2022年全国各省中考数学真题分类解析多边形的内(外)角和

（2022•临沂中考）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（）A．900°B．720°C．540°D．360°【解析】选C．（5﹣2）×180°＝540°.（2022•武威中考）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．2√2mm C．2√3mm D．4mm【解析】选D．连接AD，CF，AD、CF交于点O，如右图所示，因为六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，所以∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，所以AF约为4mm.（2022•南充中考）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E【解析】选C．在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°，所以∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，所以D不符合题意；（2022•河北中考）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小【解析】选A．因为任意多边形的外角和为360°，所以α＝β＝360°．所以α﹣β＝0．（2022•遂宁中考）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 4 ．【解析】设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，因为六边形ABCDEF是正六边形，所以∠BAF＝120°，所以∠HAF＝60°，所以∠AHF＝90°，所以∠AFH＝30°，所以AF＝2AH，所以x＝2（6﹣x），解得x＝4，所以AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4.答案：4【解析】因为五边形ABCDE是正五边形，=108°，所以∠EAB=(5−2)×180°5因为∠EAB是△AEO的外角，所以∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，答案：48。

专题16 视图与投影、尺规作图、命题与定理一．选择题1．（2022·山东临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能．．．是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案.【详解】解：选项A、B、C均可能是该三棱柱展开图，不符合题意，而选项D中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，故选：D．【点睛】考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．2．（2022·江苏常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．3．（2022·广西贵港）下列命题为真命题的是（）A a=B．同位角相等C．三角形的内心到三边的距离相等D．正多边形都是中心对称图形【答案】C【分析】根据判断命题真假的方法即可求解．【详解】解：当0a<a-，故A为假命题，故A选项错误；当两直线平行时，同位角才相等，故B为假命题，故B选项错误；三角形的内心为三角形内切圆的圆心，故到三边的距离相等，故C为真命题，故C选项正确；三角形不是中心对称图形，故D为假命题，故D选项错误，故选：C．【点睛】本题考查了真假命题的判断，熟练掌握其判断方法是解题的关键．4．（2022·湖南邵阳）下列四个图形中，圆柱体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据俯视图是从上面看到的视图进而得出答案即可．【详解】解：竖直放置的圆柱体，从上面看是圆，所以俯视图是圆．故选∶D．【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握圆柱体的三视图．5．（2022·湖北鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据从正面看到的图形是主视图，即可得．【详解】解：从前面看，第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边1个小正方形，故选A．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图．6．（2022·辽宁锦州）下列命题不正确．．．的是（）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B．负数的立方根是负数C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．五边形的外角和是360︒【答案】C【分析】由平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是360︒，故D正确；故选：C【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及考查了平行线公理、立方根的定义、菱形的判定定理、多边形的外角和，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．7．（2022·内蒙古通辽）下列命题：①()3235m n m n⋅=；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解()()3x x x x x-=+-；④平分弦的直径垂直于弦；则1 422x．其≥中假命题的个数是（）A．1B．3C．2D．4【答案】C【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．【详解】解：①()3362m n m n ⋅=，故原命题是假命题； ②数据1，3，3，5的平均数为()1133534+++= ，所以方差为()()()()222211333335324⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，是真命题； ③()()()324422x x x x x x x -=-=+-，是真命题；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；10x -≥，即1≥x ，是真命题；∴假命题的个数是2．故选：C【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．8．（2022·山东威海）过直线l 外一点P 作直线l 的垂线PQ ．下列尺规作图错误的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．【详解】A 、如图，连接AP 、AQ 、BP 、BQ ，AP=BP，AQ=BQ，∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，∴直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；B、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；C、C项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；D、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，AP= AQ，BP =BQ，∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键，属于中考常考题型．9．（2022·湖南长沙）如图，在ABC中，按以下步骤作图：①分别过点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点； ②作直线PQ 交AB 于点D ；③以点D 为圆心，AD 长为半径画弧交PQ 于点M 、连接AM 、BM ．若AB =AM 的长为（ ）A ．4B ．2 CD【答案】B 【分析】根据作图可知PM 垂直平分AB ，12DM AB =，ABM 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：由作图可得PM 垂直平分AB ，12AD DM AB ===则ADM 是等腰直角三角形∴由勾股定理得：2AM =故选：B ．【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键．11．（2022·贵州毕节）在ABC 中，用尺规作图，分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ．作直线MN 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．则下列结论不一定正确的是（ ）A ．AB AE =B ．AD CD =C ．AE CE =D ．ADE CDE ∠=∠【答案】A【分析】根据作图可知AM =CM ，AN =CN ，所以MN 是AC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，且平分此点到线段两端构成的夹角，分别对各选项进行判断．【详解】由题意得，MN 垂直平分线段AC ，∴AD CD =，AE CE =，ADE CDE ∠=∠所以B 、C 、D 正确，因为点B 的位置不确定，所以不能确定AB =AE ，故选 A【点睛】本题考查了线段垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法和性质是解题的关键． 10．（2022·四川广安）下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形．B ．相似三角形的面积的比等于相似比．C ．方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．【答案】C【分析】根据矩形的判定，相似三角形的性质，方差的意义，平行公理逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；B. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故该选项不正确，不符合题意；C. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，故该选项正确，符合题意；D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选C【点睛】本题考查了矩形的判定，相似三角形的性质，方差的意义，平行公理，掌握相关知识是解题的关键．12．（2022·山东烟台）如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，可得如下图形：故选：A．【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．13．（2022·山东聊城）如图，该几何图形是沿着圆锥体的轴切割后得到的“半个”圆锥体，它的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据左视图的定义及画法即可判定．【详解】解：从左边看该几何体是一个斜边在左侧的直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查画简单几何的三视图，熟练掌握和运用简单几何三视图的画法是解决本题的关键．14．（2022·内蒙古赤峰）下面几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图．【详解】圆台的俯视图是一个同心圆环．故选：B．【点睛】本题考查几何体的三视图，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力．15．（2022·黑龙江）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层小正方体的最多个数，再相加即可．【详解】由俯视图可知最底层有5个小正方体，由左视图可知这个几何体有两层，其中第二层最多有3个，+=个．那么搭成这个几何体所需小正方体最多有538故选：B．【点睛】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．16．（2022·广西贵港）一个圆锥如右图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同B．主视图与左视图相同C．左视图与俯视图相同D．三个视图完全相同【答案】B【分析】根据三视图的定义即可求解．【详解】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆，故主视图和左视图相同，主视图俯视图和左视图与俯视图都不相同，故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键．17．（2022·山东青岛）如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可．【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是，故选：C．【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键．18．（2022·辽宁）如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：该几何体的主视图为；故选C．【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．19．（2022·辽宁营口）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．【详解】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．20．（2022·广西玉林）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是()A．