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7.4 状态反馈和极点配置

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自动控制原理状态空间法

自动控制原理状态空间法
自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。

状态反馈极点配置基本理论与方法

状态反馈极点配置基本理论与方法

状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。

反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。

其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。

图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。

极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。

（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。

（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。

方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。

方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。

最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。

其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。

对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。

本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。

现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器

现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器

(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h

7.4 状态反馈和极点配置

7.4 状态反馈和极点配置
3
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状

极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇

极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
极点配置法设计状态反馈控制器
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
自动化工程学院自动控制原理课程组制 2015年11月
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s


s

0
a0
0 a1
1

0

1



0
f1
f
2

f
n

an1 1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法

a0 f1 0 a1 f 2 1

an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1

fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)

0 6
1 0 5x(t) 1u(t)


rankB

AB

0 1
1 5

2
系统能控。
举例求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
1x(t)
F 7 1

反馈控制与极点配置

反馈控制与极点配置
下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈 能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关 结论。
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。

状态反馈极点配置基本理论与方法

状态反馈极点配置基本理论与方法

第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。

反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。

其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。

图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。

2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。

（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。

（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a)FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。

方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。

方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。

最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。

其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。

对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。

状态反馈与闭环极点配置

状态反馈与闭环极点配置

16
§3.2-2 单输入系统的极点配置 确定反馈增益阵 K 为
1 ⎤ ⎡0 0 ˆ −1 = [ −4 66 14] ⎢0 1 −12 ⎥ K = KT ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 −18 144 ⎥ ⎦ = [14 −186 1220]
− 1 ± j.
则 A + BK 的特征值为 −2,
17
§3.2-3 多输入系统的极点配置 分两种情形进行讨论。 (1) A 为循环矩阵 A 为循环矩阵，则必有向量 引理3.1 若 ( A, B ) 能控， α ∈ \ p×1 , 使得 ( A, Bα ) 单输入能控。 证明：因为 A 为循环矩阵，故 A 的互异特征根各自对应 一个若当块，设 λ1 , λ 2 , " λσ 为 A 的互异特征值,对( A, B ) 进行非奇异线性变换，令
的系数。
使得
9
§3.2-2 单输入系统的极点配置 令 则由
ˆ = KT = [k K 0
k1 " kn −1 ]
(3.2.7)
ˆ ˆ = T −1 AT + T −1bKT = T −1 ( A + bK )T ˆ + bK A ˆK ˆ +b ˆ 与 A + bK 有相同的特征值。 知 A
由(3.2.5), (3.2.7)得
24
§3.2-3 多输入系统的极点配置 证明：必要性：即定理3.4。 充分性：用反证法。设 ( A, B ) 不完全能控，则对其进行 能控性分解
⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ −1 −1 ˆ ˆ A = T AT = ⎢ , B = T B = ⎢ ⎥ (3.2.18) ⎥ ⎣0⎦ ⎣ 0 A22 ⎦ ( A11 , B1 ) 为完全能控。则对任一状态反馈矩阵 K , 令 ˆ = KT = [ K K ], 则有 K

现代控制理论 极点配置

现代控制理论 极点配置
那么
− −
= [ − − A − ]
= [ − − + ( − )( )]
ഥ−
ഥ
ഥ )]
= [ − (
ഥ −
其中， = , 即 =
这说明对于任意给定的期望极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ ，都可以找到状态反馈矩阵
,
= 2
1 3
满秩，系统是完全能控的，可由状态反馈任意配置系统的闭环极点。
（2）闭环系统的期望特征多项式为 ：
∗ = ( − 1 )( − 2 ) = 2 + 2 + 5
（3）设状态反馈阵为： =
− −
=



