河北省衡水中学高一数学必修一自助餐：1.2.1函数的概念(一).doc

1.2.1函数的概念引入：上课今天我们学习高中数学最重要的一节函数，为了监督同学们听课，我将不定时提问。

拿起名单，我可以用名单上的名字提问吗？每一个名字都对应唯一的学生吗？还真不是，刘畅这个名字对应两位学生。

名字→学生有一个是一对二，其余都是一对一。

可以用学号提问吗？每一个学号都对应唯一的学生吗？成立的。

学号→学生都是一对一。

实际上任意都对应唯一是挺常见的生活用语，下面请同学们用任意对应唯一，或者任意不都对应唯一造句。

学生造句1：每一个学生都对应唯一的血型，每一个学生都有血型，而且不会有两个血型吧，满足任意对应唯一。

学号→学生，画出对应关系：多对一。

学生造句2：每一个孩子都对应唯一的母亲，每一个孩子都有母亲，会不会有两个母亲，不会的，满足任意唯一.孩子→母亲，有一对一，多对一谁能用任意不都唯一造句？造句1，每一个名字不都唯一对应一个学生，是因为有一对二。

造句2，每一个血型不都唯一对应班级的学生，一个血型对应多个学生，出现一对多。

而且有的血型没有学生对应，出现一对空。

造句3，每一个母亲不都有唯一的孩子吗，有的母亲有多个孩子，出现一对多了。

总结：满足任意唯一：可以一对一，多对一，不能一对多，一对空，不满足任意唯一：只要找到一个一对多或者一对空就行。

谁能用数学方面用任意唯一造句？引出初中函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

初中我们都学习了哪些函数？一次，二次，反比例，其图像为：------混入一个竖直的直线，一个开口向右的抛物线，让学生发现这两个不是函数。

讲授新课：函数的概念：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数，记作：f:A→B问题1，初高中定义的相同点和不同点？相同点：关键词任意唯一每变，不同点：高中定义中提到了集合。

高一数学必修1函数知识点总结在高一数学学习中，函数是一个非常重要的概念。

函数概念的引入更好地揭示了数学的内在联系和规律。

在这篇文章中，我将总结高一数学必修1中与函数相关的知识点，包括函数的定义、函数的性质以及常见的函数类型。

一、函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，是两个集合之间的一种对应关系。

对于集合A和B，如果每一个元素a ∈ A都对应一个元素b ∈ B，且每一个元素a在A中都只有一个对应的元素b，在B中也只有一个对应的元素a，则称函数f为从A到B的映射。

函数的定义可以表示为f: A→B，其中A为定义域，B为值域。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有满足函数定义的自变量的取值范围；值域则是函数对应的因变量的所有可能取值。

2. 单调性：函数的单调性描述了函数的变化趋势。

若对于A中的任意两个元素a1和a2，若a1 < a2，则有f(a1) ≤ f(a2)，此时函数为单调递增函数；若f(a1) ≥ f(a2)，则函数为单调递减函数。

3. 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的公式或图像来确定。

若对于函数中的任意一个元素x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于函数中的任意一个元素x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

4. 对称轴与原点对称性：与偶函数相关的对称轴为y轴，函数图像关于y轴对称；与奇函数相关的对称轴为原点，函数图像关于原点对称。

5. 零点：函数的零点是指函数取零值的自变量值。

三、常见的函数类型1. 一次函数：一次函数的普通形式为y = kx + b，其中k和b为常数，且k ≠ 0。

一次函数的图像是一条直线，其斜率k表示了函数的变化速率，截距b表示了函数的位置。

2. 二次函数：二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像为抛物线，其开口的方向由二次项系数a的正负决定。