B．C．D．【答案】B【分析】根据几何体的三视图可进行求解．【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为；故选B．【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．21．（2022·四川广安）如图所示，几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图判断即可．【详解】解：几何体的左视图是故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．22．（2022·内蒙古呼和浩特）图中几何体的三视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为故选C【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．23．（2022·贵州遵义）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据左视图的意义和画法可以得出答案．【详解】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，故选：A．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解答本题的关键．从正面、上面和左面三个不同的方向看一个物体，并描绘出所看到的三个图形，即几何体的三视图．24．（2022·黑龙江哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看下面一层是两个小正方形，上面一层左边一个小正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键．25．（2022·吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．下图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图）即可得．【详解】解：其俯视图是由两个同心圆（不含圆心）组成，即为，故选：C．【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．26．（2022·江苏泰州）如图为一个几何体的表面展开图，则该几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱柱D．圆锥【答案】B【分析】底面为四边形，侧面为三角形可以折叠成四棱锥．【详解】解：由图可知，底面为四边形，侧面为三角形，∴该几何体是四棱锥，故选：B．【点睛】本题主要考查的是几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图特征是解题的关键．27．（2022·贵州贵阳）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可．【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，故选：B．【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．28．（2022·江苏常州）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：D．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．29．（2022·四川内江）如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（）A．跟B．党C．走D．听【答案】C【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．30．（2022·北京）下面几何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；B选项为圆锥，符合题意；C选项为三棱柱，不合题意；D选项为球，不合题意；故选B．【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥．31．（2022·广西）下列几何体中，主视图为矩形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据常见几何体的主视图，依次判断即可．【详解】A．该三棱锥的主视图为中间有条线段的三角形，故不符合题意；B．该圆锥的主视图为三角形，故不符合题意；C．该圆柱的主视图为矩形，故符合题意；D．该圆台的主视图为梯形，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查常见几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．32．（2022·湖北恩施）下图是一个正方体纸盒的展开图，将其折叠成一个正方体后，有“振”字一面的相对面上的字是（）A．“恩”B．“乡”C．“村”D．“兴”【答案】D【分析】根据正方体的平面展开图的特点即可得．【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“恩”字与“乡”字在相对面上，“施”字与“村”字在相对面上，“振”字与“兴”字在相对面上，故选：D．【点睛】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．33．（2022·四川广元）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A．长方体B．圆柱C．圆锥D．三棱柱【答案】B【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项．【详解】解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B．【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．34．（2022·湖北武汉）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形．故选：A．【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．35．（2022·四川凉山）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图的定义（从正面观察物体所得到的视图叫主视图）即可得．【详解】解：这个几何体的主视图是故选：C．【点睛】本题考查了主视图，熟记定义是解题关键．36．（2022·四川泸州）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形即可判定．【详解】解：由俯视图的定义可知：从上往下观察发现∶故选C．【点睛】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握俯视图是从物体上面看所得到的图形．37．（2022·浙江湖州）如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】主视图就是从主视方向看到的正面的图形，也可以理解为该物体的正投影，据此求解即可．【详解】解：观察该几何体发现：从正面看到的应该是三个正方形，上面左边1个，下面2个，【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是了解主视图的定义，属于基础题，难度不大．38．（2022·四川眉山）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．39．（2022·浙江台州）如图是由四个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】找到几何体的正面看所得到的图形即可．【详解】解：从几何体的正面看可得如下图形，故选：A．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从正面所看到的图形．40．（2022·黑龙江绥化）下列命题中是假命题的是（）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．41．（2022·广西河池）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是()A．B．C．D．【答案】D【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．42.（2022·辽宁锦州）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．故选：C ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体． 43．（2022·内蒙古呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价a 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a 元；②等边三角形ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，若AD AE =，则3∠=∠BAD EDC ；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识逐项判断即可，【详解】解：①项，会员原来购买一个面包需要0.85a 元，现在需要a ×(1+10%)×0.9=0.99a ，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.99a -0.85a =0.14a 元，故①项正确；②项，如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠C+∠EDC=∠AED，又∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC=∠C+∠EDC+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC+∠EDC=2∠EDC，故②项错误；③项，如图，△ABC和△DEF，AB=DE，AC=DF，AM是△ABC的BC边上的中线，DN是△DEF的边EF上的中线，AM=DN，即有△ABC≌△DEF，理由如下：延长AM至G点，使得AM=GM，连接GC，延长DN至H点，使得DN=NH，连接HF，∵AM是中线，∴BM=MC，∵AM=MG，∠AMB=∠GMC，∴△AMB≌△GMC，∴AB=GC，同理可证DE=HF，∵AM=DN，∴AG=2AM=2DN=DH，∵AB =DE ，∴GC =HF ，∴结合AC =DF 可得△ACG ≌△DFH ，∴∠GAC =∠HDF ，同理可证∠GAB =∠HDE ，∴∠BAC =∠GAB +∠GAC =∠HDF +∠HDE =∠EDF ，∵AB =DE ，AC =DF ，∴△ABC ≌△DEF ，故③正确；④设原数为x ，则新数为21100x ，设原数与新数之差为y ， 即21100y x x =-，变形为：21(50)25100y x =--+， 将x 等于0、1、2、3、55分别代入可知，y 随着x 的增大而增大，故④正确；即正确的有三个，故选：C ，【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．44．（2022·吉林长春）如图，在ABC 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）A ．AF BF =B ．12AE AC = C ．90DBF DFB ∠+∠=︒D ．BAF EBC ∠=∠【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF 垂直平分AB ，BE 是ABC ∠的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF 垂直平分AB ，BE 是ABC ∠的角平分线，,90,AF BF BDF ABF CBE ∴=∠=︒∠=∠，。

2022年全国中考试卷解析版分类汇编-多边形的内角和，外角和1.（2011山西，7，2分）一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形考点：多边形的内角和与外角和专题：三角形和内角和分析：正多边形的外角和是360°，而它的每一个外角都等于45°，360°÷45°＝8．则该正多边形是正八边形，故选C．解答：C点评：弄清正多边形的外角和与它的每一个外角的关系．多边形的外角和等于360°．2.（2011•莱芜）下列说法正确的是（）A、16的算术平方根是4B、方程﹣x2+5x﹣1=0的两根之和是﹣5C、任意八边形的内角和等于1080°D、当两圆只有一个公共点时，两圆外切考点：圆与圆的位置关系；算术平方根；根与系数的关系；多边形内角与外角。

分析：依照算术平方根的定义，一元二次方程根与系数的关系，多边形内角和的求解方法以及圆与圆的位置关系的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：A、16的算术平方根是±2，故本选项错误；B、方程﹣x2+5x﹣1=0的两根之和是5，故本选项错误；C、任意八边形的内角和等于1080°，故本选项正确；D、当两圆只有一个公共点时，两圆外切或内切，故本选项错误．故选C．点评：此题考查了算术平方根的定义，一元二次方程根与系数的关系，多边形内角和的求解方法以及圆与圆的位置关系的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记公式与性质．3.（2011•山西7，2分）一个正多边形，它的每一个外角差不多上45°，则该正多边形是（）A、正六边形B、正七边形C、正八边形D、正九边形考点：多边形内角与外角。

专题：数形结合。

分析：多边形的外角和是360度，因为是正多边形，因此每一个外角差不多上45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数．解答：解：360÷45=8，因此那个正多边形是正八边形．故选C．点评：本题要紧考查了多边形的外角和定理．已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．4.（2011四川眉山，5，3分）若一个正多边形的每个内角为150°，则那个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．9考点：多边形内角与外角。

