根的判别式及根与系数的关系练习---2套

小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1．(金华中考)一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是(C )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝22．(桂林中考)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(B )A ．k<5B ．k<5，且k ≠1C ．k ≤5，且k ≠1D ．k>53．(玉林中考)关于x 的一元二次方程x 2－4x －m 2＝0有两个实数根x 1、x 2，则m 2(1x 1＋1x 2)＝(D ) A .m 44 B ．－m 44C ．4D ．－44．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若m 、n 是方程x 2－2 016x ＋2 017＝0的两根，则(m 2－2 017m ＋2 017)(n 2－2 017n ＋2 017)的值是2_017．6．(湘潭中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2.(1)求m 的值；(2)当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．解：(1)∵一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×m ＝9－4m>0.∴m<94. (2)根据一元二次方程根与系数的关系x 1＋x 2＝－b a，得1＋x 2＝3，∴x 2＝2.7．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根．请问：是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？试说明理由．解：不存在．理由如下：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，则b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(k ＋1)≥0，即16－4k －4≥0，解得k ≤3.由根与系数关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1.假设存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2，则k ＋1＞4，解得k ＞3.这与k ≤3相矛盾，∴假设不成立．∴不存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．8．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数m 的取值范围；(2)若x 1＋x 2＝6－x 1x 2，求(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5的值．解：(1)Δ＝(2m －3)2－4m 2＝4m 2－12m ＋9－4m 2＝－12m ＋9，∵方程有两个实数根，∴Δ≥0.∴－12m ＋9≥0.∴m ≤34. (2)由题意可得x 1＋x 2＝－(2m －3)＝3－2m ，x 1x 2＝m 2，又∵x 1＋x 2＝6－x 1x 2，∴3－2m ＝6－m 2.∴m 2－2m －3＝0.∴m 1＝3，m 2＝－1.又∵m ≤34，∴m ＝－1. ∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝1.∴(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2－5＝52－1－5＝19.9．(鄂州中考)关于x 的方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0.(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0的两个根，记S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．解：(1)证明：①当k －1＝0，即k ＝1时，方程为一元一次方程2x ＋2＝0，x ＝－1，有一个解； ②当k －1≠0，即k ≠1时，方程为一元二次方程．Δ＝(2k)2－4×2(k －1)＝4k 2－8k ＋8＝4(k －1)2＋4＞0，方程有两个不等实根．综合①②，得无论k 为何值，方程总有实数根．(2)根据一元二次方程的两个根分别为x 1和x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k k －1，x 1x 2＝2k －1， 又∵S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2， ∴S ＝x 21＋x 22x 1x 2＋x 1＋x 2 ＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＋x 1＋x 2 ＝（－2k k －1）2－4k －12k －1＋－2k k －1＝2k 2k －1－2＋－2k k －1＝2k －2.当S ＝2时，2k －2＝2，解得k ＝2.。

九年级数学一元二次方程根的判别式及根与系数关系探究（一元二次方程）基础练习试卷简介:全卷共4个选择题，9个填空题，1个证明题，6个解答题，分值120，测试时间60分钟。

