2020年广东省初中学业水平模拟考试数学试题

2020年广东省初中学业水平考试数学一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1.9的相反数是( )A.B. C. D. 【答案】B【解析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”可知，9的相反数是-9.故选B.2.一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ）A. 5B. 35C. 3D. 25 【答案】C【解析】【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数．【详解】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3，∴这组数据的中位数是3，故选：C ．【点睛】本题考查了求中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．3.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用关于x 轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），故选：D ． 99-1919-(3,2)x (3,2)-(2,3)-(2,3)-(3,2)-(3,2)x【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．4.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据内角和公式即可求解．【详解】设这个多边形的边数为n,∴（n-2）×180°=540°解得n=5故选B ．【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知内角和公式．5.在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A.B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．【详解】解：由题意知：被开方数，解得：，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．6.已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（）A. 8B. C. 16 D. 4 【答案】A【解析】【分析】由，，分别为三条边的中点，可知DE 、EF 、DF 为的中位线，即可得到的周长． x 2x ≠2x ≥2x ≤2x ≠-240x -≥240x -≥2x ≥ABC ∆D E F ABC ∆DEF ∆D E F ABC ∆ABC ∆DEF ∆【详解】解：如图，∵，，分别为三条边的中点，∴，，， ∵， ∴， 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且是第三边的一半是解题的关键．7.把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a 不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为， 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．8.不等式组的解集为（ ） A. 无解 B. C. D.D E F ABC ∆12DF BC =12DE AC =12EF AB =16BC AC AB ++=()1116822DF DE EF BC AC AB ++=++=⨯=2(1)2y x =-+22y x =+2(1)1y x =-+2(2)2y x =-+2(1)3y x =--2(1)2y x =-+[]22(1)12(2)2y x x =--+=-+23112(2)x x x -≥-⎧⎨-≥-+⎩1x ≤1x ≥-11x -≤≤【答案】D【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，解不等式x−1≥−2（x ＋2），得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x≤1，故选：D ．【点睛】本题考查是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）A. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】 由CD ∥AB 得到∠EFD=∠FEB=60°，由折叠得到∠FEB=∠FEB’=60°，进而得到∠AEB’=60°，然后在Rt △AEB’中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ∥AB ，∴∠EFD=∠FEB=60°，由折叠前后对应角相等可知：∠FEB=∠FEB’=60°，∴∠AEB’=180°-∠FEB-∠FEB’=60°，∴∠AB’E=30°，设AE=x ,则BE=B’E=2x ，的ABCD 3AB =E F AB CD 60EFD ∠=︒EBCF EF B AD BE∴AB=AE+BE=3x =3，∴x =1，∴BE=2x =2，故选：D ．【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．10.如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a 、b 、c 的符号，即可判断①；抛物线与x 轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．【详解】解：根据题意，则，，∵， ∴，∴，故①错误；由抛物线与x 轴有两个交点，则，故②正确；∵，令时，，∴，故③正确；在中，的2y ax bx c =++1x =0abc >240b ac ->80a c +<520a b c ++>1x =12b x a=-=2b a =-2x =-2x =420y a b c =++>1x =-0y a b c =-+>0a <0c >12b x a=-=20b a =->0abc <240b ac ->2b a =-2x =-420y a b c =-+<80a c +<2y ax bx c =++令时，则，令时，，由两式相加，得，故④正确；∴正确的结论有：②③④，共3个；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．二、填空题（本大题7小題，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．11.分解因式：xy ―x ＝_____________．【答案】x (y －1)【解析】试题解析：xy ―x ＝x (y －1)12.若与是同类项，则___________．【答案】3【解析】【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m 和n 的值，根据合并同类项法则合并同类项即可．【详解】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．13.，则_________．【答案】1【解析】【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性得出a ，b 的值，即可求出答案．