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自动控制原理状态空间法
目录
• 引言 • 状态空间法基础 • 线性系统的状态空间表示 • 状态反馈与极点配置 • 最优控制理论 • 离散系Biblioteka 的状态空间表示01引言
状态空间法的定义
状态空间法是一种基于状态变量描述线性时不变系统的方法，通过建立系 统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为。
状态变量是能够完全描述系统内部状态的变量，可以是系统的物理量或抽 象的数学变量。
最优控制问题
在满足一定约束条件下，寻找一个控制输入， 使得被控系统的某个性能指标达到最优。
性能指标
通常为系统状态或输出函数的积分，如时间加 权或能量加权等。
约束条件
包括系统动态方程、初始状态、控制输入和终端状态等。
线性二次调节器问题
线性二次调节器问题是最优控制问题的一个特例， 其性能指标为系统状态向量的二次范数。
THANKS
状态方程描述了系统内部状态变量之间的动态关系，而输出方程则描述了 系统输出与状态变量之间的关系。
状态空间法的重要性
1
状态空间法提供了系统分析和设计的统一框架， 可以用于线性时不变系统的各种分析和设计问题。
2
通过状态空间法，可以方便地实现系统的状态反 馈控制、最优控制、鲁棒控制等控制策略。
3
状态空间法具有直观性和易于实现的特点，能够 直接反映系统的动态行为，便于理解和分析。
02
状态空间法基础
状态与状态变量
状态
系统在某一时刻的状态是由系统 的所有内部变量共同决定的。
状态变量
描述系统状态的变量，通常选择 系统的输入、输出和内部变量作 为状态变量。
状态方程的建立
根据系统的物理或数学模型，通过适 当的方法建立状态方程。

停止
Step5.对{A,B}，任意指定n个实部为负期望闭环特征
值 {1*，*2，，*n1 }，按多输入情形极点配置算法，计
算 p n 镇定状态反馈矩阵K，计算停止。
三、状态反馈动态解耦
1、系统和假定
(1)受控系统为方系统，即输入变量和输出变量具有相同个 数，即p＝q 。
(2)控制规律取为“状态反馈”结合“输入变换”形式，
yˆi (s) gii (s)vˆi (s)，i 1,2,..., p
三、状态反馈动态解耦
3、系统的结构特征量（结构特性指数 & 结构特性向量）
一、输出反馈极点配置
3、输出反馈极点配置 结论3【输出反馈极点配置】对完全能控和完全能观测n维 LTI受控系统，设 rankB p，rankC q ，采用输出反 馈：U v FY ，可对数目为 min{n,p q 1} 的闭环系统极点 进行“任意接近”式配置，即使其可任意地接近任给的期望 极点位置。
又由于 (s) 0 (s) 0 的根为开环传递函数：
c(sI A)1b (s) / (s)
的极点与零点。
再由根轨迹法可知，闭环极点只能分布于以开环极点为起 点、开环零点与无穷远为终点，当输出反馈系数f 0 和
f 0 - 时在复平面上导出的一组根轨迹线段上，而不能 位于根轨迹以外。
1*，*2，，*n
确定一个反馈矩阵F，使输出反馈闭环系统：
X (A BFC)X Bv Y CX
的所有特征值实现期望配置，即有： i (A BFC) *i，i 1,2,..., n
一、输出反馈极点配置
2、输出反馈局限性
结论1【输出反馈局限性】对完全能控的连续时间LTI受控 系统，采用输出反馈一般不能任意配置系统全部极点

(s *1)(s *2 )
(s
* n
)
sn
a1*s n1
an1*s an*
0
通过比较系数，可知
a1
~k~n
a2 kn1
a1* a2
*
an
~ k1
an*
西华大学电气与电子信息学院
由此即有
k~2k~1aann1**
an an1
~ kn
a1*
a1
又因为
u v Kx v KP1x% v K%x%
要求用状态反馈来镇定系统。
解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统 特征值为－5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈 实现镇定，镇定后极点设为 s1,2 2 j2
能控子系统方程为
x&C
AC xC
bCu
1 0
0 1 2 xC 1 u
引入状态反馈 u V KC xC ，设 KC [k1 k2 ]
西华大学电气与电子信息学院
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
5.2.1 能控系统的极点配置 定理 5-2 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
西华大学电气与电子信息学院
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~x Px 必能将它变为能控标准形
%:
x&% A%x% b%u y c%x% d%u
这里，P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有