本套试卷在课本的基础上，对题目稍做一定难度的拔高，主要考察了学生对元二次方程根的判别式及根与系数的关系的灵活运用。

各个题目难度类似，但考察方式不同。

学生在做题过程中要立足课本，对题目考虑全面，做到认真细心。

学习建议:本章主要内容是二元一次方程根的判别式及根与系数的关系，不仅是中考重点考察的内容之一，更是整个数学学科的重要内容之一。

本章题目要求同学们在做题时要考虑全面，千万不能粗心马虎，否则很容易遗漏某些条件或忘记舍去不合适的结果。

一、单选题(共4道，每道3分)1.方程x2-kx-1=0的根的情况是（）A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.根的情况与k的取值有关2.已知方程2x2+4x=3，则下列说中，正确的是（）A.方程两根和是-4B.方程两根积是2C.方程两根和是-2D.方程两根积是两根和的2倍3.若一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根之比为2：3，那么a、b、c间的关系应当是（）A.3b2＝8acB.C.6b2＝25acD.不能确定4.若c为实数，方程x2－3x+c＝0的一个根的相反数是方程x2+3x－c＝0的一个根，那么方程x2－3x+c＝0的根是（）A.1，2B.-1，-2C.0，3D.0，-3二、填空题(共9道，每道4分)1.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式b2-4ac______0，常数项c______03.已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1- y1=2，x2- y2=2，则m= ______．4.关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m=______时，两根互为倒数；当m=______时，两根互为相反数.5.如果把一元二次方程 x2-3x-1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是______6.已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，则(a－1)(b－1)=______7.若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，则______8.设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则______ ;______9.若方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______三、解答题(共6道，每道11分)1.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由2.如果关于x的方程kx2-(2k+1)x+(k+2)=0有实数根，求k的取值范围3.已知关于x的方程 3 x2-10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k 的值：（1）有两个实数根，（2）有两个正数根，（3）有一个正数根和一个负数根4.已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值．5.设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）（x 1+ 1）（x 2+ 1）； （2）x 12x 2+ x 1x 22；（3）； （4）(x 1-x 2)2．6.已知关于x 的方程x 2+2（m -2）x+m 2+4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 值并解此方程四、证明题(共1道，每道6分)1.求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有两个不相等的实数根九年级数学暑期预习领先班（九年级上、下册知识一网打尽+全面系统、夯实基础） 东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦7楼B 室 电话：65335902 西区总校：郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦B 座405室 电话：68856662希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0． （1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。

根与系数的关系练习题一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x +；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

4、如果关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ?= 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-12的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0．21求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证：无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长．8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1＞0, 例3. 解得：m ＞-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根； 例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得：m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去；∴m =√2+1．例9. 解：1∵△=-4m 2-44m 2-9=36＞0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5．例15. 解：1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m ＞0∴m +42＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根； 例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1＜x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得：m =-2,m =4,例24.∵m ＞0,∴m =4．例25. .解：1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16＞0,解得：m ＞2． 例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1＞0,x 1x 2=m 2+5＞0, 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得：m =3．例35. 证明：1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =； 例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10．训练1.1证明：∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解．2.解：1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1；2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34； 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1．3. 1证明：∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得：x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. 1证明：在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得：{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4．5. 解：1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0,解得：k ＜512；2∵k ＜512,∴x 1+x 2=2k -3＜0,又∵x 1x 2=k 2+1＞0,∴x 1＜0,x 2＜0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k ＜512, ∴k =-2．6. 解：1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3＞0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有：9-3m-2+12m-3=0解得m=245．7. 解：1将x=3代入方程中,得：9a-1-15+4a-2=0, 解得：a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得：x1=2,x2=3．∴a的值为2,方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4,根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12．。