3. 幂函数：幂函数的形式为y = x^a，其中a为常数。

教材章节：§1.2.1课题：函数的概念教学目标：1．知识与能力：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2．过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．（2）了解构成函数的要素．（3）会求一些简单函数的定义域和值域．（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．3．情感、态度与价值观：使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“()y f x”的含义，函数定义域和值域的区间表示．教学过程：一、创设情景，揭示课题1．复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2．阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“十一五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题3．分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点．4．引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5．根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、研探新知1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 ()y f x=，x A ∈． 其中，A 叫做定义域，{}()f x x A ∈叫做值域．说明：构成定义有三要素：对应法则、定义域（原象的集合）、值域（象的集合）． （1）在函数记号)(x f y =中，f 代表对应法则，等式)(x f y =表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y ．当情况比较简单时，对应法则f 可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则f 也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时，就必须采用其他方式，如数表或图象等．（2）定义域（原象的集合）是自变量x 的取值范围，它是函数的重要组成部分．定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数．在中学阶段，所研究的函数通常都是能够用解析式表示的．如果未加说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合．在实际问题中，还必须考虑自变量x 所代表的具体的量的允许值范围．（3）值域是全体函数值所成的集合，在多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定．（4）符号“=y )(x f ”是“x y 是的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于x f 与的乘积”，)(x f 也不一定是解析式．2．用新的函数的概念解释初中学过的三类初等函数：（1）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ （2）通过三个已知的函数：(0)y ax b a =+≠2(0)y ax bx c a =++≠(0)ky k x=≠ 3．函数值的求法：当时，函数值为．符号)(a f 与)(x f 既有区别又有联系，)(a f 表示当自变量a x =时，函数)(x f 的值，是一个常量．而)(x f 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量，)(a f 是)(x f 的一个特殊值．如：()221f x x x =+-，当0,1,x m =时，()()()()201,12,27, 1.f f f f m m m =-===+-4．区间的概念：（见课本P17）（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间． （2）无穷区间． （3）区间的数轴表示． 例如：函数的定义域、值域的表示方法：定义域 值域不等式法集合法区间法5．应用举例：例1．（见课本P17 例1）已知函数 ()f x =21+x ， （1）求函数的定义域； （2）求(3)f -，2()3f 的值；（3）当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式()y f x =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．解：略例2．下列函数中哪个与函数y x =相等？（1）2y =；（2）y =（3）y =；（4）2x y x=分析：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）．（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．解：（略）例3．下面图中，可表示函数y f x =()的图象是（ ） ［答案］B ．例4．已知32)(+=x x f ， （1）求)1(,)(,)2(2-x f x f xf ； （2）若)()2(x f xg =+，求)(x g ．解：（1）12)1(32)(3)2(22+=-+=+=x x f x x f x x f ；；． （2）∵)()2(x f x g =+1)2(232-+=+=x x ，∴)(x g 12-=x ．例5．设解：6．函数定义域的求法： 函数是用一个式子表示时，如果不加说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．例1．求下列函数的定义域：（1）()1f x ；（2）xx x y -+=)2(；（3）1115-+=x y ；（4）x x y 22+-=．解：（1）1030x x -⎧⎨+⎩ (31x)⇒-剟．（2）}2,0{002-≠<⇒⎩⎨⎧>-≠+x x x x x x 且．（3）}1,0,{010111≠≠∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠-+x x R x x x x 且． （4）}20{022≤≤⇒≥+-x x x x ． 例2．若函数862++-=k kx kx y 的定义域是R ，求实数k 的取值范围．解：当0=k 时，08>=y ，此时R x ∈； 当0≠k 时，若要R x ∈，则需100)8(43602≤<⇒⎩⎨⎧≤+-=∆>k k k k k ，综上可得：]1,0[∈k ． 例3．已知函数的定义域为求函数()()()F x f x f x =--的定义域．解：,.a x b a x b ≤≤⎧⇒⎨≤-≤⎩,.a xb b x a ≤≤⎧⎨-≤≤-⎩ 又0,b a a b -<<<-< [],.x a a ∴∈- 例4．已知函数的定义域为.求：的定义域．解：由最大.（1）当时，(]0,1.x ∈；（2）当时，即；（3）当时，即1,.a a x +≤-∈∅三、课堂练习：课本P19 练习：1，2，3．四、课堂小结：1．函数的概念（构成函数的三要素）．2．区间的概念及用法．3．函数定义域的求法．五、作业：。

