4}，{B 2,B 3}，{B 2,B 4}，{B 3,B 4}，共(10分)． 记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M ，则M 所包含的基本事件有4个：{A 1,B 1}，{A 1,B 2}，{A 1,B 3}，{A 1,B 4}. 所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P(M)=410=25．【解析】(1)由频数分布表和频率分布直方图求出x =20，y =30.频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的频率组距为0.35=0.06，由此能补全的频率分布直方图．(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，年龄在[25,30)内的市民的人数为5×525=1，记为A 1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5×2025=4，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4.从这5人中任取2人，利用列举法能求出这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率． 本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．20.【答案】证明：(Ⅰ) 在△ABD 中，由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cosA =3∵AD 2+BD 2=AB 2，∴AD ⊥BD ， ∵AD//BC ，∴BC ⊥BD ．又∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴PD ⊥BC ． ∵PD ∩BD =D ，∴BC ⊥平面PBD ． ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ．解：(Ⅱ)∵Q 为PC 的中点，∴三棱锥D −PBQ 的体积： V D−PBQ =12V D−PBC ，V D−PBQ =12V D−PBC =12V P−BCD =12⋅13⋅12⋅1⋅√3⋅√3=14． ∴三棱锥D −PBQ 的体积V D−PBQ =14．【解析】(Ⅰ)由余弦定理得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cosA=3，从而AD⊥BD，再由AD//BC，得BC⊥BD，由线面垂直得PD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．(Ⅱ)三棱锥D−PBQ的体积：V D−PBQ=12V D−PBC=12V P−BCD.由此能求出三棱锥D−PBQ的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：求导函数，可得f′(x)=1x−a(x>0)当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上是增函数；当a>0时，由f′(x)>0可得0<x<1a ，由f′(x)<0可得x>1a，∴当a≤0时，函数f(x)的单调增区间是(0,+∞)；当a>0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1a )，单调减区间是(1a,+∞)；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当a>0时，f(x)=lnx−ax≤ln1a−1，特别地，取a=1e ，有lnx−xe≤0，即lnx≤xe，所以e2lnx≤ex(当且仅当x=e时等号成立)，因此，要证e x−e2lnx>0恒成立，只要证明e x≥ex在(0,+∞)上恒成立即可，设g(x)=e xx (x>0)，则g′(x)=e x(x−1)x2，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以，当x=1时，g(x)min=g(1)=e，即e x≥ex在(0,+∞)上恒成立．因此，有e x≥ex≥e2lnx，又因为两个等号不能同时成立，所以有e x−e2lnx>0恒成立．【解析】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；(Ⅱ)要证e x−e2lnx>0恒成立，只要证明e x≥ex在(0,+∞)上恒成立即可，设g(x)=e x x(x >0)，根据函数的单调性证明即可．22.【答案】解：(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，所以x 2+y 2−4x =0，所以圆C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4． 将直线l 的参数方程代入圆C ：(x −2)2+y 2=4，并整理得t 2+2√2t =0， 解得t 1=0，t 2=−2√2．