−

−2
4Hale Waihona Puke ，则状态反馈控制系统的特征多项式为：
二. 状态反馈极点可配置的条件
定理：线性定常系统
ሶ =A+B ， 0 = ， ≥0
=
可通过状态反馈 = − + 任意配置全部极点的充要条件是系统完全能控。
5.2
极点配置问题
证明：充分性(只讨论单输入单输出系统)
已知系统为完全能控，证明可任意配置极点。
即通过状态反馈必成立 − −
1. 利用非动态输出反馈 = − + ，不能任意地配置系统的全部极点。
以单输入单输出系统为例，设受控系统的传递函数为 ()，则输出反馈系统的传递函
数为:
()
=
1 + ()
因此，闭环系统的根轨迹方程为: 1 + =
当从0到∞ 变化时，就得到了闭环系统的根轨迹。
5.2
极点配置问题
三.单输入单输出系统状态反馈极点配置的算法

极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理

极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理

这两个多项式的系数相等，可得出：
0 0
1
1
n n1
i中含F阵系数fij
当F阵为1 n时
n个方程可解n个系数 fi
(i 1,2,...,n)
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
设系统期望的闭环极点为s1、s2、sn ,则其
闭环特征式为s s1 s s2 s s3 s sn
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
ห้องสมุดไป่ตู้
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
s
1
0
0
0
0
s
1
0
0
0
0
0
s
1
a0 f1 a1 f2 a2 f3 an2 fn1 an1 fn s
sn (an1 fn )sn1 a1 f2 s a0 f1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
解：
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
设： F f1 f2
F 7 1
w
u+
x2 ∫
--
++ -5
x2 x1
∫ x1
-
F 7 1
1
+
2
+
y
-6 1
7
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图

线性系统的状态反馈及极点配置

线性系统的状态反馈及极点配置

线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。

状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。

本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。

2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。

状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。

因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。

- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。

因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。

2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。

状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。

对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。

状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。

系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。

将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。

反馈镇定与极点配置

反馈镇定与极点配置

... ... ...

0
0
0 ...
1

a0 k1 a1 k2 a2 k3 ... an1 kn
则闭环系统的特征多项式为
(s) det(sI A BK ) sn (an1 kn )sn1 (a1 k2 )s (a0 k1)
动态反馈
y
-
G(s)
u
K(s)
对象:


x

Ax

Bu
y Cx
控制器:


xk

Ak xk
Bk y
u Ck xk Dk y
动态反馈
闭环系统为


x

xk



A
BDk Bk C
C
BC Ak
k

x xk

控制器设计就是设计Ak、Bk、Ck、Dk使得
参考文献：
[1] R.H.Bishop. Adaptive concontrol moment gyros. IEEE Control Systems, October 1992, pp.23-27
[2] Rama K.Yedavalli. Robust control design for aerospace applications. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, 25(3),1989,314-324

s2

k2 l
s

1 l
(k1

g)

0
可见只要
k2 0, k1 g 就能使系统稳定。

状态反馈和状态观测器

状态反馈和状态观测器

[解]： （1）先判断该系统的能控性
2019/9/17
9
0 0 1 ra[Q n c] k ra[B nA kB A 2B ]ra 0 nk1 6 3
1 6 3 1
该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。
（2）计算闭环系统的特征多项式
设状态反馈增益矩阵为：K[k1 k2 k3]

0 1 2 n1
0 BPc21B0
1
能控标准型下，加入状态反馈后，系统矩阵为：
0
1
0 0

0
0
1



ABK

0

0
0
0
1

(0k1) (1k2) (2k3) (n1kn)
[例2] 对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响u
[解]： （1）先判断该系统的能控性
由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。
(2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：
2019/9/17
11
1 0
f() dI e ( A t B [) ] K k 1
1、首先将原系统 (A,B,C)化为第二能控标准型 (A,B,C)
2、求出在第二能控标准型的状态 x 下的状态反馈矩阵 K 3、求出在原系统的状态 x下的状态反馈矩阵 KKPc21
2019/9/17
12
证明： KKPc21 原系统： x (A B)x K Bv
式 1 ） （
由 f()f*()，可以确定第二能控标准型下的反馈矩阵为：
K [0 0 a 1 a 1 n 1 n 1 ]

