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数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（204）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数2()f x x x =-的值域为 。
2.如图1，在4×6的方格表中，单位格A 为红格，在此方格表中包含红格A 的矩形共有 个。
3.已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，t =则t 的取值范围是 。
4.已知实数a b 、满足22arcsin(1)arcsin(1).2a b π+--≥则22arccos()a b -= .5.方程组ln ,ln ,ln x e y y e z z e x =⎧⎪=⎨⎪=⎩的解为 。
6.已知集合{}1,2,T =…，2010，对于T 的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数，则所有这样倒数的和为 。
7.已知直线0y k x b =+与双曲线2k y x=交于点(,1),(,2)M m N n -，则220x k k bx >+ ① 的解集为 。
8.已知内心为(1,7)I -的Rt OAB ∆的三个顶点均为整点，坐标原点O 为直角顶点，则满足条件的Rt OAB ∆的个数为 。
二、解答题（共56分）9.（16分）若复数z 满足20112010143340ziz iz ------=，求34(34)i t i z z -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的取值范围。
10.（20分）两两外切且半径分别为1、2、3的三个实心木球，球1O 、球2O 、球3O 夹在“V”字型木架之间（每个球与V 字型木架两个面相切）。
求V 字型木架两个面的夹角的度数。
11.（20分）定义在R 上的函数f 满足(1)(9)(9)f x f x f x +=-=+。
若(0)0,()0f f x ==在区间[]4020,4020-上有n 个根，求n 的最小值。
加试一、（40分）如图2，'O O 与内切，O 的内接四边形ABCD 的边BC 、CD 分别与'O 切于点M 、N ，BAD ∠的平分线与MN 交于点I 。
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（202）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设则的取值集合为 。
3331110201620162016x y z x y z y z x >+=+=++++、、，且333x y z xyz ++2.多项式的三个根成等比数列，则的值为 。
32()2242016p x x x x d =-+-d3.若曲线上的点P 到直线的距离为2016，则点P 到第一、三象限角平分线的距离为 。
229x y -=y x =- 4.设的边长分别为。
则其面积S 的最大值为 .ABC ∆62x x 、、5.在四面体ABCD 中，.则其体积为 。
1,5,7,5,7AB BC CD DA AC BD ======6.连续掷三次色子，所得点数的乘积被6整除的概率为 。
7.在方程的所有复根中，模长为1的有 个。
141010z z ++=8.设为2100位的正整数，其由100到799的三位数顺序连接而成，则A 被126除的余数为 100101102103A = (798799)二、解答题（共56分）9.（16分）数列满足，{}n a 1232,2a a == 211111120(2)n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n +-+-+---++--=≥证明：20166a >10.（20分）已知点在抛物线上，问：是否存在定点Q ，经过点Q 而与抛物线交于点A 、B 的任意直线均使得的外角平分线为抛物线的切线？(1,2)P -2y mx =APB ∠11.（20分）求函数的值域。
()f x =+加试一、（40分）设整数，证明：2n ≥111318k k n nk kk n C C -=-<∑二、（40分）求所有的自然数，使为五次方数。
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（207）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知AB是半径为2的的一条直径，外切，且与AB切于点F。
若的半径是半径的3倍，则的半径为。
C D D E D2.满足为实数的有序整数对的个数为。
(),a b3.如图1，在矩形ABCD中，AB=2， AD=4，点E在线段AD上，且AE=3,现分别沿BE、CE将翻折，使得点D落在线段AE上。
此时，二面角D-EC-B的余弦值为。
ABE DCE∆∆、4.从中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，共有种取法。
{}1,2,,10…5.记表示不超过实数的最大整数，已知数列满足则。
[]x x{}na12111,2()2n n na a a a a n Z+-+===+∈20162111k k ka a=-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑6.已知、为非零的不共线的向量，设，定义点集，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为。
OA OB1=1+1+rOC OA OB r r +KA KC KB KC M K KA KB ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭12K K M ∈、2r ≥12K K c AB ≤c7.设分别为椭圆E ：的左、右焦点，过的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，,且，直线与椭圆E 交于P 、Q 两点，C 、D 为椭圆E 上异于P 、Q 的两点，且直线PC 与QD 交于点M ，直线PD 与QC 交于点N ，则直线MN的斜率为 。
12F 、F 22221(0)x y a b a b+=>>1F 113AF BF =23cos 5AF B ∠=12y x =8.记（p 为素数，）为“好数”。