所以直线l 被圆C 截得的弦长为|t 1−t 2|=2√2． (2)直线l 的普通方程为x −y −4=0． 圆C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，可设曲线C 上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)， 则点P 到直线l 的距离d =√2=|2cos(θ+π4)−√2|，当cos(θ+π4)=−1时，d 取最大值，且d 的最大值为2+√2． 所以S △ABP ≤12×2√2×(2+√2)=2+2√2， 即△ABP 的面积的最大值为2+2√2．【解析】本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查点到直线的距离以及三角函数的性质，是一道中档题．(1)根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆C 的直角坐标方程即可，联立直线的参数方程和圆的方程，求出弦长即可；(2)求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线C 上的动点P(2+2cosθ,2sinθ)，求出点P 到直线l 的距离，结合三角函数的性质求出△ABP 的面积的最大值．23.【答案】解：(1)因为函数f(x)=|x −a|+|2x −1|−1(a ∈R)的一个零点为1，所以a =1，又当a =1时， f(x)=|x −1|+|2x −1|−1， f(x)≤1⇒|x −1|+|2x −1|≤2，上述不等式可化为{x ≤121−x +1−2x ≤2或{12<x <11−x +2x −1≤2或{x ≥1x −1+2x −1≤2，解得{x ≤12x ≥0或{12<x <1x ≤2或{x ≥1x ≤43所以0≤x ≤12或12<x <1或1≤x ≤43，所以原不等式的解集为{x|0≤x≤43}(2)由(1)知1m +2n−1=a=1，因为m>0，n>1，所以m+2(n−1)=[m+2(n−1)](1m +2n−1)=5+2mn−1+2(n−1)m≥9，当且仅当m=3，n=4时取等号，所以m+2n≥11．【解析】(1)由题得a=1，分类讨论去绝对值；(2)变形后，用基本不等式证明．本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式在证明中的应用，属中档题．第21页，共21页。

吉林省东北师范大学附属中学2020学年度上学期高三数学第三次统一考试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．函数2y 2cos x 1=-的最小正周期是 （ ）A.2πB.πC.2πD.4π2．若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是 （ ） 22A.a b < 2B.ab b < b aC.2a b+> D.a b a b +>+ 3．已知等差数列的前n 项和为S n ，若4518a a =-，则S 8等于 （ ） A.18 B.36 C.54 D.724．条件则条件,2:,1|:|-<>x q x p ┓p 是 ┓q 的 （ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件又不是必要条件5．设===,,，当μλ+=，且1=+μλ时，点C 在 ( ) A ． 直线A B 上B ．线段AB 上C ． 直线AB 上，但除去点AD ．直线AB 上，但除去点B6．在锐角ABC ∆中，若2C B =，则ABAC的范围是（ ）A ．（0，2）B ．）C ．（D ． 7．sin 202cos10sin 70︒-︒︒的值是（ ）A ．12- B ． C ．D ．8．已知2π-≤x ≤2π，向量(sin (1,cos )a x b x ==v v ，则a b ⋅v v 的（ ）A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是12- C ．最大值是2，最小值是－2 D ．最大值是2，最小值是－19．不等式组(5)()003x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域的面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．4810．已知直线l ：90x y +-=和圆M ：22228810x y x y +---=，A 为直线l 上一点，B 、C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，边AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围是 （ ） A ．[－3，3] B ．[3，6] C ．[－6，6] D ． [0，9] 二、填空题：（(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中所给横线上。

