云南省玉溪一中分校2015届高三高考冲刺卷理科数学试题

玉溪一中2014—2015学年上学期期末考试高二理科数学命题人：栾平生本试卷分为第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

考试时间：120分钟，满分150分。

第I 卷（共60分）一、选择题。

（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合A={}{}=-=-+B A x x B x x x 则＜＜，＜,120322（ ）A . Φ B.{}13＜＜x x - C. {}12＜＜x x -D.A2、等差数列{}n a 中， a a 1051=+， a 74=，则数列{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于（ ） A.32 B. 33 C. 32 D. 314、如右图所示的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h=（ ）cmA.4B.2C.1D.215、如右面的程序框图，则该程序运行后输出结果是（ ） A.4 B.5 C.6 D.76、双曲线）的焦点坐标为＜＜97(17922λλλ=-+-y x （ ） A.（±4，0） B. （±2，0） C. （0，±4） D. （0，±2） 7、函数x xx f 261)(+-=的零点可能位于区间（ ） 题图第4题图第5A.（3，4）B. （2，3）C. （1，2）D. （5，6） 8、已知απααα2sin ),,0(,2cos sin 则∈=-=（ ）A. 1-B. 22-C. 22 D.1 9、“b a 22＞”是“nb na 11＞”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10、已知双曲线C ：）＞，＞（0012222b a by a x =-，F 是双曲线C 的右焦点，点A 是渐近线上第一象限内的一点，O 为坐标原点，且22b a OA +=，若OF •OA =，232b 则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.215+ 11、为得到函数)3sin(π+=x y 的图像，可将函数x y cos =的图像向左平移)0(＞m m 个单位长度，则m 的最小值是（ ） A.6π B. 3πC. 55πD. 611π12、抛物线x y 42=图像上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5=PM ，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的周长为（ ）A.5+5B. 5+25C.10D.10+25第II 卷（共90分）二、填空题。

2015年普通高等学校招生统一考试（仿真卷）理科数学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1、已知集合{}261,11A xB x x x ⎧⎫=≥=>⎨⎬+⎩⎭，则集合{}M x x A x B =∈∉=且（ ）A ． (]1,1-B ．[]1,1-C ．(]1,5D ． []1,5 2、已知复数20152014()1Z ii ⋅=-，则Z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、在等腰ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin sin cos sin 2B AC C =-，且a =ABC ∆的面积为（ ）ABCD ．条件不足，无法计算 4、函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D ．（3，4）5、 一个平行四边形的三个顶点的坐标为（﹣1，2），（3，4），（4，﹣2），点（x ，y ）在这个平行四边形的内部或边上，则25z x y =-的最大值与最小值的和等于（ ） A ． 8 B ．6 C ．12- D ．24-6、执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为( )A.23B.11C.5D.2 7、以下四个命题中，真命题的个数是（ ）①“若a+b ≥2则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数,a b ，使得lg()lg lg a b a b +=+；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则“1122x y x y =”是“//a b ”的充要条件A ．0B ．1C ．2D ． 38、一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积为（ ）A ．48B ．C ．D ． 809、已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()y f x =的图象关于（ ）A ．点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B ．直线12x π=对称C ．点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D ．直线512x π=对称 10、将,,,,A B C DE 五种不同的文件随机放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件,A B 被放在相邻的抽屉内且文件,C D 被放在不相邻的抽屉内的种数有（ ）A ．120B ．240C ．480D ．72011．过抛物线22(0)ypx p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =-，3AF =，则抛物线的方程为（ ）A ．23y x = B ． 26y x = C ．29y x = D ．212y x =12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数被称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题：①(())0f f x =；②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等边三角形其中真命题的个数是 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）. 13、若n 的展开式中第四项为常数项，则n =14、已知21tan(),tan()544παββ+=-=，则tan α= 。

i=1s=0 p=0WHILE i ＜＝2013p=i*（i+1） s=s+1/p i=i+1WEND玉溪一中高2015届高三上学期第二次月测理 科 数 学一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若i 为虚数单位，则ii-+11等于 A.i B.i - C.1 D.－12.已知集合{}97|<-=x x M ，{}29|x y x N -==，且N M ,都是全集U 的子集，则右图中阴影部分表示的集合是A.{}23|-<≤-x xB.{}16|≥x xC.{}23|-≤≤-x xD.{}16|>x x3.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有 A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种4.双曲线22145x y -=的渐近线方程为 A ．54y x =±B ．52y x =±C ．55y x =±D ．255y x =± 5．一平面截球得到直径为25cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则该球的体积是 A ．12πcm3B. 36πcm3C ．646πcm3D ．108πcm 36.在等比数列{}n a 中，3115=⋅a a ，4133=+a a ，则=525a a A ．3 B ．9 C ．3或31 D ．9或91 7.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图， 则由图可估计样本重量的中位数为A ．11B ．11.5C ．12D ．12.58. 函数22cos ()2y x π=+图象的一条对称轴方程可以为A ．4x π=B ．3x π= C ．34x π= D ．x π=O5 10 15 20 频率组距重量0.060.19．右边程序运行后，输出的结果为 A ．20112012 B ．20122013 C ．20132014 D ．2014201510.已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是 A.21 B.4π C.1 D.3π 11.已知圆C ：1)()(22=-+-b y a x ，平面区域Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00307y y x y x .若圆心Ω∈C ，且圆C 与x 轴相切，则22b a +的最大值为A.49B.37C.29D.512.在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*． 关于函数1()()xxf x e e =*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞． 其中所有正确说法的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在平面直角坐标系中，若直线⎩⎨⎧=+=s y s x l 12:1 (s 为参数)和直线⎩⎨⎧-==12:2t y atx l (t 为参数)平行，则常数a 的值为_____ .14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111634a a a +=-，则11S = 15.R m ∈，过定点A 的动直线0=+my x 和过定点B 的动直线03=+--m y mx 交于点),(y x P ，则||||PB PA ⋅的最大值是16.已知|log |)(2x x f =，正实数n m ,满足n m <，且)()(n f m f =，若)(x f 在区间[]nm ,2上的最大值为2，则n m +=__________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(粒子重力不计)，从原点O沿y轴正方向以速度v0射入磁场，从x轴
上某处沿与x轴负向成角的方向离开第I象限。求：
粒子．
电场强度的大小．
若只在第Ⅳ象限中适当区域加一方向垂直坐标平面，磁感应强度为2B的圆形匀强磁场，使粒子能再次经过坐标原点
O且与y轴正向夹角为进入第Ⅱ象限。试计算所加磁场的最小面积是多少?
（3）过滤Ⅰ操作所得滤液是(NH4)2SO4溶液。检验滤液中含有CO32－的操作方法是：
_______________________________________________________________。
（4）若过滤I的滤液中的Ca2+浓度低于1.0×10－ mol·L－1时可认为被沉淀完全。若要使Ca2+沉淀完全，则滤液
B．元素B、C、Dr(D) > r(C) > r(B) C．1 mol甲与足量的乙完全反应共转移了约6.02 ×1023个电子 D．1.0 L0. 1 mol/L戊溶液中阴离子总的物质的量小于0. 1 mol 11．有机物A与B的分子式为C5H10O2，在酸性条件下均可水解，转化关系如右图。下列有关说法中正确的是 A. X、Y互为同系物 B. C分子中的碳原子数最多为3个 C. X、Y的化学性质不可能相似 D. X、Y互为同分异构体．下列有关电解质溶液的说法正确的是A．在蒸馏水中滴加浓H2SO4， KW均不变 B．C．NaCl 溶液和CH3COONH4溶液均显中性，两溶液中水的电离程度相同 D．在Na2S 稀溶液中，c(H)＜c(OH－)－c(H2S)－c(HS－) ．NH4＋、K＋、Al3＋、SO42－四种离子。 ①取10mL该溶液于试管中，滴加Ba(NO3)2溶液，加稀硝酸酸化后过滤得到0.03mol白色沉淀 ②取10 mL。该溶液于试管中，滴加NaOH溶液产 生白色沉淀，当沉淀增加到一定量后开始产生气体 （必要时可加热），最后沉淀完全溶解。并且随NaOH 溶液的加入，沉淀和气体的物质的量的变化关系如 右图所示。 下列说法不符合事实的是 A．根据图示数据计算实验中使用的NaOH溶液的物质的量浓度为1 mol/L。 B．根据信息分析该溶液中焰色反应呈现紫色的离子的物质的量浓度为1 mol/L。 C．另取一定量该溶液滴加一定量Ba(0H)2的溶液，能使Al3＋和SO42－完全沉淀 D．NH4＋、K＋、Al3＋、(SO4)2－四种离子的物质的量之比为2:1:1:3 二、选择题:本大题共8小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中. 14~18题只有一项符合题目要求. 19~21题 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 14．A、B叠放在竖直的轻弹簧上，靠着粗糙的竖直墙壁放置，用力F将物块竖直向下缓慢压一小段距离，然后又缓 慢撤去力F，A、B恢复静止状态，整个过程中弹簧始终保持竖直，则力F撤去后 A．弹簧的弹力大小大于两物块的总重力 B．墙壁对A有竖直向下的静摩擦力作用 C．B对A的作用力大小大于A的重力大小 D．A对B的静摩擦力沿接触面向下 15．如图所示电路，电源内阻不可忽略。开关S闭合后，在变阻器R的滑动端向下滑动的过程中， A电压表与电流表的数都减小 B电压表与电流表的小数都增大 C电压表的示数增大，电流表的示数减小 D电压表的示数减小，电流表的示数增大 16． A．14 B．11 ?C．81? D．41 17． B． ? C． D． 18．如图所示，两个垂直纸面的匀强磁场方向相反。磁感应强度的大小均为B，磁场区域的宽度为a，一正三角形 （高度为a）导线框ABC从图示位置沿图示方向匀速穿过两磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，在下图中感应电流 I与线框移动距离x的关系图的是．． B．飞行试验器工作轨道处的重力加速度为 C．飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为 D．月球的平均密度为 21．如图所示，a、b、c、d为某匀强电场中的四个点，且abcd、abbc，bc＝cd＝2ab＝2l，电场线与四边形所在平 面平行。已知φa＝20 V，φb＝24 V，φd＝8 V。一个质子经过b点的速度大小为v0，方向与bc夹角为45°，一段时间 后经过c点，不计质子的重力，则 A．c点电势为1 V B．场强的方向由a指向d C．质子从b运动到c所用的时间为D． c时的速度大小为

