下载文档原格式
二次函数一、选择题1. （2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，以下说法错误的选项是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x ＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．应选D．点评：此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．2. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如下图，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．点：分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．应选B．点评：此题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a ＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．3．(四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，应选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表现一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．(天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．应选D．点评：此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，以下说法正确的选项是（）点式为y =a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．6．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x ﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或﹣或考点：二次函数的最值专题：分类讨论．分析：根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．解答：解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=﹣，m =（舍去）；③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m的值为2或﹣．应选C．此题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．点评：7.（2014•毕节地区，第11题3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．应选B．点评：考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8.（2014•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点专题：数形结合．分析：由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得b=2a，所以c ﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．应选C．点评：此题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac ＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．9．（2014·台湾，第26题3分）已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为以下何者？( )A．1 B．3 C．5 D．7分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h ﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．应选D．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．（2014·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数2=-++的y x2x4图象，使y1≤成立的x的取值范围是【】A．1x3≤-C．x1≥-≤≤B．x1D．x1≤-或x3≥【答案】D．【解析】试题分析：由图象可知，当y1≤时，x1≤-或x3≥. 应选D．11．（2014•浙江宁波，第12题4分）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）考点：二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变更－对称．分析：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．解答：解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，（a+2）2+4（b﹣1）2=0，∴a+2=0，b﹣1=0，解得a=﹣2，b=1，∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，∴点A的坐标为（﹣4，10），∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．应选D．点评：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变更﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．12.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则以下图象中能表现y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，应选A．13.（2014•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m ＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b考点：抛物线与x轴的交点．分析：依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．解答：解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如下图．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．应选A．点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，防止了繁琐复杂的计算．14．（山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m ＜n）的图象如下图，则一次函数y=mx+n与反比例函数y =的图象可能是（）A．B C D．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．应选C．点评：此题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．15.（山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3以下结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x ＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．应选B．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．16.（2014•滨州，第9题3分）以下函数中，图象经过原点的是（）A．y=3x B．y=1﹣2x C．y=D．y=x2﹣1考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征分析：将点（0，0）依次代入以下选项的函数解析式进行一一验证即可．解答：解：∵函数的图象经过原点，∴点（0，0）满足函数的关系式；A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点（0，0）满足函数的关系式y=3x；故本选项正确；B、当x=0时，y=1﹣2×0=1，即y=1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=1﹣2x；故本选项错误；C、y=的图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；D、当x=0时，y=02﹣1=﹣1，即y=﹣1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=x2﹣1；故本选项错误；应选A．点评：此题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征．经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的解析式．1. （2014•安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表现出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．2．(云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．3．（2014•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．点评：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．4. （2014•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x +的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是a＜﹣5 ．考点：抛物线与x轴的交点分析：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I）函数是二次函数；（II）二次函数与x轴有两个交点；（III）二次函数与y轴的正半轴相交．解答：解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I）函数是二次函数．因此a﹣1≠0，即a≠1①（II）二次函数与x轴有两个交点．因此△=9﹣4（a﹣1）=﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣②（III）二次函数与y轴的正半轴相交．因此＞0，解得a＞1或a＜﹣5③综合①②③式，可得：a＜﹣5．故答案为：a＜﹣5．点评：此题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、二次函数与y轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件．5. （江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是．考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．点评：此题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．6. （2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0 ．（第3题图）考抛物线与x轴的交点点：分析：依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．解答：解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．点评：此题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表现出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是此题的关键．7．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y 2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E ，则= _______．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C 的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．解答：解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=2=3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，==3﹣．故答案为：3﹣．点评：此题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表现出各点的坐标是解题的关键．8. （2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为直线x=2 ．考点：二次函数的性质分析：点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．解答：解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x ==2．故答案为：直线x=2．点评：此题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．1. （2014•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表白式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表现两个为“同簇二次函数”的函数表白式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表白式，然后将函数y2的表白式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x ﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表白式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：此题考查了求二次函数表白式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．2. （2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x ﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变更－旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB =OA′=1，A′B =OB =，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB =OA′=1，∴A′B =OB =，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．3. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC 中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．考点：四边形综合题分析：（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表白式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG ==12，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH =12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x =×20，∵S=xh=x •×20=20h ﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH =12，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表白式，求出二次函数表白式，即可求出结论．4. （2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB 于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm 的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表白式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．。
2x−y+m=0
（2022•荆州中考）如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和y2=2
x的图象．观察图象可得不等式2x＞
2
x的解集为
（）
A．﹣1＜x＜1B．x＜﹣1或x＞1C．x＜﹣1或0＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1
【解析】选D．由图象，函数y1＝2x和y2=2
x的交点横坐标为﹣1，1，
所以当﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即2x＞2 x .
（2022•鄂州中考）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜
0）的图象与直线y=1
3x都经过点A（3，1），当kx+b＜
1
3x时，根据图象可知，x的取值范围是（）
A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞1【解析】选A．由图象可得，
当x＞3时，直线y=1
3x在一次函数y＝kx+b的上方，
所以当kx+b＜1
3x时，x的取值范围是x＞3．
二元一次方程组{y =2x +b y =−3x +6
的解是（ ）
A ．{x =2y =0
B ．{x =1y =3
C ．{x =−1y =9
D ．{x =3y =1
【解析】选B ．由图象可得直线l 1和直线l 2交点坐标是（4，5），所以方程组组{y =2x +b y =−3x +6
的解为{x =1y =3． （2022•扬州中考）如图，函数y ＝kx +b （k ＜0）的图象经过点P ，则关于x 的不等式kx +b ＞3的解集为 x ＜
﹣1 ．
【解析】由图象可得，
当x ＝﹣1时，y ＝3，该函数y 随x 的增大而减小，
所以不等式kx +b ＞3的解集为x ＜﹣1，
答案：x ＜﹣1。
2022年年年年年年年年年年年年年一、选择题1. (2022·广西壮族自治区河池市)东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t 表示注水时间，y 表示水面的高度，下列图象适合表示y 与t 的对应关系的是( )A. B.C. D.2. (2022·贵州省贵阳市)在同一平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b 与y =mx +n(a <m <0)的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y =mx +n 的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组{y −ax =b y −mx =n的解为{x =−3y =2； ③方程mx +n =0的解为x =2；④当x =0时，ax +b =−1．其中结论正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 43.(2022·辽宁省)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是( )A. k1⋅k2<0B. k1+k2<0C. b1−b2<0D. b1⋅b2<04.(2022·黑龙江省大庆市)平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON=8.点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为( )A. 4πB. 8√2C. 8πD. 16√25.(2022·广东省云浮市)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )A. 2是变量B. π是变量C. r是变量D. C是常量6.(2022·湖北省宜昌市)如图是小强散步过程中所走的路程s(单位：m)与步行时间t(单位：min)的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为( )A. 50m/minB. 40m/minC. 2007m/min D. 20m/min7.(2022·湖南省邵阳市)在直角坐标系中，已知点A(32,m)，点B(√72,n)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则m，n的大小关系是( )A.m<nB. m>nC. m≥nD. m≤n8.(2022·四川省乐山市)甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s(千米)与所用的时间t(分钟)之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是( )A. 前10分钟，甲比乙的速度慢B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少9.(2022·湖南省株洲市)在平面直角坐标系中，一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为( )A. (0,−1)B. (−15,0) C. (15,0) D. (0,1)10.(2022·浙江省绍兴市)已知(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1<x2<x3，则以下判断正确的是( )A. 若x1x2>0，则y1y3>0B. 若x1x3<0，则y1y2>0C. 若x2x3>0，则y1y3>0D. 若x2x3<0，则y1y2>011.(2022·四川省凉山彝族自治州)一次函数y=3x+b(b≥0)的图象一定不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12.(2022·安徽省)甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁13.(2022·广西壮族自治区柳州市)如图，直线y1=x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2=−x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P(m,2)是△ABC内部(包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之差为( )A. 1B. 2C. 4D. 614.(2022·浙江省温州市)小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是( )A. B.C. D.15.(2022·山东省聊城市)如图，一次函数y=x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C(−2,0)是x轴上一点，点E，F分别为直线y=x+4和y轴上的两个动点，当△CEF 周长最小时，点E，F的坐标分别为( )A. E(−52,32)，F(0,2) B. E(−2,2)，F(0,2)C. E(−52,32)，F(0,23) D. E(−2,2)，F(0,23)16.(2022·北京市)下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③17.(2022·青海省)2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系的大致图象是( )A. B.C. D.18.(2022·广西壮族自治区桂林市)桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程s(km)随时间t(ℎ)变化的图象(全程)如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是( )A. 甲大巴比乙大巴先到达景点B. 甲大巴中途停留了0.5ℎC. 甲大巴停留后用1.5ℎ追上乙大巴D. 甲大巴停留前的平均速度是60km/ℎ19.(2022·湖北省随州市)已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是( )A. 张强从家到体育场用了15minB. 体育场离文具店1.5kmC. 张强在文具店停留了20minD. 张强从文具店回家用了35min20. (2022·浙江省台州市)吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m ，600m.他从家出发匀速步行8min 到公园后，停留4min ，然后匀速步行6min 到学校．设吴老师离公园的距离为y(单位：m)，所用时间为x(单位：min)，则下列表示y 与x 之间函数关系的图象中，正确的是( )A. B.C. D.二、填空题21. (2022·甘肃省)若一次函数y =kx −2的函数值y 随着自变量x 值的增大而增大，则k =______(写出一个满足条件的值)．22. (2022·辽宁省盘锦市)点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在一次函数y =(a −2)x +1的图像上，当x 1>x 2时，y 1<y 2，则a 的取值范围是______．23. (2022·广西壮族自治区梧州市)在平面直角坐标系中，请写出直线y =2x 上的一个点的坐标______．24. (2022·浙江省杭州市)已知一次函数y =3x −1与y =kx(k 是常数，k ≠0)的图象的交点坐标是(1,2)，则方程组{3x −y =1kx −y =0的解是______． 25. (2022·四川省德阳市)如图，已知点A(−2,3)，B(2,1)，直线y =kx +k 经过点P(−1,0).试探究：直线与线段AB 有交点时k 的变化情况，猜想k 的取值范围是______．26.(2022·内蒙古自治区赤峰市)已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图像反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是______.(填写所有正确结论的序号)①体育场离王强家2.5km②王强在体育场锻炼了30min③王强吃早餐用了20min①王强骑自行车的平均速度是0.2km/min27.(2022·黑龙江省齐齐哈尔市)如图，直线l：y=√3x+√3与x轴相交于点A，与y轴相3交于点B，过点B作BC1⊥l交x轴于点C1，过点C1作B1C1⊥x轴交l于点B1，过点B1作B1C2⊥l交x轴于点C2，过点C2作B2C2⊥x轴交l于点B2，⋯，按照如此规律操作下去，则点B2022的纵坐标是______．28.(2022·内蒙古自治区呼和浩特市)某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了______千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为______．29.(2022·江苏省苏州市)一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，则图中a的值为______．30.(2022·江苏省盐城市)《庄子⋅天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线l2：y=x于点图，直线l1：y=12O1，过点O1作y轴的平行线交直线l1于点A1，以此类推，令OA=a1，O1A1=a2，…，O n−1A n−1=a n，若a1+a2+⋯+a n≤S对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为______．三、解答题31.(2022·黑龙江省牡丹江市)在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头(掉头时间忽略不计)按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y(米)与时间x(分钟)之间的函数图象．请解答下列问题：(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；(2)求图象中线段FG所在直线表示的y(米)与时间x(分钟)之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．32.(2022·黑龙江省牡丹江市)某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：(1)求A，B两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？(3)为扩大生产，厂家欲拿出与(2)中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备(两种都买).若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？(请直接写出答案即可)33.(2022·吉林省)李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：(1)加热前水温是______℃.(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．(3)当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是______℃.34.(2022·黑龙江省齐齐哈尔市)在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B 地步行匀速前往A地(甲、乙二人到达A地后均停止运动)，甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)A、B两地之间的距离是______米，乙的步行速度是______米/分；(2)图中a=______，b=______，c=______；(3)求线段MN的函数解析式；(4)在乙运动的过程中，何时两人相距80米？(直接写出答案即可)35.(2022·北京市)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(−2,0)，且与y轴交于点A．(1)求该函数的解析式及点A的坐标；(2)当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．36.(2022·江苏省盐城市)小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y(m)与出发时间x(min)之间的函数关系如图所示．(1)小丽步行的速度为______m/min；(2)当两人相遇时，求他们到甲地的距离．37.