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2021年高考数学精英备考专题讲座第六讲解析几何第一节曲线与方程文曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小问的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在之间.考试要求⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程.题型一曲线与方程例设集合{(,)|(,)0,,}=∈非空.如果命题“坐标满足方程的点都在曲线x y F x y x y R上”不正确,给出以下四个命题：①曲线上的点的坐标都满足方程；②坐标满足方程的点有些在上,有些不在上；③坐标满足方程的点都不在曲线上；④一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程.那么正确命题的个数是( ).A. B. C. D.点拨：直接用定义进行判断.解：“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,意味着“坐标满足方程的点不都在曲线上”是正确的,即一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程,∴④正确；曲线上的点的坐标可以有不满足方程的,∴①错；若满足方程的只有一解,则②错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选A.易错点：定义把握不准确,关键字句认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项.变式与引申2.已知定点不在直线：上,则方程表示一条( ).A.过点且平行于的直线B.过点且垂直于的直线C.不过点但平行于的直线D.不过点但垂直于的直线题型二 代入法(相关点法)求曲线方程例 已知点,点、分别在轴、轴上,且,,当点在轴上运动时,求点的轨迹方程.点拨：由确定与的坐标关系,由建立动点与、的坐标关系,用代入法求轨迹方程.解：设,,,又,则,,.由,得2(,)(1,)0AB FB a b b a b ⋅=-⋅-=+= ①.由,得,∴,,即,,代入①得,,即,当时,三点、、重合,不满足条件,∴,故点的轨迹方程为.易错点：忽视轨迹方程中的.变式与引申3.已知为坐标原点,点、分别在轴、轴上运动,且,动点满足,求动点的轨迹方程.题型三 待定系数法、直接法求曲线方程例 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和.⑴求椭圆的方程；⑵若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,(为椭圆的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.点拨：问题⑴用待定系数法求椭圆的方程；问题⑵将点、的坐标代入满足的关系式中,化简后可得到点的轨迹方程,然后说明其轨迹是什么曲线,并指明变量的取值范围.解：⑴设椭圆的标准方程为,半焦距为,则,解得,,∴.故椭圆的标准方程为.⑵设,,其中.由已知得,而,∴.由点在椭圆上,得,代入上式并化简得,故点的轨迹方程为轨迹是两条平行于轴的线段.易错点： 第⑵小问中未注意到点与的坐标关系,会造成求点轨迹方程的思路受阻；忽视变量的范围,将出现对所求轨迹曲线的错误判断.变式与引申4.已知椭圆：的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.⑴求椭圆的方程；⑵设该椭圆的左、右焦点分别为、,直线过且与轴垂直,动直线与轴垂直,交与点,求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程,并指明曲线类型.题型四 定义法求曲线方程与实际应用问题例 为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距的、两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过、两点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(如图所示).考察范围到、两点的距离之和不超过的区域.⑴求考察区域边界曲线的方程；⑵如图所示,设线段是冰川的部分边界线(不考虑其他边界),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动,以后每年移动的距离为前一年的倍.问：经过多长时间,点恰好在冰川边界线上？点拨：本题是应用题背景下的解析几何综合问题,利用椭圆定义求考察区域边界曲线的方程；综合运用直线方程、点到直线的距离公式、等比数列求和公式等知识能使第⑵小问获解.解：⑴设考察区域边界曲线上点的坐标为.则由知,点在以、为焦点,长轴长为的椭圆上,此时短半轴长,故考察区域边界曲线的方程为.⑵易知过点、的直线方程为,∴点到直线的距离.设经过年,点恰好在冰川边界线上,则由题设及等比数列求和公式,得,解得.故经过年,点恰好在冰川边界线上.易错点：⑴不能正确建立应用题的数学模型；⑵数学阅读分析能力不强,易出现审题错误.变式与引申5.某航天卫星发射前,科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图,航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分,降落点为.观测点、同时跟踪航天器.⑴求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；⑵试问：当航天器在轴上方时,观测点、测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？本节主要考查：图⑴知识点有曲线与方程的关系、求曲线(轨迹)的方程；⑵依据动点轨迹的几何条件,运用求曲线(轨迹)方程的方法解决求曲线(轨迹)方程的问题,及应用题背景下的求曲线(轨迹)方程的问题；⑶求曲线(轨迹)方程时：①恰当建立坐标系,使所求方程更简单；②利用圆锥曲线的定义,运用平面几何知识,可以大大简化求解运算过程.⑷解析几何基本思想(用代数方法研究几何问题)、方程思想、等价转化思想、分类讨论思想、应用题建模思想以及分析推理能力、运算能力.点评：⑴求曲线(轨迹)方程的常用方法有：①直接法：直接利用动点满足的几何条件(一些几何量的等量关系)建立,之间的关系(如例第问).其一般步骤是：建系设点、列式、坐标代换、化简、证明(证明或判断所求方程即为符合条件的动点轨迹方程)；②待定系数法：已知所求曲线的类型时,可先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,求出曲线的方程(如例第问)；③定义法：先根据条件能得出动点的轨迹符合某种曲线的定义,则可用曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(如例)；④代入法(相关点法)：有些问题中,动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,并且点在某已知的曲线上,这时可先用、的代数式来表示、,再将、的表达式代入已知曲线,即得要求的动点轨迹方程(如例及变式).⑵要注意求曲线(轨迹)方程与求轨迹的区别：求曲线(轨迹)的方程只需根据条件求出曲线(轨迹)方程即可；求轨迹则是需先求出轨迹方程,再根据方程形式说明或讨论(含参数时)曲线图形的(形状、位置、大小)类型.解题时应根据题意作出正确、规范的解答.⑶在求出曲线(轨迹)的方程时,要注意动点的取值范围,及时补漏和去除“杂点”,以保证所求曲线(轨迹)方程的完整性.习题6-1.方程的曲线是( ).A.一个点B.一条直线C.一个点和一条直线D.两条直线.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同.则双曲线的方程为.3.已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为.⑴求椭圆的标准方程；⑵过点的直线与该椭圆交于、两点,且,求直线的方程.4．（xx高考江西卷·文）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．【答案】4. 解：⑴由得,又,∴,,故椭圆的方程为.