2x =420y a b c =++>1x =-0y a b c =-+>520a b c ++>3m x y 25n x y -m n +=|1|0b +=2020()a b +=|1|0b +=∴，，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，整数指数幂，得出a ，b 的值是解题关键． 14.已知，，计算的值为_________．【答案】7【解析】【分析】将代数式化简，然后直接将，代入即可．【详解】由题意得，，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简是解题关键．15.如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．【答案】45° 【解析】【分析】根据题意知虚线为线段AB 的垂直平分线，得AE=BE ，得；结合°，，可计算的度数． 【详解】 ∵2a =1b =-2020()a b +=202011=5x y =-2xy =334x y xy +-5x y +=2xy =5x y +=2xy =3343()41587x y xy x y xy +-=+-=-=334x y xy +-ABCD 30A ∠=︒12AB A B AD E BE BD EBD ∠EBA EAB ∠=∠30A ∠=1275ABD ABC =∠=︒EBD ∠18030150ABC ∠=-=︒︒︒1275ABD ABC =∠=︒AE EB =∴∴故答案为：45°．【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键．16.如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．【答案】 【解析】【分析】连接OA ，OB ，证明△AOB 是等边三角形，继而求得AB 的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答． 【详解】连接OA ，OB ，则∠BAO=∠BAC==60°， 又∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=1，∵∠BAC=120°，∴的长为：， 设圆锥底面圆的半径为r EAB EBA ∠=∠753045EBD ∠=-=︒︒︒1m ABC m 13BOC1211202⨯︒ O B C 120AB 21803ππ= 223r ππ=故答案为．【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径．17.有一架竖直靠在直角墙面梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】根据当、、三点共线，距离最小，求出BE 和BD 即可得出答案．【详解】如图当、、三点共线，距离最小，∵，为中点，的的13r =1390ABC ∠=︒M N BA BC MN 4MN =E MN D BA BC DE 2-B D E B D E 4MN =E MN∴，，，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断出距离最短的情况是解题关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解．【详解】解：原式 ，将，代入得：原式．故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级．随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：等级非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数（人）24 72 18（1）求的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？ 2BE =BD ==2DE BD BE =-=2-22()()()2x y x y x y x +++--x =y =2xy 2222222x xy y x y x =+++--2xy =x =y =2==x x【答案】（1）6 （2）1440人【解析】【分析】（1）根据四个等级的人数之和为120求出x 的值；（2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例即可求出结果．【详解】（1）解：由题意得：解得（2）解：（人） 答：估算“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生有1440人.【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，属于基础题目，审清题意，找到对应数据是解题的关键．20.如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】先证明，得到，，进而得到，故可求解．【详解】证明：在和中∴∴∴又∵∴247218120x +++=6x =247218001440120+⨯=ABC ∆D E AB AC BD CE =ABE ACD ∠=∠BE CD F ABC ∆BDF CEF ∆∆≌BF CF =FBC FCB ∠=∠A ABC CB =∠∠BDF ∆CEF ∆()DFB EFC FBD FCEBD CE ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩对顶角相等()BDF CEF AAS ∆∆≌BF CF =FBC FCB ∠=∠ABE ACD ∠=∠FBC ABE FCB ACD ∠+∠=∠+∠即∴是等腰三角形．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21.已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值；（2）若一个三角形的一条边的长为的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）关于x ，y 的方程组的解相同．实际就是方程组 的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值； （2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状．【详解】解：由题意列方程组：解得 将，分别代入和解得∴（2）解得 这个三角形是等腰直角三角形A ABCCB =∠∠ABC ∆x y4ax xy ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩a b x 20x ax b ++=-124ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩42x y x y +=⎧⎨-=⎩42x y x y +=⎧⎨-=⎩31x y =⎧⎨=⎩3x =1y =ax +=-15x by +=a =-12b =a =-12b =2120x -+=x ==理由如下：∵∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键．22.如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．（1）求证：直线与相切；（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】 （1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据圆切线的判定、切线长定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义即可得．