玉溪一中高2015届高三上学期第二次月测理 科 数 学【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定的综合性，很多题由多个知识点构成，在适当的规划和难度控制下，效果明显，通过知识交汇的考查，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度，完全符合课改的要求和学生学习的实际情况.一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若i 为虚数单位，则i i-+11等于A.iB.i -C.1D.－1 【知识点】复数代数形式的混合运算．L4【答案解析】A 解析：i i-+11 ===i ，故选A ．【思路点拨】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果． 【题文】2.已知集合{}97|<-=x x M ，{}29|x y x N -==，且N M ,都是全集U 的子集，则右图中阴影部分表示的集合是 A.{}23|-<≤-x x B.{}16|≥x x C.{}23|-≤≤-x x D.{}16|>x x【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算．A1【答案解析】C 解析：M={x||x ﹣7|＜9}={x|﹣2＜x ＜16}，则CUM═{x|x≥16或x≤﹣2}，又N={x|y=}={x|﹣3≤x≤3}，∴CUM ∩N={x|﹣3≤x≤﹣2}．故选C ．【思路点拨】先化简M 集合，再求得其补集，再与N 集合求交集即可。

【题文】3.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有 A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种 【知识点】计数原理的应用．J1【答案解析】A 解析：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，共有C83种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有女生的选法有C63，∴至少有1名女生的选法有C83﹣C63=56﹣20=36，故选B ．【思路点拨】从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，共有C83种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有女生的选法有C63用所有的结果是减去不合题意的数字，得到结果．【题文】4.双曲线22145x y -=的渐近线方程为A ．54y x =±B ．52y x =±C ．55y x =±D ．255y x =±【知识点】双曲线的标准方程.H6【答案解析】B 解析：双曲线22145x y -=的渐近线方程整理得4y2=5x2，解得52y x =±．故选：B ．【思路点拨】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．【题文】5．一平面截球得到直径为25cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2cm ，则该球的体积是A ．12πcm3 B. 36πcm3 C ．646πcm3 D ．108πcm3【知识点】球的体积和表面积.G8【答案解析】B 解析：作出对应的截面图，∵截面圆的半径为，即BC=，∵球心O 到平面α的距离为2，∴OC=2，设球的半径为R ， 在直角三角形OCB 中，OB2=OC2+BC2=4+（）2=9．即R2=9，解得R=3，∴该球的体积为πR3=×π×33=36π，故选：B ． 【思路点拨】根据条件求出截面圆的半径，根据直角三角形建立条件根据即可求出球的半径．【题文】6.在等比数列{}n a 中，3115=⋅a a ，4133=+a a ，则=525a a A ．3 B ．9 C ．3或31 D ．9或91【知识点】等比数列的通项公式．D3【答案解析】D 解析：由等比数列{an}的性质可得，a5•a11=3=a3•a13，又a3+a13=4，解得a3=3，a13=1或a3=1，a13=3．∴q10=3或．则=q20=9或．故选：D ．【思路点拨】由等比数列{an}的性质可得，a5•a11=3=a3•a13，又a3+a13=4，联立解出，再利用等比数列的通项公式即可得出．【题文】7.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为A ．11B ．11.5C ．12D ．12.5O5 10 15 20 频率组距重量0.06 0.1i=1 s=0 p=0WHILE i ＜＝2013p=i*（i+1） s=s+1/p i=i+1WEND【知识点】众数、中位数、平均数．I2【答案解析】C 解析：由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，由于[10，15]的组中值为12.5，所以由图可估计样本重量的中位数12． 故选：C ． 【思路点拨】由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，结合[10，15]的组中值，即可得出结论．【题文】8. 函数22cos ()2y x π=+图象的一条对称轴方程可以为 A ．4x π=B ．3x π=C ．34x π= D ．x π=【知识点】二倍角的余弦；余弦函数的图象．C3 C6【答案解析】D 解析：==，令2x=kπ，∴x=（k ∈Z ），∴函数图象的一条对称轴方程可以为x=π． 故选：D ．【思路点拨】先利用二倍角公式化简，再利用三角函数的性质，可得结论． 【题文】9．右边程序运行后，输出的结果为A ．20112012B ．20122013C ．20132014D ．20142015【知识点】程序框图．L1 【答案解析】C 解析：由题意，S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=．故选：C ．【思路点拨】由题意，S=++…+，利用裂项法即可得出结论．【题文】10.已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是A.21B.4πC.1D.3π【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】D 解析：∵几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，故它必是一个柱体，当它的底面是一个以1为两直角边的直角梯形时，其面积为，故排除A ；当它的底面是一个以1为直径的圆时，其面积为，故排除B ；当它的底面是一个以1为边长的正方形时，其面积为1，故排除C ；由于正视图和侧视图均是边长为1的正方形，故俯视图的面积最大为1×1=1，即几何体的体积最大为1而＞1，故这个几何体的体积不可能是，故选D 【思路点拨】由已知中几何体的正视图和侧视图均是边长为1的正方形，可得俯视图的面积最大为1×1=1，即几何体的体积最大为1，分析四个答案，可得结论．【题文】11.已知圆C ：1)()(22=-+-b y a x ，平面区域Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00307y y x y x .若圆心Ω∈C ，且圆C 与x 轴相切，则22b a +的最大值为A.49B.37C.29D.5 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a ，b ），半径为1，∵圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，∴b=1， 则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a 最大即可， 由图象可知当圆心C 位于B 点时，a 取值最大，由，解得，即B （6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C 。