⑵由⑴知,,由题意可设,则线段的中点为.设是所求轨迹上的任意一点,由于,,则122()0t MN PF x t y y t⎧⋅=+-=⎪⎨=⎪⎩,消去参数得,故所求点的轨迹方程为,其轨迹为顶点在原点、开口向左、焦点为的抛物线(除去原点).5. 解：⑴设曲线方程为,将点,代入曲线方程,得,∴,,故曲线方程为.⑵设变轨点为,联立2210025641771y x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩,得,∴或(舍去). 由,得或(舍去).∴点,此时,||AC =||5BC =.故当观测点、测得、的距离分别为、时,应向航天器发出变轨指令.习题6-1. D提示：由得,,∴或,故方程的曲线是两条直线..提示：由渐近线方程可知①.∵抛物线的焦点为,∴②.又③.联立①②③,解得,,∴双曲线的方程为..解：⑴∵、、成等差数列,∴,即,∴点到两定点、的距离之和为定长,故的轨迹是以、为焦点的椭圆,其方程为.又,∴点在轴左侧,又点与、构成三角形,∴点不能在上,∴点的轨迹的方程为.⑵假设存在直线满足条件.①当的斜率存在时,设的方程为,代入的方程,得2222(43)84120k x k x k +++-=.∵与有两个不同的交点,.∴2222422121284341243644(43)(412)000k k k k k k k x x x x +-+⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=≥⎪⎩,解之得. 由弦长公式得,221212(1)34|||k k MN x x ++=-=.设原点到直线距离为,则.∵,∴,即.解得,∴,与不符.②当的斜率不存在时,的方程为.此时,,,∴直线不符合.综上①②知,满足题给条件的直线不存在.。
2021年高考数学精英备考专题讲座 第八讲运用数学思想方法解题的策略第五节推理证明与算法初步 文推理证明与算法初步是我们高考关注的几个新课标中重点话题，主要涉及到合情推理和演绎推理，直接证明和间接证明，以及算法初步中的框图知识和算法案例等. 题型可能是选择题、填空题，主要考查类比或归纳推理、循环结构为主的框图等；也可能是解答题，结合多个知识点进行命题的综合试题.其中推理与证明部分常与数列、不等到式问题综合，难度一般在之间.考试要求 （1）合情推理与演绎推理① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用;② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;（2）直接证明与间接证明① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点;② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点；（3）了解算法的含义；理解程序框图的三种基本结构：顺序、选择、循环；理解几种基本算法语句.题型一：合情推理例1（1）若∆ABC 内切圆半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则∆ABC 的面积S ＝12r (a +b +c ) 类比到空间，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1、S 2 、S 3 、S 4，则四面体的体积＝ ．（2）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形,则第个三角形数为( ).A. B. C. D.点拨：（1）类比推理是指两类对象具有一些类似特征，由其中一类的某些已知特征推出另一类对象的某些特征；（2）这是一种归纳推理方法，要善于发现其中的数字间的特征才能找到规律，得到一般形式.解：（1）比较两个对象，三边对四面，面积对体积，内切圆对内切球，三边长对四个面的面积，由S ＝12 r (a +b +c )等式两边的量，类比对应到体积、系数13、半径R 、面积S 1＋S 2＋S 3＋S 4.答：13R(S 1＋S 2＋S 3＋S 4). （2）在给出的一三角形数中，其中第一个三角形数1，第二个三角形数3=1+2，第三个三角形数6=1+2=3,第四个三角形数10=1+2+3+4，第五个三角形数15=1+2+3+4+5，故推测出的一般结论是：第个三角形数为1123(1)2n n n +++⋅⋅⋅+=+ 易错点：（1）类似特征不明确，类比结论错误；（2）不善于寻找数字间的规律，导致结论错误.变式与引申1：（1） 在Rt△ABC 中，CA⊥CB，斜边AB 上的高为h 1，则；类比此性质，如图，在四面体P —ABC 中，若PA ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为 ；（2）(xx 江西文数)观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49题型二：演绎推理例2如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，.求证：（1）∥；（2）111A FD BB C C ⊥平面平面.点拨：数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，证明线面平行时一定要注意注明直线在平面内及直线在平面外这两个条件.解：证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，，所以∥；（2）因为直三棱柱，所以，，又，所以，又，所以111A FD BB C C ⊥平面平面.易错点：三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、结论三部分，在书写证明的过程中，很多学生会出现跳步现象，D O 图逻辑关系不清楚是常见的错误.变式与引申2：（1）已知①正方形的对角相等；②平行四边形的对角相等；③正方形是平行四边形．根据三段论推理得到一个结论，则这个结论的序号是 .（2）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，，F 为CD 的中点.(Ⅰ)求证：AF ∥平面BCE ；(Ⅱ)求证：平面BCE ⊥平面CDE .题型三：直接证明 例3 已知求证：点拨：综合法着力分析已知和求证之间的差异和联系，并合理运用已知条件进行有效的变换是证明的关键，综合法可以使证明过程表述简洁， 但必须首先考虑从哪开始，这一点比较困难，分析法就可以帮助我们克服这一点，运用分析法比较容易探求解题的途径，但过程不及综合法简单，所以应把它们结合起来.证法1：（综合法） ，当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立， ,22b a a a bb b a+≥+++∴ 即证法2：（分析法） 要证，只要证,a b b a b b a a +≥+ 即证 0)()(≥-+-a b b b a a ，即证 即0)()(2≥+-b a b a由 得0)()(2≥+-b a b a ，所以原不等式成立易错点： （1）用综合法证明时难找到突破口，解题受阻；（2）分析法是寻找使不等式成立的充分条件，最后要充分说明推出的结论为什么成立.变式与引申3：设n a ），比较、、的大小，并证明你的结论.题型四：间接证明例4：已知函数y=a x +(a ＞1).（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；（2）用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.点拨：用反证法证明把握三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面；（2）必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证，（3）导致的矛盾可能多种多样，但推导出的矛盾必须是明显的.证明 （1）任取x 1,x 2∈(-1,+∞), 不妨设x 1＜x 2,则x 2-x 1＞0,由于a ＞1,∴a ＞1且a ＞0, ∴a -a =a (a -1)＞0. 又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0,∴-==＞0,于是f(x 2)-f(x 1)=a -a +-＞0, 故函数f (x )在(-1,+∞）上为增函数.