2013艺术生高考数学复习学案(三)

三角函数性质与图像 知识清单：．．．．．．．．．．函数s i n ()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）.课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = 4π ．3．函数sin2x y =的最小正周期是2π4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是]65,3[ππ5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是16．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3π个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是y=sin(21x+6π).8．函数sin y x x =+在区间[0,2π]的最小值为___1___.9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ）⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12ππ-,k π+125π], [k 125ππ+,k π+1211π]k Z ∈⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

2013届高考数学-考点单元复习教案3不等式1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔ .实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性） a>b ⇔定理2（同向传递性） a>b，b>c⇒定理3 a>b⇔a＋c > b＋c推论 a>b，c>d⇒定理4 a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b＞0 ⇒nn ba> (n∈N且n>1)定理5 a>b＞0⇒>n a n b (n∈N且n>1)例1. 设f(x)＝1＋logx 3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.典型解：(1)(x 2－y 2)(x ＋y)＜(x 2＋y 2)(x －y)(2)a ab b＞a bb a变式训练1：不等式log 2x+3x 2＜1的解集是____________.答案：{x|－23＜x ＜3且x≠－1,x≠0}。

解析：：2231023x x x +>⎧⎨<<+⎩或()()202313,,11,00,3223x x x x <+<⎧⎛⎫∴∈---⎨ ⎪>+⎝⎭⎩。

例2. 设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：当0＜x ＜1或x ＞34时，f(x)＞g(x)；当1＜x ＜34时，f(x)＜g(x)； 当x ＝34时，f(x)＝g(x).变式训练2：若不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .例3. 函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．解：由f (x)＝ax 2＋bx 得f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b a ＝21[f (1)＋f(－1)]，b ＝21[f (1)－f(－1)] 则f(－2)＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)]＝3f (－1)＋f (1)由条件1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4可得3×1＋2≤3f(－1)＋f(1)≤3×2＋4 得f (－2)的取值范围是5≤f (－2)≤10.变式训练3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 . 解： (－3，3)例4. 已知函数f (x)＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x)＋qf (y)≥f (px ＋qy)对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o≤p≤1.证明：∵pf (x)＋qf (y)－f (px ＋qy)＝pq(x －y)2＝p(1－p)(x －y)2充分性：当0≤p≤1时，2))(1(y x p p --≥0从而)()()(qy px f y qf x pf +≥+必要性：当)()()(qy px f y qf x pf +≥+时，则有2))(1(y x p p --≥0，又2)(y x -≥0，从而)1(p p -≥0，即0≤p≤1．综上所述，原命题成立．变式训练4：已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜a b＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22；(3)求| x 21－x 22|．解：(1)∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞b ＞－a －b ，∴a ＞0，1＞a b a b -->1 ∴－121<<a b(2)（方法1）∵a ＋b ＋c ＝0 ∴ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为1，不妨设x 1＝1，则由1222121=++x x x x 可得 ,0)1(22=+x x 而)03(0212=++<<==c b a c acx x x ，∴x 2＝－1， ∴3222121=+-xx x x(方法2)∵acx x a b x x =-=+2121,由222221221222121)(a b a c ab x x x x x x x x =-=-+=++＋ 1122=++=+a bab a b a ，∴,022=+aba b ∵,0,121=∴<<-aba b ∴2121222121x x x x x x x +=+-3)(21212212122=++=-=-+ab a x x x x x (3)由(2)知，1)1()(11222222221-+=+-=-=-a b ab a ac x x ∴2121<+<a b ，∴4)1(412<+<ab ∴31)1(432<-+<-ab∴[)3,02221∈-x x归纳1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A≥B(或B≤A)”．第2课时算术平均数与几何平均数1．a>0，b>0时，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．2．定理1 如果a、b∈R，那么a2＋b22ab（当且仅当时取“＝”号）3．定理2 如果a、b∈+R，那么2ba+≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x、y∈+R，x＋y＝P，xy＝S. 有下列命题：(1) 如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．例1．设a 、b ∈R +，试比较2b a +，ab，222b a +，ba 112+的大小．解：∵a、b ∈R +，∴b a 11+≥2ab1即ba 112+≤ab，当且仅当a ＝b 时等号成立． 又42)2(222abb a ba ++=+≤42222b a b a +++＝222b a + ∴2b a +≤222b a +当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab≤2ba + 于是ba 112+≤ab≤2ba +≤222b a +(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． 说明：题中的ba 112+、ab、2b a +、222b a +分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明． 变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：B.解析： a b =是22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等号成立的条件.（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac=++=++，则（ ）A ．2S p ≥B ． 2p S p <<C ．S p >D ．2p S p ≤< 解：D ．解析：2222221()[()()()]0,2S p a b c ab bc ac a b b c a c S p-=++-++=-+-+-≥∴≥，又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+<∴2222(),2ab c ab bc ac S p++<++∴<。

1第1讲 二次函数一、课前热身1、D 2 110 3、D 4、（－∞，－1） 二、例题探究例1． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2at =，（1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）．（2）当12a>，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =．（3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）．综上可得：a 的值为2a =-或103a =．例2． 解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x则120x x ≤或121200x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤≤．解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤． 例3． 解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立， ∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)． （3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++，2设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,)2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴2112142a b a a a=-=-≥-++，当且仅当12(01)a a a =<<，即2a =时等号成立，∴b的最小值为4-．冲刺强化训练(1)1、A2、A3、C4、，或它们的某个子集。

数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝( ) A ．0 B.14 C ．0，14D ．－14，02．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1， x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1，－22D ．1，223．若直线l 过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝04．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}5．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >1B ．0<a <1C ．0<a ≤12D ．0<a <36．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，集合B ＝{x |x 2－ax ＋a －1<0}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若綈q 是綈p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a ≤2B ．0<a ≤1C ．2≤a ≤4D ．2<a <4二、填空题7．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．8．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a ，b 的取值范围是________． 9．若数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 10．非负整数a ，b ，满足|a －b |＋ab ＝1，记集合M ＝{(a ，b )}，则集合M 中元素的个数为________．三、解答题11．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n .12．已知函数f (x )和g (x )的图像关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(3)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．13．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上P 点的切线与椭圆C 1交于不同的两点M ，N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G ，H ，当直线GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．答 案1．选C 由A ∩B ＝A ∪B 知A ＝B ，又根据集合元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，a ≠b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，a ≠b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12，故a ＝0或14.2．选C ∵f (1)＝e 1－1＝1，∴f (a )＝1， 若a ∈(－1,0)，则sin(πa 2)＝1，∴a ＝－22. 若a∈[0，＋∞)，则e a －1＝1，∴a ＝1. 因此a ＝1或a ＝－22. 3．选D 若直线l 的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故直线l 被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为直线l 被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线l 的距离为52－42＝23321k k －＋，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y ＋15＝0.4．选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．5．选A 设函数y ＝a x (a >0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．由图象可知，当0<a <1时，两函数只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a >1.6．选C 由x 2－4x ＋3<0得，1<x <3，即A ＝{x |1<x <3}，由x 2－ax ＋a －1<0得，[x －(a －1)](x －1)<0，由綈q 是綈p 的必要不充分条件可知p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q ，但q 能推出p ，∴B A .若B ＝∅，则a ＝2，若B ≠∅，则1<a －1≤3，即2<a ≤4，综上可知，a 的取值范围是[2,4]．7．解：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32；当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或a ＝32.答案：12或328．解析：①当a >0时，需x －b 恒为非负数，即a >0，b ≤0. ②当a <0时，需x －b 恒为非正数．又∵x ∈[0，＋∞)， ∴不成立．综上所述，由①②得a >0且b ≤0. 答案：a >0且b ≤09．解析：∵a 1a 2a 3…a n ＝n 2＋3n ＋2，①∴当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)＋2＝n (n ＋1)．② ①÷②得，a n ＝n 2＋3n ＋2n (n ＋1)＝n ＋2n ＝1＋2n (n ≥2)，又a 1＝12＋3×1＋2＝6，不满足a n ＝1＋2n，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，1＋2n ， n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 ，n ＝1，1＋2n，n ≥210．解析：由非负整数a ，b 满足|a －b |＋ab ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ |a －b |＝0，ab ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝1，ab ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，即M ＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)}，所以集合M 中元素的个数为3.答案：311．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝－8，2a 1＋4d ＝－14，解得a 1＝－1，d ＝－3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1－3(n －1)＝－3n ＋2. (2)由数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列， 得a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1， ∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． ∴当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n 2；当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n 1－c ＝n (3n －1)2＋c n －1c －1.综上，数列{b n}的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2＋n2， c ＝1，n (3n －1)2＋c n－1c －1，c ≠1.12．解：(1)设函数y ＝f (x )的图象上任一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x 2＝0，y 0＋y 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝－y .又∵点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上， ∴－y ＝x 2－2x ，∴y ＝－x 2＋2x . 即g (x )＝－x 2＋2x .(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|，可得 2x 2－|x －1|≤0.当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解； 当x <1时，2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12.因此，原不等式的解集为[－1，12]．(3)h (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1.①当λ＝－1时，h (x )＝4x ＋1在[－1,1]上是增函数，故λ＝－1适合题意． ②当λ≠－1时，对称轴的方程为x ＝1－λ1＋λ.当λ<－1时，1－λ1＋λ≤－1，解得λ<－1；当λ>－1时，1－λ1＋λ≥1，解得－1<λ≤0.综上所述，λ≤0.故实数λ的取值范围为(－∞，0]．13．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ， 所以直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ， 代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0，又直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，故 Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0， ①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 中点的横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 中点的横坐标为x 3，则x 3＝1＋t2，由已知得x0＝x3，即t(t2－h)2(1＋t2)＝1＋t2，显然t≠0，h＝－(t＋1t＋1)，当t>0时，t＋1t≥2，当且仅当t＝1时取得等号，此时h≤－3，不符合①式，故舍去；当t<0时，(－t)＋(－1t)≥2，当且仅当t＝－1时取得等号，此时h≥1，满足①式．综上，h的最小值为1.。