若在b 进制下，100与23的差为好数，则b 的所有可能取值为 。
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号（ 11）（12）（ 13）（14）（ 15）得分评卷员A．B．C．D．2.C.考虑对立事件： a 与 b， c 与 d， e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：.3．定义两种运算：，，则函数为（）（A）奇函数（ B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（ D）非奇函数且非偶函数3．A．f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4．圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ▲)A． 4 B． 3 C． 2 D．14． D．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6．(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点（ 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点（5又由 e>1,可得 0<m<5.7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7）、（5， 5）、（ 7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（ 2）第 n（ n≥ 2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____（用 n 表示） .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ，∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ，∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数，即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369．若的两条中线的长度分别为 6， 7，则面积的最大值为 ..如图， D,E,F 是各边的中点，延长BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ，即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10．已知是定义（ -3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是.10．.由已知在 (0,3)图像我们可以得到在（－3， 3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题：本大题共5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值 .11．（ Ⅰ ） ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时，4 8最小正周期为8 分（Ⅱ ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312．（本小题满分15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解： (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 （分）1 b . 32 1 2a2以点 B为原点，分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分）Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分）3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分）2 2 63所求角的正弦值为6.(10分）uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m（11分）uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解（ 14分）322m23不存在满足条件的点 P ．（ 15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点， 左顶点， 离心率， 为右焦点， 过焦点的直线交椭圆于、 两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为． ------------------------------------------------- 4 分（Ⅱ）解法一 椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）．----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 ．①-----------6 分43显然，方程①的．设，则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9． ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 ．12123m 2 4 23m 2 4∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或．---------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为，-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．①----6 分显然，方程①的．设，则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2．分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 ．4k 2 3 4k2 3∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或．