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九年级数学一次函数知识点一次函数是数学中常见且重要的概念之一。
它是代数学中的一种特殊函数形式，也是数学分析和几何学的基础内容。
在九年级数学中，学生们开始接触和学习一次函数的相关知识点。
下面将介绍一些与一次函数相关的重要概念和应用。
一、一次函数的定义一次函数，也叫线性函数，是一种形如f(x) = ax + b的函数，其中a和b是常数。
其中a表示斜率，b表示截距。
一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y 轴的交点位置。
二、一次函数的图像和特性1. 斜率的意义：斜率代表了函数图像在x轴方向上的变化速率，也可以理解为函数图像的倾斜程度。
当斜率为正时，函数图像向上倾斜；当斜率为负时，函数图像向下倾斜；斜率为零时，函数图像平行于x轴。
2. 截距的意义：截距表示函数图像与y轴的交点位置。
当截距为正时，函数图像在y轴上方；当截距为负时，函数图像在y轴下方；截距为零时，函数图像通过原点。
3. 函数图像的平移：通过改变斜率和截距，可以使函数图像上下左右平移。
斜率的改变可以使函数图像在x轴上的伸缩，截距的改变可以使函数图像在y轴上的平移。
三、一次函数的求解和应用1. 函数图像的绘制：根据给定的斜率和截距可以绘制出一次函数的图像。
选择两个不同的x值计算得到对应的y值，并将这些点连接起来，就可以得到函数图像了。
2. 函数的解：一次函数的解是指使得函数值等于零的x值。
通过将函数值置零，可以求解得到x的值，并得到方程的解。
3. 函数的应用：一次函数在生活和实际问题中有着广泛的应用。
例如，用一次函数可以描述物体的匀速直线运动，用斜率可以表示速度，用截距可以表示起始位置。
此外，一次函数还可以用来解决一些实际问题，如利润和成本的关系，选修电话费用和通话时间的关系等。
总结：一次函数是数学中的重要概念，其定义、图像和特性都是九年级数学中需掌握的内容。
了解一次函数的性质和应用，可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，并且在实际问题中应用数学知识解决问题。
中考数学一次函数应用题解题方法一次函数应用题语言表达较多，数据量较大，给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误较多。
但是只要掌握了以下3种解题方法，任何与一次函数应用题解题方法有关的问题都能迎刃而解。
一.使用直译法求解一次函数应用题所谓直译法就是将题中的关键语句〝译〞成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数【解析】式，从而解决问题的方法。
例题1.东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。
该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。
甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本;乙：按购买金额打9折付款。
某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x>=10)本。
(1)分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x之间的函数关系式。
(2)比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。
(3)如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。
分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。
解：(1)y甲=10×25+5(x-10)=5x+200(x>=10)y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225(x>=10)(2)由(1)有：y甲-y乙=0.5x-25假设y甲-y乙=0解得x=50假设y甲-y乙>0解得x>50假设y甲-y乙列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。
例题2.某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元;生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。
第三节一次函数的实际应用命噩点一次函数的实际应用1. (2019贵阳*II拟)某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的是2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y(个)与甲品牌文具盒的数量x(个)之间的函数关系如图所示.当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7 200元.(1)根据图象，求y与x之间的函数关系式；(2)求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价.250=50k+b. k=- 1, 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由函数图象，得100=200k+b,解得b= 300.，y 与x之间的函数关系式为y=—x+300; (2) •./= —x+300; .•.当x=120时，y=180,设甲品牌的进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，由题意，得120a+180X2a = 7 200,解得a=15, .••甲品牌的进货单价是15元，乙品牌的进货单价是30元.答：甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15 元、30元.2. (2019贵阳模拟)李明乘车从市区到某景区旅游，同时王红从该景区返回市区，线段OB表示李明离市区的路程S1(km)与时间t(h)的函数关系；线段AC表示王红离市区的路程S2(km)与时间t(h)的函数关系，已知行驶1 h,李明、王红离市区的路程分别为100 km、280 km,王红从景区返回市区用了4.5h.(假设两人所乘的车在同一线路上行驶)(1 )分别求S1, S2关于t的函数表达式；(2)当t为何值时，他们乘坐的两车相遇；(3)当李明到达景区时，王红离市区还有多远？解：(1)设S1 = k1t,将点(1 , 100)代入S1=k1t 中，解得匕=100,1=100t ,设S2=k2t+b,将点k2+b = 280,(1 , 280) , (4.5 , 0)代入S2=k2t + b 中得，4.5k2+b=0.解得k2=- 80, b= 360, s 2= —80t + 360; (2)由题意得100t = —80t+360,解得t=2, .•.当t=2时，两车相遇；(3)由S2= — 80t + 360可知从市区到景区的路程为360 km,二.李明的速度为100 km/h，，李明到达景区时的时间t =360+100= 3.6(h),当李明到达景区，王红离市区S2=— 80X 3.6 + 360=72 (km).答：当李明到达景区时，王红离市区还有72 km.中考考点清单) 考点一次函数的实际应用1.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数性质解决问题；(5)检验所求解是否符合实际意义；(6)答.2.方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案.【方法点拨】求最值的本质为求最优方案，解法有两种：①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较.显然，第② 种方法更简单快捷.中考重难点突破)类型一次函数的实际应用【例】(河南中考)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10 台B型电脑的禾1J润为3 500元.(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2 倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m< 100)元，且限定商店最多购进A型电脑70 台.