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第五章条件平差

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第五章 条件平差

第五章 条件平差

cot
a3
va3
sin a1 sin b1
sin sin
a2 b2
sin sin
a3 b3
cot
b1
vb1
sin a1 sin b1
sin sin
a2 b2
sin sin
a3 b3
cot
b2
vb2
sin a1 sin b1
sin sin
a2 b2
sin a3 sin b3
cot
b3
vb3
0
cot a1va1 cot a2va2 cot a3va3 cot b1vb1 cot b2vb2 cot b3vb3
§5-2 条件方程
4.水准网中条件方程的列立方法
• 列条件方程的原则：足数、独立、最简 • （1）先列附合条件，再列闭合条件 • （2）附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个
数等于已知点的个数减1 • （3）闭合条件按小环建立（保证最简），一个水准
网中有多少小环，就列多少个闭合条件。
§5-2 条件方程
• （2）极条件
A a4 b4
a1 B b1
AB AC AD 1 0
AC AD AB
D b3a3
sin aˆ2 sin(aˆ3 bˆ3) sin aˆ1 sin(aˆ1 bˆ1) sin bˆ2 sin bˆ3
1
0
b2a2 C
cot a2va2 cot(a3 b3 ) (va3 vb3 ) cot a1va1
• 原则：将复杂图形分解成典型图形
三角形
大地四边形
中心多边形
§5-2 条件方程
7.条件方程的类型
• 图形条件（内角和条件）:三角形内角和等于180 • 圆周条件（水平条件）：圆周角等于360 • 极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一

测量平差第五章

测量平差第五章

式中常数项为：
wa a1 L1 a2 L2 an Ln a0 wb b1 L1 b2 L2 bn Ln b0 wr r1 L1 r2 L2 rn Ln r0
§5.1 条件平差原理
ˆ ˆ H h ˆH C A 1
一般地,设平差值函数为：
§5.3 精度评定
—— 称为权函数式！ 其矩阵形式为：
§5.3 精度评定
§5.3 精度评定
1 1 1 0 0 0 A 0 0 0 1 1 1
§5.3 精度评定
例（补）已知：
ˆ 和 求：L ˆ ˆ
PC
1.求观测量的平差值：
§5.2 条件方程
1.以角度改正数表示的图形条件方程 ˆ ˆ ˆ 360 0 1 2 3
ˆ ˆ ˆ 0 1 2 3
v1 v2 v3 w 0
w 1 2 3
v1 v2 v3 w பைடு நூலகம் 0
w 1 2 3 360
①列立条件方程式
PE
ˆ L 573216 1 ˆ 73 0308 L2 1 1 1 1 ˆ 360 0 W AL A0 [1 1 1 1]12651 28 360 12 L 3 ②组成并解算法方程 102 3 3 2 0 ˆ L4
2.解决问题的基本思想 根据 i2 02Qii 知：
2 要计算平差值函数的中误差，首先要求出 0 ；
最后，根据Q ˆ ˆ 求得平差值函数的中误差 ˆ。
然后，根据协因数传播律求出平差值函数 ˆ 的协因数 Qˆˆ ；
§5.3 精度评定

条件平差

条件平差
n ,1 n , n n , r r ,1
得法方程： AQATK-W=0 T 1 T N AQA AP A 令 aa r .r r .nn.nn.r 则有： NaaK-W=0
法方程系数阵Naa是一个r阶的满秩方阵，且可逆
N11k1 N12k 2 N1r k r W1 0 N 21k1 N 22k 2 N 2 r k r W2 0 N r1k1 N r 2 k 2 N rn k r Wr 0
目标函数：f x min n1 x a h x min F a , x f 1k 约束条件： h x 0 k 1 n1 F a, x
0 a F a, x 0 x

L2
L4 L1 L3 L2
A
B
C
§6-2 条件方程
条件方程的个数等于多余观测数r。条件方程之间 不能线性相关,在一个平差问题中，条件方程的个 数是固定不变的.
一、r的确定： r=n-t 二、条件方程的列立： 原则：足数（r个），线性无关，形式简单，易 于列立
控制网常见几何模型
水准网 三角网(测角网) 三边网(测边网) GPS基线向量网 单一附合导线
由此可得联系数K的解：
r ,1
K ( AQA ) W
T
T 1
V QA K
条件平差的 最小二乘解：
n,1
ˆ L V L
三、条件平差计算步骤：
1．根据平差问题的具体情况，列出条件方程，条 件方程的个数等于多余观测数r。 2．组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数r 3．解法方程，求出联系数K值。 4．将K代入改正数方程式，求出V值，并求出观测 值的平差值=L+V。 5．检验平差计算的正确性（可用平差值重新列出 平差值条件方程式，看其是否满足方程）。