--------12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形．------------------------------------------------13 分如果是等边三角形，必有，∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22，∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ，------------------------------16 分∵，∴，∴，∴，或（无解）．而当时， PQ 3, AP AQ 3 52，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------ 20分14．设抛物线的焦点为F，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .（1）求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明∠ PFA=∠ PFB.14．解：（ 1）设切点 A 、 B 坐标分别为，∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△ APB 的重心 G 的坐标为 ，y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur（ 2）方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1：因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外，则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2：①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为： d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2，即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为，则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时，直线 AF 的方程： y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程： y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离 ：| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离，因此由 d 1=d 2 ，可得到∠ AFP=∠ PFB ．14．（本小 分20 分）x=l 是函数的一个极 点（， 自然 数的底） ．（ 1）求与的关系式（用表示） ，并求的 区 ；（ 2）若在 区 上的最小 0，最大 , 且。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（186）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设锐角αβ、满足αβ≠，且22(cos cos )(1tan tan )2αβαβ++=.则αβ+=.2. 等差数列{}n a 满足121477a a a +++=，且111a a ∈+Z 、.则 18a =.3. 若点00(,)P x y 对椭圆22:14x E y +=与双曲线22:14y H x -=的切点弦互相垂直， 则00y x =. 4. 设ABC ∆的面积为1，边AB AC 、的中点分别为E F 、，P 为线段EF 上的动点.则2f PB PC BC =+的最小值为.5. 设函数22()log ()log ()f x x x a x a x =+--的图像关于直线12x =对称.则对满足411i i x==∑的任意实数421(0,1)(14),i i i i x i s x log x =∈≤≤=∑的最小值为. 6. 满足1201411112014n n +⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的整数n =.7. 若0x y z >、、满足{}2min ,,54,151,5z x y xz yz ⎧≤≤⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩则121f x y z =++的最大值 为. 8. 将六元数组(1,2,3,4,5,6)重排为123456(,,,,,)A a a a a a a =与123456(,,,,,)B b b b b b b =.则61i i i P ia b ==∑的最小值为.二、解答题（共56分）9.（16分）对任意的n +∈Z ，证明：211111113332n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.10.（20分）定义在R 上的函数()f x 满足：（i ）对任意的实数x y 、有(1)(1)()()f x y f x y f x f y ++=-+-；（ii ）(1)2f =；（iii ）()f x 在区间[]0,1上为增函数.（1）求(0)(1)(2)f f f -、、的值；（2）解不等式()1f x >.11.（20分）已知一个等差数列的第一项小于0，第100项不小于74，第200项小于200，且该等差数列属于区间1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭的项数比属于区间4920,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的项数少 2.求该等差数列的通项公式.加 试一、（40分）如图1，设L M N 、、分别为ABC ∆的BAC CBA ACB ∠∠∠、、内点，且,,,CBA ACL LBA LAC CBM BAM MCB MBA ∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠，,ACN CBN NAC NCB ∠=∠∠=∠.证明：（1）AL BM CN 、、三线交于一点P ；（2）L M N P 、、、四点共圆.二、（40分）设2()f x x a =+，记11()(),()(())(2,3,)n n f x f x f x f f x n -===.求集合{}1(0)2,n M a f n +=∈≤∈R Z .三、（50分）求所有正整数数组(,,)x y z 满足51213x y z +=.四、(50分)一个简单图中两两相邻的t 个顶点称为一个团，与其余每个顶点均相邻的顶点称为中心点.给定整数3n ≥及满足12n k n <<的整数k ，一个n 阶简单图G 中不存在1k +团，其全部k 团记为12,,,m A A A . （1）证明：112m m i i i i A A k ==+≥；（2）若在图G 中再添加一条边就存在1k +团，求图G 的中心点个数的最小值.（3）。