2019-2020年高三上学期第三次月考数学试卷(文科) 含解析1.A.2.A.3.A.4.A.5.A.6.A.•选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60 分.已知集合M={1, 2}，N={b|b=2a- 1, a€ M}，则M U N=({1} B. {1，2} C. {1，2，3} D. ?复数-、一(i是虚数单位)的实部是( )2 B - 2 C-丄D -2' 2若a=20.1，b=log n3，c=log2Si n—：—，贝U( )b>a>c B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a兀函数yPsin (百-2x)，(x€ [0,冗])为增函数的区间是(7T n 77T n 57t 5 兀[0，]B. L，一] C. [，]D. [，n已知数列{a n}为等差数列，且%+a7+a13=4n则tan (a2+a〔2)-二 B. = C•丁D.-:已知向量-、不共线，’二:■ I’；.二二二| ■ ‘I二，丨-[，如果| ‘，那么(12' 12的值为(•、k=1且与一同向B.k=- 1且与同向k=1且与反向D. k=- 1且■与一反向C.8.f (|x|+1)的图象大致是( )函数f (x) =sin(3X©) (x€ R) ( w>0，| v =)的部分图象如图所示，如广/ 兀7T、果J 匸I 一〒：—：，且 f (X1)=f (X2)，贝U f (X什X2)=(i 11 F T\A 2 A. 2B.浮C.卷D. 12 29.已知等比数列｛a n｝的前n 项和为S n,且S5=2,Si o=6,则a i6+a i7+a i8+a i9+a2o=( )A. 54B. 48C. 32D. 1610. 设函数f (x) =cos 3X(3>0),将y=f (x)的图象向右平移¥个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则3的最小值等于( )A. B. 2 C. 8 D. 1211. 下列命题中：①在△ ABC中，若cosA v cosB,则A> B；②若函数f (x)的导数为f (x), f (X0)为f (x)的极值的充要条件是f (X0)=0；③函数y=| tan (2x+=) |的最小正周期为一；④同一直角坐标系中，函数f (x) =sinx的图象与函数f (x) =x的图象仅有三个公共点.其中真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 已知函数f (x)是(-X, +x)上的偶函数，若对于x>0,都有f (x+2) =f(x),且当x€ [0, 2)时,f (x) =log2 (x+1),则 f (- 2009) +fA.- 2B.- 1C. 2D. 1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知f (x)为奇函数，g (x) =f (x) +9, g (- 2) =3,则f (2) = ________ .14. 在△ ABC中，已知一心—L二二八.，则角B= _____ .15. △ ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为厂厂. 则上的值为a ------16. 已知f (x) =x2, g (x) = ( .) x—m,若对任意X i € ［- 1 , 3］，总存［0, 2］，在使得f (x i)> g (X2)成立，贝U实数m的取值范围是______ .三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.◎7T17. 已知f (x) =4cosxsin( x+ ) - 1 .(I)求f (x)的最小正周期；TT TT(U)求f (x)在区间［-=，］上的最大值和最小值.18. 已知等比数列｛a n｝中，：：I - - W '.(I)求数列｛a n｝的通项公式；(U)求数列｛(2n- 1) ?a n｝的前n项的和S n.19 .在锐角△ ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a，b，c且~ ~ T二士 '■ . | . ■；.，若C=a2 +b2- ab(1)求角A、B、C的大小(2)若边c=6,求边b的值.20.等比数列｛a n｝的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a?a6，(I)求数列｛a n｝的通项公式；(U)设b n=log3a1+log s a2+-+log3a n，求数列｛｝的前n 项和.21 .已知函数f (x) = x3- ax2+ (a2- 1) x+b (a, b€ R).(1)若x=1为f (x)的极值点，求a的值；(2)若y=f (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为x+y- 3=0,求f (x)在区间［-2, 4］上的最大值；(3)当a^ 0时，若f (x)在区间(-1, 1)上不单调，求a的取值范围.［选修4-4 :坐标系与参数方程选讲］22 .