若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.【解析】［信息梳理］设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元.解：(1)设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元，则有10a+20b=4 000 , a=100,20a+10b= 3 500.解得b= 150.答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150 元；(2)①根据题意y= 100x+ 150(100 —x),即y=— 50x+ 15 000.②根据题意得，100—xW2x,1解得x>333.二.在y=- 50x+ 15 000中，一50V0,，y随x的增大而减小.二x为正整数，，当x=34 时，y取得最大值，此时100 —x = 66.即商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最1大；(3)根据题意得y= (100+m)x+ 150(100 —x),即y = (m-50)x + 15 000.其中333WxW70.①当0V m< 50时，m- 50<0, y随x的增大而减小.，当x = 34时，y取得最大值.即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大禾1J 润.②当m= 50时，m- 50=0, y= 15 000.即商店购进A型电脑数量满1足333WxW70的整数时，获得的利润为 1 500元.③当50Vm< 100时，m- 50>0, y随x的增大而增1大，又333WxW70, .♦.当x = 70时，y取得最大值，即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑，能获最大利润.料时训练1.(2019山西中考)我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在 2 000 kg〜5 000 kg(含2 000 kg 和5 000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)：方案A:每千克5.8元，由基地免费送货.方案B:每千克5元，客户需支付运费2 000元.(1)请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式；(2)求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；(3)某水果批发商计划用20 000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案.y = 5.8x ,方案B:函数表达式为y = 5x+2 000 ; (2)由题意，得解：(1)方案A:函数表达式为5.8x<5x +2 000 ,解不等式得x<2 500, •••当购买量x的取值范围为2 000 < x<2 500时，选用方案A比方案B付款少；(3)他应选择方案B.2.(2019孝感中考)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A, B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元.(1)求A种，B种树木每棵各多少元？(2)因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.一、一一. __ ____________ _ ________ 一一一2a +5b=600, 一一a=100, ,, 一.解：(1)设A种，B种树木每棵分别为a兀，b兀，则3a+b=380,解得b = 80.答：A种，B种树木每棵分别为100元，80;(2)设购买A种树木为x棵，则购买B种种木为(100—x)棵，则x> 3(100 - x) ,，x> 75.设实际付款总金额为y 元，贝U y=0.9[100x + 80(10 0—x)] , y= 18x+7 200. / 18>0, y 随x的增大而增大，，x= 75时，y最小.即x=75, y最小值= 18X 75+ 7 200 = 8 550(元)，，当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8 550元.3.(2019广安中考)某水果基地积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售(每辆汽车规定满载，并且只装一种水果).如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润.(1)用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(2)水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售(每种水果不少于一车)，假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(结果用m表示)(3)在第(2)问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？一一一一，E, ，一，一 x x+y=8' j ,rX=2'入八、一一一，，E解：(1)设装运乙、丙水果的车分别为x辆，y辆，得：2x+3y=22,解得y= 6.答：装运乙种水果的车有2辆，丙种水果的汽车有6辆；(2)设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，得：vm- a+b=20, a=m— 12,4m+ 2a+3b= 72,解得b= 32 —2m.答：装运乙种水果的汽车是(m—12)辆，丙种水果的汽车是(32 - 2m)m—12> 1,辆；(3)设总利润为w 千元，w= 4X5m+ 2X 7(m—12)+4X 3(32 — 2m)=10m+ 216.「32—2m> 1, /.13<15.5 , -. m 为正整数，，m= 13, 14, 15,在w= 10m+ 216中，w随x的增大而增大，，当m= 15 时，W最大=366千元.答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车为3辆，运丙水果的车为2辆时，利润最大，最大利润为366千元.2019-2020 学年数学中考模拟试卷一、选择题1.在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）# , [ -100s ---- 不70 M .d 03 L75三,时）A.乙先出发白^时间为0.5小时B.C.甲出发0.5小时后两车相遇D.2.-5的相反数是（）A. - 5B. 5C. 甲的速度是80千米/小时. ..... .. …1…甲到B地比乙到A地早一小时121 D 15 . 50（0 , 0） , A（0, 3） , B（4 , 0）,按以下步骤作图:T（程）①以点0为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OC, OB于点1 ........ 一…，一 ,于一DE的长为半径作弧，两弧在/ BOC内父于点F;③作射线2为（）川Of / 3 IA （4 , 4） B. （4 , 4） C. （5,4）3 3 34.已知关于x的一元二次方程x2+x—m + 9- 0没有实数根4A. m<2B. m < -2C. m>—25.只用卜列一种止多边形/、能镶嵌成平面图案的是（）A.正三角形B.止方形C.正五边形6.已知在四边形ABC邛，AD// BC,对角线AC与BD相交十点0,就能判定这个四边形是菱形的是（）D, E;②分别以点D, E为圆心，大OF,交边BC于点G,则点G的坐标D. （4 ,-）3,则实数m的取值范围是（）D. m>2D.正六边形A0= CO如果添加卜列一个条件后，A.BO= DOB.AB= BCC.AB=CDD.AB// CDJ 1 1 AA. m -1B. m _ -1C. m _ -1D. m ：： -1x, y 满足xv 59 - 1 < y,则这两个整数是（A. 1 和 2B, 2 和 3 C. 3 和 4 D, 4 和 512 .