【2019中考数学 真题分类 解析版】(第二期) 专题7 分式与分式方程(含解析)

10、分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知，求的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。

化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。

最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。

这是解决条件求值问题的一般方法。

解：故原式例4：已知a 、b 、c 为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。

解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式=+-++=-++--+=+-++-+-+-+=+-+-+-++=+-+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 432423222322323241311111311111133311244()()()()()()()()()()()解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。

分式与分式方程一、选择题1. （ 2018?广西贺州，第2题3分）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠１B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选A．点评：本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．2. （ 2018?广西贺州，第12题3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）A．2B．1C．6D．10考点：分式的混合运算；完全平方公式．专题：计算题．分析：根据题意求出所求式子的最小值即可．解答：解：得到x＞0，得到=x+≥２=6，则原式的最小值为6．故选 C点评：此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．3．（2018?温州，第4题4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠２B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选A．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．4.（2018?毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．0B．1C．﹣1 D．±1考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．解答：解：由x2﹣1=0，得x=±1．当x=1时，x﹣1=0，故x=1不合题意；当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0，所以x=﹣1时分式的值为0．故选C．点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．5.（2018?孝感，第6题3分）分式方程的解为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x=2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．故选B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．（2018·浙江金华，第5题4分）在式子11,,x2,x3x2x3中，x可以取2和3的是【】A．1x2B．1x3C．x2 D．x3【答案】C．【解析】试题分析：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，在式子11,x2x3，7. （2018?湘潭，第4题，3分）分式方程的解为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x+6，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8.（2018?呼和浩特，第8题3分）下列运算正确的是（）A．?=B．=a3C．（+）2÷（﹣）=D．（﹣a）9÷a3=（﹣a）6考点：分式的混合运算；同底数幂的除法；二次根式的混合运算．分析：分别根据二次根式混合运算的法则、分式混合运算的法则、同底幂的除法法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、原式=3?=3，故本选项错误；B、原式=|a|3，故本选项错误；C、原式=÷=?=，故本选项正确；D、原式=﹣a9÷a3=﹣a6，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键9.（2018?德州，第11题3分）分式方程﹣1=的解是（）A．x=1 B．x=﹣1+C．x=2 D．无解考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．二.填空题1. （ 2018?安徽省,第13题5分）方程=3的解是x= 6 ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x﹣12=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．故答案为：6．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2. （ 2018?福建泉州，第10题4分）计算：+= 1 ．考点：分式的加减法分析：根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案．解答：解：原式==1，故答案为：1．点评：本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．3.（2018·云南昆明，第13题3分）要使分式101x 有意义，则x 的取值范围是 .考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可以求出x 的取值范围．解答：解：由分式有意义的条件得：10x 10x 故填10x．点评：本题考查了分式有意义的条件：分母不为0.4．（2018·浙江金华，第12题4分）分式方程312x1的解是▲ ．【答案】x 2.【解析】5．（2018?浙江宁波，第14题4分）方程=的根x= ﹣1 ．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．故答案为：﹣1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6. （2018?益阳，第10题，4分）分式方程=的解为x=﹣9 ．考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x=3x﹣9，解得：x=﹣9，经检验x=﹣9是分式方程的解．故答案为：x=﹣9．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7. （2018?泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于﹣3 ．考点：分式的化简求值．分析：将a2+3ab+b2=0转化为a2+b2=﹣3ab，原式化为=，约分即可．解答：解：∵a2+3ab+b2=0，∴a2+b2=﹣3ab，∴原式===﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了分式的化简求值，通分后整体代入是解题的关键．8．（2019年山东泰安，第21题4分）化简（1+）÷的结果为．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形约分即可得到结果．解：原式=?=?=x﹣1．故答案为：x﹣1点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三.解答题1. （ 2018?广东，第18题6分）先化简，再求值：（+）?（x2﹣1），其中x=．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=?（x2﹣1）=2x+2+x﹣1=3x+1，当x=时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．2. （ 2018?广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？考点：分式方程的应用．分析：（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．解答：解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：=9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．3. （ 2018?珠海，第13题6分）化简：（a2+3a）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式第二项约分后，去括号合并即可得到结果．解答：解：原式=a（a+3）÷=a（a+3）×=a．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. （ 2018?广西贺州，第19题（2）4分）（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a=+1，b=﹣1．考点：分式的化简求值.专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=ab（a+1）？=ab，当a=+1，b=﹣1时，原式=3﹣1=2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. （ 2018?广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．考点：分式方程的应用．分析：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．解答：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得=+10，解得 x=80．经检验，x=80是原方程的根．答：马小虎的速度是80米/分．点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．6. （ 2018?广西玉林市、防城港市，第20题6分）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣==，当x=﹣1时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．(2019年四川资阳，第17题7分)先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中，a满足a﹣2=0．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=?=，当a﹣2=0，即a=2时，原式=3．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2018?新疆，第17题8分）解分式方程：+=1．考点：解分式方程．分析：根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．解答：解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣93+x2+3x=x2﹣9解得x=﹣4检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，∴x=﹣4是原分式方程的解．点评：本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．9．（2019年云南省，第15题5分）化简求值：?（），其中x=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=?=x+1，当x=时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2019年云南省，第20题6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？考点：分式方程的应用．分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×２可得方程．解答：解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得 x=30经检验，x=30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．点评：本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．11．（2018?舟山，第18题6分）解方程：=1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x﹣1）﹣4=x2﹣1，去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．12.（2019年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，解得：x=50经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，答：至少应安排甲队工作10天．点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．13.（2018?毕节地区，第22题8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a2+a﹣2=0．考点：分式的化简求值；解一元二次方程－因式分解法分析：先把原分式进行化简，再求a2+a﹣2=0的解，代入求值即可．解答：解：解a2+a﹣2=0得a1=1，a2=﹣2，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a=﹣2，∴原式=÷=?=，∴原式===﹣．点评：本题考查了分式的化简求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重点内容要熟练掌握．14.（2018?武汉，第17题6分）解方程：=．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15.（2018?襄阳，第13题3分）计算：÷= ．考点：分式的乘除法专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=?=．故答案为：点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.（2018?襄阳，第19题6分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？考点：分式方程的应用专题：应用题．分析：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．解答：解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，由题意，得：=，解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程的解．x+54=144．答：设特快列车的平均速度为90km/h，则动车的速度为144km/h．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．17.（2018?邵阳，第20题8分）先化简，再求值：（﹣）?（x﹣1），其中x=2．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=?（x﹣1）=，当x=2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2018?四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用专题：应用题．分析：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟，则王师傅的工作效率为，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可；（2）根据王师傅的工作时间不能超过30分钟，列出不等式求解．解答：解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟，则王师傅的工作效率为，由题意，得：20（+）+20×=1，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．（2）设李老师要工作y 分钟，由题意，得：（1﹣）÷≤30，解得：y ≥25．答：李老师至少要工作25分钟．点评：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．19.（2018·云南昆明，第17题5分）先化简，再求值：1)11(22aa a，其中3a .考点：分式的化简求值。