选修4 - 4：坐标系与参数方程极坐标系中，已知圆心,,半径r=1(t为参数)与圆交于A, B两点，求AB的中点C与点P (1)求圆的极坐标方程;(—1, 0 )的距离.2016-2017学年内蒙古准格尔旗世纪中学高三（上）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一•选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1 已知集合M={1, 2}, N={b|b=2a- 1, a€ M}，则M U N=（）A. {1}B. {1, 2}C. {1, 2, 3}D. ?【考点】并集及其运算.【分析】由题设条件先分别求出集合M和N,再由集合的运算法则求出M U N.【解答】解：•••集合M={1, 2} , N={b|b=2a- 1, a€ M}={1, 3},••• M U N={1, 2, 3}.故选C.2.复数匸y （i是虚数单位）的实部是（）A. 2B.- 2C.—D.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数——得答案.1+1【解答】解：由］•; = :: +「.「：：... - …:,得复数亡（i是虚数单位）的实部是：.. 故选：D.… 0 13.若a=2 . , b=log n3, c=log2Sin，则（A. b>a>cB. a>b>cC. c>a>bD. b>c>a【考点】对数值大小的比较.【分析】与1, 0比较，即可比较出大小.【解答】解：T a=20.1> 1,0v b=log n3v log n n =, 0< sin v 1,则c=log2Sin v0,••• a> b> c,故选B4.函数y=2sin （罟-2x）, （x€ [0, n ）为增函数的区间是（）Ac nA. [0, 一] c IT ?7t 兀5Tt 57T.U , ]. [, ]. [, n【考点】正弦函数的单调性.【分析】化简函数y=2sin(=-2x),利用正弦函数的图象与性质，求出y在x€[0, n的增区间即可.71 jv【解答】解：T y=2sin( —2x) =-2sin(2x- ),TT•只要求y=2sin (2x-)的减区间，6••• y=sinx 的减区间为[2k n+ ., 2k n+ ],人IT IT 3兀•••令2x- • € [2kM - , 2k n+寸],解得x€ [ k n+ . , k n+ ],又x€[o , n,n 5?r •x€ [,.].故选：C.5.已知数列｛a n｝为等差数列，且a i+a7+a i3=4n则tan （a2+a i2）的值为（）A. -「B. —C.丄「D.- —【考点】等差数列的性质；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正切函数.43T g Jt【分析】因为a1+a7+a13=4n,则a7=「.,所以tan （a2+a〔2）=tan2a7=tan ：.,由诱导公式计算可得答案.【解答】解：：a1+a7+a13=4n,/. tan (a2+a i2)=tan2a z=tan^-= 故选A.6.已知向量一、不共线,:二:..‘ | J二-二|二,i - 1，如果—「.,那么( )A. k=1且厂与，-同向B. k=1且与反向C. k=- 1且与同向D. k=- 1且■与 -反向【考点】平面向量的基本定理及其意义；平行向量与共线向量.【分析】由题意可得：b),(入为实数)，即(k-为£+ (1 + X)匕=Q, 由对应系数相等可得入k的值，进而可得向量反向.【解答】解：由题意可得：L ,「「二“，i -【‘，(入为实数)，即(k—入)£+ (1 + ^ 七=C，-- fk- ^=0:向量&匕不共线，「｛i+g，解得k= X —1，故c=—c，即七，€反向故选DD.【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象与图象变化. (log (x+1), x>0【分析】先导出—■■再由函数f(X)=log a x是增函数知，a> 1.再由对数函数的图象进行判断.【解答】解：「丄I - i ：-厂二'v L I ：'- a 由函数f (X )=log a x 是增函数知，a > 1 . 故选B.(x € R ) ( 3>0， | V =)的部分图象如图所示，如 且 f (X 1)=f (X 2)，则 f (X 1+X 2)=( )成首项是2、公比也是2等比数列，由等比数列的通项公式求出 S 2o - S5的值，即可得答案.【解答】解：由题意得S 5=2， S io =6， Si o _ S 5=4,因为等比数列中S 5、S o -S 5、S15- So 、S 20- S i5…成等比数列，log [-(X 1) ] r K<0,3.8.函数 f (x ) =sin (3X©)【考点】由y=Asin (©) 的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性.【分析】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函 数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出 f (X 1+X 2)即可.