极点配置状态反馈控制器的设计

极点配置状态反馈控制器的设计

极点配置状态反馈控制器的设计王俊伟于新海(河套学院机电工程系)摘要围绕双级倒立摆案例，对极点配置状态反馈控制器的设计方法展开讨论，对最终的计算结果进行仿真,并通过仿真结果分析了系统的稳定性、动态性能和稳态误差情况。

倒立摆的开环系统状态空间模型状态不稳定且动态性能较差，通过引进极点配置状态反馈控制器，倒立摆的闭环系统状态达到稳定，而且动态性能得到改善。

关键词状态反馈控制器双级倒立摆极点配置能控标准型爱克曼公式动态特性稳态误差中图分类号TH865文献标识码B文章编号1000-3932(2021)01-0015-05极点配置状态反馈控制器设计得好坏直接决定了控制系统动态性能的优劣！配置极点的目的不仅是使系统稳定还要使系统的动态性能满足控制要求[1]!在配置状态反馈控制器时，根据被控制对象的要求，可以采用3种方法实现:极点配置状态反馈控制器的直接法、极点配置状态反馈控制器的变换法和爱克曼公式[2]'这3种方法仅适用于单输入系统，优点是只要系统能控，就可以实现极点配置的状态反馈，缺点是不能用于多输入系统的极点配置状态反馈控制器。

对于单输入系统，如果系统能控可以实现极点的任意配置,改善动态性能，但有可能使闭环控制系统的稳态误差变大[3]!1极点配置状态反馈控制器的直接法线性时不变系统如下:x=Ax+Bu(])'=Cx其中,X是系统的*维状态向量;*是状态向量对时间的导数;u是状态反馈控制律；#、B和C是适当维数的已知常数矩阵;'是系统的输出。

采用的状态反馈控制律是:u=-kx+v(2)其中，-是一维外部输入;k是反馈增益矩阵。

将式(2)代入式(1)得到闭环系统状态方程：*二(.-Bk)x+B-(3)极点配置状态反馈控制器的直接法分5步实现⑷。

第1步,检验系统(1)的能控性,如果系统能控,进行第2步。

第2步，计算闭环系统特征多项式：)et[!0—(#—Bk)]二！*+(3*_]+k*_14!*i1--------(3]+k])!+30+,0(4)其中，！是闭环极点。

状态反馈与闭环极点配置极点配置条件

状态反馈与闭环极点配置极点配置条件

u B
x
x
y
∫
C
A
H
-
B
∫
C
实际系统基于准确模型，且
A
没有考虑扰动
代入 ye C xe
25
附1：存在扰动时的状态误差
u B
x
x
dy
∫
C
A
H
-
B
∫
C
A
代入 ye C xe d
存在扰动时，不能使状态误差→0
26
附2：存在模型失配时的状态误差
u B'
x
x
y
∫
C'
A'
H
-
B
∫
C
A
存在模型失配时，不能使状态误差→0
2
一、状态反馈与输出反馈
1. 状态反馈
u B -
x
xy
∫
C
A
闭环传函？状态
K
方程？
加入状态反馈后的系统结构图
3
综合的手段：改变 K 阵的参数 综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性
注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求， 一般不需要采用动态环节
4
2. 输出反馈
u B -
x
xy
∫

35
闭环传递函数的不变性
闭环传递函数等同于直接状态反馈的情况； 观测器的引入不影响闭环传递函数
注：分离性原理和传函的不变性都基于精确模型 36
仿真例： 系统的状态空间表达式同前面例
（1）要求状态观测器的特征值为 （2）通过状态反馈将系统的闭环极点配置为
（3）仿真验证观测状态对实际状态的跟踪情况，
27
状态观测器的等价结构

线性系统状态反馈区域极点配置算法研究

线性系统状态反馈区域极点配置算法研究

线性系统状态反馈区域极点配置算法研究摘要20世纪50年代后期，控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变，现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。

与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构，但不同的是，经典控制理论中主要采用输出反馈，而现代控制系统中主要采用内部状态反馈。

状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，从而实现更优的控制。

闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。

这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。

在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，来实现系统的极点配置。

本论文对线性系统的状态反馈区域极点配置的算法进行了研究，分别以具有 稳定裕度和具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计为例，利用线性矩阵不等式LMI处理方法，编写系统的MATLAB仿真程序。