2015届玉溪一中高高三第二次阶段性测试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R ，集合A=)3,1[-，),4()1,(+∞-∞= B C U ，则=B A（A ）（－1,1） （B ）（－1,3） （C ）)3,1[ （D ）]4,1[ 2．若复数z 满足31ii z-=+，i 是虚数单位，则=z （A ）2 （B ）2 （C ）5 （D ）5 3．6(42)x x -+的展开式中的常数项是（A ） 1 （B ）6 （C ）15 （D ）204．已知sin10k︒=，则sin 70︒=（A ）21k - （B ）212k - （C ）221k - （D ）212k + 5．某几何体的三视图如右图所示，它的体积为 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12 6．若R b a ∈,，且b a >，则下列不等式成立的是（A ）1>ba（B ）22b a > （C ）0)lg(>-b a （D ）b a )21()21(<7．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是22（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）458．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，(1,2)P -是C 上的点，且y =是C 的一条渐近线，则C 的方程为（A ）2212yx -=（B ）22212yx -=（C ）2212y x -=或22212yx -=（D ）2212y x -=或2212yx -=9． 已知函数2)1(1)(---=x x f ，若2021<<<x x ，则 （A ）11)(x x f ＞ 22)(x x f （B ）11)(x x f ＝ 22)(x x f （C ）11)(x x f ＜ 22)(x x f （D ）无法判断11)(x x f 与 22)(x x f 的大小 10．设不等式组544||1x y ππ⎧≤≤⎪⎨⎪≤⎩所表示的平面区域内为D ，现向区域D 内随机投掷一点，且该点又落在曲线sin y x =与cos y x =围成的区域内的概率是 （A（B（C）（D）1-11．若函数3211(02)3y x x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（A ）6π （B ）34π （C ）4π（D ）56π12．已知函数()3cos f x x x =+，若120x x ⋅>，且12()()0f x f x +=，则12||x x +的最小值为 （A ）6π （B ）3π （C ）2π（D ）23π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上. 13．1">a 或"1>b 是"2">+b a 的 条件.14．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0220101y x y x y x ，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为10，则______=a .15．已知向量,的夹角为︒120，且1,2a b ==，则向量-在向量+方向上的投影是 ．16． 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=-0,1)2(0,22)(x x f x x f x ，则=)2013(f . 三、解答题17．（本小题满分12分）已知各项为正数的等差数列{}n a 满足3732a a ⋅=，2812a a +=，且n a n b 2=（*N n ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a c +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下： 日最高气温t (单位：℃)t ≤22℃ 22℃<t ≤28℃ 28℃<t ≤32℃ 32t >℃天数612YZ由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y 和Z 数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t (单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t (单位：℃)t ≤22℃ 22℃<t ≤28℃ 28℃<t ≤32℃ 32t >℃日销售额X （千元） 2568(Ⅰ) 求Y ， Z 的值；(Ⅱ) 若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；(Ⅲ) 在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 为平行四边形，且⊥BC 平面PAB ，AB PA ⊥，M 为PB 的中点，2PA AD ==． (Ⅰ) 求证：PD //AMC 平面；(Ⅱ) 若1=AB ， 求二面角M AC B --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知0(,8)P x 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的点，F 是C 的焦点， 以PF 为直径的圆M 与x 轴的另一个交点为(8,0)Q . （Ⅰ）求C 与M 的方程；（Ⅱ）过点Q 且斜率大于零的直线l 与抛物线C 交于A B 、两点，O 为坐标原点，AOB △l 与圆M 相切. 21.（本小题满分12分）设函数()(1)(1)1x f x ax e a x =-+-+. （Ⅰ）证明：当0a =，()0f x ≤；（Ⅱ）设当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.请从所给的22、23两题中选定一题作答，多答按所答第一题评分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的 ABCDMP参数方程为122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），T 为直线l 与曲线C 的公共点. 以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求点T 的极坐标；（Ⅱ）将曲线C线W ，过点T 作直线m ，若直线m 被曲线W截得的线段长为，求直线m 的极坐标方程.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|f x x ax =--.（Ⅰ）当2a =-时，解不等式()0f x ≥；（Ⅱ）当0a >时，不等式()20f x a +≥的解集为R ，求实数a 的取值范围.数学试卷（理科）答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCCBADCACBBD二、填空题13. 必要不充分 14. 2 15 .3- 16 .1007 17．解： {}n a 是等差数列，127382=+=+∴a a a a ，⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=⋅841232737373a a a a a a ，或3784a a =⎧⎨=⎩，………………4分 又0>n a ，()13184373+=-+=⇒=⇒⎩⎨⎧==∴n d n a a d a a n ．……………6分 （II ）12+=n n b ，()121+++=+=∴n n n n n b a c ， ()()()1122n n n S a b a b a b ∴=++++++1212()()n n a a a b b b =+++++++…………………9分 231[23(1)](2+2++2)n n +=+++++()()221221212nn n -++=+-()23242n n n ++=+-．………………………12分18． 解：(Ⅰ) 由已知得：(32)0.9o P t C ≤=(32)1(32)0.1o o P t C P t C ∴>=-≤= 300.13Z ∴=⨯=30(6123)9Y =-++=． …… 4分 (Ⅱ) 9(2832)0.330o o P C t C <≤== X2 5 6 8六月份西瓜销售额X 的分布列为()20.250.460.380.15E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 2222()(25)0.2(55)0.4(65)0.3(85)0.13D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．… 9分(Ⅲ) (32)0.9o P t C ≤=,(2232)0.40.30.7o o P C t C <≤=+=∴由条件概率得：(532)(223232)o o o o P X t C P C t C t C ≥≤=<≤≤ =(2232)0.77(32)0.99o o oP C t C P t C <≤==≤．…… 12分 19．解：（Ⅰ）证明： 连接BD ，设BD 与AC 相交于点O ，连接OM ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 为BD 的中点．∵M 为PB 的中点，∴OM 为PBD ∆的中位线， ∴OM // PD ， …… 2分 ∵,OM AMC PD AMC ⊂⊄平面平面， ∴PD //AMC 平面． …… 4分(Ⅱ) 解法一 ： ∵⊥BC 平面PAB ，AD //BC ， 则AD ⊥平面PAB ，故P A A D⊥，又PA AB ⊥, 且ADAB A =，∴ PA ABCD ⊥平面． …… 6分取AB 的中点F ，连接MF ，则MF //PA ，且 112MF PA ==． ∴ MF ABCD ⊥平面．作FG AC ⊥，垂足为G ，连接MG ，由于MF AC ⊥，且MF FG F =，∴AC MGF ⊥平面，∴ AC MG ⊥．∴MGF ∠为二面角B AC M --的平面角． …… 9分由Rt AGF ∆∽Rt ABC ∆，得GF AFBC AC =，得12AF BC GF AC ⨯⋅=== P 0.2 0.4 0.3 0.1在Rt MGF ∆中，cos GFMGF MG∠===． ∴ 二面角B AC M --…… 12分 (Ⅱ) 解法二： ∵BC ⊥平面PAB ，//AD BC ， 则AD ⊥平面PAB ，故PA AD ⊥，又PA AB ⊥, 且ADAB A =，∴PA ABCD ⊥平面． (6)分以点A 为坐标原点，分别以,,AD AB AP 所在直线为轴，轴和z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，B ∴(2,1,0)AC =， 1(0,,1)2AM =， 求得平面AMC 的法向量为(1,2,1)n =- 又平面ABC 的一个法向量为AP = ∴ cos ,1n AP n AP n AP⋅<>==+⋅ ∴ 二面角1C BC D --…… 12分 20、解：(Ⅰ) PF 为圆M 的直径，则PQ FQ ⊥，即08x =，把(8,8)P 代入抛物线C 的方程求得4p =， 即2:8C y x =，(2,0)F ； ………………3分 又圆M 的圆心是PF 的中点(5,4)M ，半径5r =， 则M ：22(5)(4)25x y -+-=. ………………5分(Ⅱ) 设直线l 的方程为(8)(0)y k x k =->，(,)A A A x y ,(,)B B B x y ，由28(8)y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 得28640y y k --=，z则8,64A B A B y y y y k+=⋅=- ……………7分 设AOB ∆的面积为S ,则12A B S OQ y y =⋅-====9分 解得：2916k =，又0k >，则34k =∴直线l 的方程为3(8)4y x =-，即34240x y --=又圆心(5,4)M 到l 的距离15162455d --==，故直线l 与圆M 相切.………12分21.证明：（Ⅰ）当0a =时，()1x f x e x =-++，则()1x f x e '=-+令()0f x '=，得0x =，当0x <时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞为增函数；当0x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞为减函数． 所以，max ()(0)0f x f ==． 即当0a =时，()0f x ≤成立． --------------------4分 （Ⅱ）'()(1)1x f x ax a e a =+-+-，注意到(0)(0)0f f '==．设()()g x f x '=，则()()(21)x g x f x ax a e '''==+-.（ⅰ）当0a ≤，(0,)x ∈+∞时，'()0g x <，因此()g x 在(0,)+∞为减函数， 即()f x '在(0,)+∞为减函数，()0,f x '∴<所以()f x 在[)0,+∞为减函数，()(0)0f x f <=与已知矛盾. （ⅱ）当102a <<时，当1(0,2)x a∈-时，()0,g x '< 则()g x 在1(0,2)a -为减函数，此时()0f x '<得1()(0,2)f x a-在为减函数，()(0)0f x f ∴<=与已知矛盾.（ⅲ）当12a ≥时，当(0,)x ∈+∞时，()0,()g x f x ''>即在[0,)+∞为增函数. ()(0)0f x f ''∴≥=，所以()f x 在[0,)+∞为增函数，()(00f x f ∴>=）不等式成立.综上所述 ，a 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，22、解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为12622=+y x ， 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==t y t x 21223代人上式整理得0442=+-t t ，解得2=t . 故点T 的坐标为()1,3，其极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,2π.……………………5分（Ⅱ）依题知，坐标变换式为⎩⎨⎧='='y y x x 3，故W 的方程为：123622=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即622=+y x .当直线m 的斜率不存在时，其方程为3=x ，显然成立.当直线m 的斜率存在时，设其方程为()31-=-x k y ，即013=+--k y kx ， 则由已知，圆心()0,0到直线m 的距离为3，故31132=++-k k ，解得33-=k .此时，直线m 的方程为233+-=x y . 故直线m 的极坐标方程为：3cos =θρ或2cos 33sin =+θρθρ.…………10分23、（Ⅰ）当2-=a 时，x x x f 2|2|)(+-=，0)(≥x f ⇔⎩⎨⎧≥-≥0232x x 或⎩⎨⎧≥+<022x x ⇔2≥x 或22<≤-x ， ∴不等式0)(≥x f 的解集是),2[+∞-.……………………5分 （Ⅱ）方法一：不等式02)(≥+a x f 可化为02|2|≥+--a ax x ，∴)2(|2|-≥-x a x ，由题意，2≤x 时02|2|≥+--a ax x 恒成立， 当2>x 时，)2(|2|-≥-x a x 可化为)2(2-≥-x a x ， 0)1)(2(≥--a x ，01≥-a ，1≤a ，综上，实数a 的取值范围是]1,0(.……………………10分 方法二：不等式02)(≥+a x f 可化为02|2|≥+--a ax x ，∴)2(|2|-≥-x a x ，构造函数|2|-=x y 、)2(-=x a y ， 由题意，在),(+∞-∞上，函数|2|-=x y 的图像不在函数)2(-=x a y 的图像的下方，作图如下：函数)2(-=x a y 的图像过定点)0,2(，斜率大于0，且不大于1， ∴实数a 的取值范围是]1,0(.……………………10分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |0862<+-x x ｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3}C ．｛x |1＜x ＜3}D ．｛x |2＜x ＜3}2.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．243.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为5-，则输出的y 值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．41【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图可知，本题是求分段函数y=x 12x-3.....x 3log ....x 3⎧⎪⎨≤⎪⎩＞当x=-5时的函是输出y x =|x -3||x |>3x 开始数值问题，只要看清-5在定义域的那个区间，代入相应的解析式即可. 考点：(1)程序框图；（2）分段函数.4.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y += 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b c a <<6.已知，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） A.14B. 18C. 4D. 87.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．1 B ．23 C ．21 D ．43 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是一个底面是一个上底为1，下底为2，高为1的直角梯形，且有一条长为1的侧棱垂直底面的四棱锥. 考点：三视图.8.已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-9.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）A ．),31[+∞-B ．]31,(--∞C ．1[,)3+∞D ． 1(,]3-∞10.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S <<112正视图俯视图侧视图1【答案】B 【解析】试题分析：2222221311117ln 23x S dx S x dx S e dx e ex ======-⎰⎰⎰＜＜.考点：定积分的运算.11.已知函数()y xf x ='的图象如图所示（其中()f x '是函数)(x f 的导函数）．下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（ ）A. B. C.D.12.椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ． 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】试题分析：由椭圆22:143x y C +=可知其左顶点A 1（-2，0），右顶点A 2（2，0）．设P （x 0，y 0）（x 0≠±2），代入椭圆方程可得2020344y x =--．利用斜率计算公式可得12PA PA kk ，再利用已知给出的1PA k 的范围即可解出．考点：椭圆的性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在曲线32()21(1,(1))f x x x f =-+上点处的切线方程为 。