1.2.1 函数的概念1．函数的概念(1)函数的概念：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．比如，甲、乙两地相距30 km ，某人骑车从甲地去乙地，速度是12 km/h ，出发t 小时后行驶的路程是s km ，则s 是t 的函数，记为s ＝12t ，定义域是{t |0≤t ≤2.5}，值域为{s |0≤s ≤30}．对集合{t |0≤t ≤2.5}中的任意一个实数，在集合{s |0≤s ≤30}中都有唯一的数s ＝12t 和它对应．对函数概念的理解①“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．②函数的三要素是：定义域、对应关系、值域．定义域就是非空数集A ，而值域不一定是非空数集B ，而是非空数集B 的子集．例如，设集合A ＝{x |x ≠0，x ∈R }，B ＝R ，按照确定的对应关系f ：取倒数，对于集合A 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，于是y ＝f (x )＝1x就称为从集合A 到集合B 的一个函数．此时A 是函数y ＝1x的定义域，而值域D ＝{y |y ≠0，y ∈R }，显然D ≠B ，但D ⊆B ．③函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．【例1－1】下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝12x -D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y解析：对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y =x ∈A ，y 值不唯一，故不符合．对于B 项，符合函数的定义．对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．答案：B点技巧 判断一个对应关系是否是函数关系的方法 从以下三个方面判断：(1)A ，B 必须都是非空数集；(2)A 中任一实数在B 中必须有实数和它对应；(3)A 中任一实数在B 中和它对应的实数是唯一的．注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．【例1－2】下列图形中不能确定y 是x 的函数的是( )解析：y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的f(x)和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，一般都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义．答案：D点技巧由图形判断从A到B的对应是否是函数关系有技巧(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在集合A中移动直线l；(3)若直线l与集合B所在图形有且只有一个交点，则是函数；否则不是函数．(2)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x ＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝3＋1＝4．【例1－3】已知函数f(x)＝3x2－5x＋2．(1)求f(3)，(2)f-，f(a)，f(a＋1)；(2)若f(x)＝0，求x．分析：(1)直接将自变量的值代入函数关系式计算求解；(2)已知函数值为0，建立关于自变量x的方程，求解即可．解：(1)f(3)＝3×32－5×3＋2＝14，f(2＝3×(22－5×(2＋2＝8＋52f(a)＝3a2－5a＋2，f(a＋1)＝3(a＋1)2－5(a＋1)＋2＝3a2＋a．(2)∵f(x)＝0，∴3x2－5x＋2＝0，解得x＝1或23x=．辨误区 求函数值易出现的错误 求函数值时，注意将对应的x 的值或代数式整体代入函数关系式求解，否则容易导致错误，例如本题容易将f (a ＋1)误解为f (a )＋1，从而得出f (a ＝1)＝3a 2－5a ＋3的错误结论．【例1－4】已知函数1()1f x x =+，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝__________，g (f (2))＝__________．解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11167=+，f (2)＝11123=+，g (f (2))＝21133g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋2＝199． 答案：17 199点技巧 函数值的求法 求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (x ))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．2．区间区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ．我们规定：(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b ]；(2)满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为(a ，b )；(3)满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b )，(a ，b ]．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点．其中a 叫做左端点，b 叫做右端点．实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b )． 定义 名称 符号 数轴表示{x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ]{x |a ＜x ＜b } 开区间 (a ，b ){x |a ≤x ＜b } 半开半闭区间 [a ，b ){x |a ＜x ≤b } 半开半闭区间 (a ，b ]{x |x ≥a } 半开半闭区间 [a ，＋∞){x |x ＞a } 开区间 (a ，＋∞){x |x ≤a } 半开半闭区间 (－∞，a ]{x |x ＜a } 开区间 (－∞，a )R 开区间 (－∞，＋∞)称之为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a }．(2)对于一个点的集合，可以在数轴上用一个实心点表示．(3)用数轴来表示区间时，要特别注意实心与空心的区别．(4)对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示，而对于取值范围，则既可以用区间也可以用集合，还可以用不等式直接表示．(5)由于区间是集合的一种形式，因此对于集合的运算和集合中的符号仍然成立．如x ∈[2，＋∞)，[0,6)[－1,3]＝[0,3]等．(6)区间是实数集的另一种表示方法，要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆．(7)无穷大是一个符号，不是一个数．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须是小括号．【例2－1】将下列集合用区间表示出来．(1){x|x≥－1}；(2){x|x＜0}；(3){x|－1＜x≤5}；(4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}．解：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x＜0}＝(－∞，0)．(3){x|－1＜x≤5}＝(－1,5]．(4){x|0＜x＜1，或2≤x≤4}＝(0,1)[2,4]．【例2－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．解：由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1．故a的取值范围是(－1，＋∞)．3．函数相等如果两个函数的定义域．．．．完全一致，我们就称这两个函数相等．．．．相同，并且对应关系释疑点满足什么条件的两个函数相等(1)由函数的定义可知，函数的三要素为：定义域、对应关系、值域．当两个函数的三要素对应相同时，这两个函数是相等的，但由于函数的值域是由定义域和对应关系决定的，因此当两个函数的定义域和对应关系相同时，它们的值域也一定相同．故只要两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相等．(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，例如：函数f(x)＝x和函数f(x)＝－x的定义域相同，均为R；值域也相同，均为R，但这两个函数不是同一函数．【例3－1】下列函数与函数g(x)＝2x－1(x＞2)相等的是()A．f(m)＝2m－1(m＞2)B．f(x)＝2x－1(x∈R)C．f(x)＝2x＋1(x＞2)D．f(x)＝x－2(x＜－1)解析：对于A项，函数y＝f(m)与y＝g(x)的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C项，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D项，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数．答案：A【例3－2】判断下列各组中的函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由．(1)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(2)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1；(3)f(x)＝x，g(x)＝2x；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝2x．