学案39 空间的平行关系导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．自主梳理1．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线a和平面α的位置关系有三种：________、__________、__________.(2)两个平面的位置关系有两种：________和________．2．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个________________平行，那么这条直线与这个平面平行．(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．3．平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线________．自我检测1．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是________．2．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作______个．3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是________．4．(2010·济南模拟)已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．5．(2010·南京二模)在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________．探究点一线面平行的判定例1已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.变式迁移1 在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD.探究点二面面平行的判定例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP ∥平面A1BD.变式迁移2 已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心．(1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC；(2)求S△G1G2G3∶S△ABC.探究点三平行中的探索性问题例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC .(1)求证：PA ⊥BC ；(2)试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面PAD ，并说明理由．变式迁移3 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?1．直线与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理．2．平面与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)利用结论：a⊥α，a⊥β⇒α∥β. 3．线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题中真命题的个数为________．①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．2．给出下列命题，其中正确的命题是________(填序号)．①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．3．设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是________．①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.4．在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，正确的为________(填序号)． ①AC ⊥BD ；②AC ∥截面PQMN ；③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°.5．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．6．(2010·大连模拟)过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的有______条．7. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.8．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．二、解答题(共42分)9．(12分) 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点． 求证：MN ∥平面AA 1C 1C .10．(14分)(2010·湖南改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．11．(16分) (2010·济宁一模)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．(1)求证：AE⊥BE；(2)求三棱锥D—AEC的体积；(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.学案39 空间的平行关系答案自主梳理1．(1)平行 相交 在平面内 (2)平行 相交 2.(1)平面内的一条直线 3.(1)两条相交直线 (2)平行 自我检测1．1 2.0或1 3.平行 4.必要不充分 5．面ABC 和面ABD 课堂活动区例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．证明 方法一如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连结MN . ∵矩形ABCD 和矩形ABEF 全等且有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ， 又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB＝EP EA ，QN DC ＝BQ BD，∴PM AB＝QN DC.∴PM 綊QN ，∴四边形PQNM 为平行四边形， ∴PQ ∥MN又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE . 方法二如图所示，连结AQ ，并延长交BC 于K ，连结EK ，∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ. ①又∵AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK. ②由①②得AP PE ＝AQ QK，∴PQ ∥EK .又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE . 方法三如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连结QM . ∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ， ∴PM ∥平面BCE ，且AP PE ＝AM MB. ①又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ. ②由①②得AM MB ＝DQ QB，∴MQ ∥AD ，∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE .又∵PM ∩MQ ＝M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， 又PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE . 变式迁移1 证明 方法一取CD 中点E ，连结NE 、ME 、MN . ∵M 、N 分别是AB 、PC 的中点， ∴NE ∥PD ，ME ∥AD .又∵NE ，ME ⊄平面PAD ，PD ，AD ⊂平面PAD ， ∴NE ∥平面PAD ，ME ∥平面PAD . 又NE ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面PAD . 又MN ⊂平面MNE ， ∴MN ∥平面PAD .方法二 取PD 中点F ，连结AF 、NF 、NM . ∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点， ∴NF 綊12CD ，AM 綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF . 又AF ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .例2 解题导引 面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明 方法一如图所示，连结B 1D 1、B 1C . ∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点， ∴PN ∥B 1D 1.又∵B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.方法二如图所示，连结AC1、AC.∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AC⊥BD.又CC1⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1，又∵AC1⊂面ACC1，∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.变式迁移2(1)证明如图所示，连结PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连结DE、EF、FD，则有PG1∶PD＝2∶3，PG2∶PE＝2∶3，∴G1G2∥DE.又G 1G 2不在平面ABC 内，DE 在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC . 同理G 2G 3∥平面ABC . 又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .(2)解 由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝23DE .又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝13AC .同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝13BC .∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3， ∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．(1)证明 连结AC ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E . 在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ， ∴四边形ADCE 为正方形． ∴∠ACD ＝∠ACE ＝45°.∵AE ＝CD ＝12AB ，∴BE ＝AE ＝CE .∴∠BCE ＝45°.∴∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45°＋45°＝90°. ∴AC ⊥BC .又∵BC ⊥PC ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，AC ∩PC ＝C ， ∴BC ⊥平面PAC .∵PA ⊂平面PAC ，∴PA ⊥BC . (2)解 当M 为PB 的中点时，CM ∥平面PAD .方法一 取AP 的中点F ，连结CM ，FM ，DF . 则FM 綊12AB .∵CD ∥AB ，CD ＝12AB ，∴FM 綊CD .∴四边形CDFM 为平行四边形．∴CM ∥DF . ∵DF ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ， ∴CM ∥平面PAD . 方法二在四边形ABCD 中，设BC 的延长线与AD 的延长线交于点Q ， 连结PQ ，CM . ∵CD ∥AB ，∴QC QB＝CD AB ＝12.∴C 为BQ 的中点．∵M 为BP 的中点，∴CM ∥QP . ∵PQ ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD ， ∴CM ∥平面PAD . 方法三取AB 的中点E ， 连结EM ，CE ，CM .在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，CD ＝12AB ，E 为AB 的中点，∴AE ∥DC ，且AE ＝DC .∴四边形AECD 为平行四边形．∴CE ∥DA . ∵DA ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， ∴CE ∥平面PAD .同理，根据E ，M 分别为BA ，BP 的中点，得EM ∥平面PAD . ∵CE ⊂平面CEM ，EM ⊂平面CEM ，CE ∩EM ＝E ， ∴平面CEM ∥平面PAD .∵CM ⊂平面CEM ，∴CM ∥平面PAD .变式迁移3 解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO . ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO .又PO ∩PA ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 课后练习区1．1 2.②④ 3.0 4.①②④ 5．①③解析 ①∵面AB ∥面MNP ，∴AB ∥面MNP ， ②过N 作AB 的平行线交于底面正方形的中心O ，NO ⊄面MNP ，∴AB 与面MNP 不平行．③易知AB ∥MP ， ∴AB ∥面MNP ；④过点P 作PC ∥AB ，∵PC ⊄面MNP ， ∴AB 与面MNP 不平行． 6．6解析 如图，EF ∥E 1F 1∥AB ，EE 1∥FF 1∥BB 1，F 1E ∥A 1D ， E 1F ∥B 1D ，∴EF 、E 1F 1、EE 1、FF 1、F 1E 、E 1F 都平行于平面ABB 1A 1，共6条． 7．223a解析如图所示，连结AC ， 易知MN ∥平面ABCD ，又∵PQ 为平面ABCD 与平面MNQP 的交线， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a3，∴DP AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 8．24或245解析 分两种情况：图(1)中，由α∥β得AB ∥CD ，求得BD ＝24，图(2)中，同理得AB ∥CD ，求得BD ＝245.9．证明 设A 1C 1的中点为F ，连结NF ，FC ， ∵N 为A 1B 1的中点，∴NF ∥B 1C 1，且NF ＝12B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1綊BC ，(4分) 又M 是BC 的中点， ∴NF 綊MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形． ∴MN ∥CF ，(8分) 又CF ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，∴MN ∥平面AA 1C 1C .(12分)10．解 在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .证明如下：如图所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连结B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B .又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .这说明A 1，B ，G ，E 四点共面，所以BG ⊂平面A 1BE .(7分)因为四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1都是正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ，因此四边形B 1BGF 是平行四边形，所以B 1F ∥BG .而B 1F ⊄平面A 1BE ，BG ⊂平面A 1BE ，故B 1F ∥平面A 1BE .(14分)11．(1)证明 由AD ⊥平面ABE 及AD ∥BC ， 得BC ⊥平面ABE ，BC ⊥AE ，(2分) 而BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE ，(4分) 又BC ∩BF ＝B ，所以AE ⊥平面BCE ， 又BE ⊂平面BCE ，故AE ⊥BE .(6分)(2)解 在△ABE 中，过点E 作EH ⊥AB 于点H ， 则EH ⊥平面ACD .由已知及(1)得EH ＝12AB ＝2，S △ADC ＝22.故V D —AEC ＝V E —ADC ＝13×22×2＝43.(10分)(3)解 在△ABE 中，过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ，在△BEC 中过点G 作GN ∥BC 交EC 于点N ， 连结MN ，则由CN CE ＝BG BE ＝MB AB ＝13，得CN ＝13CE .由MG ∥AE ，AE ⊂平面ADE ，MG ⊄平面ADE ，则MG ∥平面ADE .(12分)再由GN ∥BC ，BC ∥AD ，AD ⊂平面ADE ，GN ⊄平面ADE ， 得GN ∥平面ADE ，所以平面MGN ∥平面ADE . 又MN ⊂平面MGN ，则MN ∥平面ADE .(15分) 故当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时，MN ∥平面ADE .(16分)。

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第三讲函数与方程及函数的实际应用【最新考纲透析】1．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。

2．函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

【核心要点突破】要点考向一：函数零点问题考情聚焦：1.函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根,而方程是高考重点考查内容,因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.2.常与函数的图象、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查。

考向链接：1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有（1）零点或零点存在区间的确定；（2）零点个数的确定；（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。

2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。

例1：（2010²福建高考文科²Ｔ7）函数223,0()2ln ,0⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x 的零点个数为（ ）A.2B.3C.4D.5 【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

【思路点拨】作出分段函数的图像，利用数形结合解题。

【规范解答】选C ，⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x exx x x f ，绘制出图像大致如右图，所以零点个数为2。