专题20 多边形内角和定理的应用1.了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．2.会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；3.能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；能依据条件分解与拼接简单图形．一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【特别提醒】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.例1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60°B．65°C．55°D．50°【答案】A【解析】解：∠五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∠∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∠∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∠∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∠∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【特别提醒】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.例2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是()A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.1．（2022·北京清华附中朝阳学校）若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的边数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D 【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数． 【详解】 解：360°÷60°=6． 故该正多边形的边数为6． 故选：D ．2．（2022·仪征市实验初中）正六边形的半径为3，则该正六边形的边长是（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．23【答案】A 【分析】设正六边形的中心是O ，一边是AB ，过O 作OG AB ⊥于G ，在直角OAG △中，即可求得边长AB ． 【详解】解：如图，∠这个多边形为正六边形， ∠这个多边形的一个内角的度数为()621801206-⨯=，∠∠OAB =60°， ∠∠AOG =30°，在Rt AOG 中，3OG =， ∠1322AG AO ==， ∠23AB AG == 故选A ．3．（2022·重庆字水中学九年级）一个多边形的每个外角都是36° ，则该多边形的内角和为（ ）A ．900°B ．1800°C ．1440°D ．1080°【答案】C 【分析】利用外角和除以外角的度数可得正多边形的边数，再利用内角和公式可得正多边形的内角和． 【详解】解：多边形的边数：360÷36=10， 内角和：180°×（10-2）=1440°， 故选：C ．4．（2022·云南昭通·）如图，在学习折叠时，嘉嘉惊奇地发现将等边三角形ABC 的,A ∠沿着与A ∠两边相交的一条直线折叠，无论折痕在哪里，只要A ∠落到内ABC ，12∠+∠都是（ ）A ．60B ．90C ．120D ．140【答案】C 【分析】设折痕EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，点A 的对应点落在点D 处，根据∠ABC 为等边三角形，可得60D A ︒∠=∠= ，DEF AEF ∠=∠ ，DFE AFE ∠=∠ ，再利用四边形的内角和定理，可求出240AFD AED ︒∠+∠=，最后利用邻补角的定义，即可求解．【详解】解：如图，设折痕EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，点A 的对应点落在点D 处，∠∠ABC 为等边三角形，∠60D A ︒∠=∠= ，DEF AEF ∠=∠ ，DFE AFE ∠=∠ ，在四边形AEDF 中，∠360240AFD AED A D ︒︒∠+∠=-∠-∠= ， ∠2180AED ︒∠+∠= ，1180AFD ︒∠+∠= ， ∠12360AFD AED ︒∠+∠+∠+∠=，∠12360()360240120AFD AED ︒︒︒︒∠+∠=-∠+∠=-=． 故选：C ．5．（2022·全国）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（ ）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】A 【分析】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，根据三角形内角和定理求出,BOC ∠再利用邻补角的性质求出DEO ∠，再根据四边形的内角和求出DFO ∠，根据邻补角的性质即可求出DFC ∠的度数． 【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∠180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒ ∠180,AOB B OAB ∠=︒-∠-∠同理得180,AOC OAC C ∠=︒-∠-∠ ∠360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒ ∠360BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠360(180)(180)B OAB OAC C =︒-︒-∠-∠-︒-∠-∠ 107,B C BAC =∠+∠+∠=︒∠72,BED ∠=︒∠180108,DEO BED ∠=︒-∠=︒ ∠360DFO D DEO EOF ∠=︒-∠-∠-∠36035108107110,=︒-︒-︒-︒=︒∠180********DFC DFO ∠=︒-∠=︒-︒=︒, 故选：A ．6．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d ，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d 及π的值都正确的是（ ）A ．8(21)sin 22.5d -=︒，8sin 22.5π≈︒B ．4(21)sin 22.5d -=︒，4sin 22.5π≈︒C ．4(21)sin 22.5d -=︒，8sin 22.5π≈︒D ．8(21)sin 22.5d -=︒，4sin 22.5π≈︒【答案】C 【分析】根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可． 【详解】解： 设剪去∠ABC 边长AC =BC =x ，可得： 22=4x x ，解得x=4-则BD=4，∠正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，∴∠=∠=︒，45CAB CBA则∠BFD=22.5°，∠外接圆直径d=BF，根据题意知π≈周长÷d=()323÷=8sin22.5︒，故选：C．7．（2022·辽宁鞍山市·九年级期末）中心角为30°的正多边形边数为_____．【答案】12【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．【详解】解：因为360°÷30°=12．所以这个正多边形的边数为12．故答案为：12．8．（2022·济南市章丘区实验中学九年级月考）一个正多边形的内角和等于720°，则它的边数是_____．【答案】6【分析】根据正多边形的内角和公式（n−2）×180°列方程求解．【详解】解：（n−2）×180°＝720°，n−2＝4，∠n＝6．故答案为：6．9．（2022·河北）（1）填表：（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析【分析】（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°．【详解】解：（1）∠三角形中只有一个钝角，∠三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；∠四边形的内角和为360°，∠四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；∠五边形的内角和为540°，∠五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；答案：1，2，3；（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．即m＝n﹣2；（3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立；设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，∠凸n边形的n个外角和为360°，∠k≤360＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，45讨论n≠8时的情况：（1）当时n＞8，m的值是7；（2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3；（3）当n ＝6，7时，m 的值分别为5，6；综上所述，当3≤n ≤5时，凸n 边形最多有n ﹣2个内角等于135°；当6≤n ≤7时，凸n 边形最多有n ﹣1个内角等于135°；当n ＝8时，凸n 边形最多有8个内角等于135°；当n ＞8时，凸n 边形最多有7个内角等于135°．10．（2022·山东滨州市·九年级期末）阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n 边形的对角线条数公式为：1(3)2n n -．如果一个n 边形共有20条对角线，那么可以得到方程1(3)202n n -=．整理得23400n n --=；解得8n =或5n =-，n 为大于等于3的整数，5n ∴=-不合题意，舍去．8n ∴=，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；（2）小明说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为小明同学说法正确吗?为什么? 【答案】（1）多边形是六边形；（2）多边形的对角线不可能有10条． 【分析】（1）根据多边形的对角线公式列出方程求解即可；（2）根据多边形的对角线公式列出方程，根据所求得的解要为正整数分析即可． 【详解】解：（1）根据题意得：1(3)92n n -=，整理得：23180n n --=，解得：6n =或3n =-．n 为大于等于3的整数，3n ∴=-不合题意，舍去． 6n ∴=，即多边形是六边形；（2）小明同学说法是不正确的，理由如下：当1(3)102n n -=时，整理得：23200n n --=，解得：n =∴符合方程23200n n --=的正整数n 不存在， ∴多边形的对角线不可能有10条．。

【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）三角形与多边形的有关概念及性质一、三角形有关概念及性质1．三角形的分类（1）三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.（2）三角形按边分类：①一般三角形：三边都不等的三角形；②等腰三角形：两边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形2．三角形的边的关系（1）三角形任意两边之和大于第三边.（2）三角形任意两边之差小于第三边3．三角形的角的关系（1）三角形三个内角的和等于180°；特别地，当有一个内角是90° 时，其余的两个内角互余.（2）三角形的外角和等于360°.（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角4．三角形的中线（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.（3）三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分5．三角形的高（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.（2）一个三角形有三条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部6．三角形的角平分线（1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 它区别于一个角的平分线在于它是线段，而一个角的平分线是射线.（2）三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心.这个点也是这个三角形内切圆的圆心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等7．三角形的中位线（1）连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.（2）一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.（3）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半二、多边形1．多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.2．正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.3．