状态空间极Байду номын сангаас配置控制实 验课件易杰
状态空间极点配置控制实验课件，旨在介绍状态空间极点配置控制的基本知 识和实验操作，带您领略控制的魅力。
简介
本课件将介绍状态空间极点配置控制的基本知识和实验操作，并帮助您深入 理解相关知识。
目录
1. 状态空间模型简介 2. 极点配置的原理与方法 3. 实验操作步骤
实验结果分析
4
录实验数据。
分析实验数据，评估极点配置对系统性 能的影响。
总结
本课件介绍了状态空间模型和极点配置控制的基本概念和方法，并通过实验帮助读者深入理解相关知识。控制 世界，从状态空间开始。
通过调整极点位置，改变系统的动态响应性能。
3 极点配置的方法
使用数学方法或控制器设计技术调整极点位置。
实验操作步骤
1
实验硬件与软件环境搭建
准备实验所需的硬件设备和软件环境，
极点配置控制实验原理
2
确保实验顺利进行。
了解极点配置控制的原理和相关概念，
为实验做好准备。
3
实验步骤
按照实验指导书的步骤进行实验，并记
状态空间模型简介
状态变量定义
状态变量是描述系统动态特征 的变量，如位置、速度等。
状态空间方程
状态空间方程用于描述系统状 态及其随时间的变化规律。
转移矩阵
转移矩阵表示系统状态的演化 与输入、输出之间的关系。
极点配置的原理与方法
1 控制系统的极点
极点是系统传递函数的根，决定系统的动态响应特性。
2 极点配置的目标

PART 03
极点配置问题的算法设计
基于梯度下降的算法设计
总结词
简单、易于实现、适合小规模问题，但可能陷入局部最优解。
详细描述
梯度下降法是一种最优化算法，通过迭代地调整参数以最小化目标函数。在极点配置问题中，可以利 用梯度下降法来优化极点位置。该算法简单易实现，适合小规模问题。但是，梯度下降法容易陷入局 部最优解，可能无法找到全局最优解。
03
3. 分析粒子群优化算法的优缺点 及其在极点配置问题中的应用前景。
04
THANKS
感谢观看
部最优解，无法找到全局最优解。
PART 04
极点配置问题的应用案例
在电力系统中的应用
总结词
提高电力系统的稳定性和可靠性
详细描述
极点配置问题在电力系统中有着广泛的应用。 通过调整电力系统的极点，可以改变系统的 动态性能，提高系统的稳定性和可靠性。例 如，在电力系统的控制器设计中，极点配置 问题被用来确定最优的控制策略，以确保系 统在各种运行条件下都能保持稳定。
新算法的探索与研究
混合算法
结合多种算法的优点，开发出一种混合算法，以实现更高效、更 稳定的极点配置。
优化搜索策略
通过改进搜索策略，减少搜索空间，提高搜索效率，快速找到最优 解。
基于深度学习的方法
利用深度学习技术的优势，构建一个高效的深度学习模型，用于学 习和预测极点配置的结果。
在其他领域的应用拓展
在控制系统中的应用
要点一
总结词
实现控制系统的最优设计
要点二
详细描述
极点配置问题在控制系统的设计中扮演着重要的角色。通 过合理地配置控制系统的极点，可以实现控制系统的最优 设计，提高系统的响应速度、稳定性和鲁棒性。例如，在 航空航天控制系统的设计中，极点配置问题被用来优化控 制回路的设计，以确保飞机和航天器在各种飞行条件下都 能保持稳定的姿态和轨迹。