第五章条件平差

第五章条件平差

二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV－2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导： T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为： 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
＝
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数，且 f i、g i 均为x的函数， d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意：当N为满秩方阵时，才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边＋测方向
边角网
（导线网） 测边＋测角
三、三角网的布设－－从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网（经典自由网）－-－只有必要起算数据d。
非独立网（附合网）－-－已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件： n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件：
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0

误差理论与测量平差基础习题集精选文档

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误差理论与测量平差基础习题集精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-第五章条件平差§5-1条件平差原理条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少?5. 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。

图5-15. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为Ha = m , Hb=11. 123m,观测高差和线路长度为:图5-2S1=2km,S2=Ikm,S3=,h1=,h2= m,h3= m，求改正数条件方程和各段离差的平差值。

在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程=,观测了5条路线的高差:HA=，h1h=0. 821 m，2=，h3h=，4= m。

h5各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差值。

有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测量，测得高差及水准路线长度为h 1 =1 .335 m ，S 1=2 km; h 2= m ，S 2=2 km;h 3= m ，S 3=3km 。

试按条件平差法求各高差的平差值。

如图 5-5 所示，L 1=63°19′40″，=30″；L 2 =58°25′20″,=20″；L 3=301°45′42″，=10″.(1)列出改正数条件方程;(2)试用条件平差法求∠C的平差值(注: ∠C是指内角)。

5-2条件方程5. 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一?列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关?. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P表示待定高i表程点，hi示观测高差)。

测量程序设计_条件平差和间接平差

测量程序设计_条件平差和间接平差

程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为

测量平差 第五章 条件平差

测量平差 第五章 条件平差

北京建筑工程学院 测绘工程系

求解法方程，求的联系数K
N aa K + W = 0
− K = − ( A P − 1 A T ) − 1 W = − N aa1W
回代求解观测值改正数
V = P −1 A T K = QA T K
观测值平差值
ˆ L = L +V
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
四、条件平差的计算步骤
1. 首先确定条件方程的个数 r=n-t
ˆ 列出平差值条件方程式， AL + Ao = 0
列出改正数条件方程 AV + W = 0 定观测值的权阵P 2. 组成法方程式 4. 求改正数V值 5. 求出平差值 6. 检核
误差理论与测量平差基础
( AP −1 AT ) r×r K r×1 + W = 0
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
水准网平差例2 A
h1
t = 7 −1− 3 = 3
C
h3
r = n−t = 7−3= 4
E
h2 h6 h5
符合条件方程
G
h4
h7
F D
B
ˆ ˆ ˆ h1 + h2 − h3 − ( H C − H A ) = 0 ⎫ ⎪ ˆ + h − h −( H − H ) = 0⎪ ˆ ˆ h1 6 7 B A ˆ + h + h − ( H − H ) = 0 ⎬ 闭合条件方 h7 ˆ 5 ˆ 4 ⎪ D B ⎪ ˆ ˆ ˆ h2 − h5 − h6 = 0 ⎭
矩阵计算基础知识 1. 向量 矩阵 2. 矩阵转置 3. 矩阵相乘 4. 矩阵微分 5. 矩阵求逆 6. 特殊矩阵 7. Matlab 矩阵计算

第五章 附有限制条件的条件平差

第五章 附有限制条件的条件平差
1 ˆ V P 1 AT N aa (W Bx)
§5-2 精度评定
任何一种平差方法，其精度评定的内容都包括 以下三方面内容：单位权方差估值的计算、各向 量的协因数阵及向量间的互协因数阵的推导、平 差值函数协因数及其中误差的计算，本节也将对 这三方面内容作介绍。