一元二次方程根与系数的关系 【2 】习题主编：闫先生[预备常识回想]：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x .2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆ （1） 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根.（2） 当0=∆时,方程有两个相等的实数根.（3） 当0<∆时,方程没有实数根.反之：方程有两个不相等的实数根,则;方程有两个相等的实数根,则;方程没有实数根,则.[韦达定理相干常识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x .我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理.2.假如一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,=•21x x .3.认为21x x 和根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=•++-x x x x x x 4.在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ;有一根为1,则=++c b a ;有一根为1-,则=+-c b a ;若两根互为倒数,则=c ;若两根互为相反数,则=b .5.二次三项式的因式分化(公式法)在分化二次三项式c bx ax ++2的因式时,假如可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++．假如方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分化. [基本应用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是,=k .解：变式练习：1.已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分离是若干？2.方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是若干？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,应用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2111x x + （4）221)(x x -变式练习：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求知足下列前提的k 值：（1）有两个实数根. （2）有两个正实数根. （3）有一个正数根和一个负数根.（4）两个根都小于2.2.已知关于x 的方程022=+-a ax x .（1）求证：方程必有两个不相等的实数根.（2）a 取何值时,方程有两个正根.（3）a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大.（4）a 取何值时,方程到少有一根为零？选用例题：例3：已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2,判别式的值为1,则b a 与是若干？例 4.已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m 的值.例5.若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根雷同,求m 的值.基本练习：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中,假如0<a ,那么根的情形是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能肯定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根,则2221x x +的值是（） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．假如x 1,x 2是两个不相等实数,且知足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于（）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能肯定7.设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）38．假如一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根,那么k＝9．假如关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值规模是10．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝,x1·x2＝,（x1－x2）2＝11．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝.二.才能练习：1、不解方程,判别下列方程根的情形：（1）x2－x=5 (2)9x2－6 2 +2=0 (3)x2－x+2=02、当m=时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根;当m=时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3、已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0,如有一个根为0,则m=,这时方程的另一个根是;若两根之和为－35,则m=,这时方程的两个根为.4、已知3－ 2 是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值.5、求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根.6、求作一个一元二次方程使它的两根分离是1－ 5 和1+ 5 .7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,应用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2x1+x1x2（3）x12+ x1x2+2 x18.假如x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完整平方法,则m=;9.方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,则最小的整数m=;10.已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,则m=;11.设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,则k 值为;12.设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）21x x + （4）x 1x 22＋12 x 1 13.实数ｓ.ｔ分离知足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 14.已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？ 15.求证：不论k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分化成两个一次因式的积.16.实数K 在什么规模取值时,方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根？ 练习（一）1、不解方程,请判别下列方程根的情形;(1)2t 2+3t －4=0,; (2)16x 2+9=24x,;(3)5(u2+1)－7u=0,;2、若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值规模是;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分离是2+ 3 和2－ 3 ,则p=,q=;4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m=;5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是;6、m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式m n=.7、已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8、假如α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根,应用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分离等于α+1β和β+1α;9、已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分化.11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝1α＋1β,求ｓ的取值规模.练习（二）1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β=, αβ=;2、假如关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根雷同,则m的值为;3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,则k=; 4、若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,则a=;5、方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是;6、若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为;7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情形是;8、以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;9、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x1 －1x210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1）有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根;11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否消失实数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ,知足21x x ＝32,假如消失,试求出所有知足前提的k 的值,假如不消失,请解释来由. 一元二次方程根与系数关系专题练习主编：闫先生1.假如方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1.x 2,那么x 1+x 2=,x 1·x 2=.2.已知x 1.x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根,那么：x 1+x 2=;x 1·x 2=;2111x x +;x 21+x 22=;(x 1+1)(x 2+1)=;｜x 1－x 2｜=.3.以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是.4.假如关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2,那么另一个根是,a 的值为.5.假如关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2,那么k=.6.已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等,则m=.7.一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1,则q ∶p=.8.已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数,则m=.9.已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a=.10.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2,且x 1+x 2=－2,则m=,(x 1+x 2)21x x ⋅=.11.已知方程3x 2+x －1=0,要使方程两根的平方和为913,那么常数项应改为.12.已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为.13.若α.β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0,则以α.β为根的一元二次方程为.(个中二次项系数为1)14.已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0.若方程的两根互为倒数,则m=;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m=.15.已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α=;β=;m=.16.已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0,则k=17.已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1.x 2,且43x 1x 121-=+,则m= .18.关于x 的方程2x 2－3x+m=0,当时,方程有两个正数根;当m 时,方程有一个正根,一个负根;当m 时,方程有一个根为0.19.