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

2. 分 式一、 选择题1. (2019·常州)若代数式x ＋1x －3有意义，则实数x 的取值范围是( ) A. x ＝－1B. x ＝3C. x ≠－1D. x ≠32. (2019·扬州)分式13－x可变形为( )A. 13＋xB. －13＋xC. 1x －3D. －1x －33. (2019·江西)计算1a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2的结果为( ) A. a B. －a C. －1a 3D. 1a 34. (2019·湖州)计算a －1a ＋1a 的结果是( )A. 1B. 12 C. aD. 1a5. (2019·天津)计算2a a ＋1＋2a ＋1的结果是( )A. 2B. 2a ＋2C. 1D.4a a ＋16. (2019·陇南)下面的计算过程中，开始出现错误的是( )第6题A. ①B. ②C. ③D. ④7. (2019·临沂)计算a 2a －1－a －1的结果是( )A. －1a －1B.1a －1C. －2a －1a －1D.2a －1a －18. (2019· 河北)如图，若x 为正整数，则表示（x ＋2）2x 2＋4x ＋4－1x ＋1的值的点落在( )第8题A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④9. (2019·北京)如果m ＋n ＝1，那么代数式(2m ＋n m 2－mn ＋1m)(m 2－n 2)的值为( )A. －3B. －1C. 1D. 3二、 填空题10. (2019·泰州)若分式12x －1有意义，则x 的取值范围是________． 11. (2019·北京)若分式x －1x 的值为0，则x 的值是________．12. (2019· 贵阳)若分式x 2－2xx 的值为0，则x 的值是________．13. (2019·新疆)计算：a 2a －b －b 2a －b ＝________.14. (2019·山西)化简2x x －1－x1－x 的结果是________．15. (2019·吉林)计算：y 2x 2·xy ＝________. 16. (2019·武汉)计算2a a 2－16－1a －4的结果是________．17. (2019·绥化)当a ＝2 018时，代数式(a a ＋1－1a ＋1)÷a －1（a ＋1）2的值是________．三、 解答题18. (2019·徐州)计算：x 2－16x ＋4÷2x －84x .19.(2019·大连)计算：2a －1÷2a －4a 2－1＋12－a. 20.(2019·陕西)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ＋2＋8a a 2－4÷a ＋2a 2－2a . 21.(2019·青岛)化简：m －n m ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2m －2n . 22.(2019·宜昌)已知x ≠y ，y ＝－x ＋8，求代数式x 2x －y ＋y 2y －x的值．23.(2019·杭州)化简：4x x 2－4－2x －2－1.圆圆的解答过程如下：4x x 2－4－2x －2－1＝4x －2(x ＋2)－(x 2－4)＝－x 2＋2x.圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．24.(2019·广州)已知P ＝2a a 2－b 2－1a ＋b(a ≠±b)．(1) 化简P ；(2) 若点(a ，b)在一次函数y ＝x －2的图象上，求P 的值． 25.(2019·宿迁)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1÷2a a 2－1，其中a ＝－2.26.(2019·福建)先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x －1x ，其中x ＝2＋1. 27.(2019·深圳)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2÷x －1x 2＋4x ＋4，再将x ＝－1代入求值． 28.(2019·广东)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫xx －2－1x －2÷x 2－x x 2－4，其中x ＝ 2.29. (2019·河南)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －2－1÷x 2－2xx 2－4x ＋4，其中x ＝ 3. 30.(2019·南通)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋4m ＋4m ÷m ＋2m 2，其中m ＝2－2. 31.(2019·苏州)先化简，再求值：x －3x 2＋6x ＋9÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－6x ＋3，其中x ＝2－3. 32.(2019·泰安)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －9＋25a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－4a －1a ＋1，其中a ＝ 2. 33. (2019·长沙)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3a －1－1a －1÷a 2＋4a ＋4a 2－a ，其中a ＝3.34.(2019· 宿迁)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋3y x 2－y 2＋2x y 2－x 2÷x3（x －y ），其中x ＝33，y ＝12.35.(2019·成都)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x ＋3÷x 2－2x ＋12x ＋6，其中x ＝2＋1.36. (2019·鄂州)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x 2－4x ＋4－4x －2÷x －4x 2－4，再从－1，2，3，4中选一个合适的数作为x 的值代入求值．37.(2019·安顺)先化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x －3÷x 2－1x 2－6x ＋9，再从不等式组⎩⎨⎧－2x<4，3x<2x ＋4的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．38.(2019·大庆)已知ab ＝1，b ＝2a －1，求代数式1a －2b 的值．39.(2019·本溪)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－4a 2－4a ＋4－12－a ÷2a 2－2a ，其中a 满足a 2＋3a －2＝0.40.(2019·菏泽)先化简，再求值：1x －y ⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋y －1÷1y 2－x 2，其中x ＝y ＋2 019. 41.(2018·曲靖)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b －b a 2－b 2÷a 2－ab a 2－2ab ＋b 2，其中a ，b 满足a ＋b －12＝0.42.