一、单位权方差估值的计算公式
如果在u个参数中有s个是不独立的或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式则建立平差模型时应列出s个限制条件方程除此之外再列出crus个一般条件方程因此方程总数也可以认为是cs个形成如下的函数模型若为线性形式则为无论线性模型还是非线性模型按照第二章介绍的线性化方法和结论并考虑到则可写出其线性化后的函数模型为以上式作为函数模型而进行的平差称为附有限制条件的条件平差有的文献也称其为概括平差函数模型
CN C K s CN We W x 0
N cc CN bb1C T
1 bb
于是前式可写成
N cc K s CN W e W x 0 由此式可得
1 bb
K s N (Wx CN We )
1 cc
1 bb
（5-1-25）
将上式代入（5-1-24）式，整理可得
Qww AQll A N aa
T
（5-2-4）
We B T N aa1W
QW eW e B N N aa N B B N B N bb （5-2-5）
T T
Q XˆX ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) N bb ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) T ˆ
u 1
1 aa
1 aa
1 aa
( E N bb1C T N cc1C )( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 )

误差理论与测量平差基础第五章 条件平差

误差理论与测量平差基础第五章 条件平差

在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐 标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意 一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大 小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位 置基准 2个（任意一点的坐标 x0 , y0 ）、方位基准 1个（任意一条 边的方位角 0 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 S0 ）。 这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。

第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
图1
图2
图1中r =3· （3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：
v x AB v xBC v xCA (x AB x BC xCA ) v y AB v yBC v yCA (y AB y BC y CA ) v z AB v z BC v zCA (z AB z BC z CA )
教材：5－4，5－5 习题：5.2.11， 5.2.12
第五章——条件平差
7、三角网中条件方程的列立举例
图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。 图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。
第五章——条件平差
图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆 周条件，一个极条件。 由以上三例知，三 角形只有图形条件；大 地四边形有图形条件和 极条件两类条件；只有 中点多边形才有全部的 三类条件。
（2）
第五章——条件平差
补充：矩阵微分公式
第五章——条件平差
2.2 求偏导
d 2V T P 2 K T A 0 dV
（3） （4） （5）

6第五章条件平差资料

6第五章条件平差资料

l2
A
B
C
22
解：(1)条件方程：
✓此例n=4,t=2,故r=2;可列两个条件方程：
lˆ 1
lˆ2 lˆ2
lˆ3
lˆ4
0
0
lˆi li vi
v 1
v2
v4
3
0
v2 v3 2 0
✓写成矩阵形式：
10
3
3 6
ka
kb
3 2
0
(2)定权：✓100米量距为单位权：Pi=100/Si
F
39
§2 条件方程
sin sin
L3 L2
sin sin
L5 L4
sin sin
L1 L6
cos L1
sin L1
v1
sin sin
L1 L4
sin sin
L3 L6
sin sin
L5 L2
cos L2
sin L2
v2
sin L1 sin sin L2 sin
L3 sin L5 L4 sin L6
cos L6
sin L6
v6
( sin L1 sin L2
sin sin
L3 sin L5 L4 sin L6
1)
1
sin L1 sin L2
sin sin
L3 sin L5 L4 sin L6
(cot
L1v1
cot
L2v2
cot
L3v3
cot
L4v4
cot
L5v5
cot
L6v6 )
( sin L1 sin sin L2 sin
② 求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并 与附加条件联立，即 L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0， L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0， φ(x,y)=0

第5章 附有限制条件的条件平差

第5章 附有限制条件的条件平差

测量平差太原理工大学测绘科学与技术系第五章附有限制条件的条件平差附有限制条件的条件平差§5-1 基础方程和它的解§5-2 精度评定§5-3 各种平差方法的共性和特性§5-4 平差结果的统计性质§5-1 基础方程和它的解条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有条件的间接平差等四种经典平差方法，除条件平差不增选参数外，其它三种方法都要增选数量不等的参数参与平差，其未知参数的个数分别是u<t，u=t，u>t，且要求参数间彼此独立，在u>t 的情况下，也要求必须包含t个独立参数，从函数模型上看，四种平差方法总共包含如下四类的方程：基础方程和它的解前三类方程中都含有观测量或同时含有观测量和未知参数，而最后一种方程则只含有未知参数而无观测量，为了便于区别起见，特将前三类方程统称为一般条件方程，而最后一类条件方程称为限制条件方程。