第3章 导数及其应用 学案13 导数的概念及运算导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y =C (C 为常数)，y =x ,y =x 2,y =1x的导数.熟记基本初等函数的导数公式（c ,x m (m 为有理数)，sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln x ,log ax 的导数），能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数.自主梳理1．函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为________________________． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义设f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝____________________无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________． (3)导数的物理意义：函数s ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0)，是物体的运动方程s ＝s (t )在t 0时刻的瞬时速度v ，即v ＝__________；v ＝v (t )在点t 0处的导数v ′(t 0)，是物体的运动方程v ＝v (t )在t 0时刻的瞬时加速度a ，即a ＝____________.3．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内任一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作y ′或f ′(x )．4．基本初等函数的导数公式表5.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝____________； (2)[f (x )g (x )]′＝________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f xg x ′＝________________________ [g (x )≠0]． 6．复合函数的求导法则：若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 自我检测1．(2011·中山期末统一考试)已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为________．2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝______________.3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.4．（2009·海南、宁夏）曲线y =x e x +2x +1在点（0，1）处的切线方程为 . 5．(2009·湖北)已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________.探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数的导数： (1)f (x )＝1x在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1x ＋2.变式迁移1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．探究点二 导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x ； (3)y ＝x e x ；(4)y ＝tan x .变式迁移2 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln xx 2＋1.探究点三 求复合函数的导数 例3 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5； (2)y ＝3－x ；(3)y ＝ln(2x ＋5)．变式迁移3 求下列函数的导数： (1)y ＝11－3x 4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(3)y ＝x 1＋x 2.探究点四 导数的几何意义 例4 已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移4 求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧． 2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解． (1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋6x ，当Δx →0时，f 1＋Δx －f 12Δx →常数A ，则A ＝________.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是__________．3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为______________． 4．(2010·辽宁改编)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是____________．5．(2009·福建)若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 6．(2009·安徽改编)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围为______________．7．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________(填上正确的序号)．8．设点P 是曲线y =32333x y x x =---上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是 .二、解答题(共42分)9．(12分)求下列函数在x ＝x 0处的导数． (1)f (x )＝e x 1－x ＋e x1＋x，x 0＝2；(2)f (x )＝x －x 3＋x 2ln xx 2，x 0＝1.10．(14分)求经过点P (2,0)的曲线y ＝1x的切线方程．11．(16分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．答案 自主梳理1.f x 2－f x 1x 2－x 1 2.(1)f x 0＋Δx －f x 0Δx(2)切线的斜率 (3)s ′(t 0) v ′(t 0) 4.0 αx α－1 cosx －sin x a x ln ae x1x ln a 1x5.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′xg x －f x g ′x [g x ]2自我检测1.134 2.(2x ＋x 2)e x 3.3 4. y =3x +1 5.1 课堂活动区例1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx中的分母Δx 这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而分子分母相约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．(3)用导数的定义求导的步骤为：①求函数的增量Δy ；②求平均变化率ΔyΔx；③化简取极限．解 (1)Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx ＝1－1＋Δx Δx1＋Δx 1＋1＋Δx＝－ΔxΔx 1＋Δx ＋1＋Δx ＝－11＋Δx ＋1＋Δx，从而，当Δx →0时，Δy Δx →－12，∴f ′(1)＝－12.(2)Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx＝x ＋2－x ＋2＋Δx Δx x ＋2x ＋2＋Δx ＝－1x ＋2x ＋2＋Δx ，从而，当Δx →0时，ΔyΔx →－1x ＋22，∴f ′(x )＝－1x ＋22.变式迁移1 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx 2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1，∴ΔyΔx＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.∴Δx →0时，ΔyΔx→x x 2＋1.∴y ′＝xx 2＋1.例2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝1122x x --， ∴y ′＝(12x-x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx 2.(3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x＝1cos 2x. 变式迁移2 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)(3e)x －2x ln 2. (3)y ′＝ln x ′x 2＋1－ln x x 2＋1′x 2＋12＝1xx 2＋1－ln x ·2x x 2＋12＝x 2＋1－2x 2ln x x x 2＋12.例3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为： 选定中间变量→分解复合关系→分层求导(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成． ∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝12u －12(－1)＝－12u －12＝－123－x .(3)设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5) 由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成． ∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝22x ＋5.变式迁移3 解 (1)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝121－3x 5. (2)设u ＝2x ＋π3，则y ＝sin u ，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos(2x ＋π3)．(3)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.例4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异；过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可． (3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标来解决． 解 (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝x 20. ∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(－1,1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1， 即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.变式迁移4 解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝－14. ∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x . 综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 课后练习区1．3 2.1秒或2秒末 3.4x －y －3＝0 4.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 5．a <0解析 由题意可知该函数的定义域为{x |x >0}，且f ′(x )＝2ax ＋1x.因为曲线存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x 存在零点．令2ax ＋1x＝0，即2ax 2＋1＝0，即x 2＝－12a ，显然只有a <0，方程2ax 2＋1＝0才有正实数根，故实数a 的取值范围是a <0.6．[2，2]解析 ∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4， ∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2. 7．④解析 由导函数y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的图象上任意一点切线的斜率为单调递减，故可排除①、③.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )在点x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线斜率相同，故可排除②.8. 12x +3y +8=0解析 设切线的斜率为k ,则k =f'(x )=x 2-2x -3=(x -1)2-4.当x =1时，k 有最小值-4.又f (1)=203, 所以切线方程为y +203=-4(x -1),即12x +3y +8=0. 9．解 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x 1－x ′＝2e x ′1－x －2e x 1－x ′1－x 2 ＝22－x e x1－x 2，∴f ′(2)＝0.…………………………………………………………………(6分) (2)∵f ′(x )＝(x －32)′－x ′＋(ln x )′ ＝－32x －52－1＋1x ，∴f ′(1)＝－32.………………………………………………………(12分) 10．解 设切点为M (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝1x 0. ∵切线过P (2,0)，∴切线斜率为y 0－0x 0－2＝1x 0x 0－2.…………………………………………………………(4分)又y ′＝(1x )′＝－1x 2，∴k ＝－1x 20.…………………………………………………………(6分) 由导数的几何意义知－1x 20＝1x 0x 0－2.解得x 0＝1.………………………………………………………………………………(10分)∴y 0＝1x 0＝1，∴M (1,1)．∴切线斜率为k ＝－1， 故切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.………………………………………(14分)11．(1)解 f ′(x )＝a －1x ＋b 2，…………………………………………………………(2分) 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －12＋b 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1.…………………………………………………………(6分)(2)证明 已知函数y 1＝x ，y 2＝1x都是奇函数， 所以函数g (x )＝x ＋1x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f (x )＝x －1＋1x －1＋1. 可知，函数g (x )的图象按向量a ＝(1,1)平移，即得到函数f (x )的图象，故函数f (x )的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形．………………………………(10分)(3)证明 在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1x 0－12知，过此点的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x 0－12(x －x 0)．…………………………………………………(12分)令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2. 所以，所围三角形的面积为定值2.……………………………………………………(16分)。

§1集合（1）【基础知识】集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集有理数集 实数集集合的表示方法1 2 3集合间的基本关系：1相等关系：_________A B B A ⊆⊆⇔且 2子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ⊇ 3 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的【基本训练】1．下列各种对象的全体，可以构成集合的是(1)某班身高超过1.8m 的女学生； （2）某班比较聪明的学生；（3）本书中的难题 （4）使232x x -+最小的x 的值2． 用适当的符号(,,,,)∈∉=⊂⊃填空：___;Q π {}3.14____Q ； *___;N N {}{}21,____21,x x k k Z x x k k z =+∈=-∈3．用描述法表示下列集合： 由直线1y x =+上所有点的坐标组成的集合；4．若A B B ⋂=，则____A B ；若A B B ⋃=则_____;_____A B A B A B ⋂⋃5．集合{}{}35,A x x B x x a =-<=<，且A B ⊆，则a 的围是【典型例题讲练】例1 设集合11,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则_______M N练习： 设集合11,,,3663k k P x x k Z Q x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则______P Q 例2已知集合{}2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。

（1） 若A 是空集，求a 的取值围；（2） 若A 是单元素集，求a 的取值围；（3） 若A 中至多只有一个元素，求a 的取值围； 练习：已知数集1,,a P b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，数集{}20,,Q a b b =+，且P Q =，求,a b 的值【【课堂小结】集合的概念及集合元素的三个特性【课堂检测】1． 设全集,U R =集合{}1M x x =>，{}21P x x =>，则______M P2． 集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇，则实数m 的值是3．已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个4．已知集合A ＝{－1，3，2m －1}，集合B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝ ．5．已知含有三个元素的集合2{,,1}{,,0},b a a a b a =+求20042005a b +的值.§2集合（2）【典型例题讲练】例3 已知集合{}23100A x x x =--≤(1) 若{},121B A B x m x m ⊆=+≤≤-，数m 的取值围。