分析：求出函数f(x)与g(x)的定义域，若两者定义域不同，则两函数不为同一函数；若定义域相同，分别化简f(x)与g(x)的解析式，若化简后两者解析式相同，则两函数为同一函数，否则两函数不为同一函数．解：(1)定义域相同都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一个函数．(2)函数f(x)的定义域是{x|x≠1}，函数g(x)的定义域为R，它们的定义域不同，故不是同一个函数．(3)定义域相同都是R，但是f(x)＝x，g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不是同一函数．(4)定义域相同都是R，解析式化简后都是y＝|x|，即对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故是同一个函数．辨误区判断两个函数是否相等易忽略两点(1)判断两个函数是否相等的唯一依据是它的定义，即由定义域和对应关系是否相同确定，而与它们解析式中用什么符号表示自变量或函数无关，例如函数y＝f(x)，x∈A与函数u＝f(t)，t∈A是同一函数；(2)为了便于判断两个函数是否是同一个函数，对复杂的解析式可先化简再比较，但要注意化简前后的等价性，如f (x )＝x 2－4x －2，不能写成f (x )＝x ＋2，而应当是f (x )＝x ＋2(x ≠2)；g (x )＝x 2，不能写成g (x )＝x ，而应当是g (x )＝|x |，这是容易出错的地方，要特别重视．4．具体函数定义域的求法函数的定义域是自变量x 的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x 的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：①若f (x )为整式，则其定义域为实数集R ．②若f (x )是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．③若f (x )为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合． ④若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．【例4】求下列函数的定义域：(1)y =(2)0(1)||x y x x +=-；(3)1y x=+． 解：(1)因为要使函数有意义，需1010x -≥⎧⎪⎨≠⎪⎩，⇔10x x ≤⎧⎨≠⎩，⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y =(－∞，0)(0,1]． (2)由100x x x +≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩，，得1x x x ≠-⎧⎪⎨≠⎪⎩，，因此x ＜0且x ≠－1． 故原函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．(3)因为要使函数有意义，需230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩解得32-≤x ＜2且x ≠0，所以函数1y x =的定义域为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭(0,2)．辨误区 求函数定义域时两点需注意 (1)求函数定义域的一个基本原则是解析式不能化简．例如，求函数y ＝x 2x 的定义域时，不能将y ＝x 2x化简为y ＝x ，而求得定义域为R 的错误结论；(2)函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．5．抽象函数的定义域的求法求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域；②已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域．一般地，若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围．其实质是由g (x )的取值范围，求x 的取值范围．(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域．函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，指的是自变量x ∈[a ，b ]．一般地，若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域就是g (x )在区间[a ，b ]上的取值范围(即g (x )的值域)．其实质是由x 的取值范围，求g (x )的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例5－1】(1)已知函数f (x )的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (2x ＋1)的定义域；(2)已知函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (x )的定义域；(3)已知函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，求函数y ＝f (2x －1)的定义域．解：(1)设2x ＋1＝t ，由于函数y ＝f (t )的定义域为[1,2]，故1≤t ≤2，即1≤2x ＋1≤2，解得0≤x ≤12，所以函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． (2)设2x ＋1＝t ，因为1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5，即3≤t ≤5，函数y ＝f (t )的定义域为[3,5]．由此得函数y ＝f (x )的定义域为[3,5]．(3)因为函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5．所以函数y ＝f (x )的定义域为[3,5]．由3≤2x －1≤5，得2≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －1)的定义域为[2,3]．点技巧 求抽象函数定义域有技巧 (1)正确理解函数的定义域就是自变量x 的取值范围；(2)运用整体的思想，在同一对应关系f 下括号内的范围是一样的，即f (t )，f (g (x ))，f (h (x ))中的t ，g (x )，h (x )的取值范围相同．【例5－2】若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．分析：f (x )＋f (－x )的定义域是指当x 在什么范围内取值时，才能使x ，－x 都在[－2,1]这个区间内，从而f (x )＋f (－x )有意义．解：由题意，得2121x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，，即－1≤x ≤1． 故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．6．函数值域的求法(1)常见函数的定义域和值域：①一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域是R ，值域是R ．②反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)，值域是(－∞，0)(0，＋∞)．③二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是⎣⎡⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞；当a ＜0时，值域是⎝⎛⎦⎤－∞，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ． (2)求函数值域的常用方法．①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；如求函数y ＝4－x 2的值域时，由x 2≥0及4－x 2≥0知4－x 2∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．例如形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d 的函数，我们可令cx ＋d ＝t ，将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数，然后利用配方法求其值域．④分离常数法：将形如y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0)的函数，分离常数，变形过程为cx ＋d ax ＋b＝c a (ax ＋b )＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域． (3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．例如，求函数y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域．解：画出y ＝2x ＋1的图象．由图象可知y ＝2x ＋1，x ∈(－1,1]的值域为(－1,3]．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例6】求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y －1；(3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (4)5142x y x -=+； (5)22432x x y -+=；(6)y ＝x解：(1)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴y ∈{3,5,7,9,11}． ∴所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)0，1≥－1．