如图，正方形 ABCD 勺边长为8,分别以正方形的三边为直径在正方形内部作半圆，则阴影部分的面A. 32B. 2 兀C. 10 71+2 D, 8兀 +1二、填空题13 .为了了解一批圆珠笔芯的使用寿命，宜采用 方式进行调查；为了了解某班同学的身高，宜采用 方式进行调查.（填“抽样调查”或“普查”）14 .分解因式：巾二4 =.15 .如图，在矩形 ABCD43,有一个小正方形 EFGH 其中顶点E, F, G 分别在AB, BC, FD 上.连接 DH 如果 BC=13 BF=4, AB=12,则 tan / HDG 勺值为.7.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a b cA. |a|=|b|B. a+c>0C. a = -1ba+b=0,那么下列结论错误的是D. abc>08.如图，在口 ABCD 中，点E 在BC 边上, DC 、AE 的延长线交于点 F ,下列结论错误的是（）A . AF FE BCCE B . CE _ CBE F - AEEF CE AEAB C . AF CB D. EFCF9.港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额 1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（ A. 1.269 X10 10B. 1.269 X 10 11C. 12.69X10 10D. 0.1269 X10 1210.若不等式组x-2 1-2x有解，则m 的取值范围是（）11.若两个连续整数积之和是（）16 .抛掷一枚质地均匀的硬币，连续3次都是正面向上，则关于第 4次抛掷结果，P （正面向上）P（反面向上）.（填写或“=”）17 .计算：2#-回=.18 .在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1, 2, 3,这些卡片除数字不同外其余均相同，从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，两次抽取的卡片上数字 之和为奇数的概率是 . 三、解答题onio 「1L O19 .（1） -12019+|--|V3-2| -2sin60. x 2x -1x - 4 ...........（2）化简：.x2- 2 一卜工^ ,并从owxv 5中选取合适的整数代入求值.x 2-2x x 2-4x 4 x20 .如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都是1,点P 、Q 都在格点上.（2）在图中画出一个以 P 、Q 为其中两个顶点的格点平行四边形，且面积等于（ 1）中的k 的值.21 .计算:22 .甲、乙两人在笔直的道路 AB 上相向而行，甲骑自行车从A 地到B 地，乙驾车从 B 地到A 地，假设他们分别以不同的速度匀速行驶，甲先出发6分钟后，乙才出发，乙的速度为旦千米/分，在整个过程2中，甲、乙两人之间的距离y （千米）与甲出发的时间x （分）之间的部分函数图象如图.（1）A 、B 两地相距千米，甲的速度为千米/分；（2）求线段EF 所表示的y 与x 之间的函数表达式;（1）若点P 的坐标记为（-1,1 ）,反比例函数ky =一的图像的一条分支经过点 xQ 求该反比例函数解析4 18.24 .设a, b, c 为互不相等的实数，且满足关系式： b 2+c 2= 2a 2+16a+14①bc=a 2-4a-5②.求a 的取值25 .如图，已知正方形 ABC 邛，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上一点，且 CE= CF.若/ BEC=题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DB AA CB D BBDCA、填空题13 .抽样调查普查(m+2 ( m- 2).1 22B?2a -1,并从0, 1, B 2四个数中，给a 选取一个恰当***14.15. 16. 17.(3)当乙到达终点 A 时，甲还需多少分钟到达终点 的数进行求值.60° ,求/ EFD 的度数.B、选择题三、解答题19. (1) 1; (2) 1.【解析】 【分析】(1)按顺序先分别进行乘方的运算、负整数指数哥的运算、绝对值的化简、代入特殊角的三角函数值， 然后再按运算顺序进行计算即可；(2)括号内先进行分式的减法运算，然后再进彳T 分式的除法运算，化简后再从0Wxv 5中选取使分式有意义的整数值代入进行计算即可. 【详解】x 2 X-2-XX-1 X=2s7x x -2x -41=2 ,X-2从0Wxv 5可取x= 1,1此时原式=2=1.1-2(1)本题考查了实数的运算，熟悉乘方、负整数指数哥、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值是解题 的关键. (2)本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的，法则是解答此题的关键.420. (1) y =—；⑵详见解析.x【解析】⑴.12019 ・ 12 .2-|、,3 -2| -2sin=-1+4+* - 2-2X =-1+4+ 耶-2 -乖(1)建立平面直角坐标第，确定Q点坐标，即可求出反比例函数解析式;(2)由(1)得k=4,画出面积为4的平行四边形即可.【详解】(1)如图1 ,建立平面直角坐标系k k由题意得Q (2,2 ),把Q (2,2 )代入y =—得2 = 3 ,解得k=44・♦.该反比例函数解析式为y =-x(2)如图所示本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是根据点P的坐标确定平面直角坐标系, 同时还考查了平行四边形的画法.21•【解析】【分析】根据绝对值，特殊角的三角函数值和负指数哥进行计算即可【详解】原式=-J2-1-,/2+4 =3【点睛】此题考查绝对值，特殊角的三角函数值和负指数哥，掌握运算法则是解题关键22. (1)24 ,［；(2)y =- 11x+33; (3)当乙到达终点A时，甲还需50分钟到达终点B.3 6【解析】【分析】(1)观察图象知A、B两地相距为24km,由纵坐标看出甲先行驶了2千米，由横坐标看出甲行驶2千米用____ . 、一2 一，了6分钟，则甲的速度是 -千米/分钟；6(2)列方程求出相遇时的时间，求出点F的坐标，再运用待定系数法解答即可；(3)根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案【详解】解：(1)观察图象知A B两地相距为24km,•••甲先行驶了2千米，由横坐标看出甲行驶2千米用了6分钟，……1 2 1・.甲的速度TE —=—千米/分钟；6 3 (1)故答案为：24, -；3(2)设甲乙经过a分钟相遇，根据题意得，3, 一1 ……一(a -6) + — a =24 ,解答a=18, 2 3••F(18, 0),设线段EF表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b,根据题意得，110=18x b k--11\ ，解得《 6 ,22=6k bb =33「•线段EF表示的y与x之间的函数表达式为y= - -' x+33;6⑶相遇后乙到达A地还需：(18 X1)+3 = 4(分钟)，3 2相遇后甲到达B站还需：(12 X ° ) + , = 54(分钟)2 3当乙到达终点A时，甲还需54- 4= 50分钟到达终点B.【点睛】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键.注意求出相遇后甲、乙各自的路程和时间.23.-£-2.a -2【解析】【分析】根据分式的运算，将分式化简后，再选中能使分式有意义的a的值代入求值即可.【详解】564Ei a(a -1) a 2-1 -2a 1原式=——2 ----- ------------(a -1) a -1 a(a -1) a -12-(a -1)2a(a -2)1------ ,a -2• aw 。
掌握一次函数的求解技巧一次函数是数学中重要的概念，它是形如y=ax+b的一种函数形式。
在数学的学习过程中，掌握一次函数的求解技巧是必不可少的。
本文将介绍一次函数的求解方法，帮助读者更好地掌握这一技巧。
一、一次函数的定义和性质一次函数是指次数为1的多项式函数，其一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像通常是一条直线。