(2022·吉林省长春市)已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y(千米)与各自的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)m=______，n=______；(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．38.(2022·湖南省衡阳市)冰墩墩(Bing Dwen Dwen)、雪容融(Sℎuey Rℎon Rℎon)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？39.(2022·浙江省湖州市)某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．(1)求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？(2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(小时)的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．40.(2022·浙江省绍兴市)一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时(单位：小时)，y表示水位高度(单位：米)．x00.51 1.52y1 1.52 2.53为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=(k≠0)．kx+b(k≠0)，y=ax2+bx+c(a≠0)，y=kx(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x．参考答案1.C2.B3.D4.B5.C6.D7.A8.D9.D 10.D 11.D 12.A 13.B 14.A 15.C 16.A 17.B 18.C 19.B 20.C21.2(答案不唯一) 22.a <2 23.(1,2) 24.{x =1y =2 25.−3≤k ≤13 26.①③④ 27.(43)2022√3 28.3 4x +2 29.29330.32 31.300 80032.解：(1)设B 种防疫用品的成本为x 元/箱，则A 种防疫用品的成本为(x +500)元/箱， 依题意得：6000x+500=4500x，解得：x =1500，经检验，x =1500是原方程的解，且符合题意， ∴x +500=1500+500=2000．答：A 种防疫用品的成本为2000元/箱，B 种防疫用品的成本为1500元/箱． (2)设生产m 箱B 种防疫用品，则生产(50−m)箱A 种防疫用品， 依题意得：{2000(50−m)+1500m ≤90000m ≤25，解得：20≤m ≤25． 又∵m 为整数，∴m 可以为20，21，22，23，24，25， ∴该工厂共有6种生产方案．(3)设(2)中的生产成本为w 元，则w =2000(50−m)+1500m =−500m +100000， ∵−500<0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =25时，w 取得最小值，最小值=−500×25+100000=87500． 设购买a 台甲种设备，b 台乙种设备， 依题意得：2500a +3500b =87500， ∴a =35−75b.又∵a ，b 均为正整数， ∴{a =28b =5或{a =21b =10或{a =14b =15或{a =7b =20， ∴a +b =33或31或29或27． ∵33>31>29>27，∴共有4种购买方案，最多可购买甲，乙两种设备共33台．33.20 6534.1200 60 900 800 1535.解：将(4,3)，(−2,0)代入函数解析式得，{3=4k +b 0=−2k +b ，解得{k =12b =1,∴函数的解析式为：y =12x +1，当x =0时，得y =1， ∴点A 的坐标为(0,1)． (2)由题意得，x +n >12x +1，即x >2−2n ，又由x >0，得2−2n ≤0， 解得n ≥1，∴n 的取值范围为n ≥1．36.80 37.2 638.解：(1)设冰墩墩的进价为x 元/个，雪容融的进阶为y 元/个，由题意可得：{15x +5y =1400x +y =136，解得{x =72y =64，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个； (2)设冰墩墩购进a 个，则雪容融购进(40−a)个，利润为w 元， 由题意可得：w =28a +20(40−a)=8a +800， ∴w 随a 的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍， ∴a ≤1.5(40−a)， 解得a ≤24，∴当a =24时，w 取得最大值，此时w =992，40−a =16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．39.解：(1)设轿车出发后x 小时追上大巴，依题意得：40(x +1)=60x ， 解得x =2．∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距60×2=120(千米)，答，轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；(2)∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米， ∴大巴行驶了13小时， ∴B(3,120)，由图象得A(1,0)，设AB 所在直线的解析式为y =kt +b ， ∴{k +b =03k +b =120，解得{k =60b ==60，∴AB 所在直线的解析式为y =60t −60；(3)依题意得：40(a +1.5)=60×1.5， 解得a =34． ∴a 的值为34．40.解：(1)函数的图象如图所示：根据图象可知：选择函数y =kx +b ， 将(0,1)，(1,2)代入， 得{b =1, k +b =2, 解得{k =1, b =1.∴函数表达式为：y =x +1(0≤x ≤5)； (2)当y =5时，x +1=5， ∴x =4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x 为4小时．。
专题07 平面直角坐标系与一次函数一．选择题1．（2022·四川雅安）在平面直角坐标系中，点（a +2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b ），则ab 的值为（ ） A ．﹣4B ．4C ．12D ．﹣12【答案】D【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得240,20a b ，可得a ，b 的值，再代入求解即可得到答案． 【详解】解： 点（a +2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b ），∴ 240,20a b ， 解得：6,2,a b12,ab 故选D【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．2．（2022·广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，则圆周长C 与r 的关系式为2πC r =．下列判断正确的是（ ）A ．2是变量B ．π是变量C ．r 是变量D ．C 是常量【答案】C【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．【详解】解：2与π为常量，C 与r 为变量，故选C ．【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．3．（2022·山东威海）如图，在方格纸中，点P ，Q ，M 的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN ∥PQ ，则点N 的坐标可能是( ) A ．（2，3） B ．（3，3） C ．（4，2） D ．（5，1）【答案】C【分析】根据P ，Q 的坐标求得直线解析式，进而求得过点M 的解析式，即可求解．【详解】解：∵P ，Q 的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线PQ 的解析式为y kx b =+，则230b k b =⎧⎨+=⎩， 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线PQ 的解析式为223y x =-+，MN ∥PQ ，设MN 的解析式为23y x t =-+，()14M ，， 则243t =-+， 解得143t =， ∴MN 的解析式为214y x 33=-+， 当2x =时，103y =， 当3x =时，83y =，当4x =时，2y =，当5x =时，43y =，故选C 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数平移问题，掌握以上知识是解题的关键．4．（2022·黑龙江绥化）小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）A ．2.7分钟B ．2.8分钟C ．3分钟D ．3.2分钟【答案】C【分析】先根据题意求得A 、D 、E 、F 的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE 、AF 、OD 的解析式，再分别联立OD 与AE 和AF 求得两次相遇的时间，最后作差即可．【详解】解： 如图：根据题意可得A （8，a ），D (12,a )，E （4,0），F （12,0）设AE 的解析式为y =kx +b ，则048k b a k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得4a k b a⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∵直线AE 的解析式为y =4a x -3a 同理：直线AF 的解析式为：y =-4a x +3a ,直线OD 的解析式为：y =12a x 联立124a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得62x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 联立1234a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得934x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min ．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．5．（2022·黑龙江大庆）平面直角坐标系中，点M 在y 轴的非负半轴上运动，点N 在x 轴上运动，满足8OM ON +=．点Q 为线段MN 的中点，则点Q 运动路径的长为( )A ．4πB．C ．8π D．【答案】B 【分析】设点M 的坐标为（0，m ），点N 的坐标为（n ，0），则点Q 的坐标为22n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，根据8OM ON +=，得出()8n m +-=，然后分两种情况，80n -≤＜或08n ≤≤，得出2m 与2n 的函数关系式，即可得出Q 横纵坐标的关系式，找出点Q 的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．【详解】解：设点M 的坐标为（0，m ），点N 的坐标为（n ，0），则点Q 的坐标为22n m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵8OM ON +=， ∵()8n m +-=，（88n -≤≤，80m -≤≤） ，∵当80n -≤＜时，()8n m n m +-=--=， ∵422n m --=，即422m n =--， ∵此时点Q 在一条线段上运动，线段的一个端点在x 轴的负半轴上，坐标为（-4，0），另一端在y 轴的负半轴上，坐标为（0，-4），∵此时点Q = ∵当08n ≤≤时，()8n m n m +-=-=， ∵422n m -=，即422m n =-， ∵此时点Q 在一条线段上运动，线段的一个端点在x 轴的正半轴上，坐标为（4，0），另一端在y 轴的负半轴上，坐标为（0，-4），∵此时点Q ；综上分析可知，点Q 运动路径的长为=B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，根据题意找出点Q 的运动轨迹是两条线段，是解题的关键．6．（2022·湖南长沙）在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．(5,1)-B ．(5,1)-C ．(1,5)D ．(5,1)-- 【答案】D【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．【详解】解：点(5,1)关于原点对称的点的坐标是(5,1)--．故选D ．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角)，动点Р从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿A →B →C →D →E 路线匀速运动，∵AFP 的面积y 随点Р运动的时间x （秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（ ）A ．AF =5B ．AB =4C ．DE =3D ．EF =8【答案】B 【分析】路线为A →B →C →D →E ，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论．【详解】解：坐标系中(4,12)对应点运动到B 点144AB v t =⋅=⨯=B 选项正确12ABF S AB AF =⋅△即：11242AF =⨯⋅解得：6AF = A 选项错误12~16s 对应的DE 段1(1612)4DE v t =⋅=⨯-=C 选项错误6~12s 对应的CD 段1(126)6CD v t =⋅=⨯-=4610EF AB CD =+=+=D 选项错误故选：B ．【点睛】本题考查动点问题和坐标系，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键． 8．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线2y x b =+与直线36y x =-+相交于点A ，则关于x ，y 的二元一次方程组236y x b y x =+⎧⎨=-+⎩的解是（ ）A ．20x y =⎧⎨=⎩B ．13x y =⎧⎨=⎩C ．19x y =-⎧⎨=⎩D ．31x y =⎧⎨=⎩【答案】B【分析】由图象交点坐标可得方程组的解．【详解】解：由图象可得直线2y x b =+与直线36y x =-+相交于点A （1，3），∵关于x ，y 的二元一次方程组236y x b y x =+⎧⎨=-+⎩的解是13x y =⎧⎨=⎩．故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x 与y 的值为方程组的解．9．（2022·贵州毕节）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件，某物流公司的汽车行驶30km 后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h 到达目的地．汽车行驶的时间x （单位：h ）与行驶的路程y （单位：km ）之间的关系如图所示，请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）A ．汽车在高速路上行驶了2.5hB ．汽车在高速路上行驶的路程是180kmC ．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/hD ．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h【答案】D【分析】观察图象可得汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h ；汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km ；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h ；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h ，即可求解．【详解】解：A 、根据题意得：汽车在高速路上行驶了3.5-0.5-1=2h ，故本选项错误，不符合题意；B 、汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150km ，故本选项错误，不符合题意；C 、汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2=75km/h ，故本选项错误，不符合题意；D 、汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）÷1=40km/h ，故本选项正确，符合题意；选：D【点睛】本题主要考查了函数图象的动点问题，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键． 10．（2022·湖北武汉）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形的面积为1S ，小正方形与大正方形重叠部分的面积为2S ，若12S S S =-，则S 随t 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】据题意，设小正方形运动的速度为V ，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S ，可得答案．【详解】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v ，由于v 分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S =2×2-vt ×1=4-vt （vt ≤1）；②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S =2×2-1×1=3；③小正方形穿出大正方形，S =2×2-（1×1-vt ）=3+vt （vt ≤1）．分析选项可得，A 符合，C 中面积减少太多，不符合．故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．11．（2022·内蒙古包头）在一次函数()50y ax b a =-+≠中，y 的值随x 值的增大而增大，且0ab >，则点(,)A a b 在（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】B 【分析】根据一次函数的性质求出a 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A 点所处的象限即可．【详解】∵在一次函数()50y ax b a =-+≠中，y 的值随x 值的增大而增大，∵50a -＞，即0a ＜，又∵0ab >，∵0b ＜，∵点(,)A a b 在第三象限，故选：B【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 12．（2022·湖北宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s （单位：m ）与步行时间t （单位：min ）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（ ）A ．50m/minB ．40m/minC ．200m/min 7D ．20m/min【答案】D 【分析】根据函数图象得出匀速步行的路程和所用的时间，即可求出小强匀速步行的速度．【详解】解：根据图象可知，小强匀速步行的路程为20001200800-=（m ），匀速步行的时间为：703040-=（min ）， 这一时间段小强的步行速度为：()80020m /min 40=，故D 正确．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，根据图象得出匀速步行的路程和时间，是解题的关键． 13．（2022·广东）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ） A ．()3,1B ．()1,1-C ．()1,3D ．()1,1-【答案】A【分析】把点()1,1的横坐标加2，纵坐标不变，得到()3,1，就是平移后的对应点的坐标．【详解】解：点()1,1向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为()3,1．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律是解答本题的关键．14．（2022·湖南永州）学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用排除法，根据开始、结束时y均为0排除AC，根据队伍在陵园停留了1个小时，排除B．【详解】解：队伍从学校出发，最后又返回了学校，因此图象开始、结束时y均为0，由此排除C，D，因为队伍在陵园停留了1个小时，期间，y值不变，因此排除B，故选A．【点睛】本题考查函数图象的识别，读懂题意，找准关键点位置是解题的关键．15．（2022·广西玉林）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再,y y分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，12法错误．．的是()A．兔子和乌龟比赛路程是500米B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟C．兔子比乌龟多走了50米D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点【答案】C【分析】依据函数图象进行分析即可求解．【详解】由函数图象可知：兔子和乌龟比赛的路程为500米，兔子休息的时间为50-10=40分钟，乌龟休息的时间为35-30=5分钟，即兔子比乌龟多休息40-5=35分钟，比赛中兔子用时55分钟，乌龟用时60分钟，兔子比乌龟早到终点5分钟，据此可知C项表述错误，故选：C．【点睛】本题考查了根据函数图象获取信息的知识，读懂函数图象的信息是解答本题的关键．16．（2022·山东烟台）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（）A．12B．16C．20D．24【答案】B【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120103=（米/秒）和200÷100＝2（米/秒），∵20分钟父子所走路程和为102060264003⎛⎫⨯⨯+=⎪⎝⎭（米），父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米），父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米），父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米），…父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，令400n﹣200＝6400，解得n＝16.5，∵父子二人迎面相遇的次数为16．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n 次迎面相遇时，两人所跑路程之和()400200n -米．17．（2022·山东聊城）如图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点()2,0C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（ ）A ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2F B ．()2,2E -，()0,2F C ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()2,2E -，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】作C （-2，0）关于y 轴的对称点G （2，0），作C （2，0）关于直线y =x +4的对称点D ，连接AD ，连接DG 交AB 于E ，交y 轴于F ，此时△CEF 周长最小，由y =x +4得A （-4，0），B （0，4），∵BAC =45°，根据C 、D 关于AB 对称，可得D （-4，2），直线DG 解析式为1233y x =-+，即可得20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得52,23E ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【详解】解：作()2,0C -关于y 轴的对称点()2,0G ，作()2,0C 关于直线4y x =+的对称点D ，连接AD ，连接DG 交AB 于E ，交y 轴于F ，如图：∵DE CE =，CF GF =，∵CE CF EF DE GF EF DG ++=++=，此时CEF △周长最小，由4y x =+得()4,0A -，()0,4B ， ∵OA OB =，AOB 是等腰直角三角形，∵45BAC ∠=︒，∵C 、D 关于AB 对称，∵45DAB BAC ∠=∠=︒，∵90DAC ∠=︒，∵()2,0C -，∵2AC OA OC AD =-==，∵()4,2D -，由()4,2D -，()2,0G 可得直线DG 解析式为1233y x =-+， 在1233y x =-+中，令0x =得23y =， ∵20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由41233y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵E 的坐标为53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，F 的坐标为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C ． 【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF 周长最小时，E 、F 的位置．18．（2022·湖北随州）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x 表示时间，y 表示张强离家的距离．则下列结论不正确的是（ ）A ．张强从家到体育场用了15minB ．体育场离文具店1.5kmC ．张强在文具店停留了20minD ．张强从文具店回家用了35min【答案】B【分析】利用图象信息解决问题即可．【详解】解：由图可知：A. 张强从家到体育场用了15min ，正确，不符合题意；B. 体育场离文具店的距离为：2.5 1.51km -=，故选项错误，符合题意；C. 张强在文具店停留了：6545=20min -，正确，不符合题意；D. 张强从文具店回家用了10065=35min -，正确，符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．19．（2022·贵州铜仁）如图，在矩形ABCD 中，(3,2),(3,2),(3,1)--A B C ，则D 的坐标为（ ）A ．(2,1)--B ．(4,)1-C ．(3,2)--D ．(3,1)--【答案】D 【分析】先根据A 、B 的坐标求出AB 的长，则CD =AB =6，并证明AB CD x ∥∥轴，同理可得AD BC y ∥∥轴，由此即可得到答案．【详解】解：∵A （-3，2），B （3，2），∵AB =6，AB x ∥轴，∵四边形ABCD 是矩形，∵CD =AB =6，AB CD x ∥∥轴，同理可得AD BC y ∥∥轴，∵点C （3，-1），∵点D 的坐标为（-3，-1），故选D ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．20．（2022·北京）下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x ；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ，其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A【分析】由图象可知：当y 最大时，x 为0，当x 最大时，y 为零，即y 随x 的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 随行驶时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故②可以利用该图象表示；③设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x -， 则矩形的面积为：21122y L x x x Lx ⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⎝⎭， 故③不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①②，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．21．（2022·贵州遵义）遵义市某天的气温1y （单位：∵）随时间t （单位：h ）的变化如图所示，设2y 表示0时到t 时气温的值的极差（即0时到t 时范围气温的最大值与最小值的差），则2y 与t 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数1y图象逐段分析，进而即可求解．【详解】解：∵根据函数1y图象可知，从0时至5时，2y先变大，从5到10时，2y的值不发生变化大概12时后变大，从14到24时，2y不变，∵2y的变化规律是，先变大，然后一段时间不变又变大，最后不发生变化，反映到函数图象上是先升，然后一段平行于x的线段，再升，最后不变故选A【点睛】本题考查了函数图象，极差，理解题意是解题的关键．22．（2022·四川雅安）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【详解】解：公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，加速：速度增加，匀速：速度保持不变，减速：速度下降，到站：速度为0．观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．23．（2022·湖北鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝13x都经过点A（3，1），当kx+b＜13x时，x的取值范围是（）A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞1【答案】A【分析】根据不等式kx+b＜13x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解即可【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜13x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，∵当kx+b＜13x时，x的取值范围是3x ，故选A．【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．24．（2022·四川广安）在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（）A．