根与系数的关系(韦达定理)练习题

一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师准备知识回顾：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ; 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根;（2） 当0=∆时,方程有两个相等的实数根;（3） 当0<∆时,方程没有实数根;反之：方程有两个不相等的实数根,则 ；方程有两个相等的实数根,则 ；方程没有实数根,则 ;韦达定理相关知识1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x ;我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理;2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,=•21x x ;3、以21x x 和为根的一元二次方程二次项系数为1是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ；有一根为1,则=++c b a ；有一根为1-,则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数,则=b ;5、二次三项式的因式分解公式法在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解.基础运用例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是 ,=k ;解：变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值：12221x x + 2)1)(1(21++x x 32111x x + 4221)(x x - 变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求满足下列条件的k 值：1有两个实数根; 2有两个正实数根; 3有一个正数根和一个负数根; 4两个根都小于2;2、已知关于x 的方程022=+-a ax x ;1求证：方程必有两个不相等的实数根;2a 取何值时,方程有两个正根;3a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大;4a 取何值时,方程到少有一根为零选用例题：例3：已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2,判别式的值为1,则ba 与是多少例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m 的值;例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同,求m 的值;基础训练：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中,如果0<a ,那么根的情况是A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根,则2221x x +的值是A15 B12 C6 D33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（A ） 2y 2+5=6yBx 2+5=2错误!xC 错误!x 2－错误!x+2=0D3x 2－2错误!x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（A ） y 2+5y －6=0 By 2+5y ＋6=0 Cy 2－5y ＋6=0 Dy 2－5y －6=05．如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于A2 B －2 C1 D －16.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 不能确定7.设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是A15 B12 C6 D38．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根,那么k ＝9．如果关于x的方程2x2－4k+1x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是10．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝ ,x1·x2＝ ,x1－x22＝11．若关于x的方程m2－2x2－m－2x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝ .二、能力训练：1、不解方程,判别下列方程根的情况：1x2－x=5 29x2－6错误!+2=0 3x2－x+2=02、当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2－m+3x+m－7=0,若有一个根为0,则m= , 这时方程的另一个根是；若两根之和为－错误!,则m= ,这时方程的两个根为 .4、已知3－错误!是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值;5、求证：方程m2+1x2－2mx+m2+4=0没有实数根;6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－错误!和1+错误!;7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值：1 x1+1x2+1 2错误!+ 错误!3x12+ x1x2+2 x18、如果x2－2m+1x+m2+5是一个完全平方式,则m= ;9、方程2xmx－4=x2－6没有实数根,则最小的整数m= ;10、已知方程2x－1x－3m=xm－4两根的和与两根的积相等,则m= ;11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为 ;12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值:1 x12+x22 2x1－x2321xx 4x1x22＋错误!x113、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式错误!的值;14、已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－错误!a 2x 2－a 2－1=0有无实根15、求证：不论k 为何实数,关于x 的式子x －1x －2－k 2都可以分解成两个一次因式的积;16、实数K 在什么范围取值时,方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根训练一1、不解方程,请判别下列方程根的情况；12t 2+3t －4=0, ; 216x 2+9=24x, ;35u 2+1－7u=0, ;2、若方程x 2－2m －1x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+错误!和2－错误!,则p= ,q= ;4、已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、m,n 是关于x 的方程x 2-2m-1x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式 m n = ;7、已知关于x 的方程x 2－k+1x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一 元二次方程,使它的两个根分别等于α+错误!和β+错误!;9、已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程a 2+b 2+c 2x 2+2a+b+cx+3=0有两个相 等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2－4k+1x+2k 2－1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋23－ｍｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝错误!＋错误!,求ｓ的取值范围;训练二1、已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为2错误!,则k= ;4、若方程x 2+a 2－2x －3=0的两根是1和－3,则a= ;5、方程4x 2－2a-bx －ab=0的根的判别式的值是 ;6、若关于x 的方程x 2+2m －1x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：1x 12x 2+x 1x 22 2 错误!－错误!10．m 取什么值时,方程2x 2－4m+1x+2m 2－1=0（1）有两个不相等的实数根,2有两个相等的实数根,3没有实数根；11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值;12．是否存在实数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ,满足21x x ＝错误!,如果存在,试求出所有满足条件的k 的值,如果不存在,请说明理由; 一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax 2+bx+c=0a ≠0的两根是x 1、x 2,那么x 1+x 2= ,x 1·x 2= ;2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根,那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；x 1+1x 2+1= ；｜x 1－x 2｜= ;3、以2和3为根的一元二次方程二次项系数为1是 ;4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2,那么另一个根是 ,a 的值为 ;5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2,那么k= ;6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等,则m= ;7、一元二次方程px 2+qx+r=0p ≠0的两根为0和－1,则q ∶p= ;8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数,则m= ;9、已知关于x 的一元二次方程a 2－1x 2－a+1x+1=0两根互为倒数,则a= ;10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2,且x 1+x 2=－2,则m= ,x 1+x 221x x ⋅= ;11、已知方程3x 2+x －1=0,要使方程两根的平方和为913,那么常数项应改为 ;12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 ;13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+2－αβ2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 ;其中二次项系数为114、已知关于x 的一元二次方程x 2－2m －1x+m 2=0;若方程的两根互为倒数,则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数,则m= ;15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α= ；β= ；m= ;16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0,则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2m －1=0的两根为x 1、x 2,且43x 1x 121-=+,则m= ;18、关于x 的方程2x 2－3x+m=0,当 时,方程有两个正数根；当m时,方程有一个正根,一个负根；当m 时,方程有一个根为0;19、若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同,则m= ;20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍,则所求的方程为 ;21、一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是 ;22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5,求方程的另一根及m的值;23、已知2+3是x2－4x+k=0的一根,求另一根和k的值;24、证明：如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数A、B均为有理数,那么另一个根必是A－B;25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x31x2+x1x3227、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x21－x22229、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x1－x230、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：x51·x22+x21·x5232、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+6和2－6;33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数;34、造一个方程,使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；1大3；22倍；3相反数；4倒数;35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足：1一个根比另一个根大2；2一个根是另一个根的3倍；3两根差的平方是17;36、已知关于x的方程2x2－m－1x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1,求m的值及两个根;37、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根,并且满足10091)1)(1(=---βα,求m 的值; 38、已知一元二次方程8x 2－2m+1x+m －7=0,根据下列条件,分别求出m 的值： 1两根互为倒数；2两根互为相反数；3有一根为零；4有一根为1；5两根的平方和为641; 39、已知方程x 2+mx+4=0和x 2－m －2x －16=0有一个相同的根,求m 的值及这个相同的根;40、已知关于x 的二次方程x 2－2a －2x+a 2－5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值;41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b 、c 的值;42、设：3a 2－6a －11=0,3b 2－6b －11=0且a ≠b,求a 4－b 4的值;43、试确定使x 2+a －bx+a=0的根同时为整数的整数a 的值;44、已知一元二次方程2k －3x 2+4kx+2k －5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当k 取何整数时,方程有两个整数根;45、已知：α、β是关于x 的方程x 2+m －2x+1=0的两根,求1+m α+α21+m β+β2的值;46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根,x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根,求常数p 、q 的值;47、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的两个实数根,且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2,求m 、n 的值;48、关于x 的方程m 2x 2+2m+3x+1=0有两个乘积为1的实根,x 2+2a+mx+2a －m 2+6m －4=0有大于0且小于2的根;求a 的整数值;49、关于x 的一元二次方程3x 2－4m 2－1x+mm+2=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m 的值;50、已知：α、β是关于x 的二次方程：m －2x 2+2m －4x+m －4=0的两个不等实根; 1若m 为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值；2若α2+β2=6时,求m 的值;51、已知关于x 的方程mx 2－nx+2=0两根相等,方程x 2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍;求证：方程x 2－k+nx+k －m=0一定有实数根;52、关于x 的方程22n 41mx 2x +-=0,其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长;1求证：这个方程有两个不相等的实根；2若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长;53、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2x 1≠x 2,在数轴上,表示x 2的点在表示x 1的点的右边,且相距p+1,求p 的值;54、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x 的方程x 2+α+1x+β2=0与x 2+β+1x+α2=0有唯一的公共根,求a 、b 、c 的关系式;55、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2m+3x+m 2+3=0有两个实数根α、β,那么α－12+β－12的最小值是多少56、已知方程2x 2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x 2－2nx+8m=0的两根相等mn ≠0;求证：对任意实数k ,方程mx 2+n+k －1x+k+1=0恒有实数根;57、1方程x 2－3x+m=0的一个根是2,则另一个根是 ;2若关于y 的方程y 2－my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m ,n 应满足 ;58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x 2+3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x 2－2x －1=0；60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积－2x 2+3=0；61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x 2+5x=0;62、已知关于x 的方程2x 2+5x=m 的一个根是－2,求它的另一个根及m 的值;63、已知关于x 的方程3x 2－1=tx 的一个根是－2,求它的另一个根及t 的值;64、设x 1,x 2是方程3x 2－2x －2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：1x 1－4x 2－4；2x 13x 24+x 14x 23； 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12213131x x x x ；4x 13+x 23;65、设x 1,x 2是方程2x 2－4x+1=0的两个根,求｜x 1－x 2｜的值;66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2,方程x 2－mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7, 求m 和n 的值;67、以2,－3为根的一元二次方程是 +x+6=0 +x －6=0－x+6=0 －x －6=068、以3,－1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 －2x+3=0 +2x －3=0－6x －9=0 +6x －9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 +2x －3=0 －2x+3=0+2x+3=0 －2x －3=070、以－3,－2为根的一元二次方程为 , 以213-,213+为根的一元二次方程为 , 以5,－5为根的一元二次方程为 ,以4,41为根的一元二次方程为 ; 71、已知两数之和为－7,两数之积为12,求这两个数;72、已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ,b ,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程 ,使它的两个根分别是：1a++1 2ba ab 2,273、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ,面积为27cm 2,求这个直角三角形斜边的长 ;74、在解方程x 2+px+q=0时,小张看错了p ,解得方程的根为1与－3；小王看错了q ,解得方程的根为4与－2;这个方程的根应该是什么75、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1,则a= ,另一个根是 ;76、若分式1322+--x x x 的值为0,则x 的值为 A.－1 B.3 C.－1或3 D.－3或177、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则=0且n ≥0 =0且m ≥0C.m=0且n ≤0 =0且m ≤078、已知x 1,x 2是方程2x 2+3x －1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：12x 1－32x 2－3；2x 13x 2+x 1x 23;79、已知a 2=1－a ,b 2=1－b ,且a ≠b ,求a －1b －1的值;80、如果x=1是方程2x 2－3mx+1=0的一个根,则m= ,另一个根为 ;81、已知m 2+m －4=0,04112=-+n n ,m ,n 为实数,且nm 1≠,则nm 1+= ; 82、两根为3和－5的一元二次方程是－2x －15=0 －2x+15=0+2x －15=0 +2x+15=083、.设x 1,x 2是方程2x 2－2x －1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：1x 12+2x 22+2；22x 1+12x 2+1；3x 1－x 22;84、.已知m ,n 是一元二次方程x 2－2x －5=0的两个实数根,求2m 2+3n 2+2m 的值;85、已知方程x 2+5x －7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数;86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0a ≠0的两根之比为2∶1,求证：2b 2=9ac ;87、.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11,求m 的值;88、已知关于y 的方程y 2－2ay －2a －4=0;1证明：不论a 取何值,这个方程总有两个不相等的 实数根；2a 为何值时,方程的两根之差的平方等于1689、已知一元二次方程x 2－10x+21+a=0;1当a 为何值时,方程有一正、一负两个根2此 方程会有两个负根吗为什么90、已知关于x 的方程x 2－2a －1x+4a －1=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积;91、已知方程x 2+ax+b=0的两根为x 1,x 2,且4x 1+x 2=0,又知根的判别式∆=25,求a ,b 的值;92、已知一元二次方程8y 2－m+1y+m －5=0;1m 为何值时,方程的一个根为零2m为何值时 ,方程的两个根互为相反数3证明：不存在实数m ,使方程的两个相互为倒数;93、当m 为何值时,方程3x 2+2x+m －8=0：1有两个大于－2的根2有一个根大于－2,另一个 根小于－294、已知2s 2+4s －7=0,7t 2－4t －2=0,s ,t 为实数,且st ≠1;求下列各式的值： 1tst 1+；; 2t s st 323+-; 95、已知x 1,x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根,且x 12+x 22+x 1+x 22=3,5222221=+x x ,求m 和n 的值;。