一次函数有以下几个重要的性质：1. 函数图像为一条直线，斜率为a，截距为b。
2. 函数图像上两点间的斜率等于直线的斜率，即斜率等于函数值的变化量与自变量的变化量的比值。
3. 函数的零点即为方程ax+b=0的解，可以通过解一元一次方程来求解。
二、求解一次函数的步骤求解一次函数主要包括以下几个步骤：1. 求函数的斜率a：斜率表示函数图像的倾斜程度，可以通过观察函数图像上两个已知点的纵坐标变化量与横坐标变化量的比值来确定斜率。
2. 求函数的截距b：截距表示函数图像与y轴的交点位置，可以通过观察函数图像上某一点的纵坐标与横坐标的关系来确定。
3. 求函数的解：解一次函数即求函数的零点，可以通过解一元一次方程来求解。
将一次函数y=ax+b等于零，得到方程ax+b=0，进而可以求解出函数的解x。
三、示例分析为了更好地理解一次函数的求解技巧，下面以一个示例进行分析。
假设有一次函数y=2x+1，我们要求解该函数的斜率、截距和解。
1. 求斜率：观察函数图像上两个已知点(-1, -1)和(1, 3)，计算斜率为(3 - (-1))/(1 - (-1)) = 4/2 = 2。
2. 求截距：观察函数图像上任意一点，如(0, 1)，可知截距为1。
3. 求解：将一次函数y=2x+1等于零，得到方程2x+1=0，进一步求解得到x=-1/2，即为函数的解。
四、总结通过上述示例分析，我们可以总结一次函数的求解技巧：1. 求解一次函数前，先确定函数的斜率和截距。
2. 求解函数时，可通过解一元一次方程来求解函数的解。
一次函数是同学们初次接触函数，会感到很抽象，觉得有点难…其实，学习函数最重要的一点就是掌握其本质，函数就是一种变量关系…一次函数也是中考的重点，其图像、性质等都是同学们要好好掌握的点…下面帮大家梳理了初中数学一次函数相关知识点，赶紧收藏学起来！1函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y 称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应。
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤：第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法：列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律、解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
第3章 函数【精学】考点一、一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次方程：一次函数y ＝kx ＋b 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx ＋b ＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点的横坐标，即为方程kx ＋b ＝0的解． 2、一次函数和一元一次不等式：任何一元一次不等式都可以转化为类似ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y ＝ax ＋b 的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y ＝ax ＋b 的值何时大(小)于0时，只要求出不等式ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的解集即可．①如图1，一次函数b kx y +=的图象与x 轴交于点（x 0，0）．当它在x 轴上方的部分时，对应不等式为kx+b ＞0，其解为x ＞x0；当它在x 轴下方的部分时，对应不等式为kx+b ＜0，其解为x ＜x0.图1x 0y=kx+byxy 2=k 2x+b 2图2x 0y 1=k 1x+b 1yx如图2，一次函数111b x k y +=与222b x k y +=的图象交点的横坐标为x 0．当222b x k y +=的图象在111b x k y +=上方的部分时，对应不等式为k2x+b2＞k1x+b1，其解为x ＞x0；当222b x k y +=的图象在111b x k y +=下方的部分时，对应不等式为k2x+b2＜k1x+b1，其解为x ＜x0.考点二、一次函数的实际应用 (1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助． (2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．【巧练】题型一、一次函数、一元一次方程与一元一次不等式【例1】（2015辽宁辽阳）如图，直线2y x =-+与y ax b =+（0a ≠且a ，b 为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x 的不等式2x ax b -+≥+的解集为（ ）A ．x ≥﹣1B ．x ≥3C ．x ≤﹣1D ．x ≤3 【答案】D ．【分析】根据图形即可得到不等式的解集．【解析】从图象得到，当x ≤3时，2y x =-+的图象对应的点在函数y ax b =+的图象上面，∴不等式2x ax b -+≥+的解集为x ≤3．故选D ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．要注意数形结合，直接从图中得到结论．【方法技巧规律】一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合题型二、利用一次函数性质求最值例2（2015新疆生产建设兵团）某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A种T恤x件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元．品牌进价/（元/件）售价/（元/件）A 50 80B 40 65（1）求W关于x的函数关系式；（2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）【答案】（1）w=5x+5000；（2）购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【分析】（1）根据总利润=A品牌T恤的利润+B品牌T恤的利润就可以得到w关于x的函数关系式；（2）由“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论．【解析】（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200一x）件，由题意得：W=(80一50)x+(65一40)(200一x）=30x+5000一25x=5x+5000答：w关于x的函数关系式为W=5x+5000(2)∵购进两种T恤的总费用不超过9500元，∴50x+40(200-x）≤9500, ∴x≤150.∵W=5x+5000. ∴ k=5>0∴W随x的增大而增大，∴x=150时，W的最大值为5750, ∴购进A种T恤150件．∴购进A种T恤巧。
一次函数常考题型及解题技巧一次函数是数学中非常基础且常见的函数类型，也是中学数学中常考的题型之一。
本文将介绍一些常见的一次函数考题及解题技巧，帮助学生更好地理解和应用一次函数。
一次函数的一般形式为 y = ax + b，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数的图像表现为一条直线，具有许多重要的性质和应用。
常见的一次函数考题类型包括求解函数图像的斜率和截距、求解函数在给定点或区间的函数值、求解函数的零点（即方程ax + b = 0的解）等等。
首先，我们来看求解函数图像的斜率和截距的考题。
斜率表示函数图像的倾斜程度，定义为函数曲线上任意两点之间的纵坐标差除以横坐标差。
而截距表示函数曲线与纵轴的交点位置，即函数曲线与纵轴的交点的横坐标。
对于给定的一次函数，可以通过观察函数的表达式直接得出斜率和截距的值，也可以通过已知的点坐标来求解。
当已知函数通过某一点时，可以利用该点的坐标代入函数表达式，解出斜率和截距的值。
其次，求解函数在给定点或区间的函数值是另一类常见的一次函数题型。
对于已知的一次函数，当给定x的值时，可以直接将x的值代入函数表达式，求解y的值。
对于给定的区间，可以将区间内的点依次代入函数表达式，求解对应的y的值，从而得到函数在该区间上的函数值变化规律。