第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页2015云南省普通高中学业水平考试模拟冲刺试卷（一）数 学考试范围：必修1－5；考试时间：100分钟；总分：100分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（17个小题，每题3分）1． 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值为 A ．14 B ．15 C ．16 D ．172．圆1)1(22=+-y x的圆心到直线x y 33=的距离是（ ） A．21B ．23 C ．1 D ．33．已知)5,2,3(-=，)1,,1(-=x ，2=∙b a ，则x 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 64．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且在区间[0，2]上()f x x =，若关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，则a 的范围为 A ．)4,2(B ．)22,2(C ．D ．5．数列{}n a 各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且67a b =，则有 A. 39410a a b b +≤+ B. 39410a ab b +≥+C. 39410a a b b +≠+D. 39410a a b b ++与的大小不定 6．以点（-5，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（ ） A.16)4()5(22=-++y x B.16)4()5(22=++-y xC.25)4()5(22=-++y xD.25)4()5(22=++-y x 7．函数()sin(2)3πf x x =+的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8 ）． A ．23±B ．23C ．23- D ．219．设函数3()(3)1f x x x =-+-，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0B ．7C ．14D ．21 10．函数()ln 26f x x x =+-的零点位于（ ）A ．[1,2]B ．[2,3]C ．[3,4]D ．[4,5] 11．若关于x 的方程20mx -=有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3(,4-∞-B ．33(,)(,)44-∞-+∞ C ．3(,1]4D ．3[1,)4--12．函数6cos 2cos sin 2sin 55y x x ππ=-的单调递增区间是A.3[,)105k k k Z ππππ++∈ B.37[,]()2020k k k Z ππππ-+∈ C.3[2,2)105k k k Z ππππ++∈ D.2[,]()510k k k Z ππππ-+∈ 13．函数()sin cos 2f x x x =+的图象为( )第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页14．若将函数2sin(4)y x φ=+ 的图象向右平移6π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则||φ的最小值是（ ） A．6π B ．5π C ．4π D ．3π 15．已知数列}{n a 满足：11=a ，0>n a ，)(1*221N n a a nn ∈=-+，那么使5<n a 成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25 16．向量1(,tan )3a α=，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos()2πα+=（ ）A.13 B.13- C. 3- D. 3-17．已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f ＝ （ ）A. 112B.124C. 14D. 12第II 卷（非选择题）二、填空题（5个小题，每题4分）18．已知函数=-+=)1(|,2|)(2f x x x f 则 .19．在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .20．两条直线12++=k kx y 和042=-+y x 的交点在第四象限，则k 的取值范围是_________ 21．已知π1cos()64x +=，则πsin(2)6x -= ． 22．如图，在直角梯形ABCD 中，,BC DC AE DC ⊥⊥，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是 （填上所有正确的序号）。

2015届玉溪一中高高三上学期期中考试数学试题（理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A ＝{1，2}，则满足A ∪B ＝{1，2，3}的集合B 的个数是 A . 1 B . 3 C . 4 D . 82.若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A . －2 B . 6 C . 4 D . －6 3.下列命题中是假命题的是A .∀x ∈(0，2π)，x ＞sin xB .∃ x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C .∀x ∈R ，3x ＞0D .∃ x 0∈R ，lg x 0＝04.函数f (x )＝cos x 在[0，＋∞)内 A .没有零点 B .有且仅有一个零点 C .有且仅有两个零点 D .有无穷多个零点 5.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝ A . 35 B . 33 C . 31 D . 296.如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在 区域M 内的概率是 A .24π B . 34π C . 22π D . 32π7.函数y ＝sin (ωx ＋φ)（ω＞0且|φ|＜2π）在区间[6π，32π]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为 A .12 B .C .D .8.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为A . 1B . 12C .D . 29.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的 表面积为A . 8πB . 6πC . 4πD . 2π10.已知椭圆C 1：22x a＋22y b ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：x 2－24y ＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A . a 2＝132B . a 2＝13C . b 2＝12D . b 2＝211.已知函数f (x )＝e x ＋x .对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形；②△ABC 可能是直角三角形；③△ABC 可能是等腰三角形；④△ABC 不可能是等腰三角形. 其中，正确的判断是A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④12.函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f (3x )＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x ).则f (13)＋f (18)＝ A .34 B . 12 C . 1 D . 23第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.二项式(x 3－21x )5的展开式中的常数项为 . 14.若以双曲线24x －y 2＝1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是 .15.定义在实数上的函数f (x )＝的最小值是 .16.设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (xm)－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2x y17.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos2coscosA CB-＝2c ab-.（Ⅰ）求sinsinCA的值；（Ⅱ）若cos B＝14，b＝2，求△ABC的面积S.18.（本小题满分12分）某地区举行一次数学新课程骨干教师研讨会，共邀请15名使用人教A版或人教B版的教师，数据如下表所示：（Ⅰ）从这15名教师中随机选出2名教师，则这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？（Ⅱ）研讨会中随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋a x－2.（Ⅰ）求函数f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.21.（本小题满分12分）设a≥0，函数f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]e x，g(x)＝2－a－x－41 x+.（Ⅰ）当a≥1时，求f(x)的最小值；（Ⅱ）假设存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的方程是p ＝4，直线l 的方程是p sin (θ＋6)＝3，求圆C 上的点到直线l 的距离的最大值.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －2a |，a ∈R .（Ⅰ）若不等式f (x )＜1的解集为{x |1＜x ＜3}，求a 的值； （Ⅱ）若存在x 0∈R ，使f (x 0)＋x 0＜3，求a 的取值范围.高三上学期期中考试数学试题（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1. C ；2. D ；3. B ；4. B ；5. C ；6. B ；7. A ；8. D ；9. A ； 10. C ； 11. B ； 12. A . 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.－10； 14. (x －2)2＋y 2＝45； 15. 16.(－∞，∪[＋∞). 三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，设sin aA ＝sin bB ＝sin cC ＝k ，则2c a b -＝2sin sin sin k C k A k B -＝2sin sin sin C AB-， 所以cos 2cos cos A C B -＝2sin sin sin C AB-， 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin (A ＋B )＝2sin (B ＋C ). 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin A . 因此sin sin CA ＝2.（Ⅱ）由sin sin CA ＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2a c cos B 及cos B ＝14，b ＝2， 得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14. 解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0＜B ＜π，所以sin B因此S ＝12a c sin B ＝12×1×2. 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从15名教师中随机选出2名共有215C 种选法，所以这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是1164215C C C ＝835 . （Ⅱ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.则P (ξ＝0)＝213215C C ＝2635；P (ξ＝1)＝11213215C C C ＝26105；P (ξ＝2)＝20213215C C C ＝1105 .故ξ的分布列为所以ξ的数学期望E ξ＝0×2635＋1×26105＋2×1105＝415 .19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ BF ⊥平面AEC ，∴ BF ⊥AE ，∵ 二面角D —AB —E 为直二面角， ∴ 平面ABCD ⊥平面ABE ，又BC ⊥AB ，∴ BC ⊥平面ABE ，∴ BC ⊥AE ， 又BF ∩BC ＝B ，∴ AE ⊥平面BCE . （Ⅱ）连接BD 交AC 于点G ，连接FG ， ∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ BD ⊥AC ，∵ BF ⊥平面ACE ，∴ BF ⊥AC ， 又BD ∩BF ＝B ，∴ AC ⊥平面BFG.∴ FG ⊥AC ，∠FGB 为二面角B —AC —E 的平面角，由（Ⅰ）可知，AE ⊥平面BCE ， ∴AE ⊥EB ，又AE ＝EB ，AB ＝2，∴ AE ＝BE在直角三角形BCE 中，CE BF＝BC BE CE ⋅在正方形ABCD 中，BG在直角三角形BFG 中，sin ∠FGB ＝BF BG.即二面角B—AC —E . （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在正方形ABCD 中，BG ＝DG ，点D 到平面ACE 的距离等于点B 到平面ACE 的距离，而BF ⊥平面ACE ，则线段BF 的长度就是点B 到平面ACE 的距离，即为点D 到平面ACE 的距离.故点D 到平面ACE .20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）令f ′(x )＝ln x ＋1＝0得x ＝1e ，① 当0＜t ＜1e 时，函数f (x )在(t ，1e )上单调递减，在(1e ，t ＋2)上单调递增， 此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (1e )＝－1e ； ② 当t ≥1e 时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增， 此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .（Ⅱ）由题意得，f (x )－g (x )＝x ln x ＋x 2－a x ＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，即a ＝ln x ＋x ＋2x 在(0，＋∞)上有且仅有一个根，令h (x )＝ln x ＋x ＋2x ，则h ′(x )＝1x ＋1－22x ＝222x x x +-＝21x (x ＋2)(x －1)， 易知h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以a ＝h (x )mi n ＝h (1)＝3. 21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f ′(x )＝[x 2＋(a －1)x －a ]e x ＝(x ＋a )(x －1)e x ，∵ a ≥1， ∴ 当x ∈(－∞，－a )时，f (x )递增，当x ∈(－a ，1)时，f (x )递减，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )递增.∴ 函数f (x )的极大值点为x 1＝－a ，极小值点为x 2＝1， 而f (1)＝(1－a )e ≤0，f (－a )＝3e aa +＞0， 令h (x )＝x 2＋(a －3)x －2a ＋3，则其图象的对称轴为x ＝32a-＞－a ，h (－a )＝a ＋3＞0，∴ 当x ≤－a 时，h (x )＝x 2＋(a －3)x －2a ＋3＞0，∴ f (x )＞0. 当x ＞－a 时，f (x )的最小值为f (1)＝(1－a )e ≤0. ∴ f (x )的最小值是(1－a )e .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上的值域是[(1－a )e ，＋∞)，当0≤a ＜1时，f (x )在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞).而g (x )＝2－a －x －41x +≤3－a －2－a －1，当且仅当x ＝1时，等号成立，故g (x )在(0，＋∞)上的值域为(－∞，－a －1]， ∴ 当a ≥1时，令(1－a )e －(－a －1)＜1，并解得a ＞ee 1-， 当0＜a ＜1时，令0－(－a －1)＜1，无解. 因此，a 的取值范围是(ee 1-，＋∞). 22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系，易得圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2＝16，直线l ＋x －6＝0， 圆心C (0，0)到直线l 的距离d3，∴ 圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为3＋4＝7. 23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）由题意可得|x －2a |＜1可化为2a －1＜x ＜2a ＋1，即211213a a -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝1.（Ⅱ）令g (x )＝f (x )＋x ＝|x －2a |＋x ＝22222x a x aa x a-⎧⎨<⎩,,…，所以函数g (x )＝f (x )＋x 的最小值为2a ， 根据题意可得2a ＜3，即a ＜32， 所以a 的取值范围为(－∞，32).。