韦达定理练习题
1、如果关于的方程的两根之差为2，那么。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则。

3、已知关于的方程的两根为，且
，则。

4、已知是方程的两个根，那么：
；
；。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且
，则；。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是，的值为。

7、已知是的一根，则另一根为，的值为。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：。

二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。

2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。

3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求
的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

7、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？
8、已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论
取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。

9、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求
的值。

10、是否存在实数，使关于的方程
的两个实根，满足2
321 x x ，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

11、已知关于的一元二次方程
（）的两实数根为
，若，求的值。

12、实数
、分别满足方程和，求代数式
的值。

韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x的方程2x2-3x，m=0，当_______________ 时，方程有两个正数根；当m ____________ 时，方程有一个正根，一个负根；当m ___________ 时，方程有一个根为0。

2、已知一元二次方程2x2 - 3x -1 = 0的两根为x-i、x2，则x< x2 = __________ .3、如果X i，X2是方程x2-5x ■ 6 = 0的两个根，那么X i・X2 = _______________ .4、已知x i，X2是方程X2+6X+3=0的两实数根，则竺+殂的值为____________ .x1 x25、设x-i、x2是方程2x2，4x-3=0 的两个根，贝U (x-i 1)(x2 1) = _______ .& 若方程 2X2-4X-3=0 的两根为：•、一：，则a2-2ap，/ = ___________ .17、已知x1> x2是关于x的方程(a -1)x2 x a20的两个实数根，且为+ x2= 一，则3% X2 _______ .8、已知关于x的一元二次方程mx2-4x-6=0的两根为x1和x2，且为• x2 - -2，贝U m =____ ，占■ x2 MX?二__________ 。

9、若方程2x2 -5x • k = 0的两根之比是2: 3,则k二_________ .10、如果关于x的方程x2 6x ^0的两根差为2,那么k二________________ 。

11、___________________________________________________________ 已知方程2x2，mx-4=0两根的绝对值相等，则m = __________________________________________ 。

12、__________________________________________________________ 已知方程x2-mx ■ 2=0的两根互为相反数，则m = ________________________________________ 。