最后，求解函数的零点也是一类常见的一次函数题型。
零点即函数曲线与x轴的交点位置，即函数的解。
对于一次函数，可以通过令函数表达式等于零，然后解方程求解x的值，即可得到函数的零点。
求解一次函数的零点可以帮助我们判断函数的根的个数，进一步分析函数的增减性和图像的位置。
在解题过程中，可以运用一些技巧来简化计算和推导，例如化简表达式、利用已知条件、运用基本的代数运算法则等。
同时，还应该注重理解一次函数的基本性质和图像特征，有助于更好地理解和解决相关的问题。
总之，掌握一次函数的基本概念和常见题型的解题技巧对于学生来说是非常重要的。
通过多做练习题和实际应用题，加深对一次函数的理解和掌握，能够更好地应对考试和日常数学应用中的相关问题。
中考重点一次函数及其应用中考重点：一次函数及其应用一、概述一次函数是数学中常见且重要的概念，也被称为线性函数。
它的数学表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。
本文将介绍一次函数的基本性质和应用，帮助读者更好地理解和运用它。
二、一次函数的性质1. 斜率k：一次函数的斜率表示函数图像与x轴的倾斜程度。
斜率为正值时，函数图像呈上升趋势；斜率为负值时，函数图像呈下降趋势；斜率为零时，函数图像平行于x轴。
2. 截距b：一次函数的截距表示函数与y轴的交点在y轴上的坐标，也可视作函数图像在y轴的高度。
3. 函数图像：由一次函数的斜率和截距决定了其图像的形状。
当斜率为正时，函数图像向右上方倾斜；当斜率为负时，函数图像向右下方倾斜。
三、一次函数的应用1. 直线运动：一次函数可以用来描述物体的直线运动。
例如，一个物体的运动速度恒定时，其位置与时间的关系可以表示为一次函数。
借助一次函数的斜率，可以判断物体的运动方向和速度大小。
2. 成本与收入关系：在经济学中，一次函数常用于描述成本与收入之间的关系。
例如，一个公司的总成本随着生产量的增加而线性增长，即可用一次函数表示。
利用一次函数模型，可以预测产量对应的成本，为企业决策提供依据。
3. 人口增长：一次函数也可用于描述人口增长的趋势。
例如，某地区的人口数量随时间呈线性增长，即可用一次函数表示。
通过分析一次函数的斜率和截距，可以得出人口增长的速度和初期人口数量。
四、习题演练1. 已知一家公司每月固定成本为10000元，每个产品的生产成本为50元，售价为100元。
设x表示销售量，求该函数的表达式，并计算当销售量为200时的利润。
解答：该问题可以建立一次函数模型y = 100x - (10000 + 50x)，其中100x表示总收入，10000 + 50x表示总成本。
利润为总收入减去总成本，即y = 50x - 10000。
当销售量x为200时，利润y = 50 * 200 - 10000 = 10000元。
第三单元 第14课时 一次函数的应用知识点回顾：知识点一：根据实际问题中给出的数据列相应的函数表达式、解决实际问题例1.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。
⑴写出该单位水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系式： ①用水量小于等于3000吨； ②用水量大于3000吨。
⑵某月该单位用水3200吨，水费是元；若用水2800吨，水费元。
⑶若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？ 参考答案：（1）y=0.5 x 、y=1500+ 0.8（x-3000） （2）1660 1400(3) 3050同步检测：(2008年乌兰察布)声音在空气中传播的速度y （m/s ）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）气温23x =℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？参考答案：（1）设y kx b =+，3315334b k b =⎧∴⎨+=⎩，35k ∴=， 33315y x ∴=+（2）当23x =时，323331344.85y =⨯+=． 5344.81724∴⨯=．∴此人与烟花燃放地相距约1724m ．知识点二：利用一次函数对实际问题中的方案进行比较例2：(2009年潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． （1）若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y （元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用2y （元）关于x （个）的函数关系式； （2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由． 参考答案：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：14y x=蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：2 2.416000y x =+． （2）21(2.416000)4y y x x -=+-16000 1.6x =-，由12y y =，得：16000 1.60x -=，解得：10000x =． ∴当10000x <时，12y y <，选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低．∴当10000x >时，12y y >，选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低．∴当10000x =时，12y y =，两种方案都可以，两种方案所需的费用相同．同步检测：（2009年某某）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．参考答案：（1）设生产A 型冰箱x 台，则B 型冰箱为()100x -台，由题意得：47500(28002200)(30002600)(100)48000x x -+-⨯-≤≤解得：37.540x ≤≤x 是正整数 x ∴取38，39或40．有以下三种生产方案：（2）设投入成本为y 元，由题意有：22002600(100)400260000y x x x =+-=-+4000-<y ∴随x 的增大而减小∴当40x =时，y 有最小值．即生产A 型冰箱40台，B 型冰箱50台，该厂投入成本最少此时，政府需补贴给农民(280040300060)13%37960()⨯+⨯⨯=元 （3）实验设备的买法共有10种．知识点三：结合实际问题的函数图象解决实际问题例3：（2009年某某）某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树．设甲班植树的总量为y 甲（棵），乙班植树的总量为y 乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x （时），y 甲、y 乙分别与x 之间的部分函数图象如图所示．（1）当06x ≤≤时，分别求y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式．（2）如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当8x =时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵．（3）如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当8x =时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵．参考答案：（1）设y甲=k1x，把（6，120）代入，得k1=20，∴y甲=20x.当x=3时，y甲乙=k2x+b，把（0，30），（3，60）代入，得b=30,3k2+b=60.解得k2=10， b=30.∴y乙=10x+30. （2）当x=8时，y甲=8×20=160， y乙=8×10+30=110.∵160+110=270>260，∴当x=8时，甲、乙两班植树的总量之和能超过260棵.（3）设乙班增加人数后平均每小时植树a棵.当乙班比甲班多植树20棵时，有6×10+30+2a-20×8=20.解得a=45.当甲班比乙班多植树20棵时，有20×8-(6×10+30+2a)=20.解得a=25.所以乙班增加人数后平均每小时植树45棵或25棵.