最后以同样的方法对不确定系统状态反馈区域极点配置进行了研究，结果证明了设计方法的正确性和有效性。

关键词：线性系统；状态反馈；极点配置；线性矩阵不等式；不确定系统Algorithmic Research for Regional PoleAssignment of Linear System Via StateFeedback ControllersABSTRACTIn the late 1950s, control theory later by classical control theory to modern control theory shift, modern control theory is introducing state and state space concept developed on the basis of. As with classical control theory, modern control system still mainly uses the feedback control structure, but different is, classical control theory mainly uses the output feedback, and modern control system mainly uses the internal state feedback. State feedback control for system provide more information feedback, so as to achieve better control.The distribution of closed-loop system poles depends on system stability and dynamic quality, therefore, can according to the system dynamic quality request, provisions that poles of close-loop system should have the distribution of the pole, configuration of the system dynamic quality indicators. The position of the poles in the process called poles. In space, the general state method in the feedback system state variables or output variable method to achieve system poles. This thesis studied the algorithm of linear system state feedback regional poles, and respectively by the state feedback controller design of stability margin of and has round domain constraints as examples, by using the linear matrix inequality LMI treatment methods, writing MATLAB simulation program of system. Finally in the same way the uncertain system state feedback regional poles are studied, and the result shows the design method is correct and effective.Key words：Linear system；State feedback；Pole placement；LMI；Uncertain system目录摘要............................................................................................................................................ΙABSTRACT...........................................................................................................................П1 绪论 (1)1.1课题背景及意义 (1)1.2 极点配置简介 (1)1.3 本论文研究的主要工作 (2)2理论基础及数学准备 (3)2.1 区域极点配置问题 (3)2.2 状态反馈 (4)2.3 线性矩阵不等式LMI (6)2.3.1 线性矩阵不等式LMI基本变换引理 (7)2.3.2 LMI工具箱介绍 (8)2.4 本章小结 (10)3线性定常系统状态反馈区域极点配置算法研究 (11)3.1 精确极点配置 (11)3.1.1 问题描述 (11)3.1.2 算法步骤 (12)3.1.3 仿真分析 (12)3.2具有稳定裕度的区域极点配置 (15)3.2.1 问题描述 (16)3.2.2具有稳定裕度的状态反馈控制器设计 (16)3.2.3程序清单 (17)3.2.4仿真结果 (18)3.3具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 (21)3.3.1 问题描述 (21)3.3.2具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 (21)3.3.3 程序清单 (22)3.3.4仿真结果 (23)3.4 本章小结 (26)4 线性不确定系统状态反馈区域极点配置算法研究 (27)4.1 不确定性 (27)4.2线性不确定系统区域极点配置 (27)4.2.1 问题描述 (27)4.2.2 不确定系统区域极点约束的状态反馈控制器设计 (28)4.2.3 仿真分析 (30)4.3 本章小结 (32)结论 (33)致谢 (34)参考文献 (35)1 绪 论1.1 课题背景及意义在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。