【解答】解：由图知，T=2X - ①=2因为函数的图象经过(- 7T JT .p)=n ，It r7TUP C)，0=sin (—可 +?)•••「：，所以？=；, 二 I 「一扛 l:+ ， ::: j +；：7二$ 兀 | 一-所以玖巧仏』二“口匹-亚 TV丁,故选C.9.已知等比数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n,且 S 5=2,Si o =6,则 a 16+a 17+a 18+a 19+a 20=( ) A . 54 B . 48 C . 32 D. 16 【考点】等比数列的性质.【分析】根据题意和等比数列的片段和性质得： S 5、S10 - S 5、Si 5 - S10、S 20 -所以此等比数列的首项是2、公比也是2，则S2o - Si5=2x 8=16，即a i6+a i7+a i8+a i9+O2o=16，故选：D.io.设函数f (x) =cos 3X(3>0)，将y=f (x)的图象向右平移*个单位长度后, 所得的图象与原图象重合，则①的最小值等于( )A. ,B. 2C. 8D. i2【考点】函数y=Asin(3x©)的图象变换.TT【分析】函数图象平移一个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平4移整数个周期，容易得到结果.【解答】解：f X x)的周期T=，函数图象平移一^个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以一=k? 1 ，k€乙令k=i，可得3 =8故选：C.ii. 下列命题中：①在△ ABC中，若cosA v cosB,则A> B；②若函数f (x)的导数为f (x)，f (x o)为f (x)的极值的充要条件是f (x o) =0；n n③函数y=| tan (2x+=) |的最小正周期为〒；④同一直角坐标系中，函数f (x) =sinx的图象与函数f (x) =x的图象仅有三个公共点.其中真命题的个数为( )A. oB. iC. 2D. 3【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①根据余弦函数在0度到180度上的单调性即可判断得到答案.②根据导数值为0,函数不一定取极值，但函数在极值点的导数值一定为0,可以判断真假；③由函数y=|ta n(3X )|(3> 0)的最小正周期为，可判定函数y=|ta n(2x+ )d W J |的最小正周期；④由x€( 0,——)时，x>sinx可判断.【解答】解：对于①：因为在△ ABC中，角A与角B都大于0小于180度，而余弦函数在区间0度到180度上是减函数，故正确；对于②，若函数f (x)的导数为f '(X), f (刈)为f (x)的极值的必要条件是f '(刈) =0，故②错误；③由函数y=| ta n(3X )|(3> 0)的最小正周期为一：，可判定函数y=| ta n(2x+ )JT|的最小正周期为.，故正确；④，由x€(0，——)时，x>sinx，：同一直角坐标系中，函数f (x) =sinx的图象与函数f (x) =x的图象仅有1个公共点，故错.故选：C12•已知函数f (乂)是(-X, +x)上的偶函数，若对于x>0,都有f (x+2) =f(x)，且当x€ [0, 2)时,f (x) =log2 (x+1)，则 f (- 2009) +fA.- 2B.- 1C. 2D. 1【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；对数的运算性质.【分析】由偶函数的性质及函数的周期性将 f (- 2009) +f时上的函数值表示出来，代入解析式求出值【解答】解：•数f (x)是(-X, +x)上的偶函数，且对于x>0,都有f (x+2)=f (x),••• f (- 2009) +f+f+f (0)又当x€ [0, 2)时,f (x) =log2 (x+1),••• f (- 2009) +f+f (0) =log2 (1) +log2 (1+1) =1,故选D.二•填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知 f (x )为奇函数，g (x ) =f (x ) +9, g (-2) =3,则 f (2) = 6 .【考点】函数奇偶性的性质.【分析】将等式中的x 用2代替；利用奇函数的定义及 g (- 2) =3,求出f (2) 的值. 【解答】解：：g (-2) =f (- 2) +9 ••• f (x )为奇函数 ••• f (-2) =-f (2) ••• g (-2) =-f (2) +9 •- g (-2) =3 所以f (2) =6 故答案为614 .在△ ABC 中，已知 亠&二「，皿「二：q ‘ 2- 1巴•八 ，则角B= — 【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求出 sinA ,再根据A - B 的范围求出 cos (A - B )和 sin (A - B )的值，由 cosB=co$A -( A - B )］，利用两角和差的 余弦公式求得结果.【解答】解：在△ ABC 中， ••• A €(0，今)，cosA #，二 sinA^^， 又 B v A v =，「. 