同步检测：（2008年某某市）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x 之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．x/元（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w 的最大值．参考答案：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为30008002400000⨯=（元）（2）由题意可设y 与x 的函数关系为800y kx =+ 将(501200)，代入上式得120050800k =+，得8k = 所以种植亩数与政府补贴的函数关系为8800y x =+同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为33000z x =-+ （3）由题意(8800)(33000)u yz x x ==+-+224216002400000x x =-++224(450)7260000x =--+所以当450x =，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元． 随堂检测1.（某某市2008 ）小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程S （米）与他行走的时间t （分）之间的函数关系用图象表示正确的是（ ）．2.(2009某某)某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为O3050300900x(kg)y(元)(A)20kg (B)25kg(C)28kg (D)30kg3.（2008年某某市）小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，收入50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共收入70元．已知在降价前销售收入y （元）与销售重量x （千克）之间成正比例关系．请你根据以上信息解答下列问题：（1）求降价前销售收入y （元）与售出草莓重量x （千克）之间的函数关系式；并画出其函数图象；（2）小强共批发购进多少千克草莓？小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强的捐款为多少元？4.(2008年双柏县)（本小题8分）我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A 、B 、C 三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B 种水果的重量不超过装运的A 、C 两种水果重量之和．（1）设用x 辆汽车装运A 种水果，用y 辆汽车装运B 种水果，根据下表提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式并写出自变量的取值X 围．y O x （千克）5 1010 20 30 40 50 60 15 20（元） （25题图）水果品种 A B C每辆汽车运装量（吨） 2每吨水果获利（百元） 6 8 5（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．5.（2009年某某省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）参考答案：1. D2． A3．（1）50(010)10y x x=≤≤，图略；（2）7050101551-+=-，小强共批发购进15千克草莓，7015325-⨯=，小强的捐款为25元.4．（1）由题得到：2.2x+2.1y+2（30－x －y ）=64 所以 y = －2x+40又x ≥4，y ≥4，30－x －y ≥4，得到14≤x ≤18 （2）Q=6x+8y+5（30－x －y ）= －5x+170Q 随着x 的减小而增大，又14≤x ≤18，所以当x=14时，Q 取得最大值， 即Q= －5x+170=100（百元）=1万元。
中考数学一次函数专题在中考数学中，一次函数是一个非常重要的知识点，它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还与我们的实际生活密切相关。
接下来，让我们一起深入探讨一下中考数学中的一次函数。
一、什么是一次函数一次函数的一般形式为 y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k ≠ 0）。
其中，k 被称为斜率，它决定了直线的倾斜程度；b 被称为截距，它是直线与y 轴的交点纵坐标。
例如，函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是一个一次函数，其中斜率 k ＝ 2，截距b ＝ 1。
二、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升；当k ＜ 0 时，直线从左到右下降。
截距 b 决定了直线与 y 轴的交点位置。
当 b ＞ 0 时，交点在 y 轴正半轴；当 b ＜ 0 时，交点在 y 轴负半轴；当 b ＝ 0 时，直线经过原点。
例如，对于函数 y ＝ 2x ＋ 1，因为 k ＝ 2 ＞ 0，所以直线从左到右上升；又因为 b ＝ 1 ＞ 0，所以直线与 y 轴的交点在正半轴。
三、一次函数的性质1、增减性当 k ＞ 0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；当 k ＜ 0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小。
2、与坐标轴的交点与 x 轴的交点：令 y ＝ 0，解得 x ＝ b/k，所以与 x 轴的交点坐标为（b/k，0）。
与 y 轴的交点：令 x ＝ 0，得 y ＝ b，所以与 y 轴的交点坐标为（0，b）。
四、一次函数的应用一次函数在实际生活中有很多应用，比如行程问题、销售问题、工程问题等。
例如，在行程问题中，假设汽车以匀速行驶，速度为 v，行驶时间为 t，行驶路程为 s，则 s ＝ vt 就是一个一次函数。
再比如，在销售问题中，如果某种商品的单价为 p，销售量为 x，销售额为 y，那么 y ＝ px 也是一个一次函数。
五、求解一次函数解析式要确定一个一次函数，需要知道两个点的坐标或者一个点的坐标和函数的斜率。
人教版八年级上册第十四章 一次函数 知识总结1.函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量，例如，x 、y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量．2.正比例函数解析式: y=kx (k ≠0)3.正比例函数图象: 经过原点的直线4.正比例函数性质: 当k ＞0时,图象经过第三、一象限，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时,图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小5.描点法画函数图像的一般步骤：列表 描点 连线6. 一次函数解析式: y =kx +b (k ≠0)，与x 轴交点坐标为 与y 轴交点坐标为（0，b ），当b=0时，y =kx +b 即 y =kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.7.一次函数y =kx +b (k ≠0)与坐标轴所围三角形面积公式为b k b S ⋅-=∆218.求函数解关系的一般步骤是怎样的呢？可归纳为：“一设、二列、三解、四还原”一设：设出函数关系式的一般形式y=kx+b;二列：根据已知两点的坐标列出关于k 、b 的二元一次方程组； 三解：解这个方程组，求出k 、b 的值；四还原：把求得的k 、b 的值代入y=kx+b ，写出函数关系式.像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从⎪⎭⎫ ⎝⎛-,0kb而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.9.一次函数y=kx+b 的图象与正比例函数y=kx 图象有什么关系？ 一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到。
