大学微积分l知识点总结 二

微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。

导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。

导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。

2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。

高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。

3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。

微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。

微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。

4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。

不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。

不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。

5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。

定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。

6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。

第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。

第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。

7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。

微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。

微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。

大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。

期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。

以下是大学微积分期末复习的重点内容。

一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。

熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

掌握函数的四则运算和复合函数的求法。

2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。

掌握极限的四则运算法则和存在准则。

熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。

3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。

掌握无穷小的比较和运算。

二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。

掌握导数的物理意义和经济意义。

2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。

掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。

会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。

3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。

掌握微分的计算方法和应用。

三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。

2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。

求函数的极值和最值。

3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。

求函数的拐点。

4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。

四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。

掌握不定积分的基本性质。

2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。

掌握换元积分法和分部积分法。

五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。

掌握定积分的基本性质。

2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。

会用换元积分法和分部积分法计算定积分。

3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。

六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。

微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。

3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。

大学微积分的知识点汇总微积分是数学中的一门重要学科，也是大学数学课程中的一部分。

它主要包括微分学和积分学两个方面。

微分学研究函数的变化率和曲线的切线问题，而积分学研究函数与曲线的面积、体积以及累积等问题。

本文将从微分学和积分学两个方面对大学微积分的知识点进行汇总。

一、微分学1.函数的极限函数的极限是微积分的基本概念之一。

它描述了函数在某一点或正无穷、负无穷处的变化趋势。

例如，当自变量趋近于某一值时，函数的取值是否趋近于一个确定的值。

2.导数导数是函数在某一点的变化率。

它表示了函数在该点的切线的斜率。

导数可以用来解释函数的变化趋势，并且可以通过导数的性质求得函数的极值点和拐点等重要信息。

3.微分微分是导数的另一种形式。

它可以用来表示函数在某一点附近的变化情况。

微分可以用来近似计算函数的值，例如在物理学中的位移和速度之间的关系。

4.高阶导数高阶导数是导数的再次求导。

它描述了函数变化率的变化率。

高阶导数可以用来研究函数的凹凸性和函数曲线上的拐点。

二、积分学1.定积分定积分是对函数在一定区间上的面积进行求解。

它可以用来解决曲线下面积、体积、平均值等问题。

定积分可以通过定义求解，也可以通过积分的性质和定理进行计算。

2.不定积分不定积分是定积分的逆运算。

它可以用来求解函数的原函数。

不定积分可以通过积分表、基本积分公式和换元积分法等方法进行计算。

3.反常积分反常积分是对无界区间上的函数进行积分。

由于函数在无穷远处可能趋于无穷或趋于零，因此需要对反常积分进行特殊处理。

常见的反常积分有瑕积分和无穷积分。

4.积分应用积分的应用非常广泛。

它可以用来计算曲线的弧长、质心和转动惯量等物理量。

在经济学中，积分可以用来计算总收益、总成本和总利润等经济指标。

以上是大学微积分的知识点汇总。

微分学和积分学是微积分的两个重要方面，它们在数学和其他学科中有着广泛的应用。

掌握微积分的知识将有助于解决实际问题和深入理解数学的本质。

希望本文对你在学习微积分过程中有所帮助。

大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。

在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。

本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。

第一章：函数与极限在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。

函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。

极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。

第二章：导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。

我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。

微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。

第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。

微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。

第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。

我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。

通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。

第五章：定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。

我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。

定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。

第六章：微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。

我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。

微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。

通过对大一微积分每章的知识点进行总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容，巩固了所学知识，并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。

微积分二知识点总结1. 级数1.1 级数的定义级数可以看作是无穷多个数的和，即将无穷多个数按照一定的顺序加起来。

表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …1.2 收敛与发散级数的和是否有限可以分为两种情况： - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时有极限L，即limₙ→∞ Sₙ = L，则称该级数是收敛的； - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时无极限，即limₙ→∞ Sₙ不存在，则称该级数是发散的。

1.3 级数的判定法判定一个级数是收敛的还是发散的有多种方法，以下是常见的几种判定法： - 比较判定法：将要求解的级数与一个已知级数进行比较，确定其大小关系。

- 比值判定法：通过求级数的项与前一项的比值或相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。

- 根值判定法：通过求级数的项的绝对值的n次方根的极限来判断级数的收敛性。

- 积分判定法：将级数转化为函数的积分形式，利用定积分的性质来判断级数的收敛性。

2. 泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种用函数的无穷多个项的和来表示该函数的级数。

泰勒级数在微积分中起到了重要的作用，可以将一个复杂的函数近似地用一系列较简单的函数表示。

2.2 泰勒级数的求法泰勒级数的求法主要有以下几个步骤： 1. 求函数在某一点的各阶导数； 2. 计算函数在该点的各阶导数值并带入泰勒展开公式中； 3. 按照展开公式的形式将函数以多项式的形式展开。

2.3 常见的泰勒级数展开2.3.1 三角函数的泰勒级数展开•正弦函数的泰勒级数展开式：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + …•余弦函数的泰勒级数展开式：cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + …2.3.2 自然指数函数的泰勒级数展开•自然指数函数的泰勒级数展开式：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …2.3.3 对数函数的泰勒级数展开•自然对数函数的泰勒级数展开式：ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + …3. 函数的极限3.1 函数的极限的定义函数的极限可以用来描述函数在某一点的取值趋于的结果。

微积分第二章笔记微积分是数学的一个重要分支，研究的是变化和积分的规律。

在微积分的学习中，第二章主要介绍了导数和微分，它们是微积分的基础概念，对于理解和应用微积分具有重要意义。

导数是微积分中的一个核心概念，表示函数在某一点上的变化率。

我们可以通过求导来计算函数的导数，一般用符号f'(x)表示。

导数的概念和计算方法可以应用于许多实际问题，比如物体运动的速度、曲线的切线等。

在计算导数时，需要注意使用各种导数公式和运算法则，以便准确计算函数的导数。

微分是导数的一种应用，表示函数在某一点上的近似变化量。

微分的计算方法包括使用导数公式和运算法则，以及利用极限的概念。

微分在自然科学和工程技术领域中有广泛的应用，比如研究物体的力学性质、优化问题的求解等。

在学习导数和微分的过程中，需要掌握一些基本的概念和技巧。

首先，我们需要了解函数的定义域和值域，以及函数的性质和图像。

对于常见的基本函数（如多项式函数、指数函数、对数函数等），要能够准确计算其导数和微分。

其次，需要掌握导数和微分的基本性质，比如导数的线性性质、微分的乘法法则和链式法则等。

此外，还需了解常用函数的导数和微分公式，如幂函数、三角函数等。

在实际应用中，导数和微分经常与其他数学概念结合使用。

例如，在求解极值问题时，可以利用导数的性质来判断函数的增减性，并应用极值定理求解最值。

另外，在曲线的研究中，可以利用导数和微分的性质来分析曲线的凹凸性和拐点问题。

在工程和科学实验中，导数和微分也可以应用于误差分析和最优化设计等方面。

综上所述，微积分的第二章主要介绍了导数和微分的概念、计算方法和应用。

通过深入理解和掌握这些知识，我们可以更好地理解变化和积分的规律，为后续学习和应用微积分打下坚实的基础。

在学习过程中，我们需要注重理论与实践的结合，灵活运用各种导数和微分的计算方法，培养数学思维和问题解决能力，以便更好地应对复杂的数学问题和实际应用。

微积分二知识点总结引言微积分是数学中的重要分支，用于研究函数的变化和曲线的性质。

微积分可以分为微分学和积分学两个部分。

本文将总结微积分二中的一些重要知识点，包括泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等内容。

泰勒展开和泰勒级数泰勒展开是函数在某一点附近用幂级数逼近的方法。

假设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中Rn(x)为余项，它表示当n趋向于无穷大时的误差。

泰勒级数是泰勒展开的一种特殊情况，当a=0时，泰勒展开可以简化为泰勒级数：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + Rn(x)泰勒级数的应用非常广泛，可以用来近似计算各种函数的值。

傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。

假设f(x)是一个周期为2π的函数，傅里叶级数展开可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中a0、an和bn为函数f(x)的系数。

傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的叠加。

这种表示方法在信号处理和频谱分析中非常有用。

常微分方程常微分方程是描述函数的变化规律与函数本身及其导数之间的关系的方程。

常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程。

一阶常微分方程可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)为已知函数。

二阶常微分方程可以表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)常微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中都有着广泛的应用。

总结微积分二是微积分的进阶课程，涵盖了泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等重要知识点。

微积分1知识点总结微积分1是大学数学中的一门重要课程，它主要包括导数和不定积分两大部分。

微积分1是数学系、物理系、工程系等专业的重要基础课程，对学生的数学思维能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力都有较高的要求。

微积分1知识点较多，本文将对微积分1的相关知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握微积分1的知识。

一、函数与极限1.1 函数的概念函数是一个变量与变量之间的一种对应关系。

通常用 f(x) 或 y 来表示函数，x 是自变量，y 是因变量。

函数在微积分中有着非常重要的作用，它可以用来描述数学模型中的关系、描述实际问题中的情况等。

1.2 函数的极限极限是微积分中的一个重要概念，它描述的是当自变量趋向于某一点时，函数值的趋势。

极限的概念为后续的导数和积分提供了重要的理论基础。

1.3 极限的性质极限有一些重要的性质，比如极限的唯一性、函数极限存在的条件、函数极限的运算性质等。

掌握这些性质对于理解和计算函数的极限具有重要的意义。

1.4 极限的计算计算极限是微积分中的一个重要技能。

常见的计算技巧包括利用基本极限、利用夹逼定理、利用洛必达法则等。

二、导数2.1 导数的定义导数是函数的变化率，描述了函数在某一点的变化趋势。

导数的定义是函数在某一点的切线的斜率。

2.2 导数的计算导数的计算是微积分1中的重要内容。

常见的计算技巧包括使用导数的定义、使用导数的性质、使用求导法则等。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、导数的运算法则、导数的几何意义等。

2.4 高阶导数导数的概念可以进一步推广到高阶导数，高阶导数描述了函数的变化趋势更加细致的情况。

三、不定积分3.1 不定积分的概念不定积分是导数的逆运算，描述了函数的积分情况。

不定积分的概念是微积分1中的一个重要内容。

3.2 不定积分的计算计算不定积分是微积分1中的一个关键技能。

对于一些特定的函数，可以通过不定积分的性质、不定积分的基本积分公式等来进行计算。

定义：如果
具有任意阶导数，则幂级数
在点x=x
称为
在点x
处的泰勒级数。

[1]
=0，得到的级数[2]
在泰勒公式中，取x
称为麦克劳林级数。

函数
的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与
的麦克劳林级数一致。

[3]
注意：如果
的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。

因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。

一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。

但是如果变量x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。

例如
，就可以被展开为一个洛朗级数。

带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式[1]：
定理一
设函数
在
的某个邻域
内具有任意阶导数，则函数
在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项满足[4]
定理二
如果
在区间
能展开成泰勒级数
则右端的幂级数是惟一的。

[
下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。

[2]指数函数：
自然对数：
几何级数：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数:。

大学微积分知识点归纳总结微积分是数学的分支之一，是研究变化率和累积效应的数学工具。

在大学中，微积分通常是理工科学生必修的一门课程，也是后续学习高等数学和其他相关学科的基础。

本文将对大学微积分中的一些重要知识点进行归纳总结，帮助读者复习和回顾相关概念和技巧。

一、导数与微分导数是微积分中最基础的概念之一，表示函数在某一点处的变化率。

导数的计算方法包括用极限和求导法则两种途径。

其中，求导法则主要包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。

通过运用这些法则，我们可以计算各种函数的导数。

微分是导数的一种应用形式，表示函数在某一点附近的近似线性变化量。

微分的计算方法是利用导数的概念，通过对变量的微小改变进行线性逼近得到。

微分在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值，例如在运动学中描述物体的速度和加速度。

二、积分与不定积分积分是导数的反运算，表示函数曲线下某一区间上的累积效应。

积分的计算方法包括定积分和不定积分两种形式。

其中，定积分是计算函数在给定区间上的累积值，可以通过黎曼和牛顿-莱布尼茨公式进行求解。

而不定积分是求解函数的原函数，通常表示为一个函数族，通过添加常数项来表示原函数的不确定性。

在应用方面，积分可以用于求解曲线下的面积、物体的质量和流体的体积等问题。

它也是微分方程中的重要工具，用于求解描述变化规律的方程。

三、微分方程与应用微分方程是涉及未知函数及其导数的方程，描述了变量之间的关系。

微分方程在自然科学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。

常见的微分方程类型包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、线性微分方程和非线性微分方程等。

求解微分方程的方法主要包括分离变量法、常系数线性微分方程的特征根法、常系数线性微分方程的待定系数法和变化参数法等。

通过运用这些方法，我们可以推导出函数的解析表达式，揭示变量之间的定量关系。

微积分作为数学的一门基础课程，不仅具有理论的重要性，更有实际的应用价值。

微积分到知识点总结微积分的知识点非常多，本文将介绍微积分的一些基本概念和重要知识点，并对其进行总结和归纳。

一、函数与极限函数是微积分中的基本概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。

函数的导数描述了函数在某一点的变化率，而函数的积分则描述了函数所围成的曲线与坐标轴之间的面积。

函数与极限是微积分的重要基础，它们为微积分的后续理论和方法打下了基础。

1. 函数的概念函数是一个特殊的映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用数学公式表示，例如y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f是函数关系。