0v A - B v ，••• cos (A - B ) =—T ，••• sin (A - B )== :.••• cosB=co$A -( A - B ) ]=cosAcos(A - B ) +sinAsin (A - B )「n• B=.•••B €( 0,7T15. △ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 c- :: - ■■: ■ a.::.I V.-.Z :. '.1：:：；^ ~ ,则的值为 二. a 【考点】正弦定理.【分析】根据正弦定理和三角函数的平方关系，即可求出的值.a 【解答】解：△ ABC 中，as in Asi nB^bcoSA= :_a ,根据正弦定理，得 sin 2AsinB+sinBco^A= .「sinA , 可得 sinB (sin 2A+co^A ) = :_sinA , ■/ si n 2A+cos 2A=1, si nB= : si nA , 得 b= : a , 可得 =..a 故答案为：一.16.已知 f (x ) =/, g (x ) = ( .) x — m ,若对任意 X i € [ - 1 , 3]，总存 x ?€ [0, 2]，在使得f (x 1)> g (x z )成立，贝U 实数m 的取值范围是 m 》 .【考点】三角函数的化简求值.【分析】对于任意的为，总存在X 2使f (X 1)A g (X 2)成立，转化为f (x ) min > g(X )min , 从而问题得解.【解答】解：对任意X 1 € [ - 1, 3]，存在X 2€ [0, 2]，使得f (X 1)>g (X 2)成立, 当 X 1 € [ - 1, 3]时，f (x ) =X 2€ [0, 9]，即 f (X ) min =0； 当 X 2€ [0, 2]时，g (x ) = ( -) x - m € [厂 m , 1 - m],.g (x ) min =- m ；故答案为:7T只需 f (x ) min > g (x )min ,故答案为：m三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答时应写出必要文字说明、证明过程 或演算步骤. 【分析】(I)利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利 用正弦函数的性质求得函数的最小正周期.TT(n)利用x 的范围确定2x+ 的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值.【解答】解: ( I)^ t 了 ： • J 血三二d; V3 .1=4cosx (. ■. .- )_ 1=「sin 2x+2coSx - 1 =sin 2x+cos2x =2sin ( 2x+ ),所以函数的最小正周期为 n;兀IT (n )：- . < x w ,18.已知等比数列｛an ｝中，，I ： 「： …T 厂.17.已知f=4cosxsin (x+ ) - 1 . 的最小正周期；TT TT在区间［-］上的最大值和最小值.6 4【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最(I)求 f (U)求 f(x ) (x ) (x ) • ••-W 2x+ W663tn n TT• •当 2x+ - ，即x=时 t IT IT rH当“+L 时，即x=—时，f (x )取得最小值-1. ,f (x )取最大值2,(I)求数列｛a n｝的通项公式；(U)求数列｛(2n- 1) ?a n｝的前n项的和S n.【考点】数列的求和；等比数列的通项公式.【分析】(I)禾I」用等比数列的通项公式，建立方程组，即可求数列｛a n｝的通项公式；(U)禾U用错位相减法，即可求数列的前n项的和.【解答】解：(I)：a i+a3=10, a4+a6=80,8] + a3=10二* m ? ,二q=2,…q +a3q =802又•a1=2(U)二；：一「：.「I …| 二：::2①•二；.「厂- I _ •-二一：•:「②①—②得—■厂「汕匚仃：：_'= 「* ' ... : =2- 8+2?2n+1-(2n_ 1) 2n+1=- 6 _(2n - 3) X2*+1•- S n= (2n- 3) 2n+1+6…19 .在锐角△ ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a, b , c且「：丿i-：」一一^ > +「工」-一:工二，若 c =a2+b2- ab(1)求角A、B、C的大小(2)若边c=6,求边b的值.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】(1)利用差角的正切公式，结合余弦定理，即可求角A、B、C的大小；(2)利用正弦定理，可求边b的值.【解答】解: (1)由「门，：」-宁Am「工迁得m：： - ,•—「：.0 , 9 9又c2=a2+b2-ab「•••0V CVn, •••(¥，二：:.止，又由上解知' 一□O联立解得⑵c=6,由正弦定理.，「得二sinC sinB20 .