∴函数y 1的值域为[－1，＋∞)．(3)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，∵x ∈[1,5)，由图所示，∴所求函数的值域为[2,11)．(4)借助反比例函数的特征求． 5142x y x -=+ 510(42)14442x x +--=+ 514(42)4442x x +-=+ 5742(42)x =-+． ∵72(42)x +≠0， ∴y ≠54． ∴函数5142x y x -=+的值域为5,4y y y ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且． (5)∵2243(1)(3)321(1)(21)21x x x x x y x x x x x -+---===---++(x ≠1)， 又∵17(21)31722212122(21)x x x x x +--==-+++， 当x ＝1时，原式1322113y -==-⨯+． ∴函数224321x x y x x -+=--的值域为12,,23y y y y ⎧⎫∈≠≠-⎨⎬⎩⎭R 且且． (6)设12u x ⎫=≥⎪⎭， 则212u x +=(u ≥0)， 于是y ＝212u +＋u ＝2(1)2u +(u ≥0)． ∵由u ≥0，可知(u ＋1)2≥1，∴y ≥12．∴函数y ＝x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．辨误区 求函数值域易疏忽的问题 (1)求函数值域时一定要注意其定义域的影响，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝x域时，令t =将函数y 转化为关于自变量t 的二次函数后，自变量t 的范围是t ≥0．7．函数与集合的综合应用定义域、对应关系和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示．因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交会处设置题目．解决此类综合应用问题时，要注意：(1)能够正确求出函数的定义域可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何．如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．(2)能正确解决有关集合问题如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或Venn 图找到解决问题的思路等等．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例7－1】在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不可以确定y 是x 的函数的是( ) ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝3x ；②A ＝{x |x ＞0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ；③A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；④A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ．A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④解析：①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有象，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数． ③显然y 是x 的函数．④A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数．答案：D【例7－2】已知函数f (x )＝的定义域是集合A ，函数g (x )＝的定义域是集合B ，若A B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解：要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值需满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得－1＜x ＜1．因此A ＝{x |－1＜x ＜1}． 要使函数g (x )有意义，自变量x 的取值需满足1020a x x a +->⎧⎨->⎩，，解得2a ＜x ＜1＋a ．由于函数的定义域不是空集，所以有2a ＜1＋a ，解得a ＜1．因此B ＝{x |2a ＜x ＜1＋a }．由于A B ＝B ，则B ⊆A ，则有11211a a a +≤⎧⎪≥-⎨⎪<⎩，，，解得12-≤a ≤0． 故实数a 的取值范围是12-≤a ≤0，即a ∈1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 8．创新拓展题与本节内容有关的创新拓展题，一般为求值问题，但要求的式子较多，不便或不能一一求解．我们在解决这类问题时，要注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律，进而去化简，从而得出问题的求解方法．例如：已知f (x )＝221x x +，求f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 解：根据所求式子特点，猜测f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值应为定值，下面求f (a )＋1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，f (a )＋222222211111111a a a f a a a a a ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭++＝1． 于是f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3． 又f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (4)＋14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝72． _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例8－1】已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f +＝__________． 解析：分子是f (x )，分母是f (x －1)，故先根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，求出f (x )与f (x －1)的关系，即求出()(1)f x f x -的值，再代入求值． ∵f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，∴令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)＝4．∴(2)(1)f f ＝2． ∴令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)·f (1)＝8．∴(3)(2)f f ＝2．故猜测()(1)f x f x -＝2，下面我们具体来求()(1)f x f x -的值．令a ＝x －1，b ＝1，得f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)， 于是()(1)f x f x -＝2(x ≥2，x ∈N *)． 故(2)(3)(1)(2)f f f f +＋…＋(2012)(2013)(2011)(2012)f f f f + ＝2＋2＋…＋2＝2×2 012＝4 024．答案：4 024【例8－2】已知函数f (x )＝221x x +． (1)求f (2)与12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)与13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现； (3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解：(1)∵f (x )＝221x x +，∴f (2)＝2224125=+，22111225112f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，f (3)＝22391310=+，221113310113f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)由(1)发现f (x )＋1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1． 证明如下：f (x )＋222211111x x f x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝222111x x x +++＝1． (3)f (1)＝2211112=+． 由(2)知f (2)＋12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f (3)＋13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，…，f (2 013)＋12013f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， ∴原式＝20121140251111 2 012222+++++=+=…个．。