一元二次方程根与系数的关系 【2 】习题主编：闫先生[预备常识回想]：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x .2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆ （1） 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根.（2） 当0=∆时,方程有两个相等的实数根.（3） 当0<∆时,方程没有实数根.反之：方程有两个不相等的实数根,则;方程有两个相等的实数根,则;方程没有实数根,则.[韦达定理相干常识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x .我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理.2.假如一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,=•21x x .3.认为21x x 和根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=•++-x x x x x x 4.在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ;有一根为1,则=++c b a ;有一根为1-,则=+-c b a ;若两根互为倒数,则=c ;若两根互为相反数,则=b .5.二次三项式的因式分化(公式法)在分化二次三项式c bx ax ++2的因式时,假如可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++．假如方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分化. [基本应用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是,=k .解：变式练习：1.已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分离是若干？2.方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是若干？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,应用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2111x x + （4）221)(x x -变式练习：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求知足下列前提的k 值：（1）有两个实数根. （2）有两个正实数根. （3）有一个正数根和一个负数根.（4）两个根都小于2.2.已知关于x 的方程022=+-a ax x .（1）求证：方程必有两个不相等的实数根.（2）a 取何值时,方程有两个正根.（3）a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大.（4）a 取何值时,方程到少有一根为零？选用例题：例3：已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1：2,判别式的值为1,则b a 与是若干？例 4.已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m 的值.例5.若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根雷同,求m 的值.基本练习：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中,假如0<a ,那么根的情形是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能肯定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根,则2221x x +的值是（） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中,有两个相等的实数根的是（）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．假如x 1,x 2是两个不相等实数,且知足x 12－2x 1＝1,x 22－2x 2＝1,那么x 1·x 2等于（）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－16.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,假如a<0,那么根的情形是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能肯定7.设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）38．假如一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根,那么k＝9．假如关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根,那么k的取值规模是10．已知x1,x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根,则x1＋x2＝,x1·x2＝,（x1－x2）2＝11．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数,则m＝.二.才能练习：1、不解方程,判别下列方程根的情形：（1）x2－x=5 (2)9x2－6 2 +2=0 (3)x2－x+2=02、当m=时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根;当m=时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3、已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0,如有一个根为0,则m=,这时方程的另一个根是;若两根之和为－35,则m=,这时方程的两个根为.4、已知3－ 2 是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值.5、求证：方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根.6、求作一个一元二次方程使它的两根分离是1－ 5 和1+ 5 .7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根,应用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2x1+x1x2（3）x12+ x1x2+2 x18.假如x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完整平方法,则m=;9.方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根,则最小的整数m=;10.已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等,则m=;11.设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n,且3m+2n=20,则k 值为;12.设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2,不解方程,求下列各式的值:(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）21x x + （4）x 1x 22＋12 x 1 13.实数ｓ.ｔ分离知足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ的值. 14.已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1－12(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？ 15.求证：不论k 为何实数,关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分化成两个一次因式的积.16.实数K 在什么规模取值时,方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根？ 练习（一）1、不解方程,请判别下列方程根的情形;(1)2t 2+3t －4=0,; (2)16x 2+9=24x,;(3)5(u2+1)－7u=0,;2、若方程x2－(2m－1)x+m2+1=0有实数根,则m的取值规模是;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分离是2+ 3 和2－ 3 ,则p=,q=;4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是,m=;5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数,那么m的值是;6、m,n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根,则代数式m n=.7、已知关于x的方程x2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;8、假如α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根,应用根与系数关系,求作一个一元二次方程,使它的两个根分离等于α+1β和β+1α;9、已知a,b,c是三角形的三边长,且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x2－(4k+1)x+2k2－1可因式分化.11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β,若ｓ＝1α＋1β,求ｓ的取值规模.练习（二）1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β,则α+β=, αβ=;2、假如关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根雷同,则m的值为;3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212,则k=; 4、若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3,则a=;5、方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是;6、若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为;7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情形是;8、以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;9、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根,求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x1 －1x210．m 取什么值时,方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0（1）有两个不相等的实数根,（2）有两个相等的实数根,（3）没有实数根;11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值.12．是否消失实数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ,知足21x x ＝32,假如消失,试求出所有知足前提的k 的值,假如不消失,请解释来由. 一元二次方程根与系数关系专题练习主编：闫先生1.假如方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1.x 2,那么x 1+x 2=,x 1·x 2=.2.已知x 1.x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根,那么：x 1+x 2=;x 1·x 2=;2111x x +;x 21+x 22=;(x 1+1)(x 2+1)=;｜x 1－x 2｜=.3.以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是.4.假如关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2,那么另一个根是,a 的值为.5.假如关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2,那么k=.6.已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等,则m=.7.一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1,则q ∶p=.8.已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数,则m=.9.已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数,则a=.10.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2,且x 1+x 2=－2,则m=,(x 1+x 2)21x x ⋅=.11.已知方程3x 2+x －1=0,要使方程两根的平方和为913,那么常数项应改为.12.已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为.13.若α.β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0,则以α.β为根的一元二次方程为.(个中二次项系数为1)14.