等比数列｛a n｝的各项均为正数，且2a i+3a2=1, a32=9a236,(I)求数列｛a n｝的通项公式；(U)设b n=log3a i+log382+rlog3a n,求数列｛｝的前n 项和.【考点】等比数列的通项公式；数列的求和.【分析】(I)设出等比数列的公比q,由&32=9却6,禾I」用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值, 然后再根据等比数列的通项公式化简2a i+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；(U)把(I)求出数列｛a n｝的通项公式代入设bn=log3a i+log3a2+・・+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列］—｝的前n项和.【解答】解：(I)设数列｛a n｝的公比为q，由a32=9a?a6得a2=9a2，所以q2=.由条件可知各项均为正数，故q=.由2a i +3a2=1 得2a i+3a i q=1，所以a i=w故数列｛a n｝的通项式为a n=J .(n) b n=lC+丨1+2+-+ n)=- -故 二—' 二一2 (―— --- ) --.T 二□匚贝『——+ +••+ ------------------------------------------------- =— 2[ (1 — ) + ( — )+••+ ( )]=—丄一,b 1 b 2 b n ° ' 2 丿 2 3) vn n+17 J n+1 '21.已知函数 f (x ) = x 3— ax 2+ (a 2 — 1) x+b (a, b € R ). (1) 若x=1为f (x )的极值点，求a 的值；(2) 若y=f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为x+y -3=0,求f (x )在 区间［-2, 4］上的最大值；(3) 当a ^0时，若f (x )在区间(-1, 1)上不单调，求a 的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导 数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件.【分析】(1)先求导数，再根据x=1是f (x )的极值点得到：“f (1) =0”，从而求 得a 值；(2) 先根据切线方程为x+y — 3=0利用导数的几何意义求出a 值，再研究闭区间上 的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定 出最大值与最小值.(3) 由题意得：函数f (x )在区间(-1，1)不单调，所以函数f'(x )在(-1, 1) 上存在零点.再利用函数的零点的存在性定理得： 「(-1) f'( 1)v 0.由此不等式即可求得a 的取值范围.【解答】解：(1) f (x ) =x ^ — 2ax+a 2 — 1T x=1是f (x )的极值点，f'( 1) =0,即卩 a 2 — 2a=0,解得 a=0 或 2； (2)T ( 1, f (1))在 x+y — 3=0上.二 f (1) =2•••( 1, 2)在 y=f (x )上，二 二一-二，亠「：又 f ( 1) =— 1,••• 1 — 2a+a 2 — 1 = — 1 二 a 2 - 2a+1=0,解得“ 1■二:t 二 ——二一公'—、f '二 厂-上 由f ( x ) =0可知x=0和x=2是极值点.••• : 「一三：2：'上，r' - 2；—二 fM.':所以数列｛ ｝的前n 项和为-_2nn+10 •」••• f (X)在区间［-2, 4］上的最大值为8 •(3)因为函数f (x)在区间(-1, 1)不单调，所以函数f'(x)在(-1,1)上存在零点.而f'(X)=0的两根为a- 1, a+1,区间长为2,•••在区间(-1, 1) 上不可能有2个零点.所以 f (- 1) f (1)v 0,v a2> 0,•••(a+2) (a-2)v 0,- 2v a v2.又••• a^ 0,二a€ (- 2, 0)U( 0, 2).［选修4-4 :坐标系与参数方程选讲］22 .选修4 - 4：坐标系与参数方程极坐标系中，已知圆心匚；；—，半径r=1b(1)求圆的极坐标方程；X二-1+^y-t(2)若直线* (t为参数)与圆交于A, B两点，求AB的中点C 与点P(-1, 0 )的距离.【考点】简单曲线的极坐标方程；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程.【分析】(1)先写出圆的普通方程，再利用极坐标与普通方程的互化公式即可得出答案.(2)易知点P (- 1, 0)在直线上，把直线的方程代入圆的方程，得到关于t的一元二次方程，则AB的中点C与点P (- 1, 0)的距离是―一^•，求出即可.【解答】解：(1)由已知极坐标圆心斗：,得直角坐标系下的圆心，半径 1 ,•••圆的方程为・「丄—1 ■ 一所以极坐标方程为一— -■ _ : ■ 1 ziri _(2)把直线方程代入圆方程得设ti, t2是方程两根，•••「：「:厂】所以1 ： - -<2017年2月8日。