(2018·烟台)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 2＋2x －2÷x ＋1x 2－4x ＋4，其中x 满足x 2－2x－5＝0.2. 分 式一、 1. D 2. D 3. B 4. A 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D二、 10. x ≠12 11. 1 12. 2 13. a ＋b 14. 3x x －115. 12x16. 1a ＋4 17. 2 019三、 18. 原式＝（x ＋4）（x －4）x ＋4÷2（x －4）4x ＝(x －4)·2xx －4＝2x19. 原式＝2a －1·（a －1）（a ＋1）2（a －2）－1a －2＝a ＋1a －2－1a －2＝aa －220. 原式＝（a －2）2＋8a （a ＋2）（a －2）·a （a －2）a ＋2＝（a ＋2）2（a ＋2）（a －2）·a （a －2）a ＋2＝a21. 原式＝m －n m ÷m 2＋n 2－2mn m ＝m －n m ·m （m －n ）2＝1m －n22. 原式＝x 2x －y －y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y ＝x ＋y.当y ＝－x ＋8时，原式＝x ＋(－x ＋8)＝823. 圆圆的解答不正确．正确的答案：4x x 2－4－2x －2－1＝4x（x －2）（x ＋2）－2（x ＋2）（x －2）（x ＋2）－（x －2）（x ＋2）（x －2）（x ＋2）＝4x －2x －4－x 2＋4（x －2）（x ＋2）＝2x －x 2（x －2）（x ＋2）＝－xx ＋224. (1) P ＝2a a 2－b 2－1a ＋b ＝2a（a ＋b ）（a －b ）－a －b （a ＋b ）（a －b ）＝2a －a ＋b （a ＋b ）（a －b ）＝1a －b (2) ∵ 点(a ，b)在一次函数y ＝x －2的图象上，∴ b＝a － 2.∴ a －b ＝ 2.∴ P ＝2225. 原式＝a a －1·（a ＋1）（a －1）2a ＝a ＋12.当a ＝－2时，原式＝－2＋12＝－1226. 原式＝(x －1)÷x 2－2x ＋1x ＝(x －1)·x （x －1）2＝xx －1.当x ＝2＋1时，原式＝2＋12＋1－1＝1＋2227. 原式＝x －1x ＋2·（x ＋2）2x －1＝x ＋2.将x ＝－1代入，得原式＝－1＋2＝128. 原式＝x －1x －2·（x ＋2）（x －2）x （x －1）＝x ＋2x .当x ＝2时，原式＝2＋22＝1＋229. 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －2－x －2x －2÷x （x －2）（x －2）2＝3x －2·x －2x ＝3x .当x ＝3时，原式＝33＝ 330. 原式＝m 2＋4m ＋4m ·m 2m ＋2＝（m ＋2）2m ·m 2m ＋2＝m 2＋2m.当m ＝2－2时，原式＝m 2＋2m ＝m(m ＋2)＝(2－2)×2＝2－2 231. 原式＝x －3（x ＋3）2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋3－6x ＋3＝x －3（x ＋3）2÷x －3x ＋3＝x －3（x ＋3）2·x ＋3x －3＝1x ＋3.当x ＝2－3时，原式＝12－3＋3＝22 32. 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－8a －9a ＋1＋25a ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a ＋1－4a －1a ＋1＝a 2－8a ＋16a ＋1÷a 2－4aa ＋1＝（a －4）2a ＋1·a ＋1a （a －4）＝a －4a .当a ＝2时，原式＝2－42＝1－2 233. 原式＝a ＋2a －1·a （a －1）（a ＋2）2＝a a ＋2.当a ＝3时，原式＝33＋2＝3534. 原式＝5x ＋3y －2x x 2－y 2÷x3（x －y ）＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）·3（x －y ）x ＝9x .当x ＝33，y ＝12时，原式＝933＝ 335. 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋3－4x ＋3·2（x ＋3）（x －1）2＝x －1x ＋3·2（x ＋3）（x －1）2＝2x －1.当x ＝2＋1时，原式＝22＋1－1＝ 236. 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x （x －2）（x －2）2－4x －2÷x －4x 2－4＝(x x －2－4x －2)÷x －4x 2－4＝x －4x －2·（x －2）（x ＋2）x －4＝x ＋2.∵ x －2≠0，x －4≠0，x 2－4≠0，∴ x ≠2，x ≠4且x ≠－2.∴ 当x ＝－1时，原式＝－1＋2＝1(或当x ＝3时，原式＝3＋2＝5)37. 原式＝x －3＋2x －3·（x －3）2（x ＋1）（x －1）＝x －3x ＋1.解不等式组⎩⎨⎧－2x<4，3x<2x ＋4，得－2＜x ＜4.∴ 其整数解为－1，0，1，2，3.∵ 要使原分式有意义，∴ x 可取0，2.∴当x ＝0 时，原式＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫或当x ＝2 时，原式＝－13 38. ∵ ab ＝1，b ＝2a －1，∴ b －2a ＝－1.∴ 1a －2b ＝b －2a ab ＝－11 ＝－139. 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋2）（a －2）（a －2）2＋1a －2·a （a －2）2＝(a ＋2a －2＋1a －2)·a （a －2）2＝a ＋3a －2·a （a －2）2 ＝a （a ＋3）2 ＝a 2＋3a2.∵ a 2＋3a －2＝0，∴ a 2＋3a ＝2.∴原式＝22＝140. 原式＝1x －y ·2y －（x ＋y ）x ＋y·(y ＋x)(y －x) ＝－(2y －x －y)＝x －y.∵ x ＝y ＋2 019，∴ 原式＝y ＋2 019－y ＝2 01941. 原式＝a ＋b －b （a ＋b ）（a －b ）·（a －b ）2a （a －b ）＝1a ＋b .∵ a ＋b －12＝0，∴ a ＋b ＝12.∴ 原式＝242. 原式＝x －2＋x 2＋2x －2·（x －2）2x ＋1＝x （x ＋1）x －2·（x －2）2x ＋1＝x(x －2)＝x 2－2x.∵ x 2－2x －5＝0，∴ x 2－2x ＝5.∴ 原式＝5。

专题10 分式与分式方程压轴题真题-高分必刷题（原卷版）专题简介：本份资料包含《分式与分式方程》这一章在各次月考、期末中的主流压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，本专题资料适合于培训机构的老师培养尖子生时使用或者学生想挑战高分时刷题使用。

题型一：分式方程的无解问题1. （长郡）（1）若关于x 的方程933312-+=++-x kx k x 无解，求k 的值； （2）若 n 是自然数，关于 x 的分式方程122=-+++xnx n x 的解为t ，且t t =，求n t -+)1(的值。