y=3x+5B．y=3x﹣5C．y=3x+1D．y=3x﹣1【答案】D【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解．【详解】解：将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y=3x﹣1,故选：D【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键．25．（2022·湖北恩施）图1是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水面下任意一点A 的压强P （单位：cmHg ）与其离水面的深度h （单位：m ）的函数解析式为0P kh P =+，其图象如图2所示，其中0P 为青海湖水面大气压强，k 为常数且0k ≠．根据图中信息分析．．．．．．．．（结果保留一位小数），下列结论正确的是（ ） A ．青海湖水深16.4m 处的压强为188.6cmHgB ．青海湖水面大气压强为76.0cmHgC ．函数解析式0P kh P =+中自变量h 的取值范围是0h ≥D ．P 与h 的函数解析式为59.81076P h =⨯+【答案】A【分析】根据函数图象求出函数解析式即可求解．【详解】解：将点()()06832.8,309.2，，代入0P kh P =+ 即00309.232.868k P P =+⎧⎨=⎩解得07.3568k P =⎧⎨=⎩∴7.35468P h =+， A.当16.4h =时，188.6P =，故A 正确；B. 当0h =时，068P =，则青海湖水面大气压强为68.0cmHg ，故B 不正确；C. 函数解析式0P kh P =+中自变量h 的取值范围是032.8h ≤≤，故C 不正确；D. P 与h 的函数解析式为7.35468P h =+，故D 不正确；故选：A【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，从函数图像获取信息是解题的关键． 26．（2022·贵州遵义）若一次函数()31y k x =+-的函数值y 随x 的增大而减小，则k 值可能是（ ） A ．2B ．32C ．12-D ．4-【答案】D【分析】根据一次函数的性质可得30k +<，即可求解．【详解】解：∵一次函数()31y k x =+-的函数值y 随x 的增大而减小，∵30k +<．解得3k <-．故选D ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．27．（2022·黑龙江哈尔滨）一辆汽车油箱中剩余的油量(L)y 与已行驶的路程(km)x 的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L 时，那么该汽车已行驶的路程为（ ）A ．150kmB ．165kmC ．125kmD ．350km【答案】A【分析】根据题意所述，设函数解析式为y =kx +b ，将（0，50）、（500，0）代入即可得出函数关系式．【详解】解：设函数解析式为y =kx +b ，将（0，50）、（500，0）代入得505000b k b =⎧⎨+=⎩解得：50110b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩∵函数解析式为15010y x =-+当y =35时，代入解析式得：x =150故选A 【点睛】本题考查了一次函数的简单应用，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行解答．28．（2022·重庆）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为（ ）A ．3时B ．6时C ．9时D ．12时【答案】C【分析】分析图象的变化趋势和位置的高低，即可求出答案．【详解】解：∵观察小颖0到12时的心跳速度变化图，可知大约在9时图象的位置最高，∴在0到12时内心跳速度最快的时刻约为9时，故选：C【点睛】此题考查了函数图象，由纵坐标看出心跳速度，横坐标看出时间是解题的关键．29．（2022·湖北武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案．【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，∵题中图象所表示的容器应是中间最粗，下面其次，上面最细；故选：D．【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键．P 所在象限是（）30．（2022·四川乐山）点(1,2)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【详解】解：点（−1，2）所在的象限是第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．31．（2022·浙江温州）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟，下列选项中的图像，能近似刻画s与t之间关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分别对每段时间的路程与时间的变化情况进行分析，画出路程与时间图像，再与选项对比判断即可．【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下：从家到凉亭，用时10分种，路程600米，s从0增加到600米，t从0到10分，对应图像为在凉亭休息10分钟，t从10分到20分，s保持600米不变，对应图像为从凉亭到公园，用时间10分钟，路程600米，t从20分到30分，s从600米增加到1200米，对应图像为故选：A．【点睛】本题考查了一次折线图像与实际结合的问题，注意正确理解每段时间与路程的变化情况是解题关键．32．（2022·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan ∠ABE =43．若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为（ ）A ．3y x =B ．31542y x =-+ C ．211y x =-+ D ．212y x =-+ 【答案】D【分析】过点E 作EG ⊥AB 于点G ，利用三角函数求得EG =8，BG =6，AG =4，再求得点E 的坐标为(4，12)，根据题意，直线l 经过矩形OABC 的对角线的交点H 和菱形ABEF 的对角线的交点D ，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解．【详解】解：过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∵矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10，4)，四边形ABEF 是菱形，∴AB =BE =10，点D 的坐标为(0，4)，点C 的坐标为(10，0)，在Rt △BEG 中，tan ∠ABE =43，BE =10，∴sin ∠ABE =45，即45EG BE =，∴EG =8，BG =6，∴AG =4，∴点E 的坐标为(4，12)，根据题意，直线l 经过矩形OABC 的对角线的交点H 和菱形ABEF 的对角线的交点D ，点H 的坐标为(0102+，042+)，点D 的坐标为(042+，4122+)， ∴点H 的坐标为(5，2)，点D 的坐标为(2，8)，设直线l 的解析式为y =kx +b ，把(5，2)，(2，8)代入得5228k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：212k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线l 的解析式为y =-2x +12，故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二．填空题33．（2022·黑龙江大庆）在函数y =x 的取值范围是_________． 【答案】32x ≥- 【分析】二次根式内非负，则函数有意义．【详解】要使函数有意义，则二次根式内为非负∵2x+3≥0解得：32x ≥- 故答案为：32x ≥- 【点睛】本题考查函数的取值范围，我们通常需要关注2点：一是分母不能为0，二是二次根式内的式子非负．34．（2022·广西梧州）在平面直角坐标系中，请写出直线2y x =上的一个点的坐标________．【答案】（0，0）（答案不唯一）【分析】根据正比例函数一定经过原点进行求解即可．【详解】解：当x =0时，y =0，∵直线y =2x 上的一个点的坐标为（0，0），故答案为：（0，0）（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，熟知其性质是解题的关键．35．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点1(1,1)A ；把点1A 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点2(1,3)A -；把点2A 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点3(4,0)A -；把点3A 向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点4(0,4)A -；…；按此做法进行下去，则点10A 的坐标为_________．。
热点05 二次函数在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。
而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。
其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
1. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式：根据已知条件，选择合适的表达式求解；一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y ＝a （x-m ）2+h （a ≠0）求其表达式；③若（x 1，0）(x 2，0)是抛物线与x 轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式y ＝a （x-x 1）(x-x 2)（a ≠0）求其表达式；2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象及其性质：牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用；其中：二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a 、b 、c 单个字母的判断，a 由开口判断，b 由对称轴判断（左同右异），c 由图象与y 轴交点判断;②含有a 、b 两个字母时，考虑对称轴;③含有a 、b 、c 三个字母，且a 和b 系数是平方关系，给x 取值，结合图像判断， 另：含有 a 、b 、c 三个字母，a 和b 系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b 2和 4ac ，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x 取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
3.二次函数的简单应用：认真审题、分清问题类型、注意计算；利润最大化问题与二次函数模型：两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见，和实际应用结合时，多考察现实生活中的“生意问题”或者“省钱问题”；数学模型考察热点有：一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。
2022中考数学真题分类汇编二次函数（填空题）解析一．填空题（共21小题）21．（2022常州）二次函数y=﹣某+2某﹣3图象的顶点坐标是．2．（2022漳州）已知二次函数y=（某﹣2）2+3，当某时，y随某的增大而减小．3．（2022杭州）函数y=某2+2某+1，当y=0时，某=；当1＜某＜2时，y随某的增大而（填写“增大”或“减小”）．21教育网4．（2022天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（某＞0）；②y=（n﹣1）某；③y=2（某＞0）；④y=（1﹣n）某+1；⑤y=﹣某+2n某（某＜0）中，y的值随某的值增大而增大的函数有个．5．（2022淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2某2+2某+8．当某=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．6．（2022十堰）抛物线y=a某2+b某+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当某＜﹣1时，y随着某的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是．（只填写序号）7．（2022乌鲁木齐）如图，抛物线y=a某+b某+c的对称轴是某=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）2第7题第8题第13题8．（2022长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=某2﹣2某+2上运动．过点A作AC⊥某轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．9．（2022河南）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（某﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．10．（2022乐山）在直角坐标系某Oy中，对于点P（某，y）和Q （某，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=某+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．（2）若点P在函数y=﹣某2+16（﹣5≤某≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是．11．（2022宿迁）当某=m或某=n（m≠n）时，代数式某2﹣2某+3的值相等，则某=m+n时，代数式某2﹣2某+3的值为．12．（2022龙岩）抛物线y=2某2﹣4某+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．13．（2022湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1某2+b1某+c1和C2：y=a2某2+b2某+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与某轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．14．（2022绥化）把二次函数y=2某2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．15．（2022岳阳）如图，已知抛物线y=a某2+b某+c与某轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1某2+b1某+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．第15题第19题16．（2022莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是2cm．2-1-c-n-j-y17．（2022资阳）已知抛物线p：y=a某2+b某+c的顶点为C，与某轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于某轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=某2+2某+1和y=2某+2，则这条抛物线的解析式为．18．（2022营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．19．（2022温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2．20．（2022湖州）已知在平面直角坐标系某Oy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和某轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．21．（2022衢州）如图，已知直线y=﹣某+3分别交某轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣某+2某+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣某+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．22022中考数学真题分类汇编：二次函数（填空题）参考答案与试题解析一．填空题（共21小题）21．（2022常州）二次函数y=﹣某+2某﹣3图象的顶点坐标是（1，﹣2）．考点：二次函数的性质．分析：此题既可以利用y=a某2+b某+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．21·世纪某教育网解答：解：∵y=﹣某2+2某﹣32=﹣（某﹣2某+1）﹣2=﹣（某﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．点评：本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．2．（2022漳州）已知二次函数y=（某﹣2）2+3，当某＜2时，y随某的增大而减小．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a 的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．21教育名师原创作品解答：解：在y=（某﹣2）2+3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为某=2，当某＜2时，y的值随着某的值增大而减小；当某＞2时，y的值随着某的值增大而增大．故答案为：＜2．点评：本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键．23．（2022杭州）函数y=某+2某+1，当y=0时，某=﹣1；当1＜某＜2时，y随某的增大而增大（填写“增大”或“减小”）．考点：二次函数的性质．2分析：将y=0代入y=某+2某+1，求得某的值即可，根据函数开口向上，当某＞﹣1时，y随某的增大而增大．2解答：解：把y=0代入y=某+2某+1，得某2+2某+1=0，解得某=﹣1，当某＞﹣1时，y随某的增大而增大，∴当1＜某＜2时，y随某的增大而增大；故答案为﹣1，增大．点评：本题考查了二次函数的性质，重点掌握对称轴两侧的增减性问题，解此题的关键是利用数形结合的思想．4．（2022天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（某＞0）；②y=（n﹣1）某；③y=（某＞0）；④y=（1﹣n）某+1；⑤y=﹣某2+2n某（某＜0）中，y的值随某的值增大而增大的函数有3个．考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可．解答：解：①y=（某＞0），n＞1，y的值随某的值增大而减小；②y=（n﹣1）某，n＞1，y的值随某的值增大而增大；③y=（某＞0）n＞1，y的值随某的值增大而增大；④y=（1﹣n）某+1，n＞1，y的值随某的值增大而减小；⑤y=﹣某2+2n某（某＜0）中，n＞1，y的值随某的值增大而增大；y的值随某的值增大而增大的函数有3个，故答案为：3．点评：此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，关键是掌握正比例函数y=k某（k≠0），k＞0时，y的值随某的值增大而增大；一次函数的性质：k＞0，y随某的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随某的增大而减小，函数从左到右下降；二次函数y=a某2+b某+c（a≠0）当a＜0时，抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）的开口向下，某＜﹣时，y随某的增大而增大；反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随某的增大而增大．5．（2022淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2某2+2某+8．当某=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式y2=某2+3，y2=（某+）2+3（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．考点：二次函数的性质．专题：开放型．分析：已知当某=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3，故抛物线的顶点坐标为（m，3），设出顶点式求解即可．解答：解：答案不唯一，例如：y2=某2+3，2y2=（某+）+3．故答案为：y2=某2+3，y2=（某+）2+3．点评：考查了二次函数的性质，二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣）．6．（2022十堰）抛物线y=a某2+b某+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当某＜﹣1时，y随着某的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是③⑤．（只填写序号）考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，2，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断．点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．2·1·c·n·j·y2分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2某2的图象向左平移1个单位长22度所得抛物线的解析式为：y=2（某+1），即y=2（某+1）；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（某+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（某+1）2﹣2，即y=2（某+1）2﹣2．2故答案为：y=2（某+1）﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．15．（2022岳阳）如图，已知抛物线y=a某2+b某+c与某轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1某2+b1某+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为某=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=a某2+b某+c的图象，可得某=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底某高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为某=﹣＞0，，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．∴b＜0，∴结论①不正确；∵某=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=a某2+b某+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2某2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．考点：二次函数的最值．解答：解：设矩形的一边长是某cm，则邻边的长是（16﹣某）cm．则矩形的面积S=某（16﹣某），即S=﹣某2+16某，当某=﹣=﹣=8时，S有最大值是：64．故答案是：64．点评：本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解．2分析：先求出y=某2+2某+1和y=2某+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=某2+2某+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于某轴对称得到C（1，2﹣4），则可设顶点式y=a（某﹣1）﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．解答：解：∵y=某2+2某+1=（某+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），解方程组得或，∴点C′的坐标为（1，4），∵点C和点C′关于某轴对称，∴C（1，﹣4），2设原抛物线解析式为y=a（某﹣1）﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=（某﹣1）2﹣4=某2﹣2某﹣3．故答案为y=某2﹣2某﹣3．18．（2022营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大．考点：二次函数的应用．分析：根据“利润=（售价﹣成本）某销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价某（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．解答：解：设定价为某元，根据题意得：y=（某﹣15）[8+2（25﹣某）]=﹣2某2+88某﹣870∴y=﹣2某2+88某﹣870，2=﹣2（某﹣22）+98∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当某=22时，y最大值=98．故答案为：22．。
2022中考数学真题汇编——二次函数解答题1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．2.（1）求b，c的值．3.（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．4.（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．5.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．6.（1）求抛物线L1的函数表达式．7.（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．8.（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．9.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．10.（1）求抛物线的解析式；11.（2）求点P的坐标；12.（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．14.（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．15.①求这个二次函数的表达式；16.②若y1=y2，求顶点到MN的距离；17.（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．18.19.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．20.（1）求线段AC的长；21.（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；22.（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．23.(2022·四川省南充市)抛物线y=1x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴3交于点C（0，-4）．24.（1）求抛物线的解析式．25.（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．26.（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．27.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．28.（1）如图①，求射线MF的解析式；29.（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；30.（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于的最大值．点N．求PNAN31.(2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-3x2+bx+c与x轴交于点A4（4，0），与y轴交于点B（0，3）．32.（1）求抛物线的函数表达式；33.（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+6AM的最大值及此时点P的坐标；534.（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-3x2+bx+c的对称轴对称．将4x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线抛物线y=-34上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．35.(2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c与直线AB交于2点A（0，-4），B（4，0）．36.（1）求该抛物线的函数表达式；37.（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；38.（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．39.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．40.（1）求抛物线的解析式；41.（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；42.（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN 为等腰三角形时，求点N的坐标．43.(2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．44.（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；45.（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；46.（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．47.