2013高考数学教案和学案(有答案)---第2章--学案11D变式迁移2用二分法求函数f(x)＝3x－x－4f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为________．探究点三利用函数的零点确定参数例3已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x －3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．1．全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·天津改编)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点个数为________．2．若f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－x －1 (x ≥2或x ≤－1)1 (－1<x <2)，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为______________．3．(2010·苏北四市模拟)若方程ln x －6＋2x ＝0的解为x 0，则不等式x ≤x 0的最大整数解为________．4．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点，则a 的取值范围是____________．5．(2010·南通二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －1， (x >0)－x 2－2x ， (x ≤0)，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．6．(2010·泰州期末)已知函数f (x )＝log a (2＋ax )的图象和函数g (x )＝1log (2)aa x +(a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝b 对称(b 为常数)，则a ＋b ＝________.7．(2010·深圳一模)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________．8．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是下列四个函数中的________．(填上正确的序号)①f (x )＝4x －1；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x －1；④f (x )＝ln(x －0.5)．二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14. 证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.10．(14分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．11．(16分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2，3a >2c >2b ，求证： (1)a >0且－3<b a <－34； (2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<574.答案 自主梳理1．(1)0 (2)x 轴 零点 2.f (a )·f (b )<0 (a ，b )3．(x 1,0)，(x 2,0) 两个 一个 无自我检测1．－3和e 2 2.a >15或a <－1 3.①③ 4.3 5.a >1课堂活动区例1 解题导引 判断函数零点个数最常用的方法是令f (x )＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y ＝f (x )就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解 方法一 设f (x )＝ln x ＋2x －6，∵y ＝ln x 和y ＝2x －6均为增函数，∴f (x )也是增函数．又∵f (1)＝0＋2－6＝－4<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (x )在(1,3)上存在零点．又f (x )为增函数， ∴函数在(1,3)上存在唯一零点．故函数y ＝ln x ＋2x －6的零点个数为1.方法二在同一坐标系画出y＝ln x与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝ln x＋2x－6只有一个零点．变式迁移1(1)1(2)4解析(1)∵f′(x)＝3x2＋b>0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数，又f(－12)·f(12)<0，∴f(x)在[－1,1]内存在唯一零点，方程f(x)＝0有唯一根．(2)由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴下边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．例2解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程．解∵f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点．取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间[1,1.5]1.25f(1.25)<0[1.25,1.5]1.375f(1.375)>[1.25,1.375]1.312 5f(1.3125)<0[1.3125,1.375]1.343 75f(1.34375)>0[1.3125,1.343 75]由上表可知，区间[1.312 5,1.343 75]的左右端点精确到0.1所取近似值都是1.3，因此1.3就是所求函数的一个零点近似值．变式迁移2 1.56解析∵f(1.562 5)·f(1.556 2)<0，且区间[1.556 2,1.562 5]左右端点精确到0.01所取近似值都是1.56，因此1.56即为符合要求的零点．例3解题导引函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通过方程进行研究．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点．解 若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0.令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0，解得a ＝－3±72. ①当a ＝－3－72时，f (x )＝0的重根x ＝3－72∈[－1,1]， 当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋72∉[－1,1]，∴y ＝f (x )恰有一个零点在[－1,1]上； ②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0，即1<a <5时，y ＝f (x )在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y ＝f (x )在[－1,1]上有两个零点时，则 ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a >0Δ＝8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1f (1)≥0f (－1)≥0，或⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a <0Δ＝8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1f (1)≤0f (－1)≤0，解得a ≥5或a <－3－72. 综上所述实数a 的取值范围是a >1或a ≤－3－72. 变式迁移3 解 方法一 (换元)设2x ＝t ，则函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1化为g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))．函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，①有正实数根．(1)当方程①有两个正实根时，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0t 1＋t 2＝－a >0t 1·t 2＝a ＋1>0，解得：－1<a ≤2－22；(2)当方程①有一正根一负根时，只需t 1·t 2＝a ＋1<0，即a <－1；(3)当方程①有一根为0时，a ＝－1，此时方程①的另一根为1.综上可知a ≤2－2 2.方法二 令g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))．(1)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0－a 2>0g (0)＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；(2)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应满足g (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；(3)当函数g (t )的一个零点是0时，g (0)＝a ＋1＝0，a ＝－1，此时可以求得函数g (t )的另一个零点是1.综上(1)(2)(3)知a ≤2－2 2.方法三 f (x )存在零点⇔方程a ＝－4x ＋12x ＋1有实根．因为－4x ＋12x ＋1＝－(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＋22x ＋1＝－[(2x ＋1)＋22x ＋1－2]≤2－2 2. 当且仅当2x ＋1＝2，即x ＝log 2(2－1)时，上式取“＝”．所以a ≤2－2 2.课后练习区1．1解析 因为f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0， 所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点．又f (x )在R 上单调递增．所以f (x )只有1个零点．2．1＋2或1解析 求g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎨⎧ x ≥2或x ≤－1x 2－x －1＝x 或⎩⎨⎧－1<x <2x ＝1. 解得x ＝1＋2或x ＝1.3．2解析 令f (x )＝ln x －6＋2x ，则f (1)＝ln 1－6＋2＝－4<0，f (2)＝ln 2－6＋4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，∴2<x 0<3.∴不等式x ≤x 0的最大整数解为2.4．(1，＋∞)解析 当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1，不合题意；当a ≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a >1；若Δ＝0，即a＝－18，函数的零点是x ＝－2，不合题意，所以a ∈(1，＋∞)．5．(0,1)解析 在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1， (x >0)－x 2－2x ， (x ≤0)的图象(如图)，发现0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有3个交点，即g (x )＝f (x )－m 有3个零点． 6．2 解析 依题意有f (x )＋g (x )＝log a (2＋ax )＋1log a (a ＋2x )＝2b ，所以有⎩⎨⎧ f (0)＋g (0)＝2b ，f (1)＋g (1)＝2b ， 即有11log 2log 2log (2)log (2)2a a a a a b a a b+=⎧⎪⎨+++=⎪⎩⇒⎩⎨⎧a ＝2，b ＝0， 所以a ＋b ＝2.7．x 1<x 2<x 3解析 令x ＋2x ＝0，即2x ＝－x ，设y ＝2x ，y ＝－x ；令x ＋ln x ＝0，即ln x ＝－x ，设y ＝ln x ，y ＝－x .在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x，如图：x1<0<x2<1，令x－x－1＝0，则(x)2－x－1＝0，∴x＝1＋52，即x3＝3＋52>1，所以x1<x2<x3.8．①解析f(x)＝4x－1的零点为x＝0.25，f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1，f(x)＝e x－1的零点为x ＝0，f(x)＝ln(x－0.5)的零点为x＝1.5，现在我们来估算g(x)＝4x＋2x－2的零点，因为g(0)＝－1，g(0.25)≈－0.086，(g(0.5)＝1，所以g(x)的零点x∈(0,0.5)，又函数f(x)的零点与g(x)＝4x ＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f(x)＝4x－1的零点适合．9．证明令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分)∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，∴g(0)·g(12)<0.……………………………………………………………………………(8分)又函数g(x)在(0，12)上连续，……………………………………………………………(10分)所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分)10．解∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．………………………………………………………………(3分)f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.………………………………………………(5分)检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0.得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.…………………………………………(8分)②当f (3)＝0时，a ＝－15， 此时f (x )＝x 2－135x －65， 令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0， 解之得x ＝－25或x ＝3. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.………………………………………(12分) 综上所述，a <－15或a >1.………………………………………………………………(14分)11．证明 (1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2， ∴3a ＋2b ＋2c ＝0.又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0，∴a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ，∴3a >－3a －2b >2b .∵a >0，∴－3<b a <－34.……………………………………………………………………(4分)(2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c . ①当c >0时，∵a >0，∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a 2<0， ∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点．……………………………………………(8分)②当c ≤0时，∵a >0，∴f (1)＝－a 2<0且f (2)＝a －c >0， ∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点． 综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．……………………………………………(12分)(3)∵x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－b a . ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(－b a )2－4(－32－b a )＝(b a ＋2)2＋2.……………………………………………(15分)∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574.……………………………………………………(16分)。

§83 数系的扩张与复数的四则运算⑴【考点及要求】了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法及复数相等的充要条件。

理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算。

【基础知识】1.数的扩展：数系扩展的脉络是： → → ，用集合符号表示为 ⊆ ⊆ ，实际上前者是后者的真子集.2.复数的概念及分类：⑴概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做 ，其中a b 与分别为它的 和 .⑵分类：①若(,)a bi a b R +∈为实数，则 ，②若(,)a bi a b R +∈为虚数，则 ，③若(,)a bi a b R +∈为纯虚数，则 ；⑶复数相等：若复数(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈⇔ ； ⑷共轭复数：(,,,)a bi c di a b c d R ++∈⇔与共轭 ；3.复数的加、减、乘、除去处法则：设12|||2(z z z a a ---=12｜z ｜|为正常数,2a<|z -z|） 则⑴加法： 12()()z z a bi c di +=+++＝ ； ⑵减法： 12()()z z a bi c di -=+-+＝ ； ⑶乘法： 12()()z z a bi c di ∙=+∙+＝ ；⑷乘方： mnz z ∙= ；()m n z = ；12()nz z ∙= ；⑸除法：12z a bi z c di +==+12z a bi z c di+==+ ＝ ；4.复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ， 叫做实 轴， 叫做虚轴；实轴上的点表示 ，除原点外，虚轴上的点都表示 .5.复数的模：向量OZ的模叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 （或 ），记作 （或 ），即||||z a bi =+＝ ；复数模的性质：⑴121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；⑵2222||||||||z z z z z z ====∙； 6. 常见的结论： ⑴4411nn i +=4n+24n+34n+4n n+1n+2n+3的运算律：i，i ＝i,i =-1,i =-i,i =1,i +i +i +i =0；⑵2(1)i ±= ；11i i +=- ；11ii-=+ ；⑶1,22ωω-±3设＝则＝ ；2ω＝ ；21ωω++＝ ； 【基本训练】1．若i b i i a -=⋅-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则22a b +等于 ． 2．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于 ． 3．若cos sin (z i i θθ=+是虚数单位），则使21z =-的θ值可能是 ． 4．22)1(1)1(1i ii i -+++-等于______________. 5．已知复数032z i =+，复数z 满足025z i z z -∙=，则复数z = _______________. 6．i 是虚数单位，23482348i i i i i +++++ = ____________. 【典型例题】例1．已知：复数z =)()65()67(22R a i a a a a ∈--++-，试求实数a 分别取什么值时，复数z 分别为：⑴实数；⑵虚数；⑶纯虚数；⑷复数z 在复平面上对应的点在x 轴上方；练习：复数z 的实部和虚部都为整数，且满足z + z 10是实数，1 < z + z10≤6，求复数z.例2.计算下列各题： ⑴ 54)31()22(i i -+ ⑵2007)12(321,32i ii -+++- ⑶)125)(1()32)(32(i i i i ---+ ⑷iii i 2332)11(6-++-+【课堂检测】1．下列命题中：⑴两个复数一定不能比较大小；⑵z m ni =+，当且仅当0,0m n =≠时，z 为虚数；⑶如果22120z z +=，则120z z ==；⑷如果123,,z z z C ∈，则221223()()0z z z z -+-≥，其中正确的的命题的个数是 ．2．3321ii ++＝_____； 2005)11(i i -+ = ______；复数4)11(i +＝________； 复数z =i-11的共轭复数是______；3．已知复数z =,2321i +-则2320081z z z z +++++= ． 4．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = ______________.5．设)()11()11()(Z n ii i i n f nn ∈--+-+=，则集合中的元素个数为 ．6．已知复数1z i =+，如果i z z baz z -=+-++1122，求实数a 、b 的值.§84 数系的扩张与复数的四则运算⑵【基础训练】1．若复数2(1)(1)z m m m i =++-是纯虚数，则实数m 的值为 ． 2．复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点在 ． 3．若u =,2321i +-v =,2321i --给出下列命题⑴1uv =;⑵33v u +2=;⑶111=+vu ;⑷2u v =其中正确的命题是 ． 4．如果1z 、2z C ∈且满足1212||||||1z z z z ==-=，则12||z z += ． 【典型例题】例3．设z 为虚数，zz 1+=ω是实数，且21<<-ω， ⑴求||z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设zz u +-=11，求证：u 为纯虚数；⑶求2u -ω的最小值．练习：设x 、y 是实数，且ii y i x 315211-=---，求x y +的值.例4. 若关于x 的方程22(3)0x t t tx i +++=有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根.练习：关于x 的方程2(2)10,()x i x mi m R -+++=∈有一实根为n ，设复数(2)(12)z m i ni =+-,求m 、n 的值及复数z 的值．例5．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=.（1）若方程有实数根，求锐角θ和方程的实根； （2）证明：对任意()2k k Z πθπ≠+∈，方程无纯虚数根.练习：已知关于t 的方程2(2)2()0,(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）若方程有实根，求此实根的取值范围.【课堂小结】【课堂检测】 1．复数ii+1在复平面上对应的点位于第_______象限. 2．复数(m 2 – 3m – 4) + (m 2 – 5m – 6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值是___________. 3．若复数z 满足|z| - z =i2110-，则z = _____________. 4．若复数z 满足方程220z +=，则3z = _______；5．若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一根为1(i i +为虚数单位），则q = ．6．设286z i =+，求310016z z z--的值.【课堂作业】1．已知复数z 1、z 2满足|z 1| = |z 2| = 1，且z 1 + z 2 = i ，求z 1、z 2 .2．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值.3．已知复数z 、w 满足w = iz+2，(1+3i)z 为纯虚数，|w| = 52，求w.4．已知()23,()63f z z z i f z i i =+-+=-. 求()f z -.5．已知关于x 的方程x 2 – (6 +i)x + 9 + ai = 0（a ∈R ）有实数根b. （1）求实数a 、b 的值；（2）若复数z 满足|z - a – bi| - 2|z| = 0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.§85 复数的几何意义⑴【考点及要求】了解复数的代数表示法及几何意义；理解复数及复数加、减运算的几何意义，并能根据几何意义解决简单问题。