多边形的对角线：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段.【考点1】三角形的相关概念与计算【例1】（2024·山东模拟）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】A.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意B.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意C.三条线段没有首尾顺次相接，不合题意D.不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意【例2】（2024·山东模拟）下列图形中具备稳定性的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A、图形不具备稳定性，不符合题意；B、图形具备稳定性，符合题意；C、图形不具备稳定性，不符合题意；D、图形不具备稳定性，不符合题意；故选：B．根据三角形具有稳定性解答即可．本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．【例3】（2023·湖南）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6【答案】C【解析】解：∵1+3=4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；∵2+2<7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；∵4+5>7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；∵3+3=6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．根据三角形的三边关系分别判断即可．本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．【例4】（2023·天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是( )A. BCB. CEC. ADD. AC【答案】B【分析】连接PC，由已知可得AD垂直平分BC，所以PB=PC，从而BP+EP=PC+PE，显然E，P，C三点共线时取得最小值．【解析】解：如图，连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴当P、C、E三点共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE，故选B．【例5】（2024·四川模拟）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC=40°，∠E=115°，则∠B的度数是( )A. 40°B. 30°C. 45°D. 25°【答案】D【分析】【分析】由全等三角形的性质可得∠C=∠E=115°，再利用三角形的内角和定理即可求解．【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∠E=115°，∴∠C=∠E=115°，∵∠BAC=40°，∴∠B=180°−∠C−∠BAC=25°．故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.1.（2023·湖南）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，8cm，5cmC. 4cm，5cm，10cmD. 4cm，5cm，6cm【答案】D【解析】解：A、∵1+2=3，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5=8，∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+5<10，∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；D、∵4+5>6，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；故选：D．根据两边之和大于第三边判断即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．2.（2024·全国模拟）已知a，b为等腰三角形的两边长，且a，b满足√ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，则此等腰三角形的周长为( )A. 8B. 6或8C. 7D. 7或8【答案】D【解析】解：∵√ 2a−3b+5+(2a+3b−13)2=0，∴{2a−3b+5=02a+3b−13=0，解得：{a=2b=3，当b 为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8，故选：D ．首先根据√ 2a −3b +5+(2a +3b −13)2=0，并根据非负数的性质列方程求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．3.（2024·河北模拟）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为( )A. 15B. 20C. 25D. 20或25【答案】C【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【解析】解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形;当腰为10时，5+10>10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25．故选C ．【考点2】三角形的角平分线、中线、高【例1】（2023·四川）如图，在△ABC 中，∠CAD =90°，AD =3，AC =4，BD =DE =EC ，点F 是AB 边的中点，则DF =( )A. 54B. 52C. 2D. 1【答案】A【解析】解：∵∠CAD =90°，AD =3，AC =4，∴DC =√ AD 2+AC 2=√ 32+42=5，∵DE =EC ，DE +EC =DC =5，∴DE =EC =AE =52，∵BD =DE ，点F 是AB 边的中点，∴DF =12AE =54．故选：A ．先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=52，最后利用三角形的中位线定理求出DF=12AE=54．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键．【例2】（2024·陕西模拟）如图，AD是△ABC的中线，AB=5，AC=4.若△ACD的周长为10，则△ABD的周长为( )A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【分析】本题考查了三角形的中线，解题关键是求出AD+DC的长.根据三角形的中线的定义可得BD=CD，先求得AD+DC=6，然后求出△ABD的周长为AB+AD+DC，进而即可得到答案．【解析】解：△ACD的周长=AD+DC+AC=AD+DC+4=10，∴AD+DC=6，∵AD是ΔABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=5+6=11．故选：D．【例3】（2024·河南模拟）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )A. 线段CD是△ABC的AC边上的高线B. 线段CD是△ABC的AB边上的高线C. 线段AD是△ABC的BC边上的高线D. 线段AD是△ABC的AC边上的高线【答案】B【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的概念判断即可．【解析】解：A.线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B .线段CD 是△ABC 的AB 边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C .线段AD 不是△ABC 的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D .线段AD 不是△ABC 的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选B ．【例4】（2024·全国模拟）如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线，若AB =AC ，∠CAD =20∘，则∠ACE 的度数是( )A. 20∘B. 35∘C. 40∘D. 70∘【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB =70°是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB =2∠CAD =40°，∠B =∠ACB =12(180°−∠CAB)=70°.再利用角平分线定义即可得出∠ACE =12∠ACB =35°．【解析】解：∵AD 是△ABC 的中线，AB =AC ，∠CAD =20°，∴∠CAB =2∠CAD =40°，∠B =∠ACB =12(180°−∠CAB)=70°．∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE =12∠ACB =35°．故选B ．三角形中的重要线段∠CAD ∠BAC EC=½BC∠AFC=90°1.（2024·河南模拟）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则( )A. AM>ANB. AM≥C. AM<AND. AM≤AN 【答案】D【分析】此题考查垂线段问题，关键是根据垂线段最短解答．【解析】解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，所以AM≤AN，故选：D．2.（2024·河北模拟）如图，将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )A. 高B. 中线C. 中位线D. 角平分线【答案】A【解析】解：∵将△ABC折叠，使点C落在BC边上C′处，展开后得到折痕l，∴l⊥BC，即l是△ABC的高，故选：A．根据折叠性质可知，l⊥BC，由三角形高的定义即可得到答案．本题考查折叠性质及三角形高的定义，熟记相关性质及定义是解决问题的关键．3.（2024·广东模拟）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，AC=9cm，BC=3cm，那么△ACD和△BCD的周长的差是( )A. 3cmB. 6cmC. 12cmD. 无法确定【答案】B【解析】解：∵CD是AB边上的中线，∴AD=DB，∴△ACD的周长−△BCD的周长=(AC+CD+AD)−(BC+CD+BD)=AC−BC=9−3=6(cm)，故选：B．根据三角形的中线的概念得到AD=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．4.（2024·福建模拟）如图所示，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 的度数为( )A. 20°B. 18°C. 38°D. 40°【答案】A【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，得出∠BAE的度数是解题关键．根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠BAE=34°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【解析】解：∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=68°，∠BAD=90°−76°=14°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°，∴∠DAE=34°−14°=20°．故选A．【考点3】三角形的内心、外心【例1】（2024·河南模拟）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕AD，再将△ABC折叠，使BC边落在AB边上，展开后得到折痕BE，若AD与BE的交点为O，则点O是( )A. △ABC的外心B. △ABC的内心C. △ABC的重心D. △ABC的中心【答案】B【解析】解：由题意得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，∴O为角平分线的交点，则点O是△ABC的内心．故选：B．根据折叠的性质可知点O为角平分线的交点，可得结论．本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，解题的关键是根据翻折变换的性质得出O为角平分线的交点．【例2】（2024·全国模拟）如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为( )A. 6B. 9C. 12D. 13.5【答案】C【解析】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB=2OE，∴S△BOD=2S△DOE=2×1=2，∴S△BDE=3，∵AD=BD，∴S△ABE=2S△BDE=6，∵AE=CE，∴S△ABC=2S△ABE=2×6=12．故选C．利用O点为△ABC的重心得到OB=2OE，利用三角形面积公式得到S△BOD=2S△DOE=2，再利用AD=BD得到S△ABE=2S△BDE=6，然后利用AE=CE得到S△ABC=2S△ABE=12．本题考查了三角形的重心的性质的运用，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；1.（2024·河北模拟）如图，在4×4的正方形格纸中，△ABC的顶点均在格点上，BC边与网格线交于点D，AC边过格点E，连接AD，BE相交于点O，则点O为△ABC的( )A. 重心B. 外心C. 内心D. 