已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0.若方程的两根互为倒数,则m=;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m=.15.已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α=;β=;m=.16.已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0,则k=17.已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1.x 2,且43x 1x 121-=+,则m= .18.关于x 的方程2x 2－3x+m=0,当时,方程有两个正数根;当m 时,方程有一个正根,一个负根;当m 时,方程有一个根为0.19.若方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根雷同,则m=.20.求作一个方程,使它的两根分离是方程x 2+3x －2=0两根的二倍,则所求的方程为.21.一元二次方程2x 2－3x+1=0的两根与x 2－3x+2=0的两根之间的关系是.22.已知方程5x 2+mx －10=0的一根是－5,求方程的另一根及m 的值.23.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根,求另一根和k 的值.24.证实：假如有理系数方程x 2+px+q=0有一个根是形如A+B 的无理数(A.B 均为有理数),那么另一个根必是A －B .25.不解方程,断定下列方程根的符号,假如两根异号,试肯定是正根照样负根的绝对值大?0362)2(,053)1(22=+-=--x x x26.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：x 31x 2+x 1x 3227.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：2221x 1x 1+28.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：(x 21－x 22)229.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：x 1－x 230.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：122x x31.已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：x 51·x 22+x 21·x 5232.求一个一元二次方程,使它的两个根是2+6和2－6.33.已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数.34.造一个方程,使它的根是方程3x 2－7x+2=0的根;(1)大3;(2)2倍;(3)相反数;(4)倒数.35.方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时,方程的两个实数根知足：(1)一个根比另一个根大2;(2)一个根是另一个根的3倍;(3)两根差的平方是17.36.已知关于x 的方程2x 2－(m －1)x+m+1=0的两根知足关系式x 1－x 2=1,求m 的值及两个根.37.α.β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根,并且知足10091)1)(1(=---βα,求m 的值.38.已知一元二次方程8x 2－(2m+1)x+m －7=0,依据下列前提,分离求出m 的值：(1)两根互为倒数;(2)两根互为相反数;(3)有一根为零;(4)有一根为1;(5)两根的平方和为641.39.已知方程x 2+mx+4=0和x 2－(m －2)x －16=0有一个雷同的根,求m 的值及这个雷同的根.40.已知关于x 的二次方程x 2－2(a －2)x+a 2－5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值.41.已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b.c 的值.42.设：3a2－6a－11=0,3b2－6b－11=0且a≠b,求a4－b4的值.43.试肯定使x2+(a－b)x+a=0的根同时为整数的整数a的值.44.已知一元二次方程(2k－3)x2+4kx+2k－5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求：当k取何整数时,方程有两个整数根.45.已知：α.β是关于x的方程x2+(m－2)x+1=0的两根,求(1+mα+α2)(1+mβ+β2)的值.46.已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1.x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,求常数p.q的值.47.已知x1.x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根;y1.y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根,且x1－y1=2,x2－y2=2,求m.n的值.48.关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根,x2+2(a+m)x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根.求a的整数值.49.关于x的一元二次方程3x2－(4m2－1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m的值.50.已知：α.β是关于x的二次方程：(m－2)x2+2(m－4)x+m－4=0的两个不等实根.(1)若m为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;(2)若α2+β2=6时,求m的值.51.已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等,方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍.求证：方程x2－(k+n)x+(k－m)=0必定有实数根.52.关于x的方程22n41mx2x+-=0,个中m.n分离是一个等腰三角形的腰长和底边长.(1)求证：这个方程有两个不相等的实根;(2)若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长.53.已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2(x1≠x2),在数轴上,表示x2的点在表示x1的点的右边,且相距p+1,求p的值.54.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α.β,且两个关于x的方程x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有独一的公共根,求a.b.c的关系式.55.假如关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α.β,那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是若干?56.已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x2－2nx+8m=0的两根相等(mn≠0).求证：对随意率性实数k,方程mx2+(n+k－1)x+k+1=0恒有实数根.57.(1)方程x2－3x+m=0的一个根是2,则另一个根是.(2)若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m,n应知足.58.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x2+3x+1=0;59.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x2－2x－1=0;60.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积－2x2+3=0;61.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0.62.已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2,求它的另一个根及m的值.63.已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2,求它的另一个根及t的值.64.设x1,x2是方程3x2－2x－2=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：(1)(x1－4)(x2－4);(2)x13x24+x14x23;(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+12213131xxxx;(4)x13+x23.65.设x1,x2是方程2x2－4x+1=0的两个根,求｜x1－x2｜的值.66.已知方程x2+mx+12=0的两实根是x1和x2,方程x2－mx+n=0的两实根是x1+7和x2+7,求m和n的值.67.以2,－3为根的一元二次方程是 ( )A.x2+x+6=0B.x2+x－6=0C.x2－x+6=0D.x2－x－6=068.以3,－1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )A.3x2－2x+3=0B.3x2+2x－3=0C.3x2－6x－9=0D.3x2+6x－9=069.两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 ( )A.x2+2x－3=0B.x2－2x+3=0C.x2+2x+3=0D.x2－2x－3=070.以－3,－2为根的一元二次方程为, 以213-,213+为根的一元二次方程为,以5,－5为根的一元二次方程为,以4,41为根的一元二次方程为.71.已知两数之和为－7,两数之积为12,求这两个数.72.已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分离为a ,b ,应用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两个根分离是：(1)a+1.b+1 (2)b a a b 2,2 73.一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ,面积为27cm 2,求这个直角三角形斜边的长.74.在解方程x 2+px+q=0时,小张看错了p ,解得方程的根为1与－3;小王看错了q ,解得方程的根为4与－2.这个方程的根应当是什么?75.关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1,则a=,另一个根是.76.若分式1322+--x x x 的值为0,则x 的值为 ( )A.－1B.3C.－1或3D.－3或177.若关于y的一元二次方程y2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则( )A.m=0且n≥0B.n=0且m≥0C.m=0且n≤0D.n=0且m≤078.已知x1,x2是方程2x2+3x－1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：(1)(2x1－3)(2x2－3);(2)x13x2+x1x23.79.已知a2=1－a,b2=1－b,且a≠b,求(a－1)(b－1)的值.80.假如x=1是方程2x2－3mx+1=0的一个根,则m=,另一个根为.81.已知m2+m－4=0,4112=-+nn,m,n为实数,且nm1≠,则nm1+=.82.两根为3和－5的一元二次方程是 ( )A.x2－2x－15=0B.x2－2x+15=0C.x2+2x－15=0D.x2+2x+15=083..设x1,x2是方程2x2－2x－1=0的两个根,应用根与系数的关系,求下列各式的值：(1)(x12+2)(x22+2);(2)(2x1+1)(2x2+1);(3)(x1－x2)2.84..已知m,n是一元二次方程x2－2x－5=0的两个实数根,求2m2+3n2+2m的值.85.已知方程x2+5x－7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分离是已知方程的两个根的负倒数.86.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之比为2∶1,求证：2b2=9ac.87..已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值.88.已知关于y的方程y2－2ay－2a－4=0.(1)证实：不论a取何值,这个方程总有两个不相等的实数根;(2)a为何值时,方程的两根之差的平方等于16?89.已知一元二次方程x2－10x+21+a=0.(1)当a为何值时,方程有一正.一负两个根?(2)此方程会有两个负根吗?为什么?90.已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积.91.已知方程x2+ax+b=0的两根为x1,x2,且4x1+x2=0,又知根的判别式 =25,求a,b 的值.第21页，－共21页92.已知一元二次方程8y 2－(m+1)y+m －5=0.(1)m 为何值时,方程的一个根为零?(2)m 为何值时,方程的两个根互为相反数?(3)证实：不消失实数m ,使方程的两个互相为倒数.93.当m 为何值时,方程3x 2+2x+m －8=0：(1)有两个大于－2的根?(2)有一个根大于－2,另一个根小于－2?94.已知2s 2+4s －7=0,7t 2－4t －2=0,s ,t 为实数,且st ≠1.求下列各式的值： (1)t st 1+;; (2)t s st 323+-.95.已知x 1,x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根,且x 12+x 22+(x 1+x 2)2=3,5222221=+x x ,求m 和n 的值.。