~0)~(0=+=A L A L F ，线性形式为：dX B L X F L +==~~)~(~，线性形式为：0~~0)~,~(0=++=A X B L A X L F ，线性形式为：0~0)~(0=+=ΦC X C X ，线性形式为：基础方程和它的解在第二章中介绍过附有条件的条件平差的模型建立方法，该方法也要增选u 个参数，方程的总数为r+u 个。

如果在u 个参数中有s 个是不独立的，或者说在这u 个参数中存在着s 个函数关系式，则建立平差模型时应列出s 个限制条件方程，除此之外再列出c=r+u-s 个一般条件方程，因此方程总数也可以认为是c+s 个，形成如下的函数模型若为线性形式，则为0)~,~(1=⨯X L F c 0)~(1=Φ⨯X S 0~~1011=++⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c A X B L A 0~101=+⨯⨯⨯s u u s C X C基础方程和它的解无论线性模型还是非线性模型，按照第二章介绍的线性化方法和结论，并考虑到则可写出其线性化后的函数模型为以和的估值和代入上式，则∆+=L L ~x X X ~~0+=0~111=-+∆⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c W x B A 0~11=-⨯⨯⨯s x u u s W x C ∆x ~V x ˆ0ˆ111=-+⨯⨯⨯⨯⨯c u u c n n c W x B V A 0ˆ11=-⨯⨯⨯s x u u s W xC基础方程和它的解式中以上式作为函数模型而进行的平差，称为附有限制条件的条件平差，有的文献也称其为概括平差函数模型。

测量学 第五章 测量误差及测量平差

测量学 第五章 测量误差及测量平差

第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。

观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。

X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真值。

二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。

三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。

等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。

非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。

四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。

其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。

2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。

偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。

因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。

五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。

对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。

§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。

2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。

3.精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。

第五章 条件平差

第五章 条件平差
ˆ 0 F L
v1 v V 2 n ,1 vn
W AL A0
则相应方程的矩阵表达式分别为

AV W 0
第五章：条件平差
3. 基础方程
按求函数极值的拉格朗日乘数法，设乘数 联系数向量。组成函数 将 φ 对V 求一阶导数，并令其为零，得

r , n n ,1
A V W 0 ——改正数条件方程 r ,1
W AL A0 —改正数条件方程常数项（闭合差）计算式
第五章：条件平差
例题 ：右图中L1、L2、L3为观测角度， 试列出该图形的条件方程和改正数条件方 程。 解：t=2, r=n-t=3-2=1 条件方程:
ˆ L ˆ L ˆ 180 0 L 1 2 3
试列出条件方程 解：t=2p-q-4=4，r=n-t=9-4=5 条件方程为：
ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 1 2 3 ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L 4 5 6 ˆ L ˆ L ˆ 1800 0 L
7 8 9
ˆ L ˆ L ˆ 3600 0 L 3 6 9 ˆ sin L ˆ sin L ˆ sinL 1 4 7 1 ˆ ˆ ˆ sinL sin L sin L
第五章：条件平差
4.基础方程的解
将改正数方程代入改正数条件方程，得
AQAT K W 0
令 则有
N aa AQAT AP1 AT
N aa K W 0 ——联系数法方程
秩 RN aa RAQAT RA r ，即 N aa 是个r阶的满秩方阵，由此 可解出
试按条件平差法求C、D点高程的平差值。 解：此例 n=4，t=2，r=n-t=2，可列出两个条件方程。 （1）列条件方程：

5-条件平差.

5-条件平差.

0 0 s3 0
0 2 0 0 0 0 s4 0
0 1 0 0 0 2 0 0 0 1.5 0 0
§5-1 条件平差原理
二、条件平差步骤及示例
5、组成法方程，求联系数K
2 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 T AP A 0 1 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 5 0 1 0 1 1.5 平差步骤及示例
4、确定观测值的权，令C=1，则由定权公式
C 1 pi Si Si
有
p11 0 P 1 0 0
0
1 p2
0 0
1 p3
0 0
0
0 s 0 1 0 0 s2 0 0 0 1 0 0 p4
解：此例n=4，t = 2，r = n-t= 2，可列出两个条件方程。 1、列条件方程：
ˆ h ˆ h ˆ H H 0 h 1 2 3 A B ˆ ˆ h h 0 2 4
h1
C
h4
D
h3
B
h2
A
§5-1 条件平差原理
二、条件平差步骤及示例
2、计算改正数条件方程闭合差
§5-1 条件平差原理
一、基础方程及其解
改正数条件方程
r ,n n ,1
AV W 0
r ,1
改正数条件方程（纯量方程）
a1v1 a2 v 2 ... an vn wa 0 b v b v ... b v w 0 1 1 2 2 n n b ... ... ... r1 v1 r2 v 2 ... rn vn wr 0