以上结果均不对【答案】A【解析】解：由图可知，点D、E是BC、AC的中点，∴AD、BE是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，故选：A．根据三角形三条中线的交点是三角形的重心进行判断即可．本题考查了三角形的重心，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键．2.（2024·山东模拟）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC.小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的( )A. 中心B. 内心C. 外心D. 重心【答案】C【解析】解：按如图作图痕迹可知，AD为∠BAC的角平分线，∵AB=AC，∴AD也是BC边的中线、高线，即BC边的垂直平分线，∵另一痕迹是AB边的垂直平分线，∴点O为边的垂直平分线的交点，∴点O为外心，故选：C．根据等腰三角形的“三线合一”定理可得，AD是垂直平分线，由另一痕迹是AB边的垂直平分线得点O为外心．本题考查了外心的判断，由痕迹判断尺规作图是解题关键．3.（2024·安徽模拟）下列说法中正确的是( )①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④【答案】A【解析】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，故正确；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，故正确；如图，O为重心，过点O和点A分别作BC的垂线，垂足为E，F，则OE//AF，则△ODE∽△ADF，∴ODAD =OEAF=13，即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，故②错误，④正确；故选：A．根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论．本题考查了三角形的重心，掌握相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．【考点4】三角形的中位线定理【例1】（2023·云南）如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N.若MN=3米，则AB=( )A. 4米B. 6米C. 8米D. 10米【答案】B【解析】解：∵点M，N分别是AC和BC的中点，∴AB=2MN=6(m)，故选：B．根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【例2】（2023·四川）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，∵AC=6，BD=8，∴OC=3，OB=4，∴CB=√ OB2+OC2=5，∵E为边BC的中点，∴OE=12BC=52．故选：B．由菱形的性质得到OC=12AC=3，OB=12BD=4，AC⊥BD，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE的长．本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出OC，OB的长，由勾股定理求出BC的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出OE的长．【例3】（2023·辽宁）如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D、G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2.若∠C=45°，则DG的长为( )A. 2B. √ 3C. 32D. √ 2【答案】D【解析】解：如图，连接AO、BO、AB，∵∠C=45°，∴∠AOB=2∠C=90°，∵⊙O的半径为2，∴AO=BO=2，∴AB=2√ 2，∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE=12AB=√ 2．故选：D．先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理可得AB=2√ 2，再根据三角形的中位线定理可得DE=√ 2．此题主要考查了三角形的中位线定理，以及勾股定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半1.（2023·四川）如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC=1：2，则四边形DFEG的面积为( )A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2【答案】B【解析】解：连接DE，如图：∵D、E分别为AC、BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB=3cm，DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴S△DEF S△ABF =(DEAB)2=14，EFAF=DEAB=12，∴S△BEF S△ABF =EFAF=12，∴S△ABF=23S△ABE=23×12AB⋅BE=23×12×6×12×8=8(cm2)，∴S△DEF=14S△ABF=2(cm2)，∵S△DEC=12DE⋅CE=12×3×4=6(cm2)，DG：GC=1：2，∴S△DEG=13S△DEC=2(cm2)，∴S四边形DFGE=S△DEF+S△DEG=4(cm2)，∴四边形DFEG 的面积为4cm 2， 故选：B ．连接DE ，由D 、E 分别为AC 、BC 中点，可得DE =12AB =3cm ，DE//AB ，即得△DEF ∽△BAF ，故S△DEF S △ABF=(DE AB)2=14，EF AF=DE AB=12，可得S △ABF =23S △ABE =23×12AB ⋅BE =8(cm 2)，故S △DEF =14S △ABF =2(cm 2)，又S △DEC =12DE ⋅CE =6(cm 2)，DG ：GC =1：2，可得S △DEG =13S △DEC =2(cm 2)，从而S 四边形DFGE =S △DEF +S △DEG =4(cm 2)，本题考查相似三角形判定与性质，三角形中位线及应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质及应用． 2.（2023·内蒙古）如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC.垂足分别为D ，E ，F ，连接DE ，EF ，FD.若DE +DF =6.5，△ABC 的周长为21，则EF 的长为( ) A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3 【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， ∴AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ， ∴DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线， ∴DE =12AC,DF =12BC,EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5， ∵DE +DF =6.5， ∴EF =10.5−6.5=4， 故选：B ．根据垂径定理得到AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，根据三角形的中位线定理得到DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，于是得到结论．本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【考点5】多边形的内角和与外角和【例1】（2023·湖南）七边形的内角和为( ) A. 540°B. 720°C. 900°D. 1 080°【答案】C【分析】本题考查了多边形的内角和定理．熟记“n边形的内角和为(n−2)·180°”是解题的关键．利用多边形的内角和=(n−2)·180°即可解决问题．【解析】解：根据多边形的内角和可得：(7−2)×180°=900°．故选C．【例2】（2023·甘肃）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】解：∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8=45°．故选：A．由多边形的外角和定理直接可求出结论．本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．【例3】（2023·北京）若正多边形的一个外角是60∘，则该正多边形的内角和为( )A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 900∘【答案】C【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和定理的有关知识，根据多边形的外角和等于360°，先求出这个多边形的边数，然后再利用多边形的内角和公式进行求解即可．【解析】解：由多边形的外角和为360∘可知，这个正多边形的边数为360∘÷60∘=6，由多边形内角和公式可知内角和为180∘×(6−2)=720∘．故选C．（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;（2）多边形的外角和：360°.1.（2023·湖北）五边形的外角和为( )A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°【答案】B【分析】此题考查了多边形内角与外角，比较简单，只要识记多边形的外角和是360°即可．多边形外角和都等于360°，则四边形的外角和为360度．【解析】解：∵多边形外角和=360°，∴四边形的外角和为360°．故选：B．2.（2023·广东）如图，直线AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．【答案】40°【解析】如图，延长PM、EG K，PM延长线交AB于点L．∵AB//CD，∴∠ALM=∠LND=∠CNP=50°，∴∠MKG=∠BFG+∠ALM=80°．∵∠HMN=30°，∴∠HMK=150°∵∠FGH=90°，∴∠KGH=90°，∴∠GHM=360°−∠HMK−∠MKG−∠KGH=360°−150°−80°−90°=40°．3.（2023·江苏）如图，五边形ABCDE是正五边形，l1//l2，若∠1=20°，则∠2=_____°．【答案】56【分析】本题主要考查了平行线的性质以及多边形的内角与外角，解题的关键是连接AC，利用内错角相等建立等量关系．连接AC，依据平行线的性质，即可得到等式∠2+∠ACB=∠1+∠CAE，据此可得∠2的度数．【解析】解：如图所示，连接AC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=∠BAE=108°，∠ACB=∠CAB=36°，∴∠CAE=108°−36°=72°，∵l1//l2，∴∠2+∠ACB=∠1+∠CAE，即∠2+36°=20°+72°，解得∠2=56°，故答案为56．4.（2023·山东）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．【答案】五【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键.根据多边形的内角和公式求出边数即可．【解析】解：设多边形的边数是n，则(n−2)·180°=540°，解得n=5，故答案为五．。

（2022•雅安中考）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（ ）A ．3√3B ．32C ．3√32D ．3【解析】选C ．连接OC ，OD ，∵正六边形ABCDEF 是圆的内接多边形，∴∠COD ＝60°，∵OC ＝OD ，OG ⊥CD ，∴∠COG ＝30°，∵⊙O 的周长等于6πcm ，∴OC ＝3cm ，∴OG ＝3cos30°=32√3cm.（2022•成都中考）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）A ．√3B ．√6C ．3D ．2√3【解析】选C ．连接OB 、OC ，如图：∵⊙O 的周长等于6π，∴⊙O 的半径OB ＝OC =6π2π=3， ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC =360°6=60°， ∴△BOC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC ＝3，即正六边形的边长为3，A ．4，π3B ．3√3，πC ．2√3，4π3D ．3√3，2π【解析】选D ．连接OB 、OC ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BOC =360°6=60°， ∵OB ＝OC ，∴△BOC 为等边三角形，∴BC ＝OB ＝6，∵OM ⊥BC ，∴BM =12BC ＝3，∴OM =√OB 2−BM 2=√62−32=3√3，BC ̂的长为60π×6180=2π，（2022•宿迁中考）如图，在正六边形ABCDEF 中，AB ＝6，点M 在边AF 上，且AM ＝2．若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长是 4√7 ．【解析】如图，设正六边形ABCDEF 的中心为O ，过点M 、O 作直线l 交CD 于点N ，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l 被正六边形所截的线段长是MN ，连接OF ，过点M 作MH ⊥OF 于点H ，连接OA ，（2022•绥化中考）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为12度．【解析】如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．答案：12．=108°，即∠ABC＝108°；【解析】（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=(5−2)×18025（2）△AMN是正三角形，理由：连接ON，NF，由题意可得：FN＝ON＝OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA＝60°，∴NMA＝60°，同理可得：∠ANM＝60°，∴∠MAN＝60°，∴△MAN是正三角形；（3）∵∠AMN＝60°，∴∠AON＝120°，×2=144°，∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，∵∠AOD=360°5∵360°÷24°＝15，∴n的值是15．。