【解答】解：（1）去分母，得：x +3+k （x ﹣3）＝3+k ，即（1+k ）x ＝4k ，∴k ＝﹣1时，方程无解，∵分式方程无解，即x 2﹣9＝0，解得：x ＝3或x ＝﹣3，当x ＝3时，3+3+0＝3+k ，解得：k ＝3；当x ＝﹣3时，﹣3+3﹣6k ＝3+k ，解得：k ＝﹣．（2）去分母，得：(x+n)(2-x)+n(x+2)=(x+2)(2-x)，∴x=2-2n ，∵方程的解为t ，解不为増根， 最简公分母(x+2)(2-x)≠0，∴x ≠-2且x ≠2，∴2-2n ≠-2，得n ≠2且2-2n ≠2得n ≠0，2-2n=t ，t t =，∴t ≥0，∴2-2n ≥0，∴n ≤1，n 为自然数，∴n=0（舍）或n=1，当n=1时，t=2-2n=0，(t+1)-n=(0+1)-1=1综上，原式的值为1．2.（中雅）对于平面直角坐标系中的点(),P a b ，若点'P 的坐标为,a a kb b k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（其中k 为常数，且0k ≠）则称点'P 为点P 的“k 系雅培点”。

例如：()3,2P 的“3系雅培点”为3'332,23P ⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭，即()'9,3P 。

（1）点()6,1P 的“2系雅培点”'P 的坐标为 ；（2）若点P 在y 轴的正半轴上，点P 的“k 系雅培点”为'P 点，若在△'OPP 中，'2PP OP =，求k 的值；（3）已知点(),A x y 在第四象限，且满足12xy =-。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题07分式方程一．选择题（共7小题）1．（2022•德阳）如果关于x 的方程2x+m x−1=1的解是正数，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围． 【解析】两边同时乘（x ﹣1）得， 2x +m ＝x ﹣1， 解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1， ∴{x ＞0x ≠1，即{−1−m ＞0−1−m ≠1， 解得：{m ＜−1m ≠−2，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2． 故答案为：D ．【点评】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键．2．（2022•遂宁）若关于x 的方程2x =m 2x+1无解，则m 的值为（ ）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或x =−12=−24−m ，求出m 的值即可． 【解析】2x =m 2x+1，2（2x +1）＝mx ， 4x +2＝mx ， （4﹣m ）x ＝﹣2， ∵方程无解，∴4﹣m ＝0或x =−12=−24−m ，∴m ＝4或m ＝0， 故选：D ．【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键． 3．（2022•广元）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N 95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N 95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N 95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x 元，则列方程正确的是（ ） A ．9600x−10=1600x B ．9600x+10=1600xC ．9600x=1600x−10D ．9600x=1600x+10【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x 元，则购进N 95口罩的单价是（x +10）元，利用数量＝总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x 的分式方程．【解析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x 元，则购进N 95口罩的单价是（x +10）元， 依题意得：9600x+10=1600x，故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 4．（2022•云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x 棵，则下列方程正确的是（ ） A ．400x−50=300x B ．300x−50=400xC ．400x+50=300xD ．300x+50=400x【分析】根据实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【解析】由题意可得，400x=300x−50，故选：B ．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．5．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50002x=4000x−30，则方程中x 表示（ ）A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量【分析】设篮球的数量为x 个，足球的数量是2x 个，列出分式方程解答即可． 【解析】设篮球的数量为x 个，足球的数量是2x 个． 根据题意可得：50002x=4000x−30，故选：D ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．6．（2022•重庆）关于x 的分式方程3x−ax−3+x+13−x =1的解为正数，且关于y 的不等式组{y +9≤2(y +2)2y−a 3＞1的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出{y ≥5y ＞a+32，结合题意得出a ≤7，进而得出2＜a ≤7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案． 【解析】解分式方程得：x ＝a ﹣2， ∵x ＞0且x ≠3， ∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3， ∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：{y ≥5y ＞a+32，∵不等式组的解集为y ≥5， ∴a+32＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13， 故选：A ．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．7．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组{x −1≥4x−13，5x −1＜a的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程y−1y+1=a y+1−2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出{x ≤−2x ＜a+15，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y =a−13，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解析】解不等式组{x −1≥4x−135x −1＜a 得：{x ≤−2x ＜a+15，∵不等式组{x −1≥4x−135x −1＜a 的解集为x ≤﹣2，∴a+15＞−2，∴a ＞﹣11， 解分式方程y−1y+1=ay+1−2得：y =a−13， ∵y 是负整数且y ≠﹣1， ∴a−13是负整数且a−13≠−1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13， 故选：D ．【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．二．填空题（共6小题）8．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b =1a +1b ．若（x +1）⊗x =2x+1x，则x 的值为 −12 ．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案． 【解析】根据题意得：1x+1+1x=2x+1x，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1）， 解得：x =−12，检验：当x =−12时，x （x +1）≠0， ∴原方程的解为：x =−12． 故答案为：−12．【点评】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．9．（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为160x =140x−10．【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．【解析】设甲每小时采样x 人，则乙每小时采样（x ﹣10）人，根据题意得：160x=140x−10．故答案为：160x=140x−10．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10．（2022•金华）若分式2x−3的值为2，则x 的值是 4 ．【分析】依据题意列出分式方程，解分式方程即可求得结论． 【解析】由题意得：2x−3=2，去分母得：2＝2（x ﹣3）， 去括号得：2x ﹣6＝2， 移项，合并同类项得：2x ＝8， ∴x ＝4．经检验，x ＝4是原方程的根， ∴x ＝4． 故答案为：4．【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要验根，这是容易丢掉的步骤．11．（2022•泸州）若方程x−3x−2+1=32−x 的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是 a ＜﹣1 ．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解． 【解析】x−3x−2+1=32−x ，x−3x−2+x−2x−2=−3x−2，2x−2x−2=0，解得：x ＝1， ∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0， ∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得： 2﹣a ﹣3＞0， 解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1， 故答案为：a ＜﹣1．【点评】本题考查分式方程的解，不等式的解集，解题的关键是正确求出分式方程的解，要注意分母不能为0．12．（2022•成都）分式方程3−x x−4+14−x=1的解为 x ＝3 ．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解析】去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4， 解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解， 故答案为：x ＝3【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13．（2022•邵阳）分式方程5x−2−3x=0的解是 x ＝﹣3 ．【分析】依据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【解析】去分母，得：5x ﹣3（x ﹣2）＝0， 整理，得：2x +6＝0，解得：x＝﹣3，经检验：x＝﹣3是原分式方程的解，故答案为：x＝﹣3．【点评】本题主要考查解分式方程能力，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．三．解答题（共10小题）14．（2022•苏州）解方程：xx+1+3x=1．【分析】先两边同乘以x（x+1）化为整式方程：x2+3（x+1）＝x（x+1），解整式方程得x=−32，再检验即可得答案．【解析】方程两边同乘以x（x+1）得：x2+3（x+1）＝x（x+1），解整式方程得：x=−3 2，经检验，x=−32是原方程的解，∴原方程的解为x=−3 2．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，特别注意解分式方程必须检验．15．（2022•眉山）解方程：1x−1=32x+1．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解析】1x−1=32x+1，方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：2x+1＝3（x﹣1），解这个整式方程得：x＝4，检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，∴x＝4是原方程的解．【点评】本题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤是解题的关键，需要特别注意解分式方程需要检验．16．（2022•嘉兴）（1）计算：（1−√83）0−√4．（2）解方程：x−32x−1=1．【分析】（1）分别利用0指数幂、算术平方根的定义化简，然后加减求解； （2）首先去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根． 【解析】（1）原式＝1﹣2＝﹣1； （2）去分母得x ﹣3＝2x ﹣1， ∴﹣x ＝3﹣1， ∴x ＝﹣2，经检验x ＝﹣2是分式方程的解， ∴原方程的解为：x ＝﹣2．【点评】本题分别考查了实数的运算和解分式方程，实数的运算主要利用0指数幂及算术平方根的定义，解分式方程的基本方法时去分母． 17．（2022•宿迁）解方程：2x x−2=1+1x−2．【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【解析】2x x−2=1+1x−2， 2x ＝x ﹣2+1， x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x ＝﹣1．【点评】此题考查了解分式方程，用到的知识点是解分式方程的步骤：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验．18．（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？【分析】设平常的速度是x 千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可． 【解析】设平常的速度是x 千米/小时， 根据题意，得(1−12)⋅4x x−20+2=5，解得x ＝60，经检验，x ＝60是原方程的根， 4×60＝240（千米），答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．19．（2022•乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办．为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆．已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【分析】设摩托车的速度为x 千米/小时，则抢修车的速度为1.5x 千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用10分钟到达，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设摩托车的速度为x 千米/小时，则抢修车的速度为1.5x 千米/小时， 依题意，得：20x−201.5x=1060，解得：x ＝10，经检验，x ＝10是原方程的解，且符合题意． 答：摩托车的速度为10千米/小时．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？ 【分析】设每个小组有学生x 名，由题意得：3603x−3604x=3，解分式方程并检验后即可得出答案．【解析】设每个小组有学生x 名， 由题意得：3603x−3604x=3，解得：x ＝10， 当x ＝10时，12x ≠0， ∴x ＝10是分式方程的根， 答：每个小组有学生10名．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．21．（2022•达州）某商场进货员预测一种应季T 恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T 恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T 恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．（1）该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批T 恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T 恤衫按七折优惠售出，要使两批T 恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T 恤衫的标价至少是多少元？【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是x 元和（x +4）元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；（2）设每件T 恤衫的标价至少是y 元，根据题意列出不等式解答即可．【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是x 元和（x +4）元，根据题意可得： 2×4000x=8800x+4， 解得：x ＝40，经检验x ＝40是方程的解， x +4＝40+4＝44，答：该商场购进第一批、第二批T 恤衫每件的进价分别是40元和44元； （2）解：400040+880044=300（件），设每件T 恤衫的标价至少是y 元，根据题意可得：（300﹣40）y +40×0.7y ≥（4000+8800）×（1+80%）， 解得：y ≥80，答：每件T 恤衫的标价至少是80元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量+后来2天的工作量＝600，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．【解析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，则原计划每天施工（x ﹣20）米， 由题意可得：5（x ﹣20）+2x ＝600，解得x ＝100，答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m 米，则技术更新后每天修建水渠m （1+20%）＝1.2m 米， 由题意可得：360m +900−3601.2m =900100，解得m ＝90，经检验，m ＝90是原分式方程的解，答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．【点评】本题考查一元一次方程的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程和一元一次方程．23．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间﹣汽车用的时间＝2，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．【解析】设张老师骑车的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x 千米/小时，由题意可得：45x −2=453x， 解得x ＝15，经检验，x ＝15是原分式方程的解，答：张老师骑车的速度是15千米/小时．【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．。