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（210）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数，实数、满足，，则= 。
()x x f 2log =a b()＜b a ()()＋2＋1b f a f =()4＋6b＋2210=a f ab2.已知数列满足，记则= 。
{}n a 2＋10-1＋345,0n n n a a a a ==()N n ∈,0∑==ni i n a S 51S3.已知椭圆的右焦点为F ，P 为椭圆上一点，点，当的周长最大时，的面积为 。
15y ＋922=x ()32,0A APF ∆APF ∆ 4.已知AB 是以为圆心且与函数图像有公共点的所有圆中半径R 最小的圆的一条直径，O 为原点，则 = .()1,0C 11-=x y OA OB5.抽屉中装有红、蓝两种颜色的短袜，总数不超过2016只，随机取出两只短袜，其同色的概率为，则抽屉中红袜数量的最大值为 。
216.在中，点D 在边AB 上，BD=1，且DA=DC,则 ABC∆,3B AC π∠===∠DCA7.已知半径为的球的球心O 为正四面体的中心，且球O 的球面被四面体的四个面截得的曲线总长度为，则四面体的体积为 。
222ΓΓ8πΓ8.已知非负整数数列满足，且若项数不少于2，则其中任意两项均不相等，那么，这样的数列的个数为 。
{}n a nn a a a ≤=＋11,2016{}n a二、解答题9.设为方程的三个根，证明321x x x 、、0＋17163=-x x 123arctan arctan arctan 4x x x π++=10.已知抛物线∶的焦点为F ，M 为圆∶上一点，以F 为圆心、FM 为半径作，直线与切于点M ，与抛物线C 交于A 、B 两点，直线（异于直线）分别过点A 、B 且与相切，证明∶C x y 42=Γ()8＋322=-y x F lF 21、l l lF 21//l l11.对任意2016个复数，均有，其中，求的最大值。
高中数学奥林匹克竞赛全真模拟试题及答
案
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参考书目
- 《高中数学奥林匹克竞赛真题及解析》
- 《高中数学竞赛题研究》
- 《数学奥赛理论与实战攻略》
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祝愿每位使用这份文档的学生都能够在数学奥林匹克竞赛中大放异彩！。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（209）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数()f x 的定义域为D ，若（1）()f x 在D 内是单调函数，（2）存在区间[],a b D ⊆，使得()f x 在区间[],a b 上的值域是[],a b ，则称()y f x =为闭函数。
若()f x k =为闭函数，则k 的取值范围是 。
2.掷六次色子，令第i 次得到的数为i a 。
若存在正整数k ，使得16k i i a==∑的概率n p m=，其中，m 、n 为互素的正整数，则67log log m n -= 。
3.设向量(3,),(2sin cos ,sin cos )x x a a αβθθθθ=+=+满足对任意x R ∈和 0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，均有αβ+≥。
则实数a 的取值范围是 。
4.对任意的x y R ∈、，函数(,)f x y 均满足（1）(0,)1f y y =+（2）(1,0)(,1)f x f x +=（3）(1,1)(,(1,))f x y f x f x y ++=+。
则(3,2016)f = .5.设集合{}{}1231,2,,12=,,S A a a a =…，满足12332,5,a a a a a A S <<-≤⊆.则满足条件的集合A 的个数为 。
6.设{}(0)n f n ≥为Fibonacci 数列，定义如下：01111,1,(1,2,)n n n f f f f f n +-===+=…则方程212(1)n n n nf f f ++=-的解集为7.一个球外接于四面体ABCD ，另一个半径为1的球与平面ABC 相切，且两球内切于点D。
若43,cos ,cos cos 5AD BAC BAD CAD =∠=∠=∠=ABCD 的体积为 。
8.设P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，12F F 、为椭圆的焦点，12PF PF 、分别与椭圆交于A 、B 两点，则1212PF PF F A F B+= .二、解答题9.设n 为正整数，集合{}1,2,2M n =…，，求最小的正整数k ，使得对于集合M 的任何一个k 元子集，其中必有四个互不相同的元素之和为41n +。