若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根雷同,则m=.20.求作一个方程,使它的两根分离是方程x 2+3x －2=0两根的二倍,则所求的方程为.21.一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是.22.已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5,求方程的另一根及m 的值.23.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根,求另一根和k 的值.24.证实：假如有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A.B 均为有理数),那么另一个根必是A －B .25.不解方程,断定下列方程根的符号,假如两根异号,试肯定是正根照样负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22=+-=--x x x26.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：x 31x 2+x 1x 3227.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：2221x 1x 1+28.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：(x 21－x 22)229.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：x 1－x 230.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：122x x31.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：x 51·x 22+x 21·x 5232.求一个一元二次方程,使它的两个根是2+6和2－6.33.已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数.34.造一个方程,使它的根是方程3x 2－7x+2=0的根;(1)大3;(2)2倍;(3)相反数;(4)倒数.35.方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时,方程的两个实数根知足：(1)一个根比另一个根大2;(2)一个根是另一个根的3倍;(3)两根差的平方是17.36.已知关于x 的方程2x 2－(m －1)x+m+1=0的两根知足关系式x 1－x 2=1,求m 的值及两个根.37.α.β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根,并且知足10091)1)(1(=---βα,求m 的值.38.已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m －7=0,依据下列前提,分离求出m 的值：(1)两根互为倒数;(2)两根互为相反数;(3)有一根为零;(4)有一根为1;(5)两根的平方和为641.39.已知方程x 2+mx+4=0和x 2－(m －2)x －16=0有一个雷同的根,求m 的值及这个雷同的根.40.已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值.41.已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b.c 的值.42.设：3a2－6a－11=0,3b2－6b－11=0且a≠b,求a4－b4的值.43.试肯定使x2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值.44.已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当k取何整数时,方程有两个整数根.45.已知：α.β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根,求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值.46.已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1.x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常数p.q的值.47.已知x1.x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根;y1.y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根,且x1－y1=2,x2－y2=2,求m.n的值.48.关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根,x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根.求a的整数值.49.关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值.50.已知：α.β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根.(1)若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;(2)若α2+β2=6时,求m的值.51.已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等,方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍.求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0必定有实数根.52.关于x的方程22n41mx2x+-=0,个中m.n分离是一个等腰三角形的腰长和底边长.(1)求证：这个方程有两个不相等的实根;(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长.53.已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2),在数轴上,表示x2的点在表示x1的点的右边,且相距p+1,求p的值.54.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α.β,且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有独一的公共根,求a.b.c的关系式.55.假如关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α.β,那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是若干?56.已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0).求证：对随意率性实数k,方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根.57.(1)方程x2－3x+m=0的一个根是2,则另一个根是.(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m,n应知足.58.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0;59.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x2－2x－1=0;60.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积－2x2+3=0;61.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0.62.已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2,求它的另一个根及m的值.63.已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2,求它的另一个根及t的值.64.设x1,x2是方程3x2－2x－2=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：(1)(x1－4)(x2－4);(2)x13x24+x14x23;(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+12213131xxxx;(4)x13+x23.65.设x1,x2是方程2x2－4x+1=0的两个根,求｜x1－x2｜的值.66.已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2,方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7,求m和n的值.67.以2,－3为根的一元二次方程是 ( )A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=068.以3,－1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=069.两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )A.x2+2x－3=0B.x2－2x+3=0C.x2+2x+3=0D.x2－2x－3=070.以－3,－2为根的一元二次方程为, 以213-,213+为根的一元二次方程为,以5,－5为根的一元二次方程为,以4,41为根的一元二次方程为.71.已知两数之和为－7,两数之积为12,求这两个数.72.已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分离为a ,b ,应用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两个根分离是：(1)a+1.b+1 (2)b a a b 2,2 73.一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ,面积为27cm 2,求这个直角三角形斜边的长.74.在解方程x 2+px+q=0时,小张看错了p ,解得方程的根为1与－3;小王看错了q ,解得方程的根为4与－2.这个方程的根应当是什么?75.关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1,则a=,另一个根是.76.若分式1322+--x x x 的值为0,则x 的值为 ( )A.－1B.3C.－1或3D.－3或177.若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则( )A.m=0且n≥0B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0D.n=0且m≤078.已知x1,x2是方程2x2+3x－1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：(1)(2x1－3)(2x2－3);(2)x13x2+x1x23.79.已知a2=1－a,b2=1－b,且a≠b,求(a－1)(b－1)的值.80.假如x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根,则m=,另一个根为.81.已知m2+m－4=0,4112=-+nn,m,n为实数,且nm1≠,则nm1+=.82.两根为3和－5的一元二次方程是 ( )A.x2－2x－15=0B.x2－2x+15=0C.x2+2x－15=0D.x2+2x+15=083..设x1,x2是方程2x2－2x－1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：(1)(x12+2)(x22+2);(2)(2x1+1)(2x2+1);(3)(x1－x2)2.84..已知m,n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根,求2m2+3n2+2m的值.85.已知方程x2+5x－7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分离是已知方程的两个根的负倒数.86.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1,求证：2b2=9ac.87..已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值.88.已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0.(1)证实：不论a取何值,这个方程总有两个不相等的实数根;(2)a为何值时,方程的两根之差的平方等于16?89.已知一元二次方程x2－10x+21+a=0.(1)当a为何值时,方程有一正.一负两个根?(2)此方程会有两个负根吗?为什么?90.已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积.91.已知方程x2+ax+b=0的两根为x1,x2,且4x1+x2=0,又知根的判别式 =25,求a,b 的值.第21页，－共21页92.已知一元二次方程8y 2－(m+1)y+m －5=0.(1)m 为何值时,方程的一个根为零?(2)m 为何值时,方程的两个根互为相反数?(3)证实：不消失实数m ,使方程的两个互相为倒数.93.当m 为何值时,方程3x 2+2x+m －8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2,另一个根小于－2?94.已知2s 2+4s －7=0,7t 2－4t －2=0,s ,t 为实数,且st ≠1.求下列各式的值： (1)t st 1+;; (2)t s st 323+-.95.已知x 1,x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根,且x 12+x 22+(x 1+x 2)2=3,5222221=+x x ,求m 和n 的值.。