的222+=ABCD //AD BC 90DAB ∠=︒AB O CO BCD ∠CD O E P »AE 1AD =2BC =tan APE ∠OB CB ⊥OE OB =APE ABE ∠=∠90AEB =︒∠2,1CE BC DE AD ====12AE DE EF CE ==AE a =2EF a =BE AE EF BE=BE =【详解】（1）如图，过点作于点∵，∴，即又∵平分，∴即OE 是的半径∴直线与相切；（2）如图，连接，延长交延长线于点由圆周角定理得：，是的直径，，AD 、BC 都是的切线由切线长定理得：∵∴在和中， ∴∴ 设，则在和中，O OE CD ⊥E //AD BC 90DAB ∠=︒90OBC ∠=︒OB CB ⊥CO BCD ∠OE CD ⊥OE OB =O CD O BE AE BC F APE ABE ∠=∠90AEB =︒∠ AB O AB AD ⊥AB BC ⊥∴O 2,1CE BC DE AD ====//AD BC DAE CFE ∠=∠ADE FCE △AED FEC DAE CFE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ADE FCE ~ 12AE DE EF CE ==(0)AE a a =>2EF a =90BAE ABE FBE ABE ∠+∠=∠+∠=︒ BAE FBE ∴∠=∠ABE △BFE △90BAE FBE AEB BEF ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩ABE BFE ∴~，即 解得在中，则．【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．23.某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用．【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元【解析】【分析】（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A 类和B 类的倍数关系列式即可；（2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A 类和B 类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可．【详解】解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米BE AE EF BE ∴=2BE a a BE=BE =Rt ABE △tan AE ABE BE ∠===tan tan APE ABE ∠=∠=A B A B A B A B 35A B A B B A A x B ()2x -A a B (90)a -z A x B ()2x -由题意得 解得，∴，经检验为分式方程的解∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米（2）设建类摊位个，则类个，费用为∵∴，∵110>0，∴z 随着a 的增大而增大，又∵a 为整数，∴当时z 有最大值，此时∴建造90个摊位的最大费用为10520元【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24.如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．（1）填空：_________；（2）求的面积；（3）求证：四边形为平行四边形．6060325x x =⨯-5x =23x -=5x =A B A a B (90)a -z 3(90)a a ≤-022.5a <≤405303(90)z a a =⨯+⨯-1108100a =+22a =10520z =B 8y x =0x >B A C k y x=0x >OB M AB BC D E DE x F G O C BF BG k =BDF ∆BDFG【答案】（1）2 （2）3 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意设点B 的坐标为（x ，），得出点M 的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k ；（2）连接，根据反比例函数系数k 的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形． 【详解】解：（1）∵点B 在上， ∴设点B 的坐标为（x ，）， ∴OB 中点M 的坐标为（，）， ∵点M 在反比例函数（）， ∴k=·=2， 故答案为：2； （2）连接，则， ，8x 2x 4x k y x =0x >OD ||12AOD k S ∆==842AOB S ∆==413BOD S ∆=-=//OF AB F AB O AB (),B B B x y (),D D D x y 8B B x y ⋅=2D D x y ⋅=B D y y =4B D x x =4B E y y =31BE EC =34BD AB =EBD ECF ∆∆∽13CF CE BD BE ==43OC AB BD BD ==41OC CF =O G C OC CG =4CG CF =3FG CF =BD FG =//BD FG BDFG 8y x =8x2x 4xk y x=0x >2x 4xOD ||12AOD k S ∆==∵， ∴，∵，∴点到的距离等于点到距离，∴；（3）设，，，，又∵，∴，同理， ∴，， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴，关于对称，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴是平行四边形．【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．842AOB S ∆==413BOD S ∆=-=//OF AB F AB O AB 3BDF BDO S S ∆∆==(),B B B x y (),D D D x y 8B B x y ⋅=2D D x y ⋅=B D y y =4B D x x =4B E y y =31BE EC =34BD AB =//AB BC EBD ECF ∆∆∽13CF CE BD BE ==43OC AB BD BD ==41OC CF =O G C OC CG =4CG CF =43FG CG CF OF CF CF =-=-=3BD CF =BD FG =//BD FG BDFG25.如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，．（1）求，的值；（2）求直线的函数解析式；（3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【答案】（1）； （2） （3），，，【解析】【分析】（1）根据，得出，，将A ，B 代入得出关于b ，c 的二元一次方程组求解即可；（2）根据二次函数是，，得出的横坐标为，代入抛物线解析式求出，设得解析式为：，将B ，D 代入求解即可；（3）由题意得tan ∠tan ∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴交点为M ，P （1，n ）且n<0，Q （x ，0）且x<3，分①当△PBQ ∽△ABD 时，②当△PQB ∽△ABD 时，③当△PQB ∽△DAB 时，④当△PQB ∽△ABD 时四种情况讨论即可．