2. 极限的概念极限描述了函数在某一点附近的性质，是微积分中一个非常重要的概念。

极限可以使我们研究函数在某一点的趋势和性质，从而为导数和积分的研究打下基础。

3. 极限的性质极限具有一些基本的性质，例如极限的唯一性、极限的保号性和极限的四则运算法则等。

这些性质是极限运算的基础，对于求解极限问题非常重要。

4. 极限的计算极限的计算是微积分教学的一大重点，它包括一些常见的极限计算方法，例如无穷大极限、洛必达法则、泰勒展开式等。

熟练掌握这些方法，对于解决极限计算问题大有帮助。

二、导数与微分导数是函数在某一点的变化率，它是微积分中的一个重要概念。

导数可以帮助我们研究函数的单调性、凹凸性以及最值等问题，是微积分中的一个基础工具。

1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，它可以用函数的极限概念进行定义。

导数的定义包括了函数在某一点的切线斜率以及函数的增量和自变量的增量之比。

2. 导数的性质导数具有一些基本的性质，包括导数的唯一性、导数的和差积商法则、导数的连续性等。

这些性质是导数运算的基础，可以帮助我们进行导数的运算和求解导数的问题。

3. 高阶导数高阶导数是导数的推广概念，它描述了函数的高阶变化率。

高阶导数包括了二阶导数、三阶导数、四阶导数等，它们可以帮助我们研究函数的曲率和波动性。

4. 微分的概念微分是导数的对应概念，它描述了函数在某一点的变化量。

第一部分 多变量微分学一、多元函数极限论 1. 多元函数极限的定义：（1)邻域型定义:设函数)(P f 的定义域为D ，0P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ,使得当点)(0P U D P δ⋂∈时，都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限,记作.)(lim 0A P f P P =→(２）距离型定义:设函数)(P f 的定义域为D ,0P 是D 的聚点,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P D ∈，且δρ<<),(00P P 时,都有ε<-A P f )(，那么就称常数A 为函数)(P f 当0P P →时的极限,记作.)(lim 0A P f P P =→注：①这里给出的是数学分析中国际通用的定义,已自然排除了0P 邻域内的无定义点; ②极限存在的充要条件：点P 在定义域内以任何方式或途径趋近于0P 时,)(P f 都有极限; ③除洛必达法则、单调有界原理、穷举法之外，可照搬一元函数求极限的性质和方法,常用的有：等价无穷小替换、无穷小×有界量=无穷小、夹挤准则等；④若已知)(lim 0P f P P →存在，则可以取一条特殊路径确定出极限值;相反，如果发现点P 以不同的方式或途径于0P 时，)(P f 区域不同的值,则可断定)(lim 0P f P P →不存在.⑤二元函数的极限记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),00（或A y x f y y x x =→→),(lim 0.2. 多元函数的连续性：设函数)(P f 的定义域为D ,0P 是D 的聚点,如果0P D ∈,且有)()(lim 00P f P f P P =→,则称)(P f 在0P 处连续;如果)(P f 在区域E 的每一点处都连续,则称)(P f 在区域E 上连续．注:①如果)()(lim 00P f P f P P ≠→,只称“不连续”,而不讨论间断点类型；②在有界闭区域上的连续函数拥有和一元函数类似的性质，如有界性定理、一致连续性定理、最大值最小值定理、介值定理等． 3.二重极限与累次极限累次极限与二重极限的存在性之间没有任何必然的联系，但若某个累次极限和二重极限都存在,则它们一定相等;反之，若两个累次极限存在而不相等，则二重极限一定不存在,又若两个累次极限存在且相等,称累次极限可以交换求极限的顺序.二、偏导数、全微分１.偏导数、全微分的相关理论问题 （以二元函数为例讨论)（1）偏导数的存在性：讨论对某个变量的偏导数，则将其他变量当作常数.),('),(),(lim 0000000y x f x x y x f y x f x x x ∆→=--;),('),(),(lim 0000000y x f y y y x f y x f y y y ∆→=--. （2）可微性：记),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆,则仅当0)()()(lim22=∆+∆∆+∆-∆→→y x y B x A z y x 时，),(y x f 在),(00y x 处可微，否则不可微.其中),('00y x f A x =,),('00y x f B y =． 注：等价于()22)()(y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆ 即()220000)()()(),(),(y x o y B x A y x f y y x x f ∆+∆=∆+∆--∆+∆+又即()()2020********)()())(,('))(,('),(),(y y x x o y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-=-+---记dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=为全微分),(y x f 在),(y x 处的全微分. 中值定理推广为:.1,0,),('),('2121<<∆∆++∆∆+∆+=∆θθθθy y y x f x y y x x f z y x （3）偏导数的连续性：讨论偏导连续性,先用定义求),('00y x f x 和),('00y x f y ，用公式求),('y x f x 和),('y x f y ，判断),('),('lim 000y x f y x f x x y y x x =→→和),('),('lim 0000y x f y x f y y y y x x =→→是否都成立,如果都成立则偏导数连续. ④逻辑关系:极限存在偏导存在可微连续偏导连续⇒⇓⇑⇒2.多元函数微分法： (1)链式求导法则:①从题目中的复合关系画出从起始变量经过中间变量到终变量的复合结构图；②求偏导就是“走路”的过程,有几条路,等号后就有几项；每条路上有几段,每项中就会有几部分相乘(注意：偏导写偏微分符号“∂”， 不偏则写微分符号“d ”); ③严格遵守用位置表示偏导数的规则，注意避免符号混乱和歧义；④对于求高阶偏导数的问题，不论对谁求导，也不论求了几阶导，求导后的新函数仍具有与原来函数相同的复合结构（注意若偏导连续则相等,要合并同类项）.（2)全微分形式不变性:仅一阶全微分可以使用，高阶全微分不再成立． （3）隐函数存在性及求导法则:①一个方程的情形(以三个变量为例）:设),,(z y x F 在点),,(000z y x 某邻域内偏导连续，且0),,(000=z y x F ，0),,('000≠z y x F z ，则方程0),,(=z y x F 在点),,(000z y x 内某邻域内可唯一确定单值函数),(y x z z =,这个函数在),(00y x 的某邻域内具有连续的偏导数,且''z x F F x z-=∂∂，''z y F F y z -=∂∂．结论不难推广到一般情形. ②方程组的情形:一般地,设方程组),2,1(0),,,;,,,(2121m i u u u x x x F m n i ==可确定m 个n 元函数),,,(21n i i x x x u u =．当雅可比行列式0),,,(),,,(11112212121112121≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=m m m m m m m u F u F u F u F u F u F u F u F u F u u u F F F J时,可以确定JJ x u j i *-=∂∂,其中*J 由将),,,(),,,(2121m m u u u F F F J ∂∂=分母中的第i 个元素替换成j x 得到.（雅可比行列式在横向上改变各自变量,纵向上改变各函数名称) 注:①求导前应事先判断，a 个变元,b 个方程可确定b 个)(a b -元函数； ②有些比较简单的问题不必使用此通法，可以考虑利用全微分形式不变性. ③经验结论:由0),(),,,(),,,(===v u F z y x v z y x u ψϕ确定的隐函数),(y x z z =,求22x z∂∂时,有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x v F x u F x u F A ；求y x z ∂∂∂2时，有0'')'(222122=∂∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂y x vF y x u F yu x u F A ; 求22yz∂∂时,有0'')'(222221222=∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y vF y u F y u F A ， 其中=A 222112211122")'("''2")'(F F F F F F F +-．(0),(=y x F 的曲率:()232221)'()'(F F A+)三、多元微分学的几何学应用(以下的讨论主要为了计算,条件未必严格）1.曲线的切线和法平面:设曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x l : 在0P 处()()()000'''t z t y t x ，，都存在且不为0,则曲线l 在0P 处的: (1)切线方程为()()()000000'''t z z z t y y y t x x x -=-=-: (2）法平面方程为()()()0)(')(')('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x . 注:若曲线以⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 形式给出,切向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧，，，''''''''''''y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F ．2.曲面的切平面与法线：设曲面∑由方程0),,(=z y x F 确定,),,(z y x F 在点0P ),,(000z y x 处可微，且'''z y x F F F ，，不为0,则曲面∑在0P 处的：（1）切平面方程为0)(')(')('000=-+-+-z z F y y F x x F z y x (导数已经代入0P 坐标）； (２)法线方程为'''000z y x F z z F y y F x x -=-=-. 注:二元函数在某点处的全微分等于其在这点处切平面竖坐标的增量. 3．方向导数: (1）定义式：0)()(limPP P f P f lu P P P -=∂∂→→（２）若函数),,(z y x f 在点0P 处可微,那么),,(z y x f 在点0P 处沿所有方向的方向导数存在，且γβαcos cos cos 0zfy f x f lf P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂→，其中γβαcos ,cos ,cos 为→l 的方向余弦．注：沿所有方向的方向导数存在不能推出可微，偏导数存在不能推出各方向导数存在． 4.梯度：(1）计算:gra ｄ u =x u ∂∂i +y u ∂∂j +xu∂∂k ； （２）ｇｒad ｕ是)(P u 在点P 的变化量最大的方向,其模等于这个最大变化率; （3）梯度的运算法则和一元函数的求导法则相似； (4）方向导数等于梯度在该方向上的投影.四、极值与最值问题1.二元函数的非条件极值问题(1）极值的必要条件:对偏导数存在的函数),(y x f ，在),(00y x M 处有极值的必要条件是0),(),(0000=∂∂=∂∂yy x f x y x f .(可推广到三元及以上）（2）极值的充分条件:设),(00y x M 为函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(00y x 处连续，记AC B y x f A C y x f B y x f A yy xy xx -=∆====2000000),,("),,("),,("，则: ①0<∆时,),(00y x 是极值点，当0>A 时，),(00y x f 为极小值;当0<A 时,),(00y x f 为极大值；②0>∆时,),(00y x 不是极值点; ③0=∆时,此法失效，另谋它法.