（2）方法一 假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f(x 0)=0, 则a =-. ∵a ＞1,∴0＜a ＜1, ∴0＜-＜1,得＜x 0＜2，与假设x 0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.方法二 假设存在x 0＜0 (x 0≠-1)满足f(x 0)=0, ①若-1＜x 0＜0，则＜-2,a ＜1, ∴f(x 0)＜-1,与f(x 0)=0矛盾.②若x 0＜-1,则＞0,a ＞0, ∴f(x 0)＞0,与f(x 0)=0矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根. A B C D E F 图易错点：（1）不是把求证结论的反面作为条件证题（2）不写明与什么相矛盾.变式与引申4：证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根题型五： 算法初步例5 若程序框图如图输出的 S 是 126，则①应为（ ）A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?点拨 由知，在第次循环时，，由题意只需找到满足方程的的值.再结合语句推出判断框①.解析 因126222222654321=+++++=S ，则当 n ＝7时退出循环，所以 n ≤6.故选 B.易错点 不能准确判断循环终止的条件变式与引申5. 下面是一个用基本语句编写的程序如图，阅读后解决所给出的问题：INPUTIF THENELSEEND IFPRINTEND（1）请说明该算法程序的功能，并写出程序中的函数表达式；（2）将该程序语句转化为相应的程序框图.本节主要考查：（1）知识点有：归纳推理、类比推理两种合情推理和演绎推理；直接证明与间接证明；算法的含义、几种基本的算法语句、程序框图．（2）推理渗透在每个高考试题中，证明是推理的一种形式，有的问题需要很强的推理论证能力和技巧．推理问题常常以探索性命题的方式出现在高考题中；（3）常见的论证方法有：综合法、分析法及反证法等．点评：（1）归纳猜想是一种重要的思维方法，是对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，然后提出带有规律性的结论，是由部分到整理，由个别到一般的推理；结果的正确性还需进一步论证，一般地，考查的个体越多，归纳出的结论可靠性越大．（2）类比的关健是能把两个系统之间的某些一致性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚，在学习中要注意通过类比去发现探索新问题．（3）综合法的特点是：以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是寻找使问题成立的必要条件，是一个由因导果的过程；分析法的特点是：从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”，即寻找使问题成立的充分条件，是一个执果索因的过程．（4）一般来说：分析法有两种证明途径：①由命题结论出发，寻找结论成立的充分条件，逐步推导下去；②由命题结论出发，寻找结论成立的充要条件，逐步推导下去．（5）反证法在高考中的要求不高，但这种“正难则反”的思维方式值得重视，解决问题时要注意从多方面考虑，提高解决问题的灵活性．（6）算法是指解决某类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，且在有限步内完成．算法过程要简练，每一步执行的操作必须为下一步做准备．程序框图是由框图和流程线组成的，是算法的一种表现形式．通常是先写出算法步骤，再转化为程序框图．算法初步在高考中的要求不高，同学们在学习时要通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的基本思想.习题8-51.（xx高考天津卷·理）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A．3B．4C．5D．62．将正奇数数列1，3，5，7，9，…进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；……记第n组内各数之和为S n，则S n与n的关系为 ( )A．S n＝n2B．S n＝n3C．S n＝2n＋1D．S n＝3n－1 3．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列三个接收信息：（1）11010（2）01100（3）10111，一定有误的是（填序号）．4. 已知函数.（１）求函数的单调区间；（2）试证明：对任意，不等式恒成立．5.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.（1）求证：CC1⊥MN；（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.图6.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.【答案】变式与引申1【解析】（1）22221111PC PB PA h ++=； （2）答案：B解析： ()()()()()()343***2011,200922011168075,24014,3433,492,7=∴=-=====f f f f f x f x变式与引申2 【解析】（1）演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，三段论是演绎推理的一般形式，包括大前提、小前提、结论三部分．这里②③可推出①，其中②是大前提，③是小前题①是结论； 答：①；（2）19．方法一：（1）证：取的中点，连.∵为的中点，∴且.∵平面，平面，∴，∴.又，∴.∴四边形为平行四边形，则.∵平面，平面，∴平面.（2）证：∵为等边三角形，为的中点，∴∵平面，平面，∴.又，故平面.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.方法二：设，建立如图所示的坐标系，则()()()()()000200,0,0,,,3,0,,3,2A C a B a D a a E a a a ，，,，，.∵为的中点，∴.（1）证：()()33,,0,,3,,2,0,22AF a a BE a a a BC a a ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭， ∵，平面，∴平面.（2）证：∵()()33,,0,,3,0,0,0,222AF a a CD a a ED a ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴，∴.∴平面，又平面，∴平面平面. 变式与引申3 【解析】∵(1)1223(1)122n n n a n n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅++>+++= 又∵1223(1)n a n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++ 1223(1)222n n ++++<+++ 221223(1)222(1)(3)2(1)422n n n n n n n n n ++++<++++++++==<∴<<变式与引申4证明：假设方程在区间上至少有两个不同的实数根、,即.不妨设,由于函数f (x )在区间上是增函数,故,这与矛盾,所以方程在区间上至多只有一个实数根.5. 解：（1）由算法程序可知，该算法程序的功能是计算分段函数的函数值.（2）程序框图如图：习题8-51 . B ；2 .B ；3. 【解析】新背景下的信息转换问题，需要认真分析对应关系，在对应关系下求出原象，如对于第一个接受信息，依据对应关系可知，求得，同理求得，故（1）正确；对于（3），若原信息为011，则接收信应为10110．答：（3）；4. 【解析】解：(1)∵令得显然是上方程的解令，，则∴函数在上单调递增∴是方程的唯一解∵当时，当时∴函数在上单调递增，在上单调递减(2)由（1）知当时，∴在上恒有，当且仅当时“＝”成立∴对任意的恒有∵ ∴21111ln (1)n n n n n n n n++++<-= 即对，不等式恒成立．5【解析】（1）∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN.∴BB 1⊥MN .又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .（2）在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，有S =S +S －2SS cos.其中为平面CC 1B 1B与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中， ∵PM 2=PN 2+MN 2－2PN ·MN cos∠MNP∴P M 2·CC =PN 2·CC +MN 2·CC -2（PN ·CC 1）·（MN·CC 1）cos∠MNP ，由于S =PN ·CC 1，S =MN·CC 1，S =PM·BB 1=PM ·CC 1，∴S =S +S －2S ·S ·cos.上，所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.则k PM·k PN=·==·=(定值).。