2y x bx c =++x A B A B 33BO AO ==B y C D BC =b c BD P x Q BA ABD ∆BPQ ∆Q 1-32--=+y x 1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(1-1,0⎫⎪⎪⎭(5-33BD AO ==(10)A -，(30)B ，2y x bx c =++2312y x x ⎛=-- ⎝BC =(3,0)B D (1)D BD y kx b =+【详解】解：（1）∵，∴，， ∴将A ，B 代入得， 解得，∴，； （2）∵二次函数是，， ∴的横坐标为，代入抛物线解析式得∴，设得解析式为：将B ，D 代入得， 解得，∴直线的解析式为； （3）由题意得tan ∠tan ∠ADB=1， 33BD AO ==(10)A -，(30)B ，2y x bx c =++030b c b c -+=++=132b c ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1b =-32c =--2312y x x ⎛=-+- ⎝BC =(3,0)B D 3312y ⎛=+-- ⎝312=++-1=+(1)D +BD y kx b =+103b k b =+=+⎪⎩k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩BD =y x由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴交点为M ，P （1，n ）且n<0，Q （x ，0）且x<3， ①当△PBQ ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即， 解得tan ∠PQB=tan ∠ADB 即， 解得此时Q 的坐标为（0）； ②当△PQB ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ADB 即=1，解得n=-2，tan ∠QPB=tan∠ABD 即，解得x=1- 此时Q 的坐标为（1-，0）；③当△PQB ∽△DAB 时，tan ∠PBQ=tan∠ABD 即， 解得 tan ∠PQM=tan ∠DAE 即， 解得， 此时Q，0）； ④当△PQB ∽△ABD 时，tan ∠PBQ=tan ∠ABD 即=1， 解得n=-2， 2n -11n x-=-2n -1n x --2n -1n x -=-2n -tan ∠PQM=tan ∠DAE 即， 解得x=5-Q 的坐标为（5-0）；综上：Q 的坐标可能为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识点灵活运用是解题关键．1n x -=-1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(1-1,0⎫-⎪⎪⎭(5-。

2020年广东省初中学业水平考试数学模拟试卷(二)时间：90分钟 满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．－|－2|的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．2 2．在学习《图形变化的简单应用》这一节时，老师要求同学们利用图形变化设计图案．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.3．自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000 073米，将0.000 073用科学记数法表示为( )A ．73×10－6B ．0.73×10－4C ．7.3×10－4D ．7.3×10－54. 已知x ＝2是关于x 的一元二次方程kx 2＋(k 2－2)x ＋2k ＋4＝0的一个根，则k 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－15．图M2­1是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为( )A ．5B ．6C ．7D ．8图M2­16．如图M2­2，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝( )图M2­2A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°7．某校九年级模拟考试中，(1)班的六名学生的数学成绩如下：96,108,102,110,108,82.下列关于这组数据的描述不正确的是( )A ．众数是108B ．中位数是105C ．平均数是101D ．方差是938．在平面直角坐标系中，已知点A (－4,2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(－8,4)C ．(－8,4)或(8，－4)D ．(－2,1)或(2，－1) 9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图M2­3，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①abc ＜0；②3a ＋c ＞0；③(a ＋c )2－b 2＜0；④a ＋b ≤m (am ＋b )(m 为实数)．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图M2­3 图M2­410．如图M2­4，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连接AP 并延长AP 交CD 于F 点，延长CP 交AD 于Q 点．给出以下结论：①四边形AECF 为平行四边形；②∠PBA ＝∠APQ ；③△FPC 为等腰三角形；④△APB ≌△EPC .其中正确结论的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11．分解因式：2m 2－2＝____________.12．把直线y ＝－x －1沿x 轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为____________．13．如图M2­5，一次函数y 1＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y 2＝mx(m 为常数且m ≠0)的图象都经过A (－1,2)，B (2，－1)，结合图象，则关于x 的不等式kx ＋b ＞mx的解集是____________．图M2­514．若m ＋1m ＝3，则m 2＋1m2＝________.15．如图M2­6，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2 cm ，∠BOC ＝60°，∠BCO ＝90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B ′OC ′，点C ′在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为________cm 2.图M2­616．若分式方程3x －a x 2－2x ＋1x －2＝2x有增根，则实数a 的取值是__________．17．如图M2­7，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO ，CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(－8,6)，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足△PBE ∽△CBO ，当△APC 是等腰三角形时，P 点坐标为________________________．