状态反馈控制器的设计

状态反馈控制器的设计

状态反馈控制器的设计状态反馈控制器是一种常见的控制器设计方法，用于调节系统的动态响应和稳定性。

它通过测量系统的输出和状态，并将这些信息与期望输出进行比较，来计算出控制器的控制输入。

接下来，我将介绍状态反馈控制器的基本原理、设计步骤和两个常见的设计方法。

状态反馈控制器的基本原理是基于系统的状态反馈，即通过系统的状态变量来进行控制。

在状态反馈控制器的设计中，首先需要确定系统的状态方程或状态空间表达式。

状态方程描述了系统的状态变化关系，通常使用微分方程或差分方程表示。

状态空间表达式则是将系统的状态方程转换为矩阵形式，以便于计算和分析。

设计一个状态反馈控制器包括以下步骤：1.系统建模：首先需要建立系统的数学模型，确定系统的输入、输出和状态变量。

这可以通过物理建模、数学建模或实验数据分析等方法来完成。

系统的模型可以是连续时间模型，也可以是离散时间模型。

2.系统稳定性分析：通过分析系统的特征值或极点，判断系统的稳定性。

如果系统的特征值都位于单位圆内或实部小于零，则系统是稳定的。

3.设计目标确定：根据系统的性能要求和目标，确定设计的指标，例如系统的快速响应、稳定性、误差补偿等。

4.控制器设计：根据系统的状态方程和控制目标，使用控制理论和方法，设计控制器的增益矩阵。

常用的设计方法有极点配置法和最优控制方法。

5.系统闭环仿真：将设计好的控制器与系统模型相连，进行闭环仿真，检验系统在不同工况和干扰下的响应性能。

可以通过调整控制器的参数来优化系统的性能。

接下来，我将介绍两种常见的状态反馈控制器设计方法：极点配置法和最优控制方法。

1.极点配置法：该方法通过选择恰当的状态反馈增益矩阵，使系统的极点移动到预定位置。

首先需要确定期望的系统极点位置，然后使用反馈增益矩阵的公式进行计算和调整。

极点配置法的优点是设计简单，但对系统的模型和性能要求较高。

2.最优控制方法：该方法是基于最优控制理论，对系统的控制性能进行优化设计。

最优控制方法通常需要确定一个性能指标，例如系统的能量消耗、误差最小化等，然后使用最优化算法来计算最优的控制器增益矩阵。

状态反馈

状态反馈

第1步：任取n阶矩阵F使得i (F ) i* (i 1, , n)，方法如下：
AT TF BK F T 1 AT T 1BK T 1 AT T 1BKT
引入任意非奇异实常数矩阵H，取
1 0 0 T 1 ( A BK )T H 1； F H 即：闭环系统矩阵A BK 0 0 1 的特征根与F的相同 * * * 0 1 n 1 第2步：(任意)选取m n实常数矩阵K几乎总可使得{F, K}能观； 第3步：解Sylvester矩阵方程AT TF BK求n n非奇异矩阵T 若A和F不具有等同的特征值，则对任意K mn，Tnn 存在且唯一； 第4步：若T可逆，则转向下一步；否则回到第2步，重选F或K； 第5步：所求增益矩阵为K KT 1。
二、状态反馈极点配置问题
(2)计算向量k *0 0 *1 1 *2 2 4 66 14
(3) 计算线性变换矩阵 1 0 0 1 1 6 1 0 18 1 A2b Ab b 2 1 P 1 2 1 1 0 0 72 18 1 72 18 1 12 1 0 1 0 0
u 14 x1 186 x2 1220 x3
一、状态反馈极点配置问题
循环系统（多输入情形）
循环矩阵
称方阵A为循环矩阵，如果其特征多项式 det(sI A)是 其最小多项式。
循环系统 循环系统判据
一个nxn 矩阵的最小多项式，其次数至 多为 n，且其根属于该矩阵的特征值集。
* ( s) ( s 1* ) ( s n* ) s n n1s n 1 1*s 0*

极点配置

极点配置
Q [ B AB A 2 B ] 0 1 1 6 6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2

an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x

线性系统极点配置问题

线性系统极点配置问题

线性系统极点配置问题张颖(控制学院 检测技术与自动化装置 2009010191)摘要： 极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。

机点配置实质上是对经典控制理论综合方法的一个直接推广。

本文针对单输入连续时间线性时不变受控系统，基于状态反馈类型控制，系统讨论极点配置问题的综合理论和综合算法。

1. 问题的提出：状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律u=-Kx+v, v 为参考输入即确定一个 的状态反馈增益矩阵K ，使所导出的状态反馈闭环系统的极点为{ }，也就是成立 解决上述极点配置问题，需要解决两个问题： 1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。

2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。

2.问题的解决： 〈一〉准备知识1. 循环矩阵定义：如果系统矩阵A 的特征多项式等同于其最小多项式，则称为循环矩阵。

2. 循环矩阵特性：1）A 为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中相应于每一个不同的特征值仅有一个特征块。