专题14 圆与正多边形一．选择题1. 如图，在⊙O 中，∠BOC ＝130°，点A 在BAC 上，则∠BAC 的度数为（ ）A. 55°B. 65°C. 75°D. 130°【答案】B【解析】【分析】利用圆周角直接可得答案． 【详解】解： ∠BOC ＝130°，点A 在BAC 上， 165,2BACBOC故选B 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．2. 如图，在O 中，弦,AB CD 相交于点P ，若48,80A APD ∠=︒∠=︒，则B 的大小为（ ）A. 32︒B. 42︒C. 52︒D. 62︒ 【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角的性质可得C A APD ∠+∠=∠，求得32C ∠=︒，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．【详解】C A APD ∠+∠=∠，48,80A APD ∠=︒∠=︒，32C ∴∠=︒32B C ∴∠=∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3. 如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A. 23πB. 23π-C. 43π-D. 43π【答案】B【解析】 【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．【详解】解：如图，过点OC 作OD ⊥AB 于点D ，∵∠AOB =2×36012︒=60°， ∴△OAB 是等边三角形， ∴∠AOD =∠BOD =30°，OA =OB =AB =2，AD =BD =12AB =1，∴OD =∴阴影部分的面积为260212236023ππ⋅⨯-⨯=- 故选：B ．【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．4. 如图，在四边形材料ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，9cm AD =，20cm AB =，24cm BC =．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）A. 110cm 13B. 8cmC.D. 10cm【答案】B【解析】【分析】如图所示，延长BA 交CD 延长线于E ，当这个圆为△BCE 的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可．【详解】解：如图所示，延长BA 交CD 延长线于E ，当这个圆为△BCE 的内切圆时，此圆的面积最大，∵AD BC ∥，∠BAD =90°，∴△EAD △△EBC ，∠B =90°， △EA AD EB BC=，即92024EA EA =+， ∴12cm EA =，∴EB =32cm ，∴40cm EC ==，设这个圆的圆心为O ，与EB ，BC ，EC 分别相切于F ，G ，H ，∴OF =OG =OH ，∵=EBC EOB COB EOC S S S S ++△△△△， ∴11112222EB BC EB OF BC OG EC OH ⋅=⋅+⋅+⋅， ∴()2432=243240OF ⨯++⋅，∴8cm OF =，∴此圆的半径为8cm ，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．5. 如图，四边形ABCD 内接于O ，连接OB ，OD ，BD ，若110C ∠=︒，则OBD ∠=（ ）A. 15︒B. 20︒C. 25︒D. 30【答案】B【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，根据圆周角定理可得BOD ∠，再根据OB OD =计算即可．【详解】∵四边形ABCD 内接于O ，∴18070A BCD ∠︒-∠︒== ，由圆周角定理得，2140BOD A ∠=∠=︒ ，∵OB OD = ∴180202BOD OBD ODB ︒-∠∠=∠==︒ 故选：B ．【点睛】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6. 如图，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线和ABC 的外接圆相交于点D ，与BC 相交于点G ，则下列结论：△BAD CAD ∠=∠；△若60BAC ∠=︒，则120∠=︒BEC ；△若点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒；△BD DE =．其中一定正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】根据点E 是ABC 的内心，可得BAD CAD ∠=∠，故①正确；连接BE ，CE ，可得∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），从而得到∠CBE +∠BCE =60°，进而得到∠BEC =120°，故②正确； BAD CAD ∠=∠，得出BD CD =，再由点G 为BC 的中点，则90BGD ∠=︒成立，故③正确；根据点E 是ABC 的内心和三角形的外角的性质，可得()12BED BAC ABC ∠=∠+∠，再由圆周角定理可得()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠，从而得到∠DBE =∠BED ，故④正确；即可求解． 【详解】解：∵点E 是ABC 的内心，∴BAD CAD ∠=∠，故①正确；如图，连接BE ，CE ，∵点E 是ABC 的内心，∴∠ABC =2∠CBE ，∠ACB =2∠BCE ，∴∠ABC +∠ACB =2（∠CBE +∠BCE ），∵∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠CBE +∠BCE =60°，∴∠BEC =120°，故②正确；∵点E 是ABC 的内心，∴BAD CAD ∠=∠，∴BD CD =,∵点G 为BC 的中点，∴线段AD 经过圆心O ，∴90BGD ∠=︒成立，故③正确；∵点E 是ABC 的内心， ∴11,22BAD CAD BAC ABE CBE ABC ∠=∠=∠∠=∠=∠， ∵∠BED =∠BAD +∠ABE ， ∴()12BED BAC ABC ∠=∠+∠， ∵∠CBD =∠CAD ，∴∠DBE =∠CBE +∠CBD =∠CBE +∠CAD ， ∴()12DBE BAC ABC ∠=∠+∠， ∴∠DBE =∠BED ，∴BD DE =，故④正确；∴正确的有4个．故选：D【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．7. 如图所示，等边ABC 的顶点A 在△O 上，边AB 、AC 与△O 分别交于点D 、E ，点F 是劣弧DE 上一点，且与D 、E 不重合，连接DF 、EF ，则DFE ∠的度数为（ ）A. 115︒B. 118︒C. 120︒D. 125︒【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得60A ∠=︒，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解：ABC 是等边三角形，60A ∴∠=︒，180120DFE A ∴∠=︒-∠=︒，故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．8. 大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF ，若对角线AD 的长约为8mm ，则正六边形ABCDEF 的边长为（ ）A. 2mmB.C.D. 4mm 【答案】D【解析】【分析】如图，连接CF 与AD 交于点O ，易证△COD 为等边三角形，从而CD =OC =OD =12AD ，即可得到答案．【详解】连接CF 与AD 交于点O ，∵ABCDEF 为正六边形，∴∠COD = 3606︒=60°，CO =DO ，AO =DO =12AD =4mm ，∴△COD 为等边三角形，∴CD =CO =DO =4mm ，即正六边形ABCDEF 的边长为4mm ，故选：D ．【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．9. 如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，若AB =3，则⊙O 的半径是（ ）A. 32 B. 2 D. 52【答案】C【解析】【分析】作直径AD ，连接CD ，如图，利用等边三角形的性质得到∠B =60°，关键圆周角定理得到∠ACD =90°，∠D =∠B =60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【详解】解：作直径AD ，连接CD ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠B =60°，∵AD 为直径，∴∠ACD =90°，∵∠D =∠B =60°，则∠DAC =30°，∴CD =12AD ， ∵AD 2=CD 2+AC 2，即AD 2=(12AD )2+32，∴AD∴OA =OB =12AD 故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．10. 如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA ，PB 分别相切于点A ，B ，不倒翁的鼻尖正好是圆心O ，若28OAB ∠=°，则APB ∠的度数为（ ）A. 28︒B. 50︒C. 56︒D. 62︒【答案】C【解析】【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为P A、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．【详解】连接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵P A、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥P A，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故选：C【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．11. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A. B. 6 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．MN，以O为【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=12圆心，OM为半径作圆，如图，MN，所以OQ=MQ=NQ，因为OQ为MN垂直平分线且OQ=12∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，通过图像可知，当点P在P'位置时，恰好过格点且P M'经过圆心O，所以此时P M'最大，等于圆O的直径，∵BM＝4，BN＝2，∴MN=△MQ=OQ△OM==△2P M OM'==故选C．【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．12. 如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（）A. 175π3cm2 B.175π2cm2 C. 175πcm2 D. 350πcm2【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．【详解】解：在Rt AOC△中，25AC =cm ， ∴它侧面展开图的面积是127251752ππ⨯⨯⨯=cm 2． 故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 13. 如图，ABC 内接于⊙,46O C ∠=︒，连接OA ，则OAB ∠=（ ）A. 44︒B. 45︒C. 54︒D. 67︒【答案】A【解析】 【分析】连接OB ，由2∠C =△AOB ，求出△AOB ，再根据OA =OB 即可求出△OAB ．【详解】连接OB ，如图，△△C =46°，△△AOB =2△C =92°，△△OAB +△OBA =180°-92°=88°，△OA =OB ，△△OAB =△OBA ，△△OAB =△OBA =12×88°=44°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出△AOB =2△C =92°是解答本题的关键．14. 已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A. 236πcmB. 224πcmC. 216πcmD. 212πcm【答案】B【解析】【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S rl π=侧；【详解】4624S rl πππ==⋅⋅=侧2cm ，故选B ．【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可． 15. 如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，半径90m OA =，圆心角80AOB ∠=︒，则这段弯路（AB ）的长度为（ ）A. 20m πB. 30m πC. 40m πD. 50m π【答案】C【解析】 【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（AB ）的长度．