图M2­7三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)18．计算：|3－2|＋(2018－1)0＋2sin 45°－2cos 30°＋⎝⎛⎭⎫12018－1. .19．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝2－1.20．如图M2­8，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°.(1)尺规作图：按下列要求完成作图．(保留作图痕迹，请标明字母) ①作线段AC 的垂直平分线l ，交AC 于点O ；②连接BO 并延长，在BO 的延长线上截取OD ，使得OD ＝OB ； ③连接DA ，DC .(2)判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．图M2­8四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21．如图M2­9，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H 的仰角∠HDE 为45°，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上，再向前走7米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF 为60°，点A ，B ，C 三点在同一水平线上．(1)计算古树BH 的高；(2)计算教学楼CG 的高．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)图M2­922．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如图M2­10所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)这次活动共调查了________人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为________．(2)将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“________”．(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．图M2­1023．有A，B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少发1800度电．(1)焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度？(2)A，B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)24．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，(1)如图M2­11(1)，若AB＝6，CD＝2，求CE的长；(2)如图M2­11(2)，当∠A为锐角时，判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；(3)若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图M2­11(3)，CA的延长线与圆O相交于E.请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与(2)中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．(1)(2) (3)图M2­1125．如图M2­12，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C .抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－32且经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B .(1)①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．(2)若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接P A ，PC .求△P AC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，使得以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图M2­12。

2020年广东省初中学业水平考试数学仿真试卷一．选择题（共10小题）1．﹣5的绝对值是（）A．5 B．﹣C．﹣5 D．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（）A．16×104B．1.6×107C．16×108D．1.6×1084．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．下列运算正确的是（）A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a4+a2＝a46．小明记录了自己一周每天的零花钱（单位：元），分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5；则这组数据的中位数是（）A．5 B．4.5 C．5.5 D．5.27．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝42°，则∠1＝（）A．48°B．42°C．40°D．45°8．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．25°C．15°D．35°9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．分解因式：a2﹣9＝．12．八边形内角和度数为．13．等腰三角形的两边长是3和7，则这个三角形的周长等于．14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为．15．不等式组的解是．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B 的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为．17．在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA ＝OB＝1，过点O作OM1⊥AB于点M1；过点M1作M1A1⊥OA于点A1：过点A1作A1M2⊥AB于点M2；过点M2作M2A2⊥OA于点A2…以此类推，点M2019的坐标为．三．解答题（共8小题）18．计算：19．先化简，再求值：÷a，中a＝﹣1．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于D（保留痕迹）；（2）若AD＝DB，求∠B的度数．21．