22 - x 2 5 mx 2 + ( y +1)252019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案题 号三（11） （12） （13） （14）（15）得 分 评卷员A ．B ．C ．D ．2. C .考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有 2 种填法,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为： .3. 定义两种运算：，，则函数为（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数（D ）非奇函数且非偶函数3.A.f (x ) = = = - | 2 - x | -2(x ∈[-2,2]) . x4. 圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经 xx 次跳动，最终停在的点为 ( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．14．D ．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5. 已知方程 x 2+(4+i)x +4+a i=0(a R )有实根 b ,且 z =a +b i ，则复数 z= .5.2-2i.由题意知 b 2+(4+i)b +4+a i=0(a ,b R ),即 b 2+4b +4+(a +b )i=0.由复数相等可得： 即 z=2-2i.6. 在直角坐标系中，若方程 m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2 表示的曲线是双曲线，则 m 的取值范围为 .6．(0,5).方程 m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2 可以变形为 m =,即得,∴ =| x - 2 y + 3 | 其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与定直线 x -2y +3=0 之比为常数 e =,又由 e >1,可得 0<m <5.7. 直线 ax +by -1=0(a ,b 不全为 0),与圆 x 2+y 2=50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 条.7. 72.如图所示，在第一象限内，圆 x 2+y 2=50 上的整点有（1，7）、（5，5）、（7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有 12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C =66 条直线，过 12 个点的切线也有 12 条，又直线 ax +by -1=0(a ,b 不全为 0）不过坐标原点， 故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有 66+12-6=72 条.(2 - x )2- 2 22 - x 222 - x 2F EA2 417．如图的三角形数阵中，满足：（1）第 1 行的数为 1；（2）第 n （n≥2)行首尾两数均为 n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第 n 行(n≥2)中第 2 个数是▲ （用 n 表17.示）.1 2 23 434 7745 1114115 616 2525 16 68．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m ·n 是 .8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为 r 1 与 r 2,再设六面体中的正三棱锥 A —BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥 M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a ,h 2=a .∵V 正六面体=2·h 1·S △BCD =6·r 1·S △ABC ，∴r 1=h 1=a .又∵V 正八面体=2·h 2·S 正方形NPQR =8·r 2·S △MNP ，∴a 3=2r 2a 2,r 2=a ,r6 a 2 2于是 1 = 9 = , 是最简分数，即 m =2,n =3,∴m ·n =6.r 2 6a 3 3 69. 若的两条中线的长度分别为 6，7，则面积的最大值为.9.28.如图，D,E,F 是各边的中点，延长 BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且 AG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形.G故 CF=EH,AD=EH.故△EGH 的三边 EH 、EG 、EH 分别是△ABC 的三边的中线 AD 、BE 、CF ，即、、.由共边定理知, S ∆ABC = 2S ∆BCE = 2⨯ .3 S ∆BEH = 3 BD CH∆EGH10. 已知是定义（-3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 .10．.由已知在(0,3)图像我们可以得到在（－3，3）上的整体图像，加上正S22 3 2 ⎨3 ⎪弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是.三、解答题：本大题共 5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分） 已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F (x )= （Ⅱ）若，求的值. f (x ) f '(x )+ f 2 (x )的最大值和最小正周期； 11．（Ⅰ）∵2 分∴ F (x )= f (x ) f '(x )+ f 2 (x )= cos 2 x - sin 2 x +1+ 2sin x cos x=1+ cos 2x + sin 2x =1+ 2 sin(2x + )6 分4∴当2x + = 2k + ⇒ x = k + (k ∈ Z )时，4 2 8最小正周期为8 分 （Ⅱ）∵ f (x )= 2 f '(x )⇒ sin x + cos x = 2cos x - 2sin x ∴ cos x = 3sin x ⇒ tan x = 1311 分1+ sin 2 x ∴ = cos 2 x - sin x cos x 112sin 2 x + cos 2x cos 2 x - sin x cos x= 2 tan 2 x +1 =9 1- tan x2 3= 11 15 分6 12．（本小题满分 15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 解：( 1) 设BA = BC = BD = a , BB 1 = b .⎧ab + 1 a 2 = 2 +1 ⎪ 2 ⎪a = 由条件（分） ⎪1 a 2 =1⎩ 2⇒ ⎨ . 