玉溪一中2015届高三上学年期中考试题理 科 数 学第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，,则是 ( )A ．B ．C ．D ． 2．已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列命题中正确的是( ) A ．若,则B ．若为真命题,则也为真命题C ．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件D ．命题“若,则”的否命题为真命题 4．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则＝ ( )A ．B ．C ．D ．5．若框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )．A ．k ＝9?B ．k ≤8?C ．k ＜8?D ．k ＞8?6．函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)7． 如图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之比为（ ） A ． : B ．:C ．:D ．:8．在平行四边形中， 60°，为的中点，若，则的长为( ) A ． B ． C ． D ． 9．若任取，则点满足的概率为( )A ．B ．C ．D ．（7题图）10．已知是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点，且射线绕原点逆时针旋转°到交单位圆于点，则的最大值为（ ） A ．B ．1C ．D ．11．函数y ＝x 33x －1的图象大致是 ()12．函数，当时，0)1()sin (>-+a f a f θ恒成立，则实数的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．将名教师，名学生分成个小组，安排到甲、乙两地参加活动，每个小组由名 教师和名学生组成，不同的安排方案共有__________种.14．数列的前项和为，若则=____________.15．如果存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是__________.16．已知函数，给出下列五个说法：①. ②若，则.③在区间上单调递增. ④将函数的图象向右平移个单位可得到的图象. ⑤的图象关于点成中心对称．其中正确说法的序号是 . 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线的极坐标方程为（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程.（Ⅱ）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y tx 23121（为参数）与曲线交于两点，于轴交于点E ，求.18.（本小题满分12分）已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设时取到最大值．（Ⅰ）求的最大值及的值；（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，，且，试判断三角形的形状．19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，222===CD AD AB ，是的中点。

2015年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|（x-1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A.{-1，0}B.{0，1}C.{-1，0，1}D.{0，1，2}【答案】A【解析】解：B={x|-2＜x＜1}，A={-2，-1，0，1，2}；∴A∩B={-1，0}．故选：A．解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.若a为实数，且（2+ai）（a-2i）=-4i，则a=（）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】解：因为（2+ai）（a-2i）=-4i，所以4a+（a2-4）i=-4i，4a=0，并且a2-4=-4，所以a=0；故选：B．首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3.根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004-2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：DA从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4.已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A.21B.42C.63D.84【答案】B【解析】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2-6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5.设函数f（x）=，＜，，则f（-2）+f（log212）=（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】解：函数f（x）=，即有f（-2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（-2）+f（log212）=3+6=9．故选C．先求f（-2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1-=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7.过三点A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A.2B.8C.4D.10【答案】C【解析】解：设圆的方程为x2+y2+D x+E y+F=0，则，∴D=-2，E=4，F=-20，∴x2+y2-2x+4y-20=0，令x=0，可得y2+4y-20=0，∴y=-2±2，∴|MN|=4．故选：C．设圆的方程为x2+y2+D x+E y+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8.程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18-14=4，由a＞b，则a变为14-4=10，由a＞b，则a变为10-4=6，由a＞b，则a变为6-4=2，由a＜b，则b变为4-2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O-ABC=V C-AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．10.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π-∠POQ）=tanx=-tan∠POQ=-=-，∴OQ=-，∴PD=AO-OQ=1+，PC=BO+OQ=1-，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=-tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】解：设M在双曲线-=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（-2a，a），代入双曲线方程可得，-=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．设M在双曲线-=1的左支上，由题意可得M的坐标为（-2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A.（-∞，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+∞）C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）【答案】A【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=′，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（-x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（-1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔ 或，⇔0＜x＜1或x＜-1．故选：A．由已知当x＞0时总有xf′（x）-f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ= ______ ．【答案】【解析】解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），所以，解得；故答案为：．利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解答．本题考查了向量关系的充要条件：如果两个非0向量，共线，那么存在唯一的参数λ，使得14.若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为______ ．【答案】【解析】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15.（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= ______ ．【答案】3【解析】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=-1，则a0-a1+a2-…-a5=f（-1）=0．②①-②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．给展开式中的x分别赋值1，-1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=-1，a n+1=S n+1S n，则S n= ______ ．【答案】-【解析】解：∵a n+1=S n+1S n，∴S n+1-S n=S n+1S n，∴-=1，又∵a1=-1，即=-1，∴数列{}是以首项、公差均为-1的等差数列，∴=-n，∴S n=-，故答案为：-．通过S n+1-S n=a n+1可知S n+1-S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知-=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为-1的等差数列，计算即得结论．本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求∠∠；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【答案】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，∠=∠，∴sin∠B=∠在△ADC中，∠=∠，∴sin∠C=∠；∴∠∠==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【解析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC．及正弦定理可得sin∠B=∠，sin∠C=∠，从而得解∠∠（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．【答案】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【解析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【答案】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴，，，，，；设，，为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则，，；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ=＜，＞=；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【解析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，，，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=＜，＞即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20.已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【答案】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，则判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=-9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，即k2m2＞9b2-9m2，∵b=m-m，∴k2m2＞9（m-m）2-9m2，即k2＞k2-6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4-或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4-或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【解析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21.设函数f（x）=e mx+x2-mx．（1）证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围．【答案】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx-1）+2x．若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，e mx-1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx-1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（-∞，0）时，e mx-1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx-1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（-∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[-1，1]，|f（x1）-f（x2）|≤e-1的充要条件是即①设函数g（t）=e t-t-e+1，则g′（t）=e t-1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e＜0，故当t∈[-1，1]时，g（t）≤0．当m∈[-1，1]时，g（m）≤0，g（-m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m-m＞e-1．当m＜-1时，g（-m）＞0，即e-m+m＞e-1．综上，m的取值范围是[-1，1]【解析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．22.如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【答案】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×-××=．【解析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC-S△AEF 计算即可．本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．23.在直角坐标系x O y中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【答案】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），，．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B，．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【解析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a-b|＜|c-d|的充要条件．【答案】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a-b）2=（a+b）2-4ab，（c-d）2=（c+d）2-4cd，即有（a-b）2＜（c-d）2，即为|a-b|＜|c-d|；②若|a-b|＜|c-d|，则（a-b）2＜（c-d）2，即有（a+b）2-4ab＜（c+d）2-4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a-b|＜|c-d|的充要条件．【解析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a-b|＜|c-d|，②若|a-b|＜|c-d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