能将∑0化成能控标准I型：
（33）
式中
受控系统∑0的传递函数为： （34） 2)加入状态反馈增益阵： （35） 可求得对 的闭环状态空间表达式：
（36）
式中
闭环特征多项式为：
（37）
闭环传递函数为：
（38） 3)使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：
由等式两边
同次幂系数对应相等．可解出反馈阵各系数：
（39）
于是得：
4)最后，把对应于 的 ，通过如下变换，得到对应于状态 的 ：
这是由于
的缘故。
5.2.2 采用输出反馈 定理5.2.2 对完全能控的单输入一单输出系统 输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。
， 不能采用
证明 对单输入一单输出反馈系统 环传递函数为：
，
闭
（40）
定理5.2.3 对完全能控的单输入—单输出系统 态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件是： 完全能观。
极点配置问题
汇报人：吴杨春
5.2.1采用状态反馈 定理5.2.1 采用状态反馈对系统 的充要条件是∑0完全能控。 证明 任意配置极点
只证充分性。若∑0完全能控，通过状态反馈必成立
（31） 式中， 为期望特征多项式。
（32）
式中， 极点)。
为期望的闭环极点(实数极点或共轭复数
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
通过带动
1)
2)动态补偿器的阶数为n—l。 5.2.3 采用从输出到反馈 的线性反馈实现闭环极
定理5.2.4 对系统 采用从输出到 点任意配置的充要条件是∑0完全能观。 证明 根据对偶原理，如果 能控，因而可以任意配置 的特征值相同，又因为
能观．则 的特征值，而

1. 机器人导航的特点 需要精确的定位和导航
存在复杂的障碍物和动态环境
案例二：机器人导航中的极点配置与状态观测
机器人的运动状态和控制输入信号可能不稳定 2. 极点配置的作用
提高机器人的运动稳定性和导航精度
案例二：机器人导航中的极点配置与状态观测
优化避障和路径规划的性能 极点配置方法可以有效地抑制噪声和干扰 3. 状态观测器的应用价值
02 极点配置的合理与否直接影响到状态观测的精度 和稳定性。
02 极点配置的稳定性对于状态观测的抗干扰性能有 着至关重要的影响。
状态观测器对极点配置的优化
通过状态观测器的反馈控制，可 以实时调整极点配置，以达到最
优的控制效果。
状态观测器的观测精度和稳定性 对于极点配置的优化有着重要的
影响。
通过状态观测器的实时反馈，可 以实现对极点配置的在线优化和
加强与其他学科领域的交叉融合，如人工智能 、机器学习等，以探索新的理论和方法，推动 极点配置与状态观测器技术的发展。
针对实际应用中的难点和需求，开展更加深入 的研究和应用案例分析，以推动极点配置与状 态观测器在实际工程领域的应用和发展。
THANKS
感谢观看
调整。
二者结合的优势与挑战
优势
极点配置和状态观测器相结合，可以充分发挥各自的优势，实现系统性能的最优控制。
挑战
二者的结合需要考虑到系统的复杂性和实际运行环境，设计合理的控制策略和算法，以实现最 优的控制效果。
05
案例分析
案例一
1. 无人机控制系统的特点
受到风、干扰等外部因素 影响
需要对飞行姿态、位置等 状态进行实时控制
在实际应用中，极点配置与状态观测器面临着诸多挑 战，如模型不确定性、外部干扰、时变参数等。

BK X(k) X(k 1) A BK ~ ~ X(k 1) 0 X(k) A LC
BK A BK de tz I 0 A LC 0
de t(z I A BK)(z I A LC) A LC 0
若期望的极点为βi (i 1,2,, n)，期望观测器特征多项式：
η(z ) (z β i ) z I A LC 0
i 1
n
对于高阶系统，也有Ackerman公式：
K η(A)Q e
1 T n o
n n 1 en 0 0 1 η(z) z α1z αn
闭环特征方程
zI A BK 0
设计反馈控制规律L，使得闭环系统具有所需要的极点配置。
闭环控制极点：
βi (i 0,1,2, , n)
求得闭环特征方程为：
βc (z) (z β1 )(z β2 )(z βn ) zn α1zn1 αn 0
反馈控制矩阵K应满足方程：
2
0.24 1 λ(A) A A 0.24I 0 0.24
2
1 1 0.24 1 K enQ λ(A) 0 1 0 0.24 1 0.24 1 0
1 c
第二节
状态观测器设计法
观测器的设计思想：根据能够测量的系统输出量和输入量，重 构出全部状态。
相应的离散状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k) y(k) Cx(k)
A e A 1T T A1 τ B e dτ 0
假设控制规律是线性状态反馈
u(k) kX(k)