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．48.（1）求该二次函数的表达式；49.（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；50.（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．51.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．52.（1）求a，c的值；53.（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；54.（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．55.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．56.（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；57.（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；58.（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．59.(2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已2知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.60.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；61.（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；62.（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求S1的值最大时点P的坐标.S263.(2022·四川省)如图，已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．64.（1）求a的值及P的坐标；65.（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；66.（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．67.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．68.（1）求此抛物线对应的函数表达式；69.（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：70.（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；71.（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．72. (2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：73. ①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y 需求（吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y 需求=ax 2+c ，部分对应值如下表：②该蔬莱供给量y 供给（吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为y 供给=x -1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x 售价（元/千克）、成本x 成本（元/千克）关于月份t 的函教表达式分别为x 售价=12t +2，x 成本=14t 2-32t +3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a ，c 的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．参考答案1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3．（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，又∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6．（3）①当-3＜m≤0时，当x=0时，y有最小值为-3，当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）．②当m≤-3时，当x=-3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4，∴m=−3−√10或m=−3+√10（舍去）．综上所述，m=-2或−3−√10．2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，∵点P （8-t ，s ），Q （t -4，r ）都在抛物线L 3上，∴s =（8-t -n +1）2-4=（9-t -n ）2-4，r =（t -4-n +1）2-4=（t -n -3）2-4，∵当t ＞6时，s ＞r ，∴s -r ＞0，∴[（9-t -n ）2-4]-[（t -n -3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t -n ）2-（t -n -3）2＞0，（9-t -n +t -n -3）（9-t -n -t +n +3）＞0，（6-2n ）（12-2t ）＞0，∵t ＞6，∴12-2t ＜0，∴6-2n ＜0，解得n ＞3，∴n 的取值范围是n ＞3．3.解：（1）把A （-1，0）和点B （0，3）代入y =-x 2+bx +c ，得{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；（2）∵y =-（x -1）2+4，∴C （1，4），抛物线的对称轴为直线x =1，如图，设CD =t ，则D （1，4-t ），∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，∴∠PDC =90°，DP =DC =t ，∴P （1+t ，4-t ），把P （1+t ，4-t ）代入y =-x 2+2x +4得：-（1+t ）2+2（1+t ）+3=4-t ，整理得t 2-t =0，解得：t 1=0（舍去），t 2=1，∴P （2，3）；（3）∵P 点坐标为（2，3），顶点C 坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，∴E 点坐标为（1，-1），∴点E 关于y 轴的对称点F （-1，-1），连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF 的值最小，设直线PF 的解析式为y =kx +n ，∴{2k +n =3−k +n =−1， 解得：{k =43n =13， ∴直线PF 的解析式为y =43x +13，∴点M 的坐标为（0，13）． 4.解：（1）①∵二次函数y =a （x -2）2-1（a ＞0）经过（3，1），∴1=a -1，∴a =2，∴二次函数的解析式为y =2（x -2）2-1；②∵y 1=y 2，∴M ，N 关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x =2，且x 2-x 1=3，∴x 1=12，x 2=72，当x =12时，y 1=2（12-2）2-1=72，∴当y 1=y 2时，顶点到MN 的距离=72+1=92；（2）设抛物线与X 轴的交点为A （m ，0），B （n ，0）（m ＞n ）． ∵x 1≤x ≤x 2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧， 又∵二次函数y 的最小值为-1，∴x =x 1或x 2时，y 的值为0，点M ，点N 在x 轴上或在x 轴的下方， ∴AB ≥3，∴m -n ≥3，令y =0，可得a （x -2）2-1=0，∴m =2+√a ，n =2-√a ，∴（2+√a ）-（2-√a ）≥3， ∴√a ≥3，又∵a ＞0，∴0＜a ≤49． 5.解：（1）针对于抛物线y =x 2-2x -3，令x =0，则y =-3，∴C （0，-3）；令y =0，则x 2-2x -3=0，∴x =3或x =-1，∵点A 在点B 的左侧，∴A （-1，0），B （3，0），∴AC =√(−1−0)2+(0+3)2=√10；（2）∵抛物线y =x 2-2x -3的对称轴为直线x =-−22=1，∵点P 为该抛物线对称轴上，∴设P （1，p ），∴PA =√(1+1)2+p 2=√p 2+4，PC =√12+(p +3)2=√p 2+6p +10，∵PA=PC，∴√p2+4=√p2+6p+10，∴p=-1，∴P（1，-1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，设M（m，m2-2m-3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM=90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，∴∠HMC=45°=∠HCM，∴CH=MH，∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，∴-m2+2m=m，∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，∴M（1，-4）；②当∠CBM=90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（-2，3）；③当∠BMC=90°时，如图2，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM=∠E=90°，∴∠DCM+∠DMC=90°，∵∠DMC +∠EMB =90°，∴∠DCM =∠EMB ，∴△CDM ∽△MEB ，∴CD ME =MD BE ，∵M （m ，m 2-2m -3），B （3，0），C （0，-3），∴DM =m ，CD =m 2-2m -3+3=m 2-2m ，ME =3-m ，BE =-（m 2-2m -3）=-m 2+2m +3， ∴m 2−2m 3−m =m−m 2+2m+3，∴m =0（舍去）或m =3（点B 的横坐标，不符合题意，舍去）或m =1−√102（不符合题意，舍去）或m =1+√102，∴M （1+√102，-5+2√104）， 即满足条件的M 的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（1+√102，-5+2√104）． 6.解：（1）由题意得，{13×42+4b +c =0c =−4， ∴{b =−13c =−4， ∴y =13x 2-13x −4；（2）如图1，作直线l ∥BC 且与抛物线相切于点P 1，直线l 交y 轴于E ，作直线m ∥BC 且直线m 到BC 的距离等于直线l 到BC 的距离，∵BC 的解析式为y =x -4，∴设直线l 的解析式为：y =x +b ，由13x 2−13x −4=x +b 得，x 2-4x -3（b +4）=0，∵Δ=0，∴-3（b +4）=4，∴b =-163，∴x 2-4x +4=0，y =x -163，∴x =2，y =-103，∴P 1（2，-103），∵E （0，-163），C （0，-4），∴F （0，-4×2-（-163））， 即（0，-83），∴直线m 的解析式为：y =x -83，∴{y =13x 2−13x −4y =x −83， ∴{x 1=2+2√2y 1=2√2−23，{x 2=2−2√2y 2=−2√2−23， ∴P 2（2-2√2，-2√2-23），P 3（2+2√2，2√2-23），综上所述：点P （2，-103）或（2-2√2，-2√2-23）或（2+2√2，2√2-23）； （3）如图2，作MG ⊥x 轴于G ，作NH ⊥x 轴于H ，作MK ⊥DF ，交DF 的延长线于K ， 设D 点的横坐标为a ，∵BN =DN ，∴BD =2BN ，N 点的横坐标为：a+42，∴OH=a+42，∵MH∥DF，∴△BHN∽△BFD，∴NH DF =BNBD=12，∴DF=2NH，同理可得：△OMG∽△ONH，∴MG NH =OGOH=OMON=2，∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，∴KF=MG=DF，∵tan∠DEB=2tan∠DBE∴DF EF =2•DFBF，∴EF=12BF，∵BF=4-a，∴EF=12(4−a)，∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK，∴EF MK =DF DK，∴12(4−a) 2a+4=12，∴a=0，∴OG=a+4=4，∴G（-4，0），当x=-4时，y=13×(−4)2-13×(−4)-4=83，∴M（-4，83）．7.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b，则有{2k +b =05k +b =3， 解得{k =1b =−2， ∴射线MF 的解析式为y =x -2（x ≥2）；（2）如图①中，设折线EMF 与抛物线的交点为P ，Q ．∵抛物线的对称轴x =-4−2=2，点M （2，0），∴点M 值抛物线的对称轴上，∵直线EM 的解析式为y =-x +2，直线MF 的解析式为y =x -2， ∴直线EM ，直线MF 关于直线x =2对称，∴P ，Q 关于直线x =2对称，∴2=x 1+x 22，∴x 1+x 2=4；（3）如图②中，过点P 作PT ∥AB 交直线ME 于点T ．∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM，∴PN AN =PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，∵-13＜0，∴PN AN 有最大值，最大值为3712．8.解：（1）∵抛物线y=-34x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．∴{−12+4b+c=0c=3，∴{b=9 4c=3．∴抛物线的函数表达式为y=-34x2+94x+3；（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，由勾股定理得，AB=5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM=3：4：5，∴AM=53MQ，65AM=2MQ，∴PM+65AM=PM+2MQ，∵B（0，3），A（4，0），∴l AB：y=-34x+3，∴设P（m，-34m2+94m+3），M（m，-34m+3），Q（m，0），∴PM+2MQ=-34m2+32m+6=-34(m−1)2+274，∵-34＜0，∴开口向下，0＜m＜4，∴当m=1时，PM+65AM的最大值为274，此时P（1，92）；（3）由y=-34x2+94x+3知，对称轴x=32，∴P'（2，92），∵直线l：x=4，∴抛物线向右平移52个单位，∴平移后抛物线解析式为y'=-34x2+6x−11716，设D（4，t），C（c，-34c2+6c−11716），①AP'与DC为对角线时，{4+2=4+c0+92=t+(−34c2+6c−11716)，∴{c=2t=4516，∴D（4，4516），②P'D与AC为对角线时，{2+4=4+c92+t=0+(−34c2+6c−11716)，∴{c=2t=−4516，∴D（4，-4516），③AD与P'C为对角线时，{4+4=2+c0+t=92+(−34c2+16c−11716)，∴{c=6t=9916，∴D（4，9916），综上：D （4，4516）或（4，-4516）或（4，9916）．9.解：（1）把A （0，-4），B （4，0）代入y =12x 2+bx +c 得：{c =−48+4b +c =0， 解得{b =−1c =−4，∴抛物线的函数表达式为y =12x 2-x -4；（2）设直线AB 解析式为y =kx +t ，把A （0，-4），B （4，0）代入得： {t =−44k +t =0， 解得{k =1t =−4，∴直线AB 解析式为y =x -4，设P （m ，12m 2-m -4），则PD =-12m 2+m +4， 在y =x -4中，令y =12m 2-m -4得x =12m 2-m ， ∴C （12m 2-m ，12m 2-m -4）， ∴PC =m -（12m 2-m ）=-12m 2+2m ，∴PC +PD =-12m 2+2m -12m 2+m +4=-m 2+3m -4=-（m -32）2+254， ∵-1＜0，∴当m =32时，PC +PD 取最大值254， 此时12m 2-m -4=12×（32）2-32-4=-358， ∴P （32，-358）；答：PC +PD 的最大值为254，此时点P 的坐标是（32，-358）；（3）∵将抛物线y =12x 2-x -4向左平移5个单位得抛物线y =12（x +5）2-（x +5）-4=12x 2+4x +72， ∴新抛物线对称轴是直线x =-42×12=-4，在y =12x 2+4x +72中，令x =0得y =72， ∴F （0，72），将P （32，-358）向左平移5个单位得E （-72，-358）， 设M （-4，n ），N （r ，12r 2+4r +72），①当EF 、MN 为对角线时，EF 、MN 的中点重合， ∴{0−72=−4+r72−358=n +12r 2+4r +72，解得r =12，∴12r 2+4r +72=12×（12）2+4×12+72=458， ∴N （12，458）；②当FM 、EN 为对角线时，FM 、EN 的中点重合， ∴{0−4=−72+r72+n =−358+12r 2+4r +72，解得r =-12，∴12r 2+4r +72=12×（-12）2+4×（-12）+72=138， ∴N （-12，138）；③当FN 、EM 为对角线时，FN 、EM 的中点重合， ∴{0+r =−72−472+12r 2+4r +72=−358+n ， 解得r =-152，∴12r 2+4r +72=12×（-152）2+4×（-152）+72=138， ∴N （-152，138）；综上所述，N 的坐标为：（12，458）或（-12，138）或（-152，138）．10.解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A （-1，0），点C （0，-3）．∴{1−b +c =0c =−3， ∴{b =−2c =−3， ∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3；（2）如图，设D 1为D 关于直线AB 的对称点，D 2为D 关于ZX 直线BC 的对称点，连接D 1E ，D 2F ，D 1D 2．由对称性可知DE =D 1E ，DF =D 2F ，△DEF 的周长=D 1E +EF +D 2F ， ∴当D 1，E ．F ．D 2共线时，△DEF 的周长最小，最小值为D 1D 2的长， 令y =0，则x 2-2x -3=0， 解得x =-1或3， ∴B （3，0）， ∴OB =OC =3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∵BC 垂直平分DD 2，且D （-2，0）， ∴D 2（1，-3）， ∵D ，D 1关于x 轴的长， ∴D 1（0，2），∴D 1D 2=√D 2C 2+D 1C 2=√52+12=√26， ∴△DEF 的周长的最小值为√26．（3）∵M 到x 轴距离为d ，AB =4，连接BM ． ∴S △ABM =2d ， 又∵S △AMN =2d ， ∴S △ABM =S △AMN ，∴B ，N 到AM 的距离相等， ∵B ，N 在AM 的同侧， ∴AM ∥BN ，设直线BN 的解析式为y =kx +m ， 则有{m =−33k +m =0，∴{k =1m =−3， ∴直线BC 的解析式为y =x -3， ∴设直线AM 的解析式为y =x +n ， ∵A （-1，0），∴直线AM 的解析式为y =x +1，由{y =x +1y =x 2−2x −3，解得{x =1y =0或{x =4y =5， ∴M （4，5）， ∵点N 在射线BC 上， ∴设N （t ，t -3），过点M 作x 轴的平行线l ，过点N 作y 轴的平行线交x 轴于点P ，交直线l 于点Q ．∵A （-1，0），M （4，5），N （t ，t -3），∴AM =5√2，AN =√(t +1)2+(t −3)2，MN =√(t −4)2+(t −8)2， ∵△AMN 是等腰三角形，当AM =AN 时，5√2=√(t +1)2+(t −3)2， 解得t =1±√21，当AM =MN 时，5√2=√(t −4)2+(t −8)2， 解得t =6±√21，当AN =MN 时，√(t +1)2+(t −3)2=√(t −4)2+(t −8)2， 解得t =72， ∵N 在第一象限， ∴t ＞3，∴t 的值为72，1+√21，6+√21，∴点N 的坐标为（72，12）或（1+√21，-2+√21）或（6+√21，3+√21）．11.解：（1）当k =2时，直线为y =2x -3，由{y =2x −3y =−x 2得：{x =−3y =−9或{x =1y =−1， ∴A （-3，-9），B （1，-1）； （2）当k ＞0时，如图：∵△B 'AB 的面积与△OAB 的面积相等， ∴OB '∥AB ， ∴∠OB 'B =∠B 'BC ， ∵B 、B '关于y 轴对称，∴OB =OB '，∠ODB =∠ODB '=90°， ∴∠OB 'B =∠OBB '， ∴∠OBB '=∠B 'BC ，∵∠ODB =90°=∠CDB ，BD =BD ， ∴△BOD ≌△BCD （ASA ）， ∴OD =CD ，在y =kx -3中，令x =0得y =-3， ∴C （0，-3），OC =3， ∴OD =12OC =32，D （0，-32）， 在y =-x 2中，令y =-32得-32=-x 2， 解得x =√62或x =-√62，把B （2，-2）代入y =kx -3得：-32=√62k -3，解得k =√62；当k ＜0时，过B '作B 'F ∥AB 交y 轴于F ，如图：在y =kx -3中，令x =0得y =-3， ∴E （0，-3），OE =3，∵△B 'AB 的面积与△OAB 的面积相等， ∴OE =EF =3，∵B 、B '关于y 轴对称， ∴FB =FB '，∠FGB =∠FGB '=90°， ∴∠FB 'B =∠FBB '， ∵B 'F ∥AB ， ∴∠EBB '=∠FB 'B ， ∴∠EBB '=∠FBB '，∵∠BGE =90°=∠BGF ，BG =BG ， ∴△BGF ≌△BGE （ASA ）， ∴GE =GF =12EF =32，∴OG =OE +GE =92，G （0，-92）， 在y =-x 2中，令y =-92得-92=-x 2， 解得x =3√22或x =-3√22，把B （2，-2）代入y =kx -3得：-92=3√22k -3，解得k =-√22，综上所述，k 的值为√62或-√22；（3）直线AB '经过定点（0，3），理由如下： 由{y =−x 2y =kx −3得： {x =−k−√k 2+122y =−k 2−k√k 2+12−62或{x =−k+√k 2+122y =−k 2+k√k 2+12−62， ∴A （−k−√k2+122，−k2−k√k 2+12−62），B （−k+√k2+122，−k2+k√k 2+12−62），∵B 、B '关于y 轴对称， ∴B '（k−√k2+122，−k2+k√k 2+12−62），设直线AB '解析式为y =mx +n ，将A （−k−√k2+122，−k2−k√k 2+12−62），B '（k−√k 2+122，−k2+k√k 2+12−62）代入得：{−k 2−k√k 2+12−62=−k−√k 2+122m +n−k 2+k√k 2+12−62=k−√k 2+122m +n，解得{m =√k 2+12n =3，∴直线AB '解析式为y =√k 2+12•x +3， 令x =0得y =3，∴直线AB '经过定点（0，3）．12.解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +2经过点A （-1，0），B （3，0），∴{a −b +2=09a +3b +2=0， 解得：{a =−23b =43，∴该二次函数的表达式为y =−23x 2+43x +2； （2）存在，理由如下： 如图1，当点P 在BC 上方时， ∵∠PCB =∠ABC ，∴CP ∥AB ，即CP ∥x 轴，∴点P 与点C 关于抛物线对称轴对称， ∵y =−23x 2+43x +2， ∴抛物线对称轴为直线x =-432×(−23)=1，∵C （0，2）， ∴P （2，2）；当点P 在BC 下方时，设CP 交x 轴于点D （m ，0）， 则OD =m ，DB =3-m ， ∵∠PCB =∠ABC ， ∴CD =BD =3-m ，在Rt △COD 中，OC 2+OD 2=CD 2， ∴22+m 2=（3-m ）2， 解得：m =56， ∴D （56，0），设直线CD 的解析式为y =kx +d ，则{56k +d =0d =2，解得：{k =−125d =2，∴直线CD 的解析式为y =−125x +2， 联立，得{y =−125x +2y =−23x 2+43x +2， 解得：{x 1=0y 1=2（舍去），{x 2=225y 2=−21425， ∴P （225，-21425），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（225，-21425）；（3）由（2）知：抛物线y =−23x 2+43x +2的对称轴为直线x =1， ∴E （1，0），设Q （t ，−23t 2+43t +2），且-1＜t ＜3， 设直线AQ 的解析式为y =ex +f ，则{−e +f =0te +f =−23t 2+43t +2，解得：{e =−23t +2f =−23t +2， ∴直线AQ 的解析式为y =（−23t +2）x -23t +2， 当x =1时，y =-43t +4， ∴M （1，-43t +4），同理可得直线BQ 的解析式为y =（-23t -23）x +2t +2， 当x =1时，y =43t +43， ∴N （1，43t +43）， ∴EM =-43t +4，EN =43t +43， ∴EM +EN =-43t +4+43t +43=163， 故EM +EN 的值为定值163．13.解：（1）把A （-2，0），B （0，4）两点代入抛物线y =ax 2+x +c 中得：{4a −2+c =0c =4解得：{a =−12c =4；（2）由（2）知：抛物线解析式为：y =-12x 2+x +4， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， 则{−2k +b =0b =4，解得：{k =2b =4， ∴AB 的解析式为：y =2x +4， 设直线DE 的解析式为：y =mx ， ∴2x +4=mx ， ∴x =4m−2， 当x =3时，y =3m ， ∴E （3，3m ），∵△BDO 与△OCE 的面积相等，CE ⊥OC ， ∴12•3•（-3m ）=12•4•42−m ， ∴9m 2-18m -16=0， ∴（3m +2）（3m -8）=0， ∴m 1=-23，m 2=83（舍），∴直线DE的解析式为：y=-23x；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，-12t2+t+4），①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB，∴PH BH =OBOF，即t−12t2+t+4−4=43−t，解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，同①可得：NG =FM =3，OF =t -3， ∵∠OFB =∠FPM ， ∴tan ∠OFB =tan ∠FPM ， ∴OB OF =FM PM ，即4t−3=3−12t 2+t+4，解得：t 1=1+√2014，t 2=1−√2014（舍），∴F （√201−114，0）；综上，点F 的坐标为（2，0）或（√201−114，0）．14.（1）解：把O （0，0）代入y =x 2+（m -2）x +m -4得：m -4=0， 解得m =4，∴y =x 2+2x =（x +1）2-1，∴函数图象的顶点A 的坐标为（-1，-1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y =x 2+（m -2）x +m -4的顶点为（2−m 2，−m 2+8m−204），∵m ＞2， ∴2-m ＜0， ∴2−m 2＜0，∵−m 2+8m−204=-14（m -4）2-1≤-1＜0，∴二次函数y =x 2+（m -2）x +m -4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为（-b2，4c−b 24），当x =0时，B （0，c ），将（-b 2，4c−b 24）代入y =-x -2得：4c−b 24=b2-2， ∴c =b 2+2b−84，∵B （0，c ）在y 轴的负半轴， ∴c ＜0， ∴OB =-c =-b 2+2b−84，过点A 作AH ⊥OB 于H ，如图：∵A （-1，-1）， ∴AH =1， 在△AOB 中， S △AOB =12OB •AH =12×（-b 2+2b−84）×1=-18b 2-14b +1=-18（b +1）2+98， ∵-18＜0，∴当b =-1时，此时c ＜0，S △AOB 取最大值，最大值为98， 答：△AOB 面积的最大值是98．15.解：（1）∵抛物线y =ax 2+32x +c 过点A （1，0），C （0，-2），∴{0=a +32+c −2=c ，解得：{a =12c =−2． ∴抛物线的表达式为y =12x 2+32x −2． 设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则 {k +b =0b =−2，解得：{k =2b =−2． ∴直线AC 的表达式为y =2x -2．（2）点D 不在抛物线的对称轴上，理由是：∵抛物线的表达式为y=12x2+32x−2，∴点B坐标为（-4，0）．∵OA=1，OC=2，∴OA OC =OCOB．又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC～△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，∵抛物线的对称轴为直线x=-32．故点D不在抛物线的对称轴上．（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，∵C（0，-2），B（-4，0），∴{−2=n0=−4m+n，解得：{m=−12n=−2．∴过点B、C的直线解析式为y=−12x−2．过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-52），过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．设点P坐标为（m，12m2+32m−2），则点N坐标为（m，−12m−2），∴PN=−12m−2-（12m2+32m−2）=−12m2−2m，∵PN∥AM，∴△AQM～△PQN．∴PQ AQ =PNAM．若分别以PQ 、AQ 为底计算△BPQ 和△BAQ 的面积（同高不等底），则△BPQ 与△BAQ 的面积比为PQ AQ ，即S 1S 2=PQAQ ．∴S 1S 2=PNAM =−12m 2−2m 52=−m 25−4m 5=−15(m +2)2+45． ∵-15＜0，∴当m =-2时，S 1S 2的最大值为45，此时点P 坐标为（-2，-3）．16.