【详解】解：∵半径OA =90m ，圆心角∠AOB =80°，∴这段弯路（AB ）的长度为：809040(m)180ππ⨯=， 故选C 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式.180n r l π=16. 如图，,AB AC 是O 的两条弦，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结OB ，OC ．若130DOE ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 95︒B. 100︒C. 105︒D. 130︒【答案】B【解析】 【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC =50°，再根据圆周角定理得到∠BOC =2∠BAC ，进而可以得到答案．【详解】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴∠ADO =90°，∠AEO =90°，∵∠DOE =130°，∴∠BAC =360°-90°-90°-130°=50°，∴∠BOC =2∠BAC =100°，故选：B ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17. 如图，点I 为的ABC 内心，连接AI 并延长交ABC 的外接圆于点D ，点E 为弦AC 的中点，连接CD ，EI ，IC ，当2AI CD =，6IC =，5ID =时，IE 的长为（ ）A. 5B. 4.5C. 4D. 3.5【答案】C【解析】【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM 的中位线即可解决问题．【详解】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．∵I是△ABC的内心，∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，∴∠DIC=∠DCI，∴DI=DC=DM，∴∠ICM=90°，∴CM=，∵AI=2CD=10，∴AI=IM，∵AE=EC，∴IE是△ACM的中位线，CM=4，∴IE=12故选：C．【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．18. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A. 5πm 3B. 8πm 3C. 10πm 3D. 5π+2m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC ，再利用矩形的性质证得COD ∆是等边三角形，得到60COD ∠=︒，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒，利用弧长公式即可求解．【详解】如图，连接AD ，BC ，交于O 点，∵90BDC ∠=︒ ，∴BC 是直径，∴4BC ===，∵四边形ABDC 是矩形，∴122OC OD BC ===， ∵2CD =，∴OC OD CD ==，∴COD ∆是等边三角形，∴60COD ∠=︒，∴门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒ ， ∴改建后门洞的圆弧长是11300300410221801803BC πππ︒⨯︒⨯⨯==︒︒(m)， 故选：C【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．19. 如图，正六边形ABCDEF 内接于△O ，若△O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）C. 3D. 【答案】C【解析】 【分析】连接OB ，OC ，由△O 的周长等于6π，可得△O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB ，OC ，∵△O 的周长等于6π，∴△O 的半径为：3，∵∠BOC 61=⨯360°＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF 的边长为3，故选：C ．【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20. 家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC ＝90°，则扇形部件的面积为（ ）A. 12π米2 B. 14π米2 C. 18π米2 D. 116π米2 【答案】C【解析】 【分析】连接BC ，先根据圆周角定理可得BC 是O 的直径，从而可得1BC =米，再解直角三角形可得AB AC = 【详解】解：如图，连接BC ，90BAC ∠=︒，BC ∴是O 的直径，1BC ∴=米，又AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，sin AB AC BC ABC ∴==⋅∠=（米），则扇形部件的面积为290123608ππ⨯=（米2）， 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解题关键．二．填空题21. 如图，在正六边形ABCDEF 中，AB =6，点M 在边AF 上，且AM =2．若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长是_____．【答案】 【解析】【分析】如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ，由正六边形是轴对称图形可得：,ABCO DEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOMDOHMOFCHOSSSS,OM OH = 可得直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ，由正六边形是轴对称图形可得：,ABCODEFO S S 四边形四边形由正六边形是中心对称图形可得：,,AOMDOHMOFCHOSSSS,OM OH =∴直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心， 由正六边形的性质可得：AOF 为等边三角形，60,AFO而6,AB =6,3,AB AF OF OA AP FP226333,OP2,AM 则1,MP 2213327,OM247.MHOM故答案为：【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．22. 如图，用一个半径为6 cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm ．（结果保留π）【答案】4π 【解析】【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物的高度为12064180ππ⨯⨯=（cm ）．故答案为：4π．【点睛】本题考查了弧长公式：180n Rl π⋅⋅=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．23. 如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB ，CD ，AD ．设CD 与直径AB 交于点E ．若AD =ED ，则∠B =_________度；BCAD的值等于_________．【答案】 △. 36 △. 32+ 【解析】【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE =∠DEA ，证出∠BEC =∠BCE ，由折叠的性质得出∠ECO =∠BCO ，设∠ECO =∠OCB =∠B =x ，证出∠BCE =∠ECO +∠BCO =2x ，∠CEB =2x ，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO ∽△BEC ，由相似三角形的性质得出CE BEEO CE=，设EO =x ，EC =OC =OB =a ，得出a 2=x （x +a ），求出OE a ，证明△BCE ∽△DAE ，由相似三角形的性质得出BC ECAD AE=，则可得出答案．【详解】解：∵AD =DE ， ∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DEA =∠BEC ，∠DAE =∠BCE ， ∴∠BEC =∠BCE ，∵将该圆形纸片沿直线CO 对折， ∴∠ECO =∠BCO ， 又∵OB =OC ， ∴∠OCB =∠B ，设∠ECO =∠OCB =∠B =x ， ∴∠BCE =∠ECO +∠BCO =2x ， ∴∠CEB =2x ，∵∠BEC +∠BCE +∠B =180°， ∴x +2x +2x =180°， ∴x =36°， ∴∠B =36°；∵∠ECO =∠B ，∠CEO =∠CEB ， ∴△CEO ∽△BEC ， ∴CE BEEO CE=， ∴CE 2=EO •BE ，设EO =x ，EC =OC =OB =a ， ∴a 2=x （x +a ），解得，x a （负值舍去），∴OE a ，∴AE =OA -OE =a -12a =32-a ，∵∠AED =∠BEC ，∠DAE =∠BCE ， ∴△BCE ∽△DAE ，∴BC EC AD AE=，∴32BCAD==．故答案为：36，32+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24. 如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD所对的圆周角，则∠APD的度数是______．【答案】30°##30△【解析】【分析】根据垂径定理得出△AOB=△BOD，进而求出△AOD=60°，再根据圆周角定理可得△APD=12△AOD=30°．【详解】△OC⊥AB，OD为直径，△BD AD=，△△AOB=△BOD，△△AOB=120°，△△AOD=60°，△△APD=12△AOD=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．25. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm ，底面圆的半径为10 cm ，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 【答案】120︒ 【解析】【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ，30210180n =⨯⨯ππ，进行解答即可得．【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，30210180n =⨯⨯ππ 120n =︒故答案为：120︒．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．26. 如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A ，D 是BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．【答案】32或65【解析】【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可． 【详解】解：连接OA ，①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，设圆的半径=r，∴OA=r，OC=4-r，∵AC=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=32，即AD=AO=32；②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，∵12AO•AC=12OC•AD，∴AD=AO AC OC，∵AO=32，AC=2，OC=4-r=52，∴AD=65，综上所述，AD的长为32或65，故答案为：32或65．【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．27. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为____________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，∴BC=10厘米，令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案为：26．【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．28. 若扇形的圆心角为120 ，半径为32，则它的弧长为___________．【答案】π【解析】【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为32， ∴它的弧长为：31202,180ππ⨯=故答案为：π【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式.180n rl π=29. 如图，⊙O 的半径为2，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若30B ∠=︒．则AC 的长为_____（结果用含有π的式子表示）【答案】23π 【解析】【分析】利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到60AOC ∠=︒，再利用弧长公式求解即可．【详解】2AOC B ∠=∠，30B ∠=︒，60AOC ∴∠=︒，⊙O 的半径为2，60221803AC ππ⨯∴==， 故答案为：23π．【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，即180n rl π=，熟练掌握知识点是解题的关键．30. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，BC =1的O在Rt ABC △内平移（O 可以与该三角形的边相切），则点A 到O 上的点的距离的最大值为________．