3 ⎩b = 2以点为原点，分别以、B 、C 为B 轴B 1、轴B A 、轴x 建立y 空间直z 角坐标系, 则A (0,0, C ( 2,0,0), D (0, - 2,0),B 1(0, 2,0),C 1( 2, 2,0), A 1(0, 2, 2)(5分）⎛ 2 2 2 ⎫∆ACD 的重心G , - ⎝ , . 3 ⎭∴ ⎛ 2 2 ⎫ a = BG = 3 , - , ⎪为平面的C 法D 向量. ( 7分） ⎝ 3 3 ⎭2),6 2 2 ⎨ - 2 2 CA = (- 2, 2, 2),则分co ）s a , C A =3 = (9 1 1 6 63∴所求角的正弦值为分6）.(10(2) 6令（A P 分 =）m AC 1 = ( 2m , 2m , - 2m )11 B 1P = B 1A + AP = ( 2m , 2m - 2, - 2m )= a .⎧ 2m =2⎪⎪∴ 2m - 2 = -⎪ 2∴无解（1分4 ） 3 ⎪ 2⎪ - 2m = ⎪3 ∴不存在满足条件的点P ． （15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点 （不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线 PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由． 13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a >b >0) ， 由已知∴2 分∴ 椭圆方程为． 4 分（Ⅱ）解法一椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）． 5 分⎧x = my +1,由⎪ 22得(3m 2 + 4)y 2 + 6my - 9 = 0 ．① ------------------------------- 6 分⎨ x y ⎩ 4 + 3= 1,显然，方程①的． 6m 9设，则有 y 1 + y 2 = -3m 2 + 4 , y 1 y 2 = - 3m 2 + 4． ----------- 8 分PQ == 12=m 2 +1= 12 ⨯ ． 3m 2 + 42 2 ⋅(m 2+ 1)⎛ ( 36m 2 ⎝3m 2+ 4 ) 2+ 36 ⎫ 3m + 4 2 ⎪ ⎪ ⎭ ( m +21 )( y - y )2 12(m 2 +1)2(3m 2 + 4)23∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或． --------------- 12 分解法二： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意． 设 直 线 方 程 为 ， 5 分由 得(3+ 4k 2 )x 2 -8k 2 x + 4k 2-12 = 0 ．① ------------- 6 分显然，方程①的．8k 2设，则 x 1 + x 2 =3 + 4k2, x 1 ⋅ x 2 =4k 2 -12． -------------- 8 分3 + 4k 2+ x 2 ) - 4x ⋅ x ]=)⎡⎛ 8k 2 ⎫2 4k 2 -12⎤ PQ =(1+ k 2)[(x2(1+ k 2 ⎢ ⎪ - 4⋅ ⎥1 12k 2 +1⎢⎣⎝3 + 4k 2 ⎭3 + 4k 2 ⎥⎦=12∵，∴，解得．=12．4k 2 + 3∴直线的方程为，即或． ----------- 12 分 （Ⅲ）不可能是等边三角形． 13 分如果是等边三角形，必有，∴ (x + 2)2+ y 2 = (x + 2)2+ y 2 ，∴ (x + x + 4)(x - x )+ (y + y )(y - y )= 0 ，112212121212∴ [m (y 1 + y 2 )+ 6]m (y 1 - y 2 )+ (y 1 + y 2 )(y 1 - y 2 )= 0 ， ------------------------------ 16 分 ∵，∴，∴， ∴，或（无解）．而当时， PQ = 3, AP = AQ = 3 5 2，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形． 20 分14．设抛物线的焦点为 F ，动点 P 在直线上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA 、PB ，且与抛物线 C 分别相切于 A 、B 两点.（1） 求△APB 的重心 G 的轨迹方程. （2） 证明∠PFA=∠PFB.14．解：（1）设切点 A 、B 坐标分别为， ∴切线 AP 的方程为： 切线 BP 的方程为： 解得 P 点的坐标为：所以△APB 的重心 G 的坐标为 ，y + y + y x 2 + x 2 + x x (x + x )2 - x x 4x 2 - yy = 0 1 P = 0 1 0 1 = 0 1 0 1 = P p , G 3 3 3 3所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：(k 2 +1)2 (4k 2 + 3)211x - (-3y + 4x 2 ) - 2 = 0,即y =1(4x 2 -x + 2).2（2）方法 1：因为FA = (x0 , x031 x- ), FP = (+x1, x x -12), FB = (x , x1- ).由于 P 点在抛物线外，则4 2 0 14(x x 1 11 1 41⋅x+x1 x- )(x2 - ) x x +FP FA2 0 0 1 4 0 4 0 1 4∴ cos ∠AFP = == ,| FP || FA | | FP |1 1⋅x+x1 x- )(x 2 - ) x x +FP FB +2 1 0 1 4 1 4 0 1 4同理有cos ∠BFP = = = ,| FP || FB | | FP |∴∠AFP=∠PFB.方法 2：①当x1x0= 0时,由于x1≠x0 ,不妨设x0= 0,则y0= 0, 所以 P 点坐标为，则 P 点到x 2 -1直线 AF 的距离为：d =| x1| ;而直线BF的方程: y -1=1 4 x,即(x 2 -)x -x y +1 21x = 0.4 x11 4 1 4 1| (x2 -1)x1 +x1 | (x2 +1)| x1|1 42 4 1 4 2=| x1 |所以P 点到直线BF 的距离为：d2==x2 +1 24所以 d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.x②当时，直线AF 的方程：y -1=0 4 (x - 0),即(x2 -1)x -x y +1x = 0,4x2 -1x - 00 4 0 4 0直线BF 的方程：y -1= 1 4 (x - 0),即(x2 -1)x -x y +1x = 0,4 x - 0 1 4 1 4 1所以 P 点到1直线x A+F x的距离为：1x -x 1| (x2 -)( 01 ) -x 2 x +x | | 01 )(x 2 +)d =0 0 1 0= 2 0 4 =| x0-x1|x2 +1 24d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB．14．（本小题满分20 分）设x=l 是函数的一个极值点（，为自然对数的底）．（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为 0，最大值为, 且。