解：（1）由抛物线C 1：y =a （x +2）2-5得，顶点P 的坐标为（-2，-5）， ∵点B （1，0）在抛物线C 1上， ∴0=a （1+2）2-5， 解得a =59；（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G ，∴∠PHB =∠MGB =90°，∵点P 、M 关于点B 成中心对称， ∴PM 过点B ，且PB =MB ，PH =MG ∴Rt △PBH ≌Rt △MBG （HL ）， ∴MG =PH =5，BG =BH =3， ∴顶点M 的坐标为（4，5），抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到， ∴抛物线C 3的表达式为y =-59（x -4）2+5；（3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到， ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称， 由（2）得点N 的纵坐标为5， 设点N 坐标为（m ，5），作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G ， 作PK ⊥NG 于K ，∵旋转中心Q 在x 轴上，∴点B 与点E 是对应点，点A 与点F 是对应点， ∴EF =AB ．∵点P 是抛物线的顶点， ∴AH =BH ， ∴BH =3 ∴AB =2BH =6∵点N 是抛物线的顶点， ∴FG =EG =12EF =12AB =3 ∴点F 坐标为（m +3，0）．H 坐标为（-2，0），K 坐标为（m ，-5）， ∵顶点P 的坐标为（-2，-5）， 根据勾股定理得：PN 2=NK 2+PK 2=m 2+4m +104， PF 2=PH 2+HF 2=m 2+10m +50， NF 2=52+32=34，①当∠PNF =90°时，PN 2+NF 2=PF 2，解得m =443， ∴Q 点坐标为（193，0）．②当∠PFN =90°时，PF 2+NF 2=PN 2，解得m =103， ∴Q 点坐标为（23，0）． ③∵PN ＞NK =10＞NF ， ∴∠NPF ≠90°综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形．17.解：（1）由题意可得：A （-6，2），D （6，2），又∵E （0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y =ax 2+8，将A （-6，2）代入， （-6）2a +8=2， 解得：a =-16，∴抛物线对应的函数表达式为y =-16x 2+8；（2）（ⅰ）∵点P 1的横坐标为m （0＜m ≤6），且四边形P 1P 2P 3P 4为矩形，点P 2，P 3在抛物线AED 上，∴P 2的坐标为（m ，-16m 2+8）， ∴P 1P 2=P 3P 4=MN =-16m 2+8，P 2P 3=2m ，∴l =3（-16m 2+8）+2m =-12m 2+2m +24=-12（m -2）2+26， ∵-12＜0，∴当m =2时，l 有最大值为26，即栅栏总长l 与m 之间的函数表达式为l =-12m 2+2m +24，l 的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P 2P 1=n ，则P 2P 3=18-3n ，∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为（18-3n ）n =-3n 2+18n =-3（n -3）2+27， ∵-3＜0，∴当n =3时，矩形面积有最大值为27， 此时P 2P 1=3，P 2P 3=9， 令-16x 2+8=3， 解得：x =±√30，∴此时P 1的横坐标的取值范围为-√30+9≤P 1横坐标≤√30， 方案二：设P 2P 1=n ，则P 2P 3=18−2n 2=9-n ，∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为（9-n ）n =-n 2+n =-（n -92）2+814， ∵-1＜0，∴当n =92时，矩形面积有最大值为814，此时P 2P 1=92，P 2P 3=92， 令-16x 2+8=92， 解得：x =±√21，∴此时P 1的横坐标的取值范围为-√21+92≤P 1横坐标≤√21．18.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y 需求=ax 2+c ，{9a +c =7.2①16a +c =5.8②，②-①，得7a =-1.4， 解得：a =-15，把a =-15代入①，得c =9， ∴a 的值为-15，c 的值为9；（2）设这种蔬菜每千克获利w 元，根据题意， w =x 售价-x 成本=12t +2-（14t 2-32t +3）=-14（t -4）2+3， ∵-14＜0，且1≤t ≤7， ∴当t =4时，w 有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大； （3）当y 供给=y 需求时，x -1=-15x 2+9， 解得：x 1=5，x 2=-10（舍去）， ∴此时售价为5元/千克，则y 供给=x -1=5-1=4（吨）=4000（千克）， 令12t +2=5，解得t =6，∴w =-14（t -4）2+3=-14（6-4）2+3=2， ∴总利润为w •y =2×4000=8000（元）， 答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．。
（2022·安徽中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】选D．∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，∴两直线的交点的横坐标为1，若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴；若a＜0，则一次函数y＝ax+a2是减函数，交y轴的正半轴，y＝a2x+a是增函数，交y轴的负半轴，且两直线的交点的横坐标为1.（2022•泸州中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan ∠ABE =43．若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为（ ）A ．y ＝3xB ．y =−34x +152C ．y ＝﹣2x +11D ．y ＝﹣2x +12【解析】选D ．连接OB ，AC ，它们交于点M ，连接AE ，BF ，它们交于点N ，则直线MN 为符合条件的直线l ，如图，∵四边形OABC 是矩形，∴OM ＝BM ．∵B 的坐标为（10，4），∴M （5，2），AB ＝10，BC ＝4．∵四边形ABEF 为菱形，BE ＝AB ＝10．过点E 作EG ⊥AB 于点G ，在Rt △BEG 中，∵tan ∠ABE =43，∴EG BG =43， 设EG ＝4k ，则BG ＝3k ，∴BE =√EG 2+BG 2=5k ，∴5k ＝10，∴k ＝2，∴EG ＝8，BG ＝6，∴AG ＝4．∴E （4，12）．∵B 的坐标为（10，4），AB ∥x 轴，∴A （0，4）．∵点N 为AE 的中点，∴N （2，8）．设直线l 的解析式为y ＝ax +b ，∴{5a +b =22a +b =8，解得：{a =−2b =12，A ．青海湖水深16.4m 处的压强为188.6cmHgB ．青海湖水面大气压强为76.0cmHgC ．函数解析式P ＝kh +P 0中自变量h 的取值范围是h ≥0D ．P 与h 的函数解析式为P ＝9.8×105h +76【解析】选A ．由图象可知，直线P ＝kh +P 0过点（0，68）和（32.8，309.2），∴{P 0=6832.8k +P 0=309.2，解得{k ≈7.4P 0=68． ∴直线解析式为：P ＝7.4h +68．故D 错误，不符合题意；∴青海湖水面大气压强为68.0cmHg ，故B 错误，不符合题意；根据实际意义，0≤h ≤32.8，故C 错误，不符合题意；将h ＝16.4代入解析式，∴P ＝7.4×16.4+68＝188.6，即青海湖水深16.4m 处的压强为188.6cmHg ，故A 正确，符合题意．（2022•抚顺中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象分别为直线l 1和直线l 2，下列结论正确的是（ ）A ．k 1•k 2＜0B ．k 1+k 2＜0C ．b 1﹣b 2＜0D ．b 1•b 2＜0【解析】选D ．∵一次函数y ＝k 1x +b 1的图象过一、二、三象限，∴k 1＞0，b 1＞0，∵一次函数y ＝k 2x +b 2的图象过一、三、四象限，∴k 2＞0，b 2＜0，∴A 、k 1•k 2＞0，故A 不符合题意；B 、k 1+k 2＞0，故B 不符合题意；C 、b 1﹣b 2＞0，故C 不符合题意；D 、b 1•b 2＜0，故D 符合题意.（2022•德阳中考）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是k≤﹣3或k≥13．【解析】当k＜0时，∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），A（﹣2，3），∴﹣2k+k＝3，∴k＝﹣3；∴k≤﹣3；当k＞0时，∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），B（2，1），∴2k+k＝1，∴k=13．∴k≥13；综上，直线与线段AB有交点时，猜想k的取值范围是：k≤﹣3或k≥1 3．答案：k≤﹣3或k≥1 3．（2022•丽水中考）因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是330km ，货车行驶时的速度是60km /h ．两车离甲地的路程s （km ）与时间t （h ）的函数图象如图．（1）求出a 的值；（2）求轿车离甲地的路程s （km ）与时间t （h ）的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？【解析】（1）∵货车的速度是60km /h ，∴a =9060=1.5（h ）；（2）由图象可得点（1.5，0），（3，150），设直线的表达式为s ＝kt +b ，把（1.5，0），（3，150）代入得：{1.5k +b =03k +b =150， 解得{k =100b =−150， ∴s ＝100t ﹣150；（3）由图象可得货车走完全程需要33060+0.5＝6（h ），∴货车到达乙地需6h ，∵s ＝100t ﹣150，s ＝330，解得t ＝4.8，∴两车相差时间为6﹣4.8＝1.2（h ），∴货车还需要1.2h 才能到达.答：轿车比货车早1.2h 到达乙地．（2022•成都中考）随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是18km /h ，乙骑行的路程s （km ）与骑行的时间t （h ）之间的关系如图所示．（1）直接写出当0≤t ≤0.2和t ＞0.2时，s 与t 之间的函数表达式；（2）何时乙骑行在甲的前面？【解析】（1）当0≤t ≤0.2时，设s ＝at ，把（0.2，3）代入解析式得，0.2a ＝3，解得：a ＝15，∴s ＝15t ；当t ＞0.2时，设s ＝kt +b ，把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，得{0.5k +b =90.2k +b =3，解得{k =20b =−1， ∴s ＝20t ﹣1，事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时． （1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB ，AB 分别表示大巴、轿车离开学校的路程s （千米）与大巴行驶的时间t （小时）的函数关系的图象．试求点B 的坐标和AB 所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a 小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a 的值．【解析】（1）设轿车出发后x 小时追上大巴， 依题意得：40（x +1）＝60x ，解得x ＝2． ∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），答，轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米； （2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米， ∴大巴行驶了13小时， ∴B （3，120）， 由图象得A （1，0），设AB 所在直线的解析式为y ＝kt +b ， ∴{k +b =03k +b =120，解得{k =60b ==60， ∴AB 所在直线的解析式为y ＝60t ﹣60；（3）依题意得：40（a +1.5）＝60×1.5，解得a =34． ∴a 的值为34【解析】（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣8，19），B （6，5）代入，得{−8k +b =196k +b =5，解得{k =−1b =11，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +11；（2）①由题意直线y ＝mx +n 经过点（2，0），∴2m +n ＝0；②∵线段AB 上的整数点有15个：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）． 当射线CD 经过（2，0），（﹣7，18）时，y ＝﹣2x +4，此时m ＝﹣2，符合题意， 当射线CD 经过（2，0），（﹣1，12）时，y ＝﹣4x +8，此时m ＝﹣4，符合题意， 当射线CD 经过（2，0），（1，10）时，y ＝﹣10x +20，此时m ＝﹣10，符合题意， 当射线CD 经过（2，0），（3，8）时，y ＝8x ﹣16，此时m ＝8，符合题意， 当射线CD 经过（2，0），（5，6）时，y ＝2x ﹣4，此时m ＝2，符合题意， 其他点都不符合题意．综上所述，符合题意的m 的值有5个.（2022•衡阳中考）冰墩墩（BingDwenDwen ）、雪容融（ShueyRhonRhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元． （1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【解析】（1）设冰墩墩的进价为x 元/个，雪容融的进阶为y 元/个， 由题意可得：{15x +5y =1400x +y =136，解得{x =72y =64，答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个； （2）设冰墩墩购进a 个，则雪容融购进（40﹣a ）个，利润为w 元， 由题意可得：w ＝28a +20（40﹣a ）＝8a +800， ∴w 随a 的增大而增大，∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍， ∴a ≤1.5（40﹣a ）， 解得a ≤24，∴当a ＝24时，w 取得最大值，此时w ＝992，40﹣a ＝16，答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元（2022·新疆生产建设兵团中考）A ，B 两地相距30km ，甲、乙两人分别开车从A 地出发前往B 地，其中甲先出发1h ．如图是甲，乙行驶路程y 甲（km ），y 乙（km ）随行驶时间x （h ）变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：（1）填空：甲的速度为 60 km /h ；（2）分别求出y 甲，y 乙与x 之间的函数解析式； （3）求出点C 的坐标，并写出点C 的实际意义．【解析】（1）甲的速度为：300÷5＝60（km /h ）， 答案：60；（2）由（1）可知，出y 甲与x 之间的函数解析式为y 甲＝60x （0＜x ≤5）；设y 乙与x 之间的函数解析式为y 乙＝kx +b ，根据题意得：{k +b =04k +b =300，解得{k =100b =−100，∴y 乙＝100x ﹣100（1＜x ≤3）； （3）根据题意，得60x ＝100x ﹣100， 解得x ＝2.5， 60×2.5＝150（km ），∴点C 的坐标为（2.5，1500），故点C 的实际意义是甲车出发2.5小时后被乙车追上，此时两车行驶了150km（3）求线段MN 的函数解析式；（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）【解析】（1）由图象知：当x ＝0时，y ＝1200， ∴A 、B 两地之间的距离是1200米；由图象知：乙经过20分钟到达A ，∴乙的速度为120020=60（米/分）．答案：1200；60；（2）由图象知：当x =607时，y ＝0，∴甲乙二人的速度和为：1200÷607=140（米/分）， 设甲的速度为x 米/分，则乙的速度为（140﹣x ）米/分， ∴140﹣x ＝＝60，∴x ＝80．∴甲的速度为80（米/分）， ∵点M 的实际意义是经过c 分钟甲到达B 地，∴c ＝1200÷80＝15（分钟），∴a ＝60×15＝900（米）．∵点M 的实际意义是经过20分钟乙到达A 地，∴b ＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）； 答案：900；800；15；（3）由题意得：M （15，900），N （20，800）， 设直线MN 的解析式为y ＝kx +n ，∴{15k +n =90020k +n =800，解得：{k =−20n =1200，∴直线MN 的解析式为y ＝﹣20x +1200； （4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第647分钟两人相距80米．理由：①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米）， ∴1120÷140＝8（分钟）；②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米）， ∴1280÷140=647（分钟）． 综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第647分钟两人相距80米．（2）当15≤x ≤45时，请直接写出y 关于x 的函数表达式； （3）当小明离家2km 时，求他离开家所用的时间．【解析】（1）小明家离体育场的距离为2.5km ，小明跑步的平均速度为2.515=16km /min ；答案：2.5，16；（2）如图，B （30，2.5），C （45，1.5），设BC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{30k +b =2.545k +b =1.5，解得：{k =−115b =4.5， ∴BC 的解析式为：y =−115x +4.5， ∴当15≤x ≤45时，y 关于x 的函数表达式为：y ={2.5(15≤x ≤30)−115x +4.5(30＜x ≤45)； （3）当y ＝2时，−115x +4.5＝2，∴x =752，2÷16=12， ∴当小明离家2km 时，他离开家所用的时间为12min 或752min ．50（2022•龙东中考）为抗击疫情，支援B 市，A 市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B 市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B 市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B 市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B 市．乙车维修完毕后立即返回A 市．两车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）之间的函数图象如图所示． （1）甲车速度是 100 km /h ，乙车出发时速度是 60 km /h ；（2）求乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km ？请直接写出答案．【解析】（1）由图象可得，甲车的速度为：500÷5＝100（km /h ）， 乙车出发时速度是：300÷5＝60（km /h ）， 答案：100，60；（2）乙车返回过程中，设乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式是y ＝kx +b ， ∵点（9，300），（12，0）在该函数图象上， ∴{9k +b =30012k +b =0，解得{k =−100b =1200， 即乙车返回过程中，乙车离A 市的距离y （km ）与乙车所用时间x （h ）的函数解析式是y ＝﹣100x +1200； （3）设乙车出发m 小时，两车之间的距离是120km ，（2022•包头中考）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x 天（x 取整数）时，日销售量y （单位：千克）与x 之间的函数关系式为y ={12x ，0≤x ≤10−20x +320，10＜x ≤16，草莓价格m （单位：元/千克）与x 之间的函数关系如图所示．（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；（2）求当4≤x ≤12时，草莓价格m 与x 之间的函数关系式；（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？【解析】（1）∵当10≤x ≤16时，y ＝﹣20x +320，∴当x ＝14时，y ＝﹣20×14+320＝40（千克）.答：第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．（2）当4≤x ≤12时，设草莓价格m 与x 之间的函数关系式为m ＝kx +b ，∵点（4，24），（12，16）在m ＝kx +b 的图象上，∴{4k +b =2412k +b =16，解得：{k =−1b =28，∴函数解析式为m ＝﹣x +28． （3）当0≤x ≤10时，y ＝12x ，∴当x ＝8时，y ＝12×8＝96，当x ＝10时，y ＝12×10＝120；当4≤x ≤12时，m ＝﹣x +28，∴当x ＝8时，m ＝﹣8+28＝20，当x ＝10时，m ＝﹣10+28＝18∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元），第10天的销售金额为：120×18＝2160（元），∵2160＞1920，∴第10天的销售金额多．（2022·牡丹江中考）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 1.9小时；（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？【解析】（1）1.9；（2）设直线EF的解析式为y乙＝kx+b，∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，（2022•吉林中考）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y （℃）与加热时间x （s ）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是 20 ℃．（2）求乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是 65 ℃．【解析】（1）由图象得x ＝0时y ＝20，∴加热前水温是20℃，答案：20．（2）设乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（0，20），（160，80）代入y ＝kx +b 得{20=b 80=160k +b， 解得{k =38b =20， ∴y =38x +20．（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80=12℃/s ，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷12=120s ， 将x ＝120代入y =38x +20得y ＝65，答案：65。
专题09 反比例函数一．选择题1．（2022·湖北宜昌）已知经过闭合电路的电流I （单位：A ）与电路的电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a 和b 的大小关系为（ ）D ．a b ≤2．（2021·贵州黔西）对于反比例函数y ＝﹣5x，下列说法错误的是（ ）A ．图象经过点（1，﹣5）B ．图象位于第二、第四象限C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大3．（2022·湖南邵阳）如图是反比例函数y =1x的图象，点A (x ，y )是反比例函数图象上任意一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA ，则△AOB 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．2D ．324．（2022·湖北武汉）已知点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数6y x=的图象上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．120y y +<B ．120y y +>C ．12y y <D ．12y y >5．（2022·江苏扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．（2022·天津）若点()()()123,2,,1,,4A x B x C x -都在反比例函数8y x=的图像上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．213x x x <<7．（2022·湖南衡阳）如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2022·云南）反比例函数y =6x的图象分别位于（ ）A ．第一、第三象限B ．第一、第四象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限 9．（2022·湖南怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝1a x-（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1110．（2022·山东滨州）在同一平面直角坐标系中，函数1y kx =+与ky x=- （k 为常数且0k ≠）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2022·江苏宿迁）如图，点A 在反比例函数()20=>y x x的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中⊥OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）A ．1BC ．D ．412．（2022·湖南娄底）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(),1P m 、()1,Q m （0m >且1m ≠），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的是（ ） ①点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；②AOB 成等腰直角三角形；③090POQ ︒<∠<︒；④POQ ∠的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③13．（2022·四川德阳）一次函数1y ax =+与反比例函数ay x=-在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题14. （2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）15．（2022·湖南株洲）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数ky x=的图象经过点C ，则k 的值为_________．16．（2022·浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，tan 3ABO ∠=，以AB 为边向上作正方形ABCD ．若图像经过点C 的反比例函数的解析式是1y x=，则图像经过点D 的反比例函数的解析式是______．17．（2022·陕西）已知点A (−2，m )在一个反比例函数的图象上，点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数12y x =的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______． 18．（2022·浙江宁波）如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点B ，D 都在函数0)y x =>的图象上，BE ⊥x 轴于点E ．若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为EFOE的值为___________，点F 的坐标为___________．19．（2022·安徽）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x=的图象经过点C ，()0ky k x=≠的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．20．（2022·江西）已知点A 在反比例函数12(0)y x x=>的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若OAB 为等腰三角形，且腰长为5，则AB 的长为__________．21．（2022·浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，4），B （3，4），将ABO 向右平移到CDE△位置，A 的对应点是C ，O 的对应点是E ，函数(0)ky k x=≠的图象经过点C 和DE 的中点F ，则k 的值是______．22．（2022·浙江舟山）如图，在直角坐标系中，ABC 的顶点C 与原点O 重合，点A 在反比例函数ky x =（0k >，0x >）的图象上，点B 的坐标为(4,3)，AB 与y 轴平行，若AB BC =，则k =_____．23．（2022·四川凉山）如图，点A 在反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，若△OAB的面积为3，则k ＝_______．24．（2022·山东滨州）若点123(1,)(2,)(3,)A y B y C y --,,都在反比例函数6y x=的图象上，则123,,y y y 的大小关系为_______．25．（2022·四川成都）关于x 的反比例函数2m y x-=的图像位于第二、四象限，则m 的取值范围是________． 26．（2022·新疆）已知点 M （1，2）在反比例函数ky x=的图象上，则 k ＝____． 27．（2022·四川广元）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在第二象限内，反比例函数ky x=的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k 的值是 _____．28．（2022·湖北随州）如图，在平面直角坐标系中，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数ky x=的图象在第一象限交于点C ，若AB BC =，则k 的值为______．三．解答题29．（2022·浙江台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y （单位：cm ）是物距（小孔到蜡烛的距离）x （单位：cm ）的反比例函数，当6x =时，2y =．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)若火焰的像高为3cm ，求小孔到蜡烛的距离．30．