2020高考研讨会心得根据学校安排，于2019年9月22日参加了在举办的2020届高考备考研讨会，我们一行11人分学科参加了这次会议。
本人参加了数学学科的高考备考会议，在参会过程中，我认真聆听了北京考试研究院李传奇，西北工大附属中学许德刚两位专家教师的讲座，开阔了视野，明确了方向，对2020年数学高考的备考具有指导意义。
现将这次培训会议的体会心得总结如下。
一、培训内容1、首先聆听了北京考试研究院李传奇老师做的《二〇二〇届高考数学一轮复习备考策略》的讲座。
李老师就考试大纲、高屋建瓴、谋高考；课程标准、核心素养、领高考；昨日今朝、立体全面、析考题；中学同仁、脚踏实地、备高考四个方面对2020年高考数学学科如何做好一轮复习作出了指导性的讲座。
高考考什么，为什么高考，高考怎么考等核心问题展开了探讨，对于“考试大纲”、“课程标准”“核心素养”“一体多元”等核心词语做了详细精准的阐释。
在具体的备考中，专家提出了以立德树人，核心素养为根本导向进行备考，在实践层面主张双基复习，有效训练的策略。
具体提出了：内容变革下创新型，综合性，基础性复习、引入、考试能力的养成等方面的复习方法。
并注重让学生自主梳理知识体系的要求。
并对高考三轮复习的时间安排给出了具体的指导意见。
2、之后又聆听了来自西工大附中许德刚老师做的《挑战与应战——高考数学复习备考》的讲座。
老师就“挑战”——国家意志、课程改革、学情变化、高考改革；“应战”——深度学习、学科素养、审辩教学、精准复习两个大的方面做出了指导，把握高考动向提升学生素养。
从“培养什么人、如何培养人、为谁培养人”——可靠接班人、合格建设者入手，以数学综合素养为基点，努力适应新高考1五育并举2稳中求变，3突出考查本质，加强对关键能力的考查，4情景真实，突出对综合能力的考查5稳中求新，为新课改做准备，6加大对数学阅读的考查。
二．复习备考中存在的突出问题1对考纲，考题和教材缺乏深入细致的研究；2对本届高三的特殊性认识不足，教学内容缺乏必要的舍取，课堂效率不高；3不能准确把握学生起点、知识缺陷，难度把握和学法指导明显不足；4忙于应付事务性工作，学校任务等，对学生学情，教学当中出现的问题估计不到位。
一、讲座背景随着新高考改革的深入推进，高考数学作为考查学生数学素养的重要科目，其命题方向、考试形式和评价方式都发生了较大的变化。
为了更好地适应新高考改革，提高数学教学质量，我们特举办此次新高考数学教研专题讲座，旨在帮助广大数学教师深入理解新高考数学的特点，掌握新高考数学的教学策略，提高数学教学效果。
二、讲座内容1. 新高考数学的特点（1）注重考查学生的数学核心素养新高考数学试题更加注重考查学生的数学思维能力、数学建模能力、数学运算能力、数学推理能力和数学应用能力，旨在培养学生的数学核心素养。
（2）试题类型多样化新高考数学试题类型丰富，包括选择题、填空题、解答题等，旨在全面考查学生的数学能力。
（3）试题难度适中新高考数学试题难度适中，既考查学生的基础知识，又考查学生的综合能力，有利于选拔优秀人才。
2. 新高考数学的教学策略（1）加强基础知识教学新高考数学试题注重考查学生的基础知识，因此，教师在教学过程中要重视基础知识的教学，帮助学生掌握数学概念、公式、定理等。
（2）注重培养学生的数学思维能力教师在教学过程中要注重培养学生的数学思维能力，通过引导学生进行探究、分析、归纳等，提高学生的数学思维能力。
（3）加强数学应用教学新高考数学试题注重考查学生的数学应用能力，因此，教师在教学过程中要注重数学应用教学，引导学生将数学知识应用于实际问题。
（4）关注学生个体差异教师在教学过程中要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习特点，制定相应的教学策略，提高教学效果。
3. 新高考数学试题解析（1）选择题选择题注重考查学生的数学基础知识和数学思维能力，教师在解析过程中要注重引导学生分析题干，找到解题的关键点。
（2）填空题填空题注重考查学生的数学基础知识和数学运算能力，教师在解析过程中要注重引导学生回顾相关知识，提高解题速度。
（3）解答题解答题注重考查学生的数学综合能力和数学应用能力，教师在解析过程中要注重引导学生分析问题、解决问题，提高解题质量。
高三数学专题复习讲座解析几何一、二、高考考纲要求高中?解析几何?内容包含两章——直线和圆的方程和圆锥曲线方程，这两章的要求分别如下：〔一〕直线和圆的方程〔1〕理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件纯熟地求出直线方程。
〔2〕掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的间隔公式，可以根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
〔3〕理解二元一次不等式表示平面区域。
〔4〕理解线性规划的意义，并会简单的应用。
〔5〕理解解析几何的根本思想，理解坐标法。
〔6〕掌握圆的HY方程和一般方程，理解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
〔二〕圆锥曲线的方程〔1〕掌握椭圆的定义、HY方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。
〔2〕掌握双曲线的定义、HY方程和双曲线的简单几何性质。
〔3〕掌握抛物线的定义、HY方程和抛物线的简单几何性质。
〔4〕理解圆锥曲线的初步应用。
二、高考考点分析04年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；01年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．近几年高考试题知识点分析从上表中可以发现，高考试题中对解析几何内容的考察几乎囊括了该局部的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．1．选择、填空题1．1 大多数选择、填空题以对根底知识、根本技能的考察为主，难度以容易题和中档题为主〔1〕对直线、圆的根本概念及性质的考察例1 〔’04全国文Ⅱ〕点A 〔1，2〕、B 〔3，1〕，那么线段AB 的垂直平分线的方程是〔A 〕524=+y x〔B 〕524=-y x〔C 〕52=+y x 〔D 〕52=-y x例2〔’03全国文Ⅰ〕点03:)0)(2,(=+->y x l a a 到直线的间隔 为1，那么a =〔A 〕2〔B 〕－2 〔C 〕12-〔D 〕12+例3〔’04〕以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________．例4〔’04全国文Ⅱ〕圆C 与圆1)1(22=+-y x关于直线x y -=对称，那么圆C 的方程为 〔A 〕1)1(22=++y x 〔B 〕122=+y x〔C 〕1)1(22=++y x〔D 〕1)1(22=-+y x〔2〕对圆锥曲线的定义、性质的考察例4〔’04〕点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的间隔 是 〔A 〕26 〔B 〕23〔C 〕3 〔D 〕2例5〔’04〕假设双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，那么双曲线的离心率为 〔A 〕2〔B 〕22 〔C 〕 4 〔D 〕24例6〔’04文〕教材中“坐标平面上的直线〞与“圆锥曲线〞两章内容表达出解析几何的本质是 〔用代数的方法研究图形的几何性质〕．