分式与分式方程一、选择题1. （2014•广西贺州，第2题3分）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选A．点评：本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．2. （2014•广西贺州，第12题3分）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）A．2B．1C．6D．10考点：分式的混合运算；完全平方公式．专题：计算题．分析：根据题意求出所求式子的最小值即可．解答：解：得到x＞0，得到=x+≥2=6，则原式的最小值为6．故选C点评：此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．3．（2014•温州，第4题4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选A．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．4.（2014•毕节地区，第10题3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．0B．1C．﹣1 D．±1考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0，由此条件解出x．解答：解：由x2﹣1=0，得x=±1．当x=1时，x﹣1=0，故x=1不合题意；当x=﹣1时，x﹣1=﹣2≠0，所以x=﹣1时分式的值为0．故选C．点评：分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．5.（2014•孝感，第6题3分）分式方程的解为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x=2，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．故选B点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6．（2014·浙江金华，第5题4分）在式子11,,x2,x3x2x3----中，x可以取2和3的是【】A．1x2-B．1x3-C．x2-D．x3-【答案】C．【解析】试题分析：根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，在式子11,x2x3--，7. （2014•湘潭，第4题，3分）分式方程的解为（）A． 1 B．2C．3D．4考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x+6，移项合并得：2x=6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8.（2014•呼和浩特，第8题3分）下列运算正确的是（）A．•=B．=a3C．（+）2÷（﹣）=D．（﹣a）9÷a3=（﹣a）6考点：分式的混合运算；同底数幂的除法；二次根式的混合运算．分析：分别根据二次根式混合运算的法则、分式混合运算的法则、同底幂的除法法则对各选项进行逐一计算即可．解答：解：A、原式=3•=3，故本选项错误；B、原式=|a|3，故本选项错误；C、原式=÷=•=，故本选项正确；D、原式=﹣a9÷a3=﹣a6，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键9.（2014•德州，第11题3分）分式方程﹣1=的解是（）A．x=1 B．x=﹣1+C．x=2 D．无解考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．二.填空题1. （2014•安徽省,第13题5分）方程=3的解是x=6．考点：解分式方程．菁优网专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x﹣12=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．故答案为：6．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．2. （ 2014•福建泉州，第10题4分）计算：+= 1 ．考点：分式的加减法 分析： 根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案． 解答： 解：原式==1，故答案为：1．点评： 本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．3.（2014·云南昆明，第13题3分）要使分式101-x 有意义，则x 的取值范围是 . 考点： 分式有意义的条件．分析： 根据分式有意义的条件可以求出x 的取值范围． 解答： 解：由分式有意义的条件得：010≠-x10≠x故填10≠x ．点评： 本题考查了分式有意义的条件：分母不为0. 4．（2014·浙江金华，第12题4分）分式方程312x 1=-的解是 ▲ ． 【答案】x 2=. 【解析】5．（2014•浙江宁波，第14题4分）方程=的根x = ﹣1 ．考点： 解分式方程 专题： 计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．故答案为：﹣1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6. （2014•益阳，第10题，4分）分式方程=的解为x=﹣9．考点：解分式方程．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：4x=3x﹣9，解得：x=﹣9，经检验x=﹣9是分式方程的解．故答案为：x=﹣9．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7. （2014•泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于﹣3．考点：分式的化简求值．分析：将a2+3ab+b2=0转化为a2+b2=﹣3ab，原式化为=，约分即可．解答：解：∵a2+3ab+b2=0，∴a2+b2=﹣3ab，∴原式===﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了分式的化简求值，通分后整体代入是解题的关键．8．（2014年山东泰安，第21题4分）化简（1+）÷的结果为．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形约分即可得到结果．解：原式=•=•=x﹣1．故答案为：x﹣1点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三.解答题1. （2014•广东，第18题6分）先化简，再求值：（+）•（x2﹣1），其中x=．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•（x2﹣1）=2x+2+x﹣1=3x+1，当x=时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．2. （2014•广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率==）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？考点：分式方程的应用．分析：（1）利用利润率==这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．解答：解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：=9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．点评：本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．3. （2014•珠海，第13题6分）化简：（a2+3a）÷．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式第二项约分后，去括号合并即可得到结果．解答：解：原式=a（a+3）÷=a（a+3）×=a．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. （2014•广西贺州，第19题（2）4分）（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a=+1，b=﹣1．考点：分式的化简求值.专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=ab（a+1）•=ab，当a=+1，b=﹣1时，原式=3﹣1=2．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. （2014•广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．考点：分式方程的应用．分析：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．解答：解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得=+10，解得x=80．经检验，x=80是原方程的根．答：马小虎的速度是80米/分．点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．6. （2014•广西玉林市、防城港市，第20题6分）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣==，当x=﹣1时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．(2014年四川资阳，第17题7分)先化简，再求值：（a+）÷（a﹣2+），其中，a 满足a﹣2=0．考点：分式的化简求值．菁优网专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，当a﹣2=0，即a=2时，原式=3．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2014•新疆，第17题8分）解分式方程：+=1．考点：解分式方程．分析：根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解．解答：解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣93+x2+3x=x2﹣9解得x=﹣4检验：把x=﹣4代入（x+3）（x﹣3）≠0，∴x=﹣4是原分式方程的解．点评：本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况．9．（2014年云南省，第15题5分）化简求值：•（），其中x=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=x+1，当x=时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2014年云南省，第20题6分）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？考点：分式方程的应用．分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．解答：解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则2×=，解得x=30经检验，x=30是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．点评：本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．11．（2014•舟山，第18题6分）解方程：=1．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x﹣1）﹣4=x2﹣1，去括号得：x2﹣x﹣4=x2﹣1，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．12.（2014年广东汕尾，第23题11分）某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣=4，解得：x=50经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设至少应安排甲队工作x天，根据题意得：0.4x+×0.25≤8，解得：x≥10，答：至少应安排甲队工作10天．点评：此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．13.（2014•毕节地区，第22题8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a2+a ﹣2=0．考点：分式的化简求值；解一元二次方程－因式分解法分析：先把原分式进行化简，再求a2+a﹣2=0的解，代入求值即可．解答：解：解a2+a﹣2=0得a1=1，a2=﹣2，∵a﹣1≠0，∴a≠1，∴a=﹣2，∴原式=÷=•=，∴原式===﹣．点评：本题考查了分式的化简求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重点内容要熟练掌握．14.（2014•武汉，第17题6分）解方程：=．考点：解分式方程专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x=3x﹣6，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．15.（2014•襄阳，第13题3分）计算：÷=．考点：分式的乘除法专题：计算题．分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=．故答案为：点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.（2014•襄阳，第19题6分）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？考点：分式方程的应用专题：应用题．分析：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同，列方程求解．解答：解：设特快列车的平均速度为xkm/h，则动车的速度为（x+54）km/h，由题意，得：=，解得：x=90，经检验得：x=90是这个分式方程的解．x+54=144．答：设特快列车的平均速度为90km/h，则动车的速度为144km/h．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系：动车行驶360km与特快列车行驶（360﹣135）km所用的时间相同．17.（2014•邵阳，第20题8分）先化简，再求值：（﹣）•（x﹣1），其中x=2．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•（x﹣1）=，当x=2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2014•四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用专题：应用题．分析：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1，可得方程，解出即可；（2）根据王师傅的工作时间不能超过30分钟，列出不等式求解．解答：解：（1）设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟，则王师傅的工作效率为，由题意，得：20（+）+20×=1，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根．答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟．（2）设李老师要工作y分钟，由题意，得：（1﹣）÷≤30，解得：y≥25．答：李老师至少要工作25分钟．点评：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系．19.（2014·云南昆明，第17题5分）先化简，再求值：1)11(22-⋅+a a a ，其中3=a .考点： 分式的化简求值。