（2022·山东泰安）如图，点A 在第一象限，AC x ⊥轴，垂足为C ，OA =1tan 2A =，反比例函数ky x=的图像经过OA 的中点B ，与AC 交于点D ．(1)求k 值；(2)求OBD 的面积．31．（2022·江苏苏州）如图，一次函数()20y kx k =+≠的图像与反比例函数()0,0my m x x=≠>的图像交于点()2,A n ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点()4,0C -．(1)求k 与m 的值；(2)(),0P a 为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为72时，求a 的值．32．（2022·湖北黄冈）如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 的图像与函数y 2＝m x（x ＞0）的图像交于A （6，－12），B （12，n ）两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 沿y 轴向上平移t 个单位长度得到直线DE ，DE 与y 轴交于点F ．(1)求y 1与y 2的解析式；(2)观察图像，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围； (3)连接AD ，CD ，若△ACD 的面积为6，则t 的值为 ．33．（2022·四川广元）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图像与函数ky x=（x ＞0）的图像相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，△OAC 与△OAB 的面积比为2：3(1)求k 和b 的值；(2)若将△OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到△OA ′C ′，判断点A ′是否在函数ky x=（x ＞0）的图像上，并说明理由．34．（2022·湖南常德）如图，已知正比例函数1y x =与反比例函数2y 的图象交于()2,2A ，B 两点．(1)求2y 的解析式并直接写出12y y <时x 的取值范围；(2)以AB 为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．35．（2022·四川泸州）如图，直线32y x b =-+与反比例函数12y x =的图象相交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为6(1)求b 的值；(2)若点C 是x 轴上一点，且ABC 的面积为3，求点C 的坐标．36．（2022·四川乐山）如图，己知直线1：y =x +4与反比例函数y =kx(x <0)的图象交于点A (−1，n )，直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．37．（2022·浙江温州）已知反比例函数(0)ky k x=≠的图象的一支如图所示，它经过点()3,2-．(1)求这个反比例函数的表达式，补画该函数图象的另一支．(2)求当5y ≤，且0y ≠时自变量x 的取值范围．38．（2022·湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，点A 、B 分别在函数()120y x x=<、()20,0ky x k x=>>的图象上，点C 在第二象限内，AC x ⊥轴于点P ，BC y ⊥轴于点Q ，连接AB 、PQ ，已知点A 的纵坐标为－2．(1)求点A 的横坐标；(2)记四边形APQB 的面积为S ，若点B 的横坐标为2，试用含k 的代数式表示S ．39．（2022·湖南衡阳）如图，反比例函数my x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于()3,1A ，()1,B n -两点．(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．40．（2022·甘肃武威）如图，B ，C 是反比例函数y =kx（k ≠0）在第一象限图象上的点，过点B 的直线y =x -1与x 轴交于点A ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，CD 与AB 交于点E ，OA =AD ，CD =3．(1)求此反比例函数的表达式；(2)求△BCE 的面积．41．（2022·江西）如图，点(,4)A m 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点B 在y 轴上，2OB =，将线段AB 向右下方平移，得到线段CD ，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且1OD =． (1)点B 的坐标为__________，点D 的坐标为__________，点C 的坐标为__________（用含m 的式子表示）；(2)求k 的值和直线AC 的表达式．42．（2022·浙江杭州）设函数11k y x=，函数22y k x b =+（1k ，2k ，b 是常数，10k ≠，20k ≠）． (1)若函数1y 和函数2y 的图象交于点()1,A m ，点B (3，1)，①求函数1y ，2y 的表达式：②当23x <<时，比较1y 与2y 的大小（直接写出结果）．(2)若点()2,C n 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求n 的值．43．（2022·四川遂宁）已知一次函数11y ax =-（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数26y x=交于B 、C 两点，B 点的横坐标为2-．(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；(2)求出点C 的坐标，并根据图象写出当12y y <时对应自变量x 的取值范围； (3)若点B 与点D 关于原点成中心对称，求出△ACD 的面积．44．（2022·浙江宁波）如图，正比例函数23y x =-的图像与反比例函数(0)k y k x=≠的图像都经过点(,2)A a ．(1)求点A 的坐标和反比例函数表达式．(2)若点(,)P m n 在该反比例函数图像上，且它到y 轴距离小于3，请根据图像直接写出n 的取值范围．45．（2022·江苏连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y ax b a =+≠的图像与反比例函数()0ky k x=≠的图像交于P 、Q 两点．点()43P ,-，点Q 的纵坐标为－2．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)求POQ △的面积．46．（2022·重庆）已知一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象相交于点()1,A m ，(),2B n -．(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式4kx b x+>的解集； (3)若点C 是点B 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ，求ABC 的面积．47．（2022·四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；(2)过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q 是平面内一点，当四边形ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．专题09 反比例函数一．选择题1．（2022·湖北宜昌）已知经过闭合电路的电流I （单位：A ）与电路的电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a 和b 的大小关系为（ ）D ．a b ≤【答案】A【分析】根据电流I 与电路的电阻R 是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x 和y 的变化规律是单调的，即可判断【详解】∵电流I 与电路的电阻R 是反比例函数关系 由表格：5,20I R ==；1,100I R == ∴在第一象限内，I 随R 的增大而减小 ∵204080100<<< ∴51a b >>>故选：A【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减2．（2021·贵州黔西）对于反比例函数y＝﹣5x，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：反比例函数y＝﹣5x，A、当x＝1时，y＝﹣51＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．3．（2022·湖南邵阳）如图是反比例函数y=1x的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（）A．1B．12C．2D．32【答案】B【分析】由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是12．【详解】解：设A（x，y）则OB=x，AB=y，⊥A为反比例函数y=1x图象上一点，⊥xy=1，⊥S△ABO=12AB•OB=12xy=12×1=12，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，即k 的绝对值，等于△AOB 的面积的2倍，数形结合比较直观． 4．（2022·湖北武汉）已知点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数6y x=的图象上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．120y y +< B ．120y y +> C ．12y y < D ．12y y >【答案】C【分析】把点A 和点B 的坐标代入解析式，根据条件可判断出1y 、2y 的大小关系． 【详解】解：⊥点()11,A x y ，()22,B x y ）是反比例函数6y x=的图象时的两点， ⊥11226x y x y ==． ⊥120x x <<，⊥120y y <<．故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 5．（2022·江苏扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为ky x=，则令甲()11,x y 、乙()22,x y 、丙()33,x y 、丁()44,x y ，过甲点作y 轴平行线交反比例函数于()11,x y '，过丙点作y 轴平行线交反比例函数于()33,x y '，如图所示：由图可知1133,y y y y ''><， ∴()11,x y '、乙()22,x y 、()33,x y '、丁()44,x y 在反比例函数ky x=图像上， 根据题意可知xy =优秀人数，则①2244x y k x y ==，即乙、丁两所学校优秀人数相同；②1111x y x y k '<=，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③3333x y x y k '>=，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．6．（2022·天津）若点()()()123,2,,1,,4A x B x C x -都在反比例函数8y x=的图像上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x << B ．231x x x << C ．132x x x << D ．213x x x <<【答案】B【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出213x x x 、、，然后进行比较即可． 【详解】将三点坐标分别代入函数解析式8y x=，得： 182x =，解得1=4x ； 28-1x =，解得2=-8x ； 384x =，解得3=2x ； ⊥-8<2<4， ⊥231x x x <<，故选： B ．【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．7．（2022·湖南衡阳）如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先证明CD AD y ==，过D 点做DE AC ⊥于点E ，证明ABC AED ∽△△，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【详解】解：⊥AB CD ∥，⊥ACD BAC ∠=∠， ⊥AC 平分DAB ∠，⊥BAC CAD ∠=∠，⊥ACD CAD ∠=∠，则CD AD y ==，即ACD △为等腰三角形， 过D 点做DE AC ⊥于点E ．则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ===，90AED ∠=︒， ⊥BAC CAD ∠=∠，90B AED ∠=∠=︒，⊥ABC AED ∽△△，⊥AC AB AD AE=，⊥63x y =，⊥18y x =，⊥在ABC 中，AB AC <，⊥6x <，故选D ．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明ABC AED ∽△△是解本题的关键． 8．（2022·云南）反比例函数y =6x的图象分别位于（ ）A ．第一、第三象限B ．第一、第四象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限 【答案】A【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：⊥6＞0，⊥反比例函数y =6x的图象分别位于第一、第三象限．故选：A【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数()0ky k x=≠，当0k >时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y 随x 的增大而增大是解题的关键．9．（2022·湖南怀化）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交反比例函数y ＝1a x-（a ＞1）的图像于A 、B 两点，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，若S △BCD ＝5，则a 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】设1a B m m -⎛⎫⎪⎝⎭，，由S △BCD =112a m m -⋅即可求解.【详解】解：设1a B m m -⎛⎫⎪⎝⎭，，⊥BD ⊥y 轴⊥S △BCD =112a m m-⋅=5，解得：11a =故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．10．（2022·山东滨州）在同一平面直角坐标系中，函数1y kx =+与ky x=- （k 为常数且0k ≠）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的． 【详解】解：根据函数1y kx =+可得，该函数图象与y 轴的交点在x 轴上方，排除B 、D 选项，当k ＞0时，函数1y kx =+的图象在第一、二、三象限，函数ky x=-在第二、四象限，故选项A 正确，故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（2022·江苏宿迁）如图，点A 在反比例函数()20=>y x x的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中⊥OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）A ．1BC ．D ．4【答案】C【分析】如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交MA 于H ，则90,OMAAHB 证明,AOM BAH ≌ 可得,,OMAH AMBH 设2,,A m m则222,,,,AMm OMMH mBD m mmm可得 22,,B mm m m 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案．【详解】解：如图，过A 作AM x ∥轴，交y 轴于M ，过B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，交MA 于H ，则90,OMA AHB 90,MOA MAO,,AOAB AOAB90,MAO BAH,MOABAH,AOM BAH ≌,,OM AH AMBH设2,,A m m则222,,,,AM m OMMH mBD m mmm∴ 22,,B mm m m22222282,OBmm m mmm0,m > 而当0,0a b >>时，则a b +≥2222882228,m m m m⊥2282mm 的最小值是8，⊥OB = 故选：C ．【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“222a b ab +≥的变形公式”是解本题的关键．12．（2022·湖南娄底）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(),1P m 、()1,Q m （0m >且1m ≠），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的是（ ） ①点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；②AOB 成等腰直角三角形；③090POQ ︒<∠<︒；④POQ ∠的值随m 的增大而增大． A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③【答案】D【分析】由反比例函数的性质可判断①，再求解PQ 的解析式，得到A ，B 的坐标可判断②，由P ，Q 的位置可判断③，画出符合题意的图形，利用数形结合的思想可判断④，从而可得答案． 【详解】解： 点(),1P m 、()1,Q m 的横纵坐标的积为,m ∴ 点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；故①符合题意； 设过点(),1P m 、()1,Q m 的直线为：,y kx b =+1,mk b k b m解得：1,1k b m∴ 直线PQ 为：1,y x m当0x =时，1,y m =+ 当0y =时，1,x m =+ 所以：1,OA OB m90,AOB ∠=︒所以AOB 是等腰直角三角形，故②符合题意； 点(),1P m 、()1,Q m （0m >且1m ≠），∴ 点(),1P m 、()1,Q m 在第一象限，且P ，Q 不重合，90,POQ 故③符合题意；,1,1,,P m Q m ，而PQ 在直线1y x m =-++上，如图，显然POQ ∠是随m 的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意； 故选D【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定，熟练的利用数形结合解题是关键．13．（2022·四川德阳）一次函数1y ax =+与反比例函数ay x=-在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】A 选项可以根据一次函数与y 轴交点判断，其他选项根据图象判断a 的符号，看一次函数和反比例函数判断出a 的符号是否一致；【详解】一次函数与y 轴交点为（0，1），A 选项中一次函数与y 轴交于负半轴，故错误；B 选项中，根据一次函数y 随x 增大而减小可判断a <0，反比例函数过一、三象限，则-a >0，即a <0，两者一致，故B 选项正确；C 选项中，根据一次函数y 随x 增大而增大可判断a >0，反比例函数过一、三象限，则-a >0，即a <0，两者矛盾，故C 选项错误；D 选项中，根据一次函数y 随x 增大而减小可判断a <0，反比例函数过二、四象限，则-a <0，即a >0，两者矛盾，故D 选项错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．二．填空题14. （2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”） 【答案】＞ 【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k >0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25＜，∴1y >2y ． 故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．15．（2022·湖南株洲）如图所示，矩形ABCD 顶点A 、D 在y 轴上，顶点C 在第一象限，x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6．若反比例函数ky x=的图象经过点C ，则k 的值为_________．【答案】3【分析】由图得，x 轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即3C C x y ⋅=，又由于点C 在反比例函数图象上，则可求得答案．【详解】解：x 轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD 的面积为6， 632C C x y ∴⋅==， 3C C k x y ∴=⋅=，故答案为3．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，熟练掌握k x y =⋅是解题的关键．16．（2022·浙江湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，tan 3ABO ∠=，以AB 为边向上作正方形ABCD ．若图像经过点C 的反比例函数的解析式是1y x=，则图像经过点D 的反比例函数的解析式是______．【答案】3y x=-【分析】过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，设OB x =，3OA x =，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到ADF ∆≌BAO ∆≌CBE ∆，然后表示出点C 和点D 的坐标，求出212x =，即可求出答案．【详解】解：过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图：∵tan 3OAABO OB∠==， 设OB x =，3OA x =，∴点A 为（3x -，0），点B 为（0，x -）； ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD AB BC ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴ADF DAF DAF BAO ∠+∠=∠+∠， ∴ADF BAO ∠=∠，同理可证：ADF BAO CBE ∠=∠=∠， ∵90AFD BOA CEB ∠=∠=∠=︒， ∴ADF ∆≌BAO ∆≌CBE ∆，∴3OA FD EB x ===，OB FA EC x ===，∴2OE OF x ==，∴点C 的坐标为（x ，2x ），点D 的坐标为（2x -，3x ）， ∵点C 在函数1y x=的函数图像上，∴221x =，即212x =； ∴21236632x x x -=-=-⨯=-，∴经过点D 的反比例函数解析式为3y x =-；故答案为：3y x=-．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C 和点D 的坐标，从而进行解题． 17．（2022·陕西）已知点A (−2，m )在一个反比例函数的图象上，点A ′与点A 关于y 轴对称．若点A ′在正比例函数12y x =的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______． 【答案】y =2x-【分析】根据点A 与点A ′关于y 轴对称，得到A ′(2，m )，由点A ′在正比例函数12y x =的图象上，求得m 的值，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：∵点A 与点A ′关于y 轴对称，且A (−2，m )， ∴A ′(2，m )，∵点A ′在正比例函数12y x =的图象上， ∴m =12×2，解得：m =1， ∴A (−2，1)，设这个反比例函数的表达式为y =kx，∵A (−2，1) 在这个反比例函数的图象上， ∴k =-2×1=-2，∴这个反比例函数的表达式为y =2x -，故答案为：y =2x-．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．18．（2022·浙江宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数0)y x=>的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为EFOE的值为___________，点F的坐标为___________．【答案】12，0）【分析】连接OD，作DG⊥x轴，设点B（b），D（a），根据矩形的面积得出三角形BOD的面积，将三角形BOD的面积转化为梯形BEGD的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形BOD中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果．【详解】解：如图，作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b），D（a），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴DI CI OI BI， ∵∠CID =∠BIO ， ∴△CDI ∽△BOI ， ∴∠CDI =∠BOI ， ∴CD ∥OB ，∴S △BOD =S △AOB =12S 矩形AOCB ，∵S △BOE =S △DOG =12|k S 四边形BOGD =S △BOD +S △DOG =S 梯形BEGD +S △BOE ，∴S 梯形BEGD =S △BOD ，∴12 )•（a -b ）， ∴2a 2-3ab -2b 2=0， ∴（a -2b ）•（2a +b ）=0， ∴a =2b ，a =-2b（舍去），∴D （2b ），即：（2b ，在Rt △BOD 中，由勾股定理得， OD 2+BD 2=OB 2，∴[（2b ）2+2]+[（2b -b ）2+2]=b 2+）2，∴b∴B ），D （），∵直线OB 的解析式为：y ，∴直线DF 的解析式为：y -当y =0时，-=0，∴x ，∴F ，0），∵OE OF ，∴EF=OF-OE∴12 EFOE=，故答案为：12，，0）．【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式．19．（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数1yx=的图象经过点C，()0ky kx=≠的图象经过点B．若OC AC=，则k=________．【答案】3【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=112OCBAS=平行四边形即可．【详解】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，∴CD∥BE，∵四边形ABCO为平行四边形，∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，∴四边形CDEB为平行四边形，∵CD⊥OA，∴四边形CDEB为矩形，∴CD=BE，∴在Rt△COD和Rt△BAE中，OC AB CD EB=⎧⎨=⎩， ∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ， ∵反比例函数1y x=的图象经过点C ，∴S △OCD =S △CAD =12，∴S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2，∴S △OBA =112OCBA S =平行四边形， ∴S △OBE =S △OBA +S △ABE =13122+=， ∴3232k =⨯=． 故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k 的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．20．（2022·江西）已知点A 在反比例函数12(0)y x x=>的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若OAB 为等腰三角形，且腰长为5，则AB 的长为__________．【答案】5或【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：①当AO =AB 时，AB =5；②当AB =BO 时，AB =5；③当OA =OB 时，则OB =5，B （5，0），设A （a ，12a）（a >0），。
广东各市2022年中考数学分类解析-专项6函数的图像与性质专题6：函数的图象与性质一、选择题1. （2020广东广州3分）如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数22k y =x的图象交于A （﹣1，2）、B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范畴是【 】A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．x ＜﹣1或0＜x ＜1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1 【答案】D 。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】依照图象找出直线在双曲线下方的x 的取值范畴：由图象可得，﹣1＜x ＜0或x ＞1时，y 1＜y 2。
故选D 。
2.（2020广东梅州3分）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线1y=x的交点的个数为【 】A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定 【答案】C 。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】依照一次函数与反比例函数图象的性质作答：∵直线y=x+1的图象通过一、二、三象限，双曲线1y=x的图象通过一、三象限，∴直线y=x+1与双曲线1y=x有两个交点。
故选C 。
二、填空题1. （2020广东佛山3分）若A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）在反比例函数2y x=的图象上，且0＜x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是y 1 ▲ y 2； 【答案】＞。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特点。
【分析】∵反比例函数2y x=中，k=2＞0，∴此函数图象的两个分支在一、三象限。
∵0＜x 1＜x 2，∴A 、B 两点在第一象限。
∵在第一象限内y 的值随x 的增大而减小，∴y 1＞y 2。
2. （2020广东深圳3分）二次函数622+-=x x y 的最小值是 ▲ ． 【答案】5。
【考点】二次函数的性质。
【分析】∵()2226=1+5y x x x =-+-，∴当=1x 时，函数有最小值5。