5：已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m+1）x+m 2﹣1=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足 （x 1﹣x 2）2=16﹣x 1x 2，求实数m 的值。

中考典例精析例1：已知关于x 的一元二次方程x 2﹣m （2x-m ）+2-3x=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值(3)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足|x 1+x 2|=x 1x 2-14，求实数m 的值(4)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足|x 1|+|x 2|=x 1x 2+2，求实数m 的值(5)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足|x 1-x 2|=5，求实数m 的值 例2：已知关于x 的方程 有两个实数根。

（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足|x 1|-|x 2，求实数k 的值．点击中考：综合篇4.已知关于x 的方程x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足|x 1|＋|x 2|＝2|x 1x 2|－3，求k 的值．5：已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m+1）x+m 2﹣1=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足 （x 1﹣x 2）2=16﹣x 1x 2，求实数m 的值。

中考典例精析例1：已知关于x 的一元二次方程x 2﹣m （2x-m ）+2-3x=0． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=31+|x 1x 2|，求实数m 的值(3)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足|x 1+x 2|=x 1x 2-14，求实数m 的值(4)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足|x 1|+|x 2|=x 1x 2+2，求实数m 的值(5)若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足|x 1-x 2|=5，求实数m 的值 例2：已知关于x 的方程 有两个实数根。

一元二次方程（根的判别式，根与系数的关系）专项训练题一.选择题1.关于x的一元二次方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2.已知反比例函数,当x＞0时,y随x的增大而增大,则关于x的方程的根的情况是（）A.有两个正根B.有两个负根C.有一个正根一个负根D.没有实数根4．设、是关于x的一元二次方程的两个实数根，且＜0，－3＜0，则（）A． B． C． D．5.已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（）A．B．C．D．7. 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根8.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A.＞B.＞且C.＜D.且9.关于方程式49x2－98x－1=0的解，下列叙述何者正确？( )(A) 无解 (B) 有两正根 (C)有两负根 (D) 有一正根及一负根13.若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A、a＜3B、a＞3C、a＜-3D、a＞-3二、填空题3．）设一元二次方程的两个实数根分别为和，则，．4.已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是5．已知一元二次方程的一个根为，则．6．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ．7．已知为方程的二实根，则．9.、关于X的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是--------------10、若关于的方程的一个根是0，则另一个根是．11、等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是．12、关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .13、三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．三、简答题1.当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？2．设是关于的一元二次方程的两实根，当为何值时，有最小值？最小值是多少？3．已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．5.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且——=115(1)求k的值；（2）求++8的值。

