立体几何空间角

第六讲：空间中的角（二）二面角 一，知识点 1，基本概念1）半平面：当两个平面相交时，我们往往只画起一部分，就像一本翻开的书，我们把其中一部分叫做半平面。

2）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。

即分别在两个半平面内做交线的垂线，两条射线所成的角为二面角的平面角。

2，范围：],0[π特别：重合为0，共面为π，即相当于把一张纸折叠后的两种极限情况。

3，步骤：一找，二证，三计算4，用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。

二，典型例题与解读求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点（特殊点），在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！用定义法时，要认真观察图形的特性。

例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

jA B CDP H2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

3、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。

立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。

（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。

2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。

求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。

则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。

空间角例题讲解：一、异面直线夹角问题例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A BC D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为_ _ _(2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA= 90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________。

二、线面夹角问题例2、（1）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60O 的角，且b 与a 在α内的射影成45O的角时，a 与α所成的角为( ) (A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O（2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且 2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．三、二面角问题例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为 。

（2）在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为︒45，AB 与平面β所成的角为︒30，则二面角的大小为 ；1A(3) 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角的平面角的正弦值大小.巩固练习：一、选择题1．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.232．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不．正确的是( ) A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角3．已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( ) A.32 B.12 C.33 D.364．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，A B C E D P则( )A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．β＞α＞γD．γ＞β＞α二、填空题5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．6．已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是__________．7．已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．三、解答题8．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．(1)证明：EF∥平面SAD；(2)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的余弦值．9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1上的动点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)求直线DF与平面A1B1CD所成角的正弦值；(3)若E为C1D1的中点，在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.10．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°.(1)若AD＝2，AB＝2BC，求四面体ABCD的体积；(2)若二面角C－AB－D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．。

高中数学立体几何中的空间角解析立体几何是高中数学中的重要内容之一，其中空间角是立体几何中的一个重要概念。

本文将以具体的题目为例，详细介绍空间角的定义、性质和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间角。

一、空间角的定义和性质空间角是指由两条射线在同一平面内围成的角，也可以理解为由两条射线在三维空间中围成的角。

具体来说，设有两条射线OA和OB，它们在同一平面内，那么角AOB就是由这两条射线所围成的空间角。

空间角的度量单位与平面角相同，可以用度（°）或弧度（rad）来表示。

在解题中，我们通常使用度来度量空间角。

空间角具有以下性质：1. 两条射线的方向不同，所围成的空间角大小在0°到180°之间；2. 如果两条射线的方向相同，所围成的空间角大小为0°；3. 如果两条射线的反向延长线相交，所围成的空间角大小为180°。

二、空间角的解题技巧1. 利用空间角的定义和性质进行解题在解题过程中，我们可以根据空间角的定义和性质来推导出一些结论，从而解决问题。

例如，如果题目给出了两条射线的夹角，我们可以利用空间角的定义直接得出答案；如果题目给出了两条射线的方向，我们可以根据空间角的性质判断空间角的大小。

举例：已知射线OA与射线OB的夹角为60°，射线OC与射线OB的夹角为120°，求射线OA与射线OC的夹角。

解析：根据空间角的定义，射线OA与射线OC的夹角等于射线OA与射线OB的夹角加上射线OB与射线OC的夹角。

即所求角度为60°+120°=180°。

根据空间角的性质，当两条射线的反向延长线相交时，所围成的空间角大小为180°。

因此，射线OA与射线OC的夹角为180°。

2. 利用平面角的知识解决空间角问题在解决空间角问题时，我们还可以利用平面角的知识进行推导和计算。

由于空间角是由两条射线在同一平面内围成的角，所以可以将空间角转化为平面角进行计算。

高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。

在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。

本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。

一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。

空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。

2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。

设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。

接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。

2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。

比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。

在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。

在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。

求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。

思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。

转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。

（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。

则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。

在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。

立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

） 异面直线所成角 1.022.π⎧⎛⎤ ⎪⎥⎝⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法⎥⎦⎤⎝⎛20π，） 直线与平面所成角 1.π⎧⎡⎤⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩范围0，2定义2.求法向量法⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π nm nm⋅⋅=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α⊂a 若n m //则α⊥a） 二面角[]1.0.2.π⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法θcos S S =' ☎S 为原斜面面积 S '为射影面积 θ为斜面与射影所成锐二面角的平面角✆当θ为锐角时，nm nm⋅⋅=arccos θ当θ为锐角时，nm nm ⋅⋅-=arccos πθ二、例题讲解在正三棱柱111ABC A B C -中，若1,AB 求1AB 与B C 1所成的角的大小。

解：法一：如图一所示，设O 为C B 1、B C 1的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。

设1,BB a AB ==则，于是在DOB ∆中，122211,,21,,2OB BC BD OD AB BD OB OD =======+ 即90,DOB ∠=︒∴ ︒=∠90DOB法二：取11A B 的中点O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系,xyz O -AB 21的长度单位，则由1AB =有((())((111111110,,,0,1,0,0,2,,,220,A B B C AB C B AB C B AB C B-∴==⋅=-=∴⊥如图二所示，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是一直角梯形，90,//,,2B A D A D B C A BB C a A D a ∠=︒===且PA ABCD ⊥底面，PD 与底面成30︒角。

立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1•定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交 o ,分别a?/a , b?/b ,相交直线a?)?所成的 锐角(或直角)叫做 。

2•范围：0,—23方法： 平移法、问量法、三线角公式(1)平移法：在图中选一个恰当的点(通常是线段端点或中点)作 个三角形，并解三角形求角。

(2)向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式cos求出来方法2:利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量a 、b 的平行线，构造cos a,baH方法1：利用向量计算。

选取一组基向量，分别算出 b 代入上式a (X i ,y i ,zOb &2°2忆2) cosX i X 2 y i y 2乙 Z 2..Xi 22 2 - 2y iz i X 2 (3)三线角公式用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于 斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：cos i cos 2 cos二、例题讲练例1、( 2007年全国高考)如图，正四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA i 2AB ，则异面直线A.B 与AD i 所成角的余弦值为 ______________例 2、在长方体 ABCD-A i B i C i D i 中，已知 AB= a ，BC= b(a b) ,AA i =c ，求异面直线D i B 和AC 所成的角的余弦值。

方法一：过B 点作AC 的平行线(补形平移法) 方法二：过AC 的中点作BDI 平行线 方法三：(向量法)1A1\ | \D 4 b = ,ZO例3、已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ， DAB 90 ,PA 底面 ABCD ，且1PA AD DC ，AB I ，M 是 PB 的中点2(I)证明：面PAD 面PCD ; (n)求AC 与PB 所成的角；例4、 AB 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA 底面ABCD ,3, BC i , PA 2, E 为PD 的中点2 2 y2Z 2BiC i训练题1. 正方体的12条棱和12条面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合 是 _____ 。