高一数学必修1函数知识点一、函数的概念与表示函数是数学中描述变量之间依赖关系的一种基本工具。

在高中数学的学习中，函数的概念和性质是重中之重。

函数通常由两个数集之间的对应关系来定义，其中一个数集中的每一个元素都与另一个数集中的唯一元素相对应。

这种对应关系可以用一个表达式或公式来表示，我们称之为函数的解析式。

例如，y = f(x) = 2x + 3 就是一个简单的线性函数，其中x是自变量，y是因变量，函数的值是自变量x的两倍再加上3。

这个函数可以用图像的形式在坐标系中表示，它的图像是一条直线。

二、函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

了解函数的性质有助于我们更好地理解函数的行为和特点。

1. 单调性：函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。

如果对于所有的x1 < x2，都有f(x1) ≤ f(x2)，那么我们称这个函数在该区间上是增函数。

相反，如果f(x1) ≥ f(x2)，那么它是减函数。

2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像相对于y轴的对称性。

如果对于所有的x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数是奇函数。

如果f(-x) = f(x)，那么这个函数是偶函数。

3. 周期性：周期性是指函数在某个固定的区间内重复其值的特性。

如果存在一个正数T，使得对于所有的x，都有f(x + T) = f(x)，那么函数具有周期T。

三、函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表现形式，通过图像我们可以直观地了解函数的性质。

例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，指数函数的图像随着底数的不同会有不同的形状。

1. 线性函数：y = ax + b (a ≠ 0)，其中a是斜率，b是截距。

斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其图像是一个抛物线。

二次函数的开口方向、顶点位置和对称轴都与系数a、b、c有关。

高一数学必修1函数的知识点归纳一、函数的概念和表示方法1.函数的定义：函数是一个数学概念，是一个输入-输出的对应关系。

2.函数的表示方法：函数可以通过集合表示法、解析式表示法、图像表示法等方式进行表示。

二、函数的性质1.定义域和值域：函数的定义域是所有能够使函数有意义的输入值的集合，值域是所有函数可能的输出值的集合。

2.奇偶性：如果对于定义域中的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；如果对于定义域中的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数。

3.增减性：如果对于定义域中的任意两个数a和b，有a<b时f(a)<f(b)，则函数是增函数；如果a<b时f(a)>f(b)，则函数是减函数；如果存在a和b，使得a<b但f(a)>f(b)，则函数是不严格增函数。

4.周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域中的任意x，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数。

三、一次函数1. 一次函数的定义：一次函数又叫线性函数，表示为 f(x) = kx+b，其中 k 和 b 是常数，k 称为斜率，b 称为截距。

2.特殊情况下的一次函数：当k=0时，函数是与x轴平行的直线，称为常量函数；当b=0时，函数是通过原点的直线，称为比例函数。

四、二次函数1. 二次函数的定义：二次函数表示为 f(x) = ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。

2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向和二次项系数a的正负有关。

3.二次函数的性质：二次函数的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），是抛物线的最低点或最高点；对于任意定义域内的x，有f(x)=f(-b/2a)-D，其中D是抛物线与x轴的距离。