注：本方法不可推广到三元及以上,三元及以上的充分条件中,要求黑塞矩阵正定或负定.(本知识不做要求，在出题人手下不会出现三元以上的极值判断问题) ２．条件极值与拉格朗日乘数法(1）一般情况下的拉格朗日乘数法:求函数),,,(21n x x x f u =在条件),,,(21n i x x x ϕ下的条件极值),,2,1(n m m i <= ,可以从函数),,,(),,,(),,,,,(2112111n i mi i n n n x x x x x x f x x F ϕλλλ∑=+=的驻点中得到可能的条件极值的极值点． 步骤:①构造辅助函数；(注意：变量均为独立变量） ②求各变量的一阶导并令其为零，联立得到方程组; ③解方程组得到所有驻点.(解无定法,尽量利用观察法） (2）对“条件极值”的解读：事实上,只利用拉格朗日乘数法求条件极值无异于掩耳盗铃.由于对于多元函数，构造拉格朗日函数后会出现至少三个变量，在数学上欲判断求得的驻点是否是极值点需要利用三阶以上的黑塞矩阵.而出题人为了回避这一知识点,通常以实际问题的形式来考察拉格朗日乘数法.由于在实际问题的背景下必存在最值，可以认为“所得即所求”，但是实际上求出的并不是真正的条件极值，而是在条件下的最值.所以,出题人通常在题目中会以“最值”来代替极值进行考察.五、习题１．已知方程02222=∂∂+∂∂y u x u 有⎪⎭⎫⎝⎛=x y u ϕ形式的解,求出此解.2.已知二元函数),(y x f z =可微,两个偏增量:,3)32(322222x y x xy x y x z x ∆+∆+∆+=∆.2233y x y y x z y ∆+∆=∆且,1)0,0(=f 求).,(y x f3.设0),(222=++++z y x z y x F 确定),(y x z z =,其中F 有二阶连续偏导数,求.2yx z∂∂∂ 4.已知函数),(y x f z =可微，且有，0≠∂∂xz满足方程.0)(=∂∂+∂∂-y z y x z z x 现在将x 作为z y ,的函数,求.yx∂∂ 5.设),,(t x f y =t 是由方程0),,(=t y x F 确定的x ,y 的函数，其中F 和f 均有一阶连续的偏导数，求.dxdy 6．设),,(),,(),,(v u f z v u y v u x ===ψϕz 是x ，y 的二元函数,求x z ∂∂及.yz∂∂ ７．求函数)ln(22z x e w y+=-在点),1,(2e e 处沿曲面uv v u v u e z e y e x ===-+,,的法线向量的方向导数.８.求g ｒa ｄ[c ·r +21ｌn(c ·r )],其中c 为常向量，r 为向径，且c ·r >０. 9.设二元函数f 在),(000y x P 点某邻域内偏导数'x f 和'y f 都有界,证明：f 在此邻域内连续. 10.设),(00'y x f x 存在,),('y x f y 在),(00y x 处连续,证明：),(y x f 在),(00y x 处可微.１１.证明:函数⎪⎩⎪⎨⎧≠≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2233y x y x y x y x y x f ，，在原点处偏导数存在但不可微.12．设),(y x z z =是由方程⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ确定的二元函数,其中ϕ有连续的二阶导函数，证明：.222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂=∂∂⋅∂∂y x z y z x z 13.证明:曲面)2(2z y f ezx -=-π是柱面,其中f 可微．第二部分 多变量积分学一、各类积分的计算公式及意义(一）二重积分 1.计算公式①直角坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121,,,y x y x dcbax y x y Ddx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f②极坐标系下的二重积分：()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==)()()()(2121.sin ,cos sin ,cos ,r r bar r Dd r r f rdr rdr r r f d dxdy y x f ϕϕβαθθθθθθθθ③二重积分的变量替换:()[]dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f uvxy),(),(),(),,(,∂∂=⎰⎰⎰⎰σσ2．几何意义：()0,≥y x f 时，表示以0=z 为底,以()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积. 3.物理意义:各点处面密度为()y x f ,的平面片Ｄ的质量． (二)三重积分 1.计算公式①直角坐标系下的三重积分: (1）柱型域:投影穿线法（先一后二法）:()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=y x z y x z Vdz z y x f dxdy dV z y x f xy,,21,,,,σ（２)片型域：定限截面法(先二后一法)：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD z z Vdxdy z y x f dz dV z y x f ,,,,21②柱面坐标系下的三重积分：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθθθθθθθθ2121,,,sin ,cos ,sin ,cos ,,r r r z r z VVdzz r r f rdr d dz rdrd z r r f dV z y x f ③球面坐标系下的三重积分：()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ϕθϕθθϕθϕβαϕθϕθϕϕϕθϕθϕϕθϕθϕ,,222121cos ,sin sin ,cos sin sin sin cos ,sin sin ,cos sin ,,r r VVdrr r r r f d d drd d r r r r f dV z y x f④三重积分的变量替换:()[]dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dV z y x f uvwxyzV V ),,(),,(),,(),,,(),,,(,,∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．物理意义：各点处体密度为()z y x f ,,的几何形体Ω的质量.（三)第一型曲线积分: 1．计算公式①平面曲线的情形：(1)()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:则()()()()()().,,22⎰⎰'+'=b aC dt t y t x t y t x f ds y x f(2)()b x a x g y C ≤≤=,:则()()()()⎰⎰+=baCdx x g x g x f ds y x f .'1,,2(3）()βθαθ≤≤=,:r r C 则()()()()()()⎰⎰'+=βαθθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f C②空间曲线的情形：()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:：()()()()()()()().',,,,222⎰⎰+'+'=βαdt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f C2．几何意义:以C 为准线,母线平行于z 轴的柱面介于0=z 与()y x f z ,=间的面积. 3.物理意义：各点处线密度为()y x f ,(或()z y x f ,,）的曲线C 的质量. (四）第一型曲面积分: 1.计算公式:()()().1,,,,,22⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xydxdy y z x z y x z y x f dS z y x f Sσ ２.物理意义：各点处面密度为()z y x f ,,的曲面S 的质量. （五）第二型曲线积分：1.计算公式：①平面曲线的情形：()()b t a t y y t x x C ≤≤⎩⎨⎧==,,:⎰⎰+=+baCt dy t y t x Q t dx t y t x P dy y x Q dx y x P )())(),(()())(),((),(),(②空间曲线的情形:()()()b t a t z z t y y t x x C ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,,,:)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((),,(),,(),,(t dz t z t y t x z t dy t z t y t x Q t dx t z t y t x P dz z y x R dy z y x Q dx z y x P baC ⎰⎰++=++２.物理意义:力场F ＝Ｐ（ｘ，y ，z )i + Q （ｘ，y ,z )j +R （x ,ｙ,z )k 沿有向曲线C 所做的功.（六）第二型曲面积分: 1.计算公式:.)),(,,()),(,,()),(,,(),,(),,(),,(⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-±=++xy dxdy y x z y x R y x z y x Q y z y x z y x P x z dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P Sσ 2. 物理意义:流速场v=P （x ,ｙ,z ）i + Q （ｘ,y ,z )ｊ+R (x ，ｙ，ｚ)k 单位时间通过有向曲面Ｓ流向指定一侧的净通量.二、各种积分间的联系1. 第一型曲线积分与第二型曲线积分：[]⎰⎰++=++CCds R Q P Rdz Qdy Pdx .cos cos cos γβα2. 第一型曲面积分与第二型曲面积分：[].cos cos cos ⎰⎰⎰⎰++=++SSdS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz γβα3. 第二型曲线积分与二重积分（Gr ｅen 公式):.dxdy y P x Q Qdy Pdx D C ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+4. 第二型曲面积分与三重积分(Gaus ｓ公式):.dV z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz S V ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=++5． 第二型曲线积分与第二型曲面积分（Ｓtokes 公式）：.dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx S C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++⎰⎰⎰ 三、各种积分的通用性质1.黎曼积分的性质1°()()[]()().⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f βαβα2°()()()⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ω21d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω⋃Ω21，且1Ω与2Ω无公共内点.3°若()()P g P f ≤，Ω∈P ,则()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f若()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().