3. （2020广东深圳3分）如图，双曲线ky (k 0)x=>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．【答案】4。
第六讲函数（二）专项一二次函数的图象和性质知识清单1．二次函数的概念一般地，形如（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数.2．二次函数的图象和性质考点例析例1 二次函数y＝-x2-2x+3图象的顶点坐标为．分析：确定a，b，c的值，代入顶点公式计算即可；也可以将“一般式”化为“顶点式”求得其顶点坐标．解：例2 已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线y＝-3x2-12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2分析：易得抛物线的对称轴为x＝-2，因为a＝-3＜0，所以当x＝-2时，函数值最大，即y2最大，再根据二次函数的对称性和增减性判断y1，y3的大小即可．解：归纳：对于这类问题一般利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行函数值的大小比较．例3 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m-n的最大值等于（）A．154B．4C．154-D．174-分析：由二次函数图象的对称轴为y轴可得a＝0，将点P（m，n）代入解析式可得m，n的关系式，然后将m-n表示为含m的代数式-m2+m-4，最后利用二次函数的性质可求得其最大值．解：跟踪训练1．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（-1，0），对称轴是x=1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．72⎛⎫⎪⎝⎭，B．（3，0）C．52⎛⎫⎪⎝⎭，D．（2，0）第1题图2．请写出一个函数解析式，使其图象的对称轴为y轴：．3．抛物线y＝3（x-1）2+8的顶点坐标为．4．当-1≤x≤3时，二次函数y＝x2-4x+5有最大值m，则m＝．专项二二次函数的图象与系数的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与其系数a，b，c的符号有密切的联系，它们之间的关系如下表：例1 一次函数y ＝acx +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D分析：选项A ，由抛物线开口向上可知a ＞0，对称轴在y 轴右侧可知a ，b 异号，与y 轴的交点在x 轴上方可知c ＞0，所以ac ＞0，b ＜0，由直线可知ac＞0，b ＞0，故本选项不合题意；用同样的方法分别判断其余选项即可．解：例 2 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＞0；①2a +b =0；①3b -2c ＜0；①am 2+bm ≥a +b （m 为实数）．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而得出abc 的正负；由对称轴x ＝2b a-＝1可得2a +b ＝0；由图象可知当x ＝-1时，y ＝a -b +c ＞0，结合2a +b =0，利用不等式的性质可判断3b -2c 的正负；由图象知当x ＝1时，y 有最小值为a +b +c ，由此可判断am 2+bm 与a +b 的大小关系．解：归纳：几种常见代数式的判断跟踪训练1．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A B C D2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-2，0），B（1，0）两点，则以下结论：①ac ＞0；①二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝-1；①2a+c＝0；①a-b+c＞0．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3第2题图专项三确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例（2020·江西改编）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…-2-1012…y…m0-3n-3…求抛物线的解析式及m，n的值．分析：结合给出的数据可知c＝-3，再将（-1，0），（2，-3）代入解析式得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可确定抛物线的解析式，最后令x＝-2或1，可求得m，n的值．解：跟踪训练1．已知函数y＝a（x-h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8．（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞02．若抛物线y＝ax2-2ax-3+2a2（a≠0）的顶点在x轴上，求其解析式．专项四二次函数图象的平移知识清单抛物线y=ax2向左（右）或向上（下）平移，可得抛物线y=a（x-h）2+k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.当h＞0时，抛物线向平移|h|个单位长度；当h＜0时，抛物线向平移|h|个单位长度.当k＞0时，抛物线向平移|k|个单位长度；当k＜0时，抛物线向平移|k|个单位长度，即“左加右减自变量，上加下减常数项”.考点例析例将抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2，求抛物线C2的解析式．分析：先将抛物线C1的“一般式”化为“顶点式”，再根据抛物线的平移规律得到新抛物线C2的解析式．解：跟踪训练1．将抛物线y＝2（x-3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（）A．y＝2（x-6）2 B．y＝2（x-6）2+4C．y＝2x2 D．y＝2x2+42．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x-3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x-5）2+33．将抛物线y＝ax2+bx-1向上平移3个单位长度后，经过点（-2，5），则8a-4b-11的值是．专项五二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：考点例析例1 抛物线y＝（k-1）x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．分析：由抛物线与x轴有交点，得Δ≥0，再结合二次函数的意义，得k-1≠0，解两个不等式即可得k的取值范围．解：例2 （2020·娄底）二次函数y＝（x-a）（x-b）-2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（）A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b分析：易知二次函数y＝（x-a）（x-b）与x轴的交点的横坐标为a，b，将其图象向下平移2个单位长n，a，b的大小关系．度可得二次函数y＝（x-a）（x-b）-2的图象，如图所示，观察图象可判断m，跟踪训练1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，-1＜x1＜0，则下列说法正确的是（）A．x1+x2＜0B．4＜x2＜5C．b2-4ac＜0D．ab＞0第1题图第3题图2．抛物线y＝2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴交点的个数是．3．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，则当y＜0时，x的取值范围是．4．在平面直角坐标系中，已知A（-1，m），B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位长度，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为．专项六二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1 “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行煎炸时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率P与煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a，b，c是常数，a≠0），如图1记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟图1分析：将三组实验数据（3，0.8），（4，0.9），（5，0.6）代入函数关系式P＝at2+bt+c，可确定a，b 的值，利用t ＝2b a计算抛物线顶点的横坐标即为煎炸臭豆腐的最佳时间． 解： 例2 某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图2所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．（1）当100≤x ≤300时，y 与x 的函数解析式为 ；（2）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？图2分析：（1）设y 与x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（100，100），（300，80）代入即可求得其解析式；（2）因为100≤200≤300，所以在（1）的解析式中，令x ＝200，可求得此时的批发单价y ，再乘件数即可求得需要支付的总费用；（3）分两种情况讨论：当100≤x ≤300时，可列出w 关于x 的二次函数解析式，根据二次函数的性质结合“批发件数x 为10的正整数倍”可求得此时w 的最大值；当300＜x ≤400时，可列出w 关于x 的一次函数解析式，根据一次函数的性质可求得其最大值，两种情况进行对比可得最终结果．解：跟踪训练1．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图①表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．① ①第1题图2．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD ，为美化环境，用总长为100 m 的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE ＝3BE ；（2）在（1）的条件下，设BC 的长为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．第2题图3．某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x 元（x ≥50），月销量为y 件，月销售利润为w 元．（1）写出y 与x 的函数解析式和w 与x 的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10 000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求最大利润．专项七 二次函数中的分类讨论思想知识清单分类讨论思想是当待解决的问题包含两种或两种以上的可能情况时，需要按不同情况分类来解决问题的一种思想方法，同时它也是一种解题策略.考点例析例 已知抛物线y ＝x 2+（2m -6）x +m 2-3与y 轴交于点A ，与直线x ＝4交于点B ，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大．记抛物线在线段AB 下方的部分为G （包含A ，B 两点），M 为G 上任意一点，设点M 的纵坐标为t ，若t ≥-3，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥32B ．32≤m ≤3C ．m ≥3D ．1≤m ≤3分析：根据题意，得x ＝2b a-≤2，244ac b a -≥-3，然后再分对称轴在y 轴右侧、为y 轴、在y 轴左侧三种情况对b 的正负进行讨论，最后综合三种情况得出m 的取值范围．解：跟踪训练1．若函数y=（m-1）x2-6x+32m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（）A．-2或3 B．-2或-3 C．1或-2或3 D．1或-2或-32．二次函数y＝ax2-3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上．若①ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为．参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 （-1，4）例2 B 例3 C1．B 2．答案不唯一，如y＝x23．（1，8）4．10专项二二次函数的图象与系数的关系例1 B 例2 D1．C 2．C专项三确定二次函数的解析式例抛物线的解析式为y＝x2-2x-3，m＝5，n＝-4．1．C2．解：因为y＝ax2-2ax-3+2a2＝a（x-1）2+2a2-a-3，且抛物线的顶点在x轴上，所以2a2-a-3=0．解得a＝32或a＝-1．所以抛物线的解析式为y＝32x2-3x+32或y＝-x2+2x-1．专项四二次函数图象的平移例y＝（x-3）2-3．1．C 2．D 3．-5专项五二次函数与一元二次方程的关系例1 k≤54且k≠1 例2 C111．B 2．2 3．-3＜x ＜1 4．4专项六 二次函数的应用例1 C例2 （1）y ＝110-x +110 （2）当x ＝200时，y ＝-20+110＝90．90×200＝18 000（元）．答：零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18 000元．（3）分两种情况：①当100≤x ≤300时，w ＝11107110x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝110-x 2+39x ＝110-（x -195）2+3802.5． 因为110-＜0，且批发件数x 为10的正整数倍，所以当x ＝190或200时，w 有最大值，为110-（200-195）2+3802.5＝3800；②当300＜x ≤400时，w ＝（80-71）x ＝9x ．因为9＞0，所以当x ＝400时，w 有最大值，为9×400＝3600．综上，零售商一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元．1．18002．（1）证明：因为矩形MEFN 与矩形EBCF 的面积相等，所以ME ＝BE ．因为四块矩形花圃的面积相等，所以S 矩形AMND ＝2S 矩形MEFN ，所以AM ＝2ME ．所以AE ＝3BE ．（2）解：因为篱笆总长为100 m ，所以2AB +GH +3BC ＝100．所以AB ＝40-65BC ． 所以y ＝BC ·AB ＝x 6405x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝26405x x -+． 因为BE ＝14AB ＝10-310x ＞0，解得x ＜1003，所以0＜x ＜1003． 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝26405x x -+（0＜x ＜1003）． 3．解：（1）y ＝500-10（x -50）＝-10x +1000；w ＝（x -40）（-10x +1000）＝-10x 2+1400x -40 000．（2）由题意，得-10x 2+1400x -40 000＝8000，解得x 1＝60，x 2＝80．当x＝60时，成本为40×（-10×60+1000）＝16 000＞10 000不符合要求，舍去；当x＝80时，成本为40×（-10×80+1000）＝8000＜10 000符合要求．所以销售价应定为每件80元．（3）因为w＝-10x2+1400x-40 000＝-10（x-70）2+9000．因为-10＜0，所以当x＝70时，w取最大值，为9000．所以销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润为9000元．专项七二次函数中的分类讨论思想例A1．C 2．3-92⎛⎫⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，12。
专题10 二次函数一．选择题1．（2022·山东泰安）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：下列结论不正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线12x =C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D ．函数2y ax bx c =++的最大值为254【答案】C【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得42046a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得116a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为22125624y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线12x =，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意；令0y =，则260x x -++=，解得3x =或2x =-，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意；故选C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 2．（2022·新疆）已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线22()1y x =-+中，a ＞0，抛物线开口向上，因此A 选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线2x =，因此B 选项正确，不符合题意；由解析式得，当2x =时，y 取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为(2,1)，因此C 选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线2x =，因此当2x <时，y 随x 的增大而减小，因此D 选项错误，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在()2y a x h k =-+中，对称轴为x h =，顶点坐标为(,)h k ．3．（2022·湖南株洲）已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用排除法，由0c -<得出抛物线与y 轴的交点应该在y 轴的负半轴上，排除A 选项和D 选项，根据B 选项和C 选项中对称轴02bx a-=>，得出0a <，抛物线开口向下，排除B 选项，即可得出C 为正确答案．【详解】解：对于二次函数()20y ax bx c a =+-≠，令0x =，则y c =-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为()0,c - ∴0c >，∴0c -<，∴抛物线与y 轴的交点应该在y 轴的负半轴上， ∴可以排除A 选项和D 选项；B 选项和C 选项中，抛物线的对称轴02bx a-=>， ∴ 0b >，∴0a <，∴抛物线开口向下，可以排除B 选项，【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 4．（2022·陕西）已知二次函数y =x 2−2x −3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当−1<x 1<0，1<x 2<2，x 3>3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<【答案】B【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解．【详解】解：y =x 2−2x −3=(x -1)2-4，∴对称轴为直线x =1， 令y =0，则(x -1)2-4=0，解得x 1=-1，x 2=3， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y =x 2−2x −3的图象如图：由图象知213y y y <<．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结合解题是关键．5．（2022·浙江宁波）点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ） A ．2m > B ．32m >C ．1m <D ．322m <<【答案】B【分析】根据y 1＜y 2列出关于m 的不等式即可解得答案．【详解】解：∴点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上， ∴y 1=（m -1-1）2+n =（m -2）2+n ，y 2=（m -1）2+n ， ∴y 1＜y 2，∴（m -2）2+n ＜（m -1）2+n ， ∴（m -2）2-（m -1）2＜0， 即-2m +3＜0，∴m ＞32，故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m 的不等式．6．（2022·山东泰安）一元二次方程2152121543x x x -++=-+根的情况是（ ）A ．有一个正根，一个负根B ．有两个正根，且有一根大于9小于12C ．有两个正根，且都小于12D ．有两个正根，且有一根大于12【答案】D【分析】将方程转化为一次函数与二次函数的交点问题求解．画出函数图象，找准图象与坐标轴的交点，结合图象可选出答案． 【详解】解：如图，由题意二次函数y =212124x x -++，与y 交与点（0，12）与x 轴交于（-4，0）（12，0），一次函数y =5153x -+，与y 交与点（0，15）与x 轴交于（9，0）因此，两函数图象交点一个在第一象限，一个在第四象限，所以两根都大于0，且有一根大于12 故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用数形结合的思想，画图象时找准关键点，与坐标轴的交点，由图象得结果．7．（2022·四川成都）如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>【答案】D【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即0a <，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当1x >，y 随x 的增大而减小；当1x <，y 随x 的增大而增大，故当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；当1x >，y 随x 的增大而减小，故该选项不符合题意；C 、根据二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，可得对称轴()112B x x +-==，解得3B x =，即()3,0B ，故该选项不符合题意； D 、根据()3,0B 可知，当2x =时，420y a b c =++>，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x 轴交点()1,0A -得到()3,0B 是解决问题的关键．8．（2022·四川泸州）抛物线2112y x x =-++经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）A ．212y x x =-+B ．2142=--y xC ．21202120222=-+-y x x D ．21y x x =-++【答案】D【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a 不变，选出答案即可．【详解】解：抛物线2112y x x =-++经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a 不变，而D 选项中a =-1，不可能是经过平移得到，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握2(0)y ax bx c a =++≠通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a 的大小．9．（2022·四川自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A ．方案1B ．方案2C ．方案3D ．方案1或方案2【答案】C【分析】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可． 【详解】解：方案1，设AD x =米，则(82)AB x =-米，则菜园的面积(82)x x =-228x x =-+22(2)8x =--+ 当2x =时，此时散架的最大面积为8平方米；方案2，当∴90BAC ︒=时，菜园最大面积14482=⨯⨯=平方米；方案3，半圆的半径8,π=此时菜园最大面积28()322πππ⨯==平方米>8平方米，故选：C 【点睛】本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．10．（2022·山东泰安）如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】分析：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向下．故选项错误；B ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0．故选项正确；C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a -＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误；D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选B ．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 11．（2022·湖北随州）如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点1,0对称轴为直线1x =．则下列结论：①0abc >；②20a b +=；③函数2y ax bx c =++的最大值为4a -；④若关于x 的方数21ax bx c a ++=+无实数根，则105a -<<．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba-=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b += 图象与y 轴的交点为正半轴，则c ＞0，由此可知abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，计算出函数图象与x 轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：()()12y a x x x x =--，将交点坐标代入得化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，、21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba-=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b +=故②正确，∴图象与y 轴的交点为正半轴，∴c ＞0，则abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++， 由图象可知函数与x 轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x =1，故函数图象与x 轴的另一交点为（3,0）， 设函数解析式为：()()12y a x x x x =--，将交点坐标代入得：()()13y a x x =+-，故化简得：223y ax ax a =--， 将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，故③正确，21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，故④正确，则②③④正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．12．（2022·浙江杭州）已知二次函数2y x ax b =++（a ，b 为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线1x =．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ） A ．命题① B ．命题② C ．命题③ D ．命题④【答案】A【分析】根据对称轴为直线12ax =-=，确定a 的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为x =-1，位于y 轴的两侧，从而作出判断即可．【详解】假设抛物线的对称轴为直线1x =，则12ax =-=，解得a = -2， ∴函数的图像经过点(3，0),∴3a +b +9=0，解得b =-3， 故抛物线的解析式为223y x x =--，令y =0，得2230x x --=，解得121,3x x =-=， 故抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（3，0）， 函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A ．【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x 轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线与x 轴的交点问题是解题的关键．13．（2022·天津）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a c <<）经过点(1,0)，有下列结论：①20a b +<；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；③关于x 的方程2()0ax bx b c +++=有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【详解】由题意可知：0a b c ++=，()b a c =-+，b c a +=-，0a c <<，2a c a ∴+>，即()2b a c a =-+<-，得出20b a +<，故①正确； 20b a +<，∴对称轴012bx a=->， 0a >，01x x ∴<<时，y 随x 的增大而减小，0x x >时，y 随x 的增大而增大，故②不正确；22224()4()40b a b c b a a b a -+=-⨯-=+>，∴关于x 的方程2()0ax bx b c +++=有两个不相等的实数根，故③正确．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解．14．（2022·浙江温州）已知点(,2),(,2),(,7)A a B b C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ）A ．若0c <，则a c b <<B ．若0c <，则a b c <<C ．若0c >，则a c b <<D ．若0c >，则a b c <<【答案】D【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：当0c >时，画出图象如图所示，根据二次函数的对称性和增减性可得a b c <<，故选项C 错误，选项D 正确； 当0c <时，画出图象如图所示，根据二次函数的对称性和增减性可得c a b <＜，故选项A 、B 都错误；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键． 15．（2022·浙江绍兴）已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ） A ．0，4 B ．1，5 C ．1，－5 D ．－1，5【答案】D【分析】根据抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =可求出m 的值，然后解方程即可． 【详解】抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =， 221m∴-=⨯，解得4m =-，∴关于x 的方程25x mx +=为2450x x --=， (5)(1)0x x ∴-+=，解得125,1x x ==-，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 16．（2022·山东滨州）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴相交于点C ，小红同学得出了以下结论：①240b ac ->；②40a b +=；③当0y >时，26x -<<；④0a b c ++<．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．【详解】解：∴抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A ()2,0-、B ()6,0，∴抛物线对应的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，即24b ac =-△＞0，故①正确； 对称轴为6222b x a -=-=，整理得4a ＋b ＝0，故②正确； 由图像可知，当y ＞0时，即图像在x 轴上方时，x ＜－2或x ＞6，故③错误，由图像可知，当x ＝1时，0y a b c =++＜，故④正确．∴正确的有①②④，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．17．（2022·四川南充）已知点()()1122,,,M x y N x y 在抛物线222(0)y mx m x n m =-+≠上，当124x x +>且12x x <时，都有12y y <，则m 的取值范围为（ ）A ．02m <≤B ．20m -≤<C ．2m >D ．2m <-【答案】A 【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为222m x m m-=-=，然后分四种情况进行讨论分析，最后进行综合即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为222m x m m-=-=， ①当0<m <12x x <时，12y y <恒成立；②当120x x m <<<时，12y y <恒不成立；③当120x m x <<<时，使12124x x y y +><，恒成立，∴m 122x x +<，∴m 2≤，02m <≤， ④当120x m x <<<时，12y y <恒不成立；综上可得：02m <≤，故选：A ．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键．。