方程（组）专题一、单选题1．若x=4是分式方程的根，则a的值为A．6B．－6C．4D．－4【答案】A2．一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏【答案】A3．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种【答案】B4．已知关于x的分式方程=1的解是负数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3 D．m＜3且m≠2【答案】D5．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C6．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A．B．C．D．【答案】B7．若2-是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是（）A．1 B．3-C．1+D．2+【答案】A8．已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【答案】A9．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．0或﹣2【答案】D10．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为A．B．C．D．【答案】A11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】B12．某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小张可以安排学生参加活动的方案共有( ) A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】B13．某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（）A．360 B．480 C．600 D．720【答案】C14．已知关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A．k≤2B．k≤0C．k<2D．k<0【答案】C15．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m 的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在【答案】A16．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．【答案】A17．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）A．B．C．D．方程组的解为【答案】C二、填空题18．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__．【答案】19．已知x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两实数根，则的值是__．【答案】620．爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车，假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的__倍．【答案】621．若关于x的方程无解，则m的值为__．【答案】-1或5或22．已知实数m，n满足，，且，则= ．【答案】．23．为实现营养套餐的合理搭配，某电商推出两款适合不同人群的甲、乙两种袋装的混合粗粮．甲种袋装粗粮每袋含有3千克A粗粮，1千克B粗粮，1千克C粗粮；乙种袋装粗粮每袋含有1千克A粗粮，2千克B粗粮，2千克C粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本分别等于袋中的A、B、C三种粗粮成本之和．已知每袋甲种粗粮的成本是每千克A种粗粮成本的7.5倍，每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮售价高20%，乙种袋装粗粮的销售利润率是20%．当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为24%时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的袋数之比是_____（商品的销售利润率=×100%）【答案】24．已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____．【答案】525．已知关于的方程有两个相等的实根，则的值是__________．【答案】26．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．【答案】27．若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．【答案】-3三、解答题28．小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：购买数量（件购买总费用（元根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元；(2) 当a=8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．29．如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．根据以上信息，解答下列问题．（1）冰冰同学所列方程中的x表示什么，庆庆同学所列方程中的y表示什么；（2）两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间；（2）冰冰用的等量关系是：甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间；（3）甲队每天修路的长度为40米．30．某公司购买了一批、型芯片，其中型芯片的单价比型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买型芯片的条数与用4200元购买型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的、型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条型芯片？【答案】（1）A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条；（2）80．31．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.32．小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：解答下列问题：（1）第次购买有折扣；（2）求A、B两种商品的原价；（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．【答案】（1）三（2）A：30元/件，B：40元/件（3）6 （4）7件33．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？【答案】（1）10%；（2）甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．34．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【答案】(1) 50千克(2) 12.535．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.36．已知关于x的一元二次方程有实数根．求m的取值范围；当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．【答案】；该矩形外接圆的直径是37．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．【答案】（1）0.3；（2）60家；（3）Q=20.5；a=9.5.38．班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？【答案】（1）大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里。