⎰⎰ΩΩΩ<Ωd P g d P f４°()().⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f5° 若()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ,最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m6° 若()P f 在有界闭区域Ω上连续，则至少有一点Ω∈*P ，使()().Ω=Ω*Ω⎰P f d P f7° 若2R ⊂Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0;若3R ⊂Ω关于坐标平面对称,当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0．8° 将坐标轴重新命名,如果积分区域不变,则被积函数中的x ,y ，z 也同样作变化后,积分值保持不变.２.第二型积分的性质1° 设-Ω是与Ω方向相反的几何体,则.)()(→Ω→→Ω→Ω-=Ω⎰⎰-d P A d P A2° ()()()().⎰⎰⎰Ω→→Ω→→Ω→→Ω±Ω=Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡±d P B d P A d P B P A βαβα3°若21Ω+Ω=Ω,则.)()()(21→Ω→→Ω→→Ω→Ω+Ω=Ω⎰⎰⎰d P A d P A d P A4°若e p ()P A →⊥，,Ω∈P 则.0)(=Ω→Ω→⎰d P A5°设,Ω∈P e p ={}P P P γβαcos cos cos ，，，()P A →＝{})(),(),(P R P Q P P ,则[]⎰⎰Ω→Ω→Ω++=Ωd P R P Q P P d P A P P Pγβαcos )(cos )(cos )()(６° 将坐标轴重新命名，如果曲线或曲面的方程不变,则被积函数中的ｘ,y ，z 也同样作变化后，积分值保持不变．四、各种积分的应用１.形心坐标公式：(),ΩΩ=⎰Ωxd M x μ()().,ΩΩ=ΩΩ=⎰⎰ΩΩzd M z yd M y μμ质心坐标公式：()(),⎰⎰ΩΩΩΩ=d M xd M x μμ()()()().,⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩ=ΩΩ=d M zd M z d M yd M y μμμμ2.转动惯量:()().2⎰ΩΩ=d M r M I μ 3.旋度：r ｏｔF (Ｍ）＝ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Q y R i +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x R z P j +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂y P x Q ｋ.4.散度：div F (Ｍ)= .Mz R y Q x P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ 五、习题1.计算,2dxdy y D⎰⎰其中Ｄ由横轴和摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 的一拱)0,20(>≤≤a t π围成. 2.计算,)(sin 12dxdy y x D⎰⎰+-其中Ｄ: .0,0ππ≤≤≤≤y x 3.计算,222dxdy y x a D⎰⎰--其中D : .0,,22>≥≤+a x y ay y x 4．计算,22dxdy y x D⎰⎰+ 其中D ： .0,0a y a x ≤≤≤≤5．计算[],)(1⎰⎰⎰+VdV z xf y 其中V 是由不等式组2230,1,11y x z y x x +≤≤≤≤≤≤-所限定的区域，)(z f 为任一连续函数.6．计算,222⎰⎰⎰+VdV z y x 其中V 是由不等式组1)1(,1222222≤-++≥++z y x z y x 所确定的空间区域. 7.计算,1222⎰⎰⎰-++VdV z y x 其中V 是由锥面22y x z +=和平面1=z 围成的立体．8.计算,)32(⎰⎰⎰++VdV z y x 其中V是顶点在)000(，，处,底为平面3=++z y x 上以)111(，，为圆心，１为半径的圆的圆锥体.8.计算,⎰lxds 其中l 为双曲线1=xy 上点)2,21(到)1,1(的弧段.9.计算⎰++Lds xy zx yz ,)222(其中L 是空间圆周.232222⎪⎩⎪⎨⎧=++=++az y x a z y x10.计算，ds z y x z D⎰⎰),,(ρ其中S 是椭球面122222=++z y x 的上半部分,点π,),,(S z y x P ∈为S 在点Ｐ处的切平面,),,(z y x ρ为原点)000(，，到平面π的距离.1１.计算,cos )sin 1(2⎰--+ly y xdx e dy x e x 其中l 是由由原点沿2x y =到点)1,1(的曲线.12.计算⎰Γ+++++,)()()(222222dz y x dy x z dx z y 其中(),024:22222>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++Γz xy x xz y x从z 轴正向看Γ取逆时针方向.1３．计算,)()(22⎰+++-ly x dy y x dx y x 其中l 为摆线⎩⎨⎧-=--=ty t t x cos 1sin π从0=t 到π2=t 的弧段. 1４.计算,)6()22(22223ydxdy z dzdx x z y x zy dydz e xx S-+++--⎰⎰-π其中S 是由抛物面224y x z --=,坐标面xo ｚ,yo ｚ及平面1,1,21===y x y z 所围成的立体表面的外侧. １5.计算,)()()(232323dxdy x z dzdx z y dydz y x S-+-+-⎰⎰其中S 是由锥面22z x y +=与半球面)0(222>--+=R z x R R y 构成的闭曲面的外侧.16.计算,dxdy y x f y z z dzdx y x f dydz y x f y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰∑其中∑是由122++=z x y 和229z x y --=所围立体表面的外侧， )(u f 是有连续导数的函数．17.计算,4)1(2)18(2dxdy yz dzdx y xdydz y S ⎰⎰--++其中S 是由()3101≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=-=y x y z 绕y 轴旋转一周所得到的曲面，它的法向量与y 轴正向夹角恒大于.2π1８．计算,222dzdx z x Sy ⎰⎰+其中Ｓ是曲面22z x y +=及1=y ,2=y 所围立体表面外侧．１9.求闭曲面z a z y x 32222)=++（所围成的立体体积. 20.求锥面222x z y =+含在圆柱面222a y x =+内部分的面积．21.求由曲线L ：)21(ln 2142≤≤-=x x x y 绕直线8943-=x y 旋转形成的旋转曲面的面积． 22.求平面曲线段l :)10(233≤≤+=x x x y 绕直线Ｌ：x y 34=旋转形成的旋转曲面的面积. 23.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续，并设,)(1⎰=A dx x f 求⎰⎰110.)()(xdy y f x f dx24.求线密度为x 的物质曲线()0222222≥⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z Rxy x Rz y x 对三个坐标轴转动惯量之和. ２5.设r =x i +ｙj ＋z k , r=|r ｜．（１)求)(r f ,使div[)(r f r ］=0;（２）求)(r f ,使ｄi ｖ[grad )(r f ]=0.26.设函数)(x f 在区间]1,0[上连续、正值且单调下降,证明：.)()()()(110210102⎰⎰⎰⎰≤dx x f dxx f dxx xf dxx xf2７.设函数)(t f 连续，证明:⎰⎰⎰--=-DAAdt t A t f dxdy y x f .|)|)(()(２8.证明:()),0()323(31085335>+≤+++≤⎰⎰∑a a a dS a z y x a ππ其中∑是球面:.022222222=+---++a az ay ax z y x29．设Γ是弧长为s 的光滑曲线段，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ上连续,且.max 222R Q P M ++=Γ证明:.Ms Rdz Qdy Pdx ≤++⎰Γ30．设在上半平面{}0|),(>=y y x D 内函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t ,都有).,(),(2y x f tty tx f -=证明:0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L,其中L 是D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线.第三部分 无穷级数一、数项级数（一）数项级数的基本性质１．收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. ２.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .(即部分和数列收敛)3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛),而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4．对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5．在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 １.正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2)比较判别法(放缩法):若两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv之间自某项以后成立着关系：存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ,那么 （i)当级数∑∞=1n nv收敛时,级数∑∞=1n nu亦收敛；（ii)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.推论：设两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ，且自某项以后有nn n n v v u u 11++≤,那么 （i)当级数∑∞=1n nv收敛时，级数∑∞=1n nu亦收敛；(ii)当级数∑∞=1n nu发散时，级数∑∞=1n nv亦发散.(3)比较判别法的极限形式（比阶法)：给定两个正项级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v ,若0lim>=∞→l v u nnn ，那么这两个级数敛散性相同.(注:可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容)另外，若0=l ,则当级数∑∞=1n nv收敛时,级数∑∞=1n nu亦收敛;若∞=l ,则当级数∑∞=1n nu发散时,级数∑∞=1n nv亦发散．常用度量： ①等比级数:∑∞=0n nq，当1<q 时收敛,当1≥q 时发散；②ｐ-级数:∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数:()∑∞=2ln 1n pn n ,当1>p 时收敛，当1≤p 时发散.