一、选择题1.（2022青海中考）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况：汽车行驶的路程y与行驶的时间t之间的关系进行判断即可．【详解】解：由题意可得函数图像分为三段：第一段由左向右呈下降趋势，第二段与x轴平行，第三段由左向右呈下降趋势，且比第一段更陡，故选项B符合，随着时间的增多，汽车离剧场的距离越来越近，即离x轴越来越近，排除A、C、D；故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象的性质分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．2.（2022雅安中考）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【详解】解：公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，加速：速度增加，匀速：速度保持不变，减速：速度下降，到站：速度为0．观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．3. （2022河池中考）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是( )A. B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示y与t的对应关系的是选项C．故选：C．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4. （2022潍坊中考）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x 之间函数关系的图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=12x，由勾股定理得FG=32x，∴y=12AE×FG=34x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=12，由勾股定理得DH3∴y=12(DF+AE)×DH=32x3当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI 3x)，∴y= AB×DH -12CF×EI33x)23233x53，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．5. （2022永州中考）学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校、设师生队伍离学校的距离为y 米，离校的时间为x 分钟，则下列图象能大致反映y 与x 关系的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，根据开始、结束时y 均为0排除AC ，根据队伍在陵园停留了1个小时，排除B ．【详解】解：队伍从学校出发，最后又返回了学校，因此图象开始、结束时y 均为0，由此排除C ，D ，因为队伍在陵园停留了1个小时，期间，y 值不变，因此排除B ，故选A ．【点睛】本题考查函数图象的识别，读懂题意，找准关键点位置是解题的关键． 6. （2022衡阳中考） 如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先证明CD AD y ==，过D 点做DE AC ⊥于点E ，证明ABC AED ∽△△，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【详解】解：∵AB CD ∥，∴ACD BAC ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴BAC CAD ∠=∠，∴ACD CAD ∠=∠，则CD AD y ==，即ACD △为等腰三角形，过D 点做DE AC ⊥于点E ．则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ===，90AED ∠=︒， ∵BAC CAD ∠=∠，90B AED ∠=∠=︒，∴ABC AED ∽△△， ∴AC AB AD AE=， ∴63x y =， ∴18y x =，∵在ABC 中，AB AC <，∴6x <，故选D ．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明ABC AED ∽△△是解本题的关键．7．（2022葫芦岛中考）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D．【分析】分0＜x≤2，2＜x≤4，4＜x≤8三种情况，结合灯等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及三角形面积公式分别列出函数关系式，从而作出判断．【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，∴S△ABC＝BC•AM＝4，①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BC＝4﹣x，DG＝（4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【点评】本题考查二次函数图像的动点问题，掌握二次函数的图象性质，理解题意，准确识图，利用分类讨论思想解题是关键．8. （2022铜仁中考）如图，等边ABC、等边DEF边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设ABC、DEF重合部分的面积为y，DEF移动的距离为x，则y 与x的函数图象大致为（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】当DEF 在ABC 内移动时，ABC 、DEF 重合部分的面积不变，当DEF 移出ABC 时，计算出DBN S ，得到233393y x x =，从而得到答案． 【详解】如下图所示，当E 和B 重合时，AD =AB -DB =3-2=1，∴ 当DEF 移动的距离为01x ≤≤时，DEF 在ABC 内，DEF y S =，当E 在B 的右边时，如下图所示，设移动过程中DF 与CB 交于点N ，过点N 坐NM 垂直于AE ，垂足为M ，根据题意得AD =x ，AB =3,∴DB =AB-AD =3-x ，∵60NDB ︒∠=，60NBD ︒∠=，∴NDB ∆是等边三角形，∴3DN DB NB x ===-，∵NM DB ⊥， ∴()132DM MB x ==-， ∵222NM DM DN +=，∴)33NM x =-， ∴()()()211333332224DBN S DB NM x x x =⨯=-⨯-=-， ∴)2233339334424y x x x =-=-+， ∴当13x ≤≤时，y 是一个关于x 的二次函数，且开口向上，∵当01x ≤≤时，2323y ==3x =时，0y =， 故选：C ．【点睛】本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．9. （2022盘锦中考）如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，点E ，点F 分别为边AD ，CD 中点，点O 为正方形的中心，连接,OE OF ，点P 从点E 出发沿E O F --运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 运动，两点运动速度均为1cm/s ，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为s t ，连接,BP PQ ，BPQ 的面积为2cm S ，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】分0≤t ≤1和1＜t ≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t ≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O 为正方形的中心，∴直线EO 垂直BC ，∴点P 到直线BC 的距离为2-t ，BQ =t ，∴S =211(2)+22t t t t -=-； 当1＜t ≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F 分别为边AD ，CD 中点，点O 为正方形的中心，∴直线OF ∥BC ，∴点P 到直线BC 的距离为1，BQ =t ，∴S =12t ； 故选D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．10．（2022天门中考）（3分）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形的面积为S 1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S 2，若S ＝S 1﹣S 2，则S 随t 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】随着t 的增加，s 由大变小，由于边长不同，不能是0，且恒定，然后再逐渐变大，由于是匀速，所以就对称，即可求出答案．【解答】解：随着t的增加，s由大变小，所以排除B；由于边长不同，不能是0，且恒定，然后再逐渐变大，所以排除D；由于t是匀速，所以就对称，所以可以排除C；所以只剩下选项A．故选：A．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的变化趋势，结合实际情况采用排除法求解．11. （2022遵义中考）遵义市某天的气温1y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设2y表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则2y与t的函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数1y图象逐段分析，进而即可求解．【详解】解：∵根据函数1y 图象可知，从0时至5时，2y 先变大，从5到10时，2y 的值不发生变化大概12时后变大，从14到24时，2y 不变，∴2y 的变化规律是，先变大，然后一段时间不变又变大，最后不发生变化，反映到函数图象上是先升，然后一段平行于x 的线段，再升，最后不变故选A【点睛】本题考查了函数图象，极差，理解题意是解题的关键．12．（2022温州中考）（4分）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s 米，所经过的时间为t 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s 与t 之间关系的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数图象可知，小聪从家出发，则图象从原点开始，在10~20分钟休息可解答．【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发，s 米表示他离家的路程，所以C ，D 错误； 小聪在凉亭休息10分钟，所以A 正确，B 错误．故选：A ．【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键。
（2022•桂林中考）桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程s（km）随时间t（h）变化的图象（全程）如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是（）A．甲大巴比乙大巴先到达景点B．甲大巴中途停留了0.5hC．甲大巴停留后用1.5h追上乙大巴D．甲大巴停留前的平均速度是60km/h【解析】选C．由图象可得，甲大巴比乙大巴先到达景点，故选项A正确，不符合题意；甲大巴中途停留了1﹣0.5＝0.5（h），故选项B正确，不符合题意；甲大巴停留后用1.5﹣1＝0.5h追上乙大巴，故选项C错误，符合题意；甲大巴停留前的平均速度是30÷0.5＝60（km/h），故选项D正确，不符合题意．（2022•玉林中考）龟兔赛跑之后，输了比赛的兔子决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象表示了龟兔再次赛跑的过程（x表示兔子和乌龟从起点出发所走的时间，y1，y2分别表示兔子与乌龟所走的路程）．下列说法错误的是（）A．兔子和乌龟比赛路程是500米B．中途，兔子比乌龟多休息了35分钟C．兔子比乌龟多走了50米D．比赛结果，兔子比乌龟早5分钟到达终点【解析】选C．A.“龟兔再次赛跑”的路程为500米，原说法正确，故此选项不符合题意；B.乌龟在途中休息了35﹣30＝5（分钟），兔子在途中休息了50﹣10＝40（分钟），兔子比乌龟多休息了35分钟，原说法正确，故此选项不符合题意；（2022•江西中考）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等【解析】选D．由图象可知，A、B、C都正确，当温度为t1时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误. （2022•温州中考）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t 分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（）A． B． C． D．【解析】选A．由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误.（2022•重庆中考A卷）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A．5m B．7m C．10m D．13m【解析】选D．观察图象，当t＝3时，h＝13，∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m.A．3时B．6时C．9时D．12时【解析】选C．由图形可知，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为9时.（2022•河北中考）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是（）A． B． C． D．，【解析】选C．∵一个人完成需12天，∴一人一天的工作量为112∵m个人共同完成需n天，∴一人一天的工作量为1，mn∵每人每天完成的工作量相同，∴mn＝12．，∴n是m的反比例函数，∴选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是：C．∴n=12m1301 （2022•宜昌中考）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）m/min D．20m/minA．50m/min B．40m/min C．2007【解析】选D．由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，=20（m/min）.∴这一时间段小强的步行速度为2000−120070−30（2022•武汉中考）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（）A． B． C． D．【解析】选D.注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平缓，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为选项D.体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是（）A．张强从家到体育场用了15min B．体育场离文具店1.5kmC．张强在文具店停留了20min D．张强从文具店回家用了35min【解析】选B.由图象知，A.张强从家到体育场用了15min，故A选项不符合题意；B.体育场离文具店2.5﹣1.5＝1（km），故B选项符合题意；C.张强在文具店停留了65﹣45＝20（min），故C选项不符合题意；D.张强从文具店回家用了100﹣65＝35（min），故D选项不符合题意.（2022•乐山中考）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A．前10分钟，甲比乙的速度慢B．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C．甲的平均速度为0.08千米/分钟D．经过30分钟，甲比乙走过的路程少【解析】选D．由图象可得：前10分钟，甲的速度为0.8÷10＝0.08（千米/分），乙的速度是1.2÷10＝0.12（千米/分），∴甲比乙的速度慢，故A正确，不符合题意；经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，不符合题意；∵甲40分钟走了3.2千米，∴甲的平均速度为3.2÷40＝0.08（千米/分钟），故C正确，不符合题意；∵经过30分钟，甲走过的路程是2.4千米，乙走过的路程是2千米，∴甲比乙走过的路程多，故D错误，符合题意A．B．C．D．【解析】选D．过D点作DE⊥AC于点E．∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，即△ACD为等腰三角形，则DE垂直平分AC，∴AE＝CE=12AC＝3，∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△AED，∴ACAD=ABAE，∴6y=x3，∴y=18 x，∵在△ABC中，AB＜AC，∴x＜6（2022•台州中考）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校．设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【解析】选C．吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0，吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0，吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18分钟时，y的值为600感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（）A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小B．当K＝0时，R1的阻值为100C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态【解析】选C．由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL），∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；由图2知，当R1＝20时，K＝40，∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL），∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意.（2022•永州中考）学枝组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y 与x关系的是（）A．B．C．D．【解析】选A．根据已知0≤x≤30时，y随x的增大而增大，当30＜x≤90时，y是一个定值，当90＜x≤135时，y随x的增大而减小，∴能大致反映y与x关系的是A.（2022•雅安中考）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（）A．B．C．D．（2022•毕节中考）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（）A．汽车在高速路上行驶了2.5hB．汽车在高速路上行驶的路程是180kmC．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/hD．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h【解析】选D．∵3.5h到达目的地，在乡村道路上行驶1h，∴汽车下高速公路的时间是2.5h，∴汽车在高速路上行驶了2.5﹣0.5＝2（h），故A错误，不符合题意；由图象知：汽车在高速路上行驶的路程是180﹣30＝150（km），故B错误，不符合题意；汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2＝75（km/h），故C错误，不符合题意；汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220﹣180）÷1＝40（km/h），故D正确，符合题意．（2022•哈尔滨中考）一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（）A．150km B．165km C．125km D．350km【解析】选A．当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km）.A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【解析】选D．由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵12×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项也不正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝2+6＝8，∴D选项的结论正确.（2022•仙桃中考）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解析】选A．随着t的增加，s由大变小，所以排除B；由于边长不同，不能是0，且恒定，然后再逐渐变大，所以排除D；由于t是匀速，所以就对称，所以可以排除C；所以只剩下选项A．（2022•绥化中考）小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）A ．2.7分钟B ．2.8分钟C ．3分钟D ．3.2分钟【解析】选C ．由图象可得，小明的速度为a12米/分钟，爸爸的速度为：a (12−4)÷2=a4（米/分钟）， 设小明出发m 分钟两人第一次相遇，出发n 分钟两人第二次相遇，a12m ＝（m ﹣4）•a 4，a 12n +a 4[n ﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a ， 解得m ＝6，n ＝9，n ﹣m ＝9﹣6＝3．（2022·遵义中考）遵义市某天的气温y 1（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化如图所示，设y 2表示0时到t 时气温的值的极差（即0时到t 时范围气温的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】选A ．因为极差是该段时间内的最大值与最小值的差．所以当t 从0到5时，极差逐渐增大；t 从5到气温为25℃时，极差不变；当气温从25℃到28℃时极差达到最大值．直到24时都不变．只有A 符合.（2022•临沂中考）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（）A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上B．A城与B城的距离是300kmC．乙车的平均速度是80km/hD．甲车比乙车早到B城【解析】选D．由题意可知，A城与B城的距离是300km，故选项B不合题意；甲车的平均速度是：300÷5＝60（km/h），乙车的平均速度是：300÷（4﹣1）＝80（km/h），故选项C不合题意；设乙车出发x小时后追上甲车，则60（x+1）＝80x，解得x＝3，60×4＝240（km），即甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上，故选项A不合题意；由题意可知，乙车比甲车早到B城，故选项D符合题意．（2022•苏州中考）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为．（2022•威海中考）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是1．【解析】当x＞0时，1x+1＝2，解得x＝1．当x≤0时，2x﹣1＝2，解得x＝1.5，因为1.5＞0，舍去．所以x＝1．答案：1．家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是①③④．（填写所有正确结论的序号）①体育场离王强家2.5km②王强在体育场锻炼了30min③王强吃早餐用了20min④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min【解析】由图象中的折线中的第一段可知：王强家距离体育场2.5千米，用时15分钟跑步到达，∴①的结论正确；由图象中的折线中的第一段可知：王强从第15分钟开始锻炼，第30分钟结束，∴王强锻炼的时间为：30﹣15＝15（分钟），∴②的结论不正确；由图象中的折线中的第三段可知：王强从第30中开始回家，第67分钟到家；由图象中的折线中的第四段可知：王强从第67分钟开始吃早餐，第87分钟结束，∴王强吃早餐用时：87﹣67＝20（分钟），∴③的结论正确；由图象中的折线中的第四段可知：王强从第87分钟开始骑车去往3千米外的学校，第102分钟到达学校，∴王强骑自行车用时为：102﹣87＝15（分钟），∴王强骑自行车的平均速度是：3÷15＝0.2（km/min）∴④的结论正确．综上，结论正确的有：①③④，答案：①③④．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．（2）当水位高度达到5米时，求进水用时x ．【解析】（1）函数的图象如图所示：根据图象可知：选择函数y ＝kx +b ，将（0，1），（1，2）代入得{b =1k +b =2，解得{k =1b =1，∴函数表达式为：y ＝x +1（0≤x ≤5）； （2）当y ＝5时，x +1＝5，∴x ＝4．答：当水位高度达到5米时，进水用时x 为4小时.【解析】（1）①如图：②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；②当x＝14时，y有最小值为80；（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口．（2022•天津中考）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112离学生公寓的距离/km0.5 0.8 1.2 1.6 2（Ⅱ）填空：①阅览室到超市的距离为0.8 km；②小琪从超市返回学生公寓的速度为0.25 km/min；③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为10或116 min．（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．0.08x−5.36(82＜x≤92)（2022•陕西中考）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．输入x…﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 …输出y…﹣6 ﹣2 2 6 16 …根据以上信息，解答下列问题：（1）当输入的x值为1时，输出的y值为8 ；（2）求k，b的值；（3）当输出的y值为0时，求输入的x值．【解析】（1）当输入的x值为1时，输出的y值为y＝8x＝8×1＝8，。