2）如果A 的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特征值必仅有一个约当块，因此A 必定是循环的。

3）若A 为循环矩阵，则其循环性是指：必存在一个向量 b ，使向量组可张成一个 n 维空间，也即{A ，b}为能控。

4）若{A ，B}为能控，且A 为循环，则对几乎任意的实向量 p,单输入矩阵对 {A ，Bp}为能控。

5) 若A 不是循环的，但{A ，B}为能控，则对几乎任意的常阵K ，A-BK为循环。

〈二〉 极点可配置条件线性定常系统 可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。

证：必要性：已知可配置极点，欲证{A ，B}为能控。

n p ⨯BuBK A +-=x x )( **2*1,,,nλλλ n i BK A i i ,,2,1,)(* ==-λλBu A +=x x利用反证法，假设{A ，B}不完全能控，则必可分解为：上式表明，状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置极点，与已知前提矛盾，故假设不成立。

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◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。 ◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
n 1 （s 1（ ) s 2 ) （s n ) s n an s 1 a1 s a0
an1 1 0 0 1 0 0 0
式中ai为特征多项式的系数：
sI A s n an 1s n 1
a1s a0
5
极点配置定理_充分性
定义一个新的状态向量 x Px 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的），则矩 阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 x Ax Bu 改写为
x Ax Bu 考虑线性定常系统 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。 定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
u r Kx
式中K∈R1×n为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。 下图分别给出了开环控制系统和具有状态反馈的系统的结构图。
r + u B +
x
+
I s
x
C
y
A k
(a) 开环控制系统
(b) 闭环反馈控制系统
2
问题的提法
将控制 u r Kx 代入系统 x Ax Bu ，得到
s 0 1 k0
1 s
0 1
5 k1 s 6 k2
s 3 (6 k2 ) s 2 (5 k1 ) s 1 k0 s 3 14 s 2 60 s 200 令对应系数相等得 k0 199, k1 55, k2 8
即 K [199 55 8]
这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等。 通过使s的同次幂系数相等，可得
7
极点配置定理_充分性
a0 k0 a0
a1 k1 a1
an 1 kn 1 an 1 求解上述方程组，得到 ki
的值，则
K KP 1 [k 0 k1
[ a0 a0 a1 a1
kn1 ]P 1
1 an a ] P 1 n 1
如果系统是状态完全可控的，则通过对应于上式所选取的矩阵K，可任意 配置所有的特征值。 充分性得证。
8
极点配置定理_必要性
即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。 现利用反证法证明。 先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK 的特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设原线性系统 x Ax Bu 状态不可控，则其可控性矩阵的 秩小于n，即
rank[ B AB An1 B ] q n
则必有状态变量与控制u无关，因此，不可能实现全状态反馈， 则不可控子系统的特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置 矩阵A-BK的特征值，此时系统必须是状态完全可控的。 必要性得证。
9
极点配置的算法
Ax Bu ，若线性反馈控制律为 u r Kx 给定线性定常系统 x ，则可 由下列步骤确定线性反馈矩阵K，使A-BK的特征值为μ1 , μ2 ,… μn，即闭环系统 的期望极点值(如果 μi是复数特征值，则其共轭必定也是A-BK的特征值)。 ◆考察系统的可控性条件。如果系统是状态完全可控的，则可按下列步骤继续。 ◆计算系统矩阵A的特征多项式，确定 a1 , a2 ,, an 的值。 det( sI A) sI A s n an 1s n 1 a1s a0
0 1 an1 0
0 0 1 Bc P B 0 1
6
极点配置定理_充分性
设 K KP [k 0 k1 kn 1 ] 由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bc r
线性定常系统的状态反馈和极点配置
状态反馈与极点配置
问题的提法 可配置条件(极点配置定理) 极点配置的算法
输出反馈与极点配置
1