④交错p -级数:∑∞=--111)1(n pn n ,当1>p 时绝对收敛,当10≤<p 时条件收敛. (4)达朗贝尔判别法的极限形式(商值法）：对于正项级数∑∞=1n n u ,当1lim1<=+∞→r u u nn n 时级数∑∞=1n n u 收敛;当1lim 1>=+∞→r u u n n n 时级数∑∞=1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （５)柯西判别法的极限形式(根值法）:对于正项级数∑∞=1n nu,设n n n u r ∞→=lim ，那么1<r 时此级数必为收敛,1>r 时发散,而当1=r 时需进一步判断． (６）柯西积分判别法：设∑∞=1n nu为正项级数,非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调下降,且自某项以后成立着关系:n n u u f =)(,则级数∑∞=1n nu与积分⎰+∞)(dx x f 同敛散.2.任意项级数的理论与性质（1)绝对收敛与条件收敛:①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数∑∞=1n nu,将它的所有正项保留而将负项换为0,组成一个正项级数∑∞=1n nv，其中2nn n u u v +=;将它的所有负项变号而将正项换为0,也组成一个正项级数∑∞=1n nw，其中2nn n u u w -=,那么若级数∑∞=1n nu绝对收敛,则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都收敛；若级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nv和∑∞=1n nw都发散.③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都绝对收敛,它们的和分别为U 和V ,则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级数也绝对收敛,且和为UV .特别地，在上述条件下,它们的柯西乘积⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注:⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∞=∞=∞=111n n n n n n v u c ,这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- .(2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0lim =∞→n n u ，且{}n u 单调减少(即1+≥n n u u ),则∑∞=--11)1(n n n u 收敛，其和不超过第一项,且余和的符号与第一项符号相同,余和的值不超过余和第一项的绝对值．二、函数项级数(一)幂级数1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 (1)柯西－阿达马定理：幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x <-0内绝对收敛,在R x x >-0内发散,其中R 为幂级数的收敛半径. （２)阿贝尔第一定理：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处收敛,则它必在00x x x -<-ξ内绝对收敛；又若∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处发散,则它必在00x x x ->-ξ也发散.推论1:若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处收敛,则它必在ξ<x 内绝对收敛；又若幂级数∑∞=0n n nx a在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散．推论2：若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ,若又有0>n a ,则可以确定此幂级数的收敛域.（3）收敛域的求法：令1)()(lim 1<+∞→x a x a nn n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性,取并集.２.幂级数的运算性质(1)幂级数进行加减运算时，收敛域取交集,满足各项相加；进行乘法运算时,有：∑∑∑∑∞==-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2)幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在Rx x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞=-00)(n n nx x a在R x x +=0处收敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续.(3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 (1）常用的幂级数展开：① +++++=nxx n x x e !1!2112∑∞==0!n n n x ,x ∈（-∞， +∞).②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞=0n n x ，x ∈(-１, １）． 从而，∑∞=-=+0)(11n n x x ，∑∞=-=+022)1(11n nn x x . ③∑∞=+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n nn n n x n x x x x x ,x ∈(－∞, +∞).④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ,x ∈(-∞， +∞). ⑤∑∞=-+-=++-+-+-=+11132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1].⑥ ++--++-++=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1(2ααααααα,x ∈(-1， １).⑦1202123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ,x ∈［-1， 1］.⑧120123121)1(121)1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, １]. （2）常用的求和经验规律:①级数符号里的部分x 可以提到级数外；②系数中常数的幂中若含有n ,可以与x 的幂合并,如将n c 和n x 合并为ncx )(； ③对∑∞=0n nnx a求导可消去n a 分母因式里的n ，对∑∞=0n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的1+n ；④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开; ⑤有些和函数满足特定的微分方程,可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. (二）傅里叶级数1.狄利克雷收敛定理(本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ］上满足: ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点;则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛． 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++=.2)0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S3．以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开：∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ（１)在[－l , ｌ]上展开：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰---l ln l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10;(2）正弦级数与余弦级数:①奇函数(或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎰l n n dxl x n x f l b a a 00sin )(200π；②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π;４.一些在展开时常用的积分: (1);0cos ;1)1(sin 010=+-=⎰⎰+ππnxdx n nxdx n(2)2sin 1cos ;1sin 2020πππn n nxdx n nxdx ==⎰⎰；(3)2022010)1(2cos 1)1(cos ;)1(sin nnxdx x n nxdx x n nxdx x nn n -=--=-=⎰⎰⎰+πππππ；; （4）C nx n nx a e n a nxdx e axax +-+=⎰)cos sin (1sin 22; C nx a nx n e na nxdx e axax +++=⎰)cos sin (1cos 22; (５）C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21sin sin ;C x n a n a x n a n a nxdx ax +--+++-=⎰)sin()(21)sin()(21cos cos .注:①求多项式与三角函数乘积的积分时可采用列表法，注意代入端点后可能有些项为0； ②展开时求积分要特别注意函数的奇偶性及区间端点和间断点的特殊性; ③对于π≠l 的情形,事先令x lt π=对求积分通常是有帮助的.五、习题１.判断下列数项级数的敛散性,若收敛，不是正项级数的指出是绝对收敛还是条件收敛. （1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1212n nn n ；(2）nn n βα∑∞=1，其中β非负;（3）∑⎰∞=140tan n n n xdx λπ,其中0>λ；（4)np n n n1111)1(+∞=-∑-;(5）n n nnn !)(1∑∞=-α，其中0>α； (6)!)!12(!)!32()1(2---∑∞=n n n n．2．求幂级数nn n n x n ∑∞=+132的收敛域. 3.求幂级数nn n n x n b n a ∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的收敛域，其中b a ,为正数．4.将下列函数展开成x 的幂级数. (１)xx 21-;（2）x arcsin ；（3）x x x x -+-+arctan 2111ln 41. ５.求下列幂级数的收敛域及和函数．（1）n n n x n ∑∞=+-121)1(;(２))12()1(211--∑∞=-n n x n n n ; (３)()∑∞=03!3n nn x ; 6.求数项级数∑∞=-⋅-1212)!2(2)1(n nn n n 的和. 7.设(),arctan )(2x x f =分别求出)0()12(-n f 和)0()2(n f .8.求极限∑⎰∞=+→+112sin 0202)sin(lim n n n xx n x dt t . 9.求极限.)!14(!11!7!31)!34(!9!51lim 448444840-++++-++++--→n n n n x ππππππ10．将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=l x l x l l x x x f 2,20,)(展开成正弦级数.1１.将函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=l x l l x l x x f 2,020,cos )(π展开成余弦级数. 12．将函数)arcsin(sin )(x x f =展开成傅里叶级数． １3.证明：幂级数n n n k x n k ∑∑∞==112)!2()!(在)3,3(-内绝对收敛. 14.求函数⎰-+=πππdt t x f t f x F )()(1)(的傅里叶系数nn B A ,,其中)(x f 是以π2为周期的连续函数,n n b a ,是其傅里叶系数．并证明：).(2)(1212202n n n b a a dt t f ++=∑⎰∞=-πππ。