【精品】05条件平差111页PPT

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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
【精品】05条件平差
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
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谢谢！
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第5章 条件平差

第5章 条件平差
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ˆ ,L ˆ ,, L ˆ 0 F1 L 1 2 n ˆ ,L ˆ ,, L ˆ 0 F2 L 1 2 n , ˆ ,L ˆ ,, L ˆ 0 Fr L 1 2 n


a1v1 a2 v2 an vn wa 0 b1v1 b2 v2 bn vn wb 0 r1v1 r2 v2 rn vn wr 0
条件平差
误差理论与测量平差
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介绍条件平差基本原 理，求平差值的方法、步 骤， 各类测量控制网条件 方程数目的确定，条件方 程的列立，以及精度评定 的方法。
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条件平差
误差理论与测量平差
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本章主要内容
条件平差原理 条件方程
作业：
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第五章习题 1，7，10。
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条件平差
误差理论与测量平差
5.2 条件方程
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授课目的要求：能正确确定各类测量控制网的条 件方程数目，正确列立条件方程 。 重 点、难 点: 条件方程的列立 。
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条件平差
改正数条件方程为：
va i vb i vc i wi 0 vc1 vc2 vc3 w4 0 cot a1va1 cot b1vb1 cot a2 va2 cot b2 vb2 cot a3va3 cot b3vb3 w极 0
i 1,2,3
当P为对角阵时，法方程的纯量形式为

误差平差：条件平差

误差平差：条件平差
T
0 ′ ′ L v 421217′ 1 1 0 ˆ ′ ′ L = L+V = L +v2 = 78 0906′ 2 3 0 ′ ′ L v3 59 3837′
例5-2.P75
ˆ ˆ ˆ •h +h −h +HA −HB =0 1 2 3 ˆ ˆ h −h =0
条件方程的个数： 条件方程的个数：
等于多余观测数=观测总数-必要观测数。 等于多余观测数=观测总数-必要观测数。
条件方程一般是依两种思路建立的， 条件方程一般是依两种思路建立的，即：
1）沿水准路线的闭合环确定几何关系； 沿水准路线的闭合环确定几何关系； 沿附合路线来确定几何关系。 2）沿附合路线来确定几何关系。
ˆ ˆ ˆ L +L +L −1800 =0 5 6 13 ˆ ˆ ˆ L +L +L −1800 =0
7 8 14
ˆ ˆ ˆ L +L +L −1800 =0 9 10 15
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L +L +L +L +L −3600 =0 11 12 13 14 15
9
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sinL sinL sinL sinL sinL 1 3 5 7 9 =1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ sinL sinL sinL sinL sinL 2 4 6 8 10
（5-2-1）
例如：
a2 b1 b2 c1 a1 c2
0 图形条件式为： ˆ1 ˆ ˆ 图形条件式为： a +b +c −180 =0 1 1
（5-2-2） （5-2-3）
ˆ ˆ2 ˆ a2 +b +c2 −1800 =0