Q [ B AB A 2 B ] 0 1 1 6 6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2

an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x

Gf1 = g11f1 + g 21f 2 + ⋅⋅⋅ + g q1f q Gf 2 = g12f1 + g 22f 2 + ⋅⋅⋅ + g q 2f q Gf q = g1qf1 + g 2 qf q + ⋅⋅⋅ + g qqf q
因为，方程式（ 因为，方程式（5.85）可以写成 ） [Gf 1L Gf qGV q + 1L GV n ]
u ( k ) = −Kx ( k )
其中K是状态反馈增益矩阵 1xn（矩阵） 其中 是状态反馈增益矩阵 1xn（矩阵）
于是系统成为图5.19（b）所示的闭环控制系统 （ ） 于是系统成为图
x ( k + 1) = (G − HK ) x ( k )
u
x(k+1) +
x
（5.83） ）
u
x(k +1)
（5.89） ）
其中
h 11 h 21 = hq1
H11
现在考虑方程式（ 现在考虑方程式 （ 5.82）所示的闭环系统 ， 它 ） 所示的闭环系统， 们特征方程式为
| z I − G + HK |= 0
令 或
~ K = KP
~ K = [ K11 K12 ]
x
图5.19 （a）开环控制系统； ）开环控制系统； （b） u ( k ) = − kx ( k ) 的闭环控制系统 ）
而 G-HK的特征值是闭环极点的期望值 µ1 , µ 2 , ⋅⋅⋅, µ n 。 的特征值是闭环极点的期望值 现在证明系统的状态完全可控是闭环系统极点任意配置的 必要与充足条件。首先推导必要条件 必要条件。 必要与充足条件。首先推导必要条件。 假定方程式（ 假定方程式 （ 5.82） 所示系统的状态不是完全 ） 可控的， 可控的， 于是可控性矩阵的秩一定小于 n ，即 （ ） rank[ H GH ⋅⋅⋅ G n −1 H ] = q < n 5.84） 这意味着可控性矩阵中有q列线性独立的向量， 这意味着可控性矩阵中有 列线性独立的向量，定义 列线性独立的向量 f 1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , f q 为q列线性独立向量，并选择 列线性独立向量， 列线性独立向量 v q + 1 , v q + 2 , v n 为 n − q 个附加向量，于是得到一个满 个附加向量， 秩的变换矩阵 变换矩阵： 秩的变换矩阵： P = [f1 f 2 ⋅⋅⋅ f q vq +1 vq + 2 ⋅⋅⋅ vn ]

Wc和 Wc 分别是系统(4.2)式和(4.5)式的能达性矩阵。
注 意：
注1：方程(4.14)称为阿克曼(Ackerman)公式。
注2：把上述极点配置问题形式化为下面的抽象问题：
给定矩阵和，寻找一个矩阵L以便使得矩阵 -L有
规定的特征值。
注3：根据式(4.11)和(4.12)，可得：
T 1 ( Γ Φ Γ a 1 ΓΦ n 1 Γ a 1 Φ n 2 Γ a n - 1 Γ )( 4 . 1 5 )
u (k 1)
C Γ u (k 1)
y (k n 1)
Yk
y(k
n
2
)
y (k )
把方程(4.24)写成：
Y k W o x ( k n 1 ) W u U k 1
其中矩阵Wo和Wu由下式给出：
C
0
0
0
CΦ
CΓ
0
0
Wo CΦ2 Wu CΦΓ
CΓ
0
CΦn1
CΦn2 Γ CΦn3Γ
CΓ
如 果 系 统 是 能 观 测 的 ， 矩 阵 Wo 就 是 可 逆 的 ， 就 能 解 出 x(k-n+1)，反复利用方程(4.23)，得到：
典型的例子是阶跃，斜坡和正弦信号。
过程的不确定性
用状态空间描述可以处理矩阵A和B中各元素的不确定性， 但是状态空间描述不便于处理其他形式的未建模动力学特 性。因此，当建立更合适的工具之后，我们再来讨论过程 的不确定性。
性能准则
➢ 调节问题 受扰之后，其性能准则是力图使状态归零。 在极点配置表达中，这种状态衰减速率是通过规定闭
P ( z ) z n p 1 z n 1 p n( 4 . 8 )