云南省玉溪一中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，集合A={x|（）x≥2}，B={y|y=lg（x2+1）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x≤﹣1或x≥0} B．{（x，y）|x≤﹣1，y≥0} C．{x|x≥0} D．{x|x＞﹣1}2．复数z=1﹣i，则对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．把函数y=sin3x的图象适当变化就可以得到y=（sin3x﹣cos3x）的图象，这个变化可以是（）A．沿x轴方向向右平移B．沿x轴方向向左平移C．沿x轴方向向右平移D．沿x轴方向向左平移4．已知函数，则f（f（f（﹣1）））的值等于（）A．π2﹣1 B．π2+1 C．πD．05．数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），则a2015=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．26．某高三学生进入高中三年来的第1次至14次数学考试成绩分别为：79，83，93，86，99，98，94，88，98，91，95，103，101，114，依次记为A1，A2…，A14．如图是成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．117．设M（x0，y0）为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（）A．15 B．16 C．17 D．189．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A． B．C．（0，2）D．10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．11．设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f（x）＞f′（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定12．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知||=2，||=3，（﹣）•（+）=﹣1，则与的夹角为．14．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a的值为．15．若a=cosxdx，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为．16．若sinx+siny=，则t=sinx﹣cos2y的最大值为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2，且n∈N），a1=．（1）求证：{}是等差数列；（2）若b n=S n•S n+1，求数列{b n}的前n项和为T n．18．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为（0，1），直线l：y=kx﹣与椭圆相交于不同的两点A、B．（1）若|AB|=，求k的值；（2）求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间[1，e]上的最大值为2，求a的值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交于圆O与B，C两点，PA=10，PB=5，∠BAC 的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求=；（Ⅱ）求AD•AE的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江西模拟）在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015•兰州校级三模）若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．云南省玉溪一中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，集合A={x|（）x≥2}，B={y|y=lg（x2+1）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x≤﹣1或x≥0} B．{（x，y）|x≤﹣1，y≥0} C．{x|x≥0} D．{x|x＞﹣1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由全集U=R，集合={x|x≤﹣1}，得到C U A={x|x＞﹣1}，再由B={y|y=lg （x2+1）}={y|y≥0}，能求出（C U A）∩B．解答：解：∵全集U=R，集合={x|x≤﹣1}，∴C U A={x|x＞﹣1}，∵B={y|y=lg（x2+1）}={y|y≥0}，∴（C U A）∩B={x|x|x≥0}．故选C．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．复数z=1﹣i，则对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．解答：解：∵复数z=1﹣i，∴==﹣2i==，其对应的点所在象限为第四象限．故选D．点评：本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题．3．把函数y=sin3x的图象适当变化就可以得到y=（sin3x﹣cos3x）的图象，这个变化可以是（）A．沿x轴方向向右平移B．沿x轴方向向左平移C．沿x轴方向向右平移D．沿x轴方向向左平移考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：∵函数y=（sin3x﹣cos3x）=sin（3x﹣）=sin3（x﹣），∴把函数y=sin3x的图象沿x轴方向向右平移个单位，可得y=（sin3x﹣cos3x）的图象，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．已知函数，则f（f（f（﹣1）））的值等于（）A．π2﹣1 B．π2+1 C．πD．0考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据分段函数的定义域，求出f（﹣1）的值，再根据分段函数的定义域进行代入求解；解答：解：函数，f（﹣1）=π2+1＞0，∴f（f（﹣1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（﹣1）））=π，故选C；点评：此题主要考查函数值的求解，是一道基础题；5．数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=a n+1﹣a n（n∈N*），则a2015=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a1=1，a2=2，a n+2=a n+1﹣a n可判断数列{a n}的周期为6，从而求得．解答：解：∵a1=1，a2=2，a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=a2﹣a1=2﹣1=1，a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2，a6=a5﹣a4=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，a7=a6﹣a5=﹣1﹣（﹣2）=1，a8=a7﹣a6=1﹣（﹣1）=2，∴数列{a n}的周期为6，且2015=335×6+5，∴a2015=a5=﹣2；故选C．点评：本题考查了数列的递推公式的应用及数列周期性的应用，属于中档题．6．某高三学生进入高中三年来的第1次至14次数学考试成绩分别为：79，83，93，86，99，98，94，88，98，91，95，103，101，114，依次记为A1，A2…，A14．如图是成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么输出的结果是（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合已知即可得答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据已知可得超过90分的人数为10个．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．7．设M（x0，y0）为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由y0表达，由此可求y0的取值范围解答：解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=y0+2＞4，所以y0＞2故选C点评：本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用．抛物线上的点到焦点的距离往往转化为到准线的距离处理．8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（）A．15 B．16 C．17 D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：如图，可跟据题意得到该几何体的直观图，然后利用切割的方法求其体积．解答：解：由题意，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，由题意可得到所求几何体的几何直观图．由题意可知：多面体ADD′﹣EFC即为所求的几何体．由题意作EM⊥DC于M，则由已知得MC=1，EM=3．FM=3，DM=3．则V=V三棱柱ADD′﹣FME+V三棱锥E﹣FMC=S△EMF×DM=．故选A．点评：本题考查了三视图的识图问题，体积以及表面积的计算问题，属于中档题．9．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A． B．C．（0，2）D．考点：正弦定理；函数的值域．专题：计算题．分析：由正弦定理得，再根据△ABC是锐角三角形，求出B，cosB的取值范围即可．解答：解：由正弦定理得，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有，0＜π﹣C﹣B=π﹣3B＜解得，又余弦函数在此范围内是减函数．故＜cosB＜．∴＜＜故选A点评：本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质．易错点是B角的范围确定不准确．10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求体积．解答：解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C．点评：本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．11．设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f（x）＞f′（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则g′（x）==，因为对任意x∈R都有f（x）＞f′（x），所以g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＞g（ln3），即＞，所以＞，即3f（ln2）＞2f（ln3），故选：A．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．12．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等边三角形的定义可得：|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得：=﹣，再利用离心率的计算公式即可得出．解答：解：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．在△AF1F2中，由余弦定理可得：=﹣，∴，化为c2=7a2，∴=．故选B．点评：熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知||=2，||=3，（﹣）•（+）=﹣1，则与的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：设与的夹角为θ，由条件可得2﹣2﹣3•=﹣1，解得cosθ=﹣，再由0°≤θ≤180°，可得θ的值．解答：解：∵已知||=2，||=3，（﹣）•（+）=﹣1，设与的夹角为θ，则有2﹣2﹣3•=8﹣18﹣3×2×3cosθ=﹣1，解得cosθ=﹣，再由0°≤θ≤180°可得θ=120°，故答案为120°．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．14．在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域的面积是16，那么实数a的值为2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由三角形的面积等于16列式求得a的值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，图中阴影部分为等腰直角三角形，∴，解得：a=2．故答案为：2．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．若a=cosxdx，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为24．考点：定积分；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：运用积分公式得出a=2，二项式（2﹣）4的展开式中项为：T r+1=•24﹣r•（﹣1）•x2﹣r，利用常数项特征求解即可．解答：解：∵a=cosxdx=sinx=sin﹣sin（）=2∴a=2∴二项式（2﹣）4的展开式中项为：T r+1=•24﹣r•（﹣1）•x2﹣r，当2﹣r=0时，r=2，常数项为：•4×1=6×4=24故答案为：24点评：本题考察了积分与二项展开式定理，属于难度较小的综合题，关键是记住公式．16．若sinx+siny=，则t=sinx﹣cos2y的最大值为．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由已知等式表示出sinx，代入所求式子中利用同角三角函数间基本关系化简，设siny=m∈[﹣，1]，得到t关于m的二次函数，结合二次函数性质及m的范围求出t的最大值即可．解答：解：∵cos2y=1﹣sin2y，sinx=﹣siny，∴t=sinx﹣cos2y=﹣siny﹣（1﹣sin2y）=sin2y﹣siny﹣，令siny=m∈[﹣，1]，则t=m2﹣m﹣=（m﹣）2﹣，m∈[﹣，1]，当m=﹣时，t取得最大值，最大值为，则t=sinx﹣cos2y的最大值为，故答案为：．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2，且n∈N），a1=．（1）求证：{}是等差数列；（2）若b n=S n•S n+1，求数列{b n}的前n项和为T n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，由于满足a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2，且n∈N），可得S n﹣S n﹣1+2S n S n=0，两边同除以S n S n﹣1，化为=2，即可证明；﹣1（2）由（1）可得=2+2（n﹣1）=2n，．可得b n=S n•S n+1==．利用“裂项求和”即可得出．解答：（1）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，∵满足a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2，且n∈N），∴S n﹣S n﹣1+2S n S n﹣1=0，化为=2，=2，∴{}是等差数列．（2）解：由（1）可得=2+2（n﹣1）=2n，∴．∴b n=S n•S n+1==．∴数列{b n}的前n项和为T n=+…+==．点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如图．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式利用排列组合知识能求出15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率．（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，ξ可能取0，1，2，3．分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A，则，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为．…（4分）（Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率，…（5分）ξ可能取0，1，2，3．…（6分）则，，，．…（10分）∴ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3P…（12分）∴．…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可．解答：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴MF，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AE MF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=λ，∵=（，0，1），∴Q（，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，﹣λ，0），∴==，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．点评：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．20．已知椭+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为（0，1），直线l：y=kx﹣与椭圆相交于不同的两点A、B．（1）若|AB|=，求k的值；（2）求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为（0，1），可得，b=1，又a2=b2+c2，联立解得即可得到椭圆的方程．利用根与系数的关系及其弦长公式即可得出．（2）取k=0时，解得A，B．可得以线段AB为直径的圆的方程为．可知：此圆过点（0，1）．猜想以AB为直径的圆恒过点M（0，1）．利用数量积运算性质只有证明=0即可．解答：解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点为（0，1），∴，b=1，又a2=b2+c2，联立解得b=1=c，a=．∴椭圆的方程为：=1．联立，化为（9+18k2）x2﹣12kx﹣16=0，△＞0，x1+x2=，x1x2=．∵|AB|=，∴|AB|===，化为23k4﹣13k2﹣10=0，解得k=±1．（2）取k=0时，解得A，B．可得以线段AB为直径的圆的方程为．可知：此圆过点（0，1）．猜想以AB为直径的圆恒过点M（0，1）．下面给出证明：∵=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）==（1+k2）x1x2=﹣+=0，∴，因此以AB为直径的圆恒过点M（0，1）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系及弦长公式、数量积运算性质与向量垂直的关系，考查了猜想能力与推理能力、计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间[1，e]上的最大值为2，求a的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出当a=1时，f（x）的解析式和导数，求出切线的斜率和切点，即可得到切线方程；（2）求出导数，讨论当a＞0，分若≤1，若≥e，若1＜e，当a≤0时，通过函数的单调性，得到函数的最大值，解出即可得到a的值．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x，导数f′（x）=﹣1，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=0，又切点为（1，﹣1），则切线方程为：y=﹣1；（2）定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣a=，①若a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜，f′（x）＜0，得x＞，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减．若≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]单调递减，∴f（x）max=f（1）=﹣a=2，a=﹣2不成立；若≥e，即0＜a≤时，f（x）在[1，e]单调递增，∴f（x）max=f（e）=1﹣ae=2，∴a=﹣不成立；若1＜e，即时，f（x）在（1，）单调递增，在（，e）单调递减，∴f（x）max=f（）=﹣1﹣lna=2，解得，a=e﹣3，不成立．②当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则有f（x）在[1，e]递增，则有f（e）最大，且为1﹣ae=2，解得a=﹣．综上知，a=﹣．点评：本题考查导数知识的运用，考查求切线方程和函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，合理分类是关键．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交于圆O与B，C两点，PA=10，PB=5，∠BAC 的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求=；（Ⅱ）求AD•AE的值．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）证明△PAB∽△PCA，可得=；（Ⅱ）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE 的值．解答：解：（Ⅰ）∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴．…（4分）（Ⅱ）∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=20，BC=15，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=225，又由（Ⅰ）知，∴，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．…（10分）点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江西模拟）在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P坐标为，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）先利用两方程相加，消去参数t即可得到l的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值．解答：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015•兰州校级三模）若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．考点：二分法求方程的近似解．专题：不等式的解法及应用．（Ⅱ）问题转化为2|x﹣1|+|x|≤3，分析：（Ⅰ）先求出a＞0，b＞0，根据基本不等式求出m的最大值即可；解出即可．解答：解：（Ⅰ）由题设可得b=＞0，∴a＞0，∴a+b=a+=≥3，当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，∴m的最大值为3；（Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≤3，①x≥1时，2x﹣2+x≤3，解得：1≤x≤，②0≤x＜1时，2﹣2x+x≤3，解得：0≤x＜1，③x＜0时，2﹣2x﹣x≤3，解得：x≥﹣，∴实数x的取值范围是﹣≤x≤．点评：本题考察了基本不等式的性质问题，考察解不等式问题，求出a+b的最小值是解题的关键，本题是一道中档题．。