2013高考数学教案和学案(有答案)--第1章学案1第1章集合与常用逻辑用语学案1 集合的概念与运算导学目标： 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．自主梳理12?表示． 3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法． 4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A?B(或B?A)．若A?B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x?A，则 A B(或B A)．若A?B且B?A，则A＝B. 5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．设全集为S，则?SAA∩?＝?，A∩B?AA∩B＝A?A?B.A∪?＝A，A∪B?A，A∪B?B， A∪B＝B.A∩?UA＝?；A∪?UA＝U. 自我检测 1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；③M＝{4,5}，N＝{5,4}；④M＝{1,2}，N＝{(1,2)}．答案③ 2．(2009·辽宁改编)已知集合M＝{x|－3&lt;x≤5}，N＝{x|－5&lt;x&lt;5}，则M∩N＝________. 答案{x|－3&lt;x&lt;5}解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3&lt;x&lt;5}． 3．(2010·湖南)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________. 答案 3解析∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.224．(2010·常州五校联考)集合M＝{y|y＝x－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝－x，x∈R}，则M∩N＝________. 答案 [－1,3]解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．又∵y＝9－x2，∴9－x2≥0.∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．5．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，则a＝________. 答案－1或2解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.探究点一集合的基本概念b例1 若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，b}，求b－a的值．a解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．b解由{1，a＋b，a}＝{0，b}可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应法则：aa＋b＝0，a＋b＝0，??b?a＝a，??b＝1由①得???b＝a，①或?b??a1.②??a＝－1，?b＝1，? 符合题意；②无解．∴b－a＝2.变式迁移1 设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A ＝B，求实数a，b. 解由元素的互异性知，a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，22???a＝1，?a＝b，得?或?解得a＝－1，b＝0. ?ab＝b，?ab ＝1，??探究点二集合间的关系例2 设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则M与N之间有什么关系？解题导引一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}， N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.2变式迁移2 设集合P＝{m|－1&lt;m&lt;0}，Q＝{m|mx＋4mx －4&lt;0对任意实数x恒成立，且m∈R}，则集合P与Q之间的关系为________．答案 P Q解析 P＝{m|－1&lt;m&lt;0}，??m&lt;0，Q：?或m＝0.∴－1&lt;m≤0. 2?Δ＝16m＋16m&lt;0，?∴Q＝{m|－1&lt;m≤0}．∴P Q.探究点三集合的运算例3 设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a&lt;0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(?RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．解题导引解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．1解 (1)A＝{x≤x≤3}．2当a＝－4时，B＝{x|－2&lt;x&lt;2}，1∴A∩B＝{x≤x&lt;2}，2A∪B＝{x|－2&lt;x≤3}．1(2)?RA＝{x|x&lt;或x&gt;3}．2当(?RA)∩B＝B时，B??RA，即A∩B＝?.①当B＝?，即a≥0时，满足B??RA；②当B≠?，即a&lt;0时，B＝{x|－a&lt;x&lt;a}，11要使B??RA－a≤a&lt;0.241综上可得，a的取值范围为a≥.4变式迁移 3 已知A＝{x||x－a|&lt;4}，B＝{x||x－2|&gt;3}． (1)若a＝1，求A∩B；(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝1时，A＝{x|－3&lt;x&lt;5}， B＝{x|x&lt;－1或x&gt;5}．∴A∩B＝{x|－3&lt;x&lt;－1}．(2)∵A＝{x|a－4&lt;x&lt;a＋4}，B＝{x|x&lt;－1或x&gt;5}，且A∪B＝R， ??a－4&lt;－1∴??1&lt;a&lt;3. ?a＋4&gt;5?∴实数a的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用2例 (14分)(1)若集合P＝{x|x＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值组成的集合；(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝?，满足S?P；[2分]1当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x,[4分]a11为满足S?P3＝2，aa11即a＝a.[6分]3211故所求集合为{0，}．[7分]32(2)当m＋1&gt;2m－1，即m&lt;2时，B＝?，满足B?A；[9分] 若B≠?，且满足B?A，如图所示，∴2≤m≤3.[13分]?m＋1≤2m－1，?则?m＋1≥－2，??2m－1≤5，?m≥2，?即?m≥－3，??m≤3，故m&lt;2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．[14分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a＝0时，S＝?这种情况．(2)想当然认为m＋1&lt;2m－1忽略“&gt;”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．3．注意?的特殊性．在利用A?B解题时，应对A是否为?进行讨论． 4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A∩B≠?时，可以利用补集思想，先研究A∩B＝?.的情况,然后取补集.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·北京改编)集合P＝{x∈Z|0≤x&lt;3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝________. 答案 {0,1,2}解析由题意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}． 2．(2011·南京模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q＝________________. 答案{1,2,3,4,6,7,8,11}解析 P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．3．满足{1}A?{1,2,3}的集合A的个数是________．答案 3解析 A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}． 4．(2010·天津改编)设集合A＝{x||x－a|&lt;1，x∈R}，B＝{x|1&lt;x&lt;5，x∈R}．若A∩B＝?，则实数a 的取值范围是______________．答案 a≤0或a≥6解析由|x－a|&lt;1得－1&lt;x－a&lt;1，即a－1&lt;x&lt;a＋1.由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6. 5．设全集U是实数集R，2M＝{x|x2&gt;4}，N＝{x|≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．x－1答案 {x|1&lt;x≤2}解析题图中阴影部分可表示为(?UM)∩N，集合M为{x|x&gt;2或x&lt;－2}，集合N为 {x|1&lt;x≤3}，由集合的运算，知(?UM)∩N＝{x|1&lt;x≤2}． 6．(2011·泰州模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数为________．答案 4解析由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．*7．(2009·天津)设全集U＝A∪B＝{x∈N|lg x&lt;1}，若A ∩(?UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝______________. 答案 {2,4,6,8}*解析 A∪B＝{x∈N|lg x&lt;1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(?UB)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．28．(2010·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝____. 答案 12解析∵3∈B，由于a＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1. 二、解答题(共42分)229．(14分)集合A＝{x|x＋5x－6≤0}，B＝{x|x＋3x&gt;0}，求A∪B和A∩B. 解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0} ＝{x|－6≤x ≤1}．(3分)B＝{x|x2＋3x&gt;0}＝{x|x&lt;－3或x&gt;0}．(6分)如图所示，∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x&lt;－3或x&gt;0}＝R.(10分) A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x&lt;－3或x&gt;0} ＝{x|－6≤x&lt;－3，或0&lt;x≤1}．(14分)110．(14分)(2011·南通模拟)已知集合A＝{x|0&lt;ax＋1≤5}，集合B＝{x|&lt;x≤2}．若2B?A，求实数a的取值范围．解当a＝0时，显然B?A；(2分)当a&lt;0时，若B?A，如图，41－，a2则(6分)1－，a???a≥－8，??1∴?∴－a&lt;0；(8分) 12?a&gt;－2.?当a&gt;0时，如图，若B?A，1－，?－1a2则?4?a2， (11分)??a≤2，∴?∴0&lt;a≤2.(13分) ?a≤2.?1综上知，当B?A时，－a≤2.(14分) 2x－5211．(14分)已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x－2x－m&lt;0}， x＋1(1)当m＝3时，求A∩(?RB)；(2)若A∩B＝{x|－1&lt;x&lt;4}，求实数m的值．x－5解由≤0， x＋1所以－1&lt;x≤5，所以A＝{x|－1&lt;x≤5}．(3分)(1)当m＝3时，B＝{x|－1&lt;x&lt;3}，则?RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)所以A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)(2)因为A＝{x|－1&lt;x≤5}，A∩B＝{x|－1&lt;x&lt;4}，(12分)所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2&lt;x&lt;4}，符合题意，故实数m的值为8.(14分)荐小学数学教案[1000字] 荐初二数学教案(800字) 荐生活中的数学教案[1000字] 荐人教版初一上数学教案(全册) [1500字]荐工程数学教案 (500字)。

艺术生高考数学知识点数学在高考中是所有考生的必考科目之一，包括艺术生在内。

虽然艺术生的重点是文化课考试，但数学同样是不能忽视的一门学科。

本文将对艺术生高考数学的重点知识点进行梳理和总结，以帮助艺术生更好地备考数学科目。

一、函数与方程1.1 函数及其表示艺术生在数学中需要掌握函数的概念及其表示方法。

函数由自变量和因变量组成，通常用 f(x) 或 y 表示。

1.2 一次函数与二次函数一次函数的特征是其图像为一条直线，可以通过截距和斜率来确定。

二次函数的特征是其图像为一个抛物线，可以通过顶点、焦点等关键点来确定。

1.3 方程与不等式艺术生需熟练掌握方程与不等式的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式等。

二、数列与数列求和2.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的一组数，包括等差数列和等比数列等。