五、幂函数1.幂函数的定义：幂函数表示为f(x)=x^n，其中x是自变量，n是常数。

2.幂函数的图像：幂函数的图像根据n的奇偶性、正负和定义域的正负情况，分为四种情况。

人教版高中数学必修一第一章1.2.1函数的概念1.2.1函数的概念[学习目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.知识点一函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.知识点二函数的三要素函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.(1)定义域定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.(2)对应关系对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应.(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会随之确定.思考(1)符号“y＝f(x)”中“f”的意义是什么？(2)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(3)f(x)与f(a)有何区别与联系？答(1)符号“y＝f(x)”中“f”表示对应关系，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样.例如y＝f(x)＝x2中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的平方，从而f(a)＝a2，f(x＋1)＝(x＋1)2，而函数y＝f(x)＝2x中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的二倍，从而f(a)＝2a，f(x＋1)＝2(x ＋1).(2)这种看法不对.符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数.知识点三函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.思考函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t相等吗？答相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数的对应关系也相同，因此这两个函数相等.函数相等与否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示.知识点四区间概念区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：思考(1)对于区间[a，b]而言，区间端点a，b应满足什么关系？(2)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(3)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？答(1)若a，b为区间的左右端点，则a<b.(2)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.(3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.题型一函数概念的应用例1设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N 的函数关系的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.反思与感悟 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.跟踪训练1下列对应关系式中是A到B的函数的是()A.A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1C.A＝R，B＝R，f：x→y＝D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝答案 B解析对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一，故不符合.对于B，符合函数的定义.对于C,2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.题型二判断是否为同一函数例2判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)＝与g(x)＝(2)f(x)＝与g(x)＝；(3)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1；(4)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0).解(1)f(x)的定义域中不含有元素0，而g(x)的定义域为R，定义域不相同，所以二者不是同一函数.(2)f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以二者不是同一函数.(3)尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数.(4)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，因此二者不是同一函数.反思与感悟判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同.(1)定义域和对应关系都相同，则两个函数相同；(2)定义域不同，则两个函数不同；(3)对应关系不同，则两个函数不同；(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定相同，例如y＝x和y＝2x－1的定义域和值域都是R，但不是同一函数；(5)两个函数是否相同，与自变量用什么字母表示无关.跟踪训练2下列各组函数中，表示同一函数的是()A.y＝x＋1与y＝B.y＝x2与y＝(x＋1)2C.y＝()3与y＝xD.f(x)＝()2与g(x)＝答案 C题型三求函数的定义域例3求下列函数的定义域：(1)y＝－；(2)y＝.解(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.(2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，∴x＜0.∴函数的定义域为{x|x＜0}.反思与感悟 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.跟踪训练3求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝－＋.解(1)由于00无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，x>－2，所以x>－2且x≠－1.所以函数y＝的定义域为{x|x>－2，且x≠－1}.(2)要使函数有意义，需解得－≤x<2，且x≠0，所以函数y＝－＋的定义域为.题型四求函数值例4已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值.解 (1)∵f (x )＝，∴f (2)＝＝. 又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝＝.反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)]. 解 (1)∵f (x )＝，∴f (2)＝＝. (2)f (1)＝＝，f [f (1)]＝f ＝＝.抽象函数定义域理解错误致误例5 已知函数f (3x ＋1)的定义域为[1,7]，求函数f (x )的定义域. 错解 因为f (3x ＋1)的定义域为[1,7]， 即1≤3x ＋1≤7，解得0≤x ≤2， 所以f (x )的定义域为[0,2]. 正解 令3x ＋1＝t ，则4≤t ≤22， 即f (t )中，t ∈[4,22]， 故f (x )的定义域为[4,22]. 易错警示跟踪训练5若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域.解由f(x)的定义域为[－3,5]，得φ(x)的定义域需满足即解得－3≤x≤3.所以函数φ(x)的定义域为[－3,3].1.下列图象中能表示函数y＝f(x)图象的是()答案 B解析由函数的概念知答案为B.2.下列各组函数中表示同一函数的是()A.f(x)＝x与g(x)＝()2B.f(x)＝|x|与g(x)＝x(x>0)C.f(x)＝2x－1与g(x)＝2x＋1(x∈N*)D.f(x)＝与g(x)＝x＋1(x≠1)答案 D解析选项A，B，C中两个函数的定义域均不相同，故选D.3.函数f(x)＝＋的定义域为________.答案{x|x≥－1且x≠2}解析由，得x≥－1且x≠2.4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________. 答案 6解析f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3，f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，f()；(2)若f(x)＝5，求x的值.解(1)f(2)＝22＋2－1＝5，f()＝＋－1＝.(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，∴x＝2，或x＝－3.1.对函数相等的概念的理解：(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数. 2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描述法的变式.一、选择题1.下列四个图象中，是函数图象的是()A.①B.①③④C.①②③D.③④答案 B解析由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知②不是函数图象，①③④是函数图象.2.设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()答案 B解析A项中，当0<x≤2时，每一个x都没有y与它对应，故不可能是函数的图象；B项中，－2≤x≤2时，每一个x都有唯一的y值与它对应，故它是函数的图象且是f(x)的图象；C项中，－2≤x<2时，每一个x都有两个不同的y值与它对应，故它不是函数的图象；D项中，－2≤x≤2时，每一个x都有唯一的y值与它对应，故它是某个函数的图象，但函数的值域不是N＝{y|0≤y≤2}，故它是某个函数的图象但不是f(x)的图象.3.已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为()A.0B.1C.2D.0或1答案 B解析因为1在定义域[－1,5]上，所以f(1)存在且唯一.4.函数f(x)＝的定义域为()A.(1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，1)∪(1，＋∞)D.[0,1)∪(1，＋∞)答案 D解析因为f(x)＝，所以x≥0且x≠1，故可知定义域为[0,1)∪(1，＋∞)，故选D.5.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为()A.{－2,0,4}B.{－2,0,2,4}C.{y|y≤－}D.{y|0≤y≤3}答案 A解析依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0.所以函数y＝x2－3x的值域为{－2,0,4}.6.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是()A.(－∞，＋∞)B.(0，)C.(，＋∞)D.[0，)答案 C解析(1)当m＝0时，分母为4x＋3，此时定义域不为R，故m＝0不符合题意.(2)当m≠0时，由题意，得解得m>.由(1)(2)，知实数m的取值范围是(，＋∞).二、填空题7.用区间表示下列集合：(1){x|－≤x<5}＝________；(2){x|x<1或2<x≤3}＝________.答案(1)[－，5)；(2)(－∞，1)∪(2,3]解析(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－≤x<5}＝[－，5). (2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2,3].8.已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________.答案(0,2)解析由题意知即∴0＜x＜2.9.设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，则g[f(2)]＝________.答案解析∵f(2)＝2×22＋2＝10，∴g[f(2)]＝g(10)＝＝.10.已知f(x)＝x2＋2x＋4(x∈[－2,2])，则f(x)的值域为________.答案[3,12]解析函数f(x)的图象对称轴为x＝－1，开口向上，而－1在区间[－2,2]上，所以f(x)的最小值为f(－1)＝3，最大值为f(2)＝12，所以f(x)在[－2,2]上的值域为[3,12].三、解答题11.已知函数f(x)＝＋.(1)求函数的定义域；(2)求f(－3)，f()的值；(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值.解(1)由得函数的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞).(2)f(－3)＝－1，f()＝＋.(3)当a>0时，f(a)＝＋，a－1∈(－1，＋∞)，f(a－1)＝＋.12.求下列函数的值域.(1)y＝－1(x≥4)；(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(3)y＝x＋；(4)y＝x2－2x－3(x∈[－1,2]).解(1)∵x≥4，∴≥2，∴－1≥1，∴y∈[1，＋∞).(2)y＝{3,5,7,9,11}.(3)方法一函数y＝x＋的定义域为[，＋∞)，易知在定义域内y随x的增大而增大，故函数在x＝时取最小值，无最大值，故值域为[，＋∞).方法二设u＝，则u≥0，且x＝，于是，y＝＋u＝(u＋1)2≥，∴y＝x＋的值域为[，＋∞).(4)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，作出其图象可得值域为[－4,0].13.已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；(2)求证f(x)＋f是定值.(1)解∵f(x)＝，∴f(2)＋f＝＋＝1.f(3)＋f＝＋＝1.(2)证明f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.第11页共11页。