云南省部分名校（昆明三中、玉溪一中）2015届高三12月统一考试（理）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足iz=1+i ，则z =（） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i2．集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（）A ．.(,2]A -∞- .[2,)B -+∞ .(,2]C -∞ .[2,)D +∞ 3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是（ ） A.2()f x x = B.()2xf x = C.21()log f x x= D.()sin f x x = 4.已知向量,a b ，其中2,2a b ==，且()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角是（） A ．6π B. 4π C. 2π D.3π5．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为4-时，则输入的0S 的值为（）A.7B.8C.9D.106. 实数x ，y ，k 满足3010x y x y x k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，22z x y =+，若z 的最大值为13，则k 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知函数①sin cos y x x =+,②cos y x x =,则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称图形.B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-成轴对称图形.C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数. D ．两个函数的最小正周期相同.8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若△ABC 的面积为S ,且222()S a b c =+-, 则tan C 等于（ ） A.34B.43C.43-D.34-9.已知P 是△ABC 所在平面内一点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（） A.14B.13C.23D.1210．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A.3160B.160C.23264+D.6011.抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 ( )D.212.已知函数()f x 满足1()()f x f x =, 当[]1,3x ∈时,f x lnx =（）,若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内,曲线g x f x ax =-（）（）与x 轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ( )A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.ln 31,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上） 13.已知611e n dx x =⎰,那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为________________. 14.已知圆22:1O x y +=,直线250x y -+=上动点P ,过点P 作圆O 的一条切线,切点为A ,则PA 的最小值为_________.15．观察下列等式：3233233323333211,123,1236,123410,,=+=++=+++=根据上述规律，第n 个等式为 .16．表面积为60π的球面上有四点S 、A 、B 、C ，且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC⊥SAB 平面ABC ,则棱锥ABC S -体积的最大值为 . 三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足21n n S a +=,数列{}n b 中，1211,2b b ==,()12211*n n n n N b b b ++=+∈. （Ⅰ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n c 满足n n na cb =，求证：12334n c c c c +++⋅⋅⋅+<.18. （本小题满分12分）云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布(170.5,16)N .现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； （Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人中任意抽取2人，该2人 中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：若),(~2σμξN ．则()P μσξμσ-<≤+=0.6826，(22)P μσξμσ-<≤+=0.9544,(33)P μσξμσ-<≤+=0.9974.19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面； （Ⅱ）设1CE CC λ= (01λ≤≤)，且平面1AB E 与1BB E 所成的锐二面角的大小为30︒，试求λ的值.1如图，已知椭E:()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点(，四边形ABCD的顶点在椭圆E 上，且对角线AC ，BD 过原点O ，22AC BD b k k a⋅=-.（Ⅰ）求OA OB ⋅的取值范围；（Ⅱ）求证：四边形ABCD 的面积为定值.21．（本小题满分12分） 已知函数()(0)ln xf x ax a x=->. （Ⅰ）若函数()f x 在(1,)+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（Ⅱ）若212[,]x x e e ∃∈、，使12()()f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为()2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（Ⅱ）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值.已知函数）a x x x f -++-=|2||1(|log )(2． （Ⅰ）当7=a 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式3)(≥x f 的解集是R ，求a 的取值范围.答案1【知识点】复数运算L4 【答案】【解析】A 解析：11iz i i+==-，1z i ∴=+故选A. 【思路点拨】由复数运算直接计算即可. 2【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】D 解析：因为{|2}x x =<，，所以A B ⊆，即2a ≥，故选D.【思路点拨】由集合的运算直接计算即可. 3【知识点】函数的奇偶性，单调性B4 B3【答案】【解析】C 解析：和是偶函数，在上单调递减，为奇函数，故选C.【思路点拨】根据函数的性质之奇偶和增减的定义可求. 4【知识点】向量的定义F1 【答案】【解析】B 解析：，()0a a b ∴-=，即2||0a a b -=，2||||||cos 0a a b θ-=，20,cos θθ∴-==，所以4πθ=，故选B.【思路点拨】，()0a a b ∴-=，即2s 0,c o s θθ-==即可求θ. 5【知识点】程序框图L1【答案】【解析】D 解析：设S m =，第一次循环，2S m =-，2i =；第二次循环，6S m =-，3i =；第三次循环，14S m =-，4i =；循环终止，此时，144m -=-，10m ∴=，故选D.【思路点拨】按条件依次循环，当循环终止时，14S m =-，即可求解.6【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】B 解析：由约束条件作出可行域如图，{|20}A x x =-<A B A =2()f x x =()2xf x =(,0)-∞()sin f x x =()a b a-⊥()a b a-⊥0S要使22z x y =+有最大值为13，即213OA =，而1A k k +（，），22113kk ∴++=（），解得：2k =或3k =-（舍去）．故选B.【思路点拨】由约束条件作出可行域，由22z x y =+的几何意义得可行域内到原点距离最大的点为A ，由z 的最大值为13求解k 的值． 7【知识点】三角函数的性质C4【答案】【解析】C 解析：①)4x π=+，图像关于点成中心对称图形，关于直线4x k ππ=+成轴对称图形，在区间3(,)44ππ-上是单调递增, 最小正周期为2π;②2x =，图像关于点(,0)2k π成中心对称图形，关于直线24k x ππ=+成轴对称图形，在区间(,)44ππ-上是单调递增, 最小正周期为π, 故选C.【思路点拨】此类题一般都是先化简，再根据化简后的结果，由三角函数的性质一一判断. 8【知识点】正弦定理余弦定理C8【答案】【解析】C 解析：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，联立222(b)S a c =+-，得22212sin 22ab C a b ab c ⨯⨯=++-，sin 22cos ab C ab ab C =+，即 sin 22cos C C =+，结合22sin cos 1C C +=，得3cos 5C =-或cos 1C =-（舍），从而4sin 5C =，4tan 3C ∴=-，故选 C.【思路点拨】联立2222cos c a b ab C =+-和222(b)S a c =+-，得3cos 5C =-，从而可求tan C .9【知识点】几何概型K3 【答案】【解析】D 解析：由得，设BC 边中点为D ，sin cos y x x =+(,0)4π-cos y x x =则,P 为AD 中点，所以黄豆落在内的概率是，故选D.【思路点拨】：由得P 为BC 边中线AD 的中点，由此可得黄豆落在内的概率.10【知识点】三视图G2【答案】【解析】A 解析：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故8432V =⨯=直三棱柱，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故16416433V =⨯⨯=四棱锥，故该几何体的体积1603V V V =+=直三棱柱四棱锥，故选A. 【思路点拨】由已知中的三视图，可以判断该几何体是一个直三棱柱和一个四棱锥的组合体. 11【知识点】抛物线重要不等式H7 E6 【答案】【解析】A 解析：如下图所示，设.则，，所以故选A.【思路点拨】由抛物线性质可得，余弦定理得，再利用重要不等式即可得3≤. 12【知识点】函数的零点与方程根的关系A1PBC ∆||||MN AB【答案】【解析】C 解析：在区间1[]33，内，函数g x f x ax =-（）（），有三个不同的零点，（1）0a ＞，若]3[1x ∈，时，f x lnx =（），可得0g x lnx ax x =-（），（＞）， 11ax x a xx g -'=-=（）， 若0g x '（）＜，可得1x a ＞，g x （）为减函数，若0g x '（）>，可得1x a <，g x （）为增函数， 此时g x （）必须在[1]3，上有两个交点，0(3)0(1)1()0a g g g ⎧⎪∴≤⎨⎪≤⎪⎪⎩＞，解得133ln a e ≤＜，① 设131x ＜＜，可得131x＜＜，1122f x f ln xx∴==（）（）， 此时2g x lnx ax =--（），2axgx x+'=-（）， 若0g x '（）>，可得20x a -＜＜，g x （）为增函数 若0g x '（）＜，可得2x a-＞，g x （）为减函数， 在1[]31，上有一个交点，则1()03(1)0g g ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得063a ln ≤＜②，综上①②可得 133ln a e ≤＜； （2）若0a ＜，对于]3[1x ∈，时，0g x lnx ax =-（）＞，没有零点，不满足在区间1[]33，内，函数g x f x ax =-（）（），有三个不同的零点，（3）0a =，显然只有一解，舍去；综上：133ln a e≤＜．