微积分重点知识点梳理微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念和方法。

它是研究函数变化规律、求解曲线斜率和曲线面积等问题的数学工具。

本文将对微积分的重点知识点进行梳理，帮助读者理解和掌握微积分的核心内容。

1. 函数的极限函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点处的极限可以描述函数的趋势和性质。

在函数的极限求解过程中，常用的方法有代数运算法、夹逼准则法和无穷小量法等。

函数极限的概念和求解方法对于理解微积分的后续内容非常重要。

2. 导数与微分导数表示函数在某一点处的变化率，是微积分的重要概念。

求导的过程可以帮助我们研究函数的斜率和变化趋势。

在求导的过程中，需要掌握基本的导数公式和求导法则，并能够应用它们解决实际问题。

3. 高阶导数与导数应用高阶导数是导数的导数，表示函数变化率的变化率。

通过研究高阶导数，我们可以更深入地理解函数的曲率和变化趋势。

在实际问题中，高阶导数的应用非常广泛，如求解最值、曲线拟合和泰勒展开等。

4. 积分与不定积分积分是导数的逆运算，求解函数曲线下的面积和定积分值。

通过对函数进行积分，我们可以得到函数的原函数或不定积分。

在积分的过程中，需要掌握积分的基本公式和常用积分法则，并能够应用它们解决实际问题。

5. 定积分与面积应用定积分表示函数在给定区间上的面积或曲线长度等量值。

通过定积分，我们可以求解实际问题中的面积、曲线长度、质量和质心等相关量。

在定积分的应用过程中，需要理解积分区间的选择、积分上下限的确定以及定积分的几何和物理意义。

6. 微分方程微分方程是描述变量之间关系的数学方程，是微积分与方程的结合体。

微分方程在自然科学和工程技术等领域中具有广泛的应用，如物理学中的运动学、化学中的反应动力学等。

掌握微分方程的基本概念和解法，可以帮助我们解决与变化和变动有关的实际问题。

总结起来，微积分是一门研究函数变化和趋势的数学学科，涵盖了函数极限、导数与微分、高阶导数与导数应用、积分与不定积分、定积分与面积应用以及微分方程等重要概念和方法。

有关微分与积分章节常识点的总结姜维谦PB08207063一元函数的积分一．求不定积分1. 积分根本公式2. 换元积分法凑微分法∫f(u(x))u ’(x)dx =∫f(u(x))du(x)=F(u(x))+C第二换元法∫f(x)dx=∫f(u(t))u ’(t)dt=F(u-1(x))+C注意：x=u(t)应单调〔可以反解〕—不单调时应分类讨论(e:g 开方去绝对值时)3. 分部积分法∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)适用于解异名函数“反对幂三指〞〔与dx 结合性递增〕应用：解二元方程，递推式e.g:①In=∫(lnx)n(次方)dx,n>=1②In=∫dx/(x2+a2)^n(次方)，n>=14. 模式函数：有理函数类⑴整形分式—局部分式法〔通解〕∫P(x)/Q(x)dx ——别离常数得既约真分式与多项式——Q(x)因式分解化为局部分式和 ——待定系数后比拟系数〔还可以结合赋值，求导数，取极限等〕——化为Ik=∫dx/(x-a)^k(次方)类与Jk=∫(Bx+C)/(x2+bx+c)^k(次方)dx 类积分 ⑵三角有理式㈠万能代换〔通解〕㈡特殊代换 R(cosx,sinx)=-R(cosx,-sinx)R(cosx,sinx)=-R(-cosx,sinx)R(cosx,sinx)=R(-cosx,-sinx)⑶可有理化的无理式㈠三角换元㈡代数换元 ∫R(x,(ax+b)/(cx+d)^1/m(次方))∫R(x,(ax2+bx+c)^1/2(次方))——Euler 代换消除平方项注：三角有理式，可有理化的无理式均可以通过代换转化为尺度有理函数形式后积分， 但通解过程均较繁琐。

故而在求解有理函数类积分时应适当考虑凑配，变形等技巧并 操纵上述1.2.3.常用方法简化运算 详见书P103一．求定积分1.N-L 公式〔形式直接易求〕∫在[a,b]上持续，x 在[a,b]上)(积分形式的微积分根本定理)~微分形式：F(x)=是f(t)的一个原函数 2.Riemann 积分步调：分割——求和近似——取极限~求极限〔T (注意x 对应的上下限)3.换元法 ’(t)dt注：①只需注意上下限的变化〔不同积分变元〕②变量代换思路：被积函数，积分上下限，无穷积分与常义积分的转化③不雅察操纵被积函数在积分区间上的对称关系4e.g:Im=次方)dx5.∫ f=lim ∫ ∫ f=lim(∫广义积分也可以用上述注：求定积分时应结合分项积分与分段积分二．积分的性质运用1.单调性2.有界性3.积分绝对值三角不等式〔Riemann 和理解〕——用于放缩为“易积分形式〞如常值积分——有关积分不等式的证明结合微分中值定理结合Rolle 定理7．线性 8.对称性F ＇(x)=( 〕’=f(Ψ(x))φ’(x)-f(φ(x))φ’(x) ---~1.研究函数极值、拐点、单调性2.结合R ’H 法那么求极限3．Rolle 定理五．定积分的应用举例〔详见书〕一元函数的微分一．导数的求解1. 按照 导数的定义F’(x 0)=lim(f(x )-f(x 0))/(x-x 0)(x ->x 0)~间断点可导性判断：比拟limf ’(x 0)〔x ->x 0〕与lim(f(x )-f(x 0))/(x-x 0)(x->x 0)2. 复合函数〔f-1(y 0)〕’=1/f ’(x 0)(f(x)=f-1(y))3.高阶导数㈠Leibniz 定理 〔uv 〕^(n)(n 阶导数)=Σ㈡化积商形式为和差形式e.g:y=Pn(x)y=㏑(ax+b)&(c/(ax+b))^(n)sinx^(n)=sin(x+nπ/2)~求递推关系三．重要定理的运用Rolle——证明ε存在性的等式〔微分式的转化〕注意①辅助函数的构造②f(a)=f(b)形式Lagrange中值——证明不等式求不决式极限求函数导数~研究函数性质——单调性—不等式证明求极小〔大〕值、最值凹凸性判断㈠定义㈡f’’(x)渐近线求法①垂直渐近线②非垂直渐近线Cauchy中值——证明不等式求不决式极限L’H法那么注：①l可以无穷大，x0任意②适用于0/0、∞/∞型，其他形式不决式应做适当转化Taylor公式——等价无穷小量有关ε的恒等式证明四．求不决式极限㈠R’H法那么〔仅适用于不决式〕㈡中值定理㈢重要极限~幂指函数的转化㈣等价无穷小量〔因子替换〕㈤Taylor展开---统一形式注：各种极限求法各有其使用范围，在具体求解过程中还应考虑比拟优化、综合运用结语：由于个人对常识的理解有限，所以只能在常识点方面作出一点总结，而无法就某个方面作深入的探讨。