21.2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.题型1：利用判别式判断一元二次方程根的情况1.下列方程有两个相等的实数根的是（ ）A ．x 2﹣2x+1＝0B ．x 2﹣3x+2＝0C ．x 2﹣2x+3＝0D ．x 2﹣9＝0)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆2.已知：关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0，求证：方程有两个不相等的实数根．题型3：求一元二次方程两根的和与积3.若x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，则x1+x2，x1x2的值分别是（）A．1和6B．5和-6C．-5和6D．5和6； ．题型4：已知一根求另一根或字母的值4.关于x 的方程x²＋mx ＋6＝0的一个根为－2，则另一个根是（ ）A ．－3B ．－6C ．3D ．6的一个根，求方程的另一个根及. 22x x +121(x x x =+2212x x x +1(x =22|x 2(|x x =题型5：利用根与系数的关系构造方程5.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A．x2+3x+4=0B．x2+4x−3=0C．x2−4x+3=0D．x2+3x−4=0题型6：求涉根代数式的值6.若一元二次方程x2−2x=1的两个实数根分别为x1，x2，求(x1−1)(x2−1)的值.题型7：根与系数的关系与三角形综合7.一个三角形的两边为方程2x2−kx+8=0的两根，第三边长为4，则k的范围是（）题型8：根与系数中的新定义问题8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c一、单选题1．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．32D．−32 2．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6B．b＝﹣1，c＝﹣6C．b＝5，c＝﹣6D．b＝﹣1，c＝63．一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于() A．5B．6C．－5D．－64．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α，β满足1α+1β=1，则m的值为（）A．﹣3B．1 C．﹣3 或1D．2 5．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则b a+a b＝（）A．﹣6B．2C．16D．16或2 6．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两个实根，则x1+x2等于（）A．﹣3B．3C．﹣2D．2二、填空题7．二次项系数为2的一元二次方程的两个根分别是1 −√3和1 +√3，那么这个方程是．8．已知一元二次方程x2 －5x－1=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ．9．已知方程x2+2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2=.10．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0的两根为a、b，则1a+1b的值是．11．方程x2+2x−3=0的两根为x1、x2则x1⋅x2的值为.三、解答题12．已知方程关于x的一元二次方程3x2+5x-4k=0的一个根是-2，求k和方程另一个根a的值．13．已知方程2x2+3x-4=0的两实数根为x1、x2，不解方程求：（1）x12+x22的值；（2）(x1-2)(x2-2) 的值四、综合题14．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值．。

九年级（上）数学 第二章 《一元二次方程》根系关系第1课时 根的判别式与根系关系【知识要点】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式为△= .（1）b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个 实数根，即x 1,2= .（2）b 2-4ac=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即x 1=x 2= .（3）b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两根分别为x 1，x 2那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= . 3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式b 2-4ac ≥0；② 二次项系数a ≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【例题分析】例一.当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根互为倒数.例二．若关于x 的一元二次方程x 2-2(2-k)x+k 2+12=0有实数根α、β． (1) 求实数k 的取值范围； (2)设t=kβα+，求t 的最小值．例三.关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由【实践练习】1．已知α、β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或12．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－13.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20094.设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ ，(x 1＋1)(x 2＋1)= ________，(x 1－x 2)2＝_______，221212x x x x += 。