4 使闭环极点与给定的期望极点相等
K

[ 0


* 0
,
1
1* ,... n1


* n 1
]
5 求出原系统的增益阵K
K

K
T 1 c1
x ( A BK)x bv, y cx
5.2 极点配置问题
例题５－２的另一种解法.
w(s)
10
s(s 1)(s 2)
2
(2 k1) k0
f *() ( 1 j)( 1 j) 2 2 2
多项式相等
k0 2, k1 4
5.2 极点配置问题
系统满足什么 条件可以通过 反馈方法任意 配置极点?
单位阶跃(u(t-1))响应
反馈前单位阶跃响应?
5.2 极点配置问题
极点任意配置极点任意配置51线性反馈系统的基本结构和特性?从输出到x导数的反馈bvgcxax第四章作业习题41434652极点配置问题基于图像传感器的模型小车轨迹跟踪控制系统综合的目的是设计反馈增益矩阵将闭环系统的极点恰好配置在根平面上期望极点的位置
5.2 极点配置问题
系统性能指标的要求
一组期望极点的要求
K k0 , k1,...kn1
x ( A b K )x b u
y cx
0
1
0
AbK
0
0
0 ... 0
0

1
(a0 k0 ) (a1 k1) ... (an1 kn1)
5.2 极点配置问题
闭环特征多项式为
1 0
f () det(I A) 0
1

syms s %符号计算
det(s*I-A)
s=solve(det(s*I-A)) %求 解
ans =
s^3-6*s^2+9*s-4
s= [ 4] [ 1] [ 1]
EX2 求控制系统的特征值及特征向量
[V,D]=eig(A)
V= -0.4082 0.7071 0.5774 -0.4082 -0.7071 0.5774 -0.8165 0 -0.5774
验证后发现配置结果正确,所以反馈控制器为K=[4 8.5 5.5]
例:已知控制系统的传Y递(S函) 数 为: 10 U (S) s(s 1)(s 2)
判断系统的可控性并设计反馈控制器,使得闭环系统的极
点为-2,-1 i,.
• %判断系统的可控性
• n1=10;d1=conv(conv([1,0],[1 1]),[1,2]);
elseif rCO<n disp('System is uncontrollable')
CO =
10
1
1
1
2
01
0
1
0
1
10
1
1
1
2
end
rCO =
2
System is uncontrollable
可观测性判定
A=[-3 1;1 -3];B=[1 1;1 1];C=[1 1;1 1];D=0;
n=length(A); OB=obsv(A,C);rOB=rank(OB) if rOB==n
0.5774 0.5774 0.5774
0 1.0000
0
1 2 4
0 0 2
-0.2182 -0.4364 -0.8729

ห้องสมุดไป่ตู้
状态空间极点配置设计
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

= y ( k ) Cx ( k ) + Du ( k )
u ( k ) ：输入向量， m ×1
y ( k ) ：输出向量， p ×1
x ( k ) ：状态向量，
F ：系统矩阵， n × n G ：输入矩阵， n × m C ：输出矩阵， p × n D ：传输矩阵， p × m
D
u (k )
G
+ +
（a）
若将上式左边的行列式展开，并比较两边 z 的同次幂的系数，则一共可得到 n 个 代数方程。对于多输入的情况（ m > 1 ），反馈系数阵 K 共有 m × n 个未知元素， 而总共只有 n 个方程，因此仅仅根据上式并不能完全确定 K ，这时需同时附加其 它的限制条件（如状态解耦、干扰解耦）才能完全确定 K 。对于单输入的情况 （ m = 1） ， K 中未知元素的个数与方程的个数相等， 因此一般情况下可获得 K 的 唯一解。下面讨论单输入的情况（ m = 1 ）。 可以证明， 对于任意的极点配置， K 具有唯一解的充分必要条件是控制对象 完全能控，即： n −1 rank G FG F G =n 这个结论的物理意义也是很明显的：只有当系统的所有状态都是能控的，才 能通过适当的状态反馈使得系统的极点放置到任意指定的位置上。 按极点配置设计控制规律的关键在于如何根据对系统性能的要求来合适地给 定闭环系统的极点，以及如何根据式（a）方便地计算出 K 。 可以在 S 平面确定极点，然后再映射到 Z 平面，也可以直接在 Z 平面确定极 点。需要注意的是，极点的确定主要靠设计者的经验以及反复地试凑，设计方法 只能保证将极点设置在所要求的位置。 上述直接求解 K 的方法原理上比较简单，但只适用于低阶系统，对于高阶系 统的计算是十分困难的。因此，需要推导出适于计算机求解的算法。 对离散状态方程进行非奇异变换，可以得到求解的 K 算式： n −1 K = [ 0 0 1] G FG F G βc ( F )