（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）当 k 相等时，两直线平行；反之，若两直线平行，则 k 值相等. 当 k 不相等时，两直线相交；反之，两直线相交，则k 不相等. 当 b 值相等时，两直线相交于y 轴. 交点坐标为（0，b ）10.一次函数 的图象是一条直线，一次项系数k 确定直线的倾斜程度，常数项b 决定直线与y 轴交点的位置。
第3章 函数【精学】考点一、一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次方程：一次函数y ＝kx ＋b 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx ＋b ＝0的解；若从图象上来看，则可看做函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点的横坐标，即为方程kx ＋b ＝0的解． 2、一次函数和一元一次不等式：任何一元一次不等式都可以转化为类似ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y ＝ax ＋b 的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y ＝ax ＋b 的值何时大(小)于0时，只要求出不等式ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0的解集即可．①如图1，一次函数b kx y +=的图象与x 轴交于点（x 0，0）．当它在x 轴上方的部分时，对应不等式为kx+b ＞0，其解为x ＞x0；当它在x 轴下方的部分时，对应不等式为kx+b ＜0，其解为x ＜x0.图1图21x+b 1如图2，一次函数111b x k y +=与222b x k y +=的图象交点的横坐标为x 0．当222b x k y +=的图象在111b x k y +=上方的部分时，对应不等式为k2x+b2＞k1x+b1，其解为x ＞x0；当222b x k y +=的图象在111b x k y +=下方的部分时，对应不等式为k2x+b2＜k1x+b1，其解为x ＜x0.考点二、一次函数的实际应用 (1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助． (2)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．【巧练】题型一、一次函数、一元一次方程与一元一次不等式【例1】（2015辽宁辽阳）如图，直线2y x =-+与y ax b =+（0a ≠且a ，b 为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x 的不等式2x ax b -+≥+的解集为（ ）A ．x ≥﹣1B ．x ≥3C ．x ≤﹣1D ．x ≤3 【答案】D ．【分析】根据图形即可得到不等式的解集．【解析】从图象得到，当x ≤3时，2y x =-+的图象对应的点在函数y ax b =+的图象上面，∴不等式2x ax b -+≥+的解集为x ≤3．故选D ．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．要注意数形结合，直接从图中得到结论．【方法技巧规律】一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合题型二、利用一次函数性质求最值例2（2015新疆生产建设兵团）某超市预购进A、B两种品牌的T恤共200件，已知两种T恤的进价如表所示，设购进A种T恤x件，且所购进的两种T恤全部卖出，获得的总利润为W元．（1）求W关于x的函数关系式；（2）如果购进两种T恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）【答案】（1）w=5x+5000；（2）购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【分析】（1）根据总利润=A品牌T恤的利润+B品牌T恤的利润就可以得到w关于x的函数关系式；（2）由“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论．【解析】（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200一x）件，由题意得：W=(80一50)x+(65一40)(200一x）=30x+5000一25x=5x+5000答：w关于x的函数关系式为W=5x+5000(2)∵购进两种T恤的总费用不超过9500元，∴50x+40(200-x）≤9500, ∴x≤150.∵W=5x+5000. ∴ k=5>0∴W随x的增大而增大，∴x=150时，W的最大值为5750, ∴购进A种T恤150件．∴购进A种T恤巧。
件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【点评】本题考查了总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润的运用，一元一次不等式组的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．题型三、分段函数例3．（2016吉林省长春市）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x （时），y 与x 之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从A 地到达B 地的行驶时间；（2）求甲车返回时y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求乙车到达A 地时甲车距A 地的路程．【解析】试题分析：（1）根据题意列算式即可得到结论； （2）根据题意列方程组即可得到结论； （3）根据题意列算式即可得到结论．试题解析：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时）． 答：甲车从A 地到达B 地的行驶时间是2.5小时；（2）设甲车返回时y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，∴300 2.50 5.5k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：100550k b =-⎧⎨=⎩，∴甲车返回时y 与x 之间的函数关系式是y=﹣100x+550（2.5≤x ≤5.5）； （3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小时，当x=3.75时，y=175千米． 答：乙车到达A 地时甲车距A 地的路程是175千米． 考点：1．一次函数的应用；2．分段函数．【点评】本题考查了一次函数图象的运用，行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，解答时认真分析一次函数的图象的意义是关键．【限时突破】1.（2015山东济南）如图，一次函数1y =x+b 与一次函数2y =kx+4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x+b ＞kx+4的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＞0C ．x ＞1D ．x ＜12．（2016四川巴中市）已知二元一次方程组522x y x y -=-⎧⎨+=-⎩的解为41x y =-⎧⎨=⎩，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=x+5与直线l2：112y x =--的交点坐标为 ．3．（2016四川资阳市）已知关于x 的方程mx +3=4的解为x=1，则直线y=（m ﹣2）x ﹣3一定不经过第 象限．4.（2016山东滨州）星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km ；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h ．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km/h ．