微积分二知识点总结微积分二是大学数学的一门重要的基础课程，它是微积分的延伸和拓展。

在微积分一中，我们学习了函数的极限、连续性、导数和积分等基本概念和定理，而微积分二则进一步研究函数的微分方程、级数、多元函数及其常微分方程的计算方法等内容。

本文将对微积分二的一些重要知识点进行总结。

1. 级数级数是微积分二中的重要概念，它由一列数相加而成。

我们学习了级数的定义、收敛性判定准则（比较判别法、求和公式、积分判别法等）、级数运算（加法、乘法等）以及收敛级数的性质等。

2. 函数的多元极限在微积分一中，我们已经学习了函数的一元极限。

而在微积分二中，我们将进一步研究多元函数的极限。

多元极限研究的是当函数的自变量趋于某个值时，函数的取值趋于的情况。

我们学习了多元极限的定义、极限存在性的判定方法（夹逼准则、两变量函数的极限、多元函数的极限等）以及多元极限的性质等。

3. 偏导数偏导数是微积分二中的重要概念。

它用于描述多元函数在给定点上的变化率。

我们学习了偏导数的定义、求导法则（如多元复合函数的求导法则、高阶偏导数等）以及偏导数应用于切线、法线及极值等问题的求解。

4. 多元函数的微分微分是微积分二的重要内容之一。

我们学习了多元函数的微分定义、微分的性质（如线性性质、乘积规则、链式法则等）以及微分在函数近似计算中的应用等。

5. 多元积分多元积分在微积分二中有着重要的地位。

我们学习了二重积分和三重积分的定义以及性质，如积分的可加性、线性性质、换序性质等。

我们还学习了极坐标和球坐标系下的坐标变换和应用于积分计算的方法。

6. 常微分方程常微分方程是微积分二的重要内容。

我们学习了一阶线性微分方程和高阶线性微分方程的求解方法，如分离变量法、常系数线性齐次微分方程的求解法、特殊非齐次微分方程的求解法等。

我们也学习了常微分方程在生活中的应用，如人口增长问题和生物钟模型等。

通过对微积分二的这些重要知识点的总结，我们可以更好地理解微积分的基本原理和方法，并且能够应用于实际问题的求解。

实用标准文档微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）或偏导函数 解法：求具体点偏导 —x 0y 0步骤如下：X1代入y y °,则原二元函数变为一元 函数f x,y ° , 2利用上学期方法求上述 一元函数的导数 dz,dx求偏导函数—步骤如下：x 1）将f x,y 中的y 视为常数，2利用上学期方法求z 对x 的导数,所得结果即为—x *类似，将f x,y 中的x 视为常数，对y 求导即得二.y配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提一一熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64 复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2） 1） 4）, Ex9 3） 2）问题2.已知z f x,y ,求全微分dz.问题1.已知初等函数z f x,y 具体形式，求解偏导数zx o ,y oXx o ,y oy3最后代入x x o ,即得所求x o ，y° -*类似，可求出-yx o ,y o -解法：利用全微分与偏导的关系一一先分别求出二，二的具体结果x y则dz — dx — dy为所求.x y配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2) 7) 3)问题3•已知初等函数z f x,y具体形式，求解二阶偏导数2 2z z， 2 .y x y*务必准确识别以上四个二阶偏导的含义，参见P225相关定义和记号求法按照符号的定义逐阶求偏导2比如——:首先针对z f x,y求出-^,然后针对求出的结果(即—x y x x再求此新函数关于y的偏导.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P253 Ex12 1) 2)问题4.复合函数求导(偏导).要点：借助“路线图”，根据题目实际情况熟练写出链式法则(如P219 公式(7 10),再进一步具体算出各部分结果.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P254 Ex16 1) 4)问题5.隐函数求导(偏导或全微分).要点：熟记P223一元隐函数导数公式 (7 15), P224二元隐函数偏导公式(7 16),套用即可.学会P223〜P224两例的法一即可！配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分求二元函数的极值和条件最值问题1.求二元初等函数z f x,y的极值解法步骤：Z x 01）求出Z x,Z y,并令，解此方程组得所有驻点，如x i ,y i , , X k ,y kzy2 求出 Z xx , Z xy , Z yx , Z yy3）针对以上各驻点，逐个利用P229定理7.8结论判定极值与否、极大/极小.*学会P230例2、例3解答过程.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1） 4）问题2.求具有实际背景（尤其经济背景）二元初等函数Z f x,y 在条件 x,y 0下的条件最值.解法步骤：1）令F x,y, f x,y x,y2）求F的驻点，即解下列方程组：令F x f x x 0令F y f y y 0令F x,y 03）若以上驻点x°,y°, 0唯一，则x°,y°为所求条件最值点.该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：例）某公司通过电台、报纸两种方式做销售某商品的广告.据统计资料，销售收入R 万元与电台广告费用x万元及报纸广告费用y万元之间的关系如下经验公式：2 2R 15 14x 32y 8xy 2x 10y若提供的广告费用为1.5万元且用尽，求相应的最优广告策略.Key : x 0, y 1.5第三部分定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！b问题1.已知f x 具体形式，求解定积分 f x dx.a主要方法)牛顿一莱布尼兹公式：1)利用求不定积分的方法，求出f x 的一个原函数F x , bb2 从而 fxdx F x b F b Fa.a*重点：若f X 是a,b 上的分段函数，比如以C 为分段点，则需利用—I-定积分的“拆区间”性质f f f,使得右端每个被积函数 a a c 1均取明确形式，再进行计算.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)a特殊方法)当积分区间关于原点对 称时,定积分f 有公式如下: -a0, f 为奇函数a20f, f 为偶函数1 ; -------------------------------例.求解 x 2sinx x£1 x 2x dx.1解：（务必注意积分区间的特点！） x 2sinx, x . 1 X 2均有奇函数，x 2sin xdxxl1 x 2dx 0. 1 111 1x 为偶函数，xdx 2 xdx 2 xdx1.'10 I从而原式 0 0 11.问题2.变限积分的求导及应用要点)x1)熟记函数 x f t dt 的求导公式：x f x .au xf t dt f u x u x进一步有公式：au xa -af t dt f u x u x f v x v xv x2利用以上求导公式，结合L' Hospital法则,可求解某些极限配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练!P186 Ex5 1）, Ex4 1） 2）问题3.定积分的几何应用与经济应用要点）1）几何应用一 --- 求平面图形面积）典型例P162例1 P163例4:注意针对不同的区域形状选择适当的积分变量.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1） 3） 4）2）几何应用二-- 求旋转体体积）熟记P166公式（6 22及其适用的图6 19,熟记公式（6 24及其适用的图6 21.运用以上两公式求解旋转体体积.*注意：以上两公式只能直接用于求解具有“实心”特征的旋转体体积若考察空心旋转体体积，则只能间接利用公式将所求体积转化为若干实心体积.例如P166式（6 23即运用了此原理.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex29 3） 5）3）经济应用 -- 已知边际求总量）原理：若已知F x ,则由牛顿一莱布尼兹公式可得xF x F a F t dt,其中a为选定的常数.熟记 P168 〜169公式（6 26）~（6 28 .典型例：P169例8, P170例9.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分二重积分相关要点问题1.已知区域D具体形式，将二重积分 f x,y dxdy表达为两种D累次积分次序.解法步骤）1）在平面直角坐标系中画出D的草图2判断D的形状：若D为P239图7 27（a）之“x型”区域，则运用公式（7 21）写出“外x内y”形式的累次积分；若D为P239图7 27（b）之“y 型”区域，则运用公式（7 22写出“外y内x”形式的累次积分3）若D并非标准的“x型”或“y 型”,则需利用分块积分法则（P238性质7.7）,将D划分为若干标准的“x型”或“y型”区域，再分别写出累次积分结果.典型例：P241例2配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3） 1）问题2.将给定的累次积分交换积分次序.要点）1）根据题目形式写出积分区域D的形状，2）对于f x,y dxdy ,按要求写出另一种累次积分,方法同“问题1D典型例：P241例3配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31 1） 3） 4） 2）问题3.已知f x,y和积分区域D的具体形式，计算f x,y dxdy.D要点)1)画出积分区域D的草图，2根据D的形状及f x,y的形式选择适当的累次积分次序表达，3)由内层至外层逐层计算上述累次积分，最终求出原二重积分.*若区域形状为圆、环、扇形等,且f x,y为关于x2y2或y的形式，x则上述过程宜采用极坐标系计算,即令x rcos ,y rsin ,将原积分化为frcos ,rsin rdrd ,再将此新二重积分化为外层关于、内层关于r的累次积分，具体结果见P244 ~ P245公式(7 24) ~ (7 26),重点熟记(7 25)即可.典型例(建议按以下顺序复习)：P242例4,例6,例5,P246例8配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)问题4.求以非负曲面z f x,y为顶，xy平面上某区域D为底的曲顶柱体体积.要点：由题意准确识别出作为“顶”的函数z f x,y及作为“底”的平面区域D.则V f x,y dxdy .再利用问题3中方法求此二重积分.D配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1) 2)第五部分其它要点摘录1. 理清z f x,y 偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系，理清 f x,y 的极值点、驻点的关系.2. 熟用 P147性质 6.3并练习 P186Ex21）2）4）.3. 熟记概率积分 e"dx 「. 02+a4.按定义判定无穷限积分 f x dx, f x dx, f x dx 的敛散性；a-能识别瑕积分，并按定义判定瑕积分bf x dx （三类：分别a 、b c a,b 为瑕点）的敛散性。