考点06.分式方程（精讲）【命题趋势】分式方程考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。

【知识清单】1：解分式方程（☆☆）1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。

2）分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．3）增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根。

由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。

若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解。

2：分式方程的应用（☆☆☆）1）列分式方程解应用题的一般步骤：①审题（找等量关系）；②设未知数；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答。

2）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题、利润问题等。

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度，总利润=单件利润×销售量，利润率=利润÷成本×100%等。

【易错点归纳】1.解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。

2019全国部分地区中考数学试题分类解析汇编第7章分式与分式方程注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！第7章分式与分式方程【一】选择题1.〔2018安徽，6，4分〕化简xx x x -+-112的结果是〔〕 A.x +1B.x -1C.—x D.x解析：此题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，此题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减、 解答：解：x x x x x x x x x x x =--=--=---=1)1(11122应选D 、 点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法那么，一定要将结果化成最简分式、2、〔2018成都〕分式方程3121x x =-的解为〔〕 A 、1x =B 、2x =C 、3x =D 、4x =考点：解分式方程。

解答：解：3121x x =-， 去分母得：3x ﹣3=2x ，移项得：3x ﹣2x=3，合并同类项得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2x 〔x ﹣1〕=12≠0，故x=3是原方程的解，故原方程的解为：3x =，应选：C 、3、〔2018义乌市〕以下计算错误的选项是〔〕A 、B 、C 、D 、考点：分式的混合运算。

解答：解：A 、，故本选项错误；B 、，故本选项正确；C 、=﹣1，故本选项正确；D 、，故本选项正确、应选A 、4、(2018•丽水)把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()A 、xB 、2xC 、x ＋4D 、x (x ＋4)考点： 解分式方程。

分析： 根据各分母寻找公分母x (x ＋4)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程、解答： 解：由两个分母(x ＋4)和x 可得最简公分母为x (x ＋4)，所以方程两边应同时乘以x (x ＋4)、应选D 、点评： 此题考查解分式方程去分母的能力，确定最简公分母应根据所给分式的分母来决定、【二】填空题1、〔2018福州〕计算：x －1x ＋1x ＝______________、考点：分式的加减法、专题：计算题、分析：直接根据同分母的分数相加减进行计算即可、解答：解：原式＝x －1＋1x ＝1、故答案为：1、点评：此题考查的是分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减、2、(2018•连云港)今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，假设同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，那么条例实施前此款空调的售价为2200元、考点： 分式方程的应用。