2.2 等差数列与等比数列艺术生需要了解等差数列和等比数列的特点及其求解方法。

2.3 数列的通项公式与求和公式数列的通项公式是指通过一个通项公式可以直接求得数列中任意一项的公式。

数列的求和公式是指通过一个公式可以直接求得数列的前n项和。

三、平面几何与空间几何3.1 平面几何基础知识艺术生需要熟悉平面几何中的基本概念、基本性质和基本定理，包括线段、角、三角形、四边形等的性质和判定方法。

3.2 圆的性质与相关定理圆是平面几何的重要内容之一，艺术生需要掌握圆的性质以及与之相关的定理，如切线定理、弦切角定理等。

3.3 空间几何基础知识艺术生需要了解立体几何中的基本概念、基本性质和基本定理，包括直线、平面、三棱锥、四棱锥等的性质和判定方法。

四、概率与统计4.1 概率的基本概念艺术生需要掌握概率的基本概念，包括样本空间、事件等。

4.2 概率的计算艺术生需要熟悉概率的计算方法，包括事件的概率计算、事件的互斥与对立等。

4.3 统计的基本概念与分析方法艺术生需要了解统计的基本概念和分析方法，包括频数、频率、频率分布表、统计图等。

高三艺术生数学知识点在高三阶段，作为艺术生的学生们需要加强对数学知识点的掌握，以应对高考数学的考试要求。

以下是一些高三艺术生需要重点复习的数学知识点。

1. 高中数学基础知识回顾在开始复习高三数学知识点之前，艺术生需要回顾和巩固高中数学的基础知识，包括数列、函数、图形的性质、三角函数、概率等内容。

2. 复数与向量复数是艺术生需要重点关注的数学知识点之一，包括复数的定义、运算法则、共轭复数以及与实数的关系。

此外，向量也是需要掌握的重要内容，涉及向量的表示方法、运算法则、数量积和向量积等。

3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的重点内容，艺术生需要重点关注函数的性质、图像与变化规律、三角函数的图像与性质。

同时，导数的概念、性质、常用函数的导数以及导数的应用也是需要掌握的内容。

4. 三角函数与解三角形艺术生需要熟悉三角函数的定义、性质、常用角的三角函数值以及三角函数的图像与变化规律。

此外，解三角形的方法、定理等也需要重点复习。

5. 数列与数学归纳法数列是高考数学中的常考点，艺术生需要熟悉数列的定义、性质、通项公式、数列的极限以及等差数列、等比数列等特殊数列的特点。

同时，数学归纳法作为证明数列等式的重要方法也需要掌握。

6. 概率与统计概率与统计是高考数学考试中的一大模块，艺术生需要掌握概率的基本概念、性质，包括事件的计算、概率的计算、条件概率以及排列组合等内容。

同时，统计学的基本概念、统计量的计算、直方图、折线图、频率分布表等图表的解读也需要重点复习。

7. 解析几何解析几何是高考数学中的难点之一，艺术生需要熟悉平面直角坐标系、曲线的方程与性质、直线与圆的相交情况、双曲线与抛物线等内容。

8. 数学证明数学证明是高考数学考试中的重要环节，艺术生需要掌握证明的基本方法与思路，包括直接证明、间接证明、递推证明、反证法等常用证明方法。

总之，高三艺术生在备战高考数学中，需要全面复习数学的基础知识，并重点关注复数与向量、函数与导数、三角函数与解三角形、数列与数学归纳法、概率与统计、解析几何以及数学证明等知识点。

复习课(三) 概率古典概型是学习及高考考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度属容易或中等，处理的关键在于用枚举法找出试验的所有可能的基本事件及所求事件所包含的基本事件．还要注意理解事件间关系，准确判断两事件是否互斥，是否对立，合理利用概率加法公式及对立事件概率公式．[考点精要]1．事件(1)基本事件在一次试验中可能出现的每一个可能结果．(2)等可能事件假设在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，那么称这些基本事件为等可能基本事件．(3)互斥事件①定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，A n彼此互斥．②规定：设A，B为互斥事件，假设事件A，B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.(4)对立事件两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记作A.2．概率的计算公式(1)古典概型①特点：有限性，等可能性．②计算公式：P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.(2)互斥事件的概率加法公式①假设事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②假设事件A1，A2，…，A n两两互斥．那么古典概型P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． (3)对立事件计算公式：P (A )＝1－P (A )．[典例](1)5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．(2)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，那么2本数学书相邻的概率为________．(3)随机掷两枚骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1 ，点数之和大于5的概率记为p 2 ，点数之和为偶数的概率记为p 3 ，那么p 1，p 2，p 3从小到大依次为________．(4)(某某高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．①应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数为________．②将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．那么编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到概率为________．[解](1)记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，那么任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个基本事件．记“恰有1件次品〞为事件A ，那么A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个基本事件．故其概率为P (A )＝610＝0.6.(2)设2本数学书分别为A ，B ，语文书为C ，那么所有的排放顺序有ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC ，BAC ，CAB ，CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.(3)总的基本事件个数为36，向上的点数之和不超过5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个，那么向上的点数之和不超过5的概率p 1＝1036＝518；向上的点数之和大于5的概率p 2＝1－518＝1318；向上的点数之和为偶数与向上的点数之和为奇数的个数相等，故向上的点数之和为偶数的概率p 3＝12.即p 1<p 3<p 2.(4)①应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.②从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.[答案](1)0.6 (2)23 (3)p 1<p 3<p 2 (4)①3,1,2 ②35[类题通法]解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算[题组训练]1．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，那么这2只球颜色不同的概率为________．解析：利用列举法可求出基本事件总数为6种，其中符合要求的有5种，故P ＝56.答案：562．假设某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，那么甲或乙被录用的概率为________．解析：所有基本事件为(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中符合“甲与乙均未被录用〞的结果只有(丙，丁，戊)．故所求概率P ＝1－110＝910.答案：9103．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.答案：13几何概型是各类考查的重点，考查形式以填空题为主，试题难度比古典概型稍大．[考点精要]1．几何概型的特征(1)无限性：即试验结果有无限多个． (2)等可能性：即每个结果出现是等可能的． 2．几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)[典例](1)在区间[0,5]上随机选择一个数p ，那么方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．(3)事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB 〞发生的概几何概型率为12，那么AD AB ＝________.[解析](1)设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根分别为x 1，x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5＝23.(2)依题意，得S 阴影S 正方形＝1801 000，所以S 阴影1×1＝1801 000，解得S 阴影＝0.18.(3)由，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得 AB 2＝⎝⎛⎭⎫34AB 2＋AD 2，解得⎝⎛⎭⎫AD AB 2＝716， 即AD AB ＝74. [答案](1)23 (2)0.18 (3)74[类题通法](1)几何概型概率的大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只和该区域的大小有关． (2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．[题组训练]1．(某某高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，那么事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1〞发生的概率为________．解析：不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.42.(某某高考)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 假设在矩形ABCD 内随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率等于________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32， 故P ＝326＝14.答案：143．在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，那么三棱锥S -APC 的体积大于V3的概率是________． 解析：由题意可知V S -APCV S -ABC ＞13，三棱锥S -ABC 的高与三棱锥S -APC 的高相同．作PM ⊥AC 交于点M ，BN ⊥AC 交于点N ， 那么PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高， 所以V S -APCV S -ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN ＞13，又PM BN ＝APAB ， 所以AP AB ＞13，故所求的概率为23(即为长度之比)．3概率和统计综合应用[考点精要]对于给定的随机事件A.由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此各类考试常常结合统计的知识考查概率．考查形式一般以解答题为主，难度中等．解决此类考题要注意：①正确利用数形结合的思想．②充分利用概率是频率的稳定值，用频率估计概率．③准确地处理所给数据．[典例]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 频数281410 6(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．[解](1)如下图．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意〞；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意〞．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．[类题通法]解决概率和统计综合题，首先要明确频率、概率、频率分布表、频率分布直方图、概率的计算方法等基本知识，要充分利用频率估计概率及数形结合等基本思想，正确处理各种数据．[题组训练]1.随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图，其中甲班有一个数据被污损.(1)假设甲班同学身高的平均数为170 cm ，求污损处的数据；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173 cm 的同学，求身高176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)设被污损的数字为a ，由题意知，甲班同学身高的平均数为x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋170＋a ＋18210＝170，解得 a ＝9.(2)设“身高176 cm 的同学被抽中〞的事件为A ，从乙班10名同学中抽取2名身高不低于173 cm 的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件，所以P (A )＝410＝25.2．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如下图)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解：(1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110.[对应配套卷P105]1．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，那么其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：基本事件的总数为6，满足条件的有{1,2}，{2,4},2个，故P ＝26＝13.答案：132．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．假设从中随机摸出两只球，那么它们颜色不同的概率是________．解析：基本事件总数有6个，满足条件的有3个，故P ＝12.答案：123．如下图，阴影部分是一个等腰三角形ABC ，其中一边过圆心O ，现在向圆面上随机撒一粒豆子，那么这粒豆子落到阴影部分的概率是________．解析：向圆面上随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设圆的半径为r ，全部结果构成的区域面积是圆面积πr 2，阴影部分的面积是等腰直角三角形ABC 的面积r 2，那么这粒豆子落到阴影部分的概率是r 2πr 2＝1π. 答案：1π4．在区间[0,3]上任取一点，那么此点落在区间[2,3]上的概率是________． 解析：设这个事件为A ，所考查的区域D 为一线段，S D ＝3，又S A ＝1，∴P (A )＝13.答案：135．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，那么m ，n 都取到奇数的概率为________．解析：基本事件总数为N ＝7×9＝63，其中m ，n 都为奇数的事件个数为M ＝4×5＝20，所以所求概率P ＝M N ＝2063.答案：20636．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，假设此点到圆心的距离大于12，那么周末去看电影；假设此点到圆心的距离小于14，那么去打篮球；否那么，在家看书．那么小波周末不在家看书的概率为________．解析：去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116， 故不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.答案：13167．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析：从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5〞的结果有(1,4)，(2,3)，故所求概率为210＝15. 答案：158．假设a ，b ∈{－1,0,1,2}，那么使关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的概率为________．解析：要使方程有实数解，那么a ＝0或ab ≤1，所有可能的结果为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共16个，其中符合要求的有13个， 故所求概率P ＝1316.答案：13169．