问题的提法
给定单输入单输出线性定常被控系统
x Ax Bu
选取线性反馈控制律为
x(t ) R n , u(t ) R1 , A R nn , B R n1
11
极点配置 例1
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多项式，求特征值。 1 0 s | sI A | 0 s 1 5 s 6 则 a2 6, a1 5, a0 1 1
s 3 6 s 2 5s 1 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 3 2 期望的特征方程为 ( s 2 j 4)( s 2 j 4)( s 10) s 14s 60s 200
16
13
输出反馈与极点配置
输出有两种形式，一种是将输出量反馈到状态微分处，一种是 将输出量反馈到参考输入。它们的系统结构图如下图所示。(a)输出反馈到状态微分
(b)输出反馈到参考输入
14
输出反馈到状态微分
对输出量反馈到状态微分的系统，设被控对象的状态方程为
x Ax Bu y Cx y Cx y Cx
0 0 1 Ac P AP 0 a0
x Ac x Bcu
1 0 0 a1
0 1 0 a2
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值为 1 , 2 , , n ，则 期望的特征方程为
( s 1 )( s 2 )
* n 1 * * ( s n ) s n an s ... a s a 1 1 0 0
相应的特征方程为 sI Ac Bc K 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。 s 1 0 0 s 0 sI Ac Bc K
a0 k0 a1 k1 s n (an1 kn1 ) s n1 s an1 kn1 (a1 k1 ) s (a0 k0 ) 0
15
输出反馈到参考输入
设被控对象的状态方程为 x Ax Bu
y Cx
输出量反馈到参考输入时， u=r-hy，则该输出反馈系统的动态 y Cx 方程为 x ( A BhC ) x Bv
式中h为（p×1）输出反馈矩阵。若令hC=K, 该输出反馈便等价 为状态反馈。适当选取h，可任意配置特征值。 可推论，当h阵是常数矩阵时，并不能任意配置极点。输出到输 入的反馈不会改变受控系统的可控性和可观性。
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。 ◆最后得到状态反馈增益矩阵K为 K [ a0 a0 a1 a1
1 an 1 an 1 ] P
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
1 0 0 0 , B 0 A 0 0 1 Ax Bu x 5 6 1 1 利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状 态反馈增益矩阵K。
* * * 则 a2 14, a1 60, a0 200
* 2 * * s 3 a2 s a1 s a0 0
由
K [ a0 a0 a1 a1
1 an a ] P 1 n 1
可得 K [ 200 1 60 5 [199 55 8]
x(t ) ( A BK ) x(t ) Br
由此可见，系统的响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征 值决定。如果矩阵K选取适当，则可使矩阵A-BK构成一个渐 近稳定矩阵。矩阵A-BK的特征值即为闭环系统的极点。
这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称为 极点配置问题。
3
可配置条件_极点配置定理
4
极点配置定理_充分性
1. 充分性。 如果线性系统 x Ax Bu 状态完全可控，一定存 在非奇异变换，使其变换为可控标准形。定义非奇异线性变换 矩阵P为P=QW，其中Q为可控性矩阵，
Q [B
a1 a2 W an1 1
AB
a2 a3 1 0
An1B]
则输出反馈系统的状态方程为 x Ax Bu hy
则
x ( A hC ) x Bu
式中h为（n×1）输出反馈矩阵。 定理 用输出到状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统 状态完全可观测。 证明 利用对偶定理来证明。若（A, B, C）可观测，则对偶系统（AT, BT, CT） 可控，由状态反馈极点配置定理可知，（AT－CTh）的特征值可任意配置， 但（AT－CTh）特征值与（AT－CTh）T=A－hC的特征值相同，故当且仅当 （A, B, C）可观测时，可以任意配置A－hC的特征值。证毕。 为了根据期望的闭环极点位置来设计输出反馈矩阵h的参数，只需将期望的 系统特征多项式与该输出反馈系统特征多项式 hC ) 相比较即可。
【解】该系统已是可控标准形。检验该系统的可控性矩阵。由于可控性矩阵 为 0 1 0 Q [ B AB A 2 B ] 0 1 6 6 31 1 得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的，可任意 配置极点。 下面用两种方法求解。
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12
极点配置 例1
方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为 K [k0 k1 k2 ] 并使 [sI-A+BK] 和期望的特征多项式相等，可得