第五章-附有参数的条件平差2009

第五章-附有参数的条件平差2009

§5.1 平差原理
在附有参数的条件平差的函数模型中，有 c = r + u < n 个条件方程，即
c× n n×1
ˆ +W = 0 AV + B x
c×u u×1 c×1
c×1
(5.1.1)
ˆ 的个数总共为 n + u 个。由于 c = r + u < n + u ，因此利用 c 个条件方程不可能解出 而未知数 V 、 x ˆ 的唯一解，但可以按照最小二乘原理求 V 和 x ˆ 的最或然值，从而求得观测值向量的最或然值 V和x ˆ = L + V 和参数的最或然值 X ˆ = X0 + x ˆ ，它们统称为平差值。 L
−1 -1 T −1 V = P −1A T N aa (BNbb B N aa − I )W
ˆ = L +V L
且观测值向量 L 的协因素阵是 Q LL = Q ，那么根据协因素阵传播定律就有
Q WW = AQA T = N aa
其余随机向量都可表示为 W 的函数，它们的协因素阵的具体表述见表 5.1.1。 表 5.1.1：附有参数条件平差的协因素阵
下面将要证明，按最小二乘准则、利用附有参数的条件平差法求得的结果，满足评定一个统计 量具有的最优性质，即满足无偏性、一致性和有效性。
ˆ 具有无偏性 ˆ 、L 一、估计量 X
ˆ 满足无偏性，下面将从另一个角度来证明。由于 ˆ 、L 在上节第四问题中，实际上已经证明了 X
用真值和真误差表示的附有参数的条件平差的函数模型为
2 0
(5.1.8)
它与平差时是否选取参数 X 无关。关于上式的严格证明，稍后进行。 （三）协因素阵 由于附有参数的条件平差中各基本向量的表达式为
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（5-1-7） ）
令
a1 b A= 1 ⋅⋅⋅ r 1 a2 b2 ⋅⋅⋅ r2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ an bn ⋅⋅⋅ rn
v1 Wa Wb v W = ,V = 2 M M W v r n
第五章
条件平差
第一节
条件平差原理 2
第二节 第三节
条件方程 16 精度评定 39
第四节
条件平差公式汇编和水准网平差示例
第一节
条件平差的函数模： 条件平差的函数模：
r ,n n,1
条件平差原理
或
A∆ −W = 0
~ A L+ A0 = O
r ,1 r ,1
~ ˆ 当 L 的估值为 L ，∆的估值为V时，则有 的估值为 时
v L an 1 wa v L bn 2 + w b = 0 M L cn wc v n
组成新函数： 组成新函数：
K与方程个数相同 与方程个数相同
2 2 Φ = [ p 1 v 12 + p 2 v 2 + L + p n v n ]− 2k a ( [av ] + w a )
一、条件平差原理
设有r个 设有 个平差值线性条件方程
ˆ ˆ ˆ a1L1 + a2 L2 +L+ anLn + a0 = 0 ˆ + b L +L+ b L + b = 0 ˆ ˆ b1L1 2 2 n n 0 L L L L L L L ˆ ˆ ˆ r1L1 + r2 L2 +L+ rnLn + r0 = 0
T r,r r ,n n,n n ,r
（5-1-12） ） （5-1-13） ）
则有
N aa K + W = 0
联系数法方程， 法方程。 称其为联系数法方程 简称法方程 称其为联系数法方程，简称法方程。 法方程系数阵N 的秩R（ 法方程系数阵 aa的秩 （Naa）=R（AQAT）=R（A）=r，即Naa是一个r （ （ ） ， 是一个 阶的满秩方阵，且可逆。由此可得联系数K的唯一解 阶的满秩方阵，且可逆。由此可得联系数 的唯一解
V = P −1 AT K = QAT K
（5-1-11） ）
将n个改正数方程 V = P −1 AT K = QAT K 和r个条件方程 AV +W = 0 个改正数方程 个条件方程 联立求解，就可以求得一组唯一的解： 个改正数 个联系数 个改正数和 个联系数。 联立求解，就可以求得一组唯一的解：n个改正数和r个联系数。
条件平差函数模型为 条件平差函数模型为： 平差值条件方程 函数模型
r ,n
ˆ A L+ A = O 0
n,1 r ,1 r ,1
（5-1-1） ）
ˆ 将 L = L +V
代入上式， 代入上式，并令 W
改正数条件方程
= AL + A0
得 随机模型为 随机模型为
AV +W = 0
（5-1-2） ） （5-1-3） ）
a a1 a ( a 1 k a + b1 k b + c 1 k c ) + 2 ( a 2 k a + b2 k b + c 2 k c ) + L + n ( a n k a + bn k b + c n k c ) + w a = 0 p1 p2 pn
b b1 b ( a 1 k a + b1 k b + c 1 k c ) + 2 ( a 2 k a + b2 k b + c 2 k c ) + L + n ( a n k a + bn k b + c n k c ) + w b = 0 p1 p2 pn LLL c c1 c ( a 1 k a + b1 k b + c 1 k c ) + 2 ( a 2 k a + b2 k b + c 2 k c ) + L + n ( a n k a + bn k b + c n k c ) + w c = 0 p1 p2 pn
ˆ ˆ ˆ a1 L1 + a2 L2 + L+ an Ln + a0 = 0 ˆ ˆ ˆ b1 L1 + b2 L2 + L+ bn Ln + b0 = 0 ˆ ˆ ˆ c1 L1 + c2 L2 + L+ cn Ln + c0 = 0
wa = a1 L1 + a2 L2 + L+ an Ln + a0 wb = b1 L1 + b2 L2 + L+ bn Ln + b0 wc = c1 L1 + c2 L2 + L+ cn Ln + c0
2 2 D = σ 0 Q = σ 0 P-1 nn nn nn
平差的准则为 平差的准则为
VTPV=min
(5-1-4)
条件方程个数等于多余观测数r＝ 不能求得V 条件方程个数等于多余观测数 ＝n－t，r < n,改正数条件方程不能求得 ， 的唯一解，可按最小二乘原理求V的最或然值 的最或然值， 的唯一解，可按最小二乘原理求 的最或然值，从而求出观测量的最或然 平差值。 值—平差值。 平差值 即在r个条件方程的限制下，求目标函数VTPV=min的V值，在数学中 个条件方程的限制下，求目标函数 的 值 个条件方程的限制下 是求函数的条件极值问题。 函数的条件极值问题 是求函数的条件极值问题。
…………………………， ，
可得改正数方程组
1 ( a 1 k a + b1 k b + c 1 k c ) p1 1 v2 = ( a 2 k a + b 2 k b + c 2 k c ) p2 L LL LL 代入 1 vn = ( a n k a + bn k b + c n k c ) pn v1 =
a1v1 + a2v2 +L+ anvn + wa = 0 和 b1v1 + b2v2 +L+ bnvn + wb = 0 c1v1 + c2v2 +L+ cnvn + wc = 0
改正数条件方程 的矩阵表达式为
a1 b 1 c1 a2 b2 c2
[av ] + wa = 0 [bv ] + wb = 0 [cv ] + wc = 0
(
a a a b a c a1 a1 a 2 a 2 ab a b ac a c + + L + n n )ka + ( 1 1 + 2 2 + L + n n )kb + ( 1 1 + 2 2 + L + n n )kc + w a = 0 p1 p2 pn p1 p2 pn p1 p2 pn a b bb bc ab a b bb bb bc bc ( 1 1 + 2 2 + L + n n )ka + ( 1 1 + 2 2 + L + n n )kb + ( 1 1 + 2 2 + L + n n )kc + wb = 0 p1 p2 pn p1 p2 pn p1 p2 pn a c bc c c ac a c bc bc cc c c ( 1 1 + 2 2 + L + n n )ka + ( 1 1 + 2 2 + L + n n )kb + ( 1 1 + 2 2 + L + n n )kc + wc = 0 p1 p2 pn p1 p2 pn p1 p2 pn
（5-1-9） ） （5-1-8） ） （5-1-10） ）
改正数条件方程为 改正数条件方程为 闭合差为 闭合差为
AV +W = 0
W = AL + A0