故选C. 【思路点拨】可以根据函数f （x ）满足12f x f x =（）（），求出x 在1[]31，上的解析式，已知在区间1[]33，内，函数g x f x ax =-（）（），有三个不同的零点，对g （x ）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a 的范围．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上） 13.【知识点】定积分二项式定理B13 J3 【答案】【解析】135解析：根据题意，66111ln 6e e n dx x x===⎰，则6()3x x-中，由二项式定理的通项公式1 r n r r r n T C a b -+=可设含2x 项的项是6216 3r r rr T C x -+=-（），可知2r =，所以系数为269135C ⨯=，故答案为135.【思路点拨】根据定积分的计算方法，计算611e n dx x=⎰，可得n 的值，进而将6n =代入，利用通项公式1 r n r r r n T C a b -+=来解决，在通项中令x 的指数幂为2可求出含2x 是第几项，由此算出系数14.【知识点】圆的切线方程H4【答案】【解析】2解析：由题意可得，OAP 为Rt ，且090OAP ∠=， 222|PA ||OA ||OP |+=，即2222|P A||O P||O P|1r =-=-，要使取最小值，只需|OP |最小即可，|OP |最小值为圆心O 到直线|PA |2=，故答案为2.【思路点拨】由题意可得，OAP 中090OAP ∠=，222|PA ||OA ||OP |+=，即2222|PA ||OP ||OP |1r =-=-，要使取最小值，只需|OP |最小即可.15．【知识点】合情推理与演绎推理M1【答案】【解析】33332(n 1)123[]2n n +++++=解析：由题意得1,3,6,10，，可得第n 项为(n 1)2n +，所以第个等式为33332(n 1)123[]2n n +++++=. 【思路点拨】观察各个等式，找其中的规律，便可得到结果. 16．【知识点】棱锥的体积G7【答案】【解析】27解析：由题意画出几何体的图形如图：因为球的表面积为60π，由于面SAB ⊥面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上，由于OO′⊥平面ABC ，SD ⊥平面ABC ，即有OO′∥SD ，PA 250x y -+=PA n当D 为AB 的中点时，SD 最大，棱锥S-ABC 的体积最大．由于'OC OO则'CO ==ABC 是边长为6的正三角形，则ABC的面积为：264S ==. 在直角梯形SDO′O 中，作OE SD ⊥于点E，'OE DO =='DE OO ==SD DE SE =+==即有三棱锥S-ABC 体积112733V Sh ==⨯=,故答案为27.【思路点拨】由于面SAB ⊥面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影D 落在AB 上，D 为AB 中点时，SD 最大，棱锥S-ABC 的体积最大．运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得CD ，AB ，及SD ，由三棱锥的体积公式即可得到最大值．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 【知识点】数列求和D4【答案】【解析】（1）n11(),3n n a b n ==（2）3231443n n n T +=-⨯ 解析：（1）由，得当时， 即（由题意可知） 是公比为的等比数列，而 ， 由，得（2），设，则21n n S a +=()112nn S a =-2n ≥()()1111111112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-+11123n n n n n a a a a a --=-+∴=10n a -≠{}n a 13()111112S a a ==-113a ∴=1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12211n n n b b b ++=+12211111111,2,1,,n n d n b b b b b b n===-=∴=∴=13nn n n a c n b ⎛⎫== ⎪⎝⎭12n n T c c c =+++由错位相减，化简得：3311132313.443234434nnn n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（12分）【思路点拨】（1）由，得可求n a ；（2））数列为差比数列，利用错位相减法求解即可.18. 【知识点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差I2 K6 【答案】【解析】（Ⅰ）170.5（Ⅱ）10（Ⅲ）1解析：（Ⅰ）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为1711.01851.01802.01753.01702.01651.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯高于全市的平均值170.5（4分）（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5cm 以上(含177.5 cm)的人数为10人. ……………（6分） （Ⅲ） 4 997.0)435.170435.170(=⨯+≤<⨯-ξP ，0013.029974.01)5.182(=-=≥∴ξP ，0.0013×100 000=130. 所以，全省前130名的身高在182.5 cm 以上，这50人中182.5 cm 以上的有5人.随机变量可取，于是924510)0(21025====C C P ξ,954525)1(2101515====C C C P ξ,924510)2(21025====C C P ξ1922951920=⨯+⨯+⨯=∴ξE . ………………………………（12分）【思路点拨】（I ）高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（II ）首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数．我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出求这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人数．（III ）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在1802.5cm 以上，这50人中1802.5cm 以上的有2人，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望． 19．()123231111112333331111112133333nn n n n T n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n S a +=11123n n n n n a a a a a --=-+∴={}n c ξ0,1,2【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定G12 G5 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）1 解析：（Ⅰ）因为侧面11AB BB C C ⊥,1BC ⊂侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥,在1BCC ∆中, 1111,2,60BC CC BB BCC ︒===∠=由余弦定理得：，所以1BC =22211BC BC CC +=,所以1BC BC ⊥,而BCAB B =，1C B ∴⊥平面ABC（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1,,AB BC BC 两两垂直.以B 为原点，1,,BC BA BC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则11(0,0,0),A(0,1,0),(1,0,0),C B B -.所以1(1CC =-,所以()CE λ=-,(1)E λ∴-则(1,1)AE λ=--，1(1,1AB =--. 设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =，则,，令3z =，则333,22x y λλλ-==--，333(,22n λλλ-∴=--是平面1AB E 的一个法 向量.AB ⊥平面11BB C C ,(0,1,1)BA =是平面1BEB 的一个法向量，.两边平方并化简得22530λλ-+=，所以1λ=或32λ=（舍去） 【思路点拨】（Ⅰ）由已知条件推导出AB ⊥BC 1，BC ⊥BC 1，由此能证明C 1B ⊥平面ABC ． （Ⅱ）以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出λ的值2222211112cos 12212cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=1n AE n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩1-)00x y z x y λ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩（cos ,2n BA n BA n BA⋅〈〉===∴20．【知识点】椭圆方程H5【答案】【解析】（1）[2,2]-（2）略解析：（1）当直线AB的斜率存在时，设由.………………..4分。

云南省部分学校（玉溪一中等）2015届高三12月份统一考试数学（理）命题：玉溪一中高三命题组第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．已知集合2{|230}A x x x =--≥，{|22}B x x =-≤<，则A B ⋂=（ ） A ．[1,2) B ．[1,1]- C ．[1,2)- D ． [2,1]--2．已知11aii+-为纯虚数（i 是虚数单位）则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ． D ．3．在ABC ∆中，点在边上，且，，则= （ ）A ．B ． C．1D ．04．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2B ．4C ．14-D ．12- 5．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是（ ）A ．870B ．30C ．6D ．36．在中，若，则是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定7．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,221z x y =--，则z 的取值范围是（ ）A ．5[,5]3B ．[0,5]C ．[0,5)D ．5[,5)38．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．π3 C ．π2 D ．π1-2-D BC 2=AC s AB r CD +=s r +3234ABC ∆1tan tan >B A ABC ∆9．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．49 B ．13 C ．29 D ．1910．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是（ ） ABC D 11．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC = ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（ ）12．已知函数，若，使成立，则称为函数的一个“生成点”，函数的“生成点”共有（ ） A ．2个 B .3个C .4个D . 5个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）。