文章编号:1000-0887(2000)07-0765-05自治时滞微分方程的线性化振动性Ξ李永昆(云南大学数学系,昆明650091)(吴学谋推荐)摘要: 研究了非线性时滞微分方程 x ′(t )+∑mi =1f i(x (t -τ1),…,x (t -τm))=0的线性化振动性· 关 键 词: 时滞微分方程; 振动; 非振动中图分类号: O17317 文献标识码: A引 言考虑非线性自治时滞微分方程 x ′(t )+∑mi =1p i fi(x (t -τi ))=0,(1)和 x ′(t )+∑mi =1p ix (t -τi)=0,(2)其中,p i ∈(0,∞),τi ∈[0,∞),f i ∈C (R ,R ),i =1,…,m · 文[1]研究了方程(1)的线性化振动性,并证明了:如果下列条件成立H 1)uf i (u )>0(u ≠0)且limu →0f i (u )u=1(i =1,…,m );H 2)存在δ>0使得 或者 f i (u )≤u ,u ∈[0,δ), 或者 f i (u )≥u ,u ∈[0,δ),(i =1,…,m )· 那么,方程(1)振动的充分必要条件是方程(2)振动· 在文[2]中,张炳根指出:条件H 2)对u 趋于零时,f i (u )的变化有限制,并提出这个条件是否可改进?文[3]曾试图去掉条件H 2),但未完全成功(见文[4])· 本文的目的是通过使用一种新技巧研究相当广泛的一类非线性自治时滞微分方程667 应用数学和力学,第21卷第7期(2000年7月) Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编重庆出版社出版Ξ收稿日期: 1998-06-22;修订日期: 2000-03-15基金项目: 云南省应用基础研究基金资助项目作者简介: 李永昆(1961～),博士,教授,已发表论文40余篇. x ′(t )+f (x (t -τ1),…,x (t -τm ))=0(3)的线性化振动性,其中,f ∈(R ,R ),τi ∈(0,∞)(i =1,…,m )· 所得结果肯定地回答了张炳根的问题,并表明在更一般的情况下,H 2)也可去掉· 如通常一样,微分方程的解称为振动的,如果它有任意大的零点;否则称为非振动的· 微分方程称为振动的,如果它的每一解都是振动的· 1 主要结果及其证明本文的主要结果如下:定理 假设下列条件成立H )ⅰ)f (u 1,…,u m )>0,u 1,…,u m >0,f (u 1,…,u m )<0,u 1,…,u m <0, ⅱ)存在常数p i ∈(0,∞),i =1,…,m 使得 lim (u 1,…,u m)→0u i u j>0,i ,j =1,…,mf (u 1,…,u m )p 1u 1+…+p m u m=1· 那么,方程(3)振动的充分必要条件是方程(2)振动· 推论 假设H 1)成立,那么方程(1)振动的充分必要条件是方程(2)振动· 证 令 f (u 1,…,u m )=p 1f 1(u 1)+…+p m f m (u m ),易知对u i u j >0,i ,j =1,…,m 有 f (u 1,…,u m )p 1u 1+…+p m u m -1≤∑mi =1f i (u i )u i-1· 因此,H )ⅰ)成立· 显然,H )ⅱ)也成立· 为证定理,首先我们给出如下几个引理· 引理1[5] 方程(2)振动的充分必要条件是它的特征方程 λ+∑mi =1p ie-τλi=0(4)没有实根· 类似于文[6]的定理1的证明易得引理2 假设H )成立· 那么,若方程(2)振动,则方程(3)也振动· 引理3 假设H )成立,并设方程(2)不振动,那么,对任意的ε∈(0,1),方程 x ′(t )+(1-ε)f (x (t -τ1),…,x (t -τm ))=0,(3)ε也不振动· 证 对任意固定的ε∈(0,1),由H )可知存在δ>0使得(1-ε)∑mi -1p i ui<f (u 1,…,u m )<(1+ε)∑mi -1p i ui (u i ∈(0,δ);i =1,…,m ),(5)从引理2知方程(2)的特征方程(4)有一实根η,即 η+∑mi =1p ie-ητi=0· (6)显然,η<0,τ=max 1≤i ≤mτi ,设X 是[t 0-τ,∞)上的的实值有界连续函数全体并赋予上确界范数所成的Banach 空间· 设S 是X 中具有下列性质的x (t )所组成的集合· a )对t ≥t 0,x (t )单调不增且对t ∈[t 0-τ,t 0],x (t )≡x 0exp (η(t -t 0));767李 永 昆b )x 0exp (η(t -t 0))≤x (t )≤x 0exp (-ητ),t ≥t 0;c )x (t -τi )≤exp (-ητi )x (t ),t ≥t 0,(i =1,…,m )· 其中,x 0满足0<x 0<δexp (ητ)· 在S 上定义映射F 如下 (Fx )(t )=x 0eη(t -t 0) (t 0-τ≤t ≤t 0),x 0exp -(1-ε)∫tt 0f (x (s -τ1),…,x (s -τm ))x (s )d s (t >t 0)· 显然,(Fx )(t )是单调减少的连续函数且(Fx )(t )≤x 0exp (-ητ)· 下证(Fx )(t )≥x 0exp (η(t -t 0))· 为此,由(H ),(5)和(6),对t ≥t 0,得 (Fx )(t )=x 0exp -(1-ε)∫t t 0f (x (s -τ1),…,x (s -τm))x (s )d s ≥x 0exp -(1-ε2)∫tt 0p 1x (s -τ1)+…+p m x (x -τm)x (s )d s≥x 0exp (-(1-ε2)∑mi =1p ie-ητi(t -t 0))≥x 0exp (η(t -t 0))· 又由H ),(5)和(6),对每一k =1,…,m ,t ≥t 0有 (Fx )(t -τk )(Fx )(t)=exp (1-ε)∫tt -τkf (x (x -τ1),…,x (s -τm ))x (s )d s ≤exp (1-ε2)∑m i =1p i∫tt -τkx (s -τi )x (s )d s ≤exp ((1-ε2)∑mi =1τk p i e -ητi )=exp (-(1-ε2)ητk )≤exp (-ητk )· 于是,已证得了FS ΑS · 明显地,集合S 是非空(因x 0exp (η(t -t 0)∈S ),闭和凸的· 为证FS 在X 中相对紧,只要证d [(Fx )(t )]/d t 一致有界即可· 事实上, dd t [(Fx )(t )]=-(1-ε)f (x (t -τ1),…,x (t -τm ))x (t )(Fx )(t )· 由上式及(5)和(6),有 dd t [(Fx )(t )]=(1-ε)f (x (t -τ1),…,x (t -τm ))x (t )(Fx )(t )≤x 0(1-ε2)∑mi =1p i x (t -τi )x (t)e -ητ<x 0(∑mi =1p ie-ητi)e -ητ=-x 0ηe-ητ· 至此,我们已证得F 满足Shander 不动点定理的所有条件,故F 有不动点x ε∈S 使得Fx ε=x ε· 显然,x ε是方程(3)ε使得x ε(t 0)=x 0的最终正解· 由文[7]的引理2我们有867自治时滞微分方程的线性化振动性引理4[7] 设M 是R 的开子集,假设对每一i =1,…,m 和每一固定的μ∈M ,函数p i (·,μ)和τi (·,μ)在[t 0,∞)上非负连续,且 lim t →∞[t -τi (t ,μ)]=∞· 又假设对每一i =1,…,m 和固定的t ≥t 0,函数p i (t ,·)和τi (t ,·)在M 上连续,设N 是使得方程 x ′(t )+∑mi =1p i(t ,μ)x (t -τi(t ,μ))=0振动的所有μ∈M 的集合,那么N 是一个开集· 引理5 假设H )成立,那么存在ε0∈(0,1)使当ε∈(0,ε0)时,方程(3)ε振动的充分必要条件是方程 x ′(t )+(1-ε)∑mi =1p ix (t -τi)=0(2)ε振动· 证 对每一ε∈(0,1),若方程(2)ε振动,则由引理2知方程(3)ε也振动· 其次,对每一ε∈(0,1),若方程(3)ε振动,则由引理3易知方程(2)也振动· 从而由引理4可知存在ε0∈(0,1)使得对每一ε∈(0,ε0)方程(2)ε也振动· 定理的证明 考虑方程 x ′(t )+αf (x (t -τ1),…,x (t -τm ))=0,(7)和 x ′(t )+α∑mi =1p i x (x -τi )=0,(8)其中α为参数,由引理5知对任意的α∈[1,2]均存在ε(α)∈(0,1)使当ε∈(0,ε(α))时,方程 x ′(t )+(1-ε)αf (x (t -τ1),…,x (t -τm ))=0振动的充分必要条件是方程 x ′(t )+(1-ε)α∑mi =1p i (t -τi )=0振动· 故易知当α∈[1,2)时,方程(7)振动的充分必要条件是方程(8)振动· 附 录引理2的证明 若不然,方程(3)有非振动解x (t )· 假设x (t )是最终正解,对x (t )是最终负解的情形可类似证明· 故略· 选取t 1≥t 0使当t ≥t 1时,x (t -τi )>0,i =1,…,m · 从而,由(1)知当t ≥t 1时,x (t )单减,故lim t →0x (t )=l ∈[0,∞)存在· 我们断言l =0· 否则,l >0· 由f 的性质易知,存在σ>0使当|u i -l |<σ,i =1,…,m 时, |f (u 1,…,u m )>12f (l ,…,l )>0· 再选取t 2>t 1使当t ≥t 2时,对i =1,…,m , x (t -τi )-l <δ· 于是,从t 2到∞积分(3)的两边得 0=l -x (t 2)+∫∞t2f (x (t -τ1),…,x (t -τm))d t >967李 永 昆l -x (t 2)+12∫∞t2f (l ,…,l )d t · 此为矛盾· 故l =0令 q i (t )=p if (x (t -τ1),…,x (t -τm ))p 1x (t -τ1)+…+p m x (t -τm ),则由假设知q i (t )>0,且 limt →∞p iq i (t )=1,i =1,…,m · 注意到x (t )是方程 y ′(t )+∑mi =1q i(t )y (t -τi)=0的一个非振动解,由文[7]的定理1知方程(2)有非振动解· 矛盾· [参 考 文 献][1] Kulencvic MRC ,Ladas G ,Meimaridou A.On oscillation of nonlinear delay differential equations [J ].Qua rt Appl Math ,1987,14(1):155～164.[2] 张炳根.泛函微分方程振动理论的若干问题[A ].见王联,薄富全,刘永清等编:常微分方程理论及应用[C ].北京:科学出版社,1992,42～45.[3] 李永昆.一阶非线性时滞微分方程的线性化振动性[J ].科学通报,1994,39(13):1159～1163.[4] 柴树根.关于“一阶非线性时滞微分方程的线性化振动性”一文的注[J ].数学研究与评论,1998,18(1):147～148.[5] Ladas G ,Sficas Y G ,Stavroulakis I P.Necessary and sufficient conditions for oscillations [J ].AmerMath Monthly 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