1．2 局部小题表达一定的才能要求才能，注意到对学生解题方法的考察 例6〔’03年〕长方形四个顶点A 〔0，0〕，B 〔2，0〕，C 〔2，1〕和D 〔0，1〕.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4〔入射角等于反射角〕.设P 4的坐标为〔x 4，0〕.假设1< x 4<2，那么tan θ的取值范围是〔A 〕)1,31( 〔B 〕)32,31( 〔C 〕)21,52(〔D 〕)32,52(例7．〔’04文〕假设过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的局部有交点，那么k 的取值范围是 〔A〕0k << 〔B〕0k <<〔C〕0k <<〔D 〕05k <<2．解答题解析几何的解答题主要考察求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相比照拟简单．例8〔’04〕椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F 〔-m,0〕(m 是大于0的常数).〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M.假设=，求直线l 的斜率．此题第一问求椭圆的方程，是比拟容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进展分类讨论，那么有一定的难度，得分率不高．解：〔I 〕设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by ax由，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x 〔II 〕设Q 〔Q Q y x ,〕，直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m kmm Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点0(2)()2,2,1212Q Q m kmMQ QF x m y km +-⨯-=-==-==---当时.于是.0,134422222==+k mm k m m 解得 故直线l 的斜率是0，62±.例9〔’04全国文科Ⅰ〕设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B .〔I 〕求双曲线C 的离心率e 的取值范围： 〔II 〕设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB =求a 的值. 解：〔I 〕由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a xy并整理得 〔1－a2〕x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率01,((2,).2e a a e e e ==<<≠∴>≠+∞即离心率的取值范围为〔II 〕设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A .125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，2222222222172522289,.,,121121160170,.13a a a x x x aa a a a =-=--=--->=所以消去得由所以例10〔’04全国文科Ⅱ〕给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C相交于A 、B 两点. 〔Ⅰ〕设l 的斜率为1，求OB OA 与夹角的大小；〔Ⅱ〕设]9,4[,∈=λλ若AF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范围.解：〔Ⅰ〕C 的焦点为F 〔1，0〕，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y 将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 那么有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅=OB OA OB OA OB OA所以OB OA 与夹角的大小为.41143arccos-π 〔Ⅱ〕由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ即⎩⎨⎧-=-=-.1212),1(1y y x x λλ由②得21222yy λ=， ∵,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F 〔1，0〕，得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或 当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或 由,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--① ②从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考察的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程〔椭圆〕，04年考的是椭圆．三、 高考热点分析与05年高考预测 1．重视与向量的综合在04年高考文科12个新课程卷中，有6个的解析几何大题与向量综合〔如上面的例13、14、15〕，主要涉及到向量的点乘积〔以及用向量的点乘积求夹角〕和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在05年的高考试题中，这一现状仍然会持续下去．例11〔02年新课程卷〕平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A 〔3，1〕，B 〔－1，3〕，假设点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α＋β=1，那么点C 的轨迹方程为〔A 〕〔x －1〕2＋〔y －2〕2=5 〔B 〕3x ＋2y －11=0〔C 〕2x －y =0〔D 〕x ＋2y －5=0例12〔02年新课程卷〕两点M 〔－1，0〕，N 〔1，0〕，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列．〔Ⅰ〕点P 的轨迹是什么曲线？〔Ⅱ〕假设点P 坐标为〔x 0，y 0〕，θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ．例13〔03年卷〕常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A 〔0，a 〕以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.假设存在，求出E 、F 的坐标；假设不存在，说明理由. 例14〔’04〕点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，那么点P 的轨迹是〔A 〕圆 〔B 〕椭圆 〔C 〕双曲线 〔D 〕抛物线例15〔04年〕设椭圆方程为1422=+y x ，过点M 〔0，1〕的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为)21,21(，当l绕点M 旋转时，求：〔Ⅰ〕动点P 的轨迹方程； 〔Ⅱ〕||NP 的最小值与最大值.2．考察直线与圆锥曲线的位置关系几率较高在04年的15个文科试题〔含新、旧课程卷〕中，全都“不约而同〞地考察了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考察直线与圆锥曲线的位置关系的概率仍然会很大． 3．与数列相综合在04年的高考试题中，、、解析几何大题与数列相综合，此外，03年的卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中仍然会出现类似的问题．