设爸爸骑行时间为x （h ）．（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km ）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km ）与x （h ）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；（2）请在同一个平面直角坐标系中画出（1）中两个函数的图象； （3）请回答谁先到达老家．5.（2016新疆生产建设兵团）暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y （km ）与汽车行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？ （2）求线段AB 对应的函数解析式；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？6. （2016山东省临沂市）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；（2）小明选择哪家快递公司更省钱？7．(2016四川省乐山)“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．8.（2016四川南充）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？【答案解析】1.【答案】C【解析】观察函数图象可得：当x>1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以当x>1时，x+b>kx+4，即不等式x+b>kx+4的解集为x>1．故选：c．2.【答案】（﹣4，1）．【解析】试题分析：∵二元一次方程组522x yx y-=-⎧⎨+=-⎩的解为41xy=-⎧⎨=⎩，∴直线l1：y=x+5与直线l2：112y x=--的交点坐标为（﹣4，1），故答案为：（﹣4，1）．3.【答案】一．【解析】试题分析：'.’关于x的方程mx+3=4的解为x=1,.∴m+3=4,.'．m=1,.'．直线为y=-x-3，∴直线一定不经过第一象限，故答案为：一考点：一次函数与一元一次方程．4.【答案】（1）y1=20x （0≤x≤2），y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）；（2）详见解析；（3）同时到达老家．【解析】试题分析：（1）根据速度×时间=路程，即可得函数关系式；（2）根据描点法，即可画出函数图象；（3）观察图象，即可得答案．试题解析：解；（1）由题意，得y1=20x （0≤x≤2）y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）；（2）由题意得；（3）由图象可得，同时到达老家．5. 【答案】(1)4h；（2）y=120x﹣40（1≤x≤3）；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地120km远．【解析】试题分析：（1）观察图形即可得出结论；（2）设AB段图象的函数表达式为y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；（3）先将x=2.5代入AB段图象的函数表达式，求出对应的y值，进一步即可求解．试题解析：（1）从小刚家到该景区乘车一共用了4h时间；（2）设AB段图象的函数表达式为y=kx+b．∵A（1，80），B（3，320）在AB上，∴，解得．∴y=120x﹣40（1≤x≤3）；（3）当x=2.5时，y=120×2.5﹣40=260，380﹣260=120（km）．故小刚一家出发2.5小时时离目的地120km远．考点：一次函数的应用．6.【答案】（1）22 (01)157 (1)x xyx x<<⎧=⎨+>⎩甲，=163y x+乙；（2）当12＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜12或x＞4时，选甲快递公司省钱．【解析】试题分析：（1）根据“甲公司的费用=起步价+超出重量×续重单价”可得出y甲关于x的函数关系式，根据“乙公司的费用=快件重量×单价+包装费用”即可得出y乙关于x的函数关系式；（2）分0＜x≤1和x＞1两种情况讨论，分别令y甲＜y乙、y甲=y乙和y甲＞y乙，解关于x的方程或不等式即可得出结论．试题解析：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3；∴22 (01)157 (1)x xyx x<<⎧=⎨+>⎩甲，=163y x+乙；（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜1 2；令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=1 2；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：12＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：0＜x＜4．综上可知：当12＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜12或x＞4时，选甲快递公司省钱．考点：1．一次函数的应用；2．分段函数；3．方案型．7. 【答案】（1）A文具为40只，B文具60只；（2）各进50只，最大利润为500元．【解析】试题分析：（1）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出方程解答即可；（2）设A 文具为x 只，则B 文具为（100﹣x ）只，根据题意列出函数解答即可．试题解析：（1）设A 文具为x 只，则B 文具为（100﹣x ）只，可得：10x+15（100﹣x ）=1300，解得：x=40． 答：A 文具为40只，则B 文具为100﹣40=60只； （2）设A 文具为x 只，则B 文具为（100﹣x ）只，可得：（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x ）≤40%[10x+15（100﹣x ）]，解得：x ≥50， 设利润为y ，则可得：y=（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x ）=2x+800﹣8x=﹣6x+800， 因为是减函数，所以当x=50时，利润最大，即最大利润=﹣50×6+800=500元． 考点：1．一次函数的应用；2．一元一次方程的应用；3．一元一次不等式的应用．8. 【答案】（1）s=50 (020)1000 (2030)50500 (3060)t t t t t ≤≤⎧⎪<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）37.5min ；（3）小明在步行过程中停留的时间需减少5min ． 【解析】试题分析：（1）根据函数图形得到0≤t≤20、20＜t≤30、30＜t≤60时，小明所走路程s 与时间t 的函数关系式；（2）利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式，列出二元一次方程组解答即可；（3）分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可．试题解析：（1）s=50 (020)1000 (2030)50500 (3060)t t t t t ≤≤⎧⎪<≤⎨⎪-<≤⎩；（2）设小明的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式为：s=kt+b ，则251000250k b b +=⎧⎨=⎩，解得，30250k b =⎧⎨=⎩，则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250，当50t ﹣500=30t+250，即t=37.5min 时，小明与爸爸第三次相遇；（3）30t+250=2500，解得，t=75，则小明的爸爸到达公园需要75min ，∵小明到达公园需要的时间是60min ，∴小明希望比爸爸早20min 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min ． 考点：一次函数的应用；分段函数；分类讨论．。