初三数学根与系数的关系练习题请根据下列问题，计算方程的根与系数之间的关系，并作出解答。

问题一：已知一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x_1$ 和 $x_2$，求证：1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$解答一：1. 设二次方程的根为 $x_1$ 和 $x_2$，根据求根公式可得：\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将 $x_1$ 和 $x_2$ 相加：\[x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\]\[x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。

2. 将 $x_1$ 和 $x_2$ 相乘：\[x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \cdot\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}\]所以，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。

因此，已证明了问题一中的两个关系式。

问题二：已知一元三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 的根为 $x_1, x_2, x_3$，求证：1. $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$2. $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$3. $x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac{c}{a}$解答二：1. 设三次方程的根为 $x_1, x_2, x_3$，根据求根公式可得：\[x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}\]所以，$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$。

根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。

初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解）1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ）A ．x 2﹣7x+12=0B ．x 2+7x+12=0C ．x 2﹣9x+20=0D ．x 2+9x+20=02．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k≥1B ．k≥﹣1C ．k≥1且k≠0D ．k≥﹣1且k≠03．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则()()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10-4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( )A ．-6B ．6C ．-15D ．155．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ）A ．2OB = B ．2OB >C ．2OB ≥D ．2OB <6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) .A ．α+β=-1B ．αβ=-1C ．11+αβ=1D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．3D ．﹣38．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ).A ．2x +2 =0B ．2x +x-1=0C ．2x +x+3=0D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为()A ．m ＝－2，n ＝8B ．m ＝－2，n ＝－8C ．m ＝2，n ＝－8D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则()()221201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则12x x +=________．12．已知,,a b c 是等腰ABC ∆的三条边，其中2b =，如果 ,a c 是关于y 的一元二次方程 260y y n -+=的两个根，则n 的值是__．13．已知a 、b 是一元二次方程2410x x --=的两根，则a +b =_____.14．有一个一元二次方程，它的一个根 x 1＝1，另一个根－2＜x 2＜0． 请你写出一个符合这样条件的方程：_________．15．已知方程 x 2﹣4x+3＝0 的两根分别为 x 1、x 2，则 x 1+x 2＝______．16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两实数根，则1132x ++2132x +的值是_____．17．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2-（2m -2）x +（m 2-2m ）=0的两根，且满足x 1•x 2+2（x 1+x 2）=-1，那么m 的值为（ ）A ．1-或3B ．3-或1C ．3-D ．118．设一元二次方程2230x x --=的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 1x 2＋x 2等于( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．319．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．20．求作一个方程，使它的两个根分别是4-和3，这个方程的一般式是________. 21．关于x 的一元二次方程226250x x p p -+-+=的一个根为2。

《根与系数关系（韦达定理）》专题班级 姓名忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。

请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根x 1，x 2与a 、b 、c 之间的关系：____________． 我们尝试证明一下若方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为1x ，2x 则1x = ，2x = 。