2019年全国两会于3月5日在人民大会堂开幕，某社区为了解居民对此次两会的关注程度，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，根据调查结果，把居民对两会的关注程度分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下不完整的统计图：请结合图表中的信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了名居民；（2）请将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数为；（4）若该社区有1500人，则可以估计该社区居民对两会的关注程度为“淡薄”层次的约有人．22．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．23．如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D 处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．（1）求∠BCD的度数；（2）求旗杆AC的高度．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣5的绝对值是（）A．5 B．﹣C．﹣5 D．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数是，可得答案．【解答】解：﹣5的绝对值是5．故选：A．2．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（）A．16×104B．1.6×107C．16×108D．1.6×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将16 000 000用科学记数法表示应为1.6×107，故选：B．4．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程解的情况．【解答】解：∵△＝（﹣4）2﹣4×2＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．5．下列运算正确的是（）A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a4+a2＝a4【分析】根据整式的加法和幂的运算法则逐一判断即可．【解答】解：A、a+2a＝3a，此选项错误；B、a3•a2＝a5，此选项正确；C、（a4）2＝a8，此选项错误；D、a4与a2不是同类项，不能合并，此选项错误；故选：B．6．小明记录了自己一周每天的零花钱（单位：元），分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5；则这组数据的中位数是（）A．5 B．4.5 C．5.5 D．5.2【分析】先把这些数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案．【解答】解：把这些数据从小到大排列为：4.5，4.5，5，5，5，5.5，5.5，最中间的数是5，则这组数据的中位数是5；故选：A．7．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠2＝42°，则∠1＝（）A．48°B．42°C．40°D．45°【分析】由互余可求得∠3的度数，然后由两直线平行，同位角相等求得∠1的度数．【解答】解：如图，∵∠2＝42°，∴∠3＝90°﹣∠2＝48°，∴∠1＝48°．故选：A．8．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．25°C．15°D．35°【分析】根据邻补角的定义求出∠BOC的度数，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE∽△AEF；③CF＝CD；④S△ABE＝4S△ECF．正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得④正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+FEC＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵BE＝CE＝BC，∴＝（）2＝4，∴S△ABE＝4S△ECF，故④正确；∴CF＝EC＝CD，故③错误；∴tan∠BAE＝＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，∴AE＝2a，EF＝a，AF＝5a，∴＝＝，＝＝，∴＝，∴△ABE∽△AEF，故②正确．∴②与④正确．∴正确结论的个数有2个．故选：B．10．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点M从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达点A停止运动，另一动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向点A运动，到达点A停止运动，设点M运动时间为x（s），△AMN的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】分三种情况进行讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，分别求得△ANM的面积，列出函数解析式，根据函数图象进行判断即可．【解答】解：由题可得，BN＝x，当0≤x≤1时，M在BC边上，BM＝3x，AN＝3﹣x，则S△ANM＝AN•BM，∴y＝•（3﹣x）•3x＝﹣x2+x，故C选项错误；当1≤x≤2时，M点在CD边上，则S△ANM＝AN•BC，∴y＝（3﹣x）•3＝﹣x+，故D选项错误；当2≤x≤3时，M在AD边上，AM＝9﹣3x，∴S△ANM＝AM•AN，∴y＝•（9﹣3x）•（3﹣x）＝（x﹣3）2，故B选项错误；故选：A．二．填空题（共7小题）11．分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．12．八边形内角和度数为1080°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故答案为：1080°．13．等腰三角形的两边长是3和7，则这个三角形的周长等于17 ．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：分两种情况：当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；当腰为7时，7+4＞7，所以能构成三角形，周长是：7+7+3＝17．故答案为：17．14．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为2：3 ．【分析】相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2：3，故答案为：2：3．15．不等式组的解是1＜x≤6 ．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：解不等式①，得x＞1，解不等式②，得x≤6，所以，这个不等式组的解集是1＜x≤6，故答案为1＜x≤6．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为3．【分析】由旋转的性质得到AD＝EF，AB＝AE，再由DE＝EF，等量代换得到AD＝DE，即三角形AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长．