2. 分式方程一、 选择题1. (2019·淄博)解分式方程1－x x －2＝12－x－2时，去分母变形正确的是( ) A. －1＋x ＝－1－2(x －2)B. 1－x ＝1－2(x －2)C. －1＋x ＝1＋2(2－x)D. 1－x ＝－1－2(x －2)2. (2019·海南)分式方程1x ＋2＝1的解是( ) A. x ＝1B. x ＝－1C. x ＝2D. x ＝－23. (2019·哈尔滨)方程23x －1＝3x 的解为( ) A. x ＝311 B. x ＝113C. x ＝37D. x ＝734. (2019·成都)分式方程x －5x －1＋2x ＝1的解为( ) A. x ＝－1B. x ＝1C. x ＝2D. x ＝－25. (2019·龙东地区)已知关于x 的分式方程2x －m x －3＝1的解是非正数，则m 的取值范围是( )A. m ≤3B. m ＜3C. m ＞－3D. m ≥－36. (2019·荆州)已知关于x 的分式方程x x －1－2＝k 1－x的解为正数，则k 的取值范围为( )A. －2＜k ＜0B. k ＞－2且k ≠－1C. k ＞－2D. k ＜2且k ≠17. (2019·广州)甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是( )A. 120x ＝150x －8B. 120x ＋8＝150xC. 120x －8＝150xD. 120x ＝150x ＋8二、 填空题 8. (2019·北京)若分式x －1x 的值为0，则x 的值为________．9. (2019·河池)分式方程1x －2＝1的解为________． 10. (2019·岳阳)分式方程1x ＝2x ＋1的解为x ＝________. 11. (2019·孝感)方程12x ＝2x ＋3的解为________． 12. (2019·天水)分式方程1x －1－2x ＝0的解是________． 13. (2019·德州)方程6（x ＋1）（x －1）－3x －1＝1的解为________． 14. (2019·凉山州)方程2x －1x －1＋21－x 2＝1的解是________． 15. (2019·巴中)若关于x 的分式方程x x －2＋2m 2－x＝2m 有增根，则m 的值为________．16. (2019·安顺)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克？设原计划平均每亩产量为x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克．根据题意，列方程为________________．三、 解答题17. (2019·菏泽)解方程：5x －2＝3x. 18.(2019·镇江)解方程：2x x －2＝3x －2＋1. 19.(2019·泰州)解方程：2x －5x －2＋3＝3x －3x －2. 20.(2019·陕西)解方程：x －2x －1＋2＝21－x. 21.(2019·自贡)解方程：x x －1－2x ＝1.22. (2019·毕节)解方程：1－x－32x＋2＝3xx＋1.23.(2019·仙桃)解方程：2x－1＝5x2－1.24.(2019·南京)解方程：xx－1－1＝3x2－1.25.(2019·广安)解方程：xx－2－1＝4x2－4x＋4.26.(2019·梧州)解方程：x2＋2x－2＋1＝6x－2.27.(2019·玉林)解方程：xx－1－3（x－1）（x＋2）＝1.28.(2019·乐山)如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为－2，xx＋1，且点A，B到原点的距离相等．求x的值.第28题29.(2019·宿迁)关于x的分式方程1x－2＋a－22－x＝1的解为正数，求a的取值范围．30.(2019·深圳)定义一种新运算：∫a b nx n－1dx＝a n－b n，如∫k h2xdx＝k2－h2.若∫m5m－x－2dx＝－2，求m的值31.(2019·扬州)“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化环境，由甲、乙两个工程队承担河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道1 500米，且甲工程队整治3 600米所用的时间与乙工程队整治2 400米所用的时间相等．甲工程队每天整治河道多少米？32.(2019·宜宾)甲、乙两辆货车分别从A，B两城同时向C城运送货物．已知A，C两城的路程为450千米，B，C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．2. 分式方程一、 1. D 2. B 3. C 4. A 5. A 6. B 7. D二、 8. 1 9. x ＝3 10. 1 11. x ＝1 12. x ＝2 13. x ＝－4 14. x ＝－2 15. 1 16. 36x －36＋91.5x ＝20三、 17. 去分母，得5x ＝3x －6，解得x ＝－3.经检验，x ＝－3是原分式方程的解18. 去分母，得2x ＝3＋x －2，解得x ＝1.经检验，x ＝1是原分式方程的解 19. 去分母，得2x －5＋3(x －2)＝3x －3.去括号，得2x －5＋3x －6＝3x －3.移项、合并同类项，得2x ＝8，解得x ＝4.经检验，x ＝4是原分式方程的解20. 去分母，得x －2＋2(x －1)＝－2.去括号，得x －2＋2x －2＝－2.移项、合并同类项，得3x ＝2，解得x ＝23.经检验，x ＝23是原分式方程的解21. 去分母，得x 2－2(x －1)＝x(x －1)．去括号，得x 2－2x ＋2＝x 2－x ，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原分式方程的解22. 去分母，得2x ＋2－(x －3)＝6x.去括号，得2x ＋2－x ＋3＝6x.移项、合并同类项，得－5x ＝－5，解得x ＝1.经检验，x ＝1是原分式方程的解23. 去分母，得2(x ＋1)＝5，解得x ＝32.经检验，x ＝32是原分式方程的解 24. 去分母，得x(x ＋1)－(x 2－1)＝3.去括号，得x 2＋x －x 2＋1＝3，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原分式方程的解25. 去分母，得x(x －2)－(x －2)2＝4.去括号，得x 2－2x －x 2＋4x －4＝4.移项、合并同类项，得2x ＝8，解得x ＝4.经检验，x ＝4是原分式方程的解26. 去分母，得x 2＋2＋x －2＝6.移项、合并同类项，得x 2＋x －6＝0，即(x －2)(x ＋3)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－3.经检验，x 1＝2不是原分式方程的解，∴ 原分式方程的解是x ＝－327. 去分母，得x(x ＋2)－3＝(x －1)(x ＋2)．去括号，得x 2＋2x －3＝x 2＋x －2，解得x ＝1.经检验，x ＝1不是原分式方程的解．∴ 原分式方程无解28. 根据题意，得x x ＋1＝2.去分母，得x ＝2(x ＋1)．去括号，得x ＝2x ＋2，解得x ＝－2.经检验，x ＝－2是原方程的解．∴ x 的值为－229. 将1x －2＋a －22－x＝1去分母，得1－a ＋2＝x －2，解得x ＝5－a.根据题意，得5－a ＞0，解得a ＜5.∵ x ≠2，∴ a ≠3.∴ a 的取值范围为a ＜5且a ≠330. 根据题意，得∫m 5m －x －2dx ＝m －1－(5m)－1＝1m －15m ＝－2，解得m ＝－25.经检验，m ＝－25是原方程的解31. 设甲工程队每天整治河道x 米，则乙工程队每天整治河道(1 500－x)米．根据题意，得3 600x ＝ 2 4001 500－x，解得x ＝900.经检验，x ＝900是原分式方程的解，且符合题意．答：甲工程队每天整治河道900米32. 设乙车的速度为x 千米/时，则甲车的速度为(x ＋10)千米/时．根据题意，得450x ＋10＋12＝440x ，解得x ＝80或x ＝－110(不合题意，舍去)．经检验，x ＝80是原分式方程的解．x ＋10＝90.答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时。