例1、（2011年中考）如图1，抛物线y=ax 2+bx+3经过A （-3，0），B （-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线y=-2x+9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点.问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使△PEF 的内心在y 轴上.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.例2、（2013年中考）如图，点P 是直线l ：22--=x y 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A 、B 两点．（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A 、B 两点的坐标； （2）①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标； ②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA ＝AB 成立． （3）设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标．1．已知关于x 的二次函数y=x 2﹣2mx+m 2+m 的图象与关于x 的函数y=kx+1的图象交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）；（x 1＜x 2） （1）当k=1，m=1时，求AB 的长；（2）当k=1，m 为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k 为何值时，猜想△AOB 的形状．证明你的猜想．2．已知抛物线y=ax 2+1与x 轴交于点A 、B （点A 在B 点左侧），且与直线y=2x+2仅有一个公共点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）过B 点的直线交y 轴负半轴于点P ，且交抛物线于另一点C ，若S △APC =3S △PAB ，试求出点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，若过点P 的另一条直线l 交抛物线于M 、N 两点（M 在N 的左侧），且△MON 的外心在边MN 上，求直线l 的解析式．3.如图1，已知△AC BC 3，m ）（m>0），线段0 （1 （2）如图2，将（1k E 、F 两点，若EF BD ，求A B O C Py x A B O P y x MNl CP D yxBAFECP D yxBAy xO DCB A 4．如图1，已知抛物线21:22F y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ，抛物线22:F y x ax b =++的顶点为D 在线段AB 的延长线上（不包括B 点），两抛物线相交于点C.（1）①若4a =-，求b 的值；②请用含a 的式子表达b 为 ； （2）如图1，若∠ACD=90°，求,a b 的值；（3）如图2，若抛物线2F 与直线AB 另一个交点为E ，连接CE ，若△CDE 的面积不小于6，求a 的取值范围.5．Q P F E O M D C B A x y 备用O B A xy 6.如图1，抛物线y a 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，抛物线的对称轴交抛物线于点D ，交轴于点E ，若AB 2DE 。

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；m，且点B（m，n）（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+1m-3=02（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，，∵二次项系数≠0，∴m≠0，例3.解得：m＞-14例4.∴当m＞-1且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；4例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，例6. ∴x 1+x 2=2m−1m ，x 1x 2=m−2m ，例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2m−1m ）2-3(m−2)m =2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9.例10. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0，例11. ∴此方程有两个不相等的实数根；例12. （2）∵x =4m±√362=2m ±3，例13. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例14. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例15. ∴m =5．例16.例17. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8），例18. =m 2+8m +16=（m +4）2例19. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0例20. ∴方程有两个不相等的实数根；例21. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），例22. ∴x 1+x 2=-4−3m m ，x 1?x 2=2m−8m ， 例23. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，例24. ∴x 2-x 1-12m =√(x 1+x 2)2−4x 2x 1-12m =√(4−3m m )2−4×2m−8m -12m =0，例25. 解得：m =-2，m =4，例26. ∵m ＞0，∴m =4．例27. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根， 例28. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．例29. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1?x 2=m 2+5．例31. ∵m ＞2，例32. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1?x 2=m 2+5＞0，例33. ∴x 1＞0、x 2＞0．例34. ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1?x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1?x 2，例35. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例36. 解得：m =3．例37.例38. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0， 例39. ∴方程总有实根；例40. 解：（2）∵两实数根互为相反数，例41. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5；例42. （3）①当b =c 时，则△=0，例43. 即（2k -3）2=0，∴k =32， 例44. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去； 例45. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0， 例46. ∴k =52， 例47. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2，例48. ∴c =2，C △ABC =10，例49. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，例50. 综上所述，△ABC 的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程，∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ，αβ=2m ， ∵1α+1β=1，∴m+2m 2m =m+22=1，解得m =0，∵m ≠0，∴m 无解．2.解：（1）∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1?x 2=m ，解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3， 解得{x 1=32x 2=12，∴m =x 1?x 2=32×12=34；（3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m =0，解得m =1．3.（1）证明：∵关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0的判别式△=（m -3）2+4m （2m -3）=9（m -1）2≥0，∴无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-（m -3），x 1×x 2=-m （2m -3），令x 12+x 22=26，得：（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（m -3）2+2m （2m -3）=26，整理，得5m 2-12m -17=0，解这个方程得，m =175或m =-1， 所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6①，x 1?x 2=-k 2，∵2x 1+x 2=14②，联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14， 解之得：{x 1=8x 2=−2， ∴x 1?x 2=-k 2=-16，。