按求函数极值的拉格朗日乘数法， 按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为 k=(ka，kb，…，kr)T， ， 称为联系数向量。 称为联系数向量。 组成函数
（5-1-5） ）
式中a 为条件方程系数， 式中 i、bi，… ，ri(i=1,2,…，n)为条件方程系数，a0，b0，…，ro为条件方 ， 为条件方程系数 ， 程的常数项， ˆ 为平差值。 程的常数项，Li 为平差值。 ˆ 将 Li = Li + v i 代入上式，得改正数条件方程 代入上式，
a1V1 + a2V2 +L+ anVn +W = 0 a b1V1 + b2V2 +L+ bnVn +W = 0 b L L L L L L L r1V1 + r2V2 +L+ bnVn +W = 0 r
− 2k b ( [bv ] + w b ) − 2k c ( [cv ] + w c )
将新函数对各自变量v 分别取偏导数，并令其等于零， 将新函数对各自变量 i 分别取偏导数，并令其等于零，得
∂Φ = 2p1v 1 − 2a1 ka − 2b1 kb − 2c1 kc = 0, ∂v 1
∂Φ = 2p2 v 2 − 2a 2 k a − 2b2 kb − 2c2 kc = 0, ∂v 2 ∂Φ = 2pn v n − 2an ka − 2bn kb − 2cn kc = 0, ∂v n