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，假设选到男教师的概率为920，那么参加联欢会的教师共有________人．解析：设男教师为x 人，那么女教师为(x ＋12)人． 依题意有： x2x ＋12＝920.∴x ＝54. ∴共有教师2×54＋12＝120(人)． 答案：12010．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12〞的概率，p 2为事件“xy ≤12〞的概率，那么p 1，p 2，12按从小到大排列为________．解析：如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12〞对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18＜12；事件“xy ≤12〞对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2＞12，那么p 1＜12＜p 2.答案：p 1＜12＜p 211．(某某高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中〞所包含的基本事件有： {A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个．因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.12．编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率． 解：(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 10}，{A 3，A 11}，{A 3，A 13}，{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 4，A 13}，{A 5，A 10}，{A 5，A 11}，{A 5，A 13}，{A 10，A 11}，{A 10，A 13}，{A 11，A 13}共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50〞(记为事件B )的所有可能结果有{A 4，A 5}，{A 4，A 10}，{A 4，A 11}，{A 5，A 10}，{A 10，A 11}共5种．所以P (B )＝515＝13.13．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s ；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解：(1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90. 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的选法有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，10514．设f (x )和 g (x )都是定义在同一区间上的两个函数，假设对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，那么称f (x )和g (x )是“友好函数〞，设f (x )＝ax ，g (x )＝bx.(1)假设a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数〞的概率； (2)假设a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数〞的概率． 解：(1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数〞， 那么|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a ＞0，b ＞0时，ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎫b a ，＋∞上递增；x －1x 和4x －1x 在(0，＋∞)上递增，所以对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ， 故事件A 包含的基本事件有4种， 所以P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数〞，因为a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，所以点(a ，b )所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8，所以事件B 表示的点的区域是如下图的阴影部分．所以P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫2＋114×33×3＝1924，24(时间120分钟 总分值160分)一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上) 1．从一箱产品中随机抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1.那么事件“抽到的不是一等品〞的概率为________．解析：设事件“抽到的不是一等品〞为D ，那么A 与D 对立， ∴P (D )＝1－P (A )＝0.35. 答案：0.352．甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲紧接着排在乙前面值班的概率是________．解析：甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.答案：133．根据以下算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为________． Read xIf x ≤50 Then y ←0.5 x Else y ←25＋0.6×(x －50)End If Print y解析：由题意知，该算法语句的功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6(x －50)，x ＞50的值，所以当x ＝60时，输出y 的值为25＋0.6×(60－50)＝31.答案：314．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，那么所取2个数的乘积为6的概率是________．解析：取两个数的所有情况有：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况．乘积为6的有：(1,6)，(2,3)共2种情况．所求事件概率为26＝13.答案：135．执行如下图的程序框图，那么输出S 的值为________．解析：由程序框图与循环结束的条件“k ＞4〞可知，最后输出的S ＝log 255＝12.答案：126．(某某高考)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，那么应抽取的男生人数为________．解析：设男生抽取x 人，那么有45900＝x 900－400，解得x ＝25.答案：257．(某某高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如下图．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．解析：(1)由(1.5＋2.5＋a ＋2.0＋0.8＋0.2)×0.1＝1， 解得a ＝3.(2)区间[0.3,0.5]内频率为0.1×(1.5＋2.5)＝0.4， 故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 0008．(某某高考)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10 ，其均值和方差分别为x 和s 2，假设从下月起每位员工的月工资增加100元，那么这10位员工下月工资的均值和方差分别为________．解析：对平均数和方差的意义深入理解可巧解．因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变．答案：100＋x s 29．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4}，假设|a －b |≤1，那么称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀〞的概率为________．解析：甲、乙所猜数字的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个，其中满足|a －b |≤1的基本事件有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)共10个，故所求概率为1016＝58.答案：5810．正方形ABCD 面积为S ，在正方形内任取一点M ，△AMB 面积大于或等于13S 的概率为________．解析：如图，设正方形ABCD 的边长为a ，那么S ＝a 2，△ABM 的高为h ，由题知，12h ·a ≥13S ＝13a 2，∴h ≥23a ，∴P ＝13.答案：1311．如以下图是CBA 篮球联赛中，甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，那么平均得分高的运动员是________．解析：x 甲＝44＋30＋100＋3010＝20.4，x 乙＝63＋50＋8010＝19.3，∴x甲＞x 乙．答案：甲12.如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为________．解析：如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝60°，由圆的对称性及几何概型得P ＝120360＝13.答案：1313．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，那么样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的数据分别为0＜a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e 5＝7，(a －7)2＋(b －7)2＋(c －7)2＋(d －7)2＋(e －7)25＝4.设a －7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，那么p ，q ，r ，s ，t 均为整数，那么⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )>0，那么判别式Δ<0，解得－4<t <4，所以－3≤t ≤3，所以最大值为10. 答案：1014．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上〞为事件(2≤n ≤5，n ∈N)，假设事件的概率最大，那么n 的所有可能值为________．解析：事件的总事件数为6.只要求出当n ＝2,3,4,5时的基本事件个数即可． 当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点为(1,1)； 当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点为(1,2)，(2,1)； 当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点为(1,3)，(2,2)； 当n ＝5时，落在直线x ＋y ＝5上的点为(2,3)； 显然当n ＝3或4时，事件的概率最大为13.答案：3或4二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题总分值14分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫8－3542＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，用C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19〞这一事件，那么C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．故所求概率为P (C )＝416＝14.16．(本小题总分值14分)(某某高考)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)由题意知苹果的样本总数n＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)频率是2050＝0.4.(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，那么从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x)个．∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1.即重量在[80,85)的有1个．(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)的有1个，记为a，重量在[95,100)的有3个，记为b1，b2，b3，任取2个，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6种不同方法．记基本事件总数为n，那么n＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A，事件A包含的基本事件为ab1，ab2，ab3，共3个，由古典概型的概率计算公式得P(A)＝36＝1 2.17．(本小题总分值14分)为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华〞知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答以下问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．解：(1)设第i组的频率为f i(i＝1,2,3,4,5,6)，因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3.频率分布直方图如下图．(2)由题意知，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，抽样学生成绩的合格率是75%.故估计这次考试的及格率为75%.利用组中值估算抽样学生的平均分：45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.从而估计这次考试的平均分是71分．18．(本小题总分值16分)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x 20y(1)5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x，y的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁的人中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴30 50＝m5，解得m＝3.∴抽取了学历为研究生的有2人，学历为本科的有3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3. 从中任取2人的所有基本事件共10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)．其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人的学历为研究生的概率为710.(2)依题意，得10N ＝539，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20. ∴4880＋x ＝2050＝1020＋y .解得x ＝40，y ＝5. ∴x ＝40，y ＝5.19．(本小题总分值16分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规那么如下：消费每满100元可以转动如下图的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券(例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，那么其共获得了30元优惠券)．顾客甲和乙都到该商场进行了消费，并按照规那么参与了活动．(1)假设顾客甲消费了128元，求他获得优惠券金额大于0元的概率； (2)假设顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率． 解：(1)设“甲获得优惠券〞为事件A .因为指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在20元、10元、0元区域内的概率都是13.顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，且由题意知顾客甲只能转动一次圆盘．根据互斥事件的概率公式，有P (A )＝13＋13＝23，所以顾客甲获得优惠券金额大于0元的概率是23.(2)设“乙获得优惠券金额不低于20元〞为事件B ，因为顾客乙转动了圆盘两次，设乙第一次转动圆盘获得优惠券金额为x 元，第二次获得优惠券金额为y 元，用(x ，y )表示乙两次转动圆盘获得优惠券金额的情况，那么有(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，。