【答案】1 【解析】【分析】设直线AO 交O 于M 点（M 在O 点右边），当O 与AB 、BC 相切时，AM 即为点A 到O 上的点的最大距离．【详解】设直线AO 交O 于M 点（M 在O 点右边），则点A 到O 上的点的距离的最大值为AM 的长度当O 与AB 、BC 相切时，AM 最长 设切点分别为D 、F ，连接OB ，如图∵90C ∠=︒，6AC =，BC =∴tan ACB BC==AB = ∴60B ∠=︒∵O 与AB 、BC 相切 △1302OBD B ∠=∠=︒ △O 的半径为1 ∴1OD OM ==∴BD ==∴AD AB DB =-=∴OA===∴1=+=AM OA OM∴点A到O上的点的距离的最大值为1．【点睛】本题考查切线的性质、特殊角度三角函数值、勾股定理，解题的关键是确定点A到O上的点的最大距离的图形．31. 如图，在扇形AOB中，点C，D在AB上，将CD沿弦CD折叠后恰好与OA，OA=，则EF的度数为_______；折痕OB相切于点E，F．已知120AOB∠=︒，6CD的长为_______．【答案】△. 60°##60△ △.【解析】【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N△将CD沿弦CD折叠∴点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心，半径为6的圆上△将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．∴ME ⊥OA ，MF ⊥OB∴90MEO MFO ∠=∠=︒∵120AOB ∠=︒∴四边形MEOF 中36060EMF AOB MEO MFO ∠=︒-∠-∠-∠=︒即EF 的度数为60°；∵90MEO MFO ∠=∠=︒，ME MF =∴MEO MFO ≅（HL ） ∴1302EMO FMO FME ∠=∠=∠=︒∴6cos cos30ME OM EMO ===∠︒∴MN =∵MO ⊥DC∴12DN CD ====∴CD =故答案为：60°；【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．三．解答题32. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作⊙O ，交AB 边于点D ，在CD 上取一点E ，使BE CD =，连接DE ，作射线CE 交AB 边于点F ．（1）求证：A ACF ∠=∠；（2）若8AC =，4cos 5ACF ∠=，求BF 及DE 的长． 【答案】（1）见解析 （2）BF =5，4225DE = 【解析】【分析】（1）根据Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，得到∠A +∠B =∠ACF +∠BCF =90°，根据BE CD =，得到∠B =∠BCF ，推出∠A =∠ACF ；（2）根据∠B =∠BCF ，∠A =∠ACF ，得到AF =CF ，BF =CF ，推出AF =BF =12 AB ，根据4cos cos 5AC ACF A AB ∠===，AC =8，得到AB =10，得到BF =5，根据6BC ==，得到3sin 5BC A AB ==，连接CD ，根据BC 是⊙O 的直径，得到∠BDC =90°，推出∠B +∠BCD =90°，推出∠A =∠BCD ，得到3sin 5BD BCD BC ∠==，推出185BD =，得到75DF BF BD =-=，根据∠FDE =∠BCE ，∠B =∠BCE ，得到∠FDE =∠B ，推出DE ∥BC ，得到△FDE ∽△FBC ，推出DE DF BC BF =，得到4225DE =． 【小问1详解】解：∵Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，∴∠A +∠B =∠ACF +∠BCF =90°，∵BE CD =，∴∠B =∠BCF ，∴∠A =∠ACF ；【小问2详解】∵∠B =∠BCF ，∠A =∠ACF∴AF =CF ，BF =CF ，∴AF =BF =12 AB ， ∵4cos cos 5AC ACF A AB ∠===，AC =8，∴AB=10，∴BF=5，∵6 BC==，∴3 sin5BCAAB==，连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴3 sin5BDBCDBC∠==，∴185 BD=，∴75 DF BF BD=-=，∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，∴∠FDE=∠B，∴DE∥BC，∴△FDE∽△FBC，∴DE DF BC BF=，∴4225 DE=．【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．33. 如图，已知AC为O的直径，直线P A与O相切于点A，直线PD经过O 上的点B且CBD CAB∠=∠，连接OP交AB于点M．求证：（1）PD 是O 的切线；（2）2AM OM PM =⋅【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）连接OB ，由等边对等角及直径所对的圆周角等于90°即可证明； （2）根据直线P A 与O 相切于点A ，得到90OAP ∠=︒，根据余角的性质得到OAM APM ∠=∠，继而证明OAM APM ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【小问1详解】连接OB ，OA OB OC ==，,OAB OBA OBC OCB ∴∠=∠∠=∠，AC 为O 的直径，ABC OBA OBC ∴∠=∠+∠，CBD CAB∠=∠，OBA CBD∴∠=∠，90CBD OBC OBD∴∠+∠=︒=∠，∴PD是O的切线；【小问2详解】直线P A与O相切于点A，90OAP∴∠=︒，∵PD是O的切线，90AMO AMP OAP∴∠=∠=∠=︒，90OAM PAM PAM APM∴∠+∠=∠+∠=︒，OAM APM∴∠=∠，OAM APM∴，AM OMPM AM∴=，∴2AM OM PM=⋅．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．34. 如图，点C在以AB为直径的O上，CD平分ACB∠交O于点D，交AB于点E，过点D作O的切线交CO的延长线于点F．（1）求证：FD AB∥；（2）若AC=BC=，求FD的长．【答案】（1）见解析（2）15 8【解析】【分析】（1）连接OD，由CD平分△ACB，可知AD BD=，得△AOD=△BOD=90°，由DF是切线可知△ODF=90°=△AOD，可证结论；（2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得CM OMOD FD，代入可求．【小问1详解】证明：连接OD，如图，△CD平分△ACB，△AD BD=，△△AOD=△BOD=90°，△DF是△O的切线，△△ODF=90°△△ODF=△BOD，△DF∥AB．【小问2详解】解：过C作CM⊥AB于M，如图，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AB2222(25)(5)5BC．∴1122AB CM AC BC=，即115255 22CM，∴CM=2，∴2222(5)21BM BC CM，∴OM=OB -BM=135122，∵DF∥AB，∴∠OFD=∠COM，又∵∠ODF=∠CMO=90°，∴△DOF ∽△MCO，∴CM OM OD FD，即32252FD，∴FD=158．【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解．35. 如图，AB 为O的直径，点C是O上一点，点D是O外一点，BCD BAC∠=∠，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是O的切线．（2）若4,sin5CE OA BAC=∠=，求tan CEO∠的值．【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB =90°，根据OA =OC 推出∠BCD =∠ACO ，即可得到∠BCD +∠OCB =90°，由此得到结论；（2）过点O 作OF ⊥BC 于F ，设BC =4x ，则AB =5x ，OA =CE =2.5x ，BE =1.5x ，勾股定理求出AC ，根据OF ∥AC ，得到1BF OB CF OA==，证得OF 为△ABC 的中位线，求出OF 及EF ，即可求出tan CEO ∠的值．【小问1详解】证明：连接OC ，∵AB 为O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACO +∠OCB =90°，∵OA =OC ，△∠A =∠ACO ,∵BCD BAC ∠=∠，∴∠BCD =∠ACO ，∴∠BCD +∠OCB =90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是O 的切线．【小问2详解】解：过点O 作OF ⊥BC 于F ， ∵4,sin 5CE OA BAC =∠=， ∴设BC =4x ，则AB =5x ，OA =CE =2.5x ，∴BE =BC -CE =1.5x ，∵∠C =90°，∴AC 3x =，∵OA =OB ，OF ∥AC ， ∴1BF OB CF OA==， ∴CF =BF =2x ，EF =CE -CF =0.5x ，∴OF 为△ABC 的中位线，∴OF =1 1.52AC x =， ∴tan CEO ∠= 1.530.5OF x EF x ==．【点睛】此题考查了圆周角定理，证明直线是圆的切线，锐角三角函数，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，正确引出辅助线是解题的关键． 36. 如图，AB 为O 的弦，OC OA ⊥交AB 于点P ，交过点B 的直线于点C ，且CB CP =．（1）试判断直线BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin 85A OA ==，求CB 的长． 【答案】（1）相切，证明见详解（2）6【解析】【分析】（1）连接OB ，根据等腰三角形的性质得出A OBA ∠=∠，CPB CBP ∠=∠，从而求出90AOC OBC ∠=∠=︒，再根据切线的判定得出结论； （2）分别作OM AB ⊥交AB 于点M ，CN AB ⊥交AB 于N ，根据sin 8A OA ==求出OP ，AP 的长，利用垂径定理求出AB 的长，进而求出BP 的长，然后在等腰三角形CPB 中求解CB 即可．【小问1详解】证明：连接OB ，如图所示：CP CB OA OB ==，，∴A OBA ∠=∠，CPB CBP ∠=∠，APO CPB ∠=∠，APO CBP ∴∠=∠，OC OA ⊥，即90AOP ︒=∠，90A APO OBA CBP OBC ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠，OB BC ∴⊥， OB 为半径，经过点O ，∴直线BC 与O 的位置关系是相切．【小问2详解】分别作OM AB ⊥交AB 于点M ，CN AB ⊥交AB 于N ，如图所示：AM BM ∴=，CP CB AO CO =⊥，，A APO PCN CPN ∴∠+∠=∠+∠，PN BN =，PCN BCN ∠=∠A PCN BCN ∴∠=∠=∠sin A =，8OA =，sin OM OP A OA AP ∴===4OM AM OP AP ∴====，25AB AM ∴==，111()(22255PN BN PB AB AP ∴===-=⨯-=sin sin BN A BCN CB ∴=∠==，6CB ∴===． 【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．37. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、M 均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB 、CD ，相交于点P 并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E ，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE ． 在Rt △ABC 中，1tan 2BAC ∠=在Rt △CDE 中， ，所以tan tan BAC DCE ∠∠=．所以∠BAC =∠DCE ．因为∠ACP + ∠DCE =∠ACB =90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD．（1）【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：（2）【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使2AM=AP·AB，写出作法，不用证明．【答案】（1）1tan2DCE∠=；见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取格点N，作射线AN交BM于点P，则AN MO⊥根据垂径定理可知，点P即为所求作；（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△P AM∽△MAB，即可证明结论．【小问1详解】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，1 tan2BAC∠=在Rt△CDE中，1 tan2DCE∠=，所以tan tan BAC DCE ∠∠=．所以∠BAC =∠DCE ．因为∠ACP + ∠DCE =∠ACB =90°，所以∠ACP +∠BAC =90°，所以∠APC =90°，即AB ⊥CD ． 故答案为：1tan 2DCE ∠=； 取格点N ，作射线AN 交BM 于点P ，点P 即为所求作；11tan ,tan 33MOD NAC ∠=∠= MOD NAC ∴∠=∠90NAC ANC ∠+∠=︒90ANC DOM ∴∠+∠=︒∴AN OM ⊥AM PM ∴=【小问2详解】解：取格点I ，连接MI 交AB 于点P ，点P 即为所求作；证明：作直径AN ，连接BM 、MN ，在Rt △FMI 中，1an 3t FMI ∠=， 在Rt △MNA 中，1an 3t MNA ∠=， 所以tan tan FMI MNA ∠∠=．。