新知一 函数单调性概念的理解函数单调性可以从以下三个方面理解。

（1）图形刻画对于给定区间上的函数)(x f ，函数图像如果从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增（图1-3-3（1））。

函数图像如果从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减（图1-3-3（2））。

（2）定性刻画对于给定区间上的函数)(x f ，如果函数值随自变量增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如果函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画即增（减）函数的定义温馨提示函数单调性定义中的21,x x 有三个特征：一是任意性，即“任意取21,x x ”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小,即21x x <（21x x >）；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。

例1．定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不等实数a,b,总有0)()(>--ba b f a f 成立， 则必有 （ ）A. 函数)(x f 是先增后减函数B. 函数)(x f 是先减后增函数C. )(x f 在R 上是增函数D. )(x f 在R 上是减函数新知二 函数单调性的证明与判断 判定函数的单调性，在于化归。

应用定义证明（判断）函数单调性的步骤是：取值---作差变形——定号——判断。

其中作差变形的主要变形手段有：通分、因式分解、配方、有理化等。

温馨提示 以上四个步骤简记为“取 值、作差、定号、判断”其中作差变形是关 键，定号才是目的。

例2. 已知函数 )()(3R x x x x f ∈+=。

（1）判断)(x f 在R 上单调性，并加以证明；（2）求证：满足a x f =)(（a 为常数）的实数x 至多只有一个。

自我检测： 1.函数102+=x y 在区间)4,2(上是（ ）A.递减函数B.递增函数C.先递增再递减D.先递减再递增2.已知)(x f 在R 上是减函数,则满足)1()1(f x f >的实数的x 取值范围是（ ）A.)1,(-∞ B )1,0()0,(⋃-∞C.),1(+∞D.),1()0,(+∞⋃-∞3.(1)函数2x y -=的单调区间是_ ____(2)函数22004x ay -=在[0,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是_____________.答案：例1.分析：从条件0)()(>--b a b f a f 分析b a ,的大小与)(),(b f a f 大小的联系。