第八模块 解析几何综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．将直线l 1：y ＝2x 绕原点逆时针旋转60°得直线l 2，则直线l 2到直线l 3：x ＋2y －3＝0的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：记直线l 1的斜率为k 1，直线l 3的斜率为k 3，注意到k 1k 3＝－1，l 1⊥l 3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l 2到直线l 3的角是30°，选A.答案：A2．已知a >0，直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由题意得，a 2b －(a 2＋1)＝0，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a≥2.故选C. 答案：C3．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)解析：e 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝2＋2a ＋1a 2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a<1，∴e 2∈(2,5)，即e ∈(2，5)． 答案：B4．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且| OA ＋OB |＝|OA －OB|，其中O 为原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6解析：|OA ＋OB |＝|OA －OB |，两边平方得OA ²OB＝0. ∴OA ⊥OB.∵r ＝2.∴d ＝ 2.∵d ＝|a |2＝2，∴a ＝±2.答案：C5．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7 5的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.63737C.324D.31010解析：y 2＝2bx 的焦点为(b 2，0)．线段F 1F 2被点(b2，0)分成7:5的两段．即b2＋cc －b 2＝75，∴6b ＝2c ，∵c ＝3b ，∴a ＝c 2－b 2＝22b ，∴e ＝c a ＝324.答案：C6．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C ．[－33，33]D ．(－33，33)解析：验证知斜率不存在时不符合题意， 故设直线方程为y ＝k (x －4)，∵直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点， ∴|－2k |1＋k 2≤1，解得k 2≤13，即－33≤k ≤33. 答案：C7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.2－1D. 2 解析：∵△ABF 2是等腰直角三角形，∴|AB |＝2|F 1F 2|＝4c ，∴|AF 1|＝2c ，|AF 2|＝22c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴2c ＋22c ＝2a ，解得e ＝c a ＝12＋1＝2－1.故选C.答案：C 8．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为( x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F .则PE ²PF的最小值是( )A ．12B ．10C ．6D ．5解析：显然圆C 是一个以(2,0)为圆心，2为半径的圆；设圆M的圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θy ＝5sin θ，即(x －2)2＋y 2＝25，显然，圆M 的圆心在一个以(2,0)为圆心，5为半径的圆上运动，这类似于一个地球绕着太阳转的模型，显然当点P 距离C 最近时，PE ²PF最小．在圆(x －2)2＋y 2＝25上取一点(2,5)，以点(2,5)为圆心作圆M ，此时圆M 上距离点C 最近的点为P (2,4)，过点P 作⊙C 的切线PE 、PF ，连结CE 、CF ，∵PE 、PF 是圆C 的切线，∴PE ⊥CE ，PF ⊥CF ；又∵PC ＝4，CE ＝CF ＝2， ∴PE ＝PF ＝23；在△CPE 中，cos∠CPE ＝32，cos∠FPE ＝cos2∠CPE ＝12；∴PE ²PF ＝|PE |²|PF |²cos∠FPE ＝23³23³12＝6.类似地，当点M 在圆(x －2)2＋y 2＝25上运动时有同样的结论．故选C.答案：C9．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，过P 作PG ⊥l 于G ，则|PF |＋|PQ |＝|PG |＋|PQ |≥|GQ |，即当QG ⊥l 时，|PF |＋|PQ |有最小值，此时点P 的纵坐标为－1，故A 正确．答案：A10．过点A (－1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于P ，Q两点，C 是圆心，若AC²(AP ＋AQ )＝8，则直线l 的方程为( )A ．3x －4y ＋3＝0B ．x ＝－1或3x －4y ＋3＝0C ．4x －3y ＋4＝0D ．4x －3y ＋4＝0或x ＝－1解析：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4. ∴C (0,2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1≤x 2，AC＝(1,2)，AQ ＝(x 2＋1，y 2)，AP ＝得x 1＋x 2＋2＋2y 1＋2y 2＝8.①当过点A 的直线斜率不存在时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝2－3，y 2＝2＋3满足上式．∴x ＝－1；当过点A 的直线为y ＝k (x ＋1)，代入圆方程，得 x 2＋k 2x 2＋2k 2x ＋k 2－4kx －4k ＝0，即 (1＋k 2)x 2＋(2k 2－4k )x ＋k 2－4k ＝0.∴x 1＋x 2＝－2k 2＋4k1＋k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k .代入条件①式并且由Δ>0知k ＝34.∴直线方程为3x －4y ＋3＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或3x －4y ＋3＝0. 答案：B11．设F 1，F 2是椭圆4x 249＋y 26＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| |PF 2|＝4 3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．4B ．6C ．2 2D ．4 2解析：由椭圆方程可知a ＝72，∴2a ＝7，c 2＝494－6＝254，c ＝52，2c ＝5.|PF 1|＋|PF 2|＝7，∵|PF 1| |PF 2|＝4 3， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝3， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∠F 1PF 2＝90°，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|²|PF 2|＝12³3³4＝6，故选B.答案：B12．过圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分，若这四部分图形面积满足S Ⅰ＋S Ⅳ＝S Ⅱ＋S Ⅲ，则这样的直线AB 有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条解析：由图形可知：S Ⅱ、S Ⅳ为定值，∴S Ⅰ增大时，S Ⅲ减小，又S Ⅲ＝S Ⅰ＋S Ⅳ－S Ⅱ，显然，S Ⅲ是关于S Ⅰ的一次函数且单调递增，S Ⅲ既是(0，＋∞)上关于S Ⅰ的增函数，也是(0，＋∞)上关于S Ⅰ的减函数且S Ⅲ∈(0，＋∞)．由一次函数性质可知，同时满足两种情况的解唯一存在．故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝2a，∴|PF 2|＝a ，又|PF 2|≥c －a ， 即a ≥c －a ，∴c ≤2a ，∴1<e ≤2. 答案：1<e ≤214．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC ＝2CB，则动点C 的轨迹方程是________．解析：设A 的(a,0)，B (0，b )，则 |AB |＝a 2＋b 2＝3，∴a 2＋b 2＝9， 又AC ＝2CB，(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x y ＝2b －2y，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3xb ＝3y2∴(3x )2＋(3y 2)2＝9即x 2＋y 24＝1.答案：x 2＋14y 2＝115．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a 、b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．又点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离d ＝|a 2＋b 2|a 2＋b2＝a 2＋b 2.答案：a 2＋b 216．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点P (a 2c，0)所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．解析：如图，切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22.答案：22三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0(0<a ≤4)的圆心为C ，直线l ：y ＝x ＋m .(1)若m ＝4，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；(2)若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围．解：(1)∵x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0， ∴(x ＋a )2＋(y －a )2＝4a ，∴圆心为C (－a ，a )，半径为r ＝2a ， 设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ，圆心C 到直线l 的距离为d ，m ＝4时，直线l ：x －y ＋4＝0，圆心C 到直线l 的距离d ＝|－a －a ＋4|2＝2|a －2|，t 2＝(2a )2－2(a －2)2＝－2a 2＋12a －8＝－2(a －3)2＋10， 又0<a ≤4，∴当a ＝3时，直线l 被圆C 所截得弦长的值最大，其最大值为210.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|－a －a ＋m |2＝22|2a －m |，∵直线l 是圆C 的切线，∴d ＝r ，即|m －2a |2＝2a ，∴m ＝2a ±22a ，∵直线l 在圆C 的下方， ∴m ＝2a －22a ＝(2a －1)2－1， ∵a ∈(0,4]，∴m ∈[－1,8－42]． 18．已知函数g (x )是f (x )＝x 2(x >0)的反函数，点M (x 0，y 0)、N (y 0，x 0)分别是f (x )、g (x )图象上的点，l 1、l 2分别是函数f (x )、g (x )的图象在M 、N 两点处的切线，且l 1∥l 2.(1)求M 、N 两点的坐标．(2)求经过原点O 及M 、N 的圆的方程． 解：(1)因为f (x )＝x 2(x >0)， 所以g (x )＝x (x >0)．从而f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x.所以切线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝f ′(x 0)＝2x 0，k 2＝g ′(y 0)＝12y 0.又y 0＝x 20(x 0>0)，所以k 2＝12x 0.因为两切线l 1，l 2平行，所以k 1＝k 2. 从而(2x 0)2＝1.因为x 0>0，所以x 0＝12.所以M 、N 两点的坐标分别为(12，14)、(14，12)．(2)设过O 、M 、N 三点的圆的方程为： x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆过原点，所以F ＝0.因为M 、N 关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上．所以D ＝E .又因为M (12，14)在圆上，所以D ＝E ＝－512.所以过O 、M 、N 三点的圆的方程为：x 2＋y 2－512x －512y ＝0.19．如图，在直角坐标系xOy 中，锐角△ABC 内接于圆x 2＋y 2＝1.已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为y ＝kx ＋m (k >0)，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.(1)若3k ＝2ac a 2＋c 2－b 2，求cos 2A ＋C 2＋sin2B 的值； (2)若k ＝2，记∠xOA ＝α(0<α<π2)，∠xOB ＝β(π<β<3π2)，求sin(α＋β)的值．解：(1)变式得：3sin B cos B ＝2aca 2＋c 2－b 2，解得sin B ＝13，原式＝sin 2B 2＋sin2B ＝1－cos B 2＋2sin B cos B＝9＋2218；(2)解法一：∵∠AOB ＝β－α，作OD ⊥AB 于D ，∴∠xOD ＝α＋β－α2＝α＋β2，∴tan α＋β2＝k OD ＝－1k ＝－12，sin(α＋β)＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝－45.解法二：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y ＝2x ＋m，5x 2＋4mx ＋m 2－1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝－4m 5，x 1x 2＝m 2－15.sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝y 1x 2＋x 1y 2 ＝(2x 1＋m )x 2＋x 1(2x 2＋m )＝4x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＝－45.20．如图，M (－2,0)和N (2,0)是平面上的两点，动点P 满足：|PM |＋|PN |＝6.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若|PM |²|PN |＝21－cos∠MPN，求点P 的坐标．解：(1)由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a ＝6的椭圆，∴半焦距c ＝2，长半轴a ＝3， ∴短半轴b ＝a 2－c 2＝ 5.∴椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.(2)如图，由|PM |²|PN |＝21－cos∠MPN，得|PM |²|PN |²cos∠MPN ＝|PM |²|PN |－2.①∵cos∠MPN ≠1，P 不为椭圆长轴顶点，∴P 、M 、N 构成三角形． 在△PMN 中，|MN |＝4，由余弦定理，有|MN|2＝∣PM ∣2+∣PN|2－2(|P M|²|PN|cos ∠MPN －2)， ○2 将①代入○2得42=∣PM ∣2+∣PN ∣2-∣PM ∣²∣PN ∣-2）∴(|PM |－|PN |)2＝12，即||PM |－|PN ||＝2 3.∴点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为23的双曲线x 23－y 2＝1上， 由(1)知，点P 的坐标又满足x 29＋y 25＝1， ∴由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 5x 2＋9y 2＝45，x 2－3y 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝±332，y ＝±52，即P 点坐标为(332，52)、(332，－52)、(－332，52)或(－332，－52)． 21．抛物线y 2＝2px 的准线的方程为x ＝－2，该抛物线上的每个点到准线x ＝－2的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆，(1)求定点N 的坐标；(2)是否存在一条直线l 同时满足下列条件：①l 分别与直线l 1和l 2交于A 、B 两点，且AB 中点为E (4,1)；②l 被圆N 截得的弦长为2.解：(1)因为抛物线y 2＝2px 的准线的方程为x ＝－2，所以p ＝4，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N 的坐标为(2,0)．(2)假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在，设l 的方程为y －1＝k (x －4)，(k ≠±1)以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆N 的半径为2，解法一：因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，即d ＝|2k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或43，当k ＝0时， 显然不合AB 中点为E (4,1)的条件，矛盾！当k ＝43时，l 的方程为4x －3y －13＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3y －13＝0y ＝x ，解得点A 坐标为(13,13)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3y －13＝0y ＝－x ，解得点B 坐标为(137，－137)， 显然AB 中点不是E (4,1)，矛盾！所以不存在满足条件的直线l .解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －4)y ＝x ， 解得点A 坐标为(4k －1k －1，4k －1k －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －4)y ＝－x ， 解得点B 坐标为(4k －11＋k ，－4k －11＋k)， 因为AB 中点为E (4,1)，所以4k －1k －1＋4k －1k ＋1＝8， 解得k ＝4，所以l 的方程为4x －y －15＝0，圆心N 到直线l 的距离71717，因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！所以不存在满足条件的直线l .解法三：假设A 点的坐标为(a ，a )，因为AB 中点为E (4,1)，所以B 点的坐标为(8－a,2－a )，又点B 在直线y ＝－x 上，所以a ＝5，所以A 点的坐标为(5,5)，直线l 的斜率是4，所以l 的方程为4x －y －15＝0，圆心N 到直线l的距离71717，因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！所以不存在满足条件的直线l .22.如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围．解：(1)以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2,0)、B (2,0)、D (0、2)、P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22<|AB |＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线．设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2,2a ＝22，∴a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2.∴曲线C 的方程为x 22－y 22＝1. (2)依题意，可设直线l 的方程y ＝kx ＋2，代入双曲线C 的方程并整理得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.①∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋4³6(1－k 2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠±1，－3<k < 3. ∴k ∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．②设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)，则由①式得x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－61－k 2，于是 |EF |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2²(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2²223－k 2|1－k 2|. 而原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2， ∴S △OEF ＝12d ²|EF | ＝12²21＋k 2²1＋k 2²223－k 2|1－k 2| ＝223－k 2|1－k 2|. 若△OEF 面积不小于22，即S △OEF ≥22，则有 223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0， 解得－2≤k ≤2.③综合②③知，直线l 的斜率的取值范围为[－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．。