例16〔’04〕设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n ≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点,且a 1=1OP 2, a 2=2OP 2, …, a n =n OP 2构成了一个公差为d(d ≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记S n =a 1+a 2+…+a n .〔1〕假设C 的方程为2510022y x +=1,n=3. 点P 1(10,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标(只需写出一个)；〔2〕假设C 的方程为12222=+by a x (a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时, 求S n 的最小值；〔3〕请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由.【解】(1) a 1=1OP 2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 2＝70.∴点P 3的坐标可以为(215, 10).(2)原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a>b>0)上各点的最小间隔 为b,最大间隔 为a.． ∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP 2=a 2+(n －1)d≥b 2, ∴122--n a b ≤d<0. ∵n ≥3,2)1(-n n ＞0， ∴S n =na 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +.(3) 【解法一】假设双曲线C:22a x －22by =1,点P 1(a,0), 那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…由2510022y x +=1,得 x 23=60x 23+y 23=70y 23=10P n 存在的充要条件是d>0. ∵原点O 到双曲线C 上各点的间隔 h ∈[a ,+∞),且1OP =a 2, ∴点P 1, P 2,…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0.【解法二】假设抛物线C:y 2=2x,点P 1(0,0), 那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 【解法三】假设圆C:(x －a)+y 2=a 2(a ≠0), P 1(0,0),那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是0<d ≤142-n a . ∵原点O 到圆C 上各点的最小间隔 为0,最大间隔 为2a ,且1OP =0, ∴d ＞0且n OP 2=(n －1)d ≤4a 2.即0<d ≤142-n a .例17〔’04〕如图，直线2121:)21,0(1:21+=±≠≠-+=x y l k k k kx y l 与l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n 〔n=1，2，…〕的横坐标构成数列{}.n x〔Ⅰ〕证明*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+； 〔Ⅱ〕求数列{}n x 的通项公式；〔Ⅲ〕比拟5||4||22122+PP k PP n 与的大小. 〔Ⅰ〕证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ， 由条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x由P n+1在直线l 1上，得.121211k kx x n n -+=++ 所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+〔Ⅱ〕解：由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由〔Ⅰ〕知 )1(2111-=-+n n x kx ，所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列. 从而 .*,)21(21,)21(111N n kx k k x n n n n ∈⨯-=⨯-=--即 〔Ⅲ〕解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为〔1，1〕.所以 ,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n n n n n kk k kx x PP .945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k 〔i 〕当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k >1+9=10. 而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|021222+<=+⨯<<<PP k PP PP kn n 故所以〔ii 〕当)21,0()0,21(,21||0⋃-∈<<k k 即时，5||4212+PP k <1+9=10. 而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|21222+>=+⨯>>PP k PP PP kn n 故所以 例18 〔04年卷〕如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为〔0,0〕、〔1,0〕、〔0,2〕,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a 〔Ⅰ〕求321,,a a a 及n a ; 〔Ⅱ〕证明;,414*+∈-=N n y y nn 〔Ⅲ〕假设记,,444*+∈-=N n y y b n n n证明{}n b 是等比数列.解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ， ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ，∴.414n n yy -=+〔Ⅲ〕∵)41()41(44444841n n n n n yy y y b ---=-=+++- )(41444n n y y --=+,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列.4．与导数相综合近几年的新课程卷也非常注意与导数的综合，如03年的文科试题、04年的文理科试题，都分别与向量综合．例19〔03年的文〕抛物线C 1：y =x 2+2x 和C 2：y =－x 2+a ．假如直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．〔Ⅰ〕a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； 〔Ⅱ〕假设C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．〔Ⅰ〕解：函数y =x 2+2x 的导数y '＝2x +2，所以曲线C 1在点)2(1211x x x P ＋，的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y －+=+-，即 211)22(x x x y -+=． ①函数y ＝－x 2+a 的导数y '＝－2x ，所以曲线C 2在点)(222a x x Q +-，的切线方程是 )(2)(2222x x x a x y --=+--，即 a x x x y ++-=2222． ②假如直线l 是过P 和Q 的公切线，那么①式和②式都是l 的方程．所以 ⎩⎨⎧+-=+.1222121a x x x x ＝－， 消去x 2得方程 0122121=+++a x x ．假设判别式△＝4－4×2(1+a )＝0时，即21-=a 时解得211-=x ，此时点P 与Q 重合． 即当21-=a 时C 1和C 2有仅且有一条公切线，由①得公切线方程为 41-=x y ． 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕可知，当21-<a 时C 1和C 2有两条公切线．设一条公切线上切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中P 在C 1上，Q 在C 2上，那么有x 1+x 2＝－1，)(22212121a x x x y y +-++=+a x x x ++-+=21121)1(2=－1+a ，线段PQ 的中点为)2121(a＋－，-． 同理，另一条公切线段P 'Q '的中点也是).21,21(a+-- 所以公切线段PQ 和P 'Q '互相平分．例20〔04年文理科试题〕如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P 〔0,m 〕(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