数学奥林匹克竞赛试题数学奥林匹克竞赛是针对中学生的高水平数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的逻辑思维、创新能力和解决复杂问题的能力。
以下是一些典型的数学奥林匹克竞赛试题示例，供大家参考和练习。
代数问题问题1：解方程求解方程 (x^3 - 5x^2 + 7x - 1 = 0)。
问题2：因式分解将多项式 (x^4 - 81) 进行因式分解。
几何问题问题3：三角形面积在直角三角形中，已知两直角边的长度分别为3和4，求斜边上的高。
问题4：圆的性质证明：若一个圆内接四边形的对角互补，则该四边形为矩形。
组合与概率问题问题5：排列组合计算用数字1到9（每个数字仅使用一次）可以组成的所有不同三位数的数量。
问题6：概率计算一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，求取出的两个球都是红球的概率。
数列与函数问题问题7：等差数列如果数列 (a_n = 2n + 1)，求第10项和前10项的和。
问题8：函数图像画出函数 (y = |x-3|) 的图像，并指出其与x轴的交点。
解析与答案问题1答案通过因式分解或使用牛顿法等方法求解。
问题2答案(x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3))。
问题3答案斜边上的高 (h = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4)。
问题4答案利用圆周角定理和直角三角形的性质证明。
问题5答案总共有 (9 \times 8 \times 7) 种不同的排列方式。
问题6答案概率为 (\frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14})。
问题7答案第10项 (a_{10} = 21)，前10项和 (S_{10} = 2(1 + 2 + ... + 10) + 10 = 110)。
问题8答案函数图像为V型，与x轴的交点为(3,0)。
请注意，以上只是示例题目，实际的数学奥林匹克竞赛题目可能会更加复杂和多样。
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（195）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设，且满足.则.p q ∈+R 、91216log log log ()p q p q ==+q p =2. 已知函数的最大值为5.则实数的值为.2()cos sin 2f x x a x =-+a 3.设数列满足，其中，分别表示正数的整 数部分、小数部分.则.{}n a []{}111n n n a a a a +==+[]{}n n a a 、n a 2015a =4. 在三棱椎中，已知.若三个侧面与底面所成的二面角均为，则三棱椎的体积为.P ABC -3,4,5BC CA AB ===045P ABC -5.已知双曲线，椭圆.若分别为双曲线、椭 圆上的动点，为坐标原点，且，则点到直线的距离 为.221:21C x y -=222:41C x y +=M N 、1C 2C O OM ON ⊥O MN6.设均为正整数，且.则的个位数字为.a b 、2015(1a +=ab 7. 设椭圆经过定点.则的最小值为.22221x y m n+=(1,2)P m n + 8.一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出的概率分别为，其中，均为个位数.现甲、乙、丙同时独立解答此题，若他们中恰有一人解出此题的概率为，则他们三人均未解出此题的概率为.111a b c 、、a b c 、、715二、解答题（共56分）9.（16分）已知正项数列满足且.求的通项公式.{}n a=+121,8a a =={}n a10.（20分）设.证明：集合中至多包含两个整数.2()(2)f x ax bc c a =++>{}1()1x f x -≤≤11.（20分）求内接于抛物线的正三角形中心的轨迹方程.22y px =加 试一、（40分）给定正整数，及.求出，使得取最小值.()n k n k >、12,,,0k x x x >12,,,0k k n x x x ++>1ii j n j x x ≤≤∑、二、（40分）如图1，半径为的两圆交于两点，是半径为的圆上任意一点（不在另一圆内），与另一圆分别交于点.1212r r r r <、（）A B 、R 1r RA RB 、P Q 、（1）用及表示的长度；12r r 、ARB ∠PQ（2）证明：两圆正交（即交点处切线互相垂直）的充分必要条件为.22PQ r三、（50分）试确定平面上是否存在满足下述条件的两个不相交的无限点集：X Y 、（1）在中，任何三点不共线，且任何两点的距离至少为1；X Y（2）任何一个顶点在中的三角形，其内部均存一个中的点，任何一个顶点在中的三角形，其内部均存在一个中的点.Y X X Y四、(50分)已知为正整数.证明：为奇数.n121 0nn nn l n l iC C-+-+ =∑。