则12x x += 12.x x =归纳一元二次方程的根与系数之间存在下列关系①20ax bx c ++= (0a ≠)的两个根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ⋅=______ .② 方程20x px q ++=的两根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ⋅=_______. 注意事项:使用一元二次方程根与系数的关系时要注意两个问题:①必须为一元二次方程(0a ≠); ②一定在有根的条件下(△≥0).不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）2310x x ++=；（2）23210x x --=（3）2230x -+=； （4）2250x x +=【类型一】已知方程一根,求另一根及未知系数的值.例1 已知方程ax 2-7x -6=0(a ≠0)一根为2,求方程的另一根及a 的值.1.已知方程2230x x m --=的一个根是12，求它的另一个根和m 的值.2.若一元二次方程22(1)230m x m m -++-=的一根为零，求m 的值.【类型二】已知方程两根的关系,求未知系数的值例2若方程2380x x m -+=的两根之比为3:2,求m 的值.1. 已知方程x 2-2(m +1)x +m 2-2=0,m =___ _时,方程两根互为相反数; m = 时,方程两根互为负倒数.2. 若方程20x px q ++=的一个根是另一个根的2倍,则p 、q 之间的关系是【类型三】不解方程 求与根有关的代数式的值 例3 设1x 、2x 是一元二次方程22510x x -+=的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）12(3)(3)x x --； （2）2212(1)(1)x x +++；（3）211211x xx x +++； （4）12x x -.【类型四】根据题意，求方程中某些待定字母系数的值 例4 已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ． ⑴求k 的取值范围；⑵k 为何值时，1x 与2x 互为倒数.1.已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1 B ．－3 C ．1 D ．32.当m = 时，方程250x x m ++=的两根之差是7.例5已知关于x 的方程2320x mx +-=的两根的平方和为139，求m 的值.例6已知关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k +---= （1）试判断此一元二次方程根的存在情况；（2）若方程有两个实数根21x x 和，且满足11121=+x x ，求k 的值．。

根与系数的关系（韦达定理）练习题一、填空：1、 如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0（B ）正数（C ）－8（D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C )－2 (D)－5或2 6、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B)－6 (C )21(D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y （C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、 若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．9、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、10、设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值:(1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -11、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) )32)(32(21--x x ； (2)321231x x x x +12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式t s st 14++的值。

一元二次方程根与系数的关系培优训练例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。

例3.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根。

求证：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，若，则 .例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长．例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。

这个方程的根应该是什么?例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。

练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题．(1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值；解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根，∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3．∴α2=3α+5，β2=3β+5∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24．(2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值．2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1α＋1β，求ｓ的取值范围。

3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少?2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形4．已知关于x的方程x的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

根与系数的关系（韦达定理）知识要点：1、二次方程根与系数的关系：元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．若ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则有ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) ．2、以x1，x2为根的一元二次方程为a（x- x1）(x- x2)= 0或x2-（x1+ x2）x + x1. x2= 0 例：以2和3为根的一元二次方程为x2-（2+3）x + 2x3=0习题：1、以12,12-+为两根的一元二次方程是。

2、已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1-y1=2，x2-y2=2，则m=_______．3.已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k=______．4.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______．5.已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，则(a－1)(b－1)= ______．6.若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)二、解答下列各题：1、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（4）（x1-x2）2；2、已知关于x的方程x2+(a+1)x+b-1=0的两根之比是2：3，判别式的值为1，求方程的根．3、已知x1 ，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m 值．4、已知关于x的方程x2＋2（m-2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程．5、已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2-（2m-1）x＋4（m-1）＝0的两个根，求m的值．6、已知关于x的方程3 x2– 10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k的值：（1）有两个实数根（2）有两个正数根（3）有一个正数根和一个负数根.7、若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个．．符合题意的一元二次方程．8、关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2﹣x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．9、已知关于x的一元二次方程04222=-++kxx有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、 以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值， 呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也 请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。

20232024学年苏科版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题1.5 根与系数的关系（韦达定理）（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.56姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•叙州区校级月考）已知m，n为一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则m2+m﹣n的值为（）A．﹣7 B．0 C．7 D．112．（2分）（2022秋•徐汇区期末）若方程x2﹣3x+m＝0有一根是1，则另一根是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（2分）（2022秋•澄海区期末）已知2是关于x的方程x2+mx﹣3m＝0的一个根，则这个方程的另一个根为（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．34．（2分）（2022秋•大渡口区校级期末）对于实数a，b，定义新运算a*b＝，则下列结论正确的有（）①5*3＝1；②当x＝﹣1时，[（﹣2）*x]*7＝﹣21；③m*（2m﹣1）＝；④若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则x1*x2＝16或﹣17．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2分）（2023秋•山丹县校级月考）若x＝﹣2是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣36．（2分）（2023•下陆区校级开学）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则的值是（）A．1 B．2 C．1.5 D．2.57．（2分）（2023•花山区二模）关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（）A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣48．（2分）（2023•江夏区校级模拟）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则的值是（）A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣49．（2分）（2023•江岸区模拟）已知a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣D．﹣10．（2分）（2023•沂源县一模）关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．9评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•广水市月考）若m，n是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+m+2n的值为．12．（2分）（2023•武侯区校级模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的两个实数根，且++x1x2＝6，则k的值为．13．（2分）（2023秋•铁岭月考）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个根，那么x1（2x1﹣x2）﹣3x2﹣5＝．14．（2分）（2023•赛罕区二模）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的一根，则m的值为，另外一根等于．15．（2分）（2023春•宁明县期中）设m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m ﹣n＝．16．（2分）（2023春•威海期末）若非零实数a，b（a≠b）满足a2+a﹣2007＝0，b2+b﹣2007＝0，则+的值为．17．（2分）（2023•攀枝花）x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为m、n，则＝．18．（2分）（2023•东湖区校级二模）若a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为．19．（2分）（2022秋•细河区期末）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根分别为a、b，则a2﹣3a+ab﹣2的值为．20．（2分）（2023•芜湖三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•龙岩期末）已知关于x的方程x2﹣4x+2k+1＝0．（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程有两个实数根x1，x2，且x2﹣2x1﹣2x2+9＝0，求k的值．22．（6分）（2022秋•鄞州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1•x2＝﹣3，求k的值．23．（8分）（2023秋•武侯区校级月考）若x1、x2是关于x的方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，且+＝7．求m的值．24．（8分）（2023•老河口市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．（1）若方程有实数根，求m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足+＝14．求+4x2﹣10的值．25．（8分）（2023秋•铁岭月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x﹣2＝0的两根为x1、x2．（1）是否存在m值，使两根互为相反数；（2）若两根的倒数和为2，求的m值．26．（8分）（2022秋•安徽期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0．（1）若x＝﹣1是该方程的一个根，求m的值及另一个根；（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．27．（8分）（2023春•文登区期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣mx+m﹣1＝0（1）试判断该方程根的情况并说明理由；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1﹣x1x2+3x2＝12，求该方程的解．28．（8分）（2023春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．（1）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，求k的值；（2）若关于x的一元二次方程nx2﹣（3n+3m）x+8m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求该方程的根．。