2021年高考数学精英备考专题讲座 第六讲解析几何 第二节圆锥曲线 文圆锥曲线是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的高考试题,对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现,而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时,多以综合解答题的形式考查,属于中高档题,甚至是压轴题,难度值一般控制在之间.考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质；⑷了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握数形结合、等价转化的思想方法. 题型一 圆锥曲线的定义及应用例 ⑴已知点为椭圆的左焦点,是此椭圆上的动点,是一定点,则的最大值和最小值分别为.⑵已知双曲线的虚轴长为,离心率为,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于、两点,且是与的等差中项,则.点拨：题⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求的值.解：⑴设椭圆右焦点为,则,∴1||||||||6MA MF MA MF +=-+.又 111||||||||AF MA MF AF -≤-≤(当、、共线时等号成立).又,∴, .故的最大值为,最小值为.⑵依题意有222226ca b c a b =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得.∵、在双曲线的左支上,∴,,∴2211||||(||||)4AF BF AF BF a +-+=.又,.∴,即.∴.易错点：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由、、三点共线求出的最值也是值得注意的问题. 变式与引申1.已知为抛物线上任一动点,记点到轴的距离为,对于给定的点,的最小值为( ). A. B. C. D.2.设、分别是椭圆：的左、右焦点,过的直线与相交于、两点,且是与的等差中项,则. 题型二 圆锥曲线的标准方程例2 已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点. ⑴求椭圆的离心率；⑵设,又,为与不在轴上的两个交点,若的重心在抛物线上,求和的方程.点拨：问题⑴：将的焦点坐标代入的方程,得出的关系式,用问题⑴的答案,联立、的方程先得出、坐标,再利用的重心在抛物线上,求、的方程. 解：⑴∵抛物线经过椭圆的两个焦点,,∴,即, ∴,∴椭圆的离心率.⑵由⑴可知,椭圆的方程为,联立抛物线的方程, 得,解得或(舍去),∴,即,,∴的重心坐标为.∵重心在上,∴,得.∴. ∴抛物线的方程为,椭圆的方程为.易错点：忘记用第⑴小问的答案；记错重心坐标公式；联立、的方程后,计算错、坐标. 变式与引申3.求经过两点和的椭圆的标准方程.4.已知椭圆与直线相交于、两点,是的中点,若,的斜率为,求椭圆的方程. 题型三 圆锥曲线的几何性质例 如图,已知为椭圆的左焦点,过点作斜率为(为半焦距)的直线交椭圆于点、两点. ⑴若直线的倾斜角为,求证：(为椭圆的离心率)； ⑵若,且,求椭圆的离心率的取值范围.点拨：这是一道过椭圆焦点的直线与椭圆性质的有关问题,依据题给条件,几性质、焦半径公式及题给条件建立含离心率的不等式,进而求出的取值范围. ⑴解法：∵,∴,即,又, ∴,故.解法：依题意直线的分别为,∴点的坐标为,故. ⑵解：∵,∴.将直线代入椭圆,整理得图 图,∴,.∵,∴2222|| ||||||||B FFx xBFFA xa c ca ccλ--++===22222222221121231(,)a a c ea c a c e-+++-=-==∈,解不等式,得,∴,故椭圆的离心率的取值范围为.易错点：问题⑴中忽视斜率的正负,会导致的符号出错；问题⑵中不适时联想平几性质，解题思路将受阻.变式与引申5.给定抛物线：,过点斜率为的直线与交于,两点.(Ⅰ)设线段的中点在直线上,求的值；(Ⅱ)设,,求的取值范围.题型四以圆锥曲线为载体的探索性问题例已知椭圆：的离心率为,过右焦点的直线与相交于、两点.当的斜率为时,坐标原点到的距离为.⑴求、的值；⑵上是否存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立？若存在,求出所有的点的坐标与的方程.若不存在,说明理由.点拨：问题⑴可先写出的方程,再利用点到的距离和椭圆的离心率求出、的值；问题⑵是存在性探索问题,可先探索命题成立的充要条件,将向量坐标化,再综合运用题给条件,逐步推出满足题意的是否存在.但需考虑转动时斜率不存在情形.解：⑴设,当的斜率为时,其方程为,点到的距离为,∴.由,得,.⑵上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立.由⑴知的方程为.设,.①当不垂直轴时,设的方程为.上的点使成立的充要条件是的坐标为,且2212122()3()6x x y y+++=,即222211221223234x y x y x x++++.又、在上,∴,,∴ ①将代入 ,整理得2222(23)6360k x k x k+-+-=,于是 ,,2221212423(1)(1)kky y k x x-+=--=.代入①解得,,此时,于是12122(2)ky y k x x+=+-=-,即.因此,当时,,的方程为；当时,,的方程为.②当垂直于轴时,由知,上不存在点,使成立.综上,上存在点使成立,此时的方程为.在、之间),为坐标原点.⑴若,,求的面积；⑵对于任意的动直线,是否存在常数，总有？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.本节主要考查：⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形,焦半径等)以及这些知识的综合应用；⑵以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题；⑶圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化” 等解析几何的基本方法；⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力.点评：⑴圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,同时又是高考的热点和压轴点之一,主要考查圆锥曲线的定义(如例)与性质(如例)、求圆锥曲线方程(如例)、直线与圆锥曲线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例)等.⑵圆锥曲线的定义,揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题,恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题,可避免繁琐的推理与运算.⑶求圆锥曲线的标准方程：①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线；②定位——判断焦点的位置；③定量——建立基本量、、的关系式,并求其值；④定式——据、、的值写出圆锥曲线方程.⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的重点热点.此类问题,它源于课本,又有拓宽引申、高于课本,是高考试题的题源之一,应引起重视,注意掌握好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题,只需列出关于基本量、、的一个方程(求大小)或找到关于基本量、、间的不等关系(求范围)即可.⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题,主要有两种求解方法：一是根据题给条件建立含参数的等式后,再分离参数求其值域；另一是正确列出含参数的不等式,进而求之.其列不等式的思路有：①运用判别式或；②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧)；③利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中等)；④根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况).⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时,通性通法是向量坐标化,将一几何问题变成纯代数问题.⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,它要求学生具有观察分析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往往是先假设满足题意,即从承认结论、变结论为条件出发,然后通过归纳,逐步探索待求结论.习题6-2.已知椭圆中心在原点,左、右焦点、在轴上,、是椭圆的长、短轴端点,是椭圆上一点,且轴,,则此椭圆的离心率是( ).A. B. C.D.2.过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A、B两点，交其准线于C点，若，则直线的斜率为___________．.已知定点,,定直线：,不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍.设点的轨迹为,过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、.⑴求的方程；⑵试判断以线段为直径的圆是否过点,并说明理由..如图,已知直线：与抛物线：交于、两点,为坐标原点,.⑴求直线和抛物线的方程；⑵若抛物线上一动点从到运动时,求面积的最大值.【答案】变式与引申 1. C提示：如图6-2-1,点到轴的距离比到准线的距离(即)少,∴ .而点在抛物线外,∴的最小值为. 2.提示：由椭圆定义知22||||||48AF AB BF a ++==,又，∴,. 3. 解法一：①当焦点在轴上时,设椭圆的标准方程为,依题意有2222222(2)(111a ba b --⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得.②当焦点在轴上时,同理解得,,不合,舍去. 综上所求椭圆的方程为.解法二：设所求椭圆方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠.依题意有,解得11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故所求椭圆的方程为.4. 解法一：设,,代入椭圆方程得,,相减得121212()()()0x x n y y y y -++-=.∵,,∴.由,得.∴,.又21|||AB x x =-=∴.将代入,解得,∴.故椭圆方程为. 解法二：由,得.设,,则,.∴||AB ===,∴. ①设,则,,∴,代入①,得,. 故椭圆方程为.5. 解：(Ⅰ)过点斜率为的直线为, 将代入方程， 得. ① 设,,则有,.∵线段的中点在直线上,∴,即,得(此时①式的判别式大于零). (Ⅱ)由,得,即. 由②,得.∵,,∴③ 由①、③得,易知,∴,. ∴,又,∴,即,得,解得或,故的取值范围是3[3[2,3-++. 6. 解：⑴由题意,直线的方程为.设点,,由,得,则,,∴1212||||S ON x x =⋅-===⑵设点,则.由、、三点共线得.由得点到轴距离与到直线：距离相等,即,∴222222000002x m x x m y mx y +=++, .把,代入,得0002240002224422242px x px x x x p x p x pp⋅⋅--=⋅+,即,∴,解得.故存在常数,总有.习题6-2 . B.提示：设椭圆的方程为,则,,,.由 轴,,得,∴,即,解得,∴,故椭圆的离心率.选B. 2.提示：过点B 向准线作垂线,垂足为M ，可知，所以直线的斜率为 . 解：⑴设,则,化简得.⑵①当直线与轴不垂直时,设的方程为,与双曲线联立消去 得2222(3)4(43)0k x k x k -+-+=.由题意知且.设,,则, ,222222222121212124389333(2)(2)[2()4](4)k kkk k k y y k x x k x x x x k +----=--=-++=-+=.∵,,∴的方程为,∴点的坐标为,,同理可得,因此221222122228134343393922(1)(1)44(1)()0k k k kk k y y x x FM FN --+--++++⋅=-+=+=.②当直线与轴垂直时,其方程为,则,,的方程为,∴点的 坐标为,,同理可得,因此2333222()()0FM FN ⋅=-+⨯-=.综上,即,故以线段为直径的圆经过点. .解：⑴由,得.设,,则,21212()424y y k x x pk +=+-=--.∵21212(,)(2,24)(4,12)OA OB x x y y pk pk +=++=---=--,∴,解得,故直线的方程为,抛物线的方程.⑵解法一：由,得,∴||AB .设212(,)(22P t t t ---<-+,∵为定值,∴当点到直线的距离最大时,的面积最大.而22(11|22||2)4|22t t t d+-+-==又,∴当时,.∴当点坐标为时,面积的最大值为.解法二：设,依题意,抛物线在点处的切线与平行时,的面积最大.∵,∴,,.此时点到直线的距离|2(2)(2)2|45d ⋅----===.由,得,∴||AB , 故面积的最大值为.。
2021高考数学精英备考专题讲座立体几何2021高考数学精英备考专题讲座立体几何立体几何一、中考预测立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法．高考在命制立体几何试题中，对这三个部分的要求和考查方式是不同的．在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要就是选择题或者填空题，在难度上也展开了一定的掌控，尽管各地有所不同，但基本上都就是中等难度或者更易的试题；在空间点、直线、平面的边线关系部分，主要以答疑题的方法展开考查，考查的重点就是空间线面平行关系和横向关系的证明，而且通常就是这个答疑题的第一问；对立体几何中的向量方法部分，-1-主要以答疑题的方式展开考查，而且偏重于在第二问或者第三反问中采用这个方法，考查的重点就是采用空间向量的方法展开空间角和距离等问题的排序，把立体几何问题转变为空间向量的运算问题．2。
线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.[0,]3。
直线与平面所成角的范围就是2；两异面直线阿芒塔角(0,]的范围就是2.通常情况下，谋二面角往往就是选定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.4。
立体几何中的排序主要就是角、距离、体积、面积的排序.两异面直线阿芒塔角、直线与平面所成角的排序就是重点.谋两异面直线阿芒塔角可以利用位移的方法将角转变至三角形中回去解，也可以利用空间向量的方法，特别必须特别注意的就是两异面直线所成角的范围.当算出的余弦值a时，其所成角的大小应属arccos|a|.-2-特别须要特别注意的就是：两向量阿芒塔的角就是两向量方向阿芒塔的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念就是不一样的.本题中的向量bd1与de所成的角大小是两异面直线de与bd1所成角的补角.7。