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学奥林匹克竞赛训练题（188）（无答案）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知函数.设为任意锐角三角形的三个内角.则.2212()(1)(1)x x f x x x +-=++αβγ、、(tan )(tan )(tan )(cot )(cot )(cot )f f f f f f αβγαβγ+++++=2. 计算：.303030sin 20sin 100sin 140-+=3.设，且.则的最小值 为.a b ∈R 、1a b +=(,)f a b =4. 已知四面体的四个面的面积分别为，顶点到面的距离为.则.ABCD DBC DCA DAB ABC ∆∆∆∆、、、12212837、、、D ABC ∆h h =5.已知向量为平面内两个互相垂直的单位向量，且.则的最大值为.a b 、(3)(4)0a cbc --=c6.若曲线的内接的重心为其焦点.则 .2y =ABC ∆F222FA FB FC ++=7.已知数列满足.则数列的通项公式 为.{}n a 2112(1)1,2n n na n a a n +++==+{}n a 8.集合，对于正整数，集合的任一元子集中必有一个数为另外个数乘积的约数.则的最小可能值为.{}1,2,,100S =m S m 1m -m二、解答题（共56分）9.（16分）设实数满足a b c d 、、、22223,3,1.a b c d a b c d abc bcd cda dab +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩证明：.3333(1)(1)(1)(1)a a b b c c d d -=-=-=-10.（20分）设，且.0a b c >、、1abc =证明：.22222222291(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b c a ab b bc c ca a ab b bc c ca +++≥++++++++++++11.（20分）设为椭圆长轴的两顶点，为椭圆上任意一点，过作椭圆的切线，与过点的切线分别交于点分别为左、右焦点.证明：.A B、22221(0)x y a b a b +=>>P P CD A B 、C D M N 、、、090CMD CND ∠=∠=加 试一、（40分）在中，设，垂足为分别为的内心，与交于点，记的面积为.证明：.D P Q 、、ADC BDC ∆∆、PQ CD K ABC ∆S 22111CK CD S -=二、（40分）设.证明：.(1,2,,)()i i a b i n n ∈=∈+R Z、1112()()nnni i i i i i i a b a b n ===≥∑∑∑三、（50分）求最小的实数，使得对任意正整数，均有，其中，表示正整数的最大公约数，表示不超过实数的最大整数.λn(),n ⎡<⎣(,)a b a b 、[]x x四、(50分)设为一个正整数，三维空间内的点集满足下述性质：n S（1）空间内不存在个平面，使得点集中的每个点至少在这个平面中的一个平面上；n S n（2）对于每个点，均存在个平面，使得中的每个点均至少在这个平面中的一个平面上.X S ∈n {}S x ﹨n求点集中点的个数的最小值与最大值.S。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（185）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 标号依次为1,2,,2015的2015个人排成一列，在他们之间做换位游戏，规定每次换位只能在相邻两人间进行.现把标号为100号与编号为1000的两人交换位置，最少要进行次换位.2. 已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为123、、，P 为平面1A BD 内的一点.则AP 长的最小值为.3. 不等式sin sin cos cos x x x x >的解集为.4. 设I 为ABC ∆的内心，且3450IA IB IC ++=.则C ∠的大小为.5. 在平面直角坐标系中，已知O 为原点，点(1,0),A B -，动点C 在圆22(3)4x y -+=上运动.则OA OB OC ++的最大值为.6. 已知2015个正整数122015,,,a a a 满足121,8a a ==，1132(2,)n n n a a a n n +-=-≥∈N 且.则20152014a a -的所有正因子之和为.7. 设n 为正整数.从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为方程236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解的概率为（[]x 表示不超过实数的最大整数）.8. 已知αβγ、、为方程3256780x x x -+-=的三个不同的根.则222222()()()ααββββγγγγαα++++++的值为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知0x y z >、、.求(,,)f x y z =的最小值.10.（20分）已知数列{}n a 满足11212,(2)n n a a a a a n -==≥，且1(1)l o g 216()k n n a k T k k f n =⎡⎤=-=-⎣⎦∑.求()f n 的表达式.11.（20分）已知离心率为12的椭圆的左焦点1F 为抛物线24(0)y px p =>的准线与x 轴的交点,右焦点2F 也为抛物线的焦点,椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ,延长1PF ,与该抛物线交于点,Q M 为抛物线上一个动点,且M 在点P 与Q 之间运动若12PF F ∆的边长恰为三个连续的正整数,求MPQ ∆面积的最大值.加试一、（40分）如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点N，AC的中点为M.若22BC BNCD DN=，证明：22221MN DNMC DM+=.二、（40分）在ABC ∆中，证明：cos cos cos cos cos cos 33222222cos cos cos 222B C C A A B A B C ++≥，当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.三、（50分）求最小的两个正整数m ，使得247(46713)m m ++为完全平方数.四、(50分)已知A是由2015个不同正整数组成的集合,并且A中任意三个不同的数均为一个S A表示由A确定的非钝角三角形的三边长,此时称该三角形为集合A确定的一个三角形,()S A的最小值.所有三角形的周长的和(全等三角形只计算一次)求()。