.一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=02．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=03．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．124．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．35．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣16．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣27．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m28．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．1759．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．810．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．201111．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．012．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．201013．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣414．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013二．填空题（共5小题）15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=_________．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_________．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为_________．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为_________．三．解答题（共11小题）20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m 的值．21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．解答：解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；C、∵x1+x2=1；故本选项错误；D、∵x1+x2=2；故本选项正确；故选D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求解即可．解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故选A．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．6．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．解答：解；由题意知x1+x2=a=4a﹣3，∴a=1，∴x1x2=﹣2a=﹣2．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误．7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2考点：根与系数的关系．分析：设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，∴设一根为a，则另一根为3a，由根与系数的关系，得：a•3a=n，a+3a=﹣m，整理得：3m2=16n，故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大．8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0①，又由韦达定理知a•b=7②；所以，根据①②来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可．解答：解：∵a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，∴a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0，∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知a•b=7；∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a•b=25×7=175．故选D．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．解答：解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；故选D．点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果解答：解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，∴m2+m=2011，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．0考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．解答：解：由题意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，所以x13﹣4x22+19=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19=3x1﹣x12+4x2+7=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1，所以原式=4×（﹣1）+4=0．故选D．点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则代数式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．解答：解：∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．故选C．点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，∴x12+x1﹣1=0，即x12=﹣x1+1；x22+x2﹣1=0，即x22=﹣x2+1；又根据韦达定理知x1•x2=﹣1∴（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）=﹣2x1•（﹣2x2）=4x1•x2=﹣4；故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知，m+n=1，∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）15．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2+；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．（2013•江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=﹣5．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1•x2的值，再整体代入即可求解．解答：解：根据根与系数的关系可得，x1•x2=﹣1，x1+x2=﹣23．则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值．解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2﹣2a+2．x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．又方程有两实数根，△≥0即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为﹣．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于﹣，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2x2+3x﹣1=0，得到：a=2，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和x2，则x1+x2=﹣；由x2﹣5x+7=0，找出a=1，b=﹣5，c=7，∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，∴此方程没有实数根．综上，两方程所有的实数根的和为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4．考点：根与系数的关系．分析：由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．解答：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．三．解答题（共11小题）20．（2004•重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．解答：解：由判别式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用．21．（1998•内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和．即可确定m的取值情况．解答：解：设原方程的两根为x1、x2，则有：，∴．又∵，∴m2﹣20=29，解得m=±7，∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？考点：根与系数的关系．分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，当k=0时，显然不合题意，当k=时，其判别式△=1≥0，所以当k=时，方程两根之比为1：3．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0．23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=﹣1时，ab=﹣8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以m=4．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令y=，则y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0，所以没有满足△≥0的k的值，所以该题目无解．点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1•x2的值，再结合x1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1•x2==﹣2k，又∵x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=22，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=±3，当k=3时，方程为x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合题意舍去；当k=﹣3时，方程为x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合题意．故所求k的值为﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．27．（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值范（4分）围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．（8分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．28．（2012•怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，∴△=4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．29．（2010•东莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．解答：解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．30．（2005•福州）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时．方程有两个实数根．（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．又∵m≤﹣，且m为整数．∴m的值为﹣2，﹣1．点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0），根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=．选择是难，更何况是心灵选择。

1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。

（2） 当0=∆时，方程有两个相等的实数根。

（3） 当0<∆时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=•21x x 。

我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

^2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=•21x x 。

3、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。

5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解. [基础运用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。

变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少?2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2111x x + （4）221)(x x - \变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值： （1）有两个实数根。

1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1） 当0>∆时，方程有两个不相等的实数根。

（2） 当0=∆时，方程有两个相等的实数根。

（3） 当0<∆时，方程没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=•21x x 。

我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=•21x x 。

3、以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。

5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么))((212x x x x a c bx ax --=++．如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解.[基础运用]例1：已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是 ，=k 。

变式训练：1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？2、方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值是多少？例2：设21x x 和是方程03422=-+x x ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）2221x x + （2）)1)(1(21++x x （3）2111x x + （4）221)(x x -变式训练：1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根，求满足下列条件的k 值：（1）有两个实数根。

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。