【解答】解：由旋转得：AD＝EF，AB＝AE，∠D＝90°，∵DE＝EF，∴AD＝DE，即△ADE为等腰直角三角形，根据勾股定理得：AE＝＝3，则AB＝AE＝3，故答案为：317．在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，OA ＝OB＝1，过点O作OM1⊥AB于点M1；过点M1作M1A1⊥OA于点A1：过点A1作A1M2⊥AB于点M2；过点M2作M2A2⊥OA于点A2…以此类推，点M2019的坐标为（1﹣，）．【分析】根据等腰三角形的性质得到点M1是AB的中点，根据三角形中位线定理求出点M1的坐标，总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：∵OA＝OB，OM1⊥AB，∴点M1是AB的中点，∵M1A1⊥OA，∴A1是OA的中点，∴点M1的坐标为（，），同理，点M2的坐标为（1﹣，），点M3的坐标为（1﹣，），……点M2019的坐标为（1﹣，），故答案为：（1﹣，）．三．解答题（共8小题）18．计算：【分析】本题涉及负整数指数幂、零指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝﹣2﹣1+3﹣1＝﹣1．19．先化简，再求值：÷a，中a＝﹣1．【分析】先化简，后代入求值，特别注意分母有理化．【解答】解：原式＝﹣＝﹣1＝当a＝﹣1时，原式＝＝﹣20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于D（保留痕迹）；（2）若AD＝DB，求∠B的度数．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）由AD＝DB知∠DBA＝∠DAB，再由角平分线知∠DBA＝∠DAB＝∠DAC，结合∠ACB＝90°可得答案．【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求．（2）∵AD＝DB，∴∠DBA＝∠DAB，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∴∠DBA＝∠DAB＝∠DAC，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝30°．21．2019年全国两会于3月5日在人民大会堂开幕，某社区为了解居民对此次两会的关注程度，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，根据调查结果，把居民对两会的关注程度分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下不完整的统计图：请结合图表中的信息，解答下列问题：（1）此次调查一共随机抽取了120 名居民；（2）请将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数为108°；（4）若该社区有1500人，则可以估计该社区居民对两会的关注程度为“淡薄”层次的约有150 人．【分析】（1）根据“一般”层的人数和所占的百分比，可以求得此次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据可以求得“较强”层的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数；（4）根据统计图中的数据可以计算出该社区居民对两会的关注程度为“淡薄”层次的人数．【解答】解：（1）18÷15%＝120，即本次调查一共随机抽取了120名居民，故答案为：120；（2）“较强”层次的有：120×45%＝54（名），补充完整的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中，“很强”所对应扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，故答案为：108°；（4）1500×＝150（人），故答案为：150．22．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE＝FC；（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．23．如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D 处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米．（1）求∠BCD的度数；（2）求旗杆AC的高度．【分析】（1）过点C作CE⊥BD于E，则DF∥CE，AB∥CE．利用平行线的性质求得相关角的度数．（2）本题涉及到两个直角三角形△ECD、△BCE，通过解这两个直角三角形求得DE、BD 长度，进而可解即可求出答案．【解答】解：（1）过点C作CE⊥BD于E，则DF∥CE，AB∥CE∵DF∥CE∴∠ECD＝∠CDF＝30°同理∠ECB＝∠ABC＝45°∴∠BCD＝∠ECD+∠ECB＝75°．（2）在Rt△ECD中，∠ECD＝30°∵∴同理BE＝CE∵BD＝BE+DE∴，答：（1）∠BCD为75°；（2）旗杆AC的高度CE为米．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．【分析】（1）先判断出∠BAC＝2∠BAD，进而判断出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD 即可得出结论；（2）先判断出∠ADB＝∠P，再判断出∠DCP＝∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD＝CD，利用勾股定理求出BC＝BD＝，最后用△ABD ∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC＝90°，∵DP∥BC，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB＝∠P，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠P，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，∴∠DCP＝∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴BD＝CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，∴BC＝CD＝BC＝，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP＝16.9cm．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答；（2）连接OP，由S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值问题求出点P的坐标；（3）连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．求出直线AM的解析式，再由△ADE∽△AOC，求出点E的坐